Η ΚΑΣΑΝΟΗΗ ΣΗ ΑΛΓΕΒΡΑ L.B. Resnick, E. Cauzinille Marmeche, J. Mathieu 1985

Transcript

1 Η ΚΑΣΑΝΟΗΗ ΣΗ ΑΛΓΕΒΡΑ L.B. Resnick, E. Cauzinille Marmeche, J. Mathieu 1985 Άξζξν από ην βηβιίν: H Χπρνινγία ησλ Μαζεκαηηθώλ Πξόινγνο Δπηκέιεηα: Σηέιια Βνζληάδνπ Φαξηηάθε Γαξπθαιηά Τδνύκα Γεσξγία Γ Γ200906

2 ηόρνο ηεο κειέηεο Κύξηνο ζηόρνο ηεο κειέηεο είλαη λα εξεπλεζεί όρη κόλν ηη αθξηβώο ζεκαίλεη ε θαηαλόεζε κηαο αιγεβξηθήο παξάζηαζεο ή ελόο αιγεβξηθνύ θαλόλα, αιιά θαη ηνπ ξόινπ πνπ παίδεη ε θαηαλόεζε ηεο άιγεβξαο από ηα παηδηά. Πην ζπγθεθξηκέλα καο ελδηαθέξεη ε θύζε ησλ ζπζηεκάησλ αλαπαξάζηαζεο, ε αιιειεπίδξαζε αλάκεζα ζηελ γλώζε ησλ αξρώλ θαη ηηο ηθαλόηεηεο εθηέιεζεο δηαδηθαζηώλ, ηνπο ηξόπνπο κε ηνπο νπνίνπο κεηαβάιιεηαη ε γλώζε θαζώο αλαπηύζζεηαη ε ηθαλόηεηα ζην πιαίζην ησλ Μαζεκαηηθώλ.

3 Η θύζε ηεο καζεκαηηθήο γλώζεο Πην ζπγθεθξηκέλα κειεηάκε ηα παξαπάλσ εξσηήκαηα ζην πιαίζην ησλ Μαζεκαηηθώλ δηόηη : Τα καζεκαηηθά αθνξνύλ αθεξεκέλεο γλώζεο ζε κεγαιύηεξν βαζκό από πνιινύο άιινπο ηνκείο κειέηεο, θαη νπσζδήπνηε ζε κεγαιύηεξν βαζκό από ηνπο πεξηζζόηεξνπο ηνκείο κε ηνπο νπνίνπο έξρνληαη ζε επαθή ηα παηδηά. Ζ καζεκαηηθή γλώζε ζπλδέεηαη ζηελά κε κηα εμεηδηθεπκέλε ηππηθή γιώζζα πνπ επηβάιιεη πεξηνξηζκνύο ζηε καζεκαηηθή ινγηθή. Ζ ηππηθή γιώζζα ησλ καζεκαηηθώλ παίδεη έλα δηπιό ξόιν ζεκαίλνληνο θαη ζεκαηλόκελνπ ιεηηνπξγώληαο ηαπηόρξνλα σο όξγαλν θαη σο αληηθείκελν ηεο ινγηθήο.

4 Ση δίλεη λόεκα ζηηο Αιγεβξηθέο Παξαζηάζεηο Θα κπνξνύζακε λα ζεσξήζνπκε όηη ε Άιγεβξα αληιεί ην λόεκα ηεο από ηξείο δηαθνξεηηθέο πεγέο : Σε έλα επίπεδν, ην λόεκα ηεο άιγεβξαο εκπεξηέρεηαη νινθιεξσηηθά ζην ηππηθό ζύζηεκα. Τν λόεκα ησλ αιγεβξηθώλ παξαζηάζεσλ πξνθύπηεη από ηελ νξζόηεηα ηεο δηαηύπσζεο ηνπο κέζα ζην ηππηθά πξνζδηνξηζκέλν ζύζηεκα. Οη θαλόλεο κεηαζρεκαηηζκνύ απνθηνύλ λόεκα όηαλ εθαξκνδόκελνη δίλνπλ νξζά δηαηππσκέλεο παξαζηάζεηο. Απηό ην θαζαξά θνξκαιηζηηθό επίπεδν ηεο Άιγεβξαο θαίλεηαη ζηελ θνξπθή ηνπ ηξηγώλνπ.

