ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ. Κβαντική Κρυπτογραφία & Κβαντική Κρυπτανάλυση ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΑΣΦΑΛΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Κβαντική Κρυπτογραφία & Κβαντική Κρυπτανάλυση ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ του ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΥ ΠΡΟΥΣΑΛΗ Επιβλέπουσα καθηγήτρια : Ελισάβετ Κωνσταντίνου Σάµος, Φεβρουάριος 008

2

3 Πανεπιστήµιο Αιγαίου Τµήµα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστηµάτων Μεταπτυχιακό Πρόγραµµα Σπουδών Κατεύθυνση: Ασφάλεια Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστηµάτων ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ & ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΚΡΥΠΤΑΝΑΛΥΣΗ ιπλωµατική Εργασία του Κωνσταντίνου Προύσαλη Επιβλέπουσα καθηγήτρια: Κωνσταντίνου Ελισάβετ Τριµελής Εξεταστική Επιτροπή: Κονοφάος Νικόλαος Καµπουράκης Γεώργιος Κωνσταντίνου Ελισάβετ Σάµος, Φεβρουάριος 008 3

4 4

5 Περίληψη Η κβαντική κρυπτογραφία και οι τεχνικές κρυπτανάλυσης αποτελούν ένα σχετικά καινούργιο πεδίο έρευνας που πρωτοεµφανίστηκε στη δεκαετία του 70 ως µια προσπάθεια δηµιουργίας ενός νέου τρόπου κρυπτογράφησης που θα έδινε λύση σε ορισµένα προβλήµατα της µοντέρνας κρυπτογραφίας. Το ιδιαίτερο ενδιαφέρον για τη κβαντική κρυπτογραφία γεννήθηκε κυρίως µέσα από τη δηµιουργία ενός πρωτότυπου πρωτόκολλου διαµοίρασης µυστικού κλειδιού, γνωστού ως ΒΒ84, µε τεχνολογία που θα βασίζονταν στις αρχές και τους νόµους της κβαντικής µηχανικής. Ο ιδιαίτερος τρόπος λειτουργίας του ΒΒ84 ξεχώρισε σε σχέση µε τους γνωστούς πατροπαράδοτους για το γεγονός ότι η ασφάλεια που παρέχει έχει αποδειχθεί και δεν βασίζεται στη δυσκολία επίλυσης υπολογιστικών προβληµάτων, όπως συµβαίνει µε τα περισσότερα µοντέρνα πρωτόκολλα διαµοίρασης µυστικού κλειδιού. Στην παρούσα διπλωµατική εργασία γίνεται µια διερευνητική µελέτη για το τι έχει επιτευχθεί στους χώρους της κβαντικής κρυπτογραφίας και κρυπτανάλυσης τα τελευταία τριάντα χρόνια. Αφού γίνει µια σύντοµη ιστορική αναδροµή, έπειτα θα εισάγουµε την έννοια του κβαντικού υπολογιστή και της βασικής του αποθηκευτικής µονάδας, Qubit, καθώς και όλες τις βασικές φυσικές ιδιότητες που αυτό φέρει. Στη συνέχεια θα περιγραφεί αναλυτικά το πρωτόκολλο ΒΒ84, µαζί µε τις µετέπειτα παραλλαγές που εµφανίστηκαν. Ακόµη θα παρουσιαστούν µερικές ακόµη χρήσιµες εφαρµογές της κβαντικής τεχνολογίας για την κρυπτογραφία, όπως το Bit πρωτόκολλο δέσµευσης (Bit Commitment) και οι γεννήτριες τυχαίων αριθµών RNG. Αµέσως µετά θα παρουσιαστούν οι σπουδαιότεροι αλγόριθµοι κρυπτανάλυσης, όπως ο κβαντικός µετασχηµατισµός Fourier, ο αλγόριθµος παραγοντοποίησης ακεραίου του Peter Shor, ο αλγόριθµος εύρεσης περιόδου συνάρτησης, που όλοι τους συνέβαλαν σηµαντικά και έδωσαν νέους ορίζοντες στην εξέλιξη της κβαντικής κρυπτογραφίας και κρυπτανάλυσης. Ωστόσο οι εφαρµογές και η προσφορά της κβαντικής κρυπτογραφίας δεν έχει ακόµη αποσαφηνιστεί ώστε να αποκτήσει στέρεα µορφή, καθώς υπάρχουν αναπάντητα ερωτήµατα και τεχνολογικά προβλήµατα που καθιστούν το τοπίο θολό. Τέλος λοιπόν συνοψίζονται ορισµένα γενικά συµπεράσµατα της προσφοράς που έχει µέχρι σήµερα και η προοπτική εξέλιξης της κβαντικής κρυπτογραφίας. 5

6 6

7 Πίνακας περιεχοµένων Εισαγωγή...9. Βασικές Έννοιες...9. Ιστορικό Κρυπτογραφίας....3 Ιστορικό Κβαντικής Κρυπτογραφίας Συνεισφορά Αντικείµενο Οργάνωση κειµένου...9 Κβαντικοί Υπολογιστές.... Ο Κβαντικός Υπολογιστής.... Κβαντικά Συστήµατα ή Qubits Κβαντικός Καταχωρητής και Κβαντική Παραλληλία Κβαντικές Πύλες ή Τελεστές ράσης Κβαντική ιεµπλοκή ή Σύζευξη Τεχνολογίες Κβαντικών Υπολογιστών Οπτική Φωτονίων Παγίδες Ιόντων Πυρηνικός Μαγνητικός Συντονισµός Ηµιαγωγοί και Περιστρεφόµενοι Πυρήνες Ατόµων Προβλήµατα και Συµπεράσµατα Βασικά Κρυπτογραφικά Συστήµατα Βασικά Κρυπτοσυστήµατα Κλασικά Κρυπτοσυστήµατα Μοντέρνα Κρυπτοσυστήµατα Μαθηµατικά Προβλήµατα ιαµοίραση Μυστικού Κλειδιού Κβαντική ιαµοίραση Κλειδιού Πρωτόκολλο ΒΒ Ασφάλεια του ΒΒ Ατοµικές, Οµαδικές και Οµαδικές-Συντονισµένες Επιθέσεις ούρειοι Ίπποι

8 4.3.3 ιόρθωση Σφαλµάτων & Βελτίωση Μυστικότητας Κλειδιού Παραλλαγές και εξέλιξη του ΒΒ Κβαντικοί Κρυπτογραφικοί Αλγόριθµοι Κβαντικό Bit Πρωτόκολλο έσµευσης Κβαντική Γεννήτρια Τυχαίων Αριθµών Κβαντικές Ψηφιακές Υπογραφές Κβαντική Κρυπτανάλυση Γενικά Κβαντικός Μετασχηµατισµός Fourier Εύρεση Περιόδου Συνάρτησης Παραγοντοποίηση Ακεραίου ιακριτός Λογάριθµος Εύρεση της Κρυµµένης Υπό-Οµάδας Συµπεράσµατα και Προοπτικές Συµπεράσµατα Μελλοντικές Τάσεις Βιβλιογραφία

9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Εισαγωγή Σε αυτή την ενότητα θα γίνει µια προετοιµασία του αναγνώστη µε τους βασικούς όρους της κρυπτογραφίας. Αφού οριστούν ορισµένες βασικές έννοιες θα γίνει αρχικά µια περιληπτική ανασκόπηση της ιστορίας της κρυπτογραφίας, ώστε να δοθεί µια εικόνα για το που τοποθετείται χρονικά η εµφάνιση της κβαντικής κρυπτογραφίας και ποια η θέση της στην πορεία της κρυπτογραφίας. Έπειτα θα αναφερθεί η προσφορά της κβαντικής κρυπτογραφίας µέχρι σήµερα, καθώς και τα διάφορα προβλήµατα που απασχολούν την έρευνα. Τέλος θα περιγραφεί η οργάνωση του κειµένου της εργασίας.. Βασικές Έννοιες Η κρυπτογραφία είναι κλάδος της επιστήµης της κρυπτολογίας η οποία ασχολείται µε τη µελέτη της ασφαλούς επικοινωνίας. Ο βασικός στόχος είναι να µελετά και να εφαρµόζει τεχνικές διαφύλαξης εµπιστευτικών δεδοµένων από τη µη εξουσιοδοτηµένη πρόσβαση. Ουσιαστικά ασχολείται µε τη µελέτη, την ανάπτυξη και τη χρήση τεχνικών κρυπτογράφησης και αποκρυπτογράφησης, µε σκοπό την απόκρυψη του περιεχοµένου των µηνυµάτων. Η επιστήµη της κρυπτολογίας χωρίζεται σε δύο κλάδους : την Κρυπτογραφία και την Κρυπτανάλυση. Η κρυπτολογία είναι ένα πλαίσιο µαθηµατικών, όπως η θεωρία αριθµών, εφαρµογής φόρµουλων και αλγόριθµων, που υποστυλώνουν την κρυπτογραφία και την κρυπτανάλυση []. Ο τοµέας της κρυπτανάλυσης χρήζει ιδιαίτερης εξειδίκευσης και πολυπλοκότητας, σε αντίθεση µε την κρυπτογραφία η οποία επικεντρώνεται σε ορισµένες βασικές µαθηµατικές έννοιες. Η δυσκολία κατάρρευσης πολλών σύγχρονων κρυπτογραφικών συστηµάτων βασίζεται στη δυσκολία επίλυσης µαθηµατικών προβληµάτων (intractability), όπως αυτά της 9

