HY118-Διακριτά Μαθηματικά

Transcript

1 HY118-Διακριτά Μαθηματικά Παρασκευή, 02/03/2018 Αντώνης Α. Αργυρός Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 02-Mar

2 Θεωρία Συνόλων 02-Mar-18 2

3 Προηγούμενη φορά Σύνολα, πολυσύνολα Ισότητα Διαγράμματα Venn x S Κενό σύνολο, μοναδικότητα Υποσύνολο/υπερσύνολο συνόλου 02-Mar

4 Σχέσεις υποσυνόλου και υπερσυνόλου Τι λέτε για τα παρακάτω; S S ; ΝΑΙ S ; ΝΑΙ Τι λέτε για τα παρακάτω; S S ; ΟΧΙ S ; ΟΧΙ πάντα! Π.χ., {, α, β} αλλά {α, β} 02-Mar

5 Σχέσεις υποσυνόλου και υπερσυνόλου Αυτό μας βοηθά να δώσουμε άλλη μια ερμηνεία του τελεστή «εάν τότε» Η πρόταση x (P(x) Q(x)) σημαίνει ότι «τα στοιχεία που έχουν την ιδιότητα P είναι υποσύνολο των στοιχείων που έχουν την ιδιότητα Q» Αν κανένα στοιχείο στο π.ο. της x δεν έχει την ιδιότητα P, τότε η πρόταση x (P(x) Q(x)) είναι αληθής Αν όλα τα στοιχεία έχουν την ιδιότητα Q, τότε η πρόταση x (P(x) Q(x)) είναι και πάλι αληθής Η μόνη περίπτωση να είναι ψευδής η πρόταση είναι να υπάρχει ένα στοιχείο με την ιδιότητα P που να μην έχει την ιδιότητα Q 02-Mar

6 Σχέσεις υποσυνόλου και υπερσυνόλου Περισσότεροι συμβολισμοί: S T ( Το S είναι υπερσύνολο του T ) : ορ. T S. Σημειώστε ότι S=T S T S T. : ορ. (S T), δηλ. x(x S x T) S / T 02-Mar

7 Γνήσια υποσύνολα και υπερσύνολα S T ( Το S είναι γνήσιο υποσύνολο του T ) σημαίνει ότι S T S T Παράδειγμα:{1,2} {1,2,3} Ισχύει ότι {1,2,3} {1,2,3},... αλλά όχι ότι {1,2,3} {1,2,3} 02-Mar

8 Τα σύνολα είναι αντικείμενα επίσης! Τα στοιχεία ενός συνόλου μπορούν να είναι από μόνα τους σύνολα. Π.χ. S={{1,2}, {1,3}} Προσοχή: {1,2} {{1,2}} 02-Mar

9 Πληθικός αριθμός S ( ο πληθικός αριθμός του S ) είναι το πλήθος των στοιχείων του S. π.χ., =0, {1,2,3} = 3, {a,b} = 2, {{1,2,3},{4,5}} = 2 Εάν S N, τότε λέμε ότι το S είναι πεπερασμένο. Αλλιώς, λέμε ότι το S είναι άπειρο. 02-Mar

10 Το δυναμοσύνολο ενός συνόλου Το δυναμοσύνολο P(S) ενός συνόλου S είναι το σύνολο όλων των δυνατών υποσυνόλων του S. P(S) : {x x S}. Π.χ. P({a,b}) = {, {a}, {b}, {a,b}}. Μερικές φορές το P(S) το συμβολίζουμε με 2 S. Σημειώστε ότι (σίγουρα για πεπερασμένα σύνολα S), P(S) = 2 S. Προκύπτει ότι S: P(S) > S, e.g. P(N) > N. Υπάρχουν άπειρα σύνολα με διαφορετικά μεγέθη! 02-Mar

11 Πράξεις μεταξύ συνόλων Ένωση Τομή Διαφορά Συμμετρική διαφορά Συμπλήρωμα συνόλου 02-Mar

12 Ένωση συνόλων Για δύο σύνολα A, B, η ένωσή τους ( nion) A B είναι το σύνολο που περιέχει τα στοιχεία που ανήκουν στο A, ή ( ) ανήκουν στο B (ή, φυσικά, και στα δύο). Τυπικά, A,B: A B = {x x A x B}. Πχ. {2,3,5} {3,5,7} ={2,3,5,7} Η ένωση A B δύο συνόλων Α, Β αποτελεί υπερσύνολο και του A και του B : A, B: (A B A) (A B B) 02-Mar

