Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 2 από 15. Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 4 από 15

Transcript

1 ΠΛΗ 402 Θεωρία Υπολογισμού 2021 ΠΛΗ 402 Θεωρία Υπολογισμού 2021 Θεωρία Υπολογισμού ΠΛΗ 402 Θεωρία Υπολογισμού Περιγραφή Μαθήματος Εαρινό Εξάμηνο 2021 Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Πολυτεχνείο Κρήτης Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 1 από 15 ΠΛΗ 402 Θεωρία Υπολογισμού 2021 Το Μάθημα Στόχοι εισαγωγή στα μαθηματικά των υπολογιστών κατανόηση θεμελιωδών αρχών της υπολογιστικής επιστήμης παρουσίαση μακρόχρονης ιστορίας υπολογιστικής επιστήμης γνωριμία με μια ενεργή ερευνητική περιοχή Καινοτομία συνδυασμός θεωρίας και πράξης βασικά στοιχεία θεωρίας μεταγλωττιστών Ιστοσελίδα ÛÛۺРºØÙºÖ»ÓÙÖ»ÀÅŽ½ ÓÙÖ ººØٺֻРÓÒÓÇÅȼ¾ (αρχείο) ÛÛÛºÒØÐÐÒºØÙºÖ»ØÓÖÝ (παλαιότερο αρχείο) Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 2 από 15 ΠΛΗ 402 Θεωρία Υπολογισμού 2021 Γιατί; Μηχανικοί Υπολογιστών παραπάνω από απλοί προγραμματιστές επίλυση υπολογιστικών προβλημάτων επινόηση αποδοτικών αλγορίθμων ανάγκη ανάλυσης προβλημάτων και αλγορίθμων Επιστήμη Υπολογιστών θεμελίωση της υπολογιστικής επιστήμης κομψή μαθηματική θεωρία ανεξάρτητη από το φυσικό μοντέλο υπολογισμού διαχρονική αξία Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 3 από 15 ΠΛΗ 402 Θεωρία Υπολογισμού 2021 Ωρολόγιο Πρόγραμμα Διαλέξεις Τρίτη, 11πμ 1μμ, διαδικτυακή αίθουσα Παρασκευή, 11πμ 12μμ, διαδικτυακή αίθουσα Φροντιστήριο Πέμπτη, 9πμ 11πμ, διαδικτυακή αίθουσα Εργαστήριο (κατά περίπτωση) Τρίτη, 9πμ 11πμ, διαδικτυακή αίθουσα Επισημάνσεις διαλέξεις/φροντιστήριο θα εναλλάσονται ανάλογα με τη ροή όλες οι δραστηριότητες θα καταγράφονται στο Ημερολόγιο Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 4 από 15 ΠΛΗ 402 Θεωρία Υπολογισμού 2021 Προσωπικό Διδάσκων Μιχαήλ Γ. Λαγουδάκης Αναπληρωτής Καθηγητής, Τομέας Πληροφορικής, ΗΜΜΥ 145.Α35, ÐÓÙ ÒØÐÐÒºØÙºÖ , Συνεργάτες Γεώργιος Ανέστης Μέλος Ε.ΔΙ.Π., ÅÍËÁ Εργαστήριο 141.Β67, Ò ØºØÙºÖ , Νεκτάριος Μουμουτζής Μέλος Ε.ΔΙ.Π., ÅÍËÁ Εργαστήριο 141.Β65.2, ÒØÖºØÙºÖ , Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 5 από 15 ΠΛΗ 402 Θεωρία Υπολογισμού 2021 Συγγράμματα Σύγγραμμα 1 ÀÖÖÝ Êº ÄÛ και Χρίστος Χ. Παπαδημητρίου Στοιχεία Θεωρίας Υπολογισμού Εκδόσεις Κριτική, 2005 Κωδικός στον Εύδοξο: Σύγγραμμα 2 ÅÐ ËÔ Ö Εισαγωγή στη Θεωρία Υπολογισμού Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, 2019 Κωδικός στον Εύδοξο: Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 6 από 15 ΠΛΗ 402 Θεωρία Υπολογισμού 2021 Πρόσθετο Διδακτικό Υλικό Σύγγραμμα με Ασκήσεις Παναγιώτης Κατσαρός Θεωρία Υπολογισμού και Εφαρμογές Αποθετήριο «Κάλλιπος», 2016 Κωδικός στον Εύδοξο: ÌÜØÓÓ ÜØÖ º ÃÓÞÒ ÌÓÖÝ Ó ÓÑÔÙØØÓÒ Ηλεκτρονικό Βιβλίο, ËÔÖÒÖ, 2006 Κωδικός στον Εύδοξο: Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 7 από 15 Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 8 από 15

2 ΠΛΗ 402 Θεωρία Υπολογισμού 2021 Βιβλιογραφία Σημειώσεις Διαφάνειες διαλέξεων εαρινού εξαμήνου 2020 Βοηθήματα ÀÖÖÝ Êº ÄÛ Ò Ö ØÓ Àº ÈÔÑØÖÓÙ ÐÑÒØ Ó Ø ÌÓÖÝ Ó ÓÑÔÙØØÓÒ ÈÖÒعÀÐÐ ¾Ò ØÓÒ ½º (βιβλιοθήκη) ÅÐ ËÔ Öº ÁÒØÖÓÙØÓÒ ØÓ Ø ÌÓÖÝ Ó ÓÑÔÙØØÓÒ ÌÓÑ ÓÒ ÓÙÖ ÌÒÓÐÓÝ ¾¼¼º ÂÓÒ º ÀÓÔÖÓØ Ò ÂÖÝ º ÍÐÐÑÒº ÁÒØÖÓÙØÓÒ ØÓ ÙØÓÑØ ÌÓÖÝ ÄÒÙ Ò ÓÑÔÙØØÓÒ ÓÒ¹Ï ÐÝ ½º ÅРʺ ÖÝ Ò Ú Ëº ÂÓÒ ÓÒº ÓÑÔÙØÖ Ò ÁÒØÖØÐØÝ Ù ØÓ Ø ÌÓÖÝ Ó N P¹ÓÑÔÐØÒ ÏºÀº ÖÑÒ ½º ÖРƺ Ö Ò ÊÖ Âº ÄÐÒ ÂÖº ÖØÒ ÓÑÔÐÖ ÛØ ÒÑÒ»ÙÑÑÒ ½½º (βιβλιοθήκη) ΠΛΗ 402 Θεωρία Υπολογισμού 2021 Υλη Μαθήματος Α Μέρος σύνολα, σχέσεις, αλφάβητα και γλώσσες κανονικές γλώσσες και πεπερασμένα αυτόματα εφαρμογή: λεκτική ανάλυση και το ÐÜ εργαλείο γλώσσες χωρίς συμφραζόμενα και αυτόματα στοίβας εφαρμογή: συντακτική ανάλυση και το ÓÒ εργαλείο Β Μέρος αναδρομικές γλώσσες και ÌÙÖÒ μηχανές επιλυσιμότητα και μη επιλυσιμότητα υπολογιστική πολυπλοκότητα και οι κλάσεις P και N P N P-πληρότητα και αναγωγές εφαρμογή: εκτίμηση δυσκολίας, προσεγγιστικοί αλγόριθμοι Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 9 από 15 ΠΛΗ 402 Θεωρία Υπολογισμού 2021 Υποχρεώσεις Γραπτές Ασκήσεις (βάσει επιλογής) ασκήσεις εφ όλης της θεωρητικής ύλης (φροντιστήρια) στόχος: καλύτερη κατανόηση των εννοιών, προετοιμασία επιτρεπτή η συνεργασία, ατομική η καταγραφή Εργασία Προγραμματισμού (ατομική) λεκτική ανάλυση (ÐÜ) και συντακτική ανάλυση ( ÓÒ) στόχος: εμπειρία εφαρμογής στους μεταγλωττιστές Προφορική Εργαστηριακή Εξέταση ερωτήσεις επί της ατομικής εργασίας προγραμματισμού ερωτήσεις σε θέματα λεκτικής και συντακτικής ανάλυσης Γραπτή Εξέταση θέματα εφ όλης της θεωρητικής ύλης (ανοικτά βιβλία) Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 10 από 15 ΠΛΗ 402 Θεωρία Υπολογισμού 2021 Επιλογές Φοιτητών Επιλογή Α υποχρεώσεις μοιρασμένες στη διάρκεια του εξαμήνου τέσσερις σειρές γραπτών ασκήσεων μία εργασία προγραμματισμού (με εργαστηριακή εξέταση) μία γραπτή εξέταση Επιλογή Β υποχρεώσεις μόνο προς το τέλος του εξαμήνου μία εργασία προγραμματισμού (με εργαστηριακή εξέταση) μία γραπτή εξέταση Δηλώσεις: Α ή Β δηλώσεις Α στην αρχή του εξαμήνου και δεν μεταβάλλονται μη δηλωθέντες εντάσσονται αυτόματα στην Επιλογή Β Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 11 από 15 ΠΛΗ 402 Θεωρία Υπολογισμού 2021 Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 12 από 15 ΠΛΗ 402 Θεωρία Υπολογισμού 2021 Βαθμολογία Επιλογή Α γραπτές ασκήσεις (25%) εργασία προγραμματισμού (25%) γραπτή εξέταση (50%) Επιλογή Β εργασία προγραμματισμού (25%) γραπτή εξέταση (75%) Επισημάνσεις προσοχή! όλα τα παραπάνω (ανά επιλογή) είναι υποχρεωτικά περιορισμός: βαθμός σε κάθε ένα τουλάχιστον 40/100 βαθμοί ασκήσεων, εργασιών διατηρούνται για επόμενα έτη Ερωτήσεις; Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 13 από 15 ΠΛΗ 402 Θεωρία Υπολογισμού 2021 Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 14 από 15 ΠΛΗ 402 Θεωρία Υπολογισμού η Διάλεξη Καλό Ξεκίνημα! Θεωρία Υπολογισμού Σύνολα και Σχέσεις Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 15 από 15 Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 1 από 24

3 ΠΛΗ 402 Θεωρία Υπολογισμού η Διάλεξη Περίγραμμα ΠΛΗ 402 Θεωρία Υπολογισμού η Διάλεξη Λογικές προτάσεις Σύνολα ορισμός, αναπαράσταση, πράξεις και ιδιότητες, διαμέριση μέγεθος συνόλων, απειροσύνολα, ιδιότητες απειροσυνόλων Διατεταγμένα ζεύγη ορισμός, Καρτεσιανό γινόμενο, διαφορές από σύνολα Σχέσεις δυαδικές σχέσεις, γραφική αναπαράσταση, ειδικοί τύποι σχέσεις ισοδυναμίας, κλάσεις ισοδυναμίας Η λέξη πεπόνι έχει περισσότερα π απ ότι ι. Η λέξη πεπόνι έχει περισσότερα ν απ ότι π. Προτάσεις: αληθείς ή ψευδείς Η λέξη πεπόνι έχει περισσότερα π απ ότι ι και η λέξη επιρροή έχει δύο συνεχόμενα ρ. Προτασιακές σχέσεις Συναρτήσεις ορισμός, ειδικοί τύποι, πράξεις Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 2 από 24 ΠΛΗ 402 Θεωρία Υπολογισμού η Διάλεξη Λογικοί σύνδεσμοι Εστω ότι τα p και q είναι λογικές προτάσεις: p Λογική άρνηση όχι p p q Λογική σύζευξη p και q p q Λογική διάζευξη p ή q p q Λογική συνεπαγωγή (p q) ( p q) αν p τότε q p q Λογική ισοδυναμία (p q) ((p q) (q p)) p ανν q Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 3 από 24 ΠΛΗ 402 Θεωρία Υπολογισμού η Διάλεξη Λογικοί σύνδεσμοι Πίνακες αληθείας p q p p q p q p q p q T T F T T T T T F F F T F F F T T F T T F F F T F F T T Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 4 από 24 ΠΛΗ 402 Θεωρία Υπολογισμού η Διάλεξη Σύνολα Ορισμός συλλογή από αντικείμενα (στοιχεία), π.χ. L = {a, b, c, d} όχι επαναλήψεις ή διάταξη, K = {a, b, b} = {a, b} = {b, a} πληθικός αριθμός συνόλου: L μέλη συνόλου: b L (ανήκει), f L (δεν ανήκει) τελεστές: x L (καθολικός), x L (υπαρξιακός) Ειδικά σύνολα κενό σύνολο: κανένα στοιχείο, ή {} μονοσύνολο: ένα στοιχείο, {a} Προσοχή: {a} a υποσύνολο: M L (κάθε στοιχείο του M ανήκει στο L) γνήσιο υποσύνολο: K L δυναμοσύνολο: το σύνολο όλων των υποσυνόλων, 2 L Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 5 από 24 ΠΛΗ 402 Θεωρία Υπολογισμού η Διάλεξη Αναπαράσταση συνόλων Παράθεση L = {a, b, c, d, e, f, g} K = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} M = {a, 4, {3, g}, Κρήτη} Απαρίθμηση N = {0, 1, 2, 3,...} E = {0, 2, 4, 6,...} N = {x : x είναι μη-αρνητικός ακέραιος} Κανόνας E = {x : (x N) (x διαιρείται ακριβώς με το 2)} Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 6 από 24 ΠΛΗ 402 Θεωρία Υπολογισμού η Διάλεξη Πράξεις συνόλων Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 7 από 24 ΠΛΗ 402 Θεωρία Υπολογισμού η Διάλεξη Ιδιότητες πράξεων συνόλων Ισότητα = A = B (A B) (B A ) Ενωση A B = {x : (x A) (x B)} S = {x : P S, x P } Τομή A B = {x : (x A) (x B)} S = {x : P S, x P } Διαφορά A B = {x : (x A) (x B)} Ανακλαστική Αντιμεταθετική Προσεταιριστική Επιμεριστική Απορροφ. στοιχείο ÅÓÖÒ Νόμοι A A = A, A A = A A B = B A, A B = B A (A B) C = A (B C), (A B) C = A (B C) A (B C) = (A B) (A C), A (B C) = (A B) (A C) A (A B) = A, A (A B) = A A (B C) = (A B) (A C), A (B C) = (A B) (A C) Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 8 από 24 Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 9 από 24

