Κανονικ ες ταλαντ ωσεις
|
|
- Περσεφόνη Αρβανίτης
- 8 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Κανονικες ταλαντωσεις Ειδαµε ηδη οτι φυσικα συστηµατα πλησιον ενος σηµειου ευαταθους ισορροπιας συ- µπεριφερονται οπως σωµατιδια που αλληλεπιδρουν µε γραµµικες δυναµεις επαναφορας οπως θα συνεαινε σε σωµατιδια που ειναι συνδεδεµενα µεταξυ τους µε γραµµικα ελατηρια διαφορετικης σκληροτητας. Τι µπορουµε να πουµε για τις ταλαντωσεις αυτου του συστηµατος ; Eπιλεγουµε καποιο σωµατιδιο και αναλυουµε τη κινηση του µε ενα φασµατογραφο. Θα παρατηρησουµε οτι το φασµα επικεντρωνεται σε ενα πεπερασµενο αριθµο συχνοτητων και υποθετουµε, επειδη οι εξισωσεις κινησης ειναι γραµµικες, οτι η κινηση του σωµατιδιου ειναι υπερθεση κινησεων στις συχνοτητες που εντοπισε ο φασµατογραφος. Επαναλαµανουµε το πειραµα µε καποιο αλλο σωµατιδιο. Αναρωτιοµαστε: ο φασµατογραφος θα εντοπισει τις ιδιες συχνοτητες ; Ποσες συχνοτητες ταλαντωσης εντοπιζει ο φασµατογραφος ; Κανοντας το πειραµα βρισκουµε οτι οι συχνοτητες που θα εµφανισθουν στη φασµατικη αναλυση των σωµατιδιων ειναι ιδιες για ολα τα σωµατιδια. Αυτες οι κοινες συχνοτητες λεγονται κανονικες συχνοτητες του συστηµατος. Οι κοινες αυτες συχνοτητες ειναι και οι συχνοτητες συντονισµου του συστηµατος οταν το συστηµα διεγερθει αρµονικα. Πως εντοπιζονται οµως θεωρητικα αυτες οι συχνοτητες ; Πριν αντιµετωπισουµε το γενικο προληµα των µικρων ταλαντωσεων περι καποιο ση- µειο ισορροπιας ας µελετησουµε την κινηση των δυο εκκρεµων που εκτελουν µκρες κινησεις περι το σηµειο ισορροπιας τους στο πεδιο βαρυτητας οταν υπαρχει µια ασθενης συζευξις µεταξυ τους. Μια Λαγκρανζιανη που περιγραφει τη κινηση τους ειναι: # $&%(' οπου η συχνοτητα ταλαντωσης των εκκρεµων και ταλαντωσης του ελατηριου. Η διαταξη φαινεται στο σχηµα 1. " # )&%* (1) η συχνοτητα Το φυσικο αυτο συστηµα εχει δυο βαθµους ελευθεριας, τις γωνιες και. Η κατασταση του συστηµατος προσδιοριζεται απο τη κολωνα πραγµατικων αριθµων -, /.10, οπου το Τ συµολιζει τον αναστροφο. Ο αναστροφος του, ειναι η γραµµη /. και το Ευκλειδιο εσωτερικο γινοµενο δυο καταστασεων 2, /.10 και -, γραφεται ως (Εαν η κατασταση προσδιοριζοταν απο κολωνα µιγαδικων αριθµων τοτε το αναστροφο πρεπει στα παραπανω να αντικατασταθει απο το ερµιτιανο αναστροφο, που συµoλιζεται µε 7, και 98 2, (: (:.10, οπου ; συµολιζει το συζυγες. Σε αυτη τη περιπτωση το εσωτερικο γινοµενο ειναι 8 ). Χρησιµοποιωντας ως συντεταγµενη την η Λαγκρανζιανη συναρτηση παιρνει τη µορφη: 0 0=< οπου ο σταθερος πινακας < της δυναµικης ενεργειας χωρις ελλειψη της γενικοτητας µπορει να ληφθει ο συµµετρικος πινακας (ερωτηση: γραψτε µια µη συµµετρικη µορφη το πινακα αυτου): < > 1 (3)
2 θ 1 θ 2 l l m k m Σχηµα 1: Συζευγµενα εκκρεµη Οι εξισωσεις Euler-Lagrange ειναι: C < οι οποιες ειναι συµολικα ιδιες µε την εξισωση ταλαντωτη µοναδιαιας µαζας. Η διαφορα εδω ειναι οτι ο < ειναι πινακας αντι να ειναι αριθµος και η δυσκολια χαρακτηρισµου της λυσης εγκειται στο οτι ο πινακας < δεν ειναι διαγωνιος. ιοτι αν ηταν διαγωνιος τοτε οι δυο συντεταγµενες θα εκτελουσαν κινησεις ανεξαρτητες και το προληµα θα αναγοταν σε δυο ανεξαρτητα προληµατα στη µια διασταση. Γνωριζουµε επισης οτι στη µια διασταση, οταν ο < ειναι θετικος αριθµος εχοµε ταλαντωτικες λυσεις περι το σηµειο ισορροπιας και το σηµειο ισορροπιας χαρακτηριζεται ως ευσταθες, οταν ειναι αρνητικος αριθµος εχοµε εκθετικα αυξανοµενες λυσεις και το σηµειο ισορροπιας χαρακτηριζεται ως ασταθες. Ειναι αναγκαια η γενικευση της εννοιας του θετικου οταν ο < ειναι πινακας. Θα δουµε οτι η καταλληλη γενικευση ειναι ο συµµετρικος πινακας < να ειναι θετικα ορισµενος να εχει δηλαδη την ιδιοτητα E 0 < EGF για καθε µη µηδενικη κολωνα E η ισοδυναµως ο < ονοµαζεται θετικα ορισµενος οταν ειναι συµµετρικος και εχει θετικες ιδιοτιµες. Τοτε η γενικη κινηση ειναι ταλαντωτικη και το σηµειο ισορροπιας ειναι ευσταθες. Αλλως το σηµειο ισορροπιας ειναι ασταθες. Η διερευνηση της ευσταθειας η ασταθειας δηλαδη καποιου ση- µειου ισορροπιας αναγεται µεσω της εξισωσεως (4) στη θετικοτητα η µη του συµµετρικου πινακα <. Επειδη η (4) ειναι γραµµικη διαφορικη εξισωση και οι συντελεστες της δεν εχουν χρονικη εξαρτηση γνωριζουµε οτι θα υπαρχουν ειδικες λυσεις της µορφης H JLKMONQP, οπου H συµολιζει το πραγµατικο µερος. Μπορουµε να ερευνησουµε την υπαρξη τετοιων λυσεων στο πεδιο των µιγαδικων διοτι η δυναµικη εξισωση (4) ειναι γραµµικη και οι συντελεστες της πραγµατικοι, οποτε αν µια µιγαδικη λυση ικανοποιει την εξισωση το πραγµατικο και φανταστικο της µερος θα ικανοποιει επισης την εξισωση. Οι λυσεις αυτες ονοµαζονται 2 (4)