5 Ση δίλεη λόεκα ζηηο Αιγεβξηθέο Παξαζηάζεηο Τα δύν είδε αλαθνξάο πνπ κπνξεί λα έρνπλ νη αιγεβξηθέο παξαζηάζεηο θαη νη αιγεβξηθνί θαλόλεο βξίζθνληαη ζηηο θνξπθέο ηεο βάζεο ηνπ ηξηγώλνπ ηνπ ζρήκαηνο 1 θαη παξνπζηάδνληαη παξαθάησ : Ζ Άιγεβξα παίξλεη ην λόεκα ηεο από ηνλ θόζκν ησλ αξηζκώλ θαη ησλ πξάμεσλ γηα ηνλ νπνίν παξάγεη γεληθεύζεηο. Έηζη κπνξνύκε λα ζεσξήζνπκε όηη νη αιγεβξηθέο παξαζηάζεηο είλαη πεξηγξαθέο ησλ ζρέζεσλ πνπ ηζρύνπλ αλάκεζα ζε αξηζκνύο θαη ζε πξάμεηο πνπ γίλνληαη πάλσ ζε απηνύο ηνπο αξηζκνύο γεληθά. Οη αιγεβξηθέο παξαζηάζεηο θαη νη θαλόλεο κεηαζρεκαηηζκνύ αλαθέξνληαη επίζεο ζε θαηαζηάζεηο όπνπ παίδνπλ ξόιν νη ζρέζεηο αλάκεζα ζε πνζόηεηεο θαη νη επελέξγεηεο πάλσ ζε πνζόηεηεο. Γειαδή όηαλ ιύλνπκε πξνβιήκαηα δηαηππώλνληαο ηηο θαηάιιειεο εμηζώζεηο δελ θάλνπκε ηίπνηα άιιν από ην λα δηαηππώλνπκε ηηο πνζνηηθέο ηνπο ζρέζεηο κε θαηάιιειν καζεκαηηθό ηύπν.

6 Ση δίλεη λόεκα ζηηο Αιγεβξηθέο Παξαζηάζεηο Δδώ πξέπεη λα επηζεκάλνπκε όηη αλ δερηνύκε ηελ αλαθνξηθή ιεηηνπξγία ησλ θαηαζηάζεσλ, ηόηε κπνξνύκε επίζεο λα ρξεζηκνπνηήζνπκε θαηαζηάζεηο γηα λα δηθαηνινγήζνπκε ηνπο θαλόλεο κεηαζρεκαηηζκνύ θαη κέζα από ηα δηαθνξεηηθά λνήκαηα επί ηεο νπζίαο λα πξνθαιέζνπκε ηελ κάζεζε. Έλα παξάδεηγκα ζην νπνίν θαίλεηαη ν παξαπάλσ ηζρπξηζκόο είλαη ην εμήο: Σην παξάδεηγκα απηό θαίλεηαη όηη ε ελλνηνινγηθή ηζνδπλακία ησλ αθόινπζσλ ηζηνξηώλ δηθαηνινγεί ηνλ θαλόλα αιιαγήο ζεκείσλ ζηελ άιγεβξα θαηά ηνλ νπνίν όηαλ απαιείθνπκε κηα παξέλζεζε κπξνζηά από ηελ νπνία βξίζθεηαη αξλεηηθό (πξόζεκν) ζεκείν ηόηε αιιάδνπλ θαη όια ηα άιια ζεκεία κέζα ζηελ παξέλζεζε: α (β + γ) = α β γ.

