ΦΥΕ 14 Διανύσματα. 1 Περιγραφή διανυσμάτων στο χώρο Γεωμετρική περιγραφή: Τα διανύσματα περιγράφονται σαν προσανατολισμένα ευθύγραμμα

Transcript

1 ΦΥΕ 4 Διανύσματα Περιγραφή διανυσμάτων στο χώρο Γεωμετρική περιγραφή: Τα διανύσματα περιγράφονται σαν προσανατολισμένα ευθύγραμμα τμήματα Δύο διανύσματα θα θεωρούμε ότι είναι ίσα, εάν έχουν το ίδιο μήκος και την ίδια κατεύθυνση Με άλλα λόγια θα θεωρούμε ένα διάνυσμα αμετάβλητο όταν κινείται παράλληλα προς τον εαυτόν του Αλγεβρική περιγραφή: Ένα διάνυσμα στον χώρο περιγράφεται σαν μια διατεταγμένη -άδα (α,β,γ), όπου (α,β,γ) το σημείο που αποτελεί το πέρας του εάν θεωρήσουμε ότι η αρχή του ταυτίζεται με την αρχή των αξόνων Mέτρο διανύσματος: Το μέτρο ενός διανύσματος =(α,β,γ) συμβολίζεται με, ισούται με και εκφράζει το μήκος του προσανατολισμένου ευθυγράμμου τμήματος που περιγράφει το

2 Κατευθύνοντα συνημίτονα Έστω διάνυσμα =(α,β,γ) Θεωρούμε τα συνημίτονα των γωνιών θ,φ,ψ που σχηματίζει το με τους θετικούς ημιάξονες Οx,Oy,Oz του συστήματος αντίστοιχα Και έχουμε: Τα συνημίτονα αυτά ονομάζονται κατευθύνοντα συνημίτονα του γωνίες κατεύθυνσης του Πράξεις 4 Πρόσθεση Εάν =(α,β,γ), =(α,β,γ ) τότε + =(α+α,β+β,γ+γ ) Ενώ οι γωνίες θ,φ,ψ

3 Γεωμετρική ερμηνεία πρόσθεσης Γεωμετρικά το άθροισμα των και δίνεται από την διαγώνιο του παραλληλογράμμου που έχει ως προσκείμενες πλευρές του τα δύο διανύσματα και με την ίδια αρχή Εναλλακτικά μπορούμε να τοποθετήσουμε το ένα διάνυσμα σαν συνέχεια του άλλου, οπότε το άθροισμα βρίσκεται ενώνοντας την αρχή του πρώτου με το πέρας του δευτέρου Πολλαπλασιασμός με αριθμό Εάν =(α,β,γ) και λεr, τότε λ =(λα,λβ,λγ) Γεωμετρική ερμηνεία πολλαπλασιασμού Το διάνυσμα λ θα έχει την ίδια κατεύθυνση με το κατεύθυνση εάν λ<0 Επίσης θα έχουμε ότι λ = λ εάν το λ>0, ενώ θα έχει αντίθετη Αφαίρεση Εάν =(α,β,γ) και =(α,β,γ ) τότε - = +(- )=(α,β,γ)+(-α,-β,-γ )=(α-α,β-β,γ-γ ) 5 Εσωτερικό γινόμενο Έστω μη-μηδενικά διανύσματα =(α,β,γ), =(α,β,γ ) Το εσωτερικό γινόμενο συμβολίζεται με =αα +ββ +γγ Γεωμετρική ερμηνεία εσωτερικού γινομένου και ορίζεται ως εξής: = cosφ, όπου φ η γωνία των και, 0<φ<π Παρατήρηση: =0<=>φ=π/ >0<=>0<φ<π/ <0<=>π/<φ<π 6 Μοναδιαία διανύσματα Διανύσματα που έχουν μέτρο Συνήθως συμβολίζονται με,,

4 Παρατήρηση: Εάν =(α,β,γ) μημηδενικό διάνυσμα,το διάνυσμα είναι μοναδιαίο και έχει την ίδια κατεύθυνση με το (Τα cosθ,cosφ,cosψ είναι τα κατευθύνοντα συνημίτονα του ) Βασικά διανύσματα Είναι τα =(,0,0), =(0,,0), =(0,0,) Τα,, είναι μοναδιαία διανύσματα που έχουν την κατεύθυνση των αξόνων Για κάθε διάνυσμα =(α,β,γ) παρατηρούμε ότι =(α,β,γ)=α(,0,0)+β(0,,0)+γ(0,0,)=α +β +γ 7 Προβολή Αν μη-μηδενικό διάνυσμα, τότε για κάθε διάνυσμα ορίζουμε την προβολή του πάνω στην κατεύθυνση του ως το μέγεθος = cosφ, όπου φ η γωνία των,, 0 < φ < π Σημειωτέον ότι η προβολή είναι προσημασμένη, και είναι θετική ή αρνητική αν η γωνία είναι οξεία ή αμβλεία αντίστοιχα 8 Παράλληλα διανύσματα Έστω μη-μηδενικό διάνυσμα Το διάνυσμα, λέμε ότι είναι παράλληλο προς το εάν υπάρχει λ έτσι ώστε = λ Χρησιμοποιώντας την γεωμετρική ερμηνεία της πράξης του πολλαπλασιασμού με αριθμό, παρατηρούμε ότι: Δύο παράλληλα διανύσματα τοποθετημένα με την ίδια αρχή βρίσκονται πάνω στην ίδια ευθεία Για το λόγο αυτό δύο παράλληλα διανύσματα ονομάζονται συγγραμμικά 9 Συνεπίπεδα διανύσματα Δύο μη-συγγραμμικά διανύσματα, τοποθετημένα με την ίδια αρχή ορίζουν ένα επίπεδο Ένα τρίτο διάνυσμα είναι συνεπίπεδο με αυτά αν τοποθετημένο με την ίδια αρχή βρίσκεται