10 παραγοντοποίησης ακεραίων, το πρόβληµα του διακριτού λογαρίθµου ή το πρόβληµα του διακριτού λογαρίθµου στις ελλειπτικές καµπύλες. Η κρυπτανάλυση αναφέρεται στη µελέτη κρυπτογραφικών αλγορίθµων, κρυπτογραφηµένου κειµένου, ή κρυπτοσυστηµάτων µε την προοπτική να βρεθούν αδυναµίες που θα επιτρέψουν την ανάκτηση του αρχικού κειµένου από το κρυπτογραφηµένο, χωρίς απαραίτητα να γνωρίζουµε το κλειδί ή τον αλγόριθµο. Υπάρχουν διάφορες τεχνικές να πραγµατοποιήσει κανείς κρυπτανάλυση ανάλογα µε τη πρόσβαση του κρυπταναλυτή στο αρχικό ή κρυπτογραφηµένο κείµενο ή το κρυπτοσύστηµα που χρησιµοποιείται. Η µελέτη όµως των περιπτώσεων ξεφεύγουν από τα πλαίσια της εργασίας. Σκοπός της κρυπτογραφίας είναι να παράσχει τέσσερις βασικές υπηρεσίες : Εµπιστευτικότητα: Η πληροφορία προς µετάδοση είναι προσβάσιµη µόνο στα εξουσιοδοτηµένα µέλη. Η πληροφορία είναι ακατανόητη σε κάποιον τρίτο. Ακεραιότητα: Η πληροφορία µπορεί να αλλοιωθεί µόνο από τα εξουσιοδοτηµένα µέλη και δεν µπορεί να αλλοιώνεται χωρίς την ανίχνευση της αλλοίωσης. Μη αποποίηση: Ο αποστολέας ή ο παραλήπτης της πληροφορίας δεν µπορεί να αρνηθεί την αυθεντικότητα της µετάδοσης ή της δηµιουργίας της. Πιστοποίηση: Οι αποστολέας και παραλήπτης µπορούν να εξακριβώνουν τις ταυτότητές τους καθώς και την πηγή και τον προορισµό της πληροφορίας µε διαβεβαίωση ότι οι ταυτότητές τους δεν είναι πλαστές. Οι διαδικασίες και τα πρωτόκολλα που υποστηρίζουν τις πιο πάνω υπηρεσίες ονοµάζονται κρυπτοσυστήµατα. Με τον όρο κρυπτοσύστηµα συνήθως αναφερόµαστε στις µαθηµατικές µεθόδους, τα υπολογιστικά προγράµµατα, καθώς και τη σωστή διαχείρισή τους από τους χρήστες, όπως καθορισµένες εφαρµογές πολιτικών προστασίας, τακτική αλλαγή των κωδικών πρόσβασης και άλλα. Ένα κρυπτοσύστηµα λοιπόν αναλαµβάνει να εγκαταστήσει ένα σύστηµα που θα εξυπηρετεί τον απώτερο στόχο της κρυπτογραφίας που είναι ο ασφαλής τρόπος επικοινωνίας. Στο θέµα αυτό όµως θα επεκταθούµε περισσότερο σε επόµενο κεφάλαιο καθότι τα κρυπτοσυστήµατα είναι ένα βασικό θέµα της κρυπτογραφίας. 0

11 . Ιστορικό Κρυπτογραφίας Ιστορικά η κρυπτογραφία χρησιµοποιήθηκε για την κρυπτογράφηση µηνυµάτων, δηλαδή τη µετατροπή µιας πληροφορίας από µια κανονική κατανοητή µορφή σε µια µη κατανοητή, που χωρίς την γνώση του κρυφού µετασχηµατισµού θα παρέµενε ακατανόητη. Κύριο χαρακτηριστικό των παλαιότερων µορφών κρυπτογράφησης ήταν ότι η επεξεργασία γινόταν πάνω στην γλωσσική δοµή. Σήµερα η κρυπτογραφία µπορεί να θεωρείται κλάδος των µαθηµατικών και της τεχνολογίας των υπολογιστών κάνοντας χρήση του αριθµητικού ισοδύναµου και έχοντας ιδιαίτερη συνάφεια µε την θεωρία πληροφορίας, τα διακριτά µαθηµατικά, την θεωρία αριθµών, τη στατιστική και συνδυαστική ανάλυση, την υπολογιστική πολυπλοκότητα και την ασφάλεια υπολογιστών. Ας γίνει όµως µια σύντοµη ιστορική αναδροµή για να δούµε πως καταλήξαµε στο σήµερα. Η ιστορία της κρυπτογραφίας ως ιδέα µπορούµε να πούµε πως εµφανίζεται από το 3000 π.χ. στον Αιγυπτιακό πολιτισµό, όπου βρέθηκαν κείµενα που απευθύνονταν µόνο προς µια συγκεκριµένη µικρή τάξη ανθρώπων της κοινωνίας. Ωστόσο η ανάπτυξη της κρυπτογραφίας αναπτύσσεται µε διαφορετικούς ρυθµούς από εποχή σε εποχή και ανάλογα µε τις εκάστοτε συνθήκες. Με βάση την ιστορική έρευνα του D. Kahn [] θα µπορούσαµε να συνοψίσουµε την ιστορία σε τρείς περιόδους : Πρώτη Περίοδος Κρυπτογραφίας (900 π.χ. 900 µ.χ.) Στην πρώτη και µεγαλύτερη περίοδο αναπτύχθηκαν πολλοί και διάφοροι τρόποι κρυπτογράφησης οι οποίο κυρίως βασίζονταν σε απλές αντικαταστάσεις γραµµάτων και την ευρηµατικότητα του δηµιουργού. Βέβαια οι περισσότεροι χαρακτηρίζονται από απλότητα και εύκολα µπορούν να κρυπταναλυθούν. Αρχαιολογικό εύρηµα στην περιοχή της Μεσοποταµίας έδειξε πως ήδη από το 500 π.χ. χρησιµοποιούσαν κρυπτογράφηση καθώς βρέθηκε µια σφηνοειδή επιγραφή µε ένα από τα αρχαιότερα κρυπτογραφηµένα κείµενα. Μια άλλη σφηνοειδής επιγραφή στα Σούσα της Περσίας επίσης θεωρείται από τα πρώτα βιβλία κρυπτοκωδικών που εµφανίστηκαν, όπου είχε µια αντιστοιχία µεταξύ αριθµών και

12 σφηνοειδών συµβόλων. Τον 5 ο π.χ. αιώνα εµφανίζεται η Σπαρτιατική σκυτάλη η οποία θεωρείται η πρώτη στρατιωτική χρήση της κρυπτογραφίας. Πρόκειται για µια ξύλινη ράβδος µε µια λωρίδα περγαµηνής ελικοειδώς τυλιγµένη η οποία είχε ένα γράµµα σε κάθε έλικα και απέδιδε ένα µήνυµα όταν την έβλεπε κανείς τυλιγµένη. Το κλειδί της αποκάλυψης του µηνύµατος ήταν η διάµετρος της ράβδου. Στην αρχαιότητα ωστόσο χρησιµοποιήθηκαν κυρίως συστήµατα που βασίζονταν στην στεγανογραφία και όχι την κρυπτογραφία. Οι αναφορές και τα ευρήµατα στο πέρας του χρόνου αυξάνονται. Στην εποχή της Ρωµαϊκής Αυτοκρατορίας ο Ιούλιος Καίσαρας κάνει χρήση κρυπτογραφικού συστήµατος αντικατάστασης ενώ ο Valerius Probus περιγράφει τα υπόλοιπα κρυπτογραφικά συστήµατα που χρησιµοποιούσε ο αυτοκράτορας σε ένα βιβλίο που δυστυχώς δεν διασώθηκε. Κατά το Μεσαίωνα η κρυπτολογία ήταν κάτι το απαγορευµένο καθώς αποτελούσε µορφή µαγείας και αποκρυφισµού. Η εξέλιξη της κρυπτολογίας και των µαθηµατικών συνεχίστηκε στον Αραβικό κόσµο οι οποίοι πρώτοι ανακάλυψαν και χρησιµοποίησαν µεθόδους κρυπτανάλυσης. Ο Ιταλός Giovanni Batista Porta (563) δηµοσίευσε για την κρυπτολογία το βιβλίο De furtivis literarum notis, µε το οποίο έγιναν γνωστά τα πολύ-αλφαβητικά συστήµατα κρυπτογράφησης και τα διγραφικά κρυπτογραφήµατα. Σηµαντικός εκπρόσωπος εκείνης της εποχής είναι και ο Γάλλος Vigenere, του οποίου ο πίνακας πολυαλφαβητικής αντικατάστασης, χρησιµοποιείται ακόµη και σήµερα. Ο Charles Wheatstone (80-875) παρουσίασε την πρώτη µηχανική κρυπτοσυσκευή, η οποία απετέλεσε τη βάση για την ανάπτυξη των κρυπτοµηχανών. Έπειτα η µεγαλύτερη αποκρυπτογράφηση (89), ήταν αυτή των αιγυπτιακών ιερογλυφικών τα οποία επί αιώνες, παρέµεναν µυστήριο. Τα αρχαιότερα ιερογλυφικά χρονολογούνται στο 3000 π.χ. εύτερη Περίοδος Κρυπτογραφίας (900 µ.χ. 950 µ.χ.) Σε αυτή την περίοδο µεγάλη ώθηση στην κρυπτογραφία έδωσαν τα γεγονότα των δύο παγκοσµίων πολέµων όπου υπήρχε η ανάγκη για ασφαλή µετάδοση πληροφοριών ζωτικής σηµασίας µεταξύ των στρατευµάτων των χωρών. Τα κρυπτοσυστήµατα αυτής της περιόδου αρχίζουν να γίνονται πολύπλοκα, και να αποτελούνται από µηχανικές και ηλεκτροµηχανικές κατασκευές, οι οποίες

