ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι -ΣΤΑΤΙΚΗ

Transcript

1 ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΓΕΝΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Lab. MEchanics Applied TECHNICAL UNIVERSITY OF CRETE ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι -ΣΤΑΤΙΚΗ 1 η Συνέχεια διαλέξεων B Μέρος 1

2 ΒΑΣΙΚΑ ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΑ ΜΕΓΕΘΗ : ΥΝΑΜΕΙΣ - ΡΟΠΕΣ υνάµεις είναι τα αίτια παραµόρφωσης των σωµάτων καθώς και της µεταβολής της κινητικής τους κατάστασης. Υπολογίζονται µε γραφικές και αναλυτικές µεθόδους Ανάλυση µιας δύναµης (ή ροπής) για εύρεση των συνιστωσών της Σύνθεση δυνάµεων (ή ροπών) για εύρεση της συνισταµένης δύναµης (ή ροπής) )

3 ΥΝΑΜΕΙΣ ιανυσµατικά µεγέθη, συµβολίζονται µε βέλη (είτε µε παχιά γράµµατα, βλ. βιβλίο) Χαρακτηρίζονται από: το σηµείο εφαρµογής, το µέτρο έ και την κατεύθυνση τους (ορίζεται από τη γραµµή δράσης (γωνία ως προς το σύστηµα αξόνων) και τη φορά του διανύσµατος) F10 N F10 N 30 ο 30 ο Α Α

4 ΥΝΑΜΕΙΣ inciple of Tansmissibility Ολίσθηση δύναµης πάνω σε ευθεία εφαρµογής της δεν αλλάζει το αποτέλεσµα της δράσης της πάνω στο στερεό σώµα. µ Μεταφορά δύναµης σε τυχαία διεύθυνση προκαλεί και ροπή στο στερεό σώµα. Πολλές δυνάµεις που δρουν σε ένα µόριο µπορούν να αντικατασταθούν µε τη συνισταµένη τους (σύνθεση) ή και το αντίστροφο (ανάλυση). Αυτό γίνεται γραφικά ή αναλυτικά.

5 ΥΝΑΜΕΙΣ Μεταφορά δύναµης σε τυχαία διεύθυνση προκαλεί και ροπή στο στερεό σώµα. Πολλές δυνάµεις που δρουν σε ένα µόριο µπορούν να αντικατασταθούν µε τησυνισταµένη τους (σύνθεση) ή και το αντίστροφο (ανάλυση). Αυτό γίνεται γραφικά ή αναλυτικά.

6 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΥΝΑΜΕΩΝ Μέγεθος και Κατεύθυνση F10 N F10 N Αντίρροπες δυνάµεις Ίσα και παράλληλα διανύσµατα Ζεύγος αντίρροπων διανυσµάτων Ίσα διανύσµατα (ίδιο µέτρο και ίδια κατεύθυνση) Αρνητικό διάνυσµα (ίδιο µέτρο και αντίθετη κατεύθυνση)

7 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΥΝΑΜΕΩΝ Συγγραµµικών Οµοεπίπεδων υνάµεις ασκούµενες σε αντιστήριγµα Οµοεπίπεδων & Παράλληλων Υποστήριξη δοκού σε σειρά κολώνων

8 Συστήµατα δυνάµεων Οµοεπίπεδων & Συντρεχουσών ικτύωµα στέγης Κολώνες Όχι Οµοεπίπεδων & Παράλληλων Πλάκα Πλά σκυροδέµατος Τµήµα τρισδιάστατου σκελετού Όχι Οµοεπίπεδων & Συντρεχουσών Υποπίεση ανέµου Φορτία χιονιού Ίδιο βάρος µόνιµα φορτία Υδροστατική πίεση Όχι Οµοεπίπεδων & Όχι Συντρεχουσών

9 ΒΑΣΙΚΟΙ ΝΟΜΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ 1. ΝΟΜΟΣ ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΟΥ ΓΙΑ ΤΗΝ ΣΥΝΘΕΣΗ ΥΝΑΜΕΩΝ Β C Ο θ φ* Α D OC : Συνισταµένη των ΟΑ και ΟΒ OC ΟΑ ΟΒ Νόµος συνηµιτόνων: Μέτρο OC OC ΟΑ ΟΒ OA OB cosθ Ή OC ΟΑ ΟΒ OA OB cosθ ιεύθυνση OC Tanφ* OB sinθ / (OA OB cosθ)

