ΡΟΠΕΣ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ

Transcript

1 ΡΟΠΕΣ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ Ροπή Δύναμης Θα έχετε παρατηρήσει πως κλείνετε ευκολότερα μια πόρτα, αν την σπρώξετε σε μια θέση που βρίσκεται σχετικά μακρύτερα από τον άξονα περιστροφής της (τους μεντεσέδες εξάρτησης της). Επίσης για να ξεβιδώσουμε μια βίδα με ένα κλειδί τα καταφέρνουμε πιο καλά αν η δύναμη που ασκούμε στο βραχίονα του κλειδιού είναι όσο γίνεται πιο μακρυά από τον άξονα περιστροφής της βίδας. Στα προβλήματα στα οποία έχουμε περιστροφή σωμάτων εισάγουμε ένα νέο φυσικό μέγεθος που ονομάζεται ροπή δύναμης. Ροπή δύναμης ως προς σημείο Θεωρούμε ένα επίπεδο Π, πάνω στο οποίο βρίσκεται η δύναμη F, και ένα σημείο Γ του επιπέδου. Η απόσταση του σημείου Γ από την από την ευθεία πάνω στην οποία βρίσκεται η δύναμη, ονομάζεται βραχίονας της δύναμης. Ονομάζουμε ροπή της δύναμης F ως προς σημείο Γ το διανυσματικό μέγεθος Μ, το οποίο έχει μέτρο ίσο με το γινόμενο του μέτρου της δύναμης F επί την κάθετη σε αυτήν απόσταση της, d, από το σημείο Γ, δηλαδή M = F d Ροπή δύναμης ως προς σημείο Η διεύθυνση του διανύσματος της ροπής είναι κάθετη στο επίπεδο που ορίζεται από το φορέα της δύναμης και το σημείο Γ. Η φορά της ροπής Μ καθορίζεται από τον κανόνα του δεξιού χεριού. Ροπή δύναμης ως προς άξονα Θεωρούμε ένα σώμα που μπορεί να περιστρέφεται γύρω από τον άξονα xx και μια δύναμη F που εξασκείται πάνω στο σώμα και βρίσκεται σε επίπεδο κάθετο στον άξονα. Ονομάζουμε ροπή της δύναμης F ως προς τον άξονα xx διανυσματικό μέγεθος Μ, το οποίο έχει μέτρο ίσο με το γινόμενο του μέτρου της δύναμης F επί την κάθετη σε αυτήν απόσταση της, d, από τον άξονα, δηλαδή M = F d Ροπή δύναμης ως προς άξονα Η διεύθυνση της ροπής είναι παράλληλη προς τον άξονα περιστροφής και η φορά της προσδιορίζεται όπως και η φορά της ροπής δύναμης ως προς σημείο, δηλαδή με τον κανόνα του δεξιού χεριού. Η μονάδα μέτρησής της ροπής μιας δύναμης στο σύστημα S.I. είναι το 1N m. Μιχάλης Περικλέους 1