13 Παράδειγμα ένωσης συνόλων {2,3,5} {3,5,7} ={2,3,5,7} 02-Mar

14 Ένωση συνόλων Πως μπορούμε να αποδείξουμε ότι η ένωση A B δύο συνόλων Α, Β αποτελεί το μικρότερο δυνατό υπερσύνολο και του A και του B; Έστω ότι υπάρχει σύνολο Μ, υπερσύνολο του Α και του Β που έχει λιγότερα στοιχεία από το A B Αυτό σημαίνει πως Α Μ και Β Μ και ταυτόχρονα υπάρχει x A B τέτοιο ώστε x Μ. Αφού x A B, τότε x A ή x B. Και αφού Α Μ και Β Μ, x M. Αντίφαση Άρα, δεν υπάρχει υπερσύνολο του Α και του Β με λιγότερα στοιχεία από το A B 02-Mar

15 Γενικευμένη ένωση συνόλων Δυαδικός τελεστής ένωσης: A B n-οστή ένωση: A A 2 A n : (( ((A 1 A 2 ) ) A n ) (η ομαδοποίηση & η σειρά δεν παίζουν ρόλο) n Συμβολισμός: A ή: A X A i 1 i 02-Mar

16 Τομή συνόλων Για σύνολα A, B, η τομή τους A B περιλαμβάνει όλα τα στοιχεία που ανήκουν ταυτόχρονα στο A και ( ) στο B. Τυπικά, A,B: A B={x x A x B}. Η τομή A B δύο συνόλων Α, Β είναι ένα υποσύνολο και του A και του B (το μέγιστο τέτοιο υποσύνολο): A, B: (A B A) (A B B) 02-Mar

17 Παράδειγμα τομής συνόλων {a,b,c} {2,3} = {2,4,6} {3,4,5} = {4} 02-Mar

18 Γενικευμένη τομή συνόλων Δυαδικός τελεστής τομής: A B n-οστή τομή: A 1 A 2 A n (( ((A 1 A 2 ) ) A n ) (η ομαδοποίηση & η σειρά δεν παίζουν ρόλο) n Συμβολισμός: A ή: A X A i 1 i 02-Mar

19 Ξένα σύνολα Δύο σύνολα A, B λέγονται ξένα αν και μόνο αν η τομή τους είναι το κενό σύνολο. (A B= ) Π.χ. {a,b,c} {2,3} = 02-Mar

20 Αρχή του εγκλεισμού-αποκλεισμού Πόσα στοιχεία βρίσκονται στην ένωση A B δύο συνόλων Α και Β; Μπορείτε να σκεφτείτε μία γενική σχέση; (Εκφράστε το με βάση τα A, B και ό,τι άλλο χρειαστείτε.) 02-Mar

21 Αρχή του εγκλεισμού-αποκλεισμού Πόσα στοιχεία βρίσκονται στην ένωση A B δύο συνόλων Α και Β; Μπορείτε να σκεφτείτε μία γενική σχέση; A B = A B A B 02-Mar

22 Αρχή του εγκλεισμού-αποκλεισμού: Παράδειγμα Παράδειγμα: Έστω ότι σε ένα σύνολο ανθρώπων, 50 άτομα έχουν μηχανάκι, 180 άτομα έχουν ποδήλατο και 30 άτομα έχουν και μηχανάκι και ποδήλατο. Πόσοι άνθρωποι έχουν δίτροχο μεταφορικό μέσο; 02-Mar

23 Αρχή του εγκλεισμού-αποκλεισμού: Παράδειγμα Α Β Μηχανάκι (50) Μηχανάκι + Ποδήλατο (30) Ποδήλατο (180) 02-Mar

24 Αρχή του εγκλεισμού-αποκλεισμού Έστω Δ Α Β, όπου, Α = {s s έχει μηχανάκι} Β = {s s έχει ποδήλατο} Μερικοί μπορεί να έχουν και τα δύο! Δ = Α Β = Α Β Α Β (στο παράδειγμά μας, Δ = = 200) 02-Mar

25 Αρχή του εγκλεισμού-αποκλεισμού Στην περίπτωση τριών συνόλων Α 1 Α 2 Α 3 = Α 1 + Α 2 + Α 3 - Α 1 Α 2 - Α 1 Α 3 - Α 2 Α 3 + Α 1 Α 2 Α 3 Θα δούμε αργότερα πως γενικεύεται για την ένωση n συνόλων. 02-Mar

