Διαφορικές Μορφές. Παναγιώτης Γ. Λαμπρόπουλος 22 Μαρτίου ενός n διάστατου διανυσματικού χώρου V ορίζει προσανατολισμό. Μία άλλη βάση wi = Aei

Transcript

1 Ταυστική Άλγεβρα Διαφορικές Μορφές Πααγιώτης Γ. Λαπρόπουλος Μαρτίου 005 Μία διατεταγέη βάση e,..., e εός διάστατου διαυσατικού χώρου V ορίζει προσαατολισό. Μία άλλη βάση wi = Aei διατηρεί το προσαατολισό εά η ορίζουσα του Α είαι θετική και σε αυτή τη περίπτωση η βάση { w i } οοάζεται προσαατολισέη. Κάθε χώρος έχει δύο προσαατολισούς, έα για θετική ορίζουσα και έα για αρητική.. Πολλαπλότητες και τοπικά συστήατα συτεταγέω Έστω Μ ία διάστατη, λεία, προσαατολισέη πολλαπλότητα χωρίς σύορο. Τότε τοπικά, σε κάθε σηείο x0 M, υπάρχει ία γειτοιά που πορεί α απεικοιστεί διαφοροορφικά σε ία περιοχή του διάστατου Ευκλείδιου χώρου ε συτεταγέες x, όπου =,...,. Ακολούθως θα δώσουε ερικές χρήσιες εκφράσεις σε αυτό το τοπικό χάρτη ε αυτές τις συτεταγέες.. Εφαπτόεος και Συεφαπτόεος χώρος Ο εφαπτόεος χώρος Tx 0 M στο σηείο x0 M είαι έας διαυσατικός χώρος που παράγεται από τους γεήτορες βάσης: e x = = (.) (coordiate base). Έα εφαπτόεο διάυσα υ πορεί α παρασταθεί από ία άδα υ, π.χ. υ = υ e (.) * Ο συεφαπτόεος χώρος T x M στο σηείο 0 x0 M ο διαυσατικός χώρος τω γραικώ απεικοίσεω a: Tx M, υ 0 α,υ και παράγεται από τους γεήτορες βάσης: ω = dx (.3) (Coordiate base). Αυτή η βάση είαι δυϊκή της e ε τη έοια ότι ω,e = δ (.4) Έα συεφαπτόεο διάυσα α πορεί α ααπαρασταθεί ε τη αδα a. Τότε a = aω (.5)

2 και α, υ = αω (.6) (Γίεται άθροιση ως προς επααλαβαόεους δείκτες.).3 Ταυστές τύπου (,) Έας ταυστής (,) είαι ία πραγατική πολυγραική απεικόιση Α Τ Μ Τ Μ Τ Μ Τ Μ * * : x x x x (.7) φορές φορ ές Μία βάση στο διαυσατικό χώρο τω ταυστώ τύπου (,) πορεί α οριστεί ως e e ω ω (.8) Τότε έας ταυστής ααπαρίσταται ε τις συιστώσες Έτσι ώστε A (.9) A= A e e (.0) ω ω.4 Μετρική Riema Μία ετρική Riema είαι έας συετρικός ταυστής τύπου (0,) του οποίου οι συιστώσες δίοται από έα συετρικό, η τετριέο, θετικά ορισέο πίακα g. Η ευκλείδεια ετρική είαι εά = g = δ = (.) 0 εά Η ετρική Riema ορίζει το εσωτερικό γιόεο διαυσάτω ( uw, ) = g uw και forms ( α, β) = g αβ Όπου g ο ατίστροφος πίακας του g. Επιπλέο ορίζει έα ισοορφισό αάεσα στα εφαπτόεα αύσατα και τις forms α = gυ, υ = g α. Παρόοια ορίζεται και η διαδικασία αύψωσης και κατεβάσατος δεικτώ για κάθε ταυστή.