7 Ση δίλεη λόεκα ζηηο Αιγεβξηθέο Παξαζηάζεηο Βέβαηα κπνξεί νη θαηαζηάζεηο λα δίλνπλ λόεκα ζηνπο θνξκαιηζκνύο αιιά γηα λα νδεγεζνύκε ηειηθά ζηελ επίιπζε ηνπ πξνβιήκαηνο πξέπεη λα παξακεξίζνπκε ηηο θαηαζηάζεηο θαη λα απνθηήζνπλ λόεκα νη κεηαζρεκαηηζκνί. Ο παξαπάλσ ηζρπξηζκόο θαίλεηαη λα βξίζθεη εθαξκνγή ζηελ πξώηε θηόιαο ηδηόηεηα πνπ καζαίλνπλ νη καζεηέο ζηελ άιγεβξα. Ζ αληηκεηαζεηηθή ηδηόηεηα ηζρύεη αλ δερηνύκε όηη ρξεζηκνπνηνύκε ηελ θνξπθή ηνπ ηξηγώλνπ πνπ αλαθέξεηαη ζε αξηζκνύο θαη πξάμεηο αιιά δελ κπνξεί λα ηζρύεη αλ ρξεζηκνπνηήζνπκε ηελ άιιε θνξπθή ηνπ ηξηγώλνπ πνπ αλαθέξεηαη ζηηο θαηαζηάζεηο. Πην ζπγθεθξηκέλα ππάξρνπλ δύν είδε πξόζζεζεο. Τν έλα είδνο ζρεηίδεηαη κε κηα αξρηθή πνζόηεηα ε νπνία ηξνπνπνηείηαη κε πξόζζεζε ή αθαίξεζε άιιεο πνζόηεηαο. Δλώ ην άιιν είδνο ζρεηίδεηαη κε ηελ έλσζε δύν ππνζπλόισλ γηα ηνλ ζρεκαηηζκό ελόο ππεξζπλόινπ. Όπσο θαίλεηαη ζην δηπιαλό ζρήκα ε αληηκεηαζεηηθόηεηα ζηηο θαηαζηάζεηο δελ κπνξεί λα ηζρύεη αθνύ ην α αιιαγκέλν θαηά β δελ είλαη ην ίδην κε ην β αιιαγκέλν θαηά α (όπσο θαίλεηαη ζην ζρήκα 2).

8 Ο ξόινο ηνπ Αλαθνξηθνύ Ννήκαηνο ζηελ Εθκάζεζε ηεο Άιγεβξαο Τα ιάζε πνπ θάλνπλ νη καζεηέο θαηά ηελ πξώηε πεξίνδν εθκάζεζεο ηεο άιγεβξαο (ιάζε πνπ δελ ηα μεπεξλνύλ πνηέ) εκθαλίδνπλ κεγάιε ζπζηεκαηηθόηεηα [ Carry, Lewis & Bernard (1980), Greeno (1983) θαη Sleeman (1982,1984) ]. Οη καζεηέο παξάγνπλ παξαθαλόλεο από ζπγθξίζεηο πξόηππσλ θαλόλσλ από ηνπο νπνίνπο ζπλάγνπλ λένπο θαλόλεο όπσο θαίλεηαη ζην Σρήκα 3 (Matz 1982). Έλα παξάδεηγκα ζην νπνίν κπνξνύκε λα δηαθξίλνπκε ζαθώο ηηο παξαπάλσ Θεσξίεο είλαη ε εθαξκνγή ηεο επηκεξηζηηθήο ηδηόηεηαο. Δδώ κπνξνύκε λα παξαηεξήζνπκε ηόζν ζθάικαηα ρεηξηζκνύ όζν θαη ζπληαθηηθά ζθάικαηα. Βέβαηα δελ θαίλεηαη πνπζελά ε πξνζπάζεηα ησλ καζεηώλ λα εξκελεύζνπλ ηελ ηδηόηεηα κε θαηαζηάζεηο. Γη απηόλ ηνλ ιόγν νδεγνύκαζηε λα ππνζέζνπκε όηη αλ νη καζεηέο ελζαξξύλνληαλ λα ζπζρεηίδνπλ θαηαζηάζεηο ζα κπνξνύζακε λα πεξηνξίζνπκε ηα ιάζε ηνπο.

