Τμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα

Transcript

1 Τμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα ΔΙΑΛΕΞΗ 05 Έργο και Κινητική Ενέργεια ΦΥΣ102 1

2 Όταν μια δύναμη δρα σε ένα σώμα που κινείται, η δύναμη παράγει έργο επί του σώματος. Το έργο είναι βαθμωτό μέγεθος που υπολογίζεται από την δύναμη και την μετατόπιση. Το έργο που εκτελείτε από σταθερή δύναμη ορίζεται ως το γινόμενο της απόστασης που διανύθηκε με τη συνιστώσα της δύναμης στην κατεύθυνση της μετατόπισης: W = F d cosθ Επομένως είναι το εσωτερικό γινόμενο της δύναμης επι της μετατόπισης: W = F d ΦΥΣ102 2

3 Η σημασία του έργου είναι ότι, σε κάθε κίνηση, η μεταβολή της κινητικής ενέργειας ενός σώματος ισούται με το ολικό έργο που παράγεται επί του σώματος. Στο σύστημα SI, η μονάδα είναι το joule: Ο κύριος που μεταφέρει τα ψώνια δεν ασκεί έργο εφόσον δεν μετακινήσει τη σακούλα πάνω ή κάτω. Δεν υπάρχει έργο εάν δεν υπάρχει συνιστώσα της δύναμης στην κατεύθυνση της μετατόπισης. Οι δυνάμεις είναι κάθετες προς την μετατόπιση και το έργο που παράγει η συνισταμένη δύναμη είναι μηδέν. ΦΥΣ102 3

4 Επίλυση προβλημάτων έργου: 1. Διάγραμμα απελευθερωμένου σώματος. 2. Διαλέγουμε σύστημα συντεταγμένων. 3. Εφαρμόζουμε το Νόμο του Νεύτωνα για να βρούμε όλες τις δυνάμεις, και τη συνολική δύναμη. 4. Βρίσκουμε το έργο της κάθε δύναμης ξεχωριστά και προσθέτουμε αλγεβρικά αφού το έργο είναι βαθμωτό μέγεθος. Η βρίσκουμε το έργο της συνολικής (συνισταμένης) δύναμης. ΦΥΣ102 4

5 Ασκεί έργο πάνω στο Φεγγάρι η Γη; Όχι! Δεν υπάρχει έργο μιας και η κεντρομόλος δύναμη είναι πάντα κάθετη στην τροχιά! ΦΥΣ102 5

6 Έργο Παραγόμενο από μεταβλητή Δύναμη Μια μεταβλητή δύναμη ασκείται πάνω σε ένα αντικείμενο. Στην περίπτωση αυτή το γινόμενο F d δεν είναι σταθερό. Έτσι για να βρούμε το έργο που παράγει η δύναμη υποδιαιρούμε την ολική μετατόπιση σε μικρά τμήματα Δl. Επομένως το έργο που παράγει η δύναμη κατά μήκος της ολικής διαδρομής από το a ως το b είναι: W = F 1 Δl 1 + F 2 Δl 2 + F 3 Δl 3 + ΦΥΣ102 6

7 Εάν τα επιμέρους διαστήματα γίνουν απειροελάχιστα, το άθροισμα γίνεται ολοκλήρωμα: Άρα: W = a b F d l Το έργο αντιπροσωπεύει το εμβαδόν της επιφάνειας κάτω από την καμπύλη. ΦΥΣ102 7

8 Το έργο ενός ελατηρίου: Η δύναμη που ασκεί ένα ελατήριο, αν η επιμήκυνση (x) δεν είναι πάρα πολύ μεγάλη, είναι: (νόμος του Hook) όπου k είναι η σταθερά του ελατηρίου. Η δύναμη που ασκεί το χέρι μας είναι: F p = k x Από τον τρίτο νόμο του Νεύτωνα οι δύο δυνάμεις είναι ακριβώς η μία η αρνητική της άλλης.. ΦΥΣ102 8

9 Η γραφική παράσταση της δύναμης του ελατηρίου είναι ευθεία ως προς τη μετατόπιση. Το εμβαδόν του σκιασμένου τριγώνου παριστάνει το ολικό έργο που παράγεται από την δύναμη και ισούται με το μισό του γινομένου βάσης επί το ύψος. Το πιο πάνω αποτέλεσμα επίσης φανερώνει ότι το έργο ισούται με: την μέση δύναμη k x/2 πολλαπλασιασμένη με την ολική μετατόπιση x. ΦΥΣ102 9

10 Κινητική Ενέργεια, σχέση ενέργειας και έργου Η Ενέργεια ορίζεται παραδοσιακά ως η ικανότητα να παραχθεί έργο. Βέβαια είδαμε ότι όλες οι δυνάμεις δεν παράγουν έργο. Όταν όμως αναφερόμαστε σε μηχανική (δυναμική και κινητική) ενέργεια, τότε ο παραπάνω ορισμός ισχύει. Η κινητική ενέργεια (Κ) είναι βαθμωτό μέγεθος που σχετίζεται με την κίνηση του σώματος. Ορίζεται ως το μισό του γινομένου της μάζας του σώματος επί το τετράγωνο της ταχύτητας του: Κ = 1 2 mv2 Θα αποδείξουμε ότι σε κάθε μετατόπιση ενός σώματος, η μεταβολή της κινητικής τους ενέργειας ισούται με το ολικό έργο που παράγεται από όλες τις ασκούμενες δυνάμεις στο σώμα. ΦΥΣ102 10

11 Απόδειξη Υποθέτουμε ένα σωματίδιο μάζας m που κινείται υπό την επίδραση της συνισταμένης δύναμης F. Το μέτρο της ταχύτητας αυξήθηκε από v 1 σε v 2 και μετατοπίστηκε από το σημείο x 1 στο x 2 (s = x 2 x 1 ). x = x 0 + v 0 t at2 v = v 0 + at t = v v 0 2a x = x v v v 0 2a a v v 0 2a 2 s = v2 v 0 2 2a a = v2 v 0 2 2s Από τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα έχουμε ότι: F = ma F = m v v 1 Fs = 1 2s 2 mv mv 1 2 ΦΥΣ102 11

12 Το συνολικό έργο που παράγετε από την συνισταμένη εξωτερική δύναμη επί ενός σώματος είναι ίσο με τη μεταβολή στην κινητική ενέργεια: W tot = ΔΚ = 1 2 mv mv 1 2 Το πιο πάνω αποτέλεσμα ονομάζεται θεώρημα έργου κινητικής ενέργειας. Θετικό έργο: αύξηση της Κινητικής Ενέργειας Αρνητικό έργο: Μείωση της Κινητικής Ενέργειας Οι μονάδες ενέργειας είναι ίδιες με τις μονάδες έργου δηλ. Joules ΦΥΣ102 12

13 Ισχύς (P) Ο χρονικός ρυθμός με τον οποίο παράγεται το έργο ή μεταφέρεται η ενέργεια ονομάζεται ισχύς. Η ισχύς είναι βαθμωτό μέγεθος όπως το έργο και την ενέργεια. Όταν μία ποσότητα έργου ΔW παράγεται κατά τη διάρκεια ενός χρονικού διαστήματος Δt, η μέση ισχύς P av : P av = ΔW Δt Για Δt 0 η στιγμιαία ισχύς P: P = dw dt Μονάδα μέτρησης ισχύς στο S.I. είναι το watt (W) = J/s. Όταν η δύναμη F δρα επί του ενός σώματος που κινείται με ταχύτητα v, η στιγμιαία ισχύς είναι: P = F v ΦΥΣ102 13

14 Ασκήσεις 1. Ένα κιβώτιο 50kg μεταφέρεται 40 m οριζοντίως με δύναμη F P = 100 N, που δρα σε γωνία 37 όπως φαίνεται στο διάγραμμα. Δεν υπάρχουν τριβές. Βρείτε (α) Το έργο που παράγει η δύναμη αυτή στο κιβώτιο (β) το συνολικό έργο του κιβωτίου. 2. Ένας φοιτητής τεντώνει ένα ελατήριο κατά 3.0 cm, με δύναμη 75 N. Πόσο έργο «έκανε»; (β) Εάν συμπίεζε το ελατήριο κατά 3.0 cm, τώρα πόσο έργο κάνει; ΦΥΣ102 14

15 3. Η δύναμη που ελέγχει μια ρομποτική κάμερα παρακολούθησης δίδεται από την σχέση: όπου F 0 = 2.0 N, x 0 = m, και x είναι η θέση της άκρης του βραχίονα. Εάν ο βραχίονας μετατοπιστεί από x 1 = m στο x 2 = m, πόσο έργο έκανε το μοτέρ; 4. Ένα αυτοκίνητο ταξιδεύει με 60 km/h φρενάρει μέχρι ακινησίας απόσταση d=20 m. Εάν το αυτοκίνητο κινείτε με διπλάσια ταχύτητα πόση απόσταση χρειάζεται για να σταματήσει; (υποθέτουμε ότι η απόδοση των φρένων είναι ανεξάρτητη από την ταχύτητα). ΦΥΣ102 15