2 Κατά σύμβαση θεωρούμε θετική τη ροπή της δύναμης που, όταν ασκείται μόνη της στο σώμα, τείνει να το περιστρέψει κατά τη φορά κίνησης των δεικτών του ρολογιού (δεξιόστροφη) και αρνητική τη ροπή της δύναμης εκείνης που, όταν ασκείται μόνη της στο σώμα, τείνει να το περιστρέψει αντίθετα από τη φορά περιστροφής των δεικτών του ρολογιού (αριστερόστροφη). Άσκηση: Ο βραχίονας ενός κλειδιού έχει μήκος 0,6m. Στην άκρη του εξασκείται δύναμη ίση με 100Ν. Πόση είναι η ροπή που δημιουργείται; Ζεύγος Δυνάμεων Ζεύγος δυνάμεων ορίζουμε το σύστημα δύο παράλληλων δυνάμεων με αντίθετη φορά Το ζεύγος δυνάμεων προκαλεί περιστροφή στο σώμα πάνω στο οποίο ασκείται. Ένα τέτοιο ζεύγος δυνάμεων ασκείται για το άνοιγμα της βρύσης του νερού. Αν ο άξονας περιστροφής περνά από το σημείο Ο τότε η ολική ροπή που προκαλούν οι δύο δυνάμεις είναι: M ολ = Μ 1 + Μ 2 Μ ολ = F d 1 + F d 2 = F (d 1 + d 2 ) = F AB Η συνισταμένη ενός ζεύγους δυνάμεων που ασκείται σε ένα σώμα έχει τιμή μηδέν αφού οι δυνάμεις είναι αντίθετες. Μια μηδενική συνισταμένη όμως είναι φανερό ότι δεν μπορεί να προκαλέσει περιστροφή ενός σώματος, αφού η ροπή της θα είναι μηδέν. Από αυτό συμπεραίνουμε ότι το ζεύγος δυνάμεων, το οποίο προκαλεί περιστροφικό αποτέλεσμα, δεν μπορεί να αντικαταστασθεί από μια δύναμη.! Παρατήρηση Αν η δύναμη F δεν βρίσκεται σε επίπεδο κάθετο στον άξονα περιστροφής, τότε την αναλύουμε σε δύο συνιστώσες, την F χ σε επίπεδο κάθετο στον άξονα περιστροφής και την F y παράλληλη στον άξονα περιστροφής. Στην περίπτωση αυτή πόση νομίζετε ότι είναι η ροπή της F; Μιχάλης Περικλέους 2

3 Ισορροπία ροπών Κρεμάζουμε μια ρίγα μισού μέτρου από το μέσο της Ο. Η ρίγα ισορροπεί οριζόντια. Η ρίγα μπορεί να περιστρέφεται γύρω από οριζόντιο άξονα που περνά από το σημείο στήριξης της. Κρεμάζουμε το βάρος Β 1 σε κάποια απόσταση d 1 από το σημείο Ο. Το Β 1 εξασκεί ροπή Μ 1 = -Β 1 d 1. Το (-) υποδηλώνει ότι η Μ 1 τείνει να περιστρέψει τη ρίγα αριστερόστροφα. Από την άλλη πλευρά της ρίγας κρεμάζουμε το βάρος Β 2 και το μετακινούμε κατά μήκος της, μέχρι να επιτύχουμε οριζόντια ισορροπία. Αν αυτό συμβαίνει σε απόσταση d 2 από το Ο, το Β 2 εξασκεί ροπή Μ 2 = Β 2 d 2 που τείνει να περιστρέψει δεξιόστροφα τη ρίγα. Υπολογίστε τις ροπές Μ 1 και Μ 2, τι παρατηρείτε; Υπολογίστε τη συνισταμένη ροπή. Με τι είναι ίση; Συμπέρασμα: Συνθήκες ισορροπίας στερεού σώματος Ξέρουμε ότι ένα υλικό σημείο ισορροπεί όταν η συνισταμένη των δυνάμεων που ασκούνται στο σημείο είναι μηδέν ΣF =0. Στην περίπτωση όπως δυνάμεων που ασκούνται σε στερεό σώμα, η πιο πάνω συνθήκη δεν είναι αρκετή, διότι οι δυνάμεις δεν περνούν αναγκαστικά από το ίδιο σημείο και επομένως είναι δυνατόν να δημιουργηθούν ροπές, οι οποίες θα προκαλέσουν περιστροφή του σώματος. Επομένως η γενική συνθήκη ισορροπίας διατυπώνεται ως εξής: Για να έχουμε ισορροπία δυνάμεων που ασκούνται σε στερεό σώμα, πρέπει τόσο η συνισταμένη δύναμη όσο και η συνισταμένη ροπή να είναι μηδέν. ΣF = 0 και ΣΜ = 0 Συνθήκη ισορροπίας για στερεό σώμα Μιχάλης Περικλέους 3