9 Άιια ζεσξεηηθά πιαίζηα γηα ηα νπνία γίλεηαη ζπδήηεζε Αξρέο Απιώλ Αιγεβξηθώλ Ηζνδπλακηώλ : Γηα ην πεδίν ησλ παξαζηάζεσλ πνπ εμεηάδνπκε, ε θαηαλόεζε ησλ κεηαζρεκαηηζκώλ θαη ηζνδπλακηώλ ζηεξίδεηαη ζε ηέζζεξηο βαζηθέο αξρέο. Απηέο είλαη νη Αξρέο πνπ ζπρλά παξαβηάδνληαη όηαλ ηα παηδηά δηακνξθώλνπλ εζθαικέλνπο θαλόλεο. Σπγθεθξηκέλα είλαη νη εμήο : Αληηζηξεςηκόηεηα όξσλ ζηελ πξόζζεζε. Με αληηζηξεςηκόηεηα όξσλ ζηελ αθαίξεζε. Σύλζεζε πνζόηεηαο κέζα ζε παξελζέζεηο. Σύλζεζε ησλ κεηαζρεκαηηζκώλ.

10 Εθηίκεζε ηεο Ιζνδπλακίαο Αιγεβξηθώλ Σπκκεηέρνληεο : Μηθξόο αξηζκόο παηδηώλ ειηθίαο εηώλ από 4 δηαθνξεηηθά επίπεδα γαιιηθνύ Γπκλαζίνπ. Υιηθά : Φξεζηκνπνηήζεθε κηα ζεηξά εξσηήζεσλ πνπ δεηήζεθαλ από ηα παηδηά λα απαληεζνύλ ηα εμήο : παξαζηάζεσλ Να πνπλ αλ δύν παξαζηάζεηο είλαη ηζνδύλακεο ή όρη θαη λα εμεγήζνπλ γηαηί. Να πνπλ πνπ κπνξνύλ λα αθαηξεζνύλ νη παξελζέζεηο ζε κηα παξάζηαζε ρσξίο λα αιιάμεη ε ηηκή ηεο θαη λα εμεγήζνπλ γηαηί. Να πνπλ αλ κπνξνύλ λα αθαηξεζνύλ νη παξελζέζεηο από κηα παξάζηαζε ρσξίο λα αιιάμεη ε ηηκή ηεο θαη λα εμεγήζνπλ γηαηί.

11 Εθηίκεζε ηεο Ιζνδπλακίαο Αιγεβξηθώλ παξαζηάζεσλ Γηαδηθαζία : Αξρηθά ηα παηδηά θαινύληαη λα θξίλνπλ παξαζηάζεηο κε γξάκκαηα θαη έπεηηα ηζνδύλακεο αξηζκεηηθέο παξαζηάζεηο σο πξνο ηελ αξρή ηεο αληηζηξεςηκόηεηαο ησλ όξσλ ζηελ πξόζζεζε (όπσο θαίλεηαη ζηελ εηθόλα 1). Έπεηηα ηνπο δεηήζεθε λα εθθξάζνπλ ηηο γλώζεηο ηνπο ζρεηηθά κε ηελ αξρή ηεο κε αληηζηξεςηκόηεηαο ησλ όξσλ ζηελ αθαίξεζε ηόζν κε γξάκκαηα όζν θαη κε αξηζκνύο (όπσο θαίλεηαη ζηελ εηθόλα 2). Έπεηηα ηνπο δεηήζεθε λα εθηηκήζνπλ ηελ ηζνδπλακία αλάκεζα ζε δεύγε παξαζηάζεσλ, ζηα νπνία κεηαηνπίδνληαη νη παξελζέζεηο ελώ δηαηεξείηαη ζηαζεξή ε ζεηξά ησλ γξακκάησλ θαη ησλ ζεκείσλ, θαη ζηελ ζπλέρεηα λα θάλνπλ ην ίδην κε ηα αξηζκεηηθά ηνπο ζηνηρεία (όπσο θαίλεηαη ζηελ εηθόλα 2). Δηθόλα 1 Δηθόλα 1 Δηθόλα 2

