B ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Τετάρτη 12 Απριλίου 2017 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

Transcript

1 ΑΠΟ 10/4/017 ΕΩΣ /4/017 ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: B ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ημερομηνία: Τετάρτη 1 Απριλίου 017 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α1. Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη του κύκλου c: ( x, y ) έχει εξίσωση xx yy x y σε ένα σημείο του Μονάδες 10 Α. Έστω ένα διάνυσμα ( xy, ). Τι ονομάζεται συντελεστής διεύθυνσης του διανύσματος και με τι ισούται; Τι ισχύει για τον συντελεστή διεύθυνσης στις περιπτώσεις που είναι α) x=0 και β) y=0. Α3. Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράμμα κάθε πρότασης και δίπλα σε κάθε γράμμα τη λέξη Σωστό, για τη σωστή πρόταση, και τη λέξη Λάθος, για τη λανθασμένη. ΘΕΜΑ Β α. Για οποιαδήποτε διανύσματα και ισχύει. β. Αν οι ευθείες ε 1, ε έχουν συντελεστές διεύθυνσης λ 1 και λ αντίστοιχα τότε ισχύει: γ. Η ευθεία x By 0 είναι παράλληλη στο διάνυσμα (, ). δ. Η ακτίνα ρ του κύκλου c: x y είναι ίση με α. ε. Η ευθεία ε είναι εφαπτομένη κύκλου C: (K, p), αν και μόνο αν ισχύει dk (, ). Δίνονται τα διανύσματα (,8) και ( 1, ) για τα οποία ισχύει 1. Μονάδες 10 ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΩΝ Ωρίωνας ΣΕΛΙΔΑ: 1 ΑΠΟ 3

2 ΑΠΟ 10/4/017 ΕΩΣ /4/017 Β1. Να αποδείξετε ότι 3. Για κ=3. Β. Να βρεθεί σημείο Δ για το οποίο ισχύει. Β3. Να γράψετε το διάνυσμα (11, 1) ως γραμμικό συνδυασμό των και. Μονάδες 4 Μονάδες 4 Β4. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας ε που διέρχεται από το σημείο Δ(5, ) και είναι παράλληλη με το διάνυσμα. Β5. Να βρείτε το συμμετρικό του σημείου ( 4, 1) ως προς την ευθεία ε. Μονάδες 7 ΘΕΜΑ Γ Θεωρούμε τα σημεία ( 1, ), (,4) και ( 1,) με. Γ1. Να αποδείξετε ότι για οποιονδήποτε πραγματικό αριθμό λ τα σημεία Α, Β και Γ σχηματίζουν τρίγωνο. Γ. Να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός λ, αν το εμβαδό του τριγώνου ΑΒΓ είναι ίσο με 3. Γ3. Να υπολογίσετε το μήκος του ύψους ΑΔ, όταν λ=1. Γ4. Να βρείτε τη γωνία ˆ του τριγώνου ΑΒΓ, όταν λ=1. Γ5. Για λ=1 να βρεθεί η εξίσωση της διαμέσου ΒΜ. ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΩΝ Ωρίωνας ΣΕΛΙΔΑ: ΑΠΟ 3

3 ΑΠΟ 10/4/017 ΕΩΣ /4/017 ΘΕΜΑ Δ Δίνεται η εξίσωση: x y x y ( ) ( 4) 5 0 0, (1) με. Δ1. Να αποδείξετε ότι για κάθε η εξίσωση (1) παριστάνει κύκλο του οποίου να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα. Μονάδες 6 Δ. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των κέντρων των κύκλων της εξίσωσης (1), καθώς ο αριθμός λ μεταβάλλεται στο. Μονάδες 4 Δ3. Να αποδείξετε ότι όλοι οι κύκλοι της εξίσωσης (1) διέρχονται από δύο σταθερά σημεία Α και Β. Δ4. Να βρείτε τις εξισώσεις των κύκλων C 1 και C της εξίσωσης (1) που έχουν ακτίνα ίση 85 με. Δ5. Να βρεθεί η κοινή εφαπτομένη των δύο κύκλων που είναι παράλληλη στη διάκεντρό τους. ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΩΝ Ωρίωνας ΣΕΛΙΔΑ: 3 ΑΠΟ 3

4 ΑΠΟ 10/04/017 ΕΩΣ /04/017 ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ημερομηνία: Τετάρτη 1 Απριλίου 016 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΘΕΜΑ Α Α1. Θεωρία Α. Θεωρία ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ A3. α. Λάθος ΘΕΜΑ Β β. Σωστό γ. Λάθος δ. Λάθος ε. Σωστό Β1. 1 ( 1) Β. Είναι (3,8) και ( 1,3), οπότε (3,8 6) (5,) Αν ( xy, ) σημείο του επιπέδου, θα είναι ( x 0, y 0) ( x, y) οπότε x 5 και y. Άρα είναι (5,). Β3. Είναι οπότε: (11,1) (3,8 3 ). Θα πρέπει να ισχύουν: 3 11 Από τη λύση του συστήματος προκύπτει ότι λ= και μ=-5. Άρα Β4. Το διάνυσμα έχει συντελεστή διεύθυνσης 3. Άρα και η ευθεία ε θα έχει 1 κλίση ίση με -3. Η εξίσωση της ευθείας ε θα είναι: y 3( x 5) y 3x 17. ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑΔΑΣ ΣΕΛΙΔΑ: 1 ΑΠΟ 5