5 στο ίδιο επίπεδο Ένα διάνυσμα =(r,r,r ) είναι συνεπίπεδο με τα μη-συγγραμμικά διανύσματα =(p,p,p ) και =(q,q,q ) αν ισχύει μια από τις παρακάτω ισοδύναμες συνθήκες: (a): Μπορεί να εκφρασθεί σαν γραμμικός συνδυασμός τους, δηλαδή μπορεί να εκφρασθεί στην μορφή: =λ +μ για κάποια λ,μ (b): Δηλαδή μηδενίζεται η ορίζουσα των συντεταγμένων των τριών διανυσμάτων 0Εξωτερικό γινόμενο των a,, ορίζεται το διάνυσμα : i j k a a a a,, συντεταγμένες a και i, j, k μοναδιαία διανύσματα των αξόνων x, y, z αντίστοιχα Το μέτρο του a δίνεται από τη σχέση a a sin Ιδιότητες του εξωτερικού γινομένου a a a 0 a, συγγραμμικά, δηλαδή a a το εμβαδόν του παραλληλογράμμου που σχηματίζουν τα a, γιατί από το σχήμα φαίνεται E / ( ά ) ( ύ ) h a sin a sin

6 Μεικτό γινόμενο των a,,, ορίζεται νάναι ο αριθμός : a a a Ιδιότητες του μεικτού γινομένου a a,, a είναι συνεπίπεδα αν και μόνο αν a 0 a όγκος του παραλληλεπιπέδου που σχηματίζουν τα διανύσματα a,, ΔΙΑΝΥΣΜΑΤA -EΦΑΡΜΟΓΕΣ ( ό έ ) ( ά ) ( ύ ) Εφαρμογές Να βρείτε μοναδιαίο διάνυσμα του IR κάθετο στα διανύσματα α = (-,, ) και b = (, -, 4) Λύση Το εξωτερικό γινόμενο a b i j k 4 a b των,, a και,,4 4 i 4 j 6i 0j 7k Το μέτρο του εξωτερικού γινμένου είναι ίσο με b είναι κάθετο σε αμφότερα k

7 a b Επομένως ένα μοναδιαίο διάνυσμα του R κάθετο στα διανύσματα,, a και,,4 ab n i j k = i j k ab Προφανώς, την ίδια ιδιότητα έχει και το αντίθετο του n b είναι: Δίνονται τα διανύσματα α Λύση x x x, β x x 4x α) Να βρείτε το μοναδιαίο διάνυσμα α στην διεύθυνση του α β) Να εξετάσετε αν τα διανύσματα α, β είναι κάθετα γ) Ποια είναι η γωνία των διανυσμάτων αυτών; δ) Να βρεθεί το διάνυσμα της προβολής του β στο α α) Tο μοναδιαίο διάνυσμα α στην διεύθυνση του α είναι σύμφωνα με την σελ 7, α = και επομένως χρειάζεται να βρούμε πρώτα το μέτρο α του διανύσματος α Έχουμε τότε από την σελ 7 α α α = = ( ) ( ) 9 = οπότε α = α x x x = α = x x x β) Δύο (μη μηδενικά) διανύσματα α, β είναι κάθετα τότε και μόνο τότε αν το εσωτερικό τους γινόμενο (όπως δίνεται πχ από την σελ 0) είναι ίσον με μηδέν Στη προκειμένη περίπτωση έχουμε α β = (-)(-) + (-) + (-) 4 = 8 = και άρα τα α, β δεν είναι κάθετα μεταξύ τους