12 Εθηίκεζε ηεο Ιζνδπλακίαο Αιγεβξηθώλ παξαζηάζεσλ Δπίζεο ππήξμαλ αξηζκεηηθέο παξαζηάζεηο ζηηο νπνίεο εμέηαζαλ ηελ γλώζε ησλ παηδηώλ ζρεηηθά κε ηελ ζύλζεζε πνζνηήησλ θαη κεηαζρεκαηηζκώλ ξσηώληαο ηα πνπ κπνξνύλ λα βάινπλ παξελζέζεηο ρσξίο λα αιιάμεη ην απνηέιεζκα (όπσο θαίλεηαη ζηελ παξαθάησ)

13 Σξείο ηξαηεγηθέο Εθηίκεζεο Καη ζηα ηξία κέξε ηεο ζπλέληεπμεο ηα παηδηά ρξεζηκνπνίεζαλ κία απ ηηο 3 ζηξαηεγηθέο: 1. ππνινγηζκόο 2. αμηνιόγεζε βαζηζκέλε ζε θαλόλεο 3. πξνζεγγηζηηθή αμηνιόγεζε Τν αμηνζεκείσην εδώ είλαη όηη νη παξαπάλσ ζηξαηεγηθέο πνπ παξνπζηάζηεθαλ από ηα παηδηά ιεηηνύξγεζαλ σο λεζηά γλώζεο ηειείσο μεθνκκέλα κεηαμύ ηνπο. Σπάληα ρξεζηκνπνηνύζαλ ζπζρεηηζκνύο θαη όηαλ ηνπο ρξεζηκνπνηνύζαλ πεξηζζόηεξν δεκηνπξγνύζαλ ζθάικαηα παξά νδεγνύληαλ ζην ζσζηό ηζρπξηζκό.

14 Τπνινγηζκόο Τα παηδηά ζηελ πιεηνλόηεηα ηνπο ππνιόγηδαλ αθόκα θαη όηαλ είραλ παξαζηάζεηο κε γξάκκαηα αληηθαζηζηνύζαλ κε αξηζκνύο γηα λα ειέγμνπλ ηελ ηζνδπλακία. Γηα ηα παηδηά ην λα επαιεζεύζνπλ κε αξηζκνύο απνηειεί θαηά θάπνην ηξόπν κηα «απόδεημε» ηεο νξζόηεηαο ηνπ ηζρπξηζκνύ πνπ εκπηζηεύνληαη λα ρξεζηκνπνηνύλ. Ψζηόζν παξαηεξήζεθαλ ηα εμήο ιάζε : Παραβίαση της μη αντιμεταθετικότητας της αυαίρεσης Γηα παξάδεηγκα έλαο καζεηήο 13 εηώλ ηζρπξίζηεθε όηη ην 11-(7+4) είλαη ηζνδύλακν κε ην ην (7+4) 11. Πξνθαλώο ν παξαπάλσ καζεηήο παξεξκήλεπζε ηνλ θαλόλα «Υπνιόγηδε πξώηα ηηο παξελζέζεηο» αληηζηξέθνληαο νιόθιεξε ηεο θαηεύζπλζε ησλ πξάμεσλ. Καλόλαο πνπ ζα ηνπ έδηλε ζσζηά απνηειέζκαηα ζηελ πξόζζεζε θαη ζα ην ελζάξξπλε λα ηνλ ρξεζηκνπνηήζεη θαη ζε όιεο ηηο άιιεο πξάμεηο ρσξίο λα ππνινγίδεη όηη ε θαηεύζπλζε ηεο αθαίξεζεο είλαη θαζνξηζηηθή γηα ην απνηέιεζκα. Παραβίαση τσπικών κανόνων για το τειρισμό αλγεβρικών παραστάσεων Γηα παξάδεηγκα όηαλ ζε έλαλ καζεηή δόζεθε ε παξάζηαζε 14-(9+3), ν καζεηήο αξρηθά έθαλε ηελ απαινηθή ησλ παξελζέζεσλ ζσζηά αιιά κεηά από ηελ εθηέιεζε ησλ πξάμεσλ θάλεθε ζαλ λα έρεη ηνπνζεηήζεη από κόλνο ηνπ λνεηέο παξελζέζεηο θάλνληαο πξώηα ηελ πξάμε 9-3 θαη έπεηηα αθαηξώληαο από ην 14 ην 6. Όκνηα θαίλεηαη θαη ην δεύηεξν είδνο ζθάικαηνο όπνπ ν καζεηήο θαίλεηαη λα έβαδε λνεηέο παξελζέζεηο πξώηνπ λα ππνινγίζεη ην θάλνληαο πξώηα ηελ πξάμε 7+2 θαη έπεηηα ηελ αθαίξεζε.