13 ονοµάζονται κρυπτοµηχανές. Οι απαιτήσεις στην κρυπτανάλυση αυξάνονται ενώ επιζητάτε µεγαλύτερη υπολογιστική ισχύς. Αν και βελτιώνονται τα κρυπτοσυστήµατα η κρυπτανάλυση είναι συνήθως επιτυχηµένη. Οι Γερµανοί έκαναν εκτενή χρήση (σε διάφορες παραλλαγές) ενός συστήµατος γνωστού ως Enigma, µια ηλεκτροµηχανική κρυπτογραφική µηχανή. Το 93 ο Πολωνός Marian Rejewski µαθηµατικός επιτέθηκε και παραβίασε την πρώτη µορφή του γερµανικού στρατιωτικού συστήµατος Enigma χρησιµοποιώντας θεωρητικά µαθηµατικά. Ήταν η µεγαλύτερη σηµαντική ανακάλυψη στην κρυπτολογική ανάλυση της χιλιετίας. Το παιχνίδι του ανταγωνισµού και των ανταπαντήσεων συνεχίστηκε και µε τη συνεργασία άλλων χωρών. Τρίτη Περίοδος Κρυπτογραφίας (950 µ.χ. Σήµερα) Αυτή η περίοδος χαρακτηρίζεται από την έξαρση της ανάπτυξης στους επιστηµονικούς κλάδους των µαθηµατικών, της µικροηλεκτρονικής και των υπολογιστικών συστηµάτων. Η εποχή της σύγχρονης κρυπτογραφίας αρχίζει ουσιαστικά µε τον Claude Shannon, ο οποίος διαδραµάτισε (949) σηµαντικό ρόλο στο χώρο των µαθηµατικών συστηµάτων κρυπτογραφίας και µε τα δηµοσιεύµατά του και τις εργασίες επάνω στην θεωρία δεδοµένων και επικοινωνίας καθιέρωσε µια στερεά θεωρητική βάση για την κρυπτογραφία και την κρυπτανάλυση. Από τότε πολύ λίγες εξελίξεις δηµοσιοποιήθηκαν ξανά µέχρι τα µέσα της δεκαετίας του '70, όταν δηµοσιοποιήθηκε το σχέδιο προτύπου κρυπτογράφησης DES (Data Encryption Standard), 975. Tο πρότυπο αυτό υιοθετήθηκε και δηµοσιεύθηκε το 977. Ο DES αντικαταστάθηκε επίσηµα από τον AES το 00. Στην δεύτερη και τρίτη περίοδο η κρυπτογραφία σταδιακά διαµορφώνει τη σηµερινή της µορφή και γίνεται ξεχωριστό πεδίο µελέτης. Οι εφαρµογές της πληθαίνουν όλο και περισσότερο ενώ το θέµα της ασφαλούς µετάδοσης της πληροφορίας είναι το επίκεντρο σε πολλές επιχειρήσεις ή οργανισµούς. Προς το τέλος όµως της τρίτης περιόδου, παράλληλα, εξελίσσεται και η κβαντική κρυπτογραφία που χρήζει να δούµε την ιστορία της από τη δική της οπτική γωνία. 3

14 .3 Ιστορικό Κβαντικής Κρυπτογραφίας Η κβαντική κρυπτογραφία δεν έχει ζωή µεγαλύτερη από 37 χρόνια και προφανώς ακόµη βρίσκεται στα πρώτα στάδια εξέλιξης. Αν και σαν ιδέα συλλήφθηκε νωρίς, η πραγµατοποίηση διάφορων προτάσεων ήτανε και εξακολουθεί να είναι δύσκολη υπόθεση, εξαιτίας της δυσκολίας υλοποίησης. Η κατασκευή αρχιτεκτονικών υπολογιστών κβαντικής τεχνολογίας είναι ένα άλλο δύσκολο ζήτηµα που επιβραδύνει σηµαντικά την εξέλιξη. Μέχρι σήµερα δεν έχουν κατασκευαστεί κβαντικοί υπολογιστές ανάλογοι των κλασικών. Πριν ξεκινήσουµε την ιστορική αναδροµή [3] να αναφερθεί ένα συµβάν που έπαιξε σηµαντικό ρόλο στην παραπέρα έρευνα. Το 948 δηµοσιεύτηκε µια εργασία του Claude Shannon η οποία έθεσε τα µαθηµατικά θεµέλια της θεωρίας της πληροφορίας, επάνω στα οποία βασιστήκαν µεταγενέστεροι. Η θεωρία της πληροφορίας είναι ένας κλάδος των εφαρµοσµένων µαθηµατικών που µελετά τρόπους που ποσοτικοποιούν την πληροφορία, καθώς και τα όρια συµπίεσης µιας πληροφορίας για µια αξιόπιστη µετάδοση δεδοµένων, γεγονός που σχετίζεται άµεσα µε την κρυπτογραφία. Ας ξεκινήσουµε όµως την ανασκόπηση. Ο ακρογωνιαίος λίθος έναρξης της κβαντικής κρυπτογραφίας είναι το κβαντικό σύστηµα, επάνω στο οποίο στηρίχθηκαν όλες οι προτάσεις υλοποίησης, καθώς µέσα σε αυτό κωδικοποιείται η πληροφορία, υπό την κλασική µορφή του δυαδικού συστήµατος, το µηδέν και το ένα. Συχνά στη βιβλιογραφία αντιµετωπίζεται ως µια αποθηκευτική φυσική µονάδα, η φύση του όµως θα περιγραφεί στο επόµενο κεφάλαιο ενώ για την ώρα ας το θεωρήσουµε ως ένα άτοµο ή ποσότητα ηλεκτροµαγνητικής ακτινοβολίας. Στη δεκαετία του 70 έγιναν οι πρώτες προσπάθειες να επιτευχθεί ο πλήρης έλεγχος σε µεµονωµένα κβαντικά συστήµατα, όπως για παράδειγµα ο εγκλωβισµός ενός ατόµου και η ρύθµιση των χαρακτηριστικών του. Το γεγονός ήταν ιδιαίτερης αξίας διότι είχε να προσφέρει σηµαντική πρόοδο στην υλοποίηση εφαρµογών που επεδίωκαν τα ερευνητικά πεδία της κβαντικής πληροφορίας και της υλοποίησης των κβαντικών υπολογιστών. 4

15 Η έννοια της κβαντικής κρυπτογραφίας αρχικά εµφανίστηκε από τον Stephen Wiesner στις αρχές της δεκαετίας του 970 όταν εργάζονταν στο πανεπιστήµιο Columbia της Ν. Υόρκης δηµοσιεύοντας µια εργασία σχετική µε την έννοια της κωδικοποίησης πληροφορίας σε συζευγµένα κβαντικά συστήµατα (quantum conjugate coding). Αν και αρχικά η εργασία του απορρίφθηκε, το 983 δηµοσιεύτηκε. Το θέµα της εργασίας ήταν πώς να αποθηκεύσει και να µεταφέρει κανείς δύο µηνύµατα σε δύο συζυγείς φυσικές ιδιότητες ενός κβαντικού συστήµατος, τέτοιες όπως τη γραµµική και την κυκλική πόλωση του φωτός, και έπειτα να αποκωδικοποιήσει τη µια από αυτές. Μια δεκαετία αργότερα, 984, οι Charles Bennett και Gilles Brassard προτείνουν µια µέθοδο υλοποίησης ασφαλούς επικοινωνίας βασισµένη στην δηµοσίευση του Wiesner. Η εργασία τους αποτέλεσε το βασικό πρωτόκολλο ΒΒ84. Το 985 ο Deutsch ασχολήθηκε µε το θέµα εάν υπάρχει κάποιο υπολογιστικό µοντέλο, όπως τη Μηχανή του Turing, η οποία υπόσχεται ότι µπορεί να προσοµοιώνει αποτελεσµατικά κάθε άλλο υπολογιστικό µοντέλο. Το µοντέλο Καθολικός Κβαντικός Υπολογιστής που προτάθηκε υποστήριζε ότι ξεπερνάει τη δύναµη των κλασικών υπολογιστών, ακόµη και των πιθανοτικών υπολογιστικών µοντέλων. Το 990 ο Artur Ekert, ένας διδακτορικός φοιτητής του πανεπιστηµίου της Οξφόρδης, ανέπτυξε µια διαφορετική προσέγγιση της κβαντικής κρυπτογραφίας βασιζόµενη στην ιδιόµορφη φύση των κβαντικών συσχετισµών, η οποία είναι γνωστή ως διεµπλοκή. Το φαινόµενο αυτό περιγράφεται παρακάτω. Παράλληλα η προσπάθεια του Deutsch βελτιώθηκε µέσα στην επόµενη δεκαετία και το 994 κορυφώθηκε µε την απόδειξη του Peter Shor πως ένας κβαντικός υπολογιστής µπορεί να λύσει αποτελεσµατικά τα δύο γνωστά µαθηµατικά προβλήµατα της παραγοντοποίησης ενός ακέραιου σε πρώτους παράγοντες και το πρόβληµα του διακριτού λογάριθµου. Το γεγονός ενίσχυσε το ενδιαφέρον καθότι µέχρι πρόσφατα τα δύο αυτά προβλήµατα δεν αποδείχθηκε ότι µπορούν να λυθούν αποτελεσµατικά µε τους κλασικούς υπολογιστές. 5

16 Η ανακάλυψη του αλγόριθµου του Grover, 995, επίσης ενίσχυσε το γεγονός ότι οι κβαντικοί υπολογιστές έχουν καταρρίψει σε αποτελεσµατικότητα τους κλασικούς. Το πρόβληµα που επιλύει ο αλγόριθµος του Grover, αν και δεν ήταν τόσο θεαµατική όσο του Shor από την άποψη της ταχύτητας, βρήκε ιδιαίτερη απήχηση εξαιτίας της ευρείας εφαρµογής του. Το πρόβληµα σχετίζεται µε την αναζήτηση σε µη δοµηµένο πεδίο αναζήτησης. Συγκεκριµένα ανακαλύπτει έναν κβαντικό αλγόριθµο που επιταχύνει την αναζήτηση σε βάσεις δεδοµένων σε πολυωνυµικό χρόνο. Στο σηµείο αυτό αξίζει να σηµειωθεί πως η πρόβλεψη του Richard Feynman (98), πως οι κβαντικοί υπολογιστές θα προσοµοιώνουν κβαντικά συστήµατα πολύ πιο εύκολα και αποτελεσµατικά από τους κλασσικούς υπολογιστές, έλαβε σάρκα και οστά στη δεκαετία του 90. Το 998 για πρώτη φορά παρουσιάζεται η λειτουργία κβαντικού NMR υπολογιστή -qubit και έπειτα των 3-qubit [9]. Εν συνεχεία για πρώτη φορά εκτελείται ο αλγόριθµος του Grover. Έπειτα από δύο χρόνια παρουσιάζεται η λειτουργία κβαντικού NMR υπολογιστή των 5-qubit και στη συνέχεια των 7-qubit. Επίσης τµήµα του κβαντικού αλγόριθµου του Shor εκτελείται, ενώ σύντοµα, το 00 για πρώτη φορά εκτελείται ο αλγόριθµος Shor (Almaden Research Center & Stanford University) και παραγοντοποιείται ο αριθµός 5. Το 004 γίνεται διαθέσιµο το πρώτο εµπορικό κβαντικό σύστηµα κρυπτογραφίας από την εταιρεία id Quantique. Με αφορµή το γεγονός αυτό µπορούµε να πούµε πως η κβαντική κρυπτογραφία έχει κάνει µια πρώτη προσπάθεια µε σκοπό να προσφέρει τις υπηρεσίες της. Γεννάται όµως το ερώτηµα ποια είναι η συνολική προσφορά της κβαντικής κρυπτογραφίας έως τώρα και σε ποια πεδία µπορεί να φανεί χρήσιµη. Επίσης, αν µπορεί να προσφέρει, σε τι φάση βρίσκεται και ποια είναι τα τρέχοντα προβλήµατα που αντιµετωπίζει; Οι προβληµατισµοί αυτοί απαντώνται στην αµέσως επόµενη παράγραφο. 6

17 .4 Συνεισφορά Ένα από τα κεντρικά ζητήµατα της κρυπτογραφίας είναι ο ασφαλής τρόπος µετάδοσης δεδοµένων µε την ταυτόχρονη αντιµετώπιση των σύγχρονων επιθέσεων που αντιµετωπίζουν τα κλασικά συστήµατα. Βάση ενός θεωρήµατος της κβαντικής µηχανικής ένα κβαντικό σύστηµα (Qubit) δεν µπορεί να αντιγραφεί. Αυτό εξασφαλίζει σε κάποιον πως η παραβίαση ενός Qubit, άρα και τις πληροφορίας, γίνεται εύκολα αντιληπτή. Μαζί µε το παραπάνω θέµα σηµαντικά βήµατα έγιναν και στην αντιµετώπιση του προβλήµατος της ασφαλούς διαµοίρασης του µυστικού κλειδιού στα δηµόσιου κλειδιού κρυπτογραφικά συστήµατα. Ωστόσο το πρόβληµα της αναγνώρισης της ταυτότητας του χρήστη δεν αντιµετωπίζεται και παραµένει. Μέσα από τη µελέτη της κβαντικής µετάδοσης της πληροφορίας και των αναλύσεων αναπτύχθηκαν και τεχνικές βελτίωσης του µυστικού κλειδιού. Οι κώδικες διόρθωσης σφαλµάτων και βελτίωσης της µυστικότητας του µυστικού κλειδιού ήταν τεχνικές µερικώς παραµεληµένες, όµως µε αφορµή τη βελτίωση του θορύβου στα κβαντικά κανάλια που είναι υψηλός, βελτιώθηκαν αρκετά. Ο κβαντικός τρόπος κρυπτογράφησης δεδοµένων ακόµη δε συνίσταται για ολόκληρη σύνοδο επικοινωνίας για λόγους αποτελεσµατικότητας, αλλά µόνο για την αρχική κωδικοποίηση και διαµοίραση του µυστικού κλειδιού. Ο κβαντικός τρόπος µετάδοσης δεδοµένων µέσω τον οπτικών ινών ή των ηλεκτροµαγνητικών κυµάτων ενίσχυσε την ασφάλεια των καναλιών µετάδοσης έτσι ώστε να προστατεύει από την παρεµβολή ωτακουστών, γεγονός που δεν αντιµετωπίζονταν εύκολα µέχρι τώρα. Ενεργό ρόλο στην εξέλιξη των πραγµάτων διαδραµατίζει και η εξέλιξη των κβαντικών υπολογιστών. Αν και έχουν γίνει αξιόλογες προτάσεις και υλοποιήσεις µικρής κλίµακας, ακόµη δεν είναι σε θέση να αναλάβουν το ρόλο ενός ολοκληρωµένου υπολογιστικού συστήµατος που µπορεί να ανταπεξέλθει στις απαιτήσεις που έχουν οι σύγχρονες πρότυπες αρχιτεκτονικές. Ένα από τα βασικότερα προβλήµατα που αντιµετωπίζουν ακόµη είναι ο θόρυβος κατά τη µετάδοση 7

18 δεδοµένων. Το βασικό πλεονέκτηµα έναντι των κλασσικών υπολογιστών είναι η κβαντική παραλληλία, δηλαδή η ικανότητα των κβαντικών καταχωρητών να διατηρούν µεγάλο όγκο δεδοµένων χάρις του κβαντικού φαινόµενου της υπέρθεσης. Ωστόσο ένα βασικό ερώτηµα που παραµένει είναι τι είδους προβλήµατα θα µπορεί να αντιµετωπίζει αποτελεσµατικά ένας κβαντικός υπολογιστής και κατά πόσο αυτά συγκρίνονται µε την αποτελεσµατικότητα του κλασικού υπολογιστή. Το συγκεκριµένο θέµα αποτελεί πεδίο έρευνας και πολλοί προγραµµατιστές προσπαθούν να βρουν χρήσιµους αλγορίθµους που θα αξιοποιήσουν και τις ιδιαίτερες ικανότητες των κβαντικών υπολογιστών. Οι σηµαντικότεροι αλγόριθµοι που ανακαλύφθηκαν έως τώρα, π.χ. Deutch, Shor, Grover, δώσανε πνοή για κάτι καλύτερο. Ωστόσο η δυσκολία δηµιουργίας καινούργιων παραµένει και ουσιαστικά οφείλεται στο ότι για την υλοποίησή τους απαιτούνται γνώσεις και καλή διαίσθηση των κβαντικών φαινοµένων, καθώς επίσης και ιδιαίτερη ευρηµατικότητα ώστε ο νέος αλγόριθµος να ξεπερνά τις δυνατότητες των κλασικών αλγόριθµων. Συνεπώς το µέλλον θεωρείται αβέβαιο για την εύρεση νέων αλγορίθµων..5 Αντικείµενο Σκοπός της παρούσας εργασίας είναι να γίνει µια διερεύνηση επάνω στο θέµα της κβαντικής κρυπτογραφίας και κρυπτανάλυσης, ως προς το τι είναι, τι έχει υλοποιηθεί µέχρι σήµερα από αυτά που υπόσχεται και ποιο θα είναι το µέλλον της. Αφού αρχικά δοθεί το ανάλογο κβαντικό τεχνολογικό υπόβαθρο και αναφερθούν τα σηµαντικότερα σύγχρονα κρυπτογραφικά πρωτόκολλα και αλγόριθµοι, θα συνεχιστεί η περιγραφή των κβαντικών πρωτόκολλων και αλγορίθµων. Όσον αφορά την κρυπτογραφία η εργασία επικεντρώνεται στο κρυπτογραφικό πρωτόκολλο διαµοίρασης κλειδιού ΒΒ84 και ορισµένες άλλες εφαρµογές, όπως είναι το Bit πρωτόκολλο δέσµευσης ΒΒ84 και οι γεννήτριες τυχαίων αριθµών RNG. Μέσα από το ΒΒ84 θα γίνει περισσότερο κατανοητή η λογική των κβαντικών πρωτόκολλων και τα προβλήµατα που αντιµετωπίζουν. Μάλιστα παρουσιάζονται τεχνικές 8

19 βελτίωσης της µυστικότητας του κλειδιού που βρίσκουν εφαρµογή ακόµη και στην σύγχρονη κρυπτογραφία. Αναλύονται τα ευαίσθητα σηµεία που σχετίζονται µε την ασφάλεια και πως αυτά αντιµετωπίζονται. Ιδιαίτερη βαρύτητα δίνεται στις επιθέσεις των ωτακουστών. Επίσης αναφέρονται και οι τροποποιήσεις που παρουσιάστηκαν αργότερα. Όσον αφορά την κρυπτανάλυση θα αναφερθεί ο κβαντικός µετασχηµατισµός Fourier και τρείς σπουδαίοι αλγόριθµοι που επιλύουν τρία µαθηµατικά προβλήµατα. Και οι τρείς αλγόριθµοι σχετίζονται µεταξύ τους µε ορισµένα κοινά χαρακτηριστικά. Τα προβλήµατα είναι αυτά της παραγοντοποίησης ακεραίων, του διακριτού λογάριθµου και της κρυµµένης υπό-οµάδας. Ο στόχος είναι να γίνει κατανοητή η λογική αυτών των αλγόριθµων και να δηµιουργηθεί ο προβληµατισµός τι άλλο θα µπορούσε να προσφέρει ο κβαντικός υπολογιστής στο χώρο της κρυπτογραφίας..6 Οργάνωση Κειµένου Αυτή η εργασία δοµείται από οκτώ ενότητες. Στο πρώτο κεφάλαιο εισάγονται οι βασικές έννοιες της κρυπτογραφίας που είναι απαραίτητες για να γίνουν κατανοητά τα επόµενα, καθώς και η ιστορική εξέλιξη. Στο δεύτερο κεφάλαιο ορίζονται οι έννοιες του κβαντικού υπολογιστή µε τις βασικές τεχνολογίες που έχουν προταθεί, του κβαντικού συστήµατος και ορισµένα θέµατα λειτουργίας του υπολογιστή. Στο τρίτο δίνονται τα απαραίτητα συστατικά στοιχεία από το χώρο της µοντέρνας κρυπτογραφίας ώστε να γίνει µια οµαλή µετάβαση στα κβαντικά κρυπτογραφικά πρωτόκολλα και αλγόριθµους που έρχονται να αντικαταστήσουν τα συµβατικά.. Στο τέταρτο κεφάλαιο γίνεται µια εκτενής περιγραφή του βασικού κρυπτογραφικού πρωτοκόλλου ΒΒ84, µαζί µε τα µειονεκτήµατα και τα πλεονεκτήµατά του από πλευράς ασφάλειας. Επίσης αναφέρονται οι επιθέσεις που θεωρητικά µπορεί να δεχθεί και η εξέλιξη του πρωτόκολλου. Έπειτα ακολουθεί το πέµπτο όπου γίνεται µια ποιοτική περιγραφή ορισµένων γνωστών κβαντικών πρωτόκολλων, που έχουν συµβάλει στην κρυπτογραφία. Στο έκτο περιγράφονται οι αλγόριθµοι που έχουν συµβάλει στην κρυπτανάλυση γνωστών τεχνικών κρυπτογράφησης µε σπουδαιότερο αυτόν του Shor και τέλος αναφέρονται τα 9

20 συµπεράσµατα και οι προοπτικές εξέλιξης του ιδιαίτερου αυτού τρόπου κρυπτογράφησης. 0

21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Κβαντικοί Υπολογιστές Στην ενότητα αυτή θα προσδιοριστεί η έννοια του κβαντικού υπολογιστή απ όλες τις πλευρές. Συγκεκριµένα θα συζητηθεί ποιος είναι ο ρόλος του, η σχέση του µε την κβαντική µηχανική και ποιες είναι οι στοιχειώδεις αρχές λειτουργίας του. Παράλληλα θα γίνει µια αντιστοίχιση µε τα µέρη του κλασικού υπολογιστή, συνεπώς θα αναλυθούν τα δοµικά του στοιχεία όπως το Qubit ή αλλιώς κβαντικό σύστηµα και οι πύλες ή τελεστές δράσης. Επίσης θα αναφερθεί το φαινόµενο της κβαντικής διεµπλοκής και τέλος θα περιγραφούν οι σηµαντικότερες τεχνολογίες που παρουσιάζονται καθώς και τα προβλήµατα που ενέχουν.. Ο Κβαντικός Υπολογιστής Ο κβαντικός υπολογιστής είναι µια συσκευή που αποσκοπεί στo να εκτελεί υπολογισµούς για την επεξεργασία δεδοµένων, όπως και ο κλασικός υπολογιστής, βασιζόµενη σε µια διαφορετική αρχιτεκτονική που κάνει χρήση ορισµένων κβαντικών φαινοµένων, όπως είναι η υπέρθεση καταστάσεων ή η διεµπλοκή, όπως θα δούµε. Η αποθηκευτική µονάδα αντί για bit ονοµάζεται κβαντικό bit ή Qubit και έχει διαφορετική φυσική υπόσταση από ότι το κλασσικό bit στα κλασικά αποθηκευτικά µέσα. Αν και οι κβαντικοί υπολογιστές βρίσκονται ακόµη στα πρώτα βήµατα της ζωής τους, τουλάχιστον πειραµατικά, έχουν υλοποιηθεί πολλές λειτουργίες, ενώ η έρευνα συνεχίζεται και σε θεωρητικό και σε πρακτικό επίπεδο. Σήµερα τα κβαντικά υπολογιστικά συστήµατα που έχουν υλοποιηθεί λειτουργούν επάνω σε έναν µικρό αριθµό Qubits. Τα µεγάλης κλίµακας υπολογιστικά συστήµατα είναι ακόµη υπό ανάπτυξη και εάν υλοποιηθούν υπόσχονται να επιλύουν σε εκθετικό χρόνο προβλήµατα, όπου οι κλασικοί υπολογιστές αδυνατούν, όπως διάφορα µαθηµατικά προβλήµατα, πχ την παραγοντοποίηση µεγάλων ακεραίων σε πρώτους αριθµούς που κάνει χρήση το κρυπτοσύστηµα RSA. Το θέµα της

22 επεξεργαστικής ισχύος των κβαντικών υπολογιστών σχετίζεται άµεσα µε το χώρο της κρυπτανάλυσης καθώς αυτή η εξέλιξη µπορεί να προκαλέσει την κατάρρευση γνωστών κρυπτογραφικών συστηµάτων αντιµετωπίζοντας για παράδειγµα υπολογιστικά τα µεγάλα κλειδιά που χρησιµοποιούνται, ένα γεγονός που θα ήταν σίγουρα µια µεγάλη ανατροπή στην µοντέρνα κρυπτογραφία. Ο κβαντικός υπολογιστής ως ιδέα εµφανίζεται για πρώτη φορά από τον Ισραηλινό David Deutsch περί το 985, περιγράφοντας ένα γενικευµένο πρότυπο κβαντικού υπολογιστή (Universal Quantum Computer). Στο πέρας του χρόνου εµφανίστηκαν διάφορες τεχνολογίες που σύντοµα βρέθηκαν αντιµέτωπες µε δύο ριζικά τεχνολογικά προβλήµατα που απασχολούν ακόµη, το φαινόµενο του θορύβου που παρουσιάζεται στα κβαντικά συστήµατα και την αβεβαιότητα που διέπει τους νόµους της κβαντοµηχανικής. Οι αρχές λειτουργίας του κβαντικού υπολογιστή υπαγορεύονται από τους νόµους της φυσικής του χώρου της κβαντοµηχανικής. Η κβαντική µηχανική είναι ένας κλάδος της φυσικής ο οποίος εµφανίστηκε µέσα στο πρώτο τέταρτο του εικοστού αιώνα. Οι θεωρίες του κλάδου έφεραν την επανάσταση στην επιστηµονική κοινότητα καθώς άνοιξαν µια νέα προοπτική αντιµετώπισης των πραγµάτων. Πρόκειται για θεωρία της µαθηµατικής φυσικής, δηλαδή είναι ένα µαθηµατικό πλαίσιο ή σύνολο κανόνων, που εξετάζει τη µηχανική των συστηµάτων σωµατιδίων µε τη βοήθεια µεγεθών που µπορούν να µετρηθούν. Ασχολείται δηλαδή µε τα ατοµικά και τα υποατοµικά συστήµατα και τις ενεργειακές αλληλεπιδράσεις. Ο όρος κβαντικός προκύπτει από τη λέξη κβάντο που σηµαίνει ένα µέγεθος µέτρησης στοιχειώδους ποσότητας ενέργειας, παραδείγµατος χάριν εκπεµπόµενης ενέργειας. Πλέον µε τη µοντέρνα θεωρεία της κβαντικής µηχανικής εξηγήθηκαν και αναλύθηκαν διάφορα φαινόµενα γεγονός που συνέβαλλε στην ανάπτυξη και υλοποίηση διάφορων εφαρµογών. Το πεδίο εφαρµογών της διαθέτει µεγάλο εύρος για την πειραµατική και θεωρητική φυσική. Μία ωστόσο από τις εφαρµογές της είναι και αυτή στον Κβαντικό Υπολογισµό, την Κβαντική Πληροφορία, τα Κβαντικά Συστήµατα Μετάδοσης, µε συνέπεια την Κβαντική Κρυπτογραφία.

23 . Κβαντικά Συστήµατα ή Qubits (Φυσική και Μαθηµατική έννοια) Ένα Κβαντικό Σύστηµα µπορεί κανείς να πει πως έχει δύο οπτικές κατανόησης, τη φυσική του υπόσταση και τη µαθηµατική του. Και οι δύο µορφές της συνεργάζονται αρµονικά για να δώσουν µια εικόνα του τι είναι και πως µπορεί να χρησιµοποιηθεί για να εφαρµόσει στον κόσµο των υπολογιστικών συστηµάτων. Ας µελετήσουµε όµως πρώτα τη φυσική του πλευρά. Τα κβαντικά συστήµατα µε τα οποία ασχολούµαστε είναι των δύο βασικών καταστάσεων, ή δύο επιπέδων, καθώς υπάρχουν και περισσοτέρων που όµως ξεφεύγουν από τα πλαίσια της εργασίας. Ένα ατοµικό ή υποατοµικό σύστηµα που διέπεται από τις αρχές της κβαντικής µηχανικής µπορούµε να πούµε πως αποτελεί ένα Κβαντικό Σύστηµα. Για να δοθεί όµως µια εικόνα του τι µπορεί να είναι ένα κβαντικό σύστηµα ή Qubit σε φυσικό επίπεδο, θα περιγραφούν παραδειγµατικά δύο απλά συστήµατα, το φωτόνιο και το ηλεκτρόνιο στο άτοµο. Ένα φωτόνιο είναι µια ορισµένη ποσότητα (quantum) φωτός, ένα στοιχειώδες σωµατίδιο µε µηδενική µάζα αδρανείας. Όταν µεταδίδεται στο χώρο αποτελεί το φορέα µετάδοσης ηλεκτροµαγνητικής ακτινοβολίας όλων των µηκών κύµατος. Στην περίπτωση λοιπόν που το φωτόνιο µεταδίδεται στο χώρο µπορούµε να το φανταστούµε ως µεταδιδόµενο ηλεκτροµαγνητικό κύµα. Ανάλογα µε την κατάσταση πόλωσης του ηλεκτροµαγνητικού κύµατος κωδικοποιούνται και οι δύο τιµές (0 ή ). Στο πιο κάτω σχήµα βλέπουµε τις δύο ταλαντώσεις που εκτελούνται παράλληλα, από το ηλεκτρικό και το µαγνητικό πεδίο. Η ιδιότητα που επιλέγουµε για να κωδικοποιήσουµε τις δύο βασικές καταστάσεις είναι αυτή της πόλωσης που αναφέρεται στην κλίση του ηλεκτρικού πεδίου του φωτονίου. Σχήµα. Ηλεκτροµαγνητικό κύµα 3

24 Το δεύτερο γνωστό κβαντικό σύστηµα εµφανίζεται στη δοµή ενός ατόµου όπου τις δύο καταστάσεις κωδικοποιούν οι δύο ενεργειακές καταστάσεις του ηλεκτρονίου ενός ατόµου. Η ποσότητα ενέργειας που ενέχει ένα περιστρεφόµενο ηλεκτρόνιο διαφέρει από στοιβάδα σε στοιβάδα. Με τη βοήθεια της ηλεκτροµαγνητικής ακτινοβολίας και ανάλογα µε τη συχνότητά της µπορούµε να κάνουµε το ηλεκτρόνιο να µεταφέρεται από ένα επίπεδο σε ένα άλλο, έτσι αν το ηλεκτρόνιο µετακινείται µεταξύ δύο καταστάσεων µε αντιστρέψιµο τρόπο, µε βάση αυτές µπορούµε να κωδικοποιήσουµε τις δύο καταστάσεις. Στο διπλανό σχήµα το ηλεκτρόνιο ταλαντώνεται µεταξύ των στοιβάδων και. Ρυθµίζοντας κατάλληλα τα χαρακτηριστικά µιας ηλεκτροµαγνητικής ενέργειας µπορούµε να το κάνουµε να µεταπηδήσει από τη µια στην άλλη. Σχήµα. οµή ατόµου Πέρα από τα δύο φυσικά συστήµατα που αναφέρθηκαν χρησιµοποιούνται και άλλα συστήµατα όµως δεν θα επεκταθούµε σε αυτά. Σε επόµενο κεφάλαιο θα αναφερθούν περιληπτικά µερικές επιπλέον υλοποιήσεις κβαντικών συστηµάτων σε κβαντικούς υπολογιστές. Από τη µαθηµατική πλευρά θα πρέπει να αναφερθούν ορισµένοι βασικοί όροι [4] που χρησιµοποιούνται για να µπορέσουµε να παραστήσουµε την κβαντική κατάσταση ενός συστήµατος µαζί µε τις ιδιότητές της. Ένα κβαντικό σύστηµα δύο καταστάσεων περιγράφεται από το διάνυσµα κατάστασης Κ = α K + β K (.), που είναι ένας γραµµικός συνδυασµός καταστάσεων. Ένα διάνυσµα κατάστασης περιγράφεται µε τη βοήθεια του συµβόλου ket. Τα διανύσµατα κατάστασης Κ και Κ αποτελούν τις δύο βασικές καταστάσεις του συστήµατος. Πέρα όµως από τις δύο βασικές καταστάσεις το 4

25 διάνυσµα Κ µπορεί να βρεθεί και σε µία ενδιάµεση κατάσταση όπου αυτή ονοµάζεται υπέρθεση. Για παράδειγµα κατά την µετάβαση του ηλεκτρονίου από τη µια στιβάδα στην άλλη απαιτείται µια ποσότητα ενέργειας για συγκεκριµένο χρονικό διάστηµα. Αν αυτό το διάστηµα είναι λίγο λιγότερο τότε µπορούµε να πετύχουµε κατάσταση υπέρθεσης. Το πιο κάτω σχήµα δίνει µια εικόνα για το πώς θα µπορούσαµε να συµβολίσουµε την κατάσταση υπέρθεσης σε δύο διαστάσεις, καθώς στην πράξη τη συµβολίζουµε στο χώρο όπως θα δούµε πιο κάτω. Οι δύο αριθµοί α και β είναι γενικά µιγαδικοί ώστε να αναπαριστούν τα διανύσµατα στο χώρο Hilbert. Ωστόσο στο σχήµα που παραθέτουµε πιο κάτω καταχρηστικά τους θεωρούµε πραγµατικούς για να µπορέσουµε να τους αναπαραστήσουµε στον άξονα x x και y y για χάρη του παραδείγµατος. Σχήµα.3 Αναπαράσταση της υπέρθεσης σε δύο διαστάσεις. Οι δύο µιγαδικοί που προαναφέραµε ονοµάζονται πλάτη πιθανότητας διότι µας δείχνουν την πιθανότητα µε την οποία µπορεί να υφίστανται οι δύο βασικές καταστάσεις σε µια συγκεκριµένη κατάσταση του διανύσµατος Κ. Συγκεκριµένα το τετράγωνο της απόλυτης τιµής του µιγαδικού υποδηλώνει την πιθανότητα, δηλαδή στην κατάσταση Κ έχουµε α πιθανότητα εύρεσης της βασικής κατάστασης Κ και β της Κ, έπειτα από µία µέτρηση. Επιπλέον ισχύει και η σχέση α + β = (.), γεγονός που δηλώνει όλες τις πιθανές καταστάσεις. Το θέµα της µέτρησης ενός κβαντικού συστήµατος είναι ένα περίπλοκο θέµα καθώς µια µέτρηση είναι δύσκολο να πραγµατοποιηθεί σε υποατοµικό επίπεδο. Μετά από κάθε µέτρηση ενός συστήµατος δύο καταστάσεων βρίσκουµε ή την µία ή την 5

26 άλλη κατάσταση, δηλαδή καταστρέφεται η υπέρθεση του συστήµατος και το σύστηµα αποκτά µια από τις δύο καταστάσεις. Το φαινόµενο αυτό περιγράφηκε από τον γερµανό W. Heisenberg το 97 και είναι γνωστό ως αρχή της απροσδιοριστίας. Η κατάσταση ενός συστήµατος λοιπόν είναι αδύνατο να υπολογιστεί µε ακρίβεια. Με βάση τη σχέση (.) τα διανύσµατα ket των δύο βασικών καταστάσεων συµβολίζονται όπως ακολούθως, θέτοντας α= και β=0 για την Κ και α=0 και β= για την Κ. 0 Κ = Κ + 0 Κ = και Κ = 0 Κ + Κ = 0 Όπως ειπώθηκε το διάνυσµα κατάστασης ενός συστήµατος Qubit αναπαρίσταται καλύτερα στη σφαίρα Bloch, καθώς αναδεικνύονται όλα τα χαρακτηριστικά του συστήµατος. Η σφαίρα Bloch παριστάνει ένα µεµονωµένο διάνυσµα κατάστασης, έστω ψ, µήκους ίσου µε τη µονάδα όπου η αρχή του διανύσµατος ξεκινάει από το κέντρο της σφαίρας και το βέλος εφάπτεται στην εσωτερική επιφάνεια της σφαίρας όπως φαίνεται και στο σχήµα. Σχήµα.4 Αναπαράσταση της σφαίρας Bloch µε ένα άνυσµα κατάσταση ψ Οι δύο βασικές καταστάσεις Κ και Κ συνήθως συµβολίζονται από τις καταστάσεις 0 και. Όταν βρισκόµαστε στην 0 βασική κατάσταση το διάνυσµα δείχνει στον κατακόρυφο άξονα µε φορά προς τα επάνω, ενώ στην δείχνει µε φορά 6

27 προς τα κάτω. Μία πιο επίσηµη και γενικευµένη µορφή αναπαράστασης της σχέσης (.) είναι η ακόλουθη σχέση : θ Κ = cos 0 + e iφ θ sin (.3), η οποία προκύπτει από την (.). Οι αριθµοί φ και θ είναι πραγµατικοί αριθµοί και πρόκειται για γωνίες. Η γωνία θ καθορίζει τις τιµές των πλατών πιθανότητας και η φ δείχνει τη γωνία φάσης. Κατά τον υπολογισµό πλατών ισχύει e iφ =. Η γωνία φάσης µπορεί να διαφοροποιεί δύο διανύσµατα που έχουν τα ίδια πλάτη πιθανότητας, όµως αυτό πρακτικά δεν είµαστε σε θέση να το διακρίνουµε..3 Κβαντικός Καταχωρητής και Κβαντική Παραλληλία Όπως και στους κλασικούς υπολογιστές, στον κβαντικό καταχωρητή τα Qubits τοποθετούνται σε µια διατεταγµένη σειρά, µόνο που στη θέση του κάθε bit υπάρχει ένα κβαντικό σύστηµα Qubit των δύο βασικών καταστάσεων. Το σχήµα που ακολουθεί δίνει µια απεικόνιση ενός καταχωρητή τριών θέσεων σε αντιπαράθεση µε έναν κλασικό καταχωρητή τριών θέσεων. Η σφαίρα του Bloch που υπάρχει σε κάθε θέση του κβαντικού καταχωρητή αντιπροσωπεύει ένα κβαντικό σύστηµα. Η αρίθµηση των Qubits γίνεται από δεξιά προς αριστερά. 0 Σχήµα.5 Κλασικός Καταχωρητής Qubit Qubit Qubit 0 Σχήµα.6 Κβαντικός Καταχωρητής Η πληροφορία γενικά που αποθηκεύεται σε έναν κβαντικό καταχωρητή είναι κατά πολύ περισσότερη από ότι σε έναν κλασικό καταχωρητή. Ας µελετήσουµε το 7

28 απλό παράδειγµα [5] όπου έχουµε δύο µόνο Qubits στον καταχωρητή. Η κατάστασή του συµβολίζεται µε q R = q 0 q = q 0 q = q 0 q. Όπου συµβολίζει το τανυστικό γινόµενο. ηλαδή µε q R συµβολίζουµε την κατάσταση του καταχωρητή συνολικά, µε q 0 την κατάσταση της πρώτης θέσης και µε q την κατάσταση της δεύτερης θέσης. Εκτελώντας τις πράξεις του τανυστικού γινοµένου φαίνεται ποια είναι η κατάσταση του καταχωρητή τελικώς : q R = q q 0 = (a 0 +b ) (c 0 +d ) = (ac) (ad) 0 + (bc) 0 + (bd) = c c 0 +c 0 +c 3 Το αποτέλεσµα έχει ως πλάτη πιθανότητας τους αντίστοιχους τέσσερις µιγαδικούς συντελεστές c x. Ο κβαντικός καταχωρητής βρίσκεται σε υπέρθεση των τεσσάρων βασικών καταστάσεων µε πιθανότητα να µετρηθεί η κάθε µία ίση µε το τετράγωνο του µέτρου των c 0, c, c και c 3 αντίστοιχα. Επειδή ισχύει q R = c c 0 +c 0 +c 3, συνεπώς θα πρέπει να ισχύει και c 0 + c + c + c 3 =. Το τανυστικό γινόµενο 00 υπολογίζεται ως ακολούθως και µε τον ίδιο τρόπο υπολογίζονται και τα υπόλοιπα 0, 0 και : 00 = 0 = Το πλεονέκτηµα του κβαντικού καταχωρητή να διατηρεί τις τέσσερις βασικές καταστάσεις ταυτόχρονα αποτελεί τη βάση της κβαντικής παραλληλίας. Η διαφορά µε τον κλασικό καταχωρητή είναι πως δεν µπορούν να διατηρηθούν ταυτόχρονα όλες αυτές οι καταστάσεις. Για παράδειγµα, σε έναν κλασικό υπολογιστή, εάν θα θέλαµε να εκτελέσουµε ταυτόχρονα τους υπολογισµούς f(0), f(), f() και f(3), µιας συνάρτησης f, θα έπρεπε να είχαµε τέσσερις καταχωρητές των δύο bits όπου θα εφαρµόζαµε τέσσερις φορές την f, ενώ στον κβαντικό υπολογιστή θα έπρεπε να είχαµε έναν καταχωρητή των δύο Qubits όπου θα εκτελούσαµε µια φορά την f, διότι στον κβαντικό καταχωρητή µπορούµε και διατηρούµε µε δύο Qubit τέσσερις αριθµούς ταυτόχρονα όταν αυτός είναι σε κατάσταση υπέρθεσης. 8

29 Γενικά, η κατάσταση ενός κβαντικού καταχωρητή που αποτελείται από n Qubits δίνεται από : q R = q n- q n-. q q 0 = q n-.q q 0. Το διάνυσµα αυτό υπάρχει σε ένα χώρο Hilbert µε n διαστάσεις και έχει n βασικές καταστάσεις που είναι όλες ορθογώνιες µεταξύ τους. Σε κατάσταση υπέρθεσης λοιπόν ο καταχωρητής κρατά n αριθµούς, όλους τους αριθµούς από 0 έως n - : i= 0 q R = c c + c + +c n - = c i n i ή = c c c c n n.4 Κβαντικές Πύλες ή Τελεστές ράσης Στον κλασικό υπολογιστή η κυκλοφορία και η επεξεργασία των δεδοµένων διεκπεραιώνεται χάρις των ηλεκτρονικών κυκλωµάτων και των λογικών πυλών [4]. Η τάση του ρεύµατος σχηµατίζει την πληροφορία και οι λογικές πύλες αποτελούνται από πολλά τρανζίστορ. Στον κβαντικό υπολογιστή οι κβαντικές πύλες δεν είναι φυσικά συστήµατα και αντιπροσωπεύονται από δράσεις τελεστών που ασκούνται σε Qubits ή κβαντικούς καταχωρητές. Η πληροφορία δεν ταξιδεύει αλλά παραµένει αποθηκευµένη σε κάποιο κβαντικό σύστηµα και οι τελεστές δρουν ο ένας µετά τον άλλο ώστε να προκαλούν την αλλαγή της κατάστασης του κβαντικού συστήµατος και άρα και της πληροφορίας. Γενικά οι δράσεις που µπορεί να δέχονται τα κβαντικά συστήµατα και να αλλάζουν την κατάστασή τους ονοµάζονται τελεστές. Τα µαθηµατικά αυτά αντικείµενα αναπαρίστανται ως πίνακες. Οι τελεστές είναι πίνακες που συµβολίζονται µε τη βοήθεια του συµβόλου ^, δηλαδή ο πίνακας R ως τελεστής θα είναι Rˆ. Οι πίνακες επιδρούν σε ένα άνυσµα κατάστασης που ανήκει στη σφαίρα του Bloch και το περιστρέφει. Ο µοναδιαίος πίνακας ασκεί µηδενική δράση επάνω σε µία κατάσταση. Γενικά την επίδραση θα την συµβολίζουµε ως ακολούθως : Rˆ Κ = Κ. Με βάση το παράδειγµα ο τελεστής σε αυτή την περίπτωση έχει µεταφέρει το διάνυσµα κατάστασης από τη µία βασική του κατάσταση στην άλλη, ενώ ο µοναδιαίος έχει µηδενική επιρροή και ο πολλαπλασιασµός του δίνει το ίδιο αποτέλεσµα, Î Κ = Κ. Θα µπορούσαν λοιπόν να ασκηθούν διάφορες επιδράσεις 9

30 επάνω σε µία κατάσταση και να προκαλέσουν µια νέα υπέρθεση των βασικών καταστάσεων. Σήµερα η κβαντική µηχανική δεν µπορεί να προσδιορίσει, για ένα δεδοµένο φυσικό σύστηµα ποιος είναι ο ανυσµατικός χώρος ενός ανύσµατος κατάστασης, ακόµη και ποιο είναι το διάνυσµα που περιγράφει µια συγκεκριµένη κατάσταση. Ωστόσο αυτό που µπορούµε να πετύχουµε είναι να αλλάξουµε την τρέχουσα κατάσταση ενός κλειστού συστήµατος, δηλαδή που δεν αλληλεπιδρά κι επηρεάζεται από το εξωτερικό περιβάλλον, µέσα στο χρόνο. Η διαδικασία της µετάβασης από µια αρχική κατάσταση ψ της χρονικής στιγµής t, σε µια άλλη κατάσταση ψ της χρονικής στιγµής t ονοµάζεται unitary transformation. Χρησιµοποιούµε έναν τελεστή που δρα στην πρώτη κατάσταση για να προκύψει η δεύτερη. Τους τελεστές τους περιγράφουµε µαθηµατικά µε πίνακες. Για παράδειγµα ο µοναδιαίος πίνακας δεν ασκεί καµία δράση και αφήνει την κατάσταση όπως είναι. Ένας τελεστής U θα δώσει τη σχέση χρονικές στιγµές. U ψ = ψ '. Επίσης ο πίνακας U σχετίζεται άµεσα µε τις δύο Ωστόσο όλοι οι τελεστές του χώρου Hilbert δεν µπορούν να είναι κβαντικές πύλες, καθώς υπάρχουν οι ακόλουθοι περιορισµοί: Πρώτον, οποιαδήποτε επίδραση προκαλέσει την αλλαγή του µήκους του διανύσµατος, το οποίο θα πρέπει να ισούται πάντα µε την µονάδα, απορρίπτεται. εύτερον, για κάθε αλλαγή µιας κατάστασης θα πρέπει να είναι εφικτή η αντιστροφή της, θα πρέπει να υπάρχει χρονική συµµετρία των κβαντικών συστηµάτων. Αν δηλαδή µεταβούµε από µια κατάσταση σε µία άλλη µε τη βοήθεια ενός τελεστή, µε τον ίδιο ακριβώς τελεστή θα πρέπει να µπορούµε να επανερχόµαστε στην προηγούµενη κατάσταση. Οι τελεστές αυτοί ονοµάζονται ορθοµοναδιαίοι και οι πύλες αναστρέψιµες. Μια κατάταξη των κβαντικών πυλών θα µπορούσε να γίνει µε βάση τον αριθµό των κβαντικών συστηµάτων στον οποίο δρουν. Πιο κάτω θα αναφερθούν οι σηµαντικότερες πύλες που δρουν σε ένα Qubit, σε δύο και σε τρία. Οι πύλες που δρουν σε ένα Qubit περιστρέφουν το διάνυσµα κατάστασης ενός συστήµατος στη σφαίρα Bloch µεταβάλλοντας τις γωνίες θ και φ της σχέσης.3. Οι 30

31 περιστροφές που θα µπορούσαν να συµβούν είναι άπειρες άρα και οι πύλες αυτής της κατηγορίας θα µπορούσαν να είναι άπειρες. Γενικά ένας ορθοµοναδιαίος τελεστής αποδείχθηκε πως περιγράφεται από έναν πίνακα U µε στοιχεία. Οι σπουδαιότερες πύλες που χρησιµοποιούνται σε αυτή την κατηγορία είναι τρείς. Η πύλη αδράνειας, η πύλη µετατόπισης φάσης και η πύλη Hadamard. Η πρώτη πύλη αφήνει αµετάβλητη την κατάσταση ενός κβαντικού συστήµατος και συµβολίζεται µε I. Η δεύτερη αλλάζει µόνο τη γωνία φάσης του Qubit, γεγονός που δεν µπορεί να γίνει αντιληπτό µε µια µέτρηση, δηλαδή αν δύο καταστάσεις έχουν διαφορετική φάση δεν µπορούµε να το µετρήσουµε, και συµβολίζεται µε Φ. Τέλος η πύλη Hadamard που συµβολίζεται µε Η προκαλεί την υπέρθεση ενός συστήµατος όταν αυτό βρίσκεται σε µια από τις δύο βασικές καταστάσεις. Μάλιστα στην κατάσταση της υπέρθεσης οι δύο βασικές καταστάσεις γίνονται ισοπίθανες και κατά τη µέτρηση του Qubit µπορεί να έχουµε, είτε τη µια, είτε την άλλη κατάσταση µε πιθανότητα 50%. Επίσης αν εφαρµόσουµε την πύλη H σε ένα σύστηµα που το έχουµε φέρει σε υπέρθεση τότε αυτό θα επιστρέψει σε µια από τις δύο βασικές καταστάσεις, ανάλογα µε το από ποια προήρθε η υπέρθεση. Η πύλη αυτή είναι ιδιαίτερα σηµαντική διότι χρησιµοποιείται πολύ συχνά σε λειτουργίες κβαντικών υπολογισµών. Οι σπουδαιότερες πύλες που δρουν σε δύο Qubits είναι οι πύλες ελεγχόµενου όχι και ελεγχόµενης µετατόπισης φάσης. Για να αναπαραστήσουµε τα αποτελέσµατα θεωρούµε έναν καταχωρητή των δύο Qubits που ξεκινά από την κατάσταση a i,b i και καταλήγει στην κατάσταση a 0,b 0. Η πύλη ελεγχόµενου όχι είναι γνωστή και ως CNOT και αλλάζει την κατάσταση του Qubit στόχου όταν η κατάσταση του Qubit ελέγχου, πχ b i, είναι και δεν την αλλάζει όταν είναι 0. Την πύλη ελεγχόµενης µετατόπισης φάσης συνήθως την συµβολίζουµε µε CΦ και ο ρόλος της είναι να τροποποιεί τις φάσεις καταστάσεων. Στο σηµείο αυτό να ειπωθεί πως ο πύλες CNOT, H και Φ αποτελούν ένα γενικευµένο σύνολο κβαντικών πυλών µε το οποίο µπορούµε να εκτελέσουµε οποιονδήποτε κβαντικό υπολογισµό. Οι κβαντικές πύλες που δρουν σε τρία Qubits είναι η πύλη διπλά ελεγχόµενου όχι, CCNOT, και η πύλη Fredkin, F. Η πύλη CCNOT, γνωστή και ως Toffoli, 3

