3.2 Η Αρχή των Huygens-Fresnel

Transcript

1 ΚΕΦ. ενικές αρχές της κυματικής κίνησης. Η Αρχή των Huygens-Fresnel.. Ιστορική διατύπωση.. Απλές εφαρμογές.. Εφαρμογή της αρχής των Huygens-Fresnel σε ανομοιογενές μέσο, με γραμμικά μεταβαλλόμενη ταχύτητα διάδοσης..4 Η Αρχή του Huygens στα πλαίσια της σύγχρονης μαθηματικής φυσικής..5 Ειδική βιβλιογραφία (επί της Αρχής των Huygens-Fresnel)

2 ΚΕΦ. ενικές αρχές της κυματικής.-. Η Αρχή των Huygens-Fresnel.. Ιστορική διατύπωση Η αρχή του Huygens διατυπώθηκε από τον Ολλανδό φυσικό, αστρονόμο και μαθηματικό Christian Huygens () to 678 (δημοσιεύθηκε όμως το 690, στο βιβλίο του Traité de la Lumière), ως ερμηνευτική αρχή για τη διάδοση του φωτός. Είναι ενδιαφέρον να σημειώσουμε εδώ ότι εκείνη την εποχή η ηλεκτρομαγνητική φύση του φωτός δεν ήταν γνωστή (αφού η ηλεκτρομαγνητική θεωρία του Maxwell εμφανίσθηκε περίπου δύο αιώνες αργότερα!). Η αρχή του Huygens είναι ανεξάρτητη από την ειδικότερη φύση (τη δυναμική) του κυματικού φαινομένου, και ισχύει σχεδόν για όλα τα κυματικά φαινόμενα. Η αρχή του Huygens προϋποθέτει μόνο την (γεωμετρικού-κινηματικού χαρακτήρα) έννοια του μετώπου κύματος, η οποία συζητήθηκε στο εδάφιο... Μια εκτενής διατύπωση της αρχής του Huygens (στην οποία περιγράφεται αναλυτικά η κατασκευή του Ηuygens) είναι η ακόλουθη: Αν γνωρίζουμε το μέτωπο κύματος σε μια συγκεκριμένη χρονική στιγμή t, η νέα θέση του μετώπου κύματος στη χρονική στιγμή t + Δt, βρίσκεται ως εξής: Σχεδιάζουμε μικρές σφαίρες με κέντρα τα σημεία του μετώπου κύματος στη χρονική στιγμή t, και ακτίνες r = c Δt, όπου c είναι η (τοπική) ταχύτητα διάδοσης του κύματος. Το νέο μέτωπο κύματος είναι η περιβάλλουσα επιφάνεια αυτών των σφαιρών (προς την κατεύθυνση όπου πράγματι διαδίδεται το κύμα, όχι την αντίθετη!). Παρατήρηση : H ταχύτητα c με την οποία διαδίδεται η κυματική διαταραχή μπορεί να μεταβάλλεται με τη θέση στο χώρο ή, ακόμη, και με το χρόνο! Δηλαδή, η αρχή του Huygens εφαρμόζεται τόσο σε ομογενή μέσα (c = σταθερή), όσο και σε ανομοιογενή μέσα, είτε c = c =c x,y, ), είτε χρονικά μεταβαλλόμενα ( c = c x,t = χρονικά αμετάβλητα ( ( x ) ( ) ( ) = c( x,y,,t) ). () Christian Huygens (69-695). Ολλανδός φυσικός, αστρονόμος και μαθηματικός. Εκτός από τη σημαντική συνεισφορά του στη μηχανική (υπολόγισε την περίοδο των ταλαντώσεων του εκκρεμούς και μελέτησε την περιστροφική κίνηση), πραγματοποίησε σπουδαίες αστρονομικές παρατηρήσεις (ανακάλυψε έναν δορυφόρο του Κρόνου και διαπίστωσε την πραγματική μορφή των δακτυλίων αυτού του πλανήτη