4 ΠΛΗ 402 Θεωρία Υπολογισμού η Διάλεξη Διαμέριση συνόλου Το σύνολο Π είναι διαμέριση του A, εάν: A Π 2 A Π P 1, P 2 Π, P 1 P 2 : P 1 P 2 = Π = A Παραδείγματα Π = { {a, b}, {c}, {d} } είναι διαμέριση του L = {a, b, c, d} Π = { {0, 2, 4,...}, {1, 3, 5,...} } είναι διαμέριση του N Π = { A } είναι διαμέριση του A ΠΛΗ 402 Θεωρία Υπολογισμού η Διάλεξη Διατεταγμένα ζεύγη Σχέσεις αριθμός είναι μικρότερος από αριθμό άνθρωπος είναι πατέρας του ανθρώπου φοιτητής έχει περάσει το μάθημα Πρόβλημα αναπαραστάση σχέσεων με σύνολα; χρειαζόμαστε διάταξη Διατεταγμένο ζεύγος (a, b) (a, b) {a, b} (a, b) (b, a) (a, a) αποδεκτό, ενώ {a, a} μη αποδεκτό (a, b) = (c, d) ανν ( (a = c) (b = d) ) Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 10 από 24 ΠΛΗ 402 Θεωρία Υπολογισμού η Διάλεξη Καρτεσιανό γινόμενο Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 11 από 24 ΠΛΗ 402 Θεωρία Υπολογισμού η Διάλεξη Σχέσεις Ορισμός Το Καρτεσιανό γινόμενο A B δύο συνόλων A και B είναι το σύνολο όλων των διατεταγμένων ζευγών (a, b) με a A και b B. A B = { (a, b) : (a A) (b B) } Παραδείγματα {1, 3} {b, c, d} = { (1, b), (1, c), (1, d), (3, b), (3, c), (3, d) } {a, b} {a, b} = { (a, a), (a, b), (b, a), (b, b) } N N = { (0, 0), (0, 1),..., (1, 0), (1, 1),..., (2, 0), (2, 1),... } Μια (δυαδική) σχέση μεταξύ των συνόλων A και B είναι ένα υποσύνολο του A B. Ορισμός Παραδείγματα {(1, b), (1, c), (1, d)}: σχέση μεταξύ των {1, 3} και {b, c, d} {(i, j) : (i N) (j N) (i < j)}: είναι μικρότερος από {(s, c) : (s φοιτητές) (c μαθήματα) (βαθμός s στο c 5)} Η αντίστροφη σχέση R 1 B A μιας δυαδικής σχέσης R A B ορίζεται ως R 1 = {(b, a) : (a, b) R}. Ορισμός Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 12 από 24 ΠΛΗ 402 Θεωρία Υπολογισμού η Διάλεξη Γραφική αναπαράσταση σχέσεων Εστω η δυαδική σχέση R A A. Διδιάστατος πίνακας Κατευθυνόμενο γράφημα κόμβοι (στοιχεία) ακμές με κατεύθυνση (διατεταγμένα ζεύγη) Μη κατευθυνόμενο γράφημα (συμμετρικές σχέσεις) κόμβοι (στοιχεία) ακμές χωρίς κατεύθυνση (συμμετρικά διατεταγμένα ζεύγη) Ορισμοί μονοπάτι: ακολουθία (a 1, a 2,..., a n ) ώστε (a i, a i+1 ) R κύκλος: μονοπάτι με (a n, a 1 ) R και a i όλα διαφορετικά Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 13 από 24 ΠΛΗ 402 Θεωρία Υπολογισμού η Διάλεξη Ειδικοί τύποι δυαδικών σχέσεων (1) Εστω η δυαδική σχέση R A A. Ανακλαστική για κάθε a A, (a, a) R ακμή (βρόχος) από κάθε κόμβο στον εαυτό του Συμμετρική αν (a, b) R, τότε (b, a) R ακμές και προς τις δύο κατευθύνσεις Αντισυμμετρική αν (a, b) R και a b, τότε (b, a) / R ακμή μόνο προς τη μία κατεύθυνση (για διαφορετικά στοιχεία) Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 14 από 24 ΠΛΗ 402 Θεωρία Υπολογισμού η Διάλεξη Ειδικοί τύποι δυαδικών σχέσεων (2) Μεταβατική αν (a, b) R και (b, c) R, τότε (a, c) R αν υπάρχει μονοπάτι από το a στο c, τότε και ακμή a c Ισοδυναμίας ανακλαστική, συμμετρική και μεταβατική μη κατευθυνόμενος γράφος, συνεκτικές συνιστώσες (πλήρεις) Μερικής διάταξης ανακλαστική, αντισυμμετρική και μεταβατική Ολικής διάταξης μερικής διάταξης και a 1, a 2 A : ( (a 1, a 2 ) R ) ( (a 2, a 1 ) R ) Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 15 από 24 ΠΛΗ 402 Θεωρία Υπολογισμού η Διάλεξη Κλάσεις ισοδυναμίας Σχέση ισοδυναμίας ανακλαστική, συμμετρική και μεταβατική Κλάσεις ισοδυναμίας συνεκτικές συνιστώσες (μη κατευθυνόμενοι πλήρεις γράφοι) [a]: κλάση ισοδυναμίας που περιέχει το a [a] = {b : (a, b) R} Εστω R μια σχέση ισοδυναμίας σε ένα μη κενό σύνολο A. Τότε οι κλάσεις ισοδυναμίας της σχέσης R αποτελούν διαμέριση του συνόλου A. Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 16 από 24 Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 17 από 24

5 ΠΛΗ 402 Θεωρία Υπολογισμού η Διάλεξη Γενίκευση Διατεταγμένες πλειάδες (a 1, a 2,..., a n ), όπου n N δυάδα (ζεύγος), τριάδα, τετράδα, πεντάδα, εξάδα,..., n άδα n αδικό Καρτεσιανό γινόμενο A 1 A 2... A n = { (a 1, a 2,..., a n ) : a i A i, i = 1,..., n } A A... A = A n n αδικές σχέσεις R A 1 A 2... A n μοναδιαίες, δυαδικές, τριαδικές, τετραδικές,..., n αδικές ΠΛΗ 402 Θεωρία Υπολογισμού η Διάλεξη Συναρτήσεις Ορισμός Μία συνάρτηση f από ένα σύνολο A σε ένα σύνολο B, f : A B, είναι μία δυαδική σχέση R A B, όπου για κάθε στοιχείο a A υπάρχει ακριβώς ένα διατεταγμένο ζεύγος (a, b) της σχέσης R με πρώτο στοιχείο το a. f(a) = b: τιμή ή εικόνα του a A A: πεδίο ορισμού, B: πεδίο τιμών (εικόνα του A) Παράδειγμα f : {φοιτητές ΠΛΗ 402} {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} Γενίκευση f : A 1 A 2... A n B, f(a 1, a 2,..., a n ) = b a 1, a 2,..., a n : ορίσματα ή μεταβλητές, f(a 1, a 2,..., a n ) τιμή Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 18 από 24 ΠΛΗ 402 Θεωρία Υπολογισμού η Διάλεξη Ιδιότητες συναρτήσεων Εστω συνάρτηση f : A B. Ενα προς ένα a, a A, a a : f(a) f(a ) Επί b B, a A: f(a) = b Αμφιμονοσήμαντη η f είναι ένα προς ένα και επί Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 19 από 24 ΠΛΗ 402 Θεωρία Υπολογισμού η Διάλεξη Πράξεις συναρτήσεων Εστω συναρτήσεις f : A B και g : B C. Αντιστροφή Η f 1 : B A δεν είναι πάντα συνάρτηση f αμφιμονοσήμαντη f 1 αμφιμονοσήμαντη f 1 (f(a)) = a και f(f 1 (b)) = b (f g) : A C Σύνθεση (f g)(a) = g(f(a)) Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 20 από 24 ΠΛΗ 402 Θεωρία Υπολογισμού η Διάλεξη Πεπερασμένα και άπειρα σύνολα Μέγεθος (πληθικός αριθμός) συνόλου A ο αριθμός των στοιχείων που περιέχει, A = 0, N =, ( A B ) = ( A B ) ποιο είναι μεγαλύτερο: οι άρτιοι αριθμοί ή οι δυνάμεις του 2; Χαρακτηρισμοί συνόλων A, B ισάριθμα: αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία f : A B A πεπερασμένο: ισάριθμο με το {1, 2, 3,..., n}, n N A άπειρο: μη πεπερασμένο Δεν είναι όλα τα άπειρα σύνολα ισάριθμα! A μετρήσιμα άπειρο: ισάριθμο με το N A μετρήσιμο: πεπερασμένο ή μετρήσιμα άπειρο A μη μετρήσιμο: όχι πεπερασμένο, όχι μετρήσιμα άπειρο Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 21 από 24 ΠΛΗ 402 Θεωρία Υπολογισμού η Διάλεξη Ιδιότητες απειροσυνόλων Η ένωση μιας πεπερασμένης συλλογής μετρήσιμα άπειρων συνόλων είναι μετρήσιμα άπειρο σύνολο. Η ένωση μιας μετρήσιμα άπειρης συλλογής μετρήσιμα άπειρων συνόλων είναι μετρήσιμα άπειρο σύνολο. χρήση της μεθόδου ουράς ÓÚØÐÒµ περιστεριού Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 22 από 24 ΠΛΗ 402 Θεωρία Υπολογισμού η Διάλεξη Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 23 από 24 ΠΛΗ 402 Θεωρία Υπολογισμού η Διάλεξη Μελέτη Σύγγραμμα 1 ÀÖÖÝ Êº ÄÛ και Χρίστος Χ. Παπαδημητρίου Στοιχεία Θεωρίας Υπολογισμού Ενότητες 1.1, 1.2, 1.3, 1.4 Σύγγραμμα 2 ÅÐ ËÔ Ö Εισαγωγή στη Θεωρία Υπολογισμού Ενότητες 0.1, 0.2, 0.3, 0.4 Θεωρία Υπολογισμού Τεχνικές ς Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 24 από 24 Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 1 από 15