10 ΒΑΣΙΚΟΙ ΝΟΜΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ. ΣΥΝΘΕΣΗ ΥΝΑΜΕΩΝ ΜΕ ΥΝΑΜΟΠΟΛΥΓΩΝΟ (Μετάθεση δυνάµεων παράλληλα µε τη γραµµή κατεύθυνσης τους D* OD* : Συνισταµένη των ΟΑ,OB,OC, OD C* OD* ΟΑ ΟΒ OC OD D Ο C Β Α B* 1. Από το πέρας Α του ΟΑ φέρνω ΑΒ*//ΟΒ. Από το πέρας Β* του ΑΒ* φέρνω Β*C*//ΟC 3. Από το πέρας C* του Β*Α* φέρνω φρ C*D*//OD

11 ΒΑΣΙΚΟΙ ΝΟΜΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ 3. 1ος ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ ΝΕΥΤΩΝΑ: Α ΡΑΝΕΙΑ ΤΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ Εάν οι δυνάµειςµ του ενεργούν σε ένα σώµαµ ισορροπούν (δηλαδή η συνισταµένη τους είναι µηδέν) τότε το σώµα παραµένει ακίνητο (εάν ήταν ακίνητο αρχικά) ή κινείται µε σταθερή ταχύτητα σε ευθεία γραµµή (εάν κινιόταν µε την ίδια ταχύτητα πριν την επιβολή των δυνάµεων) 4. ος ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ ΝΕΥΤΩΝΑ: F m a a F / m Εάν το άθροισµα τωνδυνάµεων του ενεργούν σε ένα σώµα δεν είναι µηδέν, τότε προκαλείται κίνηση στη διεύθυνση της συνισταµένης των δυνάµεων F(ανάπτυξη επιτάχυνσης a)

12 ΒΑΣΙΚΟΙ ΝΟΜΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ 5. 3ος ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ ΝΕΥΤΩΝΑ: ΑΡΧΗ ΡΑΣΗΣ - ΑΝΤΙ ΡΑΣΗΣ Οι δυνάµεις που ασκούνται πάνω σε ένα σώµα βρίσκονται σε ισορροπία Π.χ. ΒΑΡΟΣ ΕΞΩΤΕΡΙΚΑ ΦΟΡΤΙΑ ΥΝΑΜΕΙΣ (ΑΝΤΙ ΡΑΣΕΙΣ) ΤΩΝ ΣΤΗΡΙΞΕΩΝ (δηλαδή η συνισταµένη των δυνάµεων έχει ίδιο µέτρο, ίδια διεύθυνση και αντίθετη φορά από τη συνισταµένη των αντιδράσεων)

13 ΒΑΣΙΚΟΙ ΝΟΜΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ 6. 4ος ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ ΝΕΥΤΩΝΑ: ΕΛΞΗ ΣΩΜΑΤΩΝ - ΒΑΡΥΤΗΤΑ ύο σώµατα µε µάζες Μ και m, που βρίσκονται σε απόσταση µεταξύ τους, έλκονται το ένα προς το άλλο µε ίσεςδυνάµεις, αντίθετης κατεύθυνσης (F και F) και µέτρο F ίσο µε: GMm F Όπου G σταθερή ταχύτητα Κύρια εφαρµογή η έλξη που ασκεί η γη σε κάθε σώµα ( Βάρος σώµατος). Θεωρώντας Μ µάζα της γης, m µάζα σώµατος, και R ακτίνα της γης, τότε έχοµε τη σταθερή της βαρύτητας: GM g 9.81m / sec και W R gm

14 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΣΥΝΤΡΕΧΟΥΣΩΝ ΥΝΑΜΕΩΝ ( υνάµεων µε το ίδιο σηµείο εφαρµογής) Α Α θ Β φ R φ Β R C R Κανόνας παραλληλογράµµου Ισχύει ο νόµος µεταθετικότητας R Κανόνας πολυγώνου (δυναµοπολύγωνο) C Νόµος συνηµιτόνων R ή R Νόµος ηµιτόνων cosϕ cosθ sin A sin B sin C R

15 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΣΥΝΤΡΕΧΟΥΣΩΝ ΥΝΑΜΕΩΝ ( υνάµεων µε το ίδιο σηµείο εφαρµογής) R 3 3ΝΝ 4 4ΝΝ Παράδειγµα κάθετων δυνάµεων: R Οχι 3 R 4 7N 5N ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΣΥΝΤΡΕΧΟΥΣΩΝ ΥΝΑΜΕΩΝ (Πρόσθεση όθ αντίστοιχου αρνητικού διανύσµατος) ) (-) - - ( )

16 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΣΥΝΤΡΕΧΟΥΣΩΝ ΥΝΑΜΕΩΝ ( υνάµεων µε τον ίδιο φορέα) Άθροιση τριών ή και παραπάνω διανυσµάτων ( υνάµεων µε τον ίδιο φορέα) S S S S S S ) ( ) ( S S S S S S S S S S S

17 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ ΜΕ ΒΑΘΜΩΤΟ ΜΕΓΕΘΟΣ Πολλαπλασιασµός διανύσµατος µεαριθµό u: ιάνυσµα µε την ίδια διεύθυνση όπως το εάν το u είναι θετικό ή αντίθετη διεύθυνση εάν το u είναι αρνητικό ρη και µε µέτρο ρ ίσοµεµ τοµέτροµ επί την απόλυτη τιµή τουu u1.5 u-

18 ΑΝΑΛΥΣΗ ΥΝΑΜΗΣ ΣΕ ΥΟ ΣΥΝΙΣΤΩΣΕΣ F F F Ανάλυση µιας δύναµης F σε δύο συνιστώσες µε χρήση του κανόνα παραλληλογράµµου (γραφικά ή αναλυτικά). Ζύ Ζεύγη συνιστωσών µιας δύναµης µπορεί ί να είναι άπειρα. Συνήθεις Περιπτώσεις 1. Μία από τις δύο συνιστώσες (π.χ. χ ) είναι γνωστή. Η δεύτερη συνιστώσα βρίσκεται µε εφαρµογή του κανόνα του τριγώνου ργ που συνδέει το άκρο της µε το άκρο της F. Προσδιορισµός µέτρου γραφικά ή µετριγωνοµετρία.. Είναι γνωστές οι διευθύνσεις και των δύο συνιστωσών Εφαρµογή νόµου του παραλληλογράµµου που σχηµατίζεται, σχεδιάζοντας γραµµές που περνούν από το άκρο της F και είναι παράλληλες στις δοσµένες γραµµές εφαρµογής.

19 Λυµένη άσκηση 1 ΛΥΣΗ: Γραφική µε χρήση του κανόνα του παραλληλογράµµου ή δυναµοπολυγώνου µε σχεδίαση υπό κλίµακα. Εύρεση της συνισταµένης των δύο δυνάµεων πάνω στη βίδα στο A. Αναλυτική µε χρήση τριγωνοµετρίας και του κανόνα του παραλληλογράµµου ή δυναµοπολυγώνου. µ

20 Λυµένη άσκηση 1 Γραφική λύση µε χρήση του κανόνα του παραλληλογράµµου µε σχεδίαση υπό κλίµακα. των και, οπότε υπολογίζεται µε κλιµακόµετρο και µοιρογνωµόνιο ό η R: R 98 N α 35 Τριγωνοµετρική λύση µε νόµο συνηµιτόνων R (40N) cosθ R 98N (60N) (40N)(60N)cos 5 Γραφική λύση µε χρήση του κανόνα του δυναµοπολυγώνου µε σχεδίαση υπό κλίµακα. των και, οπότε υπολογίζεται µε κλιµακόµετρο και µοιρογνωµόνιο η R: R 98 N α 35 o

21 Λυµένη άσκηση 1 Τριγωνοµετρική λύση µε νόµος συνηµιτόνων: R cos B ( 40N) ( 60N) ( 40N)( 60N) cos155 R 97.73N και νόµο ηµιτόνων: sin A sin B R sin A sin B R sin155 A α 0 A α N 97.73N

22 Λυµένη άσκηση ΑΝΑΛΥΣΗ ΥΝΑΜΗΣ: Συνισταµένη 5000 Ν πάνω στην ευθεία. a) Εύρεση δυνάµεων στα δυο σκοινιά όταν α 45 o, b) Εύρεση γωνίας α για ελάχιστη δύναµη στο σκοινί.

23 Λυµένη άσκηση Γωνία α45 και συνισταµένη 5000 Ν Εύρεση δυνάµεων στα δύο ρυµουλκά: Γραφική λύση: T N T 600N Τριγωνοµετρική λύση: κατασκευάζοµε το Ν τρίγωνο ργ των δυνάµεων µ (µισό παράλληλόγραµµο) και εφαρµόζοµε το νόµο των ηµιτόνων Ν T 1 T 5000 N sin 45 sin30 sin N 5000 N T1 sin 45, T sin 30 sin 105 sin 105 T N T 590 N

24 Λυµένη άσκηση Εύρεση της γωνίας α για την οποία έχω την ελάχιστη δύναµη στο σκοινί! Ν Επειδή ο άξονας εφαρµογής της δύναµης στο σκοινί 1 είναι δεδοµένος σχεδιάζοντας διάφορα δυναµοτρίγωνα, προκύπτει ότι το ζητούµενο επιτυγχάνεται όταν οι ευθείες των T 1 και T είναι κάθετες µεταξύ τους! T ( 5000 N) sin 30 T 500 N Ν T 1 ( 5000 N ) cos30 30 T N T 1 α α 60