3 κανονικοι τροποι ταλαντωσης και πραγµατοποιουνται µε καταλληλες αρχικες τιµες των και. Οταν το συστηµα βρισκεται σε µια τετοια κατασταση τοτε ολες οι συντεταγµενες ταλαντωνονται µε την ιδια συχνοτητα, η οποια ονοµαζεται κανονικη συχνοτητα, µε πλατη αναλογα των συντεταγµενων του κανονικου ιδιοανυσµατος. Στο προληµα των δυο εκκρεµων ειναι ευκολο χωρις να κανουµε υπολογισµους να προσδιορισουµε τους κανονικους τροπους ταλαντωσης. Ο ενας τροπος ειναι να κινουνται τα δυο σωµατα µε µετατοπισεις οποτε και τα δυο σωµατα ταλαντωνονται µε την συχνοτητα ταλαντωσης του εκκρεµους δεδοµενου οτι το ελατηριο δεν επιµηκυνεται κατα τη κινηση. Οτι αυτη η κινηση αποτελει δυνατη κινηση των εκκρεµων προκυπτει και απο τη Λαγκρανζιανη, διοτι για ισες µετατοπισεις η Λαγκρανζιανη ειναι: S οποτε η κινηση ειναι ταλαντωση στη συχνοτητα του εκκρεµους. Το κανονικοποιηµενο ιδιοανυσµα που αντιστοιχει στη κανονικη αυτη συχνοτητα ειναι: T (5) >?BA (6) Μια τετοια ταλαντωση προκυπτει αν οι αρχικες µετατοπισεις των εκκρεµων ειναι ισες και η ταχυτητα τους µηδενικη, οποτε και οι γωνιες των εκκρεµων θα ειναι: VU Y U, οπου η αρχικη θεση των εκκρεµων. Αν τα εκκρεµη βρισκονται στη θεση ισορροπιας µε ισες αρχικες ταχυτητες, τοτε η µετεπειτα κινηση θα ειναι: VU Y U %. Η δευτερη κανονικη συχνοτητα προκυπτει οταν τα εκκρεµη κινουνται µε ισες και αντιθετες µετατοπισεις:. Επειδη δεν υπαρχει τιποτε να διαχωρισει το ενα σωµατιδιο απο το αλλο και παλι η συχνοτητα ταλαντωσης των συζευγµενων εκκρεµων θα ειναι η ιδια, η δε συχνοτητα αυτης της ταλαντωσης υπολογιζεται παρατηρωντας οτι στη δυναµη επαναφορας απο το πεδιο της βαρυτητας, που ειναι αναλογη της µετατοπισης µε συντελεστη, πρεπει να προστεθει η δυναµη επανοφορας του ελατηριου που ειναι αναλογη της µετατοπισης µε συντελεστη, δεδοµενου οτι λογω της αντισυµµετρικης µετατοπισης των σωµατιδιων το ελατηριο εχει διπλασια επιµηκυνση, οποτε η κανονικη συχνοτητα στη περιπτωση αυτη ειναι η ba ειναι: και το κανονικοποιηµενο ιδιοανυσµα T >? A (7) Παλι µπορουµε να επιεαιωσουµε τη συχνοτητα ταλαντωσης θετοντας στην Λαγκρανζιανη συναρτηση η οποια λαµανει τοτε τη µορφη: c η οποια ειναι η ιδια µε τη Λαγκρανζιανη συναρτηση µε µεταλητη την, οποτε πραγ- µατι και οι δυο συντεταγµενες ταλαντωνονται µε τη κανονικη συχνοτητα. Η ταλαντωση αυτη προκυπτει αν αρχικα οι µετατοπισεις η ταχυτητες ειναι ισες και αντιθετες. Αν ηταν η αρχικη µετατοπιση του πρωτου εκκρεµους και τα εκκρεµη δεν ειχαν αρχικη 3 (8)
4 a d U e g ταχυτητα τοτε οι γωνιες των εκκρεµων ειναι: VU µετεπειτα κινηση ειναι: VU U %, οπου U, ενω αν αρχικα τα σωµατιδια βρισκονταν στο σηµειο ισορροπιας µε ισες και αντιθετες αρχικες ταχυτητες η η αρχικη ταχυτητα του πρωτου εκκρεµους. Μονον οταν εχουµε τις παραπανω αρχικες συνθηκες το συστηµα ταλαντωνεται σε µια συχνοτητα. Για αλλες αρχικες συνθηκες η κινηση των εκκρεµων ειναι υπερθεση ταλαντωσεων στις δυο κανονικες συχνοτητες. ιοτι καθε αρχικη συνθηκη, ειναι στοιχειο του διανυσµατικου χωρου των δυο διαστασεων και µπορει να αναλυθει στη βαση των ιδιοανυσµατων και, τα οποια σχηµατιζουν µια πληρη βαση του διανυσµατικου χωρου των δυο διαστασεων. Συνεπως υπαρχουν αριθµοι dfe, g, h τετοιοι ωστε: d g e h οποτε η µετεπειτα κινηση που ικανοποιει τις αρχικες συνθηκες VU > U? > U h και ειναι: (9) U? A (10) Προκυπτει δηλαδη οτι η γενικη κινηση των εκκρεµων ειναι υπερθεση δυο ταλαντωσεων. Για να προσδιορισουµε µε συστηµατικο τροπο τις κανονικες συχνοτητες και τα αντιστοιχουντα κανονικα ιδιοανυσµατα διερευνουµε τι απαιτειται για να ταλαντωνονται ολες οι συντεταγµενες µε την αυτη συχνοτητα. Αντικαθιστωντας στην (4) λυση της µορφης LKMONQP προκυπτει οτι πρεπει το να εχει την καταλληλη τιµη ωστε µη µηδενικο να ικανοποιει το συστηµα εξισωσεων: < ji k (11) i οπου ο µοναδιαιος πινακας. Για να υπαρχει µη τετριµµενη µηδενικη λυση πρεπει η οριζουσα του γραµµικου συστηµατος (11) να ειναι µηδενικη, δηλαδη: l&m n < ji A (12) Η (12) ειναι ενα πολυωνυµο δευτερου βαθµου ως προς, και για να υπαρχει λυση της (11) οι κανονικες συχνοτητες πρεπει να ειναι οι ριζες αυτου του πολυωνυµου. Το πολυωνυµο συτο λεγεται το χαρακτηριστικο πολυωνυµο του πινακα < και στη περιπτωση αυτη οι κανονικες συχνοτητες ειναι οι ιδιοτιµες του < και τα τα ιδιοανυσµατα του. Οταν ο πινακας < ειναι θετικος οι ιδιοτιµες του ειναι θετικες και τα ειναι πραγµατικοι αριθµοι και το συστηµα εκτελει ταλαντωση. Ας υπολογισουµε τωρα τις κανονικες συχνοτητες και τα κανονικα ιδιοανυσµατα στη περιπτωση των συζευγµενων εκκρεµων. Το χαρακτηριστικο πολυωνυµο (12) ειναι: l&m n >? o και συνεπως οι κανονικες συχνοτητες ειναι η, στην οποια εµφανιζεται η επιρροη της συζευξης των εκκρεµων. H (4) δεχεται 4 (13), και η µεγαλυτερη συχνοτητα:
5 d E E 3 e % h % E 4 VU KrqYMON&stP, p VU yx KrqYMONvuwP, και τα προκυπτουν απο την, y /.10, προκυπτει θετοντας y z (14) y οποτε και το κανονικοποιηµενο ιδιοδιανυσµα ειναι το (6). Θετοντας στην (11) προκυπτει οτι τα στοιχεια του {, y/. 0 πρεπει να ικανοποιουν την εξισωση: y k (15) οποτε y και το δευτερο ιδιοανυσµα ειναι το (7). Απο τις τεσσερις λυσεις της (4), p VU KrqYMON&sVP, p VU KrqYMONvuwP µπορουµε να κα- λυσεις της µορφης p επιλυση της (11). Το πρωτο ιδιοανυσµα, στην (11): τασκευασουµε τεσσερις πραγµατικες λυσεις παιρνοντας το πραγµατικο και φανταστικο µερος των p, p, που ειναι διαδοχικα: VU VU H p H p & U U E VU } VU z p p & U U A (16) Αυτες οι λυσεις σχηµατιζουν µια πληρη βαση αρχικων συνθηκων στην οποια µπορει να αναλυθει καθε αρχικη συνθηκη οποτε η γενικη λυση θα δινεται απο την (10). Ισοδυναµως η γενικη λυση µπορει να γραφει και ως : VU H w~ K MON&stP K MONvuwP (17) οπου ~, g µιγαδικοι αριθµοι που προσδιοριζονται απο τις αρχικες συνθηκες. Βλεπουµε οτι οταν γραφεται η λυση σε αυτη τη µορφη διατηρουµε τη µιγαδικη λυση µε το αρνητικο προσηµο. Θα µπορουσαµε να την γραψουµε και µε το θετικο. Ακολουθειται οµως η συµαση να χρησιµοποιειται ο αρνητικος εκθετης ωστε η εξελιξη στο µιγαδικο επιπεδο των κανονικων ταλαντωσεων, π.χ. της ~ K MON&stP, να γινεται µε τη φορα των δεικτων του ρολογιου. Οι κανονικες συχνοτητες που προεκυψαν ειναι φυσικη ιδιοτητα του φυσικου προλη- µατος και δεν εξαρτωνται απο τις συντεταγµενες που επιλεξαµε. Βεαιως µε µια γενικη αλλαγη συντεταγµενων οι γραµµικες δυναµικες εξισωσεις (4) µπορουν να µετατραπουν σε µη γραµµικες και ενω οι λυσεις θα συµπεριλαµανουν τις µετασχηµατισµενες στις νεες συντεταγµενες κανονικες ταλαντωσεις οι λυσεις δεν µπορουν να βρεθουν στις νεες συντεταγµενες κανοντας χρηση της τεχνικης που ακολουθησαµε για τη γραµµικη µορφη των εξισωσεων κινησης (µαλιστα δε υπαρχει γενικος τροπος λυσης των εξισωσεων κινησης οταν οι εξισωσεις ειναι µη γραµµικες). Η γραµµικοτητα των εξισωσεων κινησης διατηρειται µονον οταν κανουµε αλλαγες συντεταγµενων που ειναι γραµµικος µετασχηµατισµος των αρχικων συντεταγµενων, δηλαδη οι νεες συντεταγµενες να σχετιζονται µε τις αρχικες µεσω του γραµµικου µετασχηµατισµου: ƒ, οπου ενας πινακας δεδοµενου οτι ο θεσεογραφικος χωρος ειναι διδιαστατος. Πραγµατι στις νεες συντεταγδιοτι πολλαπλασιαζοντας την (4) µε µενες ο πινακας < µετασχηµατιζεται στον < τον πινακα σχηµατιζουµε την εξισωση κινησης στις συντεταγµενες : C < 5 (18)
6 M η οποια δινει τις ιδιες κανονικες συχνοτητες. Ασκηση : Αποδειξτε κανοντας χρηση των ιδιοτητων των οριζουσων οτι οι κανονικες συχνοτητες ειναι ανεξαρτητες απο τις συντεταγµενες. Ασκηση : Μετασχηµατιστε την Λαγκρανζιανη συναρτηση στις νεες συντεταγµενες και δειξτε οτι οι εξισωσεις Euler-Lagrange δινουν τις εξισωσεις κινησης (18). Εαν ο µετασχηµατισµος επιλεγει ωστε ο πινακας <f c < γινει διαγωνιος τοτε θα εχουµε δυο ανεξαρτητες ταλαντωσεις στις συχνοτητες που ειναι οι τετραγωνικες ριζες των διαγωνιων στοιχειων του <f, δηλαδη οι κανονικες συχνοτητες εµφανιζονται αµεσως στο διαγωνοποιηµενο πινακα στις καταλληλες συντεταγµενες. Σε αυτες δε τις συντεταγ- µενες τα κανονικα ιδιοανυσµατα ειναι προφανως τα: ˆ > ˆ? >? (19) Αρα ο µετασχηµατισµος που διαγωνοποιει τον < ˆ ειναι αυτος που µετασχηµατιζει το µε Š τον η στο ˆ και το στο. ηλαδη ο καταλληλος µετασχηµατισµος ειναι, οπου ο πινακας ειναι ο πινακας που εχει ως κολωνες τα κανονικα ιδιοανυσµατα: Œ T >? και ο µετασχηµατισµος στις νεες συντεταγµενες οτις οποιες διαγωνοποιειται ο < ειναι ο z (20) A (21) Οι συντεταγµενες αυτες λεγονται κανονικες συντεταγµενες. Ας ελεγξουµε τα συµπερασµατα µας. Κανουµε δυο παρατηρησεις. Επειδη τα ειναι ιδιοανυσµατα του < θα ισχυουν οι σχεσεις: < αυτες σχεσεις µπορουν να συµπτηχθουν ως εξης: < k >? <f και < και. Οι δυο (22) οπου ο πινακας εχει ως κολωνες τα κανονικα ιδιοανυσµατα και (Προσεξτε τη σειρα των πινακων, πρωτα ερχεται ο και επειτα ο <f ). Επισης, επειδη τα κανονικα ιδιοανυσµατα σχηµατιζουν µια ορθοκανονικη βαση δηλαδη ειναι 0 y Ž h M µε θα ειναι και 0 i διοτι 0 Œ 0 9 > 0 0? 9 c>?ba (23) Συνεπως { ο πινακας ειναι ορθογωνιος: 0. Πολλαπλασιαζοντας την (22) µε τον 0 εχουµε οτι: 0 < 0 <f <f A (24) Αντικαθιστωντας τελος τον µετασχηµατισµο (21) στην (2) η Λαγκρανζιανη στις νεες συντεταγµενες γινεται: < <f A (25)
7 ? > > ηλαδη στις κανονικες συντεταγµενες S>? z 0 T >?? T? (26) η Λαγκρανζιανη των συζευγµενων εκκρεµων γραφεται ως το αθροισµα ασυζευκτων ταλαντωτων: c > >o? A (27) Το συµπερασµα αυτο ειναι ιδιαιτερως σηµαντικο και εχει γενικη ισχυ. ειχνει την θε- µελιωδη σηµασια του αρµονικου ταλαντωτη. ιοτι, οπως ειδαµε αν οι διαταραχες απο το σηµειο ισορροπιας ειναι αρκουντως µικρες οι εξισωσεις κινησης των διαταραχων ειναι γραµµικες µε σταθερους συντελεστες, και η δυναµικη συµπεριφορα στις κανονικες συντεταγµενες των διαταραχων ειναι το αθροισµα αρµονικων ταλαντωτων. 7
Προσδιορισµός των χαρακτηριστικών (ιδιο-)συχνοτήτων και κανονικών τρόπων ταλάντωσης µε χρήση συµµετριών
Μηχανική ΙΙ Τµήµα Ιωάννου-Αποστολάτου 6 Μαϊου 2001 Προσδιορισµός των χαρακτηριστικών (ιδιο-)συχνοτήτων και κανονικών τρόπων ταλάντωσης µε χρήση συµµετριών Θεωρούµε ότι 6 ίσες µάζες συνδέονται µε ταυτόσηµα
Διαβάστε περισσότερα, όπου οι σταθερές προσδιορίζονται από τις αρχικές συνθήκες.
Στην περίπτωση της ταλάντωσης µε κρίσιµη απόσβεση οι δύο γραµµικώς ανεξάρτητες λύσεις εκφυλίζονται (καταλήγουν να ταυτίζονται) Στην περιοχή ασθενούς απόσβεσης ( ) δύο γραµµικώς ανεξάρτητες λύσεις είναι
Διαβάστε περισσότερα7. Ταλαντώσεις σε συστήµατα µε πολλούς βαθµούς ελευθερίας
7 Ταλαντώσεις σε συστήµατα µε πολλούς βαθµούς ελευθερίας Συζευγµένες ταλαντώσεις Βιβλιογραφία F S Crawford Jr Κυµατική (Σειρά Μαθηµάτων Φυσικής Berkeley, Τόµος 3 Αθήνα 979) Κεφ H J Pai Φυσική των ταλαντώσεων
Διαβάστε περισσότεραΔιάλεξη 4η. η κυκλική συχνότητα της ταλάντωσης (σε µονάδες rad/s) η κίνηση
Διάλεξη 4η Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου Αρµονικός ταλαντωτής, σηµείο ισορροπίας, περιοδική κίνηση, ισόχρονη ταλάντωση. Ο αρµονικός ταλαντωτής είναι από το πλέον σηµαντικά συστήµατα στη Φυσική. Δεν
Διαβάστε περισσότερα[ ] και το διάνυσµα των συντελεστών:
Μηχανική ΙΙ Τµήµα Ιωάννου-Απόστολάτου 8 Μαϊου 2001 Εσωτερικά γινόµενα διανυσµάτων µέτρο διανύσµατος- ορθογώνια διανύσµατα Έστω ένας διανυσµατικός χώρος V, στο πεδίο των µιγαδικών αριθµών Τα στοιχεία του
Διαβάστε περισσότεραΣΗΜΕΙΑ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΠΟΙΗΣΗ. ΈΈστω ένα φυσικό σύστημα που περιγράφεται σε γενικευμένες συντεταγμένες από την Λαγκρανζιανή συνάρτηση
ΣΗΜΕΙΑ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΠΟΙΗΣΗ ΈΈστω ένα φυσικό σύστημα που περιγράφεται σε γενικευμένες συντεταγμένες από την Λαγκρανζιανή συνάρτηση. Ο πίνακας Μ μπορεί να ληφθεί χωρίς καμμία έλλειψη γενικότητας ως
Διαβάστε περισσότερα!q j. = T ji Kάθε πίνακας µπορεί να γραφεί σαν άθροισµα ενός συµµετρικού και ενός αντι-συµµετρικού πίνακα
Συστήματα με Ν βαθμούς ελευθερίας ΦΥΣ 211 - Διαλ.25 1 Ø Συστήµατα µε Ν βαθµούς ελευθερίας που βρίσκονται κοντά σε µια θέση ισσορροπίας τους συµπεριφέρονται σαν Ν ανεξάρτητοι αρµονικοί ταλαντωτές Γιατί
Διαβάστε περισσότεραΜηχανική ΙI. Μετασχηµατισµοί Legendre. της : (η γραφική της παράσταση δίνεται στο ακόλουθο σχήµα). Εάν
Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου 7/5/2000 Μηχανική ΙI Μετασχηµατισµοί Legendre Έστω µια πραγµατική συνάρτηση. Ορίζουµε την παράγωγο συνάρτηση της : (η γραφική της παράσταση δίνεται στο ακόλουθο σχήµα).
Διαβάστε περισσότεραΑπαντήσεις Διαγωνισµού Μηχανικής ΙΙ Ιουνίου Ερώτηµα 2
Απαντήσεις Διαγωνισµού Μηχανικής ΙΙ Ιουνίου 2000 Ερώτηµα 1 Βα), και, Οι εξισώσεις κίνησης είναι, Έχουµε δύο ασύζευκτους αρµονικούς ταλαντωτές συχνότητας Η Χαµιλτονιανή αυτή θα µπορούσε να περιγράφει µικρές
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙI Ιούνιος 2004
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙI Ιούνιος 2004 Τμήμα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου Απαντήστε στα 4 θέματα με σαφήνεια συντομία. Η πλήρης απάντηση θέματος εκτιμάται ιδιαίτερα. Καλή
Διαβάστε περισσότεραΜικρές ταλαντώσεις Συζευγμένες ταλαντώσεις
Μικρές ταλαντώσεις Συζευγμένες ταλαντώσεις q Ταλαντώσεις εμφανίζονται παντού Ø Μικρές ταλαντώσεις γύρω από θέση ισορροπίας Ø Εμφανίζονται σε πολλά προβλήματα κβαντοµηχανικής Ø Έχουμε ήδη συναντήσει σε
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 3
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/aeligia/linearalgerai/lai07/lai07html Παρασκευή Νοεµβρίου 07 Ασκηση Αν
Διαβάστε περισσότεραΓραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 10
Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 0 Επαναληπτικες Ασκησεις ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθοι Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laiihtml
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Εξέταση στη Μηχανική II 20 Σεπτεμβρίου 2010
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Εξέταση στη Μηχανική II 20 Σεπτεμβρίου 200 Τμήμα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου Απαντήστε και στα 3 θέματα με σαφήνεια και απλότητα. Οι ολοκληρωμένες απαντήσεις εκτιμώνται
Διαβάστε περισσότεραΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ Σεπτέµβριος 2001 ΘΕΜΑ 1 Ένα φυσικό σύστηµα, ενός βαθµού ελευθερίας, περιγράφεται από την ακόλουθη συνάρτηση
ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ Σεπτέµβριος 2001 ΘΕΜΑ 1 Ένα φυσικό σύστηµα, ενός βαθµού ελευθερίας, περιγράφεται από την ακόλουθη συνάρτηση Hamilton:, όπου κάποια σταθερά και η κανονική θέση και ορµή
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 Επαναληπτικες Ασκησεις
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β ΠΕΡΙΤΤΟΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 Επαναληπτικες Ασκησεις ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii8/laii8html Παρασκευή 4 Ιουνίου
Διαβάστε περισσότεραKεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων
4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσµατικό πεδίο F: : F=F( r), όπου r = ( x, ) και Fr είναι η ταχύτητα στο σηµείο r πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουµε τις τροχιές
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) ( )! r a. Στροφορμή στερεού. ω i. ω j. ω l. ε ijk. ω! e i. ω j ek = I il. ! ω. l = m a. = m a. r i a r j. ra 2 δ ij. I ij. ! l. l i.
Στροφορμή στερεού q Η στροφορµή του στερεού γράφεται σαν: q Αλλά ο τανυστής αδράνειας έχει οριστεί σαν: q H γωνιακή ταχύτητα δίνεται από: ω = 2 l = m a ra ω ω ra ω e a ΦΥΣ 211 - Διαλ.31 1 r a I j = m a
Διαβάστε περισσότεραΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ Μαθηματικά Σταύρος Παπαϊωάννου Ιούνιος Τίτλος Μαθήματος Περιεχόμενα Χρηματοδότηση. Σφάλμα! Δεν έχει οριστεί σελιδοδείκτης. Σκοποί Μαθήματος
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας
ΚΕΦΑΛΑΙΑ,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. Να βρεθούν οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης στον άξονα ' O για την απωστική δύναµη F, > και για ενέργεια Ε. (α) Είναι V και οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης
Διαβάστε περισσότεραΣτοχαστικά Σήµατα και Εφαρµογές
Στοχαστικά Σήµατα & Εφαρµογές Ανασκόπηση Στοιχείων Γραµµικής Άλγεβρας ιδάσκων: Ν. Παπανδρέου (Π.. 407/80) Πανεπιστήµιο Πατρών ΤµήµαΜηχανικώνΗ/Υ και Πληροφορικής ιανύσµατα Ορίζουµετοδιάνυσµα µε Ν στοιχεία
Διαβάστε περισσότεραΣύνθεση ή σύζευξη ταλαντώσεων;
Σύνθεση ή σύζευξη ταλαντώσεων; Σώμα Σ μάζας προσδένεται στο ένα άκρο οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς το άλλο άκρο του οποίου είναι ακλόνητα στερεωμένο. Πάνω στο πρώτο σώμα στερεώνεται δεύτερο ελατήριο σταθεράς,
Διαβάστε περισσότερα5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα
Κεφάλαιο 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Αν ο A είναι ένας n n πίνακας και το x είναι ένα διάνυσµα στον R n, τότε το Ax είναι και αυτό ένα διάνυσµα στον R n Συνήθως δεν υπάρχει
Διαβάστε περισσότεραΚίνηση στερεών σωμάτων - περιστροφική
Κίνηση στερεών σωμάτων - περιστροφική ΦΥΣ 211 - Διαλ.29 1 q Ενδιαφέρουσα κίνηση: Ø Αρκετά περίπλοκη Ø Δεν καταλήγει σε κίνηση ενός βαθµού ελευθερίας q Τι είναι το στερεό σώµα: Ø Συλλογή υλικών σηµείων
Διαβάστε περισσότεραΣΥΝΕΧΕΙΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ
ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ Για ένα φυσικό σύστηµα που περιγράφεται από τις συντεταγµένες όπου συνεχής συµµετρία είναι ένας συνεχής µετασχηµατισµός των συντεταγµένων που αφήνει αναλλοίωτη
Διαβάστε περισσότεραΔιδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης
Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Παραγοντοποιήσεις Πινάκων και Γραµµικών Απεικονίσεων Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 82 13 Παραγοντοποιήσεις
Διαβάστε περισσότεραΕΛΕΥΘΕΡΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 73
ΕΛΕΥΘΕΡΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 73 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΕΛΕΥΘΕΡΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 4.. Εισαγωγή Στο παρόν κεφάλαιο θα μελετηθούν οι ελεύθερες ταλαντώσεις συστημάτων που περιγράφονται
Διαβάστε περισσότεραΠολυβάθμια Συστήματα. (συνέχεια)
Πολυβάθμια Συστήματα (συνέχεια) Ορθογωνικότητα Ιδιομορφών Πολυβάθμια Συστήματα: Δ21-2 Μία από τις σπουδαιότερες ιδιότητες των ιδιομορφών είναι η ορθογωνικότητα τους ως προς τα μητρώα μάζας [m] και ακαμψίας
Διαβάστε περισσότεραΚ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές
Κ Ι ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Ιδιότητες & Εφαρµογές ΠΕΙΡΑΙΑΣ 2013 ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Έστω 2 2 πίνακας: a b A= c d Όπως γνωρίζουµε, η ορίζουσα του Α είναι ο αριθµός a
Διαβάστε περισσότεραΦΥΣ η ΠΡΟΟΔΟΣ 2-Απρίλη-2016
ΦΥΣ. 211 2 η ΠΡΟΟΔΟΣ 2-Απρίλη-2016 Πριν ξεκινήσετε συµπληρώστε τα στοιχεία σας (ονοµατεπώνυµο, αριθµό ταυτότητας) στο πάνω µέρος της σελίδας αυτής. Για τις λύσεις των ασκήσεων θα πρέπει να χρησιµοποιήσετε
Διαβάστε περισσότεραΦΥΣ η ΠΡΟΟΔΟΣ 2-Απρίλη-2016
ΦΥΣ. 211 2 η ΠΡΟΟΔΟΣ 2-Απρίλη-2016 Πριν ξεκινήσετε συµπληρώστε τα στοιχεία σας (ονοµατεπώνυµο, αριθµό ταυτότητας) στο πάνω µέρος της σελίδας αυτής. Για τις λύσεις των ασκήσεων θα πρέπει να χρησιµοποιήσετε
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 0 Μιγαδικοί Αριθμοί
Κεφάλαιο 0 Μιγαδικοί Αριθμοί 0 Βασικοί ορισμοί και πράξεις Είναι γνωστό ότι δεν υπάρχει πραγματικός αριθμός που επαληθεύει την εξίσωση x Η ανάγκη επίλυσης τέτοιων εξισώσεων οδηγεί στο σύνολο των μιγαδικών
Διαβάστε περισσότεραΜηχανική ΙI Ροή στο χώρο των φάσεων, θεώρηµα Liouville
Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου 16/5/2000 Μηχανική ΙI Ροή στο χώρο των φάσεων, θεώρηµα Liouville Στη Χαµιλτονιανή θεώρηση η κατάσταση του συστήµατος προσδιορίζεται κάθε στιγµή από ένα και µόνο σηµείο
Διαβάστε περισσότεραKεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων.
4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσµατικό πεδίο F: : F=F( r), όπου r = ( x, ) και Fr είναι η ταχύτητα στο σηµείο r πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουµε τις τροχιές
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ ) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Οι πρώτες δύο ασκήσεις αναφέρονται στις έννοιες γραµµική ανεξαρτησία, γραµµικός
Διαβάστε περισσότεραΜαθηµατικό Παράρτηµα 2 Εξισώσεις Διαφορών
Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναµική Μακροοικονοµική, Αθήνα 206 Μαθηµατικό Παράρτηµα 2 Εξισώσεις Διαφορών Στο παράρτηµα αυτό εξετάζουµε τις ιδιότητες και τους τρόπους επίλυσης εξισώσεων διαφορών. Oι εξισώσεις
Διαβάστε περισσότεραΔυναµικό-Δυναµική ενέργεια
Διάλεξη 5η Δυναµικό-Δυναµική ενέργεια Σε προηγούµενο κεφάλαιο εξετάσαµε την περίπτωση µονοδιάστατης κίνησης σε πεδίο δυνάµεων εξαρτώµενο από τη θέση Είδαµε ότι υπάρχει τότε µια ιδιόµορφη ποσότητα που διατηρείται:
Διαβάστε περισσότερα============================================================== Σχηµατίζουµε τον πίνακα µε στήλες τα διανύσµατα v1,v2,v3,u1,u2:
http://elearn.maths.gr/, maths@maths.gr, Τηλ: 6 Ενδεικτικές απαντήσεις ης Γραπτής Εργασίας ΠΛΗ -: Οι φοιτητές θα κάνουν την δική τους εργασία σκεπτόµενοι πάνω στις ενδεικτικές απαντήσεις. Σε περίπτωση
Διαβάστε περισσότεραΑρµονικοί ταλαντωτές
Αρµονικοί ταλαντωτές ΦΥΣ 131 - Διαλ. 31 Εκκρεµή - Απλό εκκρεµές θ l T mg r F Αυτή η εξίσωση είναι δύσκολο να λυθεί. Δεν µοιάζει µε τη γνωστή εξίσωση Για µικρές γωνίες θ µπορούµε όµως να γράψουµε Εποµένως
Διαβάστε περισσότεραΑρµονικοί ταλαντωτές
Αρµονικοί ταλαντωτές ΦΥΣ 111 - Διαλ. 38 Εκκρεµή - Απλό εκκρεµές θ T mg r F τ = r F = mgsinθ τ = I M d θ α, Ι = M dt = Mgsinθ d θ dt = g sinθ θ = g sinθ Διαφορική εξίσωση Αυτή η εξίσωση είναι δύσκολο να
Διαβάστε περισσότεραΜηχανική ΙI. Λαγκρανζιανή συνάρτηση. Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου 3/2001
Τµήµα Π Ιωάννου & Θ Αποστολάτου 3/2001 Μηχανική ΙI Λαγκρανζιανή συνάρτηση Είδαµε στο προηγούµενο κεφάλαιο ότι ο δυναµικός νόµος του Νεύτωνα είναι ισοδύναµος µε την απαίτηση η δράση ως το ολοκλήρωµα της
Διαβάστε περισσότεραΚΑΤΑΣΤΡΩΣΗ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 55
ΚΑΤΑΣΤΡΩΣΗ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 55 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΚΑΤΑΣΤΡΩΣΗ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 3.. Εισαγωγή Αναφέρθηκε ήδη στο ο κεφάλαιο ότι η αναπαράσταση της ταλαντωτικής
Διαβάστε περισσότεραΔιδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης
Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Ορίζουσα Gram και οι Εφαρµογές της Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 65 11 Η Ορίζουσα Gram και
Διαβάστε περισσότεραΓραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 6 : Ιδιοτιµές & Ιδιοδιανύσµατα. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής
Γραµµική Αλγεβρα Ενότητα 6 : Ιδιοτιµές & Ιδιοδιανύσµατα Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότεραΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο.
ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1 Τελεστές και πίνακες 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. Ανάλογα, τελεστής είναι η απεικόνιση ενός διανύσματος σε ένα
Διαβάστε περισσότεραΣυζευγμένα ταλαντώσεις - Ένα άλλο σύστημα
ΦΥΣ 11 - Διαλ.3 1 Συζευγμένα ταλαντώσεις - Ένα άλλο σύστημα q Το παρακάτω σύστημα είναι ανάλογο με το σύστημα των δύο εκκρεμών. q Οι δυο ιδιοσυχνότητες του συστήματος είναι ίδιες με τις ιδιοσυχνότητες
Διαβάστε περισσότεραΓ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΣΕ ΣΥΝΘΕΤΗ ΚΙΝΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΔΥΟ ΣΩΜΑΤΩΝ (ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ + ΟΜΑΛΑ ΜΕΤΑΒΑΛΛΟΜΕΝΗ ΚΙΝΗΣΗ) Όνομα:...
A A N A B P Y T A 9 5 0 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΣΕ ΣΥΝΘΕΤΗ ΚΙΝΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΔΥΟ ΣΩΜΑΤΩΝ (ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ + ΟΜΑΛΑ ΜΕΤΑΒΑΛΛΟΜΕΝΗ ΚΙΝΗΣΗ) Όνομα: Μέρος ο Στο διπλανό σχήμα βλέπετε ένα σύστημα
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α ΕΡΓΑΣΙΑΣ. ( 8 µον.) Η άσκηση αυτή αναφέρεται σε διαιρετότητα και ρίζες πολυωνύµων. a. Να λυθεί η εξίσωση
Διαβάστε περισσότεραΕπίλυση Συστήματος Γραμμικών Διαφορικών Εξισώσεων
Επίλυση Συστήματος Γραμμικών Διαφορικών Εξισώσεων. Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Ανυσμάτων Θεωρούμε χώρο δύο διαστάσεων και συμβατικά ένα ορθογώνιο σύστημα αξόνων για την περιγραφή κάθε ανύσματος του χώρου
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η (Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Οκτωβρίου 005) Η Άσκηση στην εργασία αυτή είναι
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Φεβρουάριος 2004
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Φεβρουάριος 4 Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου Απαντήστε µε σαφήνεια και συντοµία. Η ορθή πλήρης απάντηση θέµατος εκτιµάται περισσότερο από τη
Διαβάστε περισσότερα= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις
1. Εισαγωγή Δίνεται η συνάρτηση μεταφοράς = = 1 + 6 + 11 + 6 = + 6 + 11 + 6 =. 2 Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις L = 0 # και L $ % &'
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 6 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα
Κεφάλαιο 6 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Ορισµοί Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Έστω Α ένας πίνακας µε πραγµατικά στοιχεία Ο πραγµατικός ή µιγαδικός αριθµός λ καλείται ιδιοτιµή του πίνακα Α εάν υπάρχει µη
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις
Σελίδα 1 από 6 Κεφάλαιο 5 Οι χώροι R και C Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος R Πράξεις Βάσεις Επεξεργασµένα Παραδείγµατα Ασκήσεις 5. Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο στο Ορισµοί Ιδιότητες Επεξεργασµένα Παραδείγµατα
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις3 Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις
Ασκήσεις 5 Βασικά σημεία Ιδιότητες ιδιόχωρων: Έστω,, Ισχύουν τα εξής Ασκήσεις Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις κάποιες διακεκριμένες ιδιοτιμές της γραμμικής απεικόνισης : V V, όπου o Αν v v 0, όπου
Διαβάστε περισσότεραx 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x.
Κεφάλαιο 4 Μήκη και ορθές γωνίες Μήκος διανύσµατος Στο επίπεδο, R 2, ϐρίσκουµε το µήκος ενός διανύσµατος x = (x 1, x 2 ) χρησιµοποιώντας το Πυθαγόρειο ϑεώρηµα : x 2 = x 2 1 + x 2 2. Στο χώρο R 3, εφαρµόζουµε
Διαβάστε περισσότεραΣπιν 1 2. Γενικά. Ŝ και S ˆz γράφονται. ιδιοκαταστάσεις αποτελούν ορθοκανονική βάση στον χώρο των καταστάσεων του σπιν 1 2.
Σπιν Γενικά Θα χρησιμοποιήσουμε τις γενικές σχέσεις που αποδείξαμε στην ανάρτηση «Εύρεση των ιδιοτιμών της στροφορμής», που, όπως είδαμε, ισχύουν για κάθε γενική στροφορμή ˆ J με συνιστώσες Jˆ, Jˆ, J ˆ,
Διαβάστε περισσότεραΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 7 Ιανουαρίου 2008
ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 7 Ιανουαρίου 8 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: Φεβρουαρίου 8 Πριν από την λύση κάθε άσκησης καλό
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Εξέταση στη Μηχανική ΙI 11 Ιουνίου 2012
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Εξέταση στη Μηχανική ΙI Ιουνίου 202 Απαντήστε και στα 4 Θέματα με σαφήνεια και απλότητα. Οι ολοκληρωμένες απαντήσεις στα ερωτήματα εκτιμώνται ιδιαιτέρως. Καλή σας επιτυχία.
Διαβάστε περισσότεραΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ 12,
ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ, - Οι παρακάτω λύσεις των ασκήσεων της 6 ης εργασίας που καλύπτει το µεγαλύτερο µέρος της ύλης της θεµατικής ενότητας ΠΛΗ) είναι αρκετά εκτεταµένες καθώς έχει δοθεί αρκετή έµφαση
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. ΕΝΟΤΗΤΑ: Άλγεβρα των Πινάκων (2) ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Βλάμος Παναγιώτης ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΝΟΤΗΤΑ: Άλγεβρα των Πινάκων (2) ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Βλάμος Παναγιώτης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons
Διαβάστε περισσότεραΦθίνουσες ταλαντώσεις
ΦΥΣ 111 - Διαλ.39 1 Φθίνουσες ταλαντώσεις q Οι περισσότερες ταλαντώσεις στη φύση εξασθενούν (φθίνουν) γιατί χάνεται ενέργεια. q Φανταστείτε ένα σύστημα κάτω από μια δύναμη αντίστασης της μορφής F = bυ
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦ.6:ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ. ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ
ΚΕΦ:ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ Τετραγωνικές μορφές: Συναρτήσεις με τύπο Q ν α ι j j, j [ ] ν α α ν αν α νν ν Τ Χ ΑΧ Για παράδειγμα εάν v Q α + α + α + α α + α + α + α δηλ a a a a α + α + α
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Πτυχιακή εξέταση στη Μηχανική ΙI 20 Σεπτεμβρίου 2007
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Πτυχιακή εξέταση στη Μηχανική ΙI 0 Σεπτεμβρίου 007 Τμήμα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου Απαντήστε στα ερωτήματα που ακολουθούν με σαφήνεια, ακρίβεια και απλότητα. Όλα τα
Διαβάστε περισσότεραΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ
ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Α. Ντούνης ΔΙΔΑΣΚΩΝ ΑΚΑΔ. ΥΠΟΤΡΟΦΟΣ Χ. Τσιρώνης ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑ ΔΕΥΤΕΡΟ - Διανύσματα - Πράξεις με πίνακες - Διαφορικός λογισμός (1D) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΥΠΟΒΑΘΡΟ
Διαβάστε περισσότεραwebsite:
Αλεξάνδρειο Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ιδρυμα Θεσσαλονίκης Τμήμα Μηχανικών Αυτοματισμού Μαθηματική Μοντελοποίηση Αναγνώριση Συστημάτων Μαάιτα Τζαμάλ-Οδυσσέας 6 Μαρτίου 2017 1 Εισαγωγή Κάθε φυσικό σύστημα
Διαβάστε περισσότεραKεφάλαιο 4. Συστήματα διαφορικών εξισώσεων. F : : F = F r, όπου r xy
4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήματα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσματικό πεδίο F : : F = Fr, όπου r x, και είναι η ταχύτητα στο σημείο πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουμε τις τροχιές κίνησης των
Διαβάστε περισσότεραΕξαρτάται η συχνότητα από τη µάζα στην Απλή Αρµονική Ταλάντωση;
Εξαρτάται η συχνότητα από τη µάζα στην Απλή Αρµονική Ταλάντωση; Ξεκινώντας θα ήθελα να θυµίσω κάποια στοιχεία που σχετίζονται µε τον ορισµό της συχνότητας σε ένα περιοδικό φαινόµενο, άρα και στην ΑΑΤ.
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 3 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ
Κεφάλαιο 3 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Στο πρώτο μέρος αυτού του κεφαλαίου συνοψίζουμε όσα είναι απαραίτητα για την εύρεση ιδιοτιμών και ιδιοδιανυσμάτων ενός τετραγωνικού πίνακα Στο δεύτερο μέρος αναπτύσσονται
Διαβάστε περισσότεραx 2 = b 1 2x 1 + 4x 2 + x 3 = b 2. x 1 + 2x 2 + x 3 = b 3
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 008-9 ΛΥΣΕΙΣ = 1 (Ι) Να ϐρεθεί ο αντίστροφος του πίνακα 6 40 1 0 A 4 1 1 1 (ΙΙ) Εστω b 1, b, b 3 στο R Να λύθεί το σύστηµα x = b 1 x 1 + 4x + x 3 = b x 1 + x + x
Διαβάστε περισσότεραΠΟΤΕ ΙΣΧΥΕΙ Η ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΔΡΑΣΕΩΣ. φυσικό σύστηµα; Πρόκειται για κίνηση σε συντηρητικό πεδίο δυνάµεων;
ΠΟΤΕ ΙΣΧΥΕΙ Η ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΔΡΑΣΕΩΣ Είδαµε ότι η φυσική κίνηση ενός σωµατιδίου σε συντηρητικό πεδίο ικανοποιεί την αρχή ελάχιστης δράσης του Hamilton µε Λαγκρανζιανή, όπου η κινητική ενέργεια του
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Ιανουαρίου 6 Ηµεροµηνία Παράδοσης της Εργασίας από
Διαβάστε περισσότεραH = H 0 + V (0) n + Ψ (1) n + E (2) (3) >... Σε πρώτη προσέγγιση µπορούµε να δεχτούµε ότι. n και E n E n
3 Θεωρία διαταραχών 3. ιαταραχή µη εκφυλισµένων καταστάσεων 3.. Τοποθέτηση του προβλήµατος Θέλουµε να λύσουµε µε τη ϑεωρία των διαταραχών το πρόβληµα των ιδιοτιµών και ιδιοσυναρτήσεων ενός συστή- µατος
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 5 ΔΙΔΙΑΣΤΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Ενα αυτόνομο δυναμικό σύστημα δύο διαστάσεων περιγράφεται από τις εξισώσεις
Κεφάλαιο 5 ΔΙΔΙΑΣΤΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενα αυτόνομο δυναμικό σύστημα δύο διαστάσεων περιγράφεται από τις εξισώσεις ẋ 1 f 1 (x 1 x 2 ) ẋ 2 f 2 (x 1 x 2 ) (501) Το σύστημα αυτό γράφεται σε διανυσματική
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 2
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai8/lai8html Παρασκευή 6 Οκτωβρίου 8 Υπενθυµίζουµε
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 5
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii018/laii018html ευτέρα 3 Απριλίου 018 Αν C = x
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ Ο.Π / Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (ΘΕΡΙΝΑ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 19/11/2017 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: ΑΡΧΩΝ ΜΑΡΚΟΣ
ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ Ο.Π / Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (ΘΕΡΙΝΑ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 19/11/2017 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: ΑΡΧΩΝ ΜΑΡΚΟΣ ΘΕΜΑ Α Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις Α1-Α4
Διαβάστε περισσότεραT 4 T 4 T 2 Τ Τ Τ 3Τ Τ Τ 4
ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ 29 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ 1. Σηµειακό αντικείµενο εκτελεί απλή αρµονική ταλάντωση. Η αποµάκρυνση χ από τη θέση ισορροπίας του είναι: α. ανάλογη του χρόνου. β. αρµονική συνάρτηση
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 14 Ταλαντώσεις. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.