5 ΑΠΟ 10/04/017 ΕΩΣ /04/017 B5. Έστω Κ η προβολή του σημείου Μ πάνω στην ευθεία ε και το συμμετρικό του Μ ως προς την ευθεία ε. Η ευθεία ΜΚ θα είναι κάθετη στην ευθεία ε. Άρα θα έχει κλίση λ 1 με ( 3) 1 1. Η εξίσωση της ευθείας ΜΚ θα είναι: y 1 ( x 4) y x Οι συντεταγμένες του σημείου Κ προκύπτουν από τη λύση του συστήματος των εξισώσεων 1 1 y x x 5 των ευθειών ΜΚ και ε δηλαδή από το σύστημα 3 3 y y 3x17 Άρα το σημείο Κ ταυτίζεται με το Δ δηλαδή είναι το (5,). Το Κ είναι το μέσο του 4 ευθύγραμμου τμήματος οπότε: και Άρα το θα έχει συντεταγμένες (14,5). ΘΕΜΑ Γ Γ1. Είναι ( 11, ) (, ) και (1,4 ) (3,). det(, ) ( ) (3 )( )... ( 3 5) 0 3 για κάθε γιατί το τριώνυμο 3 5 έχει διακρίνουσα Άρα det(, ) 0 για κάθε, οπότε τα διανύσματα και δεν είναι παράλληλα και επομένως τα σημεία Α, Β και Γ είναι μη συνευθειακά για κάθε. Γ. 1 1 ( ) 3 det(, ) 3 ( 3 5) άρα ή 1. Γ3. Για 1 είναι: Α(, ), Β(1, 4) και Γ(-1, ). Η ευθεία ΒΓ θα έχει κλίση και εξίσωση ( ) : y 4 1( x 1) x y ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑΔΑΣ ΣΕΛΙΔΑ: ΑΠΟ 5

6 ΑΠΟ 10/04/017 ΕΩΣ /04/017 Θα είναι : ( ) d( A, ). 1 ( 1) Γ4. Για 1 είναι: (3,0) και (,) οπότε: ˆ Άρα ˆ 45. ( 1) 1 Γ5. Έστω Μ(γ, δ) μέσο του ΑΓ. Τότε και. Άρα 4 Η ευθεία ΒΜ θα έχει κλίση ,. και εξίσωση ( ) : y 4 4( x 1) y 4x. ΘΕΜΑ Δ Δ1. A B 4 ( 4) 4(5 0) ( 4 0) 0 για κάθε γιατί το τριώνυμο 4 0 έχει διακρίνουσα Άρα η εξίσωση (1) παριστάνει κύκλο για κάθε. ( ) Δ. Τα κέντρα Κ των κύκλων της (1) θα έχουν συντεταγμένες x 1 και y. Άρα 1,,. x 1 x1 Έστω Κ(x, y). τότε θα είναι: 4 4 y y 4 ( x 1) Επομένως y y 4 x 1 x y 5 0. Άρα τα κέντρα των κύκλων της (1) βρίσκονται στην ευθεία x y5 0. Δ3. Βρίσκουμε δύο κύκλους της (1). για λ=4 είναι: x y 10x 0 () για λ=-1 είναι: x y 5y 5 0 με αφαίρεση κατά μέλη των παραπάνω εξισώσεων προκύπτει η εξίσωση ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑΔΑΣ ΣΕΛΙΔΑ: 3 ΑΠΟ 5

7 ΑΠΟ 10/04/017 ΕΩΣ /04/017 10x 5y 5 0 y x 5(3). Λύνουμε το σύστημα των () και (3). Η εξίσωση () γίνεται λόγω της (3). x (x 5) 10x 0... x 6x 5 0. Άρα x=1 ή x=5. Από την εξίσωση (3) βρίσκουμε: Για x=1 το y=-3. Άρα Α(1, -3).Για x=5 το y=5. Άρα Β(5, 5). Εξετάζουμε αν οι συντεταγμένες των Α και Β επαληθεύουν την (1). Για το σημείο Α: 1 ( 3) ( ) ( 4)( 3) Για το σημείο Β: 5 5 ( ) 5 ( 4) Άρα όλοι οι κύκλοι της (1) διέρχονται από τα Α και Β. Δ4. Οι κύκλοι της εξίσωσης (1) έχουν ακτίνα. Όμως οπότε Άρα 5( 4 0) Επομένως θα είναι: 5( 4 0) ( 40) με 5( 40) 85 και λ=3 ή λ=1. C : x y 8x y 5 0 και C : x y 4x 3y Δ5. Τα κέντρα των κύκλων C 1 και C είναι αντίστοιχα 1 4, και 3,. Η ευθεία θα έχει κλίση 1. Η κοινή εφαπτομένη των δύο κύκλων θα έχει 4 1 εξίσωση ( ) : y x x y 0. Θα πρέπει να ισχύει dk ( 1, ) και dk (, ) dk ( 1, )... ή και dk (, )... ή Άρα κοινές εφαπτόμενες των δύο κύκλων είναι οι ευθείες ( 1) : x y 0 και ( ) : x y 0. ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑΔΑΣ ΣΕΛΙΔΑ: 4 ΑΠΟ 5

8 ΑΠΟ 10/04/017 ΕΩΣ /04/017 ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑΔΑΣ ΣΕΛΙΔΑ: 5 ΑΠΟ 5