4 Πειραματική διερεύνηση παραγόντων από τους οποίους εξαρτάται η ροπή δύναμης. Κατασκευάζουμε την πειραματική διάταξη χρησιμοποιώντας τα κατάλληλα υλικά, π.χ ομογενή ξύλινη ράβδο, μολύβι σβηστήρι, λαστιχάκι. Κάνετε τη ράβδο να ισορροπήσει. Τοποθετήστε τη μάζα των 100g στο ένα άκρο της ράβδου, οπότε η ράβδος κλίνει προς την μια μεριά. Σπρώχνοντας προς τα κάτω με το δάκτυλο την άλλη μεριά της ράβδου σε διάφορα σημεία, βρέστε σε ποιο σημείο η δύναμη σας ανασηκώνει ευκολότερα το νόμισμα. Βάλτε τώρα δύο μάζες των 100g σε μια θέση αριστερά του σημείου ισορροπίας και προσπαθήστε να επιτύχετε ισορροπία τοποθετώντας μια μάζα των 100g δεξιά του σημείου ισορροπίας. Καταγράψετε την παρατήρησή σας. Βάλτε τώρα τρεις μάζες των 100g σε μια θέση αριστερά του σημείου ισορροπίας και προσπαθήστε να επιτύχετε ισορροπία τοποθετώντας δύο μάζες των 100g δεξιά του σημείου ισορροπίας. Καταγράψετε την παρατήρησή σας. Δοκιμάστε διάφορους άλλους συνδυασμούς και καταχωρήστε στον πίνακα τις παρατηρήσεις σας. Μάζα 200g 300g Αριστερή μεριά Θέση από το 0 (ισορροπία) Δεξιά μεριά Ροπή Μάζα Θέση από το 0 (ισορροπία).. 100g g Ροπή Συμπληρώστε τις πιο κάτω προτάσεις οι οποίες αποτελούν και τα συμπεράσματα του πιο πάνω πειράματος. Όσο πιο... από τον άξονα περιστροφής εφαρμόζεται η δύναμη τόσο πιο... είναι το περιστροφικό της αποτέλεσμα. Μιχάλης Περικλέους 4

5 Το περιστροφικό αποτέλεσμα ή η ροπή δύναμης εξαρτάται: Α.... Β Β ΛΥΚΕΙΟΥ Για να μην περιστρέφεται η ρίγα πρέπει... ροπή να είναι ίση με τη... Οι ροπές που προκαλούνται από ομοεπίπεδες δυνάμεις ισορροπούν, όταν το αλγεβρικό τους άθροισμα είναι... Από τον ορισμό της ροπής Μ = F d, η ροπή γίνεται μηδέν στις πιο κάτω περιπτώσεις: Α. Όταν η δύναμη είναι μηδέν F=0. Β. Όταν η δύναμη F περνά από τον άξονα περιστροφής οπότε d = 0. Γ. Όταν η δύναμη F είναι παράλληλη προς τον άξονα περιστροφής. Ασκήσεις: 1. Η αβαρής ράβδος ΑΔ στηρίζεται στο σημείο Σ. Να υπολογιστεί η ροπή που πρέπει να ασκηθεί πάνω στη ράβδο για να ισορροπεί οριζόντια, αν α = 0,5m, β = 0,3m και γ = 0,5m. 2. Η αβαρής ράβδος ΑΔ στηρίζεται στο σημείο Σ. Να βρεθούν: α) η ροπή κάθε δύναμης καθώς και η συνισταμένη ροπή ως προς το σημείο Σ, β) η δύναμη που πρέπει να ασκηθεί κάθετα στο δεξιό άκρο της ράβδου για να ισορροπεί η ράβδος οριζόντια. 3. Αβαρής ράβδος φέρει στα άκρα της δύο φορτία. Να βρεθούν: α) Το σημείο στο οποίο πρέπει να στηριχθεί η ράβδος για να ισορροπεί οριζόντια, β) η δύναμη που ασκεί το σημείο στήριξης στη ράβδο. 4. Ομογενής ράβδος βάρους 600Ν και μήκους 4m ακουμπά σε δύο στηρίγματα Α και Γ, όπως φαίνεται στο σχήμα. Α) Να βρείτε πόση δύναμη ασκεί η ράβδος σε κάθε στήριγμα. Β) Ένα παιδί βάρους 300Ν ανεβαίνει στο άκρο Α της ράβδου και αρχίζει να βαδίζει προς τ ο άλλο άκρο Ε. Να βρεθεί η θέση του τη στιγμή που αρχίζει να ανατρέπεται η ράβδος. Μιχάλης Περικλέους 5

6 5. Ο ελαιοχρωματιστής του σχήματος βάφει τον τοίχο προχωρώντας πάνω στη δοκό από αριστερά προς τα δεξιά. Η δοκός έχει μήκος 4m και βάρος 60Ν. Το δοχείο της βαφής έχει βάρος 20Ν και βρίσκεται 0,5m από το σημείο στήριξης Α. Αν το βάρος του ελαιοχρωματιστή είναι 550Ν, να βρεθεί σε ποια θέση θα βρίσκεται αυτός τη στιγμή που η δοκός αρχίζει να ανασηκώνεται από το στήριγμα Α. 6. Η ομογενής δοκός του σχήματος έχει βάρος 600Ν και ο άνθρωπος που στέκεται σε αυτή 800Ν. Πόση είναι η μεγαλύτερη απόσταση x από το δεξιό στήριγμα της δοκού που μπορεί να φτάσει ο άνθρωπος χωρίς να ανατραπεί; 7. Ομογενής ρίγα στηρίζεται σε μια αιχμή στο μέσο της, όπως φαίνεται στο σχήμα. Για να ισορροπήσει η ρίγα οριζόντια πρέπει να αφαιρέσουμε ένα από τα δέκα όμοια κέρματα από τη θέση: A. 5 αριστερά Β. 2 αριστερά Γ. 4 αριστερά Δ. 2 δεξιά Ε. 3 δεξιά 8. Σε ένα τροχό ακτίνας R = 40 cm ασκούνται οι δυνάμεις F 1, F 2, F 3, F 4, που έχουν μέτρα F 1 = F 2 = 10N και F 3 = F 4 = 20N, όπως φαίνεται στο σχήμα. α. Να βρείτε τη συνολική ροπή των δυνάμεων ξεχωριστά για τα σημεία Κ, Α, Γ. β. Πώς ερμηνεύετε το αποτέλεσμα των υπολογισμών σας στο (α) ερώτημα; Τι αλλαγή θα προτείνατε, ώστε η συνολική ροπή να γίνει ίση με μηδέν; 9. Η ομογενείς ράβδος ΑΒ του σχήματος, βάρους Β = 80Ν και μήκους d = 3m, στηρίζεται μέσω άρθρωσης στο σημείο Α, ενώ το σημείο Β δένεται με σχοινί από το σημείο Γ. Μικρό σώμα βάρους Β 1 = 30Ν βρίσκεται πάνω στη ράβδο στο σημείο Ζ, όπου (ΑΖ) = d 1 = 1m. Για τις γωνίες που σχηματίζονται ισχύει θ = 30 0 και φ = α. Να βρείτε τις δυνάμεις που ασκούνται στη ράβδο από την άρθρωση και από το σχοινί. β. Αν το όριο θραύσης του σχοινιού είναι Τ θρ. = 120Ν, μέχρι ποια απόσταση από το Α μπορούμε να μετακινήσουμε το σώμα βάρους Β 1 χωρίς να σπάσει το σχοινί; Μιχάλης Περικλέους 6

7 10. Η ομογενείς ράβδος ΑΒ του σχήματος, με βάρος Β = 400Ν, στηρίζεται με το άκρο της Α στο λείο κατακόρυφο επίπεδο και με το άκρο της Β στο οριζόντιο δάπεδο. Μετακινώντας το άκρο Β της ράβδου προς τα δεξιά παρατηρούμε ότι για γωνία φ μικρότερη των 30 0 η ράβδος δεν ισορροπεί. Να βρείτε τον συντελεστή στατικής τριβής ανάμεσα σο δάπεδο και στη ράβδο. 11. Μια ομογενείς και ισοπαχής ράβδος ΑΓ, βάρους Β 1 80Ν, στερεώνεται και ισορροπεί, όπως φαίνεται στο σχήμα. Το μέσο Μ της ράβδου συνδέεται με τον κατακόρυφο τοίχο με οριζόντιο νήμα, ενώ στο άκρο της Α στερεώνεται με άρθρωση. Στο άλλο άκρο Γ της ράβδου κρέμεται σώμα Β 2 = 80Ν. Να υπολογίσετε: α. την τάση του οριζόντιου νήματος. β. τη δύναμη που ασκεί η άρθρωση. Μιχάλης Περικλέους 7