26 Αρχή του εγκλεισμού-αποκλεισμού για ξένα σύνολα Αν Α, Β ξένα σύνολα, τότε: A B = A B 02-Mar

27 Διαφορά συνόλων Για σύνολα A, B, η διαφορά του A από το B, συμβολίζεται με A B, και αποτελείται από όλα τα στοιχεία του A που δεν ανήκουν στο B. Τυπικά: A B : x x A x B 02-Mar

28 Διαφορά συνόλων - Venn Diagram Το σύνολο A B είναι ότι απομένει από το Α όταν από αυτό εξαιρέσουμε όλα τα στοιχεία του Β Σύνολο A B Σύνολο A Σύνολο B 02-Mar

29 Παραδείγματα διαφοράς συνόλων {1,2,3,4,5,6} {2,3,5,7,9,11} = {1,4,6} Z N {x x ακέραιος αλλά όχι φυσικός} = {, 1, 0, 1, 2, } {1, 2 } = {, 3, 2, 1, 0} 02-Mar

30 Συμμετρική διαφορά συνόλων Για σύνολα A, B, η συμμετρική διαφορά τους, συμβολίζεται με A B, και αποτελείται από όλα τα στοιχεία της ένωσής τους, αν εξαιρεθούν τα στοιχεία της τομής τους. Τυπικά: A B : (A B) (A B) 02-Mar

31 Συμπληρώματα συνόλων Ο δειγματικός χώρος μπορεί να θεωρηθεί ως σύνολο, έστω U. Για κάθε σύνολο A U, το συμπλήρωμα του A,, ως προς το U, είναι το U A. A Π.χ., Εάν U=N, {3,5} {1,2,4,6,7,...} 02-Mar

32 Αμοιβαία ξένα σύνολα Έστω n σύνολα Α i, 1=1, 2,, n Τα σύνολα Α i ονομάζονται αμοιβαία ξένα αν και μόνο αν i j, (Αi Αj = ) 02-Mar

33 Διαμέριση ενός συνόλου Α Έστω n μη κενά σύνολα Α i, i=1, 2,, n. Τα σύνολα Α i αποτελούν μία διαμέριση του συνόλου Α αν και μόνο αν: n (1) A Ai i 1 (2) Ta Α i είναι αμοιβαία ξένα σύνολα Α 2 Α Α 4 Α 1 Α3 02-Mar

34 Ταυτότητες A = A = A U A U = U A = A A = A = A A A B = B A ( A) A A B = B A A (B C)=(A B) C A (B C)=(A B) C 02-Mar

35 Αντικ.: με, με, A = A = A U A U = U, A = A A = A = A A με F, U με T ( A) A A B = B A, A B = B A A (B C)=(A B) C, A (B C)=(A B) C 02-Mar

36 Νόμος DeMorgan για σύνολα Ακριβώς ανάλογος με (και αποδείξιμος από) τον νόμο DeMorgan για προτάσεις. A B A B A B A B 02-Mar

37 Παράδειγμα χρήσης αρχής εγκλεισμούαποκλεισμού, διαφοράς συνόλων και De Morgan Πόσοι ακέραιοι από το 1 έως το 1000 δεν είναι πολλαπλάσια του 10, του 4 και του 15? 02-Mar

38 Παράδειγμα Πόσοι ακέραιοι από το 1 έως το 1000 δεν είναι πολλαπλάσια του 10, του 4 και του 15; Έστω Σ= {οι ακέραιοι από το 1 έως το 1000} Έστω Α= {τα πολλαπλάσια του 10} Έστω Β= {τα πολλαπλάσια του 4} Έστω Γ= {τα πολλαπλάσια του 15} Τι θέλουμε να υπολογίσουμε; 02-Mar

39 Παράδειγμα Θέλουμε να υπολογίσουμε την ποσότητα: Όμως ( ) ( ) γιατί ισχύει η τελευταία ισότητα; 02-Mar

40 Παράδειγμα Επομένως, ( ) ( ) ( ) Α Β = πολλαπλάσια του 20 Α Γ = πολλαπλάσια του 30 Β Γ = πολλαπλάσια του 60 Α Β Γ = πολλαπλάσια του Mar

41 Παράδειγμα Αρα, ( ) ( ) 1000-( 1000/ / /15 ) + ( 1000/ / /60 )- 1000/60 =1000-( )+( )-16= Mar