3 ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ Έας ταυστής (0,s) οοάζεται ατισυετρικός έα αλλάζει πρόσηο ότα η σειρά δύο οποιωδήποτε δεικτώ αλλάξει, π.χ. α... i... j... = a... j... i... (.) Οι ατισυετρικοί ταυστές τύπου (0,), που οοάζοται forms ή διαφορικές ορφές, αποτελού υπόχωρο του * * Τx Μ Τ 0 x Μ (.) 0 φορές Για λόγους απλότητας θα το συβολίζουε ε Λ. Έστω S η οάδα εταθέσεω τω ακεραίω (,...,). Η υπογραφή sg(σ) ιας ατιετάθεσης σ = S ορίζεται + εά η σ είαι σ() σ( ) άρτια και εά είαι περιττή. Τότε για κάθε form ισχύει a ()... sg( ) a σ = σ σ ( )... Έτσι ία form α δίεται από τις συιστώσες a... όπου < <... < < (.3) Οι άλλες συιστώσες δίοται από τη συετρία. Αλλά η συετρία δε δίει σχέσεις εταξύ συιστωσώ ε αυξαόεους δείκτες. Έτσι καθίσταται προφαές ότι η διάσταση του χώρου τω forms σε ία διάστατη πολλαπλότητα Μ είαι dim Λ = (.4) για κάθε 0 και είαι 0 για κάθε >. Με άλλα λόγια, Λ {} = 0 εά > και η Λ0 είαι οοδιάστατη για = 0 και =..5 Εξωτερικό γιόεο Για κάθε ταυστή (0,) ορίζουε έα τελεστή εαλλαγής ή ατισυετρικοποίησης Alt. Με όρους συιστωσώ η ατισυετρικότητα θα υποδηλώεται ε αγκύλες [ ], π.χ. ( AltT )... =Τ [... ] sg( ) ()..., = T σ (.5) ( )! σ σ σ S και η άθροιση γίεται για! εταθέσεις του (,...,). Αφού το ταυστικό γιόεο δύο ατισυετρικώ ταυστώ δε είαι ατισυετρικός ταυστής για α οριστεί η άλγεβρα τω ατισυετρικώ ταυστώ πρέπει α ορίσουε έα ατισυετρικό ταυστικό γιόεο που οοάζεται εξωτερικό (exterior ή wedge) γιόεο. Εά α είαι form και β form τότε το εξωτερικό γιόεο τω α και β είαι ( + ) form και ορίζεται ως 3

4 ( + )! a β = Alt( α β) (.6)!! ( + )! και ε όρους συιστωσώ ( α β)... + = a [... β... ]!! + +. Το εξωτερικό γιόεο έχει τις εξής ιδιότητες: ( α β) γ = α ( β γ) (προσεταιριστικότητα) = ( ) (η εταθετικότητα) ( α + β) γ = α γ + β γ (επιεριστικότητα) deg( α)deg( β) α β β α, όπου deg(α)= ο βαθός ίας form α. Μία form πορεί α παρασταθεί ισοδύαα σα α = α ω ω... = α... ω ω! = α... ω ω <... < (.7) Το εξωτερικό γιόεο ίας form α και ίας form β είαι: α β = a[... β... ] ω ω + (.8) + +!!.6 Στοιχειώδης όγκος Η form ε = ω... ω οοάζεται στοιχείο όγκου. Οι συιστώσες ε... δίοται από το πλήρως ατισυετρικό σύβολο Levi Civita m + εά (,..., ) άρτια ετάθεση τω (,...,) ε... = εά (,..., ) περιττή ετάθεση τω (,...,) m (.9) 0 αλλιώς Επιπλέο, ο χώρος Λ τω forms είαι οοδιάστατος. Έτσι ια form α ααπαρίσταται ως α = f ω... ω ε κάποιο βαθωτό f. H form g ω... ω (.0), όπου g = det g και g η ετρική Riema, οοάζεται στοιχειώδης όγκος Riema..7 Εσωτερικό γιόεο Το εσωτερικό γιόεο εός διαύσατος υ και ίας form α είαι ία ( ) form και ορίζεται ως ( iυα) = υ α Μπορεί α ( )! αποδειχτεί ξ εξής χρήσιη σχέση i α β = i α β + α i β (.) ( ) ( ) ( ) ( ) υ υ υ 4

5 .8 Hodge Star Duality Oerator Ο τελεστής απεικοίζει ια form σε ία ( ) form α που ορλιζεται ως: ( ) α = ε gg g α... (.) + +! Ο τελεστής ικαοποιεί τη εξής πολύ σηατική ιδιότητα: ( ) ( ) α = α (.3) Σηείωση: Εά άρτιο τότε = για κάθε. Τελος, ( α β) = α β α ( β) = α β (Να αποδειχθεί.) Εξωτερικός λογισός.9 Εξωτερική Παράγωγος (Βαθίδα) (.4) Η εξωτερική παράγωγος ίας form είαι ία (+) form ε συιστώσες: ( dα)... = ( + ) [ α ] + (3.) = ( ) α = Είαι ία γραική απεικόιση που ικαοποιεί τις συθήκες: deg( α) d( α β) = dα β + ( ) α dβ (3.) d = 0 Για κάθε form α ( form ε τάξη ίση ε τη διάσταση της πολλαπλότητας) η εξωτερική παράγωγος dα = 0..0 Συ παράγωγος (Απόκλιση) Με δεδοέη ία ετρική Riema g πορούε α ορίσουε τη συπαράγωγο ίας διαφορικής ορφής ως ( ) ( ) + d + δ = = ( d ) (3.3) Η συ παράγωγος ίας διαφορικής ορφής είαι η ( ) form: + + ( ) δα = ε gg g g ( +! ) (3.4) λ λ ( + ) ε gg... g α λ... λ! Είαι εύκολο α δειχτεί ότι αφού = ± και d = 0, ισχύει δ = 0. 5

6 Από το παραπάω ορισό πορούε α δούε ότι για κάθε 0-form f (συάρτηση), η f είαι -form και έτσι d f = 0 και εποέως δ f = 0 (3.5) Για ία -form, η δα είαι 0-form δα = ( gg α) g (3.6) Γεικότερα αποδεικύεται ότι για -form α λ λ ( ) λ δα... = g... (... g g g g ) γ α λλ... λ g (3.7). Ολοκλήρωση διαφορικώ ορφώ Κάθε -form πορεί α ολοκληρωθεί πάω σε ία -διάστατη πολλαπλότητα Μ. Είαι απαραίτητο όως α έχουε εισάγει έα άτλατα τοπικώ χαρτώ ε τοπικές συτεταγέες που καλύπτου όλη τη πολλαπλότητα. Για λόγους απλότητας στη παρούσα ελέτη θα ασχοληθούε ε ολοκληρώατα πάω σε έα όο χάρτη. Έτσι θα έχουε τις συτεταγέες x που απεικοίζου ία περιοχή της πολλαπλότητας σε ία φραγέη περιοχή στο Ευκλείδειο χώρο. Αυτή η περιοχή υποτίθεται ότι έχει κάποιο όριο. Τότε το ολοκλήρωα α = α... dx... dx (3.8), είαι έα σύηθες πολλαπλό ολοκλήρωα στις συτεταγέες συήθης συβολισός α = α... ( xdx )... dx. x,..., x και ισχύει ο Γεικότερα κάθε -form πορεί α ολοκληρωθεί σε ία -διάστατη υποπολλαπλότητα Ν ίας -διάστατης πολλαπλότητας Μ. Αφού και η Ν είαι από όη της πολλαπλότητα αυτή η περίπτωση αάγεται στη αωτέρω. Με άλλα λόγια εξαρτάται η ολοκληρωσιότητα από τη εβάπτιση της Ν στη Μ. Εά x = ( x ) = ( x,..., x ), =,..., είαι οι τοπικές συταγέες στη πολλαπλότητα Μ και ( j u = u ) = ( u,..., u ), j =,...,, οι τοπικές συτεταγέες στη υποπολλαπλότητα Ν, τότε [ ] x x α = α ( )... x( u)... du... du N (3.9) Ν u u Το γεικό θεώρηα του Stokes λέει ότι για κάθε λεία (-)-form α που ορίζεται επί φραγέης περιοχής ίας -διάστατης πολλαπλότητας Μ, έ έα απλά συεκτικό λείο όριο ισχύει η εξής έκφραση dα = α (3.0) Εδώ υποθέσαε ότι ο προσαατολισός του είαι συεπής ε το προσαατολισό της. Η ίδια σχέση ισχύει και για προσαατολισέες πολλαπλότητες ε όριο. 6