με τη βοήθεια τηλεσκοπίων που βελτίωσε ο ίδιος), και -κυρίως- τελειοποίησε και επεξέτεινε την κυματική θεωρία του φωτός, η οποία, είχε προταθεί από τον Hooke. Η ομώνυμη αρχή διατυπώθηκε μάλλον πριν από το 678, δημοσιεύθηκε όμως το 690, στο έργο του Traité de la Lumière. Στο έργο αυτό ο Huygens επισημαίνει την ανάγκη χρησιμοποίησης κατάλληλης μηχανικής ερμηνείας για την περιγραφή των φαινομένων που σχετίζονται με τη διάδοση του φωτός, και εισάγει την ομώνυμη αρχή, ως ερμηνευτική αρχή μηχανικού χαρακτήρα (σε συνδυασμό με την υπόθεση του αιθέρα). Με τη βοήθεια της αρχής αυτής έδωσε εξαιρετικά ικανοποιητικές ερμηνείες των (γνωστών) νόμων της ανάκλασης και της διάθλασης του φωτός. Ενδιαφέρον παρουσιάζει και η κοινωνική όψη της ζωής του Christian Huygens. Καταγόταν από πλούσια και διακεκριμένη οικογένεια της μεσαίας τάξης. Ο πατέρας του, Constantijn Huygens ήταν διπλωμάτης, λατινιστής και ποιητής, και υπήρξε φίλος πολλών προσωπικοτήτων της εποχής του, όπως ήταν ο Descart (Καρτέσιος). Ο Christian Huygens σπούδασε Μαθηματικά και Δίκαιο στο Πανεπιστήμιο του Leyden, στο οποίο έγινε δεκτός το 645. Επισκέφθηκε για πρώτη φορά το Παρίσι το 655, και αργότερα έζησε εκεί επί 5 έτη (666-68). Ήταν ένα από τα ιδρυτικά μέλη της αλλικής Ακαδημίας Επιστημών (666). Κατά τη διάρκεια της ζωής του γνώρισε τον Descart (Καρτέσιο), τον Pascal και τον Leibnit (με τους οποίους διατήρησε φιλικές σχέσεις για πολλά χρόνια), καθώς και τον Newton, τον οποίον συνάντησε το 689, όταν επισκέφθηκε το Λονδίνο. 5//008 :7 PM

3 ΚΕΦ. Η Αρχή των Huygens-Fresnel.- Παρατήρηση : Η αρχή του Huygens, όπως διατυπώθηκε ανωτέρω, εφαρμόζεται στην περίπτωση κυματικής διάδοσης στο πεδίο του χρόνου. Η αρχή εξακολουθεί να ισχύει και στο πεδίο συχνοτήτων (περίπτωση περιοδικής κυματικής κίνησης), υπό την προϋπόθεση ότι θα αντικαταστήσουμε το μέτωπο κύματος (έννοια που έχει σαφές νόημα στο πεδίο του χρόνου) (πρόβλημα αρχικών τιμών) με την ισοφασική επιφάνεια (έννοια που έχει σαφές νόημα στο πεδίο συχνοτήτων). Βλ. σχετικά και εδάφιο... Η επέκταση της αρχής στο πεδίο συχνοτήτων (περιοδικά κύματα) έγινε από τον Fresnel το 88, ο οποίος, για την εργασία του αυτή βραβεύθηκε από τη αλλική Ακαδημία Επιστημών. Και ο Fresnel (όπως και ο Huygens) αναφερόταν στη μελέτη της διάδοσης του φωτός στα πλαίσια της υπόθεσης του αιθέρα. Λόγω της συμβολής του Fresnel, η αρχή ονομάζεται συχνά και αρχή των Huygens-Fresnel. Παρατήρηση : Οι μικρές σφαίρες που θεωρούμε (σχεδιάζουμε) με κέντρα πάνω στη στιγμιαία θέση του μετώπου