42 Απόδειξη ισότητας συνόλων Για να αποδείξουμε προτάσεις της μορφής E 1 = E 2 (όπου τα E 1, E 2 είναι εκφράσεις συνόλων), υπάρχουν τέσσερις βασικές τεχνικές: 1. Χρήση του πίνακα μελών 2. Διαγράμματα Venn 3. Απόδειξη ότι E 1 E 2 και E 2 E Χρήση ταυτοτήτων 02-Mar

43 Μέθοδος 1: Πίνακες μελών Κατ αναλογία με τους πίνακες αληθείας στον προτασιακό λογισμό Στήλες για διαφορετικές εκφράσεις με σύνολα. Γραμμές για όλους τους συνδυασμούς συμμετοχής στα σύνολα που απαρτίζουν τις εκφράσεις Χρήση 1 για τα μέλη, 0 για τα μη-μέλη. Απόδειξη ισότητας με σύγκριση στηλών. 02-Mar

44 Παράδειγμα Αποδείξτε ότι (A B) B = A B. A B A B (A B) B A B Mar

45 Κι άλλο παράδειγμα Αποδείξτε ότι (A B) C = (A C) (B C). A B C A B (A B) C A C B C (A C) (B C) Mar

46 συνέχεια Αποδείξτε ότι (A B) C = (A C) (B C). A B C A B (A B) C A C B C (A C) (B C) Mar

47 Μέθοδος 2: Διαγράμματα Venn Αποδείξτε ότι (A B) B = A B Α Β 02-Mar

48 Μέθοδος 2: Διαγράμματα Venn Αποδείξτε ότι (A B) B = A B Α Β A B = (A B) B 02-Mar

49 Μέθοδος 3: υποσύνολα Παράδειγμα: Δείξτε ότι A (B C)=(A B) (A C). Μέρος 1ο: Δείχνω ότι A (B C) (A B) (A C). Υποθέτω x (A (B C)), & δείχνω ότι x ((A B) (A C)). Γνωρίζουμε ότι x A, και είτε x B είτε x C. Περ. 1: x B. Τότε x A B, επομένως x (A B) (A C). Περ. 2: x C. Τότε x A C, επομένως x (A B) (A C). Άρα, x (A B) (A C). Άρα, A (B C) (A B) (A C). 02-Mar

50 Μέθοδος 3: υποσύνολα Παράδειγμα: Δείξτε ότι A (B C)=(A B) (A C). Μέρος 2ο: Δείχνω ότι (A B) (A C) A (B C). Υποθέτω x ((A B) (A C)) & δείχνω ότι x (A (B C)). Γνωρίζουμε ότι x (A B), ή x (A C). Περ. 1: x (A B). Τότε x A και x (B C), επομένως x (A (B C)). Περ. 2: x (A C). Τότε x A και x (B C), επομένως x (A (B C)). Άρα, x (A (B C)). Άρα, (A B) (A C) A (B C). Άρα, A (B C)=(A B) (A C). 02-Mar

51 Μέθοδος 4: χρήση ταυτοτήτων Aπ ευθείας με ταυτότητες ισότητας συνόλων Είτε με «μετάφραση» σε προτασιακή λογική, π.χ., δείξτε ότι A (B C) (A B) (A C). Ποιά αντίστοιχη πρόταση θα πρέπει να αποδείξουμε στον προτασιακό λογισμό; 02-Mar

52 Μέθοδος 4: χρήση ταυτοτήτων Είτε απ ευθείας με ταυτότητες συνόλων Είτε με «μετάφραση» σε προτασιακή λογική, π.χ., δείξτε ότι A (B C) (A B) (A C). Αρκεί να δείξουμε ότι η πρόταση A (B C) (A B) (A C) αποτελεί ταυτολογία 02-Mar

53 Μέθοδος 4: χρήση ταυτοτήτων Πράγματι: A (B C) (A B) (A C) (A (B C)) ((A B) (A C) ) (A (B C)) (A (B C)) T 02-Mar

54 Διατεταγμένες n-άδες Για n N, μία διατεταγμένη n-αδα ή μία ακολουθία μήκους n γράφεται ως (a 1, a 2,, a n ). Το πρώτο στοιχείο της είναι το a 1, κλπ. Mπορούμε να έχουμε αντίγραφα στοιχείων H σειρά των στοιχείων έχει σημασία! (1, 2) (2, 1) (2, 1, 1). 02-Mar

55 Οι διατεταγμένες n-άδες έχουν πολλές εφαρμογές. Για παράδειγμα, Μαθηματικές δομές συχνά περιγράφονται με μία συγκεκριμένη διάταξη που επιτρέπει να ξέρουμε πιο στοιχείο παίζει πιο ρόλο. π.χ., το (N,<) είναι μία συγκεκριμένη δομή που χρησιμοποιεί το < για να δημιουργήσει μία διάταξη στο N. 02-Mar

56 Οι σχέσεις εκφράζονται μέσω n-αδων. Π.χ.: < = { (0,1), (1,2), (0,2), ) } Το πρώτο και το δεύτερο όρισμα μιας σχέσης μπορεί να προέρχεται από διαφορετικά σύνολα, π.χ. Προτιμάει_να_βλέπει = {(Κώστας, ειδήσεις), (Νίκος, ποδόσφαιρο), (Μαρία, ταινίες)} 1ο: στοιχεία από το σύνολο των ανθρώπων 2ο: στοιχεία από το σύνολο των προγραμμάτων της TV 02-Mar

57 Καρτεσιανό γινόμενο συνόλων Για σύνολα A, B, το Καρτεσιανό τους γινόμενο είναι το A B : {(a, b) a A b B }. π.χ. {a,b} {1,2} = {(a,1),(a,2),(b,1),(b,2)} Ο ορισμός επεκτείνεται για πολλά σύνολα: A 1 A 2 A n ={(a 1,a 2,...,a n ) a 1 A 1 a 2 A 2 a n A n } René Descartes ( ) 02-Mar

58 Καρτεσιανό γινόμενο συνόλων Για σύνολα A, B A B = A B Σημειώστε ότι, A,B: A B=B A 02-Mar

59 Καρτεσιανό γινόμενο συνόλων {Κώστας, Μαρία, Νίκος} {Νέα,Ταινίες}= { (Κώστας, Νέα), (Μαρία, Νέα), (Νίκος, Νέα), (Κώστας, Ταινίες), (Μαρία, Ταινίες), (Νίκος, Ταινίες) } 02-Mar

60 02-Mar

61 Αναπαριστώντας σύνολα με Bit Strings Για ένα δειγματικό χώρο U με διάταξη x 1, x 2,, αναπαράσταση ενός πεπερασμένου συνόλου S U σαν το πεπερασμένο bit string B=b 1 b 2 b n όπου i: x i S (1 i n b i =1). Π.χ. U=N, S={2,3,5,7,11}, B= Σε αυτή την αναπαράσταση, οι βασικές πράξεις συνόλων υλοποιούνται κατευθείαν με τις bitwise πράξεις OR, AND, NOT 02-Mar

62 Αναπαριστώντας σύνολα με Bit Strings Π.χ., {2,3,5,7,11} {1,3,4,9} = δηλ. το {1,2,3,4,5,7,9,11} 02-Mar

63 Αξιωματική θεωρία συνόλων Ένα βασικό αξίωμα: Δοσμένου ενός κατηγορήματος P, κατασκεύασε ένα σύνολο που να περιλαμβάνει όλα τα στοιχεία x για τα οποία η xp(x) να είναι αληθής πρόταση. Ωστόσο, η προκύπτουσα θεωρία είναι λογικά ασυνεπής! Αυτό σημαίνει ότι υπάρχουν κάποιες προτάσεις p για τις οποίες να μπορούμε να δείξουμε ότι και η p και η p προκύπτουν λογικά ώς αποτέλεσμα της θεωρίας μας!... Δηλαδή ότι ξεκινώντας από τα αξιώματα οδηγούμαστε σε αντίφαση! Μια τέτοια θεωρία είναι θεμελιωδώς μη ενδιαφέρουσα, γιατί οποιαδήποτε πρόταση σε αυτή μπορεί (τετριμμένα) να αποδειχθεί 02-Mar

64 Παράδειγμα: Ο κουρέας ξυρίζεται μόνος του ή όχι; Έστω ότι σε μία πόλη ο κουρέας ξυρίζει όλους εκείνους τους άντρες (και μόνο αυτούς) που δεν ξυρίζονται μόνοι τους. Ερώτηση: Ο κουρέας αυτός ξυρίζεται μόνος του ή όχι; Έστω ότι ξυρίζεται μόνος του. Άρα δεν ξυρίζεται μόνος του. Έστω ότι δεν ξυρίζεται μόνος του. Άρα ξυρίζεται μόνος του.!!! 02-Mar

65 Η παράκαμψη του παράδοξου Για να αποφύγουμε την ασυνέπεια, η θεωρία συνόλων πρέπει με κάποιο τρόπο να τροποποιηθεί... Για περισσότερες πληροφορίες, διαβάστε για το παράδοξο του Russel: Bertrand Russell Mar

66 02-Mar