6 ΠΛΗ 402 Θεωρία Υπολογισμού η Διάλεξη Επανάληψη Σύνολα ορισμός, αναπαράσταση, πράξεις και ιδιότητες, διαμέριση μέγεθος συνόλων, απειροσύνολα, ιδιότητες απειροσυνόλων Διατεταγμένα ζεύγη ορισμός, Καρτεσιανό γινόμενο, διαφορές από σύνολα Σχέσεις ΠΛΗ 402 Θεωρία Υπολογισμού η Διάλεξη Περίγραμμα Θεμελιώδεις τεχνικές απόδειξης Γενίκευση Επαγωγή Αρχή του Περιστεριώνα Διαγωνιοποίηση δυαδικές σχέσεις, γραφική αναπαράσταση, ειδικοί τύποι σχέσεις ισοδυναμίας, κλάσεις ισοδυναμίας Συναρτήσεις ορισμός, ειδικοί τύποι, πράξεις Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 2 από 15 ΠΛΗ 402 Θεωρία Υπολογισμού η Διάλεξη Ιδιοτήτων Συνόλων Πρόβλημα Δεδομένου ενός συνόλου S θέλουμε να αποδείξουμε ότι ισχύει κάποια ιδιότητα για όλα τα στοιχεία του συνόλου S. Παράδειγμα 1 Αποδείξτε ότι τα στοιχεία του S = {0, 2, 4, 6, 8} είναι άρτιοι. ιδέα: δείχνουμε ότι ισχύει η ιδιότητα για κάθε στοιχείο του S Παράδειγμα 2 Αποδείξτε ότι τα στοιχεία του S = {6n : n N} είναι άρτιοι. απόδειξη της ιδιότητας για κάθε στοιχείο; δεν τελειώνει ποτέ! Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 3 από 15 ΠΛΗ 402 Θεωρία Υπολογισμού η Διάλεξη (ÒÖÐÞØÓÒµ Γενίκευση Γενίκευση Για να αποδείξουμε μια ιδιότητα για όλα τα στοιχεία ενός μεγάλου συνόλου (ή και απειροσυνόλου) S, αρκεί να δείξουμε ότι ισχύει για ένα γενικό στοιχείο του S! Παράδειγμα Αποδείξτε ότι τα στοιχεία του S = {6n : n N} είναι άρτιοι. ιδέα: ένα γενικό στοιχείο του S είναι το x = 6n S. όμως, x = 6n = 2(3n) είναι άρτιος, ως πολλαπλάσιο του 2. εφόσον ισχύει η ιδιότητα για το γενικό στοιχείο x S, θα ισχύει για κάθε στοιχείο του S, δηλαδή για όλα! συνεπώς, όλα τα στοιχεία του S είναι άρτιοι αριθμοί! Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 4 από 15 ΠΛΗ 402 Θεωρία Υπολογισμού η Διάλεξη ÁÒÙØÓÒµ Επαγωγή Απλή διατύπωση Εάν βρίσκομαι στο πρώτο σκαλοπάτι μιας σκάλας και ξέρω να ανεβαίνω από ένα σκαλοπάτι στο επόμενο, τότε μπορώ να ανέβω ολόκληρη τη σκάλα. Αρχή της επαγωγής Εάν A N και 0 A και n N, αν {0, 1,..., n} A, τότε και n + 1 A, τότε A = N. Εφαρμογή: n N ισχύει η ιδιότητα P βασικό βήμα: η P ισχύει για το 0 επαγωγική υπόθεση: έστω ότι η P ισχύει για 0, 1,..., n επαγωγικό βήμα: τότε η P ισχύει και για n + 1 Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 5 από 15 ΠΛΗ 402 Θεωρία Υπολογισμού η Διάλεξη Παραδείγματα Επαγωγής Δείξτε ότι n i=0 i = (n2 + n)/2 για κάθε n N βασικό βήμα: 0 i=0 i = 0 = (02 + 0)/2 ισχύει για το 0 επαγωγική υπόθεση: έστω ότι ισχύει για 0, 1, 2,..., k επαγωγικό βήμα: k+1 k i = k i = k k2 + k 2 i=0 i=0 = (k + 1)2 + (k + 1) 2 Δείξτε ότι n! 2 n 1 για κάθε n N + βασικό βήμα: 1! = = 2 0 = 1 ισχύει για το 1 επαγωγική υπόθεση: έστω ότι ισχύει για 1, 2, 3,..., k επαγωγικό βήμα: (k + 1)! = (k + 1)k! (k + 1)2 k 1 2 k Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 6 από 15 ΠΛΗ 402 Θεωρία Υπολογισμού η Διάλεξη Ιδιότητες Αρχής της Επαγωγής Επαγωγή και φυσικοί αριθμοί Η επαγωγή συνδέεται στενά με τους φυσικούς αριθμούς. Βασίζεται στο ότι υπάρχει κάποιο ελάχιστο στοιχείο (0) και ότι κάθε άλλο στοιχείο είναι προσβάσιμο από αυτό με κάποια πράξη (προσαύξηση φυσικού αριθμού κατά 1). Επαγωγή σε άλλα σύνολα πρέπει να υπάρχει η δυνατότητα πλήρους διάταξης στοιχείων πρέπει να υπάρχει κάποιο «ελάχιστο στοιχείο» πρέπει κάθε στοιχείο να είναι προσβάσιμο από το ελάχιστο πρέπει η μετάβαση να γίνεται μέσω κάποιας πράξης πρέπει η ιδιότητα να διατηρείται κατά την μετάβαση Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 7 από 15 ΠΛΗ 402 Θεωρία Υπολογισμού η Διάλεξη Αρχή ÈÓÒ¹ÀÓÐ ÈÖÒÔе Περιστεριώνα Απλή διατύπωση Εάν τα περιστέρια είναι περισσότερα από τους περιστεριώνες, θα πρέπει αναγκαστικά να βάλεις περισσότερα από ένα περιστέρια σε κάποιον περιστεριώνα. Αρχή του περιστεριώνα Εάν A και B είναι πεπερασμένα σύνολα και A > B, τότε δεν υπάρχει ένα προς ένα συνάρτηση f : A B. Εφαρμογή: εξαιρετικά ευρεία : Εστω μια δυαδική σχέση R A A και έστω a, b A. Αν υπάρχει κάποιο μονοπάτι a b στην R, τότε πρέπει να υπάρχει και μονοπάτι a b μήκους το πολύ A. Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 8 από 15 Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 9 από 15

7 ΠΛΗ 402 Θεωρία Υπολογισμού η Διάλεξη Αρχής Περιστεριώνα Αρχή του περιστεριώνα Εάν A και B είναι πεπερασμένα σύνολα και A > B, τότε δεν υπάρχει ένα προς ένα συνάρτηση f : A B. βάσει μαθηματικής επαγωγής στο μέγεθος του συνόλου B βασικό βήμα: B = 0, B =, δεν υπάρχει 1-1 f : A B επαγωγική υπόθεση: για B k, δεν υπάρχει 1-1 f : A B επαγωγικό βήμα: έστω 1-1 f : A B, A > B, B = k+1 επιλέγω στοιχείο a A που απεικονίζεται στο f(a) αν υπάρχει a A με f(a ) = f(a), τότε η f δεν είναι 1-1 αλλιώς, εφαρμογή υπόθεσης στην f : A {a} B {f(a)} ΠΛΗ 402 Θεωρία Υπολογισμού η Διάλεξη Παράδειγμα Αρχής Περιστεριώνα Άσκηση Δείξτε ότι σε κάθε σύνολο ανθρώπων υπάρχουν τουλάχιστον δύο που έχουν τον ίδιο αριθμό γνωριμιών μέσα στο σύνολο. [Σημ: η σχέση «γνωρίζω» είναι συμμετρική και ανακλαστική.] σύνολο n ανθρώπων A, άνθρωπος j A έχει k j γνωριμίες B {0, 1,..., n}: το σύνολο των δυνατών τιμών για κάθε k j λόγω ανακλαστικότητας: k j 0 ή 0 B, άρα B n i, k i = 1: τότε j : k j n, B {1, 2,..., n 1}, B n 1 i, k i = 1: τότε j : k j 1, B {2, 3, 4,..., n}, B n 1 εφαρμογή αρχής περιστεριώνα: A = n > n 1 B Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 10 από 15 ΠΛΗ 402 Θεωρία Υπολογισμού η Διάλεξη ÓÒÐÞØÓÒµ Διαγωνιοποίηση Απλή διατύπωση Το συμπλήρωμα της διαγωνίου διαφέρει από κάθε γραμμή. Αρχή της διαγωνιοποίησης Εστω R μια δυαδική σχέση σε ένα σύνολο A, D το διαγώνιο σύνολο της R, {a : a A (a, a) R}, και a A, R a = {b : b A (a, b) R}, τότε το D είναι διαφορετικό απ όλα τα R a. Εφαρμογή: ιδιαίτερα ευρεία στη Θ.Υ. ÓÖ ÒØÓÖ ½½½µ: Το σύνολο 2 N είναι μη μετρήσιμο. Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 11 από 15 ΠΛΗ 402 Θεωρία Υπολογισμού η Διάλεξη Παράδειγμα Διαγωνιοποίησης δυαδική σχέση R A A, όπου A = {a, b, c, d, e, f} R a b c d e f a b c d e f διαγώνιο σύνολο D = {a, d, f} (συμπλήρωμα της διαγωνίου) Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 12 από 15 ΠΛΗ 402 Θεωρία Υπολογισμού η Διάλεξη Παράδειγμα Διαγωνιοποίησης ÒØÓÖ: Το σύνολο 2 N είναι μη μετρήσιμο. έστω ότι είναι μετρήσιμο, τότε 2 N = {R 0, R 1, R 2,..., R k,...} k... R 0 R 1. R k!. διαγώνιο σύνολο D = {n N : n R n } N, άρα D 2 N όμως το D διαφέρει από κάθε R k, λόγω του στοιχείου k N Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 13 από 15 ΠΛΗ 402 Θεωρία Υπολογισμού η Διάλεξη Μελέτη Σύγγραμμα 1 ÀÖÖÝ Êº ÄÛ και Χρίστος Χ. Παπαδημητρίου Στοιχεία Θεωρίας Υπολογισμού Ενότητες 1.5 Σύγγραμμα 2 ÅÐ ËÔ Ö Εισαγωγή στη Θεωρία Υπολογισμού Ενότητες 0.4 Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 14 από 15 ΠΛΗ 402 Θεωρία Υπολογισμού η Διάλεξη Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 15 από 15 ΠΛΗ 402 Θεωρία Υπολογισμού η Διάλεξη Επανάληψη Θεωρία Υπολογισμού Αλφάβητα και Γλώσσες Κανονικές Εκφράσεις Θεμελιώδεις τεχνικές απόδειξης Γενίκευση Επαγωγή Αρχή του Περιστεριώνα Διαγωνιοποίηση Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 1 από 19 Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 2 από 19

8 ΠΛΗ 402 Θεωρία Υπολογισμού η Διάλεξη ΠΛΗ 402 Θεωρία Υπολογισμού η Διάλεξη Περίγραμμα Αλφάβητα και συμβολοσειρές ορισμός, πράξεις, ειδικοί τύποι Γλώσσες Αλφάβητα ορισμός, πράξεις, αναπαράσταση Κανονικές εκφράσεις ορισμός, παραγωγή συμβολοσειρών Κανονικές γλώσσες γλώσσες παραγόμενες από κανονικές εκφράσεις Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 3 από 19 ΠΛΗ 402 Θεωρία Υπολογισμού η Διάλεξη Αλφάβητα και Συμβολοσειρές Αλφάβητο ÐÔص πεπερασμένο σύνολο συμβόλων π.χ. Σ = {Α,Β,..., Ω}, Σ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, +,,, /} δυαδικό αλφάβητο Σ = {0, 1} Συμβολοσειρά ØÖÒµ ενός αλφαβήτου πεπερασμένη ακολουθία συμβόλων του αλφαβήτου π.χ. ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ, /17 24, κενή συμβολοσειρά: e Ολοκλήρωση Σ σύνολο όλων των συμβολοσειρών του αλφαβήτου Σ Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 4 από 19 ΠΛΗ 402 Θεωρία Υπολογισμού η Διάλεξη Συμβολοσειρές (συνέχεια) Μήκος w μιας συμβολοσειράς w το μήκος της ακολουθίας ή το πλήθος των συμβόλων hello = 5, e = 0, 3.14 = 4, /17 24 = 13 Συμβολοσειρά ως συνάρτηση w : {1, 2,..., w } Σ w(j) = c, το σύμβολο c εμφανίζεται στη j οστή θέση της w Παράδειγμα w = hello w : {1, 2, 3, 4, 5} {a, b, c, d, e,..., x, y, z} w(1) = h, w(2) = e, w(3) = w(4) = l, w(5) = o Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 5 από 19 ΠΛΗ 402 Θεωρία Υπολογισμού η Διάλεξη Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 6 από 19 ΠΛΗ 402 Θεωρία Υπολογισμού η Διάλεξη ÓÒØÒØÓÒµ Παράθεση Παράθεση συμβολοσειρών x y ή xy Υποσυμβολοσειρά, πρόθεμα, κατάληξη η συμβολοσειρά x ακολουθούμενη από την y π.χ. hello mary = hellomary ορισμός: w = x y ανν... w = x + y, w(j) = x(j) για j = 1,..., x, και w( x + j) = y(j) για j = 1,..., y επανάληψη w i : w i+1 = w i w, i N, w 0 = e Ιδιότητες προσεταιριστική: (wx)y = w(xy) ουδέτερο στοιχείο: xe = ex = x ÔÖÜ Ùܵ Ù ØÖÒ Ορισμοί η u είναι υποσυμβολοσειρά της w ανν ( x, y)(w = xuy) η u είναι πρόθεμα της w ανν ( y)(w = uy) η u είναι κατάληξη της w ανν ( x)(w = xu) Παραδείγματα η road είναι υποσυμβολοσειρά της broader η road είναι πρόθεμα της roadrunner η road είναι κατάληξη της abroad Παρατηρήσεις κάθε συμβολοσειρά είναι υποσυμβολοσειρά του εαυτού της το e είναι υποσυμβολοσειρά κάθε συμβολοσειράς Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 7 από 19 ΠΛΗ 402 Θεωρία Υπολογισμού η Διάλεξη Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 8 από 19 ΠΛΗ 402 Θεωρία Υπολογισμού η Διάλεξη Αντίστροφη συμβολοσειρά w R η αντίστροφη της w η w διαβασμένη από το τέλος προς την αρχή π.χ. w = reverse, w R = esrever Γλώσσες Ορισμός με επαγωγή Αν w = 0, τότε w R = w = e. Αν w = n + 1 > 0, τότε a Σ, w = ua και w R = au R. Για όλες τις συμβολοσειρές w και x, (wx) R = x R w R. επαγωγή ως προς το μήκος της x Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 9 από 19 Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 10 από 19

9 ΠΛΗ 402 Θεωρία Υπολογισμού η Διάλεξη Γλώσσες ÐÒÙ µ Γλώσσα L Μια γλώσσα L με αλφάβητο Σ είναι ένα υποσύνολο του Σ. L = {w Σ : η w έχει την ιδιότητα P } π.χ., Σ, Σ, { w {0, 1} : w = w R} Παρατηρήσεις Αν το Σ είναι πεπερασμένο, τότε το Σ είναι μετρήσιμα άπειρο. Μια γλώσσα L Σ μπορεί να είναι πεπερασμένη ή άπειρη. Θεωρία Υπολογισμού χρησιμοποιούμε γλώσσες για να κωδικοποιούμε προβλήματα π.χ. χρωματισμός γράφου, ικανοποιησιμότητα πρότασης ΠΛΗ 402 Θεωρία Υπολογισμού η Διάλεξη Συμπλήρωμα L = Σ L Πράξεις γλωσσών Παράθεση L = L 1 L 2 = L 1 L 2 = {w Σ : w = xy, x L 1, y L 2 } Ολοκλήρωση L ÃÐÒ ËØÖµ το σύνολο όλων των συμβολοσειρών που προκύπτουν από την παράθεση μηδέν ή περισσοτέρων συμβολοσειρών της L L = {w Σ : w = w 1 w 2... w k, k 0, w 1,..., w k L} π.χ. L = {01, 1, 100}, τότε L, = {e} Θετική Ολοκλήρωση L + L + = {w Σ : w = w 1 w 2... w k, k 1, w 1,..., w k L} Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 11 από 19 ΠΛΗ 402 Θεωρία Υπολογισμού η Διάλεξη Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 12 από 19 ΠΛΗ 402 Θεωρία Υπολογισμού η Διάλεξη Αναπαράσταση γλωσσών Δυνατές αναπαραστάσεις γλωσσών Σ R : αλφάβητο αναπαράστασης γλωσσών ο αριθμός των αναπαραστάσεων, Σ R, είναι μετρήσιμα άπειρος [ισχύει ακόμη και για μετρήσιμα άπειρο αλφάβητο Σ R ] Δυνατές γλώσσες Σ L : αλφάβητο συμβολοσειρών ο αριθμός των συμβολοσειρών, Σ L, είναι μετρήσιμα άπειρος το σύνολο των δυνατών γλωσσών, 2 Σ L, δεν είναι μετρήσιμο [ισχύει ανεξάρτητα από το μέγεθος του Σ L ] Συμπέρασμα υπάρχουν γλώσσες που δεν μπορούν να αναπαρασταθούν! Κανονικές Εκφράσεις Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 13 από 19 ΠΛΗ 402 Θεωρία Υπολογισμού η Διάλεξη Κανονικές εκφράσεις ÖÙÐÖ ÜÔÖ ÓÒ µ Αναπαράσταση L = { w {0, 1} : 2 ή 3 εμφαν. του 1, 1η και 2η μη συνεχ. } L = ( 10 ) Κανονικές εκφράσεις του Σ } συμβολοσειρές του αλφάβητου Σ {), (,,,, ώστε: η και κάθε στοιχείο του Σ είναι κανονική έκφραση αν οι α, β είναι κανονικές εκφράσεις, είναι και η (αβ) αν οι α, β είναι κανονικές εκφράσεις, είναι και η (α β) αν η α είναι κανονική έκφραση, είναι και η α τίποτα άλλο δεν είναι κανονική έκφραση σύμβαση: αντί για, γράφουμε απλά e (κενή συμβολοσειρά) Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 14 από 19 ΠΛΗ 402 Θεωρία Υπολογισμού η Διάλεξη Κανονικές εκφράσεις στην πράξη κανονική έκφραση = πρότυπο περιγραφής συμβολοσειρών διαβάζουμε μια κανονική έκφραση από αριστερά προς τα δεξιά δεν παραλείπουμε τμήματα της κανονικής έκφρασης επιλέγουμε σύμβολα βάσει των επιλογών που επιτρέπονται: παράθεση αβ: η β παρατίθεται στα δεξιά της α ένωση α β: επιλέγουμε (αποκλειστικά) είτε α είτε β ολοκλήρωση α : επιλέγουμε 0, 1, 2, 3,... φορές από α θετική ολοκλήρωση α + : επιλέγουμε 1, 2, 3,... φορές κενή συμβολοσειρά e: μία και μοναδική επιλογή παρενθέσεις (α β), (α), (α) + : ομαδοποίηση απλοποιήσεις: αe = eα = α, (α e) = (e α) = α, e = e, e + = e, α = α =, (α ) = ( α) = α, = e, + = Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 15 από 19 ΠΛΗ 402 Θεωρία Υπολογισμού η Διάλεξη Κανονικές γλώσσες ÖÙÐÖ ÐÒÙ µ Παρατηρήσεις Κάθε κανονική έκφραση α αναπαριστά μία γλώσσα L = L(α). Κάθε γλώσσα αναπαραστάσιμη από μια κανονική έκφραση, μπορεί να αναπαρασταθεί από άπειρες κανονικές εκφράσεις. Κανονικές γλώσσες του Σ οι γλώσσες του Σ που περιγράφονται με κανονικές εκφράσεις { L Σ : κανονική έκφραση α του Σ, L = L(α) } π.χ. L = {w {0, 1} : αρχίζει και τελειώνει με 1} κανονική ( ) L = L 1(0 1) 1 1 π.χ. L = {0 n 1 n : n 0} δεν είναι κανονική Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 16 από 19 ΠΛΗ 402 Θεωρία Υπολογισμού η Διάλεξη Παραγωγοί και Μηχανές Αναγνώρισης Παραγωγός ÒÖØÓÖµ L = L(α), α κανονική έκφραση προσδιορισμός με παραγωγή γενικού στοιχείου της γλώσσας δεν είναι αλγόριθμος, λόγω μη σαφώς καθορισμένων βημάτων Μηχανή αναγνώρισης ÖÓÒÞÖµ L = {w Σ : η w έχει την ιδιότητα P } προσδιορισμός με αλγοριθμικές ιδιότητες P αλγόριθμος για το πρόβλημα: Ανήκει η w στη γλώσσα L; Θεωρία υπολογισμού προβλήματα: κωδικοποίηση με γλώσσες (παραγωγοί) υπολογιστές: εκτέλεση αλγορίθμων (μηχανές αναγνώρισης) Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 17 από 19 Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 18 από 19

10 ΠΛΗ 402 Θεωρία Υπολογισμού η Διάλεξη ΠΛΗ 402 Θεωρία Υπολογισμού η Διάλεξη Μελέτη Σύγγραμμα 1 ÀÖÖÝ Êº ÄÛ και Χρίστος Χ. Παπαδημητρίου Στοιχεία Θεωρίας Υπολογισμού Ενότητες Σύγγραμμα 2 ÅÐ ËÔ Ö Εισαγωγή στη Θεωρία Υπολογισμού Ενότητες 0.2.5, Θεωρία Υπολογισμού Πεπερασμένα Αυτόματα Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 19 από 19 ΠΛΗ 402 Θεωρία Υπολογισμού η Διάλεξη Επανάληψη Αλφάβητα και συμβολοσειρές ορισμός, πράξεις, ειδικοί τύποι ορισμός, πράξεις, αναπαράσταση Γλώσσες Κανονικές εκφράσεις ορισμός, παραγωγή συμβολοσειρών Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 1 από 36 ΠΛΗ 402 Θεωρία Υπολογισμού η Διάλεξη Πεπερασμένα αυτόματα ντετερμινιστικά μη ντετερμινιστικά Περίγραμμα Ισοδυναμία ντετερμινιστικών και μη ντετερμινιστικών αυτομάτων Κανονικές γλώσσες γλώσσες παραγόμενες από κανονικές εκφράσεις Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 2 από 36 ΠΛΗ 402 Θεωρία Υπολογισμού η Διάλεξη Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 3 από 36 ΠΛΗ 402 Θεωρία Υπολογισμού η Διάλεξη Πεπερασμένα Αυτόματα Πεπερασμένα Αυτόματα Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 4 από 36 ΠΛΗ 402 Θεωρία Υπολογισμού η Διάλεξη Γιατί πεπερασμένα αυτόματα; Απλοϊκό μοντέλο υπολογισμού πεπερασμένη κύρια μνήμη καθόλου δευτερεύουσα μνήμη καθόλου έξοδος σειριακή είσοδος (συμβολοσειρά) Μηχανισμός αναγνώρισης γλωσσών λεκτικοί αναλυτές (π.χ. ÐÜ, ÐÜ) ØÓÖ π.χ. Ú) ÖØÚ ÓÒØÖÓÐÐÖ Ñ Ý ØÑ Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 5 από 36 ΠΛΗ 402 Θεωρία Υπολογισμού η Διάλεξη Πεπερασμένα Αυτόματα: Ορισμός Ντετερμινιστικό πεπερασμένο αυτόματο M Ορίζεται ως μια πεντάδα όπου: M = (K, Σ, δ, s, F ) K είναι ένα πεπερασμένο σύνολο καταστάσεων Σ είναι ένα αλφάβητο δ : K Σ K είναι η συνάρτηση μετάβασης s K είναι η αρχική κατάσταση F K είναι το σύνολο των τελικών καταστάσεων Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 6 από 36 Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 7 από 36

11 ΠΛΗ 402 Θεωρία Υπολογισμού η Διάλεξη Πεπερασμένα Αυτόματα: Παράδειγμα q σ δ(q, σ) ΠΛΗ 402 Θεωρία Υπολογισμού η Διάλεξη Συνολικές καταστάσεις ÓÒÙÖØÓÒ µ Ορισμός K = {q 0, q 1 }, Σ = {a, b}, s = q 0, F = {q 0 }, q 0 a q 0 q 0 b q 1 q 1 a q 1 q 1 b q 0 Μια συνολική κατάσταση ενός ντετερμινιστικού πεπερασμένου αυτομάτου M = (K, Σ, δ, s, F ) είναι οποιοδήποτε στοιχείο του K Σ. Παρατηρήσεις Μια συνολική κατάσταση (q, w) K Σ περιγράφει: την κατάσταση q στην οποία βρίσκεται το αυτόματο τη συμβολοσειρά w που απομένει να διαβαστεί Το σύνολο όλων των συνολικών καταστάσεων ενός αυτομάτου M θα συμβολίζεται με ÓÒ(M). Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 8 από 36 ΠΛΗ 402 Θεωρία Υπολογισμού η Διάλεξη Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 9 από 36 ΠΛΗ 402 Θεωρία Υπολογισμού η Διάλεξη Σχέση «παράγει ÝÐ µ σε ένα βήμα» M Σχέση «παράγει» M και Αποδεκτή Γλώσσα Δυαδική σχέση «παράγει σε ένα βήμα» M Η δυαδική σχέση «παράγει σε ένα βήμα» ( M ) ανάμεσα σε δύο συνολικές καταστάσεις μιας μηχανής M ισχύει ανν η M μπορεί να περάσει από τη μία στην άλλη με μία μόνο κίνηση. M ÓÒ(M) ÓÒ(M): (q, w) M (q, w ) a Σ : ( w = aw ) ( δ(q, a) = q ) Παρατηρήσεις η (q, w) παράγει την (q, w ) σε ένα βήμα η M είναι συνάρτηση, M : K Σ + K Σ έναρξη λειτουργίας αυτομάτου με είσοδο w: (s, w) τερματισμός λειτουργίας αυτομάτου: (q, e) Δυαδική σχέση «παράγει» M ανακλαστική και μεταβατική κλειστότητα της M (q, w) M (q, w ): η (q, w) παράγει την (q, w ) μετά από κάποιο αριθμό βημάτων (ίσως και μηδέν) Αποδεκτή συμβολοσειρά Μια συμβολοσειρά w Σ είναι αποδεκτή από το ντετερμινιστικό πεπερασμένο αυτόματο M = (K, Σ, δ, s, F ) ανν υπάρχει μια κατάσταση q F έτσι ώστε (s, w) M (q, e). Αποδεκτή γλώσσα Η γλώσσα L(M) που γίνεται αποδεκτή από το M είναι το σύνολο των συμβολοσειρών που αποδέχεται το M. Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 10 από 36 ΠΛΗ 402 Θεωρία Υπολογισμού η Διάλεξη Άσκηση: Ποια γλώσσα δέχεται το M; q σ δ(q, σ) q 0 a q 0 K = {q 0, q 1 }, Σ = {a, b}, s = q 0, F = {q 0 }, q 0 b q 1 Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 11 από 36 ΠΛΗ 402 Θεωρία Υπολογισμού η Διάλεξη Απάντηση { } L = w {a, b} : η w έχει άρτιο αριθμό b q 1 a q 1 q 1 b q 0 Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 12 από 36 ΠΛΗ 402 Θεωρία Υπολογισμού η Διάλεξη Κατασκευή Ντετερμινιστικών Αυτομάτων Βήμα 1: Καταστάσεις πόσες καταστάσεις (κόμβους) χρειάζομαι και γιατί; ποια είναι η ερμηνεία της κάθε κατάστασης; τι δηλώνει; Βήμα 2: Αρχική κατάτασταση στην έναρξη (κενή είσοδος e), σε ποια κατάσταση βρίσκομαι; Βήμα 3: Τελικές καταστάσεις ποιες καταστάσεις ικανοποιούν τον ορισμό της γλώσσας; Βήμα 4: Μεταβάσεις σε κάθε κατάσταση, μία εξερχόμενη ακμή για κάθε σύμβολο για κάθε (κατάσταση, σύμβολο) μεταβαίνω σε μία κατάσταση Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 13 από 36 ΠΛΗ 402 Θεωρία Υπολογισμού η Διάλεξη Άσκηση: Κατασκευάστε M για την L { } L = w {a, b} : η w δεν περιέχει τρία συνεχόμενα b Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 14 από 36 Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 15 από 36

12 ΠΛΗ 402 Θεωρία Υπολογισμού η Διάλεξη Απάντηση { } L = w {a, b} : η w δεν περιέχει τρία συνεχόμενα b ΠΛΗ 402 Θεωρία Υπολογισμού η Διάλεξη Προβλήματα Αναπαράστασης Ποιά είναι η γλώσσα L(M); Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 16 από 36 ΠΛΗ 402 Θεωρία Υπολογισμού η Διάλεξη Μη Ντετερμινιστική Αναπαράσταση Ιδια γλώσσα L(M), κομψότερη αναπαράσταση Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 17 από 36 ΠΛΗ 402 Θεωρία Υπολογισμού η Διάλεξη Μη Ντετερμινιστική Αναπαράσταση Ιδια γλώσσα L(M) = (ab aba), χρήση e-μεταβάσεων Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 18 από 36 ΠΛΗ 402 Θεωρία Υπολογισμού η Διάλεξη Μη Ντετερμινιστικά Πεπερασμένα Αυτόματα Μη ντετερμινιστικό πεπερασμένο αυτόματο M Ορίζεται ως μια πεντάδα όπου: M = (K, Σ,, s, F ) K είναι ένα πεπερασμένο σύνολο καταστάσεων Σ είναι ένα αλφάβητο είναι η σχέση μετάβασης, K ( Σ {e} ) K s K είναι η αρχική κατάσταση F K είναι το σύνολο των τελικών καταστάσεων Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 19 από 36 ΠΛΗ 402 Θεωρία Υπολογισμού η Διάλεξη Οι σχέσεις M και M Συνολική κατάσταση οποιοδήποτε στοιχείο του K Σ ÓÒ(M): το σύνολο όλων των συνολικών καταστάσεων Δυαδική σχέση «παράγει σε ένα βήμα» M M ÓÒ(M) ÓÒ(M): (q, w) M (q, w ) u Σ {e} : ( w = uw ) ( (q, u, q ) ) η M δεν είναι υποχρεωτικά συνάρτηση Δυαδική σχέση «παράγει» M η ανακλαστική και μεταβατική κλειστότητα της M Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 20 από 36 ΠΛΗ 402 Θεωρία Υπολογισμού η Διάλεξη Αποδεκτή Γλώσσα Αποδεκτή συμβολοσειρά Μια συμβολοσειρά w Σ είναι αποδεκτή από το μη ντετερμινιστικό πεπερασμένο αυτόματο M = (K, Σ,, s, F ) ανν υπάρχει μια κατάσταση q F έτσι ώστε (s, w) M (q, e). αποδοχή: ένας τουλάχιστον υπολογισμός σε τελική κατάσταση απόρριψη: κανένας υπολογισμός σε τελική κατάσταση προσοχή: ασύμμετρος ορισμός Αποδεκτή γλώσσα Η γλώσσα L(M) που γίνεται αποδεκτή από το M είναι το σύνολο των συμβολοσειρών που αποδέχεται το M. Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 21 από 36 ΠΛΗ 402 Θεωρία Υπολογισμού η Διάλεξη Άσκηση: Κατασκευάστε M για την L { } L = w {a, b} : η w περιέχει τουλάχιστον μία φορά το bb ή το bab Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 22 από 36 Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 23 από 36

13 ΠΛΗ 402 Θεωρία Υπολογισμού η Διάλεξη Μία πιθανή απάντηση { } L = w {a, b} : η w περιέχει τουλάχιστον μία φορά το bb ή το bab ΠΛΗ 402 Θεωρία Υπολογισμού η Διάλεξη Άσκηση: Κατασκευάστε M για την L L = (ab bbb baba) + Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 24 από 36 ΠΛΗ 402 Θεωρία Υπολογισμού η Διάλεξη Άσκηση: Κατασκευάστε M για την L Σ = {a 1, a 2, a 3 } L = { w Σ : a i Σ, το a i δεν εμφανίζεται στη w } Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 25 από 36 ΠΛΗ 402 Θεωρία Υπολογισμού η Διάλεξη Μία πιθανή απάντηση Σ = {a 1, a 2, a 3 } L = { w Σ : a i Σ, το a i δεν εμφανίζεται στη w } Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 26 από 36 ΠΛΗ 402 Θεωρία Υπολογισμού η Διάλεξη Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 27 από 36 ΠΛΗ 402 Θεωρία Υπολογισμού η Διάλεξη Ισοδυναμία Αυτομάτων Ισοδυναμία Αυτομάτων Ισοδυναμία Δύο πεπερασμένα αυτόματα M 1 και M 2 (ντετερμινιστικά ή μη ντετερμινιστικά) είναι ισοδύναμα ανν L(M 1 ) = L(M 2 ). ντετερμινιστικά ή μη ντετερμινιστικά; L(ντετερμινιστικά) L(μη ντετερμινιστικά) L(μη ντετερμινιστικά) L(ντετερμινιστικά)? L(ντετερμινιστικά) = L(μη ντετερμινιστικά) δεν υπάρχει διαφορά υπολογιστικής ισχύος Για κάθε μη ντετερμινιστικό πεπερασμένο αυτόματο υπάρχει ένα ισοδύναμο ντετερμινιστικό πεπερασμένο αυτόματο. Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 28 από 36 ΠΛΗ 402 Θεωρία Υπολογισμού η Διάλεξη Αλγόριθμος ÆØÓ (1) Είσοδος: μη ντετερμινιστικό πεπερ. αυτόματο M = (K, Σ, s, F, ) Εξοδος: ντετερμινιστικό πεπερ. αυτόματο M = (K, Σ, s, F, δ ) Απαλοιφή μη ντετερμινισμού ένα μη ντετερμινιστικό αυτόματο βρίσκεται ανά πάσα στιγμή, όχι σε μία κατάσταση, αλλά σε ένα σύνολο καταστάσεων μη ντετερμινιστικό στο K = ντετερμινιστικό στο 2 K Απαλοιφή e μεταβάσεων E(q): το σύνολο των καταστάσεων του M που είναι προσιτές από την κατάσταση q μόνο με e μεταβάσεις E(q) = { p K : (q, e) M (p, e)} Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 29 από 36 ΠΛΗ 402 Θεωρία Υπολογισμού η Διάλεξη Αλγόριθμος ÆØÓ (2) Κατασκευή του M =(K, Σ, δ, s, F ) από M =(K, Σ, s, F, ) Q K, σ Σ : K = 2 K s = E(s) F = {Q K : Q F } δ (Q, σ) = { E(p) : p K και q Q : (q, σ, p) } δ (Q, σ): το σύνολο των καταστάσεων του M στις οποίες μπορεί να μεταβεί το M με είσοδο σ Σ ή με e μεταβάσεις Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 30 από 36 Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 31 από 36

14 ΠΛΗ 402 Θεωρία Υπολογισμού η Διάλεξη Αλγόριθμος ÆØÓ (3) Ιδιότητες του M = (K, Σ, δ, s, F ) το M είναι ντετερμινιστικό πεπερασμένο αυτόματο το M έχει (εκθετικά) περισσότερες καταστάσεις από το M πολλές από αυτές είναι πιθανά μη προσβάσιμες, άρα άχρηστες στην πράξη, δημιουργούμε μόνο αυτές που είναι προσβάσιμες από την (νέα) αρχική κατάσταση Αποδεκτή γλώσσα w L(M) f F : (s, w) M (f, e) w L(M ) Q F : ( E(s), w ) M (Q, e) (q, w) M (p, e) P K, p P : ( E(q), w ) M (P, e) απόδειξη με επαγωγή στο w ΠΛΗ 402 Θεωρία Υπολογισμού η Διάλεξη Αλγόριθμος ÆØÓ (4) (q, w) M (p, e) P K, p P : ( E(q), w ) M (P, e) Βασικό βήμα, w = 0 (q, e) M (p, e) P K, p P : ( E(q), e ) M (P, e) Επαγωγική υπόθεση, w k k 0: η ιδιότητα ισχύει για w k Επαγωγικό βήμα, w = k + 1 w = va, a Σ, v Σ, v = k r 1, r 2 K : (q, w) M (r 1, a) M (r 2, e) M (p, e) R 1 K : ( E(q), w ) M (R 1, a) M (P, e), δ (R 1, a) = P Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 32 από 36 ΠΛΗ 402 Θεωρία Υπολογισμού η Διάλεξη Παράδειγμα Μη ντετερμινιστικό αυτόματο Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 33 από 36 ΠΛΗ 402 Θεωρία Υπολογισμού η Διάλεξη Παράδειγμα Ισοδύναμο ντετερμινιστικό αυτόματο Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 34 από 36 ΠΛΗ 402 Θεωρία Υπολογισμού η Διάλεξη Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 35 από 36 Μελέτη Σύγγραμμα 1 ÀÖÖÝ Êº ÄÛ και Χρίστος Χ. Παπαδημητρίου Στοιχεία Θεωρίας Υπολογισμού Ενότητες Σύγγραμμα 2 ÅÐ ËÔ Ö Εισαγωγή στη Θεωρία Υπολογισμού Ενότητες Θεωρία Υπολογισμού Κανονικές Γλώσσες Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 36 από 36 Πεπερασμένα Αυτόματα ντετερμινιστικά μη ντετερμινιστικά Επανάληψη Ισοδυναμία ντετερμινιστικών και μη ντετερμινιστικών αυτομάτων Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 1 από 43 Περίγραμμα Ιδιότητες κανονικών γλωσσών κλειστότητα πράξεων Ισοδυναμία πεπερασμένων αυτομάτων και κανονικών εκφράσεων Κανονικές γλώσσες κανονικότητα, μη κανονικότητα, θεώρημα άντλησης Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 2 από 43 Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 3 από 43

15 Πράξεις γλωσσών Κλειστότητα Πράξεων Ενωση L 1 L 2 Τομή L 1 L 2 Διαφορά L 1 L 2 Συμπλήρωμα L = Σ L Παράθεση L 1 L 2 Ολοκλήρωση ή κλειστότητα L Θετική ολοκλήρωση ή κλειστότητα L + = LL Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 4 από 43 Πεπερασμένα Αυτόματα και Γλώσσες Η κλάση των γλωσσών που γίνονται δεκτές από πεπερασμένα αυτόματα είναι κλειστή ως προς τις ακόλουθες πράξεις: ένωση, τομή, διαφορά, συμπλήρωμα, παράθεση, ολοκλήρωση/κλειστότητα και θετική ολοκλήρωση/κλειστότητα. εξετάζουμε κάθε πράξη χωριστά έστω ότι L 1 = L(M 1 ), M 1 = (K 1, Σ, 1, s 1, F 1 ) έστω ότι L 2 = L(M 2 ), M 2 = (K 2, Σ, 2, s 2, F 2 ) υπάρχει M = (K, Σ,, s, F ), ώστε L(M) = L 1 L 2 ; Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 5 από 43 Ενωση L 1 L 2 Ενωση Αυτομάτων K = K 1 K 2 {s} s είναι μια νέα αρχική κατάσταση F = F 1 F 2 = 1 2 { (s, e, s 1 ), (s, e, s 2 ) } Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 6 από 43 Ενωση Αυτομάτων (γραφικά) Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 7 από 43 Παράθεση Αυτομάτων Παράθεση L 1 L 2 K = K 1 K 2 s 1 είναι η αρχική κατάσταση F = F 2 = 1 2 ( F 1 {e} {s 2 } ) Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 8 από 43 Παράθεση Αυτομάτων (γραφικά) Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 9 από 43 Ολοκλήρωση Αυτομάτων Ολοκλήρωση ή κλειστότητα L 1 K = K 1 {s 1} s 1 είναι μια νέα αρχική κατάσταση F = F 1 {s 1} = 1 { (s 1, e, s 1 ) } ( F 1 {e} {s 1 } ) Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 10 από 43 Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 11 από 43

16 Ολοκλήρωση Αυτομάτων (γραφικά) Θετική Ολοκλήρωση Αυτομάτων Θετική ολοκλήρωση ή κλειστότητα L + 1 K = K 1 s 1 είναι η αρχική κατάσταση F = F 1 = 1 ( F 1 {e} {s 1 } ) Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 12 από 43 Θετική Ολοκλήρωση Αυτομάτων (γρφ) Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 13 από 43 Συμπλήρωμα Αυτομάτων Συμπλήρωμα L = Σ L 1 M = (K 1, Σ, δ 1, s 1, K 1 F 1 ) Προϋπόθεση: το M 1 είναι ντετερμινιστικό! Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 14 από 43 Τομή Αυτομάτων Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 15 από 43 Διαφορά Αυτομάτων Τομή L 1 L 2 L 1 L 2 = Σ = L 1 L 2 ( ) (Σ L 1 ) (Σ L 2 ) Διαφορά L 1 L 2 L 1 L 2 = L 1 (Σ L 2 ) = L 1 L 2 Τομή: συνδυασμός συμπλήρωσης και ένωσης! Διαφορά: συνδυασμός συμπλήρωσης και τομής! Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 16 από 43 Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 17 από 43 Αυτόματα και Κανονικές Γλώσσες Κανονικότητα Αυτομάτων Μια γλώσσα είναι κανονική (παράγεται από κανονική έκφραση) αν και μόνο αν είναι δεκτή από ένα πεπερασμένο αυτόματο. κανονική γλώσσα = πεπερασμένο αυτόματο υπάρχουν αυτόματα για τις γλώσσες, {e} και {σ} (σ Σ) χρήση του θεωρήματος κλειστότητας πράξεων κανονική γλώσσα = πεπερασμένο αυτόματο σταδιακή απαλοιφή καταστάσεων σηματοδότηση μεταβάσεων με κανονικές εκφράσεις Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 18 από 43 Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 19 από 43

17 Παράδειγμα: (ab aab) = M : M = α (1) Το σύνολο R(i, j, k) έστω ντετερμινιστικό M = ({q 1,..., q n }, Σ, δ, q 1, F ) R(i, j, k): το σύνολο όλων των συμβολοσειρών του Σ που οδηγούν το M από τη κατάσταση q i στην q j χωρίς να περάσει από ενδιάμεση κατάσταση q m με αριθμό m μεγαλύτερο του k R(i, j, k): επιτρέπονται μόνο οι q 1, q 2, q 3,..., q k ως ενδιάμεσες R(i, j, n) = { w Σ : (q i, w) M (q j, e) } L(M) = { R(1, j, n) : q j F } Βασική ιδέα Αν όλα τα R(i, j, k) κανονικά, τότε και η L(M) κανονική. απόδειξη με επαγωγή στο k Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 20 από 43 : M = α (2) Βασικό βήμα: k = 0 {σ Σ : δ(q i, σ) = q j } αν i j R(i, j, 0) = {σ Σ : δ(q i, σ) = q j } {e} αν i = j Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 21 από 43 Άσκηση a a Σταδιακή κατασκευή κανονικής έκφρασης το σύνολο R(i, j, 0) είναι κανονικό Επαγωγική υπόθεση: k n το σύνολο R(i, j, k), k n είναι κανονικό Επαγωγικό βήμα: k = n + 1 R(i, j, n+1) = R(i, j, n) R(i, n+1, n)r(n+1, n+1, n) R(n+1, j, n) το σύνολο R(i, j, n + 1) είναι επίσης κανονικό q1 b R(1, 1, 2) b q2 Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 22 από 43 Απάντηση R(1, 1, 2) = R(1, 1, 1) R(1, 2, 1)R(2, 2, 1) R(2, 1, 1) R(1, 1, 1) = R(1, 1, 0) R(1, 1, 0)R(1, 1, 0) R(1, 1, 0) = = {e, a} {e, a}{e, a} {e, a} = a R(1, 2, 1) = R(1, 2, 0) R(1, 1, 0)R(1, 1, 0) R(1, 2, 0) = = {b} {e, a}{e, a} {b} = a b R(2, 2, 1) = R(2, 2, 0) R(2, 1, 0)R(1, 1, 0) R(1, 2, 0) = = {a, b, e} {e, a} {b} = {a, b, e} R(2, 1, 1) = R(2, 1, 0) R(2, 1, 0)R(1, 1, 0) R(1, 1, 0) = = {e, a} {e, a} = L(M) = R(1, 1, 2) = a (a b){a, b, e} = a Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 23 από 43 Κατασκευή Κανονικής Εκφρασης αρίθμηση καταστάσεων q 1, q 2, q 3,..., q n 1, q n μία αρχική κατάσταση q n 1 και μία τελική κατάσταση q n όχι μεταβάσεις προς την αρχική κατάσταση όχι μεταβάσεις από την τελική κατάσταση δεν σημειώνονται μεταβάσεις με και αυτομεταβάσεις με e αρχικοποίηση R(i, j, 0): μεταβάσεις του αυτομάτου υπολογισμός R(i, j, k): απαλοιφή q k, k = 1, 2, 3,..., n 2 κανονική έκφραση: R(n 1, n, n 2) = R(n 1, n, n) Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 24 από 43 Πρακτικές Οδηγίες για την Κατασκευή δεν είναι απαραίτητο να κάνω νέα αρίθμηση καταστάσεων εάν δεν έχω μεταβάσεις προς την αρχική, δεν εισάγω νέα αλλιώς, εισάγω νέα αρχική κατάσταση με κενή μετάβαση εάν έχω μία τελική χωρίς μεταβάσεις εξόδου, δεν εισάγω νέα αλλιώς, εισάγω νέα τελική με κενές μεταβάσεις από τις τελικές σύμπτυξη μεταβάσεων μεταξύ ίδιων καταστάσεων σε μία επισημείωση της μίας μετάβασης με ένωση των συμβόλων η σειρά απαλοιφής καταστάσεων δεν αλλοιώνει την ορθότητα πρώτα, απαλοιφή καταστάσεων που δεν έχουν βρόχους κατόπιν, απαλοιφή καταστάσεων με λίγες μεταβάσεις κατόπιν, απαλοιφή καταστάσεων εκτός βασικής διαδρομής Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 25 από 43 Άσκηση { } L = w {a, b} : η w έχει 3k + 1 b για κάποιο k N Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 26 από 43 Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 27 από 43

18 Απάντηση Ανακεφαλαίωση Μηχανισμοί παραγωγή γλωσσών: κανονικές εκφράσεις αναγνώριση γλωσσών: πεπερασμένα αυτόματα μετατροπή: κανονικές εκφράσεις πεπερασμένα αυτόματα Συμπεράσματα ισοδύναμοι μηχανισμοί L(κανονικές εκφράσεις) = L(πεπερασμένα αυτόματα) παραγωγή/αναγνώριση μόνο κανονικών γλωσσών δεν είναι όλες οι γλώσσες κανονικές! Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 28 από 43 Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 29 από 43 Κανονικότητα Γλωσσών Κανονικότητα Γλωσσών Κανονικές γλώσσες κλειστότητα πράξεων κανονικές εκφράσεις (παραγωγή) πεπερασμένα αυτόματα (αναγνώριση) κανονικότητας της L Είναι η γλώσσα L πεπερασμένη; Προκύπτει η L από άλλες κανονικές γλώσσες με πράξεις; Υπάρχει κανονική έκφραση α, L = L(α); Υπάρχει πεπερασμένο αυτόματο M, L = L(M); Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 30 από 43 Άσκηση Αποδείξτε ότι η παρακάτω γλώσσα είναι κανονική Σ = {0, 1,..., 9} L = {w Σ : w δεκαδική παράσταση φυσικού διαιρετέου από 2 ή 5} Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 31 από 43 Απάντηση δεκαδικές παραστάσεις των φυσικών αριθμών L 1 = 0 ( )Σ αριθμοί διαιρετέοι από το 2 L 2 = L 1 Σ ( ) αριθμοί διαιρετέοι από το 5 L 3 = L 1 Σ (0 5) Η L είναι κανονική! L = L 2 L 3 Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 32 από 43 Άσκηση Αποδείξτε ότι η παρακάτω γλώσσα είναι κανονική L = {w {a, b} : w περιέχει άρτιο αριθμό από a και w περιττό} Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 33 από 43 Απάντηση συμβολοσειρές με άρτιο αριθμό από a L 1 = b (ab ab ) συμβολοσειρές περιττού μήκους ( L 2 = (a b) (a b)(a b) ) Η L είναι κανονική! L = L 1 L 2 Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 34 από 43 Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 35 από 43

19 Άντλησης ÈÙÑÔÒ ÌÓÖѵ Άπειρες κανονικές γλώσσες επαναληπτική δομή που προέρχεται από βρόχους ή από την χρειάζονται πεπερασμένη μνήμη για να αναγνωριστούν η απαίτηση μνήμης εξαρτάται από τη γλώσσα Απλή διατύπωση Υπάρχουν συγκεκριμένα σημεία μέσα σε συγκεκριμένες συμβολοσειρές όπου μπορεί να εισαχθεί επανειλημένα μια υποσυμβολοσειρά χωρίς να επηρεαστεί η αποδοχή της συμβολοσειράς. Εστω L μια (άπειρη) κανονική γλώσσα. Τότε υπάρχει n 1, ώστε κάθε w L με w n μπορεί να γραφεί ως w = xyz, με y e, xy n. Τότε xy i z L για κάθε i 0. Θεωρήματος Άντλησης M αυτόματο με n καταστάσεις και w = σ 1 σ 2...σ n L υπολογισμός του M με είσοδο w: (q 0, σ 1...σ n ) M (q 1, σ 2...σ n ) M... M (q n 1, σ n ) M (q n, e) αρχή του περιστεριώνα υπάρχουν i και j τέτοια ώστε 0 i < j n και q i = q j υποσυμβολοσειρά x = σ 1 σ 2... σ i υποσυμβολοσειρά y = σ i+1 σ i+2... σ j, y 0 υποσυμβολοσειρά z = σ j+1 σ j+2... σ n xy = j n επανάληψη της y οδηγεί πάλι στην q i = q j xy i z = σ 1 σ 2... σ i (σ i+1 σ i+2... σ j ) i σ j+1 σ j+2... σ n L, i N Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 36 από 43 Χρήση Θεωρήματος Άντλησης Άντλησης Εστω L μια (άπειρη) κανονική γλώσσα. Τότε υπάρχει n 1, ώστε κάθε w L με w n μπορεί να γραφεί ως w = xyz, με y e, xy n. Τότε xy i z L για κάθε i 0. Αντιθετοαντιστροφή ÓÒØÖÔÓ ØÓÒµ αντιθετοαντιστροφή: αν x = y, τότε και y = x L κανονική γλώσσα = ισχύει το Θ.Α. για την L δεν ισχύει το Θ.Α. για την L = L μη κανονική γλώσσα μη εφαρμογή του Θ.Α. σε κάποια γλώσσα (άπειρη) L αποδεικνύει ότι η L είναι μη κανονική γλώσσα! Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 37 από 43 (Μη) Εφαρμογή Θεωρήματος Άντλησης Άντλησης Εστω L μια (άπειρη) κανονική γλώσσα. Τότε υπάρχει n 1, ώστε κάθε w L με w n μπορεί να γραφεί ως w = xyz, με y e, xy n. Τότε xy i z L για κάθε i 0. Παιχνίδι με Αντίπαλο ÚÖ ÖÝ ÖÙÑÒص Βήμα Αντίπαλος Εμείς 1 επιλογή n N επιλογή w L, w n 2 επιλογή w = xyz, y e, xy n επιλογή i N, xy i z L πρέπει να έχουμε επιλογή για κάθε επιλογή του αντιπάλου θεώρημα: n, w L, w n, w =xyz, y e, i : xy i z L παιχνίδι: n, w L, w n, w =xyz, y e, i : xy i z L Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 38 από 43 Μη Κανονικότητα Γλωσσών μη κανονικότητας της (άπειρης) L Αρχικά, επιβεβαίωση ότι η L είναι όντως άπειρη! Μετατροπή της L σε μη κανονική μέσω κλειστών πράξεων απαγωγή σε άτοπο: υποθέτουμε ότι είναι κανονική εφαρμόζουμε κλειστές πράξεις με γνωστές κανονικές ώστε να καταλήξουμε σε κάποια γνωστή μη κανονική άτοπο! λόγω κλειστότητας έπρεπε να προκύψει κανονική Το θεώρημα άντλησης δεν εφαρμόζεται για την L παίζουμε το παιχνίδι με τον αντίπαλο (ÚÖ ÖÝ) κάνουμε σωστές και έξυπνες επιλογές σε w και i εξετάζουμε όλες τις περιπτώσεις επιλογών του αντιπάλου Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 39 από 43 Ασκήσεις L = {a n b n : n 0} Οι παρακάτω γλώσσες δεν είναι κανονικές L = L = {a n : n είναι πρώτος αριθμός} { } w {a, b} : η w έχει ίσο αριθμό a και b Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 40 από 43 Απαντήσεις L = {a n b n : n 0} (μη) εφαρμογή θεωρήματος άντλησης επιλογή w = a k b k, w k, όπου k N η σταθερά του Θ.Α. w = xyz, y = a m, m > 0, οπότε για i = 0, xy i z = a k m b k L L = {a n : n είναι πρώτος αριθμός} επιλογή w = a l, l πρώτος, w k, k N σταθερά του Θ.Α. w = xyz, x = a p, y = a q, z = a r, όπου p 0, q > 0, r 0 για i = p + 2q + r + 2, xy i z = a (q+1)(p+2q+r) L { } L = w {a, b} : η w έχει ίσο αριθμό a και b μετατροπή της L σε γνωστή μη κανονική μέσω κλειστών πράξεων L a b = {a n b n : n 0} (τομή με κανονική γλώσσα) προέκυψε μη κανονική γλώσσα, άρα ούτε η L κανονική Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 41 από 43 Μελέτη Σύγγραμμα 1 ÀÖÖÝ Êº ÄÛ και Χρίστος Χ. Παπαδημητρίου Στοιχεία Θεωρίας Υπολογισμού Ενότητες Σύγγραμμα 2 ÅÐ ËÔ Ö Εισαγωγή στη Θεωρία Υπολογισμού Ενότητες Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 42 από 43 Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 43 από 43

20 ΠΛΗ 402 Θεωρία Υπολογισμού η Διάλεξη ΠΛΗ 402 Θεωρία Υπολογισμού η Διάλεξη Επανάληψη Θεωρία Υπολογισμού Ελαχιστοποίηση Καταστάσεων Ιδιότητες κανονικών γλωσσών κλειστότητα πράξεων Ισοδυναμία πεπερασμένων αυτομάτων και κανονικών εκφράσεων Κανονικές γλώσσες κανονικότητα, μη κανονικότητα, θεώρημα άντλησης Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 1 από 18 ΠΛΗ 402 Θεωρία Υπολογισμού η Διάλεξη Περίγραμμα Ελαχιστοποίηση καταστάσεων η σχέση ισοδυναμίας L σε συμβολοσειρές η σχέση ισοδυναμίας M σε συμβολοσειρές η σχέση ισοδυναμίας σε καταστάσεις ÅÝÐйÆÖÓ κανονικότητα και ελαχιστοποίηση κατασκευή προτύπων αυτομάτων Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 2 από 18 ΠΛΗ 402 Θεωρία Υπολογισμού η Διάλεξη Πεπερασμένα Αυτόματα Χρησιμότητα αναγνωριστές γλωσσών περιορισμένων δυνατοτήτων στοιχειώδη τμήματα υπολογιστών και αλγορίθμων ντετερμινιστικά αυτόματα: άμεσα μετατρέψιμα σε κώδικα Ελαχιστοποίηση καταστάσεων επιθυμητή για λόγους υλοποίησης απλό πρώτο βήμα: απαλοιφή απροσίτων καταστάσεων χρειαζόμαστε συστηματική μεθοδολογία ελαχιστοποίησης Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 3 από 18 ΠΛΗ 402 Θεωρία Υπολογισμού η Διάλεξη Ισοδυναμία Συμβολοσειρών Ισοδυναμία ως προς L, L Εστω γλώσσα L Σ και συμβολοσειρές x, y Σ (x L y) αν οι xz και yz ανήκουν και οι δύο ή καμία στην L (x L y) αν z Σ : xz L yz L Η σχέση L είναι σχέση ισοδυναμίας Ισοδυναμία ως προς M, M Εστω ντετερμινιστικό M = {K, Σ, δ, s, F } και x, y Σ (x M y) αν οι x και y οδηγούν το M στην ίδια κατάσταση (x M y) αν q K: (s, x) M (q, e) και (s, y) M (q, e) Η σχέση M είναι σχέση ισοδυναμίας Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 4 από 18 ΠΛΗ 402 Θεωρία Υπολογισμού η Διάλεξη Παράδειγμα: Ισοδυναμία ως προς L L = (ab ba) 4 κλάσεις ισοδυναμίας C 1 = (ab ba) = L C 2 = (ab ba) a = La C 3 = (ab ba) b = Lb C 4 = (ab ba) } (aa bb)(a b) = L(aa bb)σ {C 1, C 2, C 3, C 4 διαμέριση του Σ Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 5 από 18 ΠΛΗ 402 Θεωρία Υπολογισμού η Διάλεξη Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 6 από 18 ΠΛΗ 402 Θεωρία Υπολογισμού η Διάλεξη Παράδειγμα: Ισοδυναμία ως προς M 6 κλάσεις ισοδυναμίας E q1 = (ba) E q2 = La E q3 = (ba) abl E q4 = (ba) b E q5 = L(aa } bb)σ E q6 = Labb {E q1, E q2, E q3, E q4, E q5, E q6 διαμέριση του Σ Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 7 από 18 Σχέση L και M Για κάθε ντετερμινιστικό αυτόματο M = {K, Σ, δ, s, F } και για όλες τις συμβολοσειρές x, y Σ, (x M y) = (x L(M) y). η σχέση M είναι εκλέπτυνση της σχέσης L(M) κάθε κλάση της M περιέχεται σε κάποια κλάση της L(M) κάθε κλάση της L(M) είναι ένωση κλάσεων της M Αν x M y, έστω q η κατάσταση στην οποία οδηγούν το M z Σ : xz L(M) (q, z) M (f, e), f F yz L(M) (q, z) M (f, e), f F z Σ : xz L(M) yz L(M) Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 8 από 18

21 ΠΛΗ 402 Θεωρία Υπολογισμού η Διάλεξη ΠΛΗ 402 Θεωρία Υπολογισμού η Διάλεξη ÅÝÐйÆÖÓ Ελάχιστος αριθμός καταστάσεων κλάσεις ισοδυναμίας L(M) κλάσεις ισοδυναμίας M = K ÅÝÐйÆÖÓµ Εστω L Σ μια κανονική γλώσσα. Τότε υπάρχει ένα ντετερμινιστικό πεπερασμένο αυτόματο που δέχεται την L και έχει τόσες καταστάσεις όσες και οι κλάσεις ισοδυναμίας της L. πρότυπο αυτόματο της L / Κατασκευή K = το σύνολο των κλάσεων ισοδυναμίας της L s = [e], η κλάση ισοδυναμίας του e ως προς την L F = οι κλάσεις ισοδυναμίας της L που είναι υποσύνολα της L δ(c 1, σ) = C 2, όπου σ Σ, x C 1 και xσ C 2 Πόρισμα ÅÝÐйÆÖÓµ Μια γλώσσα είναι κανονική αν και μόνο αν η σχέση L έχει πεπερασμένο πλήθος κλάσεων ισοδυναμίας Εφαρμογή κανονικότητα της γλώσσας L μη κανονικότητα της γλώσσας L Παράδειγμα: L = {a n b n : n 1} a i και a j, i j, ανήκουν σε διαφορετικές κλάσεις ισοδυναμίας διότι για z = b i, έχουμε a i b i L, ενώ a j b i L συνεπώς, η L έχει άπειρο πλήθος κλάσεων ισοδυναμίας ÅÝÐйÆÖÓ και Κανονικότητα Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 9 από 18 ΠΛΗ 402 Θεωρία Υπολογισμού η Διάλεξη Ισοδυναμία καταστάσεων Η σχέση Εστω ντετερμινιστικό M = {K, Σ, δ, s, F } και q, p K (q p) αν η q και η p έχουν την ίδια συμπεριφορά αποδοχής (q p) αν z Σ : (q, z) M (f 1, e) (p, z) M (f 2, e) Η σχέση είναι σχέση ισοδυναμίας Παρατηρήσεις αν δύο καταστάσεις p και q είναι ισοδύναμες (q p), τότε οι αντίστοιχες κλάσεις ισοδυναμίας E p και E q της M είναι υποσύνολα της ίδιας κλάσης ισοδυναμίας της L οι κλάσεις της είναι οι καταστάσεις που πρέπει να ενωθούν οι κλάσεις της μπορούν να υπολογιστούν αλγοριθμικά Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 10 από 18 ΠΛΗ 402 Θεωρία Υπολογισμού η Διάλεξη Αλγόριθμος Ελαχιστοποίησης (1) Υπολογισμός της σχέσης είναι το όριο της ακολουθίας 0, 1, 2,..., n Η σχέση n (q n p) αν η q και η p έχουν την ίδια συμπεριφορά αποδοχής με συμβολοσειρές μήκους το πολύ n, n 0 η σχέση n είναι σχέση ισοδυναμίας Παρατηρήσεις κάθε σχέση n είναι εκλέπτυνση των 0, 1,..., n 1 (q 0 p) αν p και q είναι και οι δυο τελικές ή μη τελικές 2 κλάσεις ισοδυναμίας στην 0 : F και K F q n p ( p n 1 q ) ( δ(q, σ) n 1 δ(p, σ), σ Σ ) Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 11 από 18 ΠΛΗ 402 Θεωρία Υπολογισμού η Διάλεξη Αλγόριθμος Ελαχιστοποίησης (2) Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 12 από 18 ΠΛΗ 402 Θεωρία Υπολογισμού η Διάλεξη Άσκηση Δώστε ένα ισοδύναμο πρότυπο αυτόματο για το παρακάτω αυτόματο. ÒØÐÞØÓÒ n = 0 αρχικές κλάσεις ισοδυναμίας της 0 : F και K F ÖÔØ n = n + 1 υπολόγισε τις κλάσεις της n από αυτές της ( ) ( n 1 ) q n p p n 1 q δ(q, σ) n 1 δ(p, σ), σ Σ ÙÒØÐ ( n ) = ( n 1 ) Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 13 από 18 ΠΛΗ 402 Θεωρία Υπολογισμού η Διάλεξη Απάντηση Βήμα 1: αφαίρεση απρόσιτων καταστάσεων Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 14 από 18 ΠΛΗ 402 Θεωρία Υπολογισμού η Διάλεξη Απάντηση Βήμα 2: ελαχιστοποίηση καταστάσεων Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 15 από 18 Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 16 από 18

22 ΠΛΗ 402 Θεωρία Υπολογισμού η Διάλεξη Ανακεφαλαίωση γλώσσα L Σ και πεπερασμένο αυτόματο M, L = L(M) Υπολογισμός κλάσεων ισοδυναμίας M στο K M ομαδοποίηση καταστάσεων με ίδια συμπεριφορά αποδοχής Υπολογισμός κλάσεων ισοδυναμίας M στο Σ μία κλάση E qi για κάθε κατάσταση q i του M E qi : όλες οι συμβολοσειρές του Σ που οδηγούν το M στην q i Υπολογισμός κλάσεων ισοδυναμίας L στο Σ υπολογισμός κλάσεων ισοδυναμίας M κατασκευή πρότυπου αυτομάτου M υπολογισμός κλάσεων ισοδυναμίας M οι κλάσεις ισοδυναμίας των L και M ταυτίζονται ΠΛΗ 402 Θεωρία Υπολογισμού η Διάλεξη Μελέτη Σύγγραμμα 1 ÀÖÖÝ Êº ÄÛ και Χρίστος Χ. Παπαδημητρίου Στοιχεία Θεωρίας Υπολογισμού Ενότητες 2.5 Σύγγραμμα 2 ÅÐ ËÔ Ö Εισαγωγή στη Θεωρία Υπολογισμού Ενότητες - - Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 17 από 18 ΠΛΗ 402 Θεωρία Υπολογισμού η Διάλεξη Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 18 από 18 ΠΛΗ 402 Θεωρία Υπολογισμού η Διάλεξη Επανάληψη Θεωρία Υπολογισμού Μεταγλωττιστές και Λεκτική Ανάλυση Ελαχιστοποίηση καταστάσεων η σχέση ισοδυναμίας L σε συμβολοσειρές η σχέση ισοδυναμίας M σε συμβολοσειρές η σχέση ισοδυναμίας σε καταστάσεις ÅÝÐйÆÖÓ κανονικότητα και ελαχιστοποίηση κατασκευή προτύπων αυτομάτων Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 1 από 40 ΠΛΗ 402 Θεωρία Υπολογισμού η Διάλεξη Περίγραμμα Εφαρμογές αυτόματα και κανονικές εκφράσεις Μεταγλωττιστές είδη μεταγλωττιστών φάσεις μεταγλώττισης Λεκτική ανάλυση διαδικασία σχεδιασμού ιδιαιτερότητες Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 2 από 40 ΠΛΗ 402 Θεωρία Υπολογισμού η Διάλεξη Εφαρμογές Πεπερασμένα αυτόματα σχεδιασμός ÔÖÓÖÑÑÐ ÐÓ ÓÒØÖÓÐÐÖ µ ελεγκτών βιομηχανία παιχνιδιών, ρομποτική, τεχνητή νοημοσύνη επαλήθευση πρωτοκόλλων Κανονικές εκφράσεις ÍÒÜ»ÄÒÙÜ Ú ÖÔ Ð Ô ÑÚ ÖÑ εντολές αναζήτηση σε βάσεις δεδομένων επαλήθευση διαπιστευτηρίων Το εργαλείο ÐÜ»ÐÜ λειτουργία δομή προγραμμάτων Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 3 από 40 ΠΛΗ 402 Θεωρία Υπολογισμού η Διάλεξη Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 4 από 40 ΠΛΗ 402 Θεωρία Υπολογισμού η Διάλεξη Σημαντικότερη Εφαρμογή Λεκτική ανάλυση διάσπαση ακολουθίας χαρακτήρων σε λεκτικές μονάδες ταξινόμηση στις αντίστοιχες κανονικές εκφράσεις Μεταγλωττιστές Χρησιμότητα λεκτικής ανάλυσης επεξεργασία κειμένου μεταγλώττιση προγραμμάτων Αυτοματοποίηση λεκτικής ανάλυσης ÐÜ εργαλεία ÐÜ και Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 5 από 40 Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 6 από 40

23 ΠΛΗ 402 Θεωρία Υπολογισμού η Διάλεξη Γλώσσες Προγραμματισμού Γλώσσες υψηλού επιπέδου ακατανόητες από τη μηχανή, προσιτές στον άνθρωπο ÂÚ ÓÖØÖÒ ÐÓÐ ÓÓÐ Ä Ô È Ð ººº Μεσολαβητές μετατροπή γλώσσας από υψηλό σε χαμηλό επίπεδο διερμηνείς ÒØÖÔÖØÖ µ ÓÑÔÐÖ µ μεταγλωττιστές Γλώσσες χαμηλού επιπέδου κατανοητές από τη μηχανή, απρόσιτες στον άνθρωπο γλώσσα μηχανής/επεξεργαστή ΠΛΗ 402 Θεωρία Υπολογισμού η Διάλεξη Μεταγλωττιστές ÓÑÔÐÖ µ Μεταγλωττιστής πρόγραμμα γραμμένο στη γλώσσα Y (υλοποίησης) δέχεται προγράμματα γραμμένα στη γλώσσα A (αρχική) παράγει προγράμματα γραμμένα στη γλώσσα T (τελική) Παρατηρήσεις ένας μεταγλωττιστής είναι μια συνάρτηση f : P (A) P (T ) το τελικό πρόγραμμα πρέπει να είναι ισοδύναμο με το αρχικό Ιστορική αναδρομή : πρώτοι μεταγλωττιστές, βελτιστοποίηση : ανταγωνισμός υψηλών γλωσσών, πολυπλοκότητα : εργαλεία κατασκευής, ποιότητα και αξιοπιστία Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 7 από 40 ΠΛΗ 402 Θεωρία Υπολογισμού η Διάλεξη Λειτουργία Μεταγλώττισης Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 8 από 40 ΠΛΗ 402 Θεωρία Υπολογισμού η Διάλεξη Κατηγορίες Μεταγλώττισης Source Program COMPILER Target Program Είδη Μεταγλωττιστών απλοί μεταγλωττιστές ÖÓ ¹ÓÑÔÐÖ µ διαμεταγλωττιστές ØÖÒ ¹ÓÑÔÐÖ ØÖÒ ÔÐÖ µ διαμεσο-μεταγλωττιστές αντίστροφοι ÓÑÔÐÖ µ μεταγλωττιστές ÑعÓÑÔÐÖ µ μετα-μεταγλωττιστές Ù Øе προσαρμοζόμενοι ή ÒÖØÓÖ µ γεννήτορες Error Messages Ειδικές περιπτώσεις ÔÖÔÖÓ ÓÖ µ προεπεξεργαστές ÑÐÖ µ συμβολομεταφραστές γεννήτορες ÔÖÓÖÑ ÒÖØÓÖ µ προγραμμάτων Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 9 από 40 ΠΛΗ 402 Θεωρία Υπολογισμού η Διάλεξη Εργαλεία Μεταγλώττισης Συναφή εργαλεία ÒØÖÔÖØÖ µ διερμηνείς βιβλιοθήκη χρόνου εκτέλεσης ÖÙÒ¹ØÑ ÐÖÖݵ διαχειριστές βιβλιοθήκης ÐÖÖÝ ÑÒÖ µ συνδέτες ÐÒÖ µ Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 10 από 40 ΠΛΗ 402 Θεωρία Υπολογισμού η Διάλεξη Μεταγλωττιστές και Εργαλεία Skeletal Source Program Preprocessor Source Program Compiler φορτωτές ÐÓÖ µ Βοηθητικά εργαλεία Assembler Target Assembly Program εκδότες προγραμμάτων ÔÖÓÖÑ ØÓÖ µ εντοπιστές σφαλμάτων ÙÖ µ στατιστικοί αναλυτές ÔÖÓÐÖ µ Relocatable Machine Code Loader/Link-Editor Absolute Machine Code Library, relocatable object files Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 11 από 40 ΠΛΗ 402 Θεωρία Υπολογισμού η Διάλεξη Υλοποίηση Μεταγλωττιστών πρώτος μεταγλωττιστής ÓÖØÖÒ: 18 ανθρωποέτη Εξέλιξη ένας μεταγλωττιστής σήμερα: 0,5 ανθρωποέτη Διευκόλυνση ωρίμανση ερευνητικής εργασίας χρήση θεωρητικών εργαλείων (αυτόματα, γραμματικές) προγραμματιστικά εργαλεία κατασκευής ÛÛÛºÓÑÔÐÖÓÒÒØÓÒºÓÑ Πηγές Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 12 από 40 ΠΛΗ 402 Θεωρία Υπολογισμού η Διάλεξη Απαιτήσεις Μεταγλωττιστών Βασικές σωστή μεταγλώττιση συμμόρφωση στις προδιαγραφές των γλωσσών μεταγλώττιση προγραμμάτων κάθε μεγέθους Επιμέρους παραγωγή αποδοτικού κώδικα μικρός χρόνος μεταγλώττισης μικρές απαιτήσεις μνήμης κατατοπιστικά διαγνωστικά μηνύματα αναγνώριση πολλαπλών σφαλμάτων μεταφερσιμότητα Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 13 από 40 Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 14 από 40

24 ΠΛΗ 402 Θεωρία Υπολογισμού η Διάλεξη Φάσεις Μεταγλώττισης (1) ΠΛΗ 402 Θεωρία Υπολογισμού η Διάλεξη Φάσεις Μεταγλώττισης (2) Symbol-table Manager Source Program Lexical Analyzer Syntax Analyzer (Parser) Semantic Analyzer Intermediate Code Generator Code Optimizer Code Generator Error Handler Λεκτική ανάλυση ομαδοποίηση των χαρακτήρων σύμφωνα με τη γλώσσα παραγωγή λεκτικών μονάδων ØÓÒ µ Συντακτική ανάλυση ομαδοποίηση λεκτικών μονάδων σύμφωνα με τη γραμματική παραγωγή συντακτικού ÝÒØØ ØÖµ δένδρου Σημασιολογική ανάλυση έλεγχος ØÝÔ τύπων Òµ, ÑÒØ µ σημασιολογίας παραγωγή εμπλουτισμένου συντακτικού δένδρου Target Program Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 15 από 40 ΠΛΗ 402 Θεωρία Υπολογισμού η Διάλεξη Φάσεις Μεταγλώττισης (3) Παραγωγή ενδιάμεσου κώδικα ισοδύναμο πρόγραμμα για αφηρημένη μηχανή εκτέλεσης παραγωγή τετράδων ÕÙÖÙÔÐ µ, επιθεματικού ÔÓ Ø¹ κώδικα Óµ, ή αφηρημένων ØÖص συντακτικών δένδρων Ü Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 16 από 40 ΠΛΗ 402 Θεωρία Υπολογισμού η Διάλεξη Παράδειγμα Μεταγλώττισης (1) position := initial + rate * 60 Lexical Analyzer id1:=id2+id3*60 Βελτιστοποίηση απαλοιφή περιττών υπολογισμών παραγωγή βελτιωμένου κώδικα Παραγωγή τελικού κώδικα μετατροπή ενδιάμεσου κώδικα σε γλώσσα μηχανής παραγωγή εκτελέσιμου κώδικα id1 Syntax Analyzer (Parser) := + id2 * id3 60 Semantic Analyzer Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 17 από 40 ΠΛΗ 402 Θεωρία Υπολογισμού η Διάλεξη Παράδειγμα Μεταγλώττισης (2) Semantic Analyzer Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 18 από 40 ΠΛΗ 402 Θεωρία Υπολογισμού η Διάλεξη Παράδειγμα Μεταγλώττισης (3) Code Optimizer SYMBOL TABLE position... initial... rate... id1 := id2 + id3 * inttoreal 60 temp1:=id3*60.0 id1:=id2+temp1 Code Generator Intermediate Code Generator temp1:=inttoreal(60) temp2:=id3*temp1 temp3=id2+temp2 id1:=temp3 Code Optimizer MOVF id3, R2 MULF #60.0, R2 MOVF id2,r1 ADDF R2, R1 MOVF R1, id1 Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 19 από 40 ΠΛΗ 402 Θεωρία Υπολογισμού η Διάλεξη Θέματα Υλοποίησης Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 20 από 40 ΠΛΗ 402 Θεωρία Υπολογισμού η Διάλεξη Οργάνωση Φάσεων Μεταγλώττισης Σταδιακή υλοποίηση ÓÓØ ØÖÔÔÒµ S 1 S 2... S n A βήμα 1: μεταγλωττιστής από S 1 σε T γραμμένος σε Y βήμα 2: μεταγλωττιστής από S 2 σε T γραμμένος σε S 1 βήμα n + 1: μεταγλωττιστής από A σε T γραμμένος σε S n Περάσματα Ô µ ένα ή πολλαπλά περάσματα εκτέλεση πολλών φάσεων σε κάθε πέρασμα Εμπρόθιο/Οπίσθιο Τμήμα οργάνωση φάσεων μεταγλώττισης για μεταφερσιμότητα αρχική γλώσσα: ÖÓÒعҵ εμπρόσθιο τελική γλώσσα: ¹Òµ οπίσθιο Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 21 από 40 Μ. Γ. Λαγουδάκης Σχολή ΗΜΜΥ, Πολυτεχνείο Κρήτης Σελίδα 22 από 40