κύματος ονομάζονται κυματίδια (waelets). Κάθε κυματίδιο είναι ένα (υποθετικό) δευτερογενές κύμα, το οποίο υποτίθεται ότι "εκπέμπεται" από το αντίστοιχο σημείο του μετώπου κύματος. Με βάση αυτή τη θεώρηση, η αρχή του Huygens μπορεί να διατυπωθεί συνοπτικά ως εξής: Η κυματική διαταραχή διαδίδεται στο χώρο ως εάν κάθε σημείο του (στιγμιαίου) μετώπου κύματος ήτο μια (υποθετική) δευτερογενής πηγή κύματος. Το κάθε κυματίδιο διαδίδεται με την τοπική ταχύτητα διάδοσης... Απλές εφαρμογές Η αρχή (κατασκευή) του Huygens είναι ένας συστηματικός τρόπος (αλγόριθμος) με τον οποίο μπορούμε να ερμηνεύσουμε (και να προβλέψουμε) την κινηματική της κυματικής διάδοσης, δηλαδή το πώς εξελίσσεται στο χρόνο το μέτωπο κύματος, όταν γνωρίζουμε το πεδίο c ( x,t) της ταχύτητας διάδοσης του κύματος, στις δύο και στις τρεις διαστάσεις. (Στη μία διάσταση η αρχή του Huygens καθίσταται τετριμμένη). Δεν μας δίδει όμως πληροφορίες για την ένταση της κυματικής διαταραχής, η μελέτη της οποίας απαιτείται και χρήση των δυναμικών νόμων (εξισώσεων) του κυματικού φαινομένου. Πριν προχωρήσουμε τη συζήτησή μας επί της αρχής του Huygens, θα δώσουμε ορισμένα παραδείγματα εφαρμογής της. Στο Σχήμα φαίνεται πως εφαρμόζεται η αρχή (κατασκευή) του Huygens σ' ένα επίπεδο και ένα σφαιρικό κύμα που διαδίδονται σε ομογενές μέσο. Η ταχύτητα διάδοσης σ' αυτά τα δύο παραδείγματα είναι c = σταθερή, και συνεπώς η ακτίνα όλων των κυματιδίων είναι ίση. Κατά Σχήμα (.): Εφαρμογή της αρχής του Ηuygens σε επίπεδο και σφαιρικό κύμα, σε ομογενές μέσο.

4 ΚΕΦ. ενικές αρχές της κυματικής.- συνέπεια, στην περίπτωση, αυτή, η αρχή του Ηuygens μας λέει ότι το επίπεδο κύμα παραμένει επίπεδο, και το σφαιρικό κύμα παραμένει σφαιρικό. Οι ακτίνες διάδοσης (που είναι γραμμές κάθετες στο μέτωπο κύματος) είναι παράλληλες ευθείες στην περίπτωση του επιπέδου κύματος, και αποκλίνουσες ευθείες στην περίπτωση του σφαιρικού κύματος. Τα κυματίδια του Σχήματος (θεωρούμενα ως πλήρες σφαίρες) έχουν δύο περιβάλλουσες επιφάνειες, μία μέσα στο χώρο απ' όπου έχει ήδη διαδοθεί (περάσει) το κύμα, και μια έξω από αυτόν. Προφανώς, η δεύτερη επιφάνεια είναι η κατάλληλη για το πρόβλημά μας. Η πρώτη επιφάνεια θα ήταν κατάλληλη αν είχαμε κύμα διαδιδόμενο προς την αντίθετη κατεύθυνση, πράγμα που είναι, βέβαια, δυνατόν. Η αρχή του Huygens δεν "επαληθεύει" μόνο τετριμμένα αποτελέσματα, όπως αυτά του Σχήματος. Μπορεί επίσης να παράγει αποτελέσματα, τα οποία δεν είναι καθόλου προφανή εκ πρώτης όψεως. Ένα τέτοιο παράδειγμα, όπου η αρχή του Ηuygens