15 Αμηνιόγεζε κε βάζε ηνπο Καλόλεο Ζ εθηίκεζε ηεο ηζνδπλακίαο γίλεηαη κέζσ εθαξκνγήο ηππηθώλ θαλόλσλ θάπνηνη από ηνπο νπνίνπο ήηαλ θαλόλεο πνπ είραλ δηδαρζεί ζην ζρνιείν ελώ άιινη ήηαλ παξαθαλόλεο πνπ επηλόεζαλ κόλνη ηνπο νη καζεηέο θαη ηνπο νδεγνύζαλ ζε ζθάικαηα. Τν πξώην ζθάικα αθνξά ηηο παξελζέζεηο. Όηαλ ηνπο δόζεθαλ νη παξαζηάζεηο α+(β-γ) θαη (α+β)-γ ηζρπξίζηεθαλ όηη δελ κπνξνύλ λα είλαη ίζα αθνύ νη όξνη πνπ είλαη κέζα ζηηο παξελζέζεηο είλαη δηαθνξεηηθνί κέλνληαο πξνζεισκέλνη κόλν ζηηο παξελζέζεηο Τν δεύηεξν ζθάικα αθνξά θαη πάιη ηηο παξελζέζεηο θαη θαίλεηαη ην ζθάικα απηό λα πξνέξρεηαη από ηελ παξακόξθσζε ελόο ηππηθνύ θαλόλα. Σύκθσλα κε ηνλ παξαθαλόλα ε ηνπνζέηεζε παξελζέζεσλ ζε νπνηαδήπνηε ζέζε δελ αιιάδεη ην απνηέιεζκα αξθεί λα δηαηεξνύληαη ηα ζεκεία. Σπλεπώο έρνπκε όηη : (α-β)-γ = α-(β-γ) Γύν αθόκα παξαθαλόλεο πνπ ρξεζηκνπνηήζεθαλ αξθεηά ζπρλά ήηαλ νη εμήο: (α-β)+γ = (α+β)-γ α-β+γ = α-γ+β

16 Πξνζεγγηζηηθή Αμηνιόγεζε Δδώ θαίλνληαη θαζαξά νη αξρηθέο πξνζπάζεηεο ησλ καζεηώλ λα θαηαλνήζνπλ ηελ άιγεβξα κε ηα καζεκαηηθά πνπ γλσξίδνπλ ήδε.

17 Καηεγνξίεο Απαληήζεσλ Σύκθσλα κε ηηο απαληήζεηο ηνπο ηα παηδηά θαηαηάρζεθαλ ζηηο εμήο θαηεγνξίεο: Επιηστείς Σσλλογιζμοί για Καηαζηάζεις Εεξ (Γ ) :θαηάιαβε θαζαξά ηε ινγηθή ηνπ θαλόλα αιιαγήο ησλ ζεκείσλ πνπ θαίλεηαη από ηελ ζσζηή ρξήζε ηεο παξάζηαζεο α-β-γ αθνύ γη απηόλ νη δηαδνρηθέο αθαηξέζεηο έρνπλ ζπλδεζεί κε ηηο δηαδνρηθέο κεηώζεηο κίαο αξρηθήο πνζόηεηαο. Δλώ ε αθαίξεζε κηαο παξέλζεζεο α-(β+γ) ζπλδέεηαη πξώηα κε κηα πξάμε αύμεζεο θαη έπεηηα κε κηα πξάμε κείσζεο. Μαλ (Δ ) :ζπκπέξαλε ηνλ θαλόλα ζθεπηόκελνο ηηο ζρέζεηο αλάκεζα ζηηο πνζόηεηεο, κέζσ ππνινγηζκώλ θαηά ηνπο νπνίνπο είρε ζπιιάβεη ηελ αθαίξεζε σο πξάμε κέζσ ηεο νπνίαο ράλεη θάηη, ελώ ε πξόζζεζε γη απηόλ ζπζρεηηδόηαλ κε ην θέξδνο. Δσζκολίες ζηη Σύνδεζη ηης Καηάζηαζης με έναν Τσπικό Κανόνα Φει (Γ ) :δε ρξεζηκνπνίεζε ηελ θαηαλόεζε ηεο θαηάζηαζεο γηα λα παξάγεη κηα ζσζηή ηππηθή παξάζηαζε. Δλώ δειαδή κπνξεί λα θηηάμεη κηα ηζηνξία γηα ηελ παξάζηαζε δελ κπνξεί λα γξάςεη ηελ παξάζηαζε σο 17-(11+4) θαη επηκέλεη λα ηελ γξάθεη σο 17-(11-4) ζπλδπάδνληαο ηελ απώιεηα ησλ βόισλ κε ην κπξνζηά από ην 4. Φαθ (ΣΤ ) :εθάξκνζε ζσζηά ηνλ θαλόλα αιιαγήο ησλ ζεκείσλ, ρσξίο λα δεκηνπξγήζεη κηα ηζηνξία πνπ λα ηαηξηάδεη κε ηηο παξαζηάζεηο. Φαίλεηαη ινηπόλ ν καζεηήο λα ην έρεη κάζεη σο θαλόλα ρσξίο λα κπνξεί λα ηνπ απνδώζεη λόεκα.

18 Καηεγνξίεο Απαληήζεσλ Δσζκολίες ζηη Σύνθεζη Μεηαζτημαηιζμών Σηξο (Γ ) :αθεγήζεθε ζσζηή ηζηνξία, αιιά δελ θαηάθεξε λα ηε ζπλδέζεη κε ηηο αξηζκεηηθέο παξαζηάζεηο. Σηελ δνζείζα παξάζηαζε άξρηζε λα θάλεη πξάμεηο από ην ηέινο πξνο ηελ αξρή θαηαιήγνληαο ζε ζθάικα. Αιί (Γ ) :δπζθνιεύηεθε ζηε ζύλζεζε κεηαζρεκαηηζκνύ ρξεζηκνπνηώληαο πάληα ελδηάκεζν απνηέιεζκα ζηελ δηαδηθαζία επίιπζεο. Δσζκολία ζηη Σύνθεζη Οποιαζδήποηε Ιζηορίας Νηαβ (ΣΤ ) :ρξεζηκνπνίεζε ζύγθξηζε θαη κεηαρεηξίζηεθε ηνπο όξνπο σο θαηαζηάζεηο θη όρη σο κεηαζρεκαηηζκνύο ζέηνληαο ηνπο αξηζκνύο σο βόινπο δηαθνξεηηθώλ παηδηώλ θαη θαηαιήγνληαο ζε παξάδεηγκα πνπ δελ έρεη θαλέλα απνιύησο λόεκα. Τειηθά κε ηελ πξνηξνπή ηνπ εμεηαζηή πξνρώξα ζηελ θαηαζθεπή ελόο πξνβιήκαηνο. Λν (ΣΤ ) :ρξεζηκνπνίεζε ηνπο όξνπο σο θαηαζηάζεηο ζέηνληαο ην 17 σο ηνλ αξηζκό ηνλ αγνξηώλ ελώ ηα 11 θαη 4 σο βόινπο.

19 πιινγηζκνί πάλσ ζε Καηαζηάζεηο : Μεξηθέο Γεληθέο θέςεηο Ζ ζύλζεζε ηζηνξίαο κε ηξείο όξνπο ήηαλ εμαηξεηηθά δύζθνιε γηα όια ηα παηδηά, αλεμάξηεηα κε ηελ θαλνληθή πξόνδν πνπ είραλ ηα παηδηά ζην κάζεκα ησλ καζεκαηηθώλ ζην ζρνιείν. Ζ επίιπζε αξηζκεηηθώλ πξνβιεκάησλ ζηεξίδεηαη ζηελ θαηαζθεπή λνεηώλ κνληέισλ ησλ θαηαζθεπώλ, πνπ πεξηνξίδνπλ ηηο ζρέζεηο αλάκεζα ζηνπο γλσζηνύο θαη ηνπο άγλσζηνπο αξηζκνύο. Οη δπζθνιίεο έγθεηληαη όρη ηόζν ζηνλ εληνπηζκό ζεκαληηθώλ πιεξνθνξηώλ θαη ηνλ πξνζδηνξηζκό ζσζηώλ ζρέζεσλ θαη ζπκβάλησλ, αιιά ζηελ αλαπαξάζηαζε απηώλ ησλ ζρέζεσλ κε ηππηθέο παξαζηάζεηο. Έηζη, ε εξκελεία παξαζηάζεσλ κε αλαθνξηθό ηξόπν είλαη έλαο ζεκαληηθόο πξνθάηνρνο ηεο επηηπρνύο εθκάζεζεο ηεο ηππηθήο άιγεβξαο.

20 πκπεξάζκαηα Ζ δηδαζθαιία ηεο άιγεβξαο δελ ζα πξέπεη λα κέλεη ζην ηππηθό κόλν λόεκα ησλ ελλνηώλ αιιά λα εζηηάδεη θαη ζην αλαθνξηθό αθνύ κόλν κέζσ απηνύ κπνξνύλ νη καζεηέο λα δνπλ ηελ άιγεβξα σο πξαθηηθό εξγαιείν επίιπζεο καζεκαηηθώλ πξνβιεκάησλ θαη λα θαηαιάβνπλ όηη νη αιγεβξηθέο παξαζηάζεηο θαη εμηζώζεηο κπνξνύλ λα απεηθνλίζνπλ ηηο ζρέζεηο πνπ ηζρύνπλ ζηηο θαηαζηάζεηο. Δπηπιένλ ε ηππηθή δηδαζθαιία εληζρύεη ηνλ θνξκαιηζκό, ν νπνίνο από κόλνο ηνπ ζέηεη πεξηνξηζκνύο. Πεξηνξηζκνύο ηνπο νπνίνπο πξνζπαζνύλ λα μεπεξάζνπλ νη καζεηέο δεκηνπξγώληαο παξαθαλόλεο. Έλα θιαζζηθό παξάδεηγκα είλαη ε αληηζηξνθή ηεο αθαίξεζεο. Οη καζεηέο κπνξνύλ λα ζέζνπλ κόλνη ηνπο, ηνπο πεξηνξηζκνύο ησλ θαλόλσλ κόλν όηαλ γλσξίδνπλ ην λόεκα ησλ θαηαζηάζεσλ. Ζ εθκάζεζε ηεο άιγεβξαο είλαη ηαπηόρξνλα ε ζπζρέηηζε ησλ θνξκαιηζκώλ κε ηηο θαηαζηάζεηο θαη ηηο καζεκαηηθέο αξρέο πνπ ηνπο δίλνπλ αλαθνξηθό λόεκα, αιιά ηαπηόρξνλα θαη ε θαηαλόεζε όηη ε άιγεβξα είλαη έλα ηζρπξό ηππηθό ζύζηεκα πνπ εκπεξηέρεη ην ίδην ηνπ ην εζσηεξηθό λόεκα.