Κεφάλαιο 14 Ταλαντώσεις Ταλαντώσεις Ελατηρίου Απλή αρµονική κίνηση Ενέργεια απλού αρµονικού ταλαντωτή Σχέση απλού αρµονικού ταλαντωτή και κυκλικής κίνησης Το απλό εκκρεµές Περιεχόµενα 14 Το φυσικό εκκρεµές
Διαβάστε περισσότεραΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Η έννοια του μιγαδικού Το σύνολο των μιγαδικών. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii9/laii9html Παρασκευή 9 Μαρτίου 9 Ασκηση Εστω (E,,
Διαβάστε περισσότερα4 k 2 = 2 ( 1+ 2 k 2. k 2 2 k= k 2. 1.ii) Αν σχηµατίσουµε τον πίνακα µε γραµµές τα δύο διανύσµατα έχουµε: Γ1 Γ1 ---> { }
http://elearn.maths.gr/, maths@maths.gr, Τηλ: 69795 Ενδεικτικές απαντήσεις ης Γραπτής Εργασίας ΠΛΗ 8-9: Οι φοιτητές θα κάνουν την δική τους εργασία σκεπτόµενοι πάνω στις ενδεικτικές απαντήσεις. Σε περίπτωση
Διαβάστε περισσότεραΠαρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ
Παρουσίαση ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση η Κάθετες συνιστώσες διανύσµατος Παράδειγµα Θα αναλύσουµε το διάνυσµα v (, ) σε δύο κάθετες µεταξύ τους συνιστώσες από τις οποίες η µία να είναι παράλληλη στο α (3,) Πραγµατικά
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Τρισδιάστατες κινήσεις
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Τρισδιάστατες κινήσεις Οι µονοδιάστατες κινήσεις είναι εύκολες αλλά ζούµε σε τρισδιάστατο χώρο Θα δούµε λοιπόν τώρα πως θα αντιµετωπίζοµε την κίνηση υλικού σηµείου στις τρεις διαστάσεις Ας θεωρήσοµε
Διαβάστε περισσότεραΖητείται να µελετηθεί το εν λόγω σύστηµα µε είσοδο βηµατική συνάρτηση δηλαδή () =(). (3)
Παράδειγµα 1: Έστω ένα σύστηµα που περιγράφεται από τη διαφορική εξίσωση () +2 () 29 () +42()=() (1) µε µηδενικές αρχικές συνθήκες. (δηλαδή ()(0) = () (0)=()(0)=0) (2) Ζητείται να µελετηθεί το εν λόγω
Διαβάστε περισσότεραΌταν θα έχουµε τελειώσει το Κεφάλαιο αυτό θα µπορούµε να:
6. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Όταν θα έχουµε τελειώσει το Κεφάλαιο αυτό θα µπορούµε να: ορίσουµε το Μετασχηµατισµό Laplace (ML) και το Μονόπλευρο Μετασχηµατισµό Laplace (MML) και να περιγράψουµε
Διαβάστε περισσότεραΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 93
ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 93 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 5.. Εισαγωγή Η παρουσία εξωτερικών διεγέρσεων σε ένα σύστηµα πολλών Β.Ε. δηµιουργεί σ'
Διαβάστε περισσότεραΕπίλυση Γραµµικών Συστηµάτων
Κεφάλαιο 3 Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων 31 Εισαγωγή Αριθµητική λύση γενικών γραµµικών συστηµάτων n n A n n x n 1 b n 1, όπου a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A [a i j, x a n1 a n2 a nn x n, b b 1 b 2 b n
Διαβάστε περισσότεραΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑ ΑΣ
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑ ΑΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ MSc PROGRAM ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Ι ΚΟΥΓΙΑΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΑΝΤΙΡΡΙΟ 03-04 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΠΙΝΑΚΕΣ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ - ΟΡΙΣΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο M4. Κίνηση σε δύο διαστάσεις
Κεφάλαιο M4 Κίνηση σε δύο διαστάσεις Κινηµατική σε δύο διαστάσεις Θα περιγράψουµε τη διανυσµατική φύση της θέσης, της ταχύτητας, και της επιτάχυνσης µε περισσότερες λεπτοµέρειες. Θα µελετήσουµε την κίνηση
Διαβάστε περισσότεραΠαράδειγμα 1. Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με. Σχήμα 1. στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους
Παράδειγμα 1 Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με _ + Σχήμα 1 στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους Α) Γράψτε το σύστημα ευθέως κλάδου σε κανονική παρατηρήσιμη μορφή στο χώρο
Διαβάστε περισσότεραΜηχανική ΙI Ταλαντωτής µε µεταβλητή συχνότητα
Τµήµα Π Ιωάννου & Θ Αποστολάτου 22/5/2000 Μηχανική ΙI Ταλαντωτής µε µεταβλητή συχνότητα Τι θα συµβεί στην περίοδο ενός εκκρεµούς εάν το µήκος του νήµατος µεταβάλλεται µε αργό ρυθµό; Το πρόβληµα προτάθηκε
Διαβάστε περισσότεραΦΥΣ. 211 ΕΡΓΑΣΙΑ # 8 Επιστροφή την Τετάρτη 30/3/2016 στο τέλος της διάλεξης
ΦΥΣ. 211 ΕΡΓΑΣΙΑ # 8 Επιστροφή την Τετάρτη 30/3/2016 στο τέλος της διάλεξης 1. Μια µάζα m είναι εξαρτηµένη από το άκρο ενός ελατηρίου µε φυσική συχνότητα ω. Η µάζα αφήνεται να κινηθεί από την κατάσταση
Διαβάστε περισσότεραΑριθµητική Γραµµική ΑλγεβραΚεφάλαιο 4. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών 2 Απριλίου και2015 Ιδιοδιανυσµάτων 1 / 50
Αριθµητική Γραµµική Αλγεβρα Κεφάλαιο 4. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών και Ιδιοδιανυσµάτων ΕΚΠΑ 2 Απριλίου 205 Αριθµητική Γραµµική ΑλγεβραΚεφάλαιο 4. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών 2 Απριλίου και205
Διαβάστε περισσότεραΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 2 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 28 Νοεμβρίου 2011
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 8 Νοεμβρίου 0 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 6 Ιανουαρίου 0 Οι ασκήσεις
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑ Α A1. Στις ερωτήσεις 1 9 να επιλέξετε το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση, χωρίς να αιτιολογήσετε την επιλογή σας.
ΜΑΘΗΜΑ / Προσανατολισμός / ΤΑΞΗ ΑΡΙΘΜΟΣ ΦΥΛΛΟΥ ΕΡΓΑΣΙΑΣ: ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΤΜΗΜΑ : ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΜΑΘΗΤΗ: ΦΥΣΙΚΗ/ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ / Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 1 Ο ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ( ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ) ΘΕΜΑ Α A1. Στις ερωτήσεις
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέµβριος 2004
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέµβριος 2004 Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου Θέµα 1 (25 µονάδες) Ένα εκκρεµές µήκους l κρέµεται έτσι ώστε η σηµειακή µάζα να βρίσκεται ακριβώς
Διαβάστε περισσότεραΜετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις 2.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όπως έχουµε δει, για να προσδιορίσουµε τις αποκρίσεις ενός κυκλώµατος, πρέπει να λύσουµε ένα σύνολο διαφορικών
Διαβάστε περισσότεραΠαράρτηµα 3 Εξισώσεις Διαφορών και Στοχαστικές Διαδικασίες
Γιώργος Αλογοσκούφης, Θέµατα Δυναµικής Μακροοικονοµικής, Αθήνα 0 Παράρτηµα 3 Εξισώσεις Διαφορών και Στοχαστικές Διαδικασίες Στο παράρτηµα αυτό εξετάζουµε τις ιδιότητες και τους τρόπους επίλυσης των εξισώσεων
Διαβάστε περισσότεραΤαλαντώσεις σώματος αλλά και συστήματος.
σώματος αλλά και συστήματος. Μια καλοκαιρινή περιπλάνηση. Τα δυο σώµατα Α και Β µε ίσες µάζες g, ηρεµούν όπως στο σχήµα, ό- που το ελατήριο έχει σταθερά 00Ν/, ενώ το Α βρίσκεται σε ύψος h0,45 από το έδαφος.
Διαβάστε περισσότερα