εφαρμόζεται στην περίπτωση κυματικής διάδοσης σε ανομοιογενές μέσο, εξετάζεται αναλυτικά στο επόμενο υποεδάφιο. Στο παραδείγμα αυτό η ταχύτητα διάδοσης μεταβάλλεται γραμμικά ως προς. Τότε, ένα αρχικά ευθύγραμμο μέτωπο κύματος παραμένει ευθύγραμμο, διερχόμενο διαρκώς δι' ενός σταθερού σημείου. Άρα, οι ακτίνες διάδοσης διαγράφουν τόξα κύκλου! Το αποτέλεσμα αυτό θα το βρούμε και με τη βοήθεια της αρχής του Fermat (Θεωρία ακτίνων) στο εδάφιο.. Ένα ακόμη γενικό χαρακτηριστικό κάθε κυματικής διάδοσης, το οποίο συνάγεται πολύ εύκολα με τη βοήθεια της αρχής του Huygens, είναι το ακόλουθο: Σε ανομοιογενή μέσα, το μέτωπο του κύματος (και άρα και οι ακτίνες διάδοσης) στρέφεται προς (συγκλίνουν προς) περιοχές όπου η ταχύτητα διάδοσης εμφανίζει τοπικό ελάχιστο. 4 c Μ Ν 4 Σχήμα (.): Εφαρμογή της αρχής του Huygens σε αρχικά επίπεδο κύμα, διαδιδόμενο σε ανομοιογενές μέσο. 5//008 :7 PM

5 ΚΕΦ. Η Αρχή των Huygens-Fresnel.-4 Η απόδειξη της ανωτέρω προτάσεως προκύπτει αμέσως με τη βοήθεια της κατασκευής Huygens, όπως αυτή παρουσιάζεται στο Σχήμα. Δεδομένου ότι τα κυματίδια έχουν μεγαλύτερη ακτίνα στα σημεία όπου η ταχύτητα διάδοσης είναι μεγαλύτερη, η περιβάλλουσα αυτών καμπυλώνεται με τέτοιον τρόπο ώστε τα σημεία της να πλησιάζουν προς την περιοχή όπου η ταχύτητα διάδοσης παρουσιάζει ελάχιστο (ευθεία MN στο Σχήμα ). Όπως θα δούμε σε επόμενα εδάφια, η κατασκευή του Ηuygens μας επιτρέπει να εξάγουμε τους νόμους της ανάκλασης και της διάθλασης, και να μελετήσουμε ποιοτικά τα φαινόμενα της περίθλασης και της συμβολής (με τη βοήθεια της επέκτασης του Fresnel).

6 ΚΕΦ. ενικές αρχές της κυματικής.-5.. Εφαρμογή της αρχής των Huygens-Fresnel σε ανομοιογενές μέσο, με γραμμικά μεταβαλλόμενη ταχύτητα διάδοσης Στο παράδειγμα αυτό θα μελετήσουμε διεξοδικά μια περίπτωση κυματικής διάδοσης όπου η ταχύτητα διάδοσης μεταβάλλεται γραμμικά ως προς μια χωρική διάσταση, έστω την συντεταγμένη : c = c( ) = a+ b= a( 0 ). () Η γραμμική μεταβολή της ταχύτητας διάδοσης αφορά ένα τμήμα του πεδίου. Οι τιμές της ταχύτητας διάδοσης c σε άλλες περιοχές του πεδίου δεν έχουν επίπτωση στην ανάλυση που ακολουθεί (και άρα μπορεί να είναι οποιεσδήποτε). Μια πρακτικώς ενδιαφέρουσα περίπτωση στην οποία η ταχύτητα διάδοσης μεταβάλλεται γραμμικά αποτελεί η διάδοση του ήχου στη θάλασσα. Βλ. Σχήμα. Από ένα βάθος και κάτω, το προφίλ της ταχύτητας διάδοσης του ήχου c( ) είναι κατά προσέγγιση γραμμικό (τουλάχιστον σε ένα στρώμα KΛ ). Κατά συνέπεια, η περίπτωση () είναι ιδιαίτερα ενδιαφέρουσα σε εφαρμογές θαλάσσιας ακουστικής. Υποθέτουμε ότι μέσα στο στρώμα KΛ, στο οποίο η ταχύτητα διάδοσης μεταβάλλεται γραμμικά, έχει αναπτυχθεί μέτωπο κύματος ( M ) (π.χ., ακουστικό μέτωπο), τμήμα του οποίου είναι ευθύγραμμο (επίπεδο). Βλ. Σχήμα 4. Εφαρμόζοντας την αρχή των Huygens- Fresnel θα αποδείξουμε την ακόλουθη Πρόταση Ι: Ευθύγραμμο (επίπεδο) μέτωπο κύματος, διαδιδόμενο σε μέσον για το οποίο ισχύει η (), παραμένει ευθύγραμμο (επίπεδο). Θεωρούμε κατ' αρχήν δύο σημεία, επί του μετώπου, με -συντεταγμένες,, αντιστοίχως, και σχεδιάζουμε τα αντίστοιχα κυματίδια (βλ. Σχήμα 4). Οι ακτίνες, ρ, ρ, δίδονται από τις σχέσεις x x k K k K c( ) c( ) Λ Λ Σχήμα (.): Συνήθεις μορφές του προφίλ της ταχύτητας διάδοσης του ήχου στη θάλασσα 5//008 :9 PM

7 ΚΕΦ. Η αρχή των Huygens-Fresnel.-6 ρ = c( ) Δt, ρ c( ) = Δt, (α) και άρα η διαφορά τους εκφράζεται ως ( ) ( ) ( ) Δρ = ρ ρ = c c Δt = a Δt. (β) Έστω ΔΔ η κοινή εφαπτομένη των κυματιδίων (, ) ρ και (, ) ρ, προς την κατεύθυνση της διάδοσης του κύματος (προς τα δεξιά του ), και ΔE. ( Δ, Δ είναι τα σημεία επαφής των κυματιδίων με την κοινή εφαπτόμενη τους). Η γωνία Δϕ, που σχηματίζεται μεταξύ των ευθειών και ΔΔ, προσδιορίζεται από τη σχέση sinδϕ E Δ Δρ Δρ ΔE / cosϕ, = = = ( ) όπου ϕ είναι η γωνία που σχηματίζει το τμήμα με τον κατακόρυφο άξονα ανωτέρω σχέση, με τη βοήθεια της (β), δίδει. Η sinδϕ = a cosϕ Δt. () x Δ k ( ) = ( ) c a 0 ϕ Δ Δ Σ + T Δ T E Σ Σ T ϕ + Σχήμα 4 (.): Η κατασκευή του Huygens στο ο και το ( ) -στο βήμα, στην περίπτωση εξέλιξης επιπέδου μετώπου κύματος σε γραμμικά ανομοιογενές μέσο

8 ΚΕΦ. ενικές αρχές της κυματικής.-7 Στη συνέχεια θεωρούμε ένα (οποιοδήποτε) σημείο και φέρουμε την κοινή εφαπτομένη των κυματιδίων ( ) ΔΔ επαφής με τα κυματίδια προφανές ότι το ρ και (, ) (, ρ ) και ( ), ρ, όπου Δ και Δ είναι τα σημεία ρ, αντιστοίχως. (Προσοχή! Δεν είναι κατ' αρχήν Δ ταυτίζεται με το Δ. Αυτό πρέπει να αποδειχθεί!). Επαναλαμβάνοντας, ρ, βρίσκουμε (ακριβώς με τον ίδιο την ανωτέρω εργασία με τα κυματίδια ( ρ ) και ( ), τρόπο), ότι η γωνία μεταξύ των ευθειών και Δ Δ δίδεται και πάλι από τη σχέση (). Άρα, οι δύο ευθείες ΔΔ και ΔΔ είναι παράλληλες. Επί πλέον, και οι δύο εκ κατασκευής είναι εφαπτόμενες του κύκλου (,ρ ), και τα σημεία επαφής αυτών με τον κύκλο (δηλ. τα σημεία Δ και Δ ) δεν είναι αντιδιαμετρικά (εφ' όσον κείνται στο αυτό ημιεπίπεδο ως προς την διακεντρική ευθεία ). Άρα οι δύο αυτές εφαπτόμενες του κύκλου, ρ δεν μπορεί παρά να ταυτίζονται. ( ) Επεκτείνοντας το ανωτέρω επιχείρημα διαπιστώνουμε ότι η ευθεία ΔΔ (η οποία ορίζεται ως η κοινή εφαπτομένη δύο κυματιδίων) αποτελεί την κοινή εφαπτομένη (περιβάλλουσα) όλων των κυματιδίων με κέντρα πάνω στο ευθύγραμμο τμήμα του μετώπου. Είναι δηλαδή, σύμφωνα με την αρχή του Huygens, η νέα θέση του μετώπου κύματος. Αποδείξαμε έτσι την Πρόταση Ι, ανωτέρω. Το μήκος του τμήματος προκύπτει Δ δίδεται από τη σχέση ρ = Δ sinδϕ, εκ της οποίας Δ ρ ( ) a Δt 0. (4) 0 = = = sinδϕ a cosϕ Δt cosϕ Θα αποδείξουμε τώρα την Πρόταση ΙΙ: Όλα τα διαδοχικώς λαμβανόμενα μέτωπα κύματος (τα οποία είναι ευθύγραμμα, σύμφωνα με την Πρόταση Ι), διέρχονται δια του ιδίου σημείου Δ. Προς τούτο θα χρησιμοποιήσουμε επαγωγή. Ως πρώτο βήμα της επαγωγής μπορούμε να θεωρήσουμε την απόδειξη της Προτάσεως Ι, στα πλαίσια της οποίας δείξαμε ότι το αρχικά ευθύγραμμο μέτωπο λαμβάνει, μετά χρόνο Δ t, τη θέση, και η ευθεία (δηλαδή η ευθεία ΔΔΔ ) διέρχεται δια του σημείου Δ. Έστω τώρα ότι, μετά από βήματα ( κατασκευές Huygens) το (ευθύγραμμο) μέτωπο διέρχεται από το σημείο Δ. Θα δείξουμε ότι και το μέτωπο + +, το οποίο λαμβάνεται αν εφαρμόσουμε την κατασκευή του Ηuygens στο μέτωπο, διέρχεται και αυτό δια του σημείου Δ. Έστωσαν Σ, Σ δύο σημεία του μετώπου με -συντεταγμένες,, αντιστοίχως, οι οποίες λαμβάνονται ίσες προς τις -συντεταγμένες των σημείων,. Δηλαδή οι ευθείες Σ και Σ είναι παράλληλες προς τον άξονα x. Έστω επίσης ϕ η γωνία την οποία σχηματίζει το μέτωπο με τον κατακόρυφο άξονα. Κατασκευάζουμε τα κυματίδια ( Σ ρ ) και ( Σ, ρ ), όπου τα ρ ρ, δίδονται και πάλι από τις σχέσεις (α), και φέρουμε,, 5//008 :9 PM

9 ΚΕΦ. Η αρχή των Huygens-Fresnel.-8 την κοινή εφαπτομένη τους, η οποία αποτελεί το νέο μέτωπο κύματος την απόδειξη της Προτάσεως Ι). + + (σύμφωνα με Εφαρμόζοντας το Θεώρημα των ημιτόνων στο τρίγωνο ΔΣ λαμβάνουμε Δ ΔΣ Δ ΔΣ sin ΔΣ = sin Δ Σ cosϕ = cosϕ, εκ της οποίας, σε συνδυασμό με την (4), λαμβάνουμε ( 4) cosϕ 0 ΔΣ = Δ =. (5) cosϕ cosϕ Έστω τώρα, Δ το σημείο στο οποίο το μέτωπο (ευθεία) + + τέμνει την ευθεία. Τότε, σύμφωνα με την απόδειξη της Προτάσεως Ι, θα ισχύει η σχέση 0 =. (6) cosϕ ΔΣ Από τις (5) και (6) βλέπουμε ότι ΔΣ = Δ Σ, άρα Δ Δ και άρα η ευθεία TT (δηλαδή το μέτωπο + + ) διέρχεται δια του σημείου Δ. Ολοκληρώνεται έτσι και η απόδειξη της Προτάσεως ΙΙ. Άμεση συνέπεια των Προτάσεων Ι και ΙΙ είναι ότι οι ακτίνες διάδοσης (οι οποίες είναι ευθείες κάθετες στο μέτωπο κύματος σε κάθε θέση αυτού), θα είναι ομόκεντροι κύκλοι, με κέντρο το σημείο Δ. Βλ. και Σχήμα 5. x Δ k Σχήμα 5 (.): Μέτωπο κύματος και ακτίνες διάδοσης σε γραμμικά ανομοιγενές μέσο