32 αποτελείται από έναν καταχωρητή τριών Qubits και ξεκινάει από την κατάσταση c i,c i,a i και καταλήγει στην κατάσταση c 0,c 0,a 0, όπου τα Qubits c και c είναι σταθερά. Η κατάσταση στόχος a αλλάζει όταν τα δύο ελεγχόµενα Qubits βρίσκονται στην κατάσταση, ενώ δεν αλλάζει σε όλες τις υπόλοιπες περιπτώσεις. Η πύλη F αποτελείται από έναν καταχωρητή τριών Qubits και ξεκινάει από την κατάσταση c i,a i,b i και καταλήγει στην κατάσταση c 0,a 0,b 0, όπου το Qubit c είναι ελέγχου και αν είναι στην κατάσταση τότε εναλλάσσει τις καταστάσεις µεταξύ των a και b, διαφορετικά δεν συµβαίνει η εναλλαγή. Το Qubit c δεν µεταβάλλεται. Στον πιο κάτω πίνακα φαίνονται οι συµβολισµοί και οι τελεστές που αντιστοιχούν στις πύλες αδράνειας, µετατόπισης φάσης, Hadamard και ελεγχόµενου ΟΧΙ : Συµβολισµός Πύλης Ονοµασία Πύλης Τελεστής σε µορφή Πίνακα Πίνακες Αλήθειας Ι Ο Αδράνειας q q Ι Ο Μετατόπισης Φάσης 0 0 iφ e 0 e iφ a 0 +b a 0 +e iφ b Ι Ο Hadamard 0 ( 0 + ) ( 0 - ) ( 0 + ) 0 3

33 ( 0 - ) Ελεγχόµενου ΟΧΙ Ι Ο Κάνοντας µια προσπάθεια να γίνει η αντιστοίχιση µεταξύ λογικών πυλών και κβαντικών τα πράγµατα περιπλέκονται, καθότι οι κβαντικές καταστάσεις έχουν διαφορετική φύση. Ξεκινώντας µε την απλούστερη περίπτωση της λογικής πύλης NOT θα µπορούσε κανείς να υποθέσει πως η κατάσταση 0 µετά την δράση της πύλης NOT θα γίνει, όπως ακριβώς συµβαίνει και µε τις κλασσικές πύλες. Πως θα γίνονταν όµως η αντιστοίχιση στην περίπτωση της υπέρθεσης; Εµπειρικά υποστηρίζεται πως στην περίπτωση της δράσης της κβαντικής πύλης NOT σε µια κατάσταση συστήµατος η αρχική κατάσταση α 0 +β θα µετατραπεί σε α +β 0. Η γραµµικής µορφής µεταβολή που παρατηρείται στηρίζεται στους νόµους της κβαντικής µηχανικής και έχει γίνει αποδεκτή. Πριν αναφερθούν πιο σύνθετες πύλες, όπως η XOR, υπενθυµίζεται πως για µια κβαντική πύλη θα πρέπει να διατηρείται η ιδιότητα της αντιστρεψιµότητας. Στην περίπτωση για παράδειγµα της XOR η διατήρηση της αντιστρεψιµότητας είναι αδύνατο να συµβεί, καθότι από τη φύση της πύλης είναι δύσκολο να προβλεφθεί µόνο από την έξοδο ποια ήταν τα bits εισόδου. Στην πράξη όµως το πρόβληµα αντιµετωπίζεται από τη λογική πύλη Toffoli, γνωστή και ως ελεγχόµενου ΟΧΙ, που έχει την ιδιότητα να µετατρέπει οποιοδήποτε κλασικό κύκλωµα σε ένα ισοδύναµο που αποτελείται από αντιστρεπτά στοιχεία. Ανάλογα υπάρχει και η κβαντική πύλη Toffoli που µπορεί να προσοµοιώσει κλασικά λογικά κυκλώµατα που δεν διαθέτουν την ιδιότητα της αντιστροφής και να εκτελέσει όλες τις πράξεις που θα εκτελούσε ένας υπολογιστής από κλασικές πύλες. Η πύλη Toffoli µπορεί να χρησιµοποιηθεί για να προσοµοιώσει την κλασική NAND. Επιτυγχάνοντας την υλοποίηση της κβαντικής NAND είναι δυνατό να προσοµοιωθούν και οι 33

34 υπόλοιπες κλασικές πύλες, καθότι η NAND µπορεί να χρησιµοποιηθεί για να αναπαραχθεί οποιαδήποτε λειτουργία των άλλων λογικών πυλών. Ο συµβολισµός της πύλης Toffoli και ο τελεστής δράσης αναφέρονται στον πιο πάνω πίνακα (βλέπε πύλη ελεγχόµενου ΟΧΙ). Τέλος αναφέρεται η αδυναµία ύπαρξης µιας πύλης που να αντιγράφει ένα συγκεκριµένο Qubit. Το γεγονός αποτελεί θεώρηµα και ονοµάζεται αδυναµία διακλάδωσης (no-cloning theorem). Βάση αυτού του θεωρήµατος δεν είναι δυνατό να αντιγραφεί ένα Qubit, όπως µπορεί εύκολα να συµβεί µε τα bits. Στο θεώρηµα αυτό βασίζεται και η ιδιαιτερότητα της κβαντικής κρυπτογραφίας. Ακόµη και αν η Eve λάβει στα χέρια της ένα µήνυµα κωδικοποιηµένο σε Qubits δε θα µπορέσει να το διαβάσει και να το ξαναστείλει ανέπαφο όπως ακριβώς το έλαβε, διότι µετρώντας τις καταστάσεις των Qubits θα προκαλέσει καταστροφή στην υπέρθεση των καταστάσεων. Αυτό θα αποκαλύψει την όποια παρέµβαση µέτρησης στον παραλήπτη του µηνύµατος ώστε αυτός έπειτα να το απορρίψει και να αλλάξει την στρατηγική του. Αν ήταν δυνατό να λάβει τέλεια αντιγραµµένα Qubits δίχως να το καταλάβει τότε το πρόβληµα των πλαστών µηνυµάτων θα εξακολουθούσε να υπάρχει..5 Κβαντική ιεµπλοκή ή Σύζευξη (Entanglement) Το κβαντικό φαινόµενο της διεµπλοκής είναι ένας ιδιαίτερα χρήσιµος πόρος του κβαντικού υπολογιστή βάση του οποίου εκτελούνται διάφοροι κβαντικοί υπολογισµοί. Πρόκειται για ένα δυσνόητο φαινόµενο που παρατηρήθηκε σε ένα πείραµα όπου αλληλεπιδρούσαν δύο κβαντικά συστήµατα και έπειτα αποµακρύνθηκαν. Τα δύο συστήµατα διατηρούσαν κάποιες ιδιότητες και ήταν διασυνδεδεµένα κατά έναν άγνωστο, και όχι ιδιαίτερα κατανοητό, τρόπο. Η µέτρηση µιας φυσικής ποσότητας του ενός καθόριζε το αποτέλεσµα της µέτρησης της ίδιας φυσικής ποσότητας του άλλου. Το φαινόµενο ονοµάστηκε EPR από τα αρχικά των επιθέτων Eistein, Podolsky και Rosen και το 964 αναλύθηκε και αποδείχθηκε από τον John Bell πως αποτελεί µια πλήρης φυσική θεωρία όπου δεν υπάρχει κάτι το ανεξήγητο. Ωστόσο η κατανόηση του φαινοµένου δεν ανήκει στο θέµα και 34

35 ασχολούµαστε µόνο µε τις ιδιότητες που εξυπηρετούν στο χώρο των κβαντικών υπολογισµών. Ένα παράδειγµα εφαρµογής του φαινοµένου που είναι χρήσιµο έχει να κάνει µε τις µετρήσεις κβαντικών συστηµάτων [5]. Πριν το περιγράψουµε θα πρέπει να γνωρίζουµε πως δύο κβαντικά φαινόµενα που βρίσκονται σε κβαντική διεµπλοκή δεν µπορούν να δώσουν τανυστικό γινόµενο των δύο καταστάσεών τους. Θεωρούµε λοιπόν δύο ζευγάρια από δύο κβαντικά συστήµατα, πχ δύο Qubits, όπου το πρώτο ζευγάρι δεν βρίσκεται σε διεµπλοκή ενώ το δεύτερο βρίσκεται. Αν στο πρώτο ζευγάρι µετρήσουµε την κατάσταση του πρώτου συστήµατος και λάβουµε την κατάσταση, τότε το δεύτερο σύστηµα, κατά τη µέτρηση, θα δώσει την κατάσταση 0 ή µε πιθανότητα ½ για κάθε τιµή. Στο δεύτερο ζευγάρι, στη µέτρηση του πρώτου συστήµατος θα λάβουµε 0 ή µε πιθανότητα ½ και έπειτα στη µέτρηση του δεύτερου συστήµατος θα λάβουµε όποια κατάσταση βρήκαµε στην πρώτη. ηλαδή η µια µέτρηση επηρεάζει τη δεύτερη. Αυτό το παράδειγµα αντιπροσωπεύει χαρακτηριστικά µια εφαρµογή του φαινοµένου στους κβαντικούς καταχωρητές. Τέλος να αναφερθεί ότι για να φέρουµε σε κβαντική διεµπλοκή δύο ή περισσότερα Qubits χρειάζονται µόνο δύο πύλες, η Η και η CNOT..6 Τεχνολογίες Κβαντικών Υπολογιστών Η αναπαράσταση και ο τρόπος χειρισµού των Qubits σε έναν κβαντικό υπολογιστή καθορίζεται από το ποια τεχνολογία έχει επιλεγεί, δηλαδή ποιο φυσικό κβαντικό σύστηµα και ποια τεχνική για να επεξεργαστούµε την πληροφορία. Τα φυσικά συστήµατα που συνήθως χρησιµοποιούνται είναι το πολωµένο φωτόνιο ή διάφορες ιδιότητες της δοµής ενός ατόµου. Οι ιδιότητες που προαναφέρθηκαν σχετικά µε το Qubit είναι γενικές και θα πρέπει να διατηρούνται σε όλα τα κβαντικά υπολογιστικά συστήµατα ανεξάρτητα από την τεχνολογία που χρησιµοποιούν. Πιο κάτω αναφέρονται τέσσερις από τις σπουδαιότερες υλοποιήσεις κβαντικών υπολογιστών που έχει επιχειρηθεί να γίνουν [6]. 35