8 γ) Η γωνία θ μεταξύ των δύο διανυσμάτων θα βρεθεί επίσης από το εσωτερικό τους γινόμενο όπως δινεται από τη 7 σελ 9 α β = α β cos θ cos θ α β α β και έτσι χρειαζόμαστε και το μέτρο του β Αυτό βρίσκεται όπως και προηγουμένως σαν β = b b b = ( ) ( ) 4 8 Επομένως, κάνοντας χρήση των αποτελεσμάτων από τις (α) και (β) έχουμε cos θ δ) Η προβολή του β πάνω στο α δίνεται από το 9 και άρα θ = π/4 β cos(α, β) = ή ισοδύναμα από το εσωτερικό γινόμενο = - β α = ( x x 4 x) ( x x x ) = (-)( ) + (-)( ) + 4 ( ) = - και το διάνυσμα της προβολής του β στο α θα είναι (β α ) α = - α = x x x Δίνονται τα διανύσματα a x x, b x x α) Να εξετάσετε αν είναι συγγραμμικά (παράλληλα) και να βρείτε ένα διάνυσμα c κάθετο στο a και στο b β) Να βρεθεί το εμβαδόν του τριγώνου με πλευρές τα διανύσματα a, b Λύση α) Για να εξετάσουμε αν τα a, b είναι συγγραμμικά (παράλληλα) εξετάζουμε το εξωτερικό τους γινόμενο όπως δίνεται από τη σχετική ορίζουσα Έχουμε (αναπτύσσοντας την ορίζουσα πάντα ως προς τη πρώτη γραμμή)

9 x x x 0 0 a b = 0 x - x + x = 6x 9 x 6x 0 και επομένως, αφού a b 0, τα διανύσματα αυτά δεν είναι συγγραμμικά, δηλαδή ορίζουν ένα επίπεδο Επειδή το διάνυσμα a b είναι κάθετο πάνω στο επίπεδο των a, b, το ζητούμενο διάνυσμα c είναι c = a b = 6x 9 x 6x ή ένα οποιοδήποτε (μη μηδενικό) πολλαπλάσιό του β) Το εμβαδόν του τριγώνου με πλευρές τα διανύσματα a, b ως γνωστόν είναι ίσον με το μισό του μέτρου του εξωτερικού γινομένου των a, b που στη προκειμένη περίπτωση είναι Ε = a b = Δίνονται τα διανύσματα α (, 4, 0), β ( 0,, ), γ ( 0,, 5) α) Να εξετάσετε αν είναι συνεπίπεδα β) Να βρείτε τον όγκο του παραλληλεπιπέδου που σχηματίζεται από τα διανύσματα α, β, γ γ) Το σύστημα (α, β, γ) είναι δεξιόστροφο ή αριστερόστροφο; Λύση α) Για να εξετάσουμε αν τα τρία διανύσματα είναι συνεπίπεδα βρίσκουμε το μεικτό γινόμενο (α β) γ Από τον ορισμό του μεικτού γινομένου 6 σελ 8 έχουμε (α β) γ = = (-5 - ) = όπου η ανάπτυξη της ορίζουσας έγινε ως προς τη πρώτη στήλη Το γεγονός ότι το μεικτό γινόμενο είναι διάφορο του μηδενός έπεται ότι τα τρία διανύσματα δεν είναι συνεπίπεδα β) Ο όγκος V(α, β, γ) του παραλληλεπίπεδου είναι πάντοτε ίσος με την απόλυτη τιμή του μεικτού γινομένου και επομένως V(α, β, γ) = (α β) γ = 5

10 γ) Επειδή το μεικτό γινόμενο (α β) γ είναι αρνητικό έπεται ότι τα τρία διανύσματα α, β, γ (με αυτή τη σειρά) αποτελούν ένα αριστερόστροφο σύστημα (α, β, γ) 5 Αν α (,, ), β (,, 4), γ (,, 6), τότε: α) να δείξετε ότι τα διανύσματα α, β, γ βρίσκονται πάνω στο ίδιο επίπεδο β) να εκφράσετε το γ σαν γραμμικό συνδυασμό των α, β, γ λα μβ, όπου λ, μ πραγματικοί αριθμοί Λύση α) Για να εξετάσουμε αν τα τρία διανύσματα α, β, γ βρίσκονται πάνω στο ίδιο επίπεδο βρίσκουμε το μεικτό γινόμενο (α β) γ Αυτό, όπως και στη 4(α) βρίσκεται από τη τιμή της ορίζουσας (γίνεται ανάπτυγμα ως προς τη πρώτη γραμμή) (α β) γ = = = -( ) ( ) + (4 9) = = 0 και επομένως τα διανύσματα α, β, γ βρίσκονται πάνω στο ίδιο επίπεδο β) Για να εκφράσουμε το γ σαν γραμμικό συνδυασμό των α, β, γ α β, εργαζόμαστε ως εξής Από την γ α β παίρνουμε (-,, 6) = λ(-,, ) + μ(, -, -4) = (-λ, λ, λ) + (μ, -μ, -4μ) = = (-λ + μ, λ μ, λ 4μ) οπότε παίρνουμε το σύστημα -λ + μ = - λ μ = λ 4μ = 6 των τριών εξισώσεων για τους δυο αγνώστους λ και μ Παρατηρούμε αμέσως ότι η τρίτη εξίσωση είναι - φορές η πρώτη ( οι η και η εξίσωση είναι γραμμικά εξαρτημένες) και επομένως η λύση του συστήματος θα προέλθει από τις δύο πρώτες εξισώσεις που γράφονται

11 - λ + μ = λ μ = 4 πράγμα που δίνει αμέσως λ = 5 και μ = Έτσι ο ζητούμενος γραμμικός γ 5 α β συνδιασμός είναι: