Γραμμική Ανεξαρτησία. Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Τηλεπικοινωνιών και ικτύων Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας. 17 Μαρτίου 2013, Βόλος
|
|
|
- Ηιονη Φραγκούδης
- 8 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Γραμμικές Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις Ανώτερης Τάξης Γραμμικές Σ Ε 2ης τάξης Σ Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία Μανόλης Βάβαλης Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Τηλεπικοινωνιών και ικτύων Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας 17 Μαρτίου 2013, Βόλος
2 Γραμμικές Σ Ε 2ης τάξης A(x)y + B(x)y + C(x)y = F(x).
3 Γραμμικές Σ Ε 2ης τάξης ή A(x)y + B(x)y + C(x)y = F(x). y + p(x)y + q(x)y = f(x). (1)
4 Γραμμικές Σ Ε 2ης τάξης A(x)y + B(x)y + C(x)y = F(x). ή y + p(x)y + q(x)y = f(x). (1) Ομογενής γραμμική εξίσωση όταν f(x) = 0.
5 Παραδείγματα y + k 2 y = 0 υο λύσεις: y 1 = cos kx, y 2 = sin kx. y k 2 y = 0 υο λύσεις: y 1 = e kx, y 2 = e kx.
6 Θεώρημα Υπέρθεσης Αν y 1 και y 2 είναι δύο λύσεις της ομογενούς εξίσωσης τότε η y(x) = C 1 y 1 (x) + C 2 y 2 (x), είναι επίσης λύση της, για οποιεσδήποτε σταθερές C 1 και C 2. Μπορούμε να προσθέσουμε λύσεις (ή να πολλαπλασιάσουμε λύσεις με κάποιον αριθμό) και το αποτέλεσμα να είναι επίσης λύση.
7 Θεώρημα Υπέρθεσης - Απόδειξη Εστω y = C 1 y 1 + C 2 y 2. Τότε y + py + qy = (C 1 y 1 + C 2 y 2 ) + p(c 1 y 1 + C 2 y 2 ) + q(c 1 y 1 + C 2 y 2 ) = C 1 y 1 + C 2y 2 + C 1py 1 + C 2py 2 + C 1qy 1 + C 2 qy 2 = C 1 (y 1 + py 1 + qy 1) + C 2 (y 2 + py 2 + qy 2) = C C 2 0 = 0
8 Θεώρημα Υπαρξης και Μοναδικότητας Εστω ότι οι p, q, f είναι συνεχείς συναρτήσεις και ότι οι a, b 0, b 1 είναι σταθερές. Η εξίσωση y + p(x)y + q(x)y = f(x), έχει ακριβώς μια λύση y(x) η οποία ικανοποιεί τις εξής αρχικές συνθήκες y(a) = b 0 y (a) = b 1.
9 Θεώρημα Υπαρξης και Μοναδικότητας Εστω ότι οι p, q, f είναι συνεχείς συναρτήσεις και ότι οι a, b 0, b 1 είναι σταθερές. Η εξίσωση y + p(x)y + q(x)y = f(x), έχει ακριβώς μια λύση y(x) η οποία ικανοποιεί τις εξής αρχικές συνθήκες y(a) = b 0 y (a) = b 1. Παραδείγματα, y + y = 0 με y(0) = b 0 και y (0) = b 1 y(x) = b 0 cos x + b 1 sin x. y y = 0 με y(0) = b 0 και y (0) = b 1 y(x) = b 0 cosh x + b 1 sinh x.
10 Σ Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές y 6y + 8y = 0, y(0) = 2, y (0) = 6.
11 Σ Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές y 6y + 8y = 0, y(0) = 2, y (0) = 6. Μαντεψιά: y = e rx. Τ οτε y = re rx και y = r 2 e rx
12 Σ Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές y 6y + 8y = 0, y(0) = 2, y (0) = 6. Μαντεψιά: y = e rx. Τ οτε y = re rx και y = r 2 e rx y 6y + 8y = 0, r 2 e rx 6re rx + 8e rx = 0, r 2 6r + 8 = 0, (r 2)(r 4) = 0.
13 Σ Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές y 6y + 8y = 0, y(0) = 2, y (0) = 6. Μαντεψιά: y = e rx. Τ οτε y = re rx και y = r 2 e rx y 1 = e 2x και y 2 = e 4x. y 6y + 8y = 0, r 2 e rx 6re rx + 8e rx = 0, r 2 6r + 8 = 0, (r 2)(r 4) = 0.
14 Σ Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές y 6y + 8y = 0, y(0) = 2, y (0) = 6. Μαντεψιά: y = e rx. Τ οτε y = re rx και y = r 2 e rx y 1 = e 2x και y 2 = e 4x. y 6y + 8y = 0, r 2 e rx 6re rx + 8e rx = 0, r 2 6r + 8 = 0, (r 2)(r 4) = 0. y = C 1 e 2x + C 2 e 4x.
15 Σ Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές y 6y + 8y = 0, y(0) = 2, y (0) = 6. Μαντεψιά: y = e rx. Τ οτε y = re rx και y = r 2 e rx y 1 = e 2x και y 2 = e 4x. y 6y + 8y = 0, r 2 e rx 6re rx + 8e rx = 0, r 2 6r + 8 = 0, (r 2)(r 4) = 0. y = C 1 e 2x + C 2 e 4x. 2 = y(0) = C 1 + C 2, 6 = y (0) = 2C 1 + 4C 2.
16 Σ Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές y 6y + 8y = 0, y(0) = 2, y (0) = 6. Μαντεψιά: y = e rx. Τ οτε y = re rx και y = r 2 e rx y 1 = e 2x και y 2 = e 4x. y 6y + 8y = 0, r 2 e rx 6re rx + 8e rx = 0, r 2 6r + 8 = 0, (r 2)(r 4) = 0. y = C 1 e 2x + C 2 e 4x. 2 = y(0) = C 1 + C 2, 6 = y (0) = 2C 1 + 4C 2. y = 7e 2x + 5e 4x.
17 Παράδειγμα y 6y + 8y = 0, y(0) = 2, y (0) = 6.
18 Παράδειγμα y 6y + 8y = 0, y(0) = 2, y (0) = 6. Μαντεψιά: y = e rx. Τότε y = re rx και y = r 2 e rx
19 Παράδειγμα y 6y + 8y = 0, y(0) = 2, y (0) = 6. Μαντεψιά: y = e rx. Τότε y = re rx και y = r 2 e rx y 6y + 8y = 0, r 2 e rx 6re rx + 8e rx = 0, r 2 6r + 8 = 0, (r 2)(r 4) = 0.
20 Παράδειγμα y 6y + 8y = 0, y(0) = 2, y (0) = 6. Μαντεψιά: y = e rx. Τότε y = re rx και y = r 2 e rx y 1 = e 2x και y 2 = e 4x. y 6y + 8y = 0, r 2 e rx 6re rx + 8e rx = 0, r 2 6r + 8 = 0, (r 2)(r 4) = 0.
21 Παράδειγμα y 6y + 8y = 0, y(0) = 2, y (0) = 6. Μαντεψιά: y = e rx. Τότε y = re rx και y = r 2 e rx y 1 = e 2x και y 2 = e 4x. y 6y + 8y = 0, r 2 e rx 6re rx + 8e rx = 0, r 2 6r + 8 = 0, (r 2)(r 4) = 0. y = C 1 e 2x + C 2 e 4x.
22 Παράδειγμα y 6y + 8y = 0, y(0) = 2, y (0) = 6. Μαντεψιά: y = e rx. Τότε y = re rx και y = r 2 e rx y 1 = e 2x και y 2 = e 4x. y 6y + 8y = 0, r 2 e rx 6re rx + 8e rx = 0, r 2 6r + 8 = 0, (r 2)(r 4) = 0. y = C 1 e 2x + C 2 e 4x. 2 = y(0) = C 1 + C 2, 6 = y (0) = 2C 1 + 4C 2.
23 Παράδειγμα y 6y + 8y = 0, y(0) = 2, y (0) = 6. Μαντεψιά: y = e rx. Τότε y = re rx και y = r 2 e rx y 1 = e 2x και y 2 = e 4x. y 6y + 8y = 0, r 2 e rx 6re rx + 8e rx = 0, r 2 6r + 8 = 0, (r 2)(r 4) = 0. y = C 1 e 2x + C 2 e 4x. 2 = y(0) = C 1 + C 2, 6 = y (0) = 2C 1 + 4C 2. y = 7e 2x + 5e 4x.
24 Γενικά ay + by + cy = 0
25 Γενικά ay + by + cy = 0 Μαντεψιά y = e rx ar 2 e rx + bre rx + ce rx = 0.
26 Γενικά ay + by + cy = 0 Μαντεψιά y = e rx ar 2 e rx + bre rx + ce rx = 0. χαρακτηριστική εξίσωση ar 2 + br + c = 0.
27 Γενικά ay + by + cy = 0 Μαντεψιά y = e rx ar 2 e rx + bre rx + ce rx = 0. χαρακτηριστική εξίσωση ar 2 + br + c = 0. Θεώρημα: Εστω r 1 και r 2 οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης. (i) Αν r 1 r 2 R y = C 1 e r 1x + C2 e r2x. (ii) Αν r 1 = r 2 R y = (C 1 + C 2 x) e r1x.
28 Παραδείγματα y k 2 y = 0
29 Παραδείγματα y k 2 y = 0 r 2 k 2 = 0
30 Παραδείγματα y k 2 y = 0 r 2 k 2 = 0 y = C 1 e kx + C 2 e kx
31 Παραδείγματα y k 2 y = 0 r 2 k 2 = 0 y = C 1 e kx + C 2 e kx y 8y + 16y = 0
32 Παραδείγματα y k 2 y = 0 r 2 k 2 = 0 y = C 1 e kx + C 2 e kx y 8y + 16y = 0 r 2 8r + 16 = (r 4) 2 = 0
33 Παραδείγματα y k 2 y = 0 r 2 k 2 = 0 y = C 1 e kx + C 2 e kx y 8y + 16y = 0 r 2 8r + 16 = (r 4) 2 = 0 y = (C 1 + C 2 x) e 4x = C 1 e 4x + C 2 xe 4x.
34 Παραδείγματα y k 2 y = 0 r 2 k 2 = 0 y = C 1 e kx + C 2 e kx y 8y + 16y = 0 r 2 8r + 16 = (r 4) 2 = 0 y = (C 1 + C 2 x) e 4x = C 1 e 4x + C 2 xe 4x. Είναι οι e 4x και xe 4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις;
35 Παραδείγματα y k 2 y = 0 r 2 k 2 = 0 y = C 1 e kx + C 2 e kx y 8y + 16y = 0 r 2 8r + 16 = (r 4) 2 = 0 y = (C 1 + C 2 x) e 4x = C 1 e 4x + C 2 xe 4x. Είναι οι e 4x και xe 4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις; y = xe 4x y = e 4x + 4xe 4x, y = 8e 4x + 16xe 4x
36 Παραδείγματα y k 2 y = 0 r 2 k 2 = 0 y = C 1 e kx + C 2 e kx y 8y + 16y = 0 r 2 8r + 16 = (r 4) 2 = 0 y = (C 1 + C 2 x) e 4x = C 1 e 4x + C 2 xe 4x. Είναι οι e 4x και xe 4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις; y = xe 4x y = e 4x + 4xe 4x, y = 8e 4x + 16xe 4x y 8y +16y = 8e 4x +16xe 4x 8(e 4x +4xe 4x ) +16xe 4x = 0
37 Παραδείγματα y k 2 y = 0 r 2 k 2 = 0 y = C 1 e kx + C 2 e kx y 8y + 16y = 0 r 2 8r + 16 = (r 4) 2 = 0 y = (C 1 + C 2 x) e 4x = C 1 e 4x + C 2 xe 4x. Είναι οι e 4x και xe 4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις; y = xe 4x y = e 4x + 4xe 4x, y = 8e 4x + 16xe 4x y 8y +16y = 8e 4x +16xe 4x 8(e 4x +4xe 4x ) +16xe 4x = 0 xe 4x = Ce 4x
38 Παραδείγματα y k 2 y = 0 r 2 k 2 = 0 y = C 1 e kx + C 2 e kx y 8y + 16y = 0 r 2 8r + 16 = (r 4) 2 = 0 y = (C 1 + C 2 x) e 4x = C 1 e 4x + C 2 xe 4x. Είναι οι e 4x και xe 4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις; y = xe 4x y = e 4x + 4xe 4x, y = 8e 4x + 16xe 4x y 8y +16y = 8e 4x +16xe 4x 8(e 4x +4xe 4x ) +16xe 4x = 0 xe 4x = Ce 4x x = C
39 Παρατηρήσεις 1. Η περίπτωση να έχουμε διπλή ρίζα είναι εξαιρετικά σπάνιο στην πράξη.
40 Παρατηρήσεις 1. Η περίπτωση να έχουμε διπλή ρίζα είναι εξαιρετικά σπάνιο στην πράξη. 2. Γιατί η xe rx είναι λύση;
41 Παρατηρήσεις 1. Η περίπτωση να έχουμε διπλή ρίζα είναι εξαιρετικά σπάνιο στην πράξη. 2. Γιατί η xe rx είναι λύση; Εστω r 1 r 2 τότε er 2 x e r 1 x r 2 r 1 είναι μια λύση.
42 Παρατηρήσεις 1. Η περίπτωση να έχουμε διπλή ρίζα είναι εξαιρετικά σπάνιο στην πράξη. 2. Γιατί η xe rx είναι λύση; Εστω r 1 r 2 τότε er 2 x e r 1 x r 2 r 1 είναι μια λύση. Όταν r 1 r 2 τότε er 2 x e r 1 x r 2 r 1 (e rx ) = xe rx, επίσης λύση.
43 Τύπος του Euler e iθ = cos θ + i sin θ e iθ = cos θ i sin θ.
44 Μιγαδικές ρίζες ar 2 + br + c = 0 με b 2 4ac <0 r 1,2 = b 2a ± i b 2 4ac 2a
45 Μιγαδικές ρίζες ar 2 + br + c = 0 με b 2 4ac <0 r 1,2 = b 2a ± i b 2 4ac 2a y = C 1 e (α+iβ)x + C 2 e (α iβ)x.
46 Μιγαδικές ρίζες ar 2 + br + c = 0 με b 2 4ac <0 r 1,2 = b 2a ± i b 2 4ac 2a y = C 1 e (α+iβ)x + C 2 e (α iβ)x. Θέτοντας y 1 = e (α+iβ)x και y 2 = e (α iβ)x έχουμε y 1 = e αx cos βx + ie αx sin βx, y 2 = e αx cos βx ie αx sin βx.
47 Μιγαδικές ρίζες ar 2 + br + c = 0 με b 2 4ac <0 r 1,2 = b 2a ± i b 2 4ac 2a y = C 1 e (α+iβ)x + C 2 e (α iβ)x. Θέτοντας y 1 = e (α+iβ)x και y 2 = e (α iβ)x έχουμε y 1 = e αx cos βx + ie αx sin βx, y 2 = e αx cos βx ie αx sin βx. Κάθε γραμμικός συνδυασμός λύσεων είναι και αυτός λύση. y 3 = y 1 + y 2 = e 2 αx cos βx, y 4 = y 1 y 2 = e 2i αx sin βx.
48 Θεώρημα Θεώρημα Αν οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης της διαφορικής εξίσωσης ay + by + cy = 0. είναι οι α ± iβ, τότε η γενική της λύση είναι y = C 1 e αx cos βx + C 2 e αx sin βx.
49 Παράδειγμα y + k 2 y = 0 k >0.
50 Παράδειγμα y + k 2 y = 0 k >0. Χαρακτηριστική εξίσωση r 2 + k 2 = 0 Ρίζες r = ±ik Γενική λύση y = C 1 cos kx + C 2 sin kx.
51 Παράδειγμα y 6y + 13y = 0, y(0) = 0 y (0) = 10.
52 Παράδειγμα y 6y + 13y = 0, y(0) = 0 y (0) = 10. Χαρακτηριστική εξίσωση r 2 6r + 13 = 0 με ρίζες r = 3 ± 2i και γενική λύση y = C 1 e 3x cos 2x + C 2 e 3x sin 2x
53 Παράδειγμα y 6y + 13y = 0, y(0) = 0 y (0) = 10. Χαρακτηριστική εξίσωση r 2 6r + 13 = 0 με ρίζες r = 3 ± 2i και γενική λύση y = C 1 e 3x cos 2x + C 2 e 3x sin 2x 0 = y(0) = C 1 e 0 cos 0 + C 2 e 0 sin 0 = C 1 Άρα C 1 = 0 συνεπώς y = C 2 e 3x sin 2x οπότε y = 3C 2 e 3x sin 2x + 2C 2 e 3x cos 2x
54 Παράδειγμα y 6y + 13y = 0, y(0) = 0 y (0) = 10. Χαρακτηριστική εξίσωση r 2 6r + 13 = 0 με ρίζες r = 3 ± 2i και γενική λύση y = C 1 e 3x cos 2x + C 2 e 3x sin 2x 0 = y(0) = C 1 e 0 cos 0 + C 2 e 0 sin 0 = C 1 Άρα C 1 = 0 συνεπώς y = C 2 e 3x sin 2x οπότε y = 3C 2 e 3x sin 2x + 2C 2 e 3x cos 2x 10 = y (0) = 2C 2, ή C 2 = 5. Άρα y = 5e 3x sin 2x
55 Γραμμικές Σ Ε υψηλότερης τάξης y (n) + p n 1 (x)y (n 1) + + p 1 (x)y + p 0 (x)y = 0. (2)
56 Γραμμικές Σ Ε υψηλότερης τάξης y (n) + p n 1 (x)y (n 1) + + p 1 (x)y + p 0 (x)y = 0. (2) Θεώρημα Υπέρθεσης Εάν y 1, y 2,..., y n είναι λύσεις της ομογενούς εξίσωσης, τότε η y(x) = C 1 y 1 (x) + C 2 y 2 (x) + + C n y n (x), είναι επίσης λύση για οποιεσδήποτε C 1,..., C n.
57 Γραμμικές Σ Ε υψηλότερης τάξης y (n) + p n 1 (x)y (n 1) + + p 1 (x)y + p 0 (x)y = 0. (2) Θεώρημα Υπέρθεσης Εάν y 1, y 2,..., y n είναι λύσεις της ομογενούς εξίσωσης, τότε η y(x) = C 1 y 1 (x) + C 2 y 2 (x) + + C n y n (x), είναι επίσης λύση για οποιεσδήποτε C 1,..., C n. Θεώρημα Υπαρξης και Μοναδικότητας Εστω ότι οι συναρτήσεις p 0, p 1,..., p n 1, και f είναι συνεχείς και οι a, b 0, b 1,..., b n 1 είναι σταθερές. Η εξίσωση y (n) + p n 1 (x)y (n 1) + + p 1 (x)y + p 0 (x)y = f(x),. έχει ακριβώς μια λύση y(x) οι οποία ικανοποιεί τις παρακάτω αρχικές συνθήκες y(a) = b 0, y (a) = b 1,..., y (n 1 )(a) = b n 1.
58 Γραμμική Ανεξαρτησία Ορισμός y 1, y 2,..., y n είναι γραμμικά ανεξάρτητες αν η εξίσωση c 1 y 1 + c 2 y c n y n = 0, έχει μόνον την τετριμμένη λύση c 1 = c 2 = = c n = 0.
59 Παράδειγμα Είναι οι e x, e x, cosh(x) γραμμικά ανεξάρτητες;
60 Παράδειγμα Είναι οι e x, e x, cosh(x) γραμμικά ανεξάρτητες; sinh x = ex e x 2
61 Παράδειγμα Είναι οι e x, e 2x, e 3x γραμμικά ανεξάρτητες;
62 Παράδειγμα Είναι οι e x, e 2x, e 3x γραμμικά ανεξάρτητες; 1. c 1 e x + c 2 e 2x + c 3 e 3x = 0 c 1 z + c 2 z 2 + c 3 z 3 = 0 με z = e x
63 Παράδειγμα Είναι οι e x, e 2x, e 3x γραμμικά ανεξάρτητες; 1. c 1 e x + c 2 e 2x + c 3 e 3x = 0 c 1 z + c 2 z 2 + c 3 z 3 = 0 με z = e x 2. c 1 e x + c 2 e 2x + c 3 e 3x = 0 c 1 e 2x + c 2 e x + c 3 = 0
64 Παράδειγμα Είναι οι e x, e 2x, e 3x γραμμικά ανεξάρτητες; 1. c 1 e x + c 2 e 2x + c 3 e 3x = 0 c 1 z + c 2 z 2 + c 3 z 3 = 0 με z = e x 2. c 1 e x + c 2 e 2x + c 3 e 3x = 0 c 1 e 2x + c 2 e x + c 3 = 0 3. c 1 e x + c 2 e 2x + c 3 e 3x = 0 c 1 + c 2 e x + c 3 e 2x = 0 Με x = 0 παίρνουμε c 1 + c 2 + c 3 = 0. Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε... c 2 e x + 2c 3 e 2x = 0,
65 Παράδειγμα y 3y y + 3y = 0,
66 Παράδειγμα y 3y y + 3y = 0, y(0) = 1, y (0) = 2, y (0) = 3
67 Παράδειγμα y 3y y + 3y = 0, y(0) = 1, y (0) = 2, y (0) = 3 r 3 e rx 3r 2 e rx re rx + 3e rx = 0 r 3 3r 2 r + 3 = 0
68 Παράδειγμα y 3y y + 3y = 0, y(0) = 1, y (0) = 2, y (0) = 3 r 3 e rx 3r 2 e rx re rx + 3e rx = 0 r 3 3r 2 r + 3 = 0 y = C 1 e x + C 2 e x + C 3 e 3x
69 Παράδειγμα y 3y y + 3y = 0, y(0) = 1, y (0) = 2, y (0) = 3 r 3 e rx 3r 2 e rx re rx + 3e rx = 0 r 3 3r 2 r + 3 = 0 y = C 1 e x + C 2 e x + C 3 e 3x 1 = y(0) = C 1 + C 2 + C 3, 2 = y (0) = C 1 + C 2 + 3C 3, 3 = y (0) = C 1 + C 2 + 9C 3.
70 Παράδειγμα y 3y y + 3y = 0, y(0) = 1, y (0) = 2, y (0) = 3 r 3 e rx 3r 2 e rx re rx + 3e rx = 0 r 3 3r 2 r + 3 = 0 y = C 1 e x + C 2 e x + C 3 e 3x 1 = y(0) = C 1 + C 2 + C 3, 2 = y (0) = C 1 + C 2 + 3C 3, 3 = y (0) = C 1 + C 2 + 9C 3. C 1 = 1/4, C 2 = 1 και C 3 = 1/4 y = 1 4 e x + e x e3x
71 Παράδειγμα Λύστε την εξίσωση y (4) 3y + 3y y = 0
72 Παράδειγμα Λύστε την εξίσωση y (4) 3y + 3y y = 0 y = r 4 3r 3 + 3r 2 r = 0 r(r 1) 3 = 0 (c 0 + c 1 x + c 2 x 2 ) e x } {{ } + c }{{} 4. όροι προερχόμενοι από την r = 1 από την r = 0 (c 0 +c 1 x+ +c k 1 x k ) e αx cos βx+(d 0 +d 1 x+ +d k 1 x k ) e αx sin βx. όπου c 0,..., c k 1, d 0,..., d k 1 είναι τυχαίες σταθερές.
73 Παράδειγμα Λύστε την εξίσωση y (4) 4y + 8y 8y + 4y = 0
74 Παράδειγμα Λύστε την εξίσωση y (4) 4y + 8y 8y + 4y = 0 r 4 4r 3 + 8r 2 8r + 4 = 0, (r 2 2r + 2) 2 = 0, ( (r 1) ) 2 = 0. y = (c 0 + c 1 x) e x cos x + (d 0 + d 1 x) e x sin x.
Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις, Ιδιοτιμές με πολλαπλότητα, Εκθετικά πινάκων. 9 Απριλίου 2013, Βόλος
ιαφορικές Εξισώσεις Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις, Ιδιοτιμές με πολλαπλότητα, Ατελείς ιδιοτιμές Εκθετικά πινάκων Μανόλης Βάβαλης Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Τηλεπικοινωνιών και ικτύων Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας 9 Απριλίου
17 Μαρτίου 2013, Βόλος
Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις 1ης Τάξης Σ Ε 1ης τάξης, Πεδία κατευθύνσεων, Υπαρξη και μοναδικότητα, ιαχωρίσιμες εξισώσεις, Ολοκληρωτικοί παράγοντες, Αντικαταστάσεις, Αυτόνομες εξισώσεις Μανόλης Βάβαλης
14 Φεβρουαρίου 2014, Βόλος
ιαφορικές Εξισώσεις Εισαγωγή Μανόλης Βάβαλης Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Τηλεπικοινωνιών και ικτύων Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας 14 Φεβρουαρίου 2014, Βόλος ιαδικαστικά Θέματα Ο τελικός βαθμός προτείνω να υπολογισθεί
Μετασχηματισμοί Laplace. Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Η/Υ Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας
ιαφορικές Εξισώσεις Μετασχηματισμοί Laplace Μανόλης Βάβαλης Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Η/Υ Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Βόλος, 11 Μαΐου 2015 Περιεχόμενα Μετασχηματισμοί Laplace Ορισμός μετασχηματισμού
Επίλυση ειδικών μορφών ΣΔΕ
15 Επίλυση ειδικών μορφών ΣΔΕ Σε αυτό το κεφάλαιο θα δούμε κάποιες ειδικές μορφές ΣΔΕ για τις οποίες υπάρχει μέθοδος επίλυσης. Περισσότερες μπορεί να δει κανείς στο Kloeden and Plaen (199), 4.-4.4. Θα
Στοχαστικές διαφορικές εξισώσεις
14 Στοχαστικές διαφορικές εξισώσεις 14.1 Γενικά Στοχαστική διαφορική εξίσωση λέμε μια εξίσωση της μορφής dx = µ(, X ) d + σ(, X ) db, X = x, (14.1) με µ, σ : [, ) R R μετρήσιμες συναρτήσεις, x R, και B
Οι γέφυρες του ποταμού... Pregel (Konigsberg)
Οι γέφυρες του ποταμού... Pregel (Konigsberg) Β Δ Β Δ Γ Γ Κύκλος του Euler (Euler cycle) είναι κύκλος σε γράφημα Γ που περιέχει κάθε κορυφή του γραφήματος, και κάθε ακμή αυτού ακριβώς μία φορά. Για γράφημα
Αποδεικτικές Διαδικασίες και Μαθηματική Επαγωγή.
Αποδεικτικές Διαδικασίες και Μαθηματική Επαγωγή. Mαθηματικό σύστημα Ένα μαθηματικό σύστημα αποτελείται από αξιώματα, ορισμούς, μη καθορισμένες έννοιες και θεωρήματα. Η Ευκλείδειος γεωμετρία αποτελεί ένα
Σημειώσεις Μαθηματικών Μεθόδων. Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών
Σημειώσεις Μαθηματικών Μεθόδων Μιχάλης Ζαζάνης Τμήμα Στατιστικής Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Φεβρουαρίου 08 Κεφάλαιο Το Μιγαδικό Εκθετικό Είναι γνωστό ότι η εκθετική συνάρτηση e x έχει το ανάπτυγμα
Κεφάλαιο 5. Γραμμικές Βαθμωτές ΔΕ
Κεφάλαιο 5 Γραμμικές Βαθμωτές ΔΕ Στο παρόν κεφάλαιο θα ασχοληθούμε με τη θεωρία όσο και με τη μεθοδολογία επίλυσης βαθμωτών γραμμικών ΔΕ 2ης και n-στής τάξης. Θα μελετήσουμε, ως επί το πλείστον, γραμμικά
ιάσταση του Krull Α.Π.Θ. Θεσσαλονίκη Χ. Χαραλαμπους (ΑΠΘ) ιάσταση του Krull Ιανουάριος, / 27
ιάσταση του Krull Χ. Χαραλάμπους Α.Π.Θ. Θεσσαλονίκη Ιανουάριος, 2017 Χ. Χαραλαμπους (ΑΠΘ) ιάσταση του Krull Ιανουάριος, 2017 1 / 27 Ορισμοί Εστω R (αντιμεταθετικός) δακτύλιος. Ορισμός Η διάσταση του Krull
Παραβολή ψ=αχ 2 +βχ+γ, α 0. Η παραβολή ψ = αχ 2. Γενικά : Κάθε συνάρτηση της μορφής ψ=αχ 2 + βχ +γ, α 0 λέγεται τετραγωνική συνάρτηση.
Η παραβολή ψ=αχ 2 +βχ+γ Σελίδα 1 από 10 Παραβολή ψ=αχ 2 +βχ+γ, α0 Γενικά : Κάθε συνάρτηση της μορφής ψ=αχ 2 + βχ +γ, α0 λέγεται τετραγωνική συνάρτηση. Η παραβολή ψ = αχ 2 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης
Ανεξαρτησία Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές
10 Ανεξαρτησία 10.1 Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές Στην παράγραφο αυτή δουλεύουμε σε χώρο πιθανότητας (Ω, F, P). Δίνουμε καταρχάς τον ορισμό της ανεξαρτησίας για ενδεχόμενα,
Εισαγωγικά. 1.1 Η σ-αλγεβρα ως πληροφορία
1 Εισαγωγικά 1.1 Η σ-αλγεβρα ως πληροφορία Στη θεωρία μέτρου, όταν δουλεύει κανείς σε έναν χώρο X, συνήθως έχει διαλέξει μια αρκετά μεγάλη σ-άλγεβρα στον X έτσι ώστε όλα τα σύνολα που εμφανίζονται να ανήκουν
21/11/2005 Διακριτά Μαθηματικά. Γραφήματα ΒΑΣΙΚΗ ΟΡΟΛΟΓΙΑ : ΜΟΝΟΠΑΤΙΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΙ Δ Ι. Γεώργιος Βούρος Πανεπιστήμιο Αιγαίου
Γραφήματα ΒΑΣΙΚΗ ΟΡΟΛΟΓΙΑ : ΜΟΝΟΠΑΤΙΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΙ A Ε B Ζ Η Γ K Θ Δ Ι Ορισμός Ένα (μη κατευθυνόμενο) γράφημα (non directed graph) Γ, είναι μία δυάδα από σύνολα Ε και V και συμβολίζεται με Γ=(Ε,V). Το σύνολο
5.1 Μετρήσιμες συναρτήσεις
5 Μετρήσιμες συναρτήσεις 5.1 Μετρήσιμες συναρτήσεις Ορισμός 5.1. Εστω (Ω, F ), (E, E) μετρήσιμοι χώροι. Μια συνάρτηση f : Ω E λέγεται F /Eμετρήσιμη αν f 1 (A) F για κάθε A E. (5.1) Συμβολίζουμε το σύνολο
Παντού σε αυτό το κεφάλαιο, αν δεν αναφέρεται κάτι διαφορετικό, δουλεύουμε σε ένα χώρο πιθανότητας (Ω, F, P) και η G F είναι μια σ-άλγεβρα.
2 Δεσμευμένη μέση τιμή 2.1 Ορισμός Παντού σε αυτό το κεφάλαιο, αν δεν αναφέρεται κάτι διαφορετικό, δουλεύουμε σε ένα χώρο πιθανότητας (Ω, F, P) και η G F είναι μια σ-άλγεβρα. Ορισμός 2.1. Για X : Ω R τυχαία
Η εξίσωση Black-Scholes
8 Η εξίσωση Black-Scholes 8. Μια απλή αγορά Θεωρούμε ότι έχουμε μια αγορά που έχει μόνο δύο προϊόντα. Το ένα είναι η δυνατότητα κατάθεσης σε μια τράπεζα (ισοδύναμα, αγορά ομολόγων της τράπεζας) και το
Ο τύπος του Itô. f (s) ds (12.1) f (g(s)) dg(s). (12.2) t f (B s ) db s + 1 2
12 Ο τύπος του Itô Για συνάρτηση f : R R με συνεχή παράγωγο, έχουμε d f (s) = f (s) ds που σε ολοκληρωτική μορφή σημαίνει f (b) f (a) = b a f (s) ds (12.1) για κάθε a < b. Αν επιπλέον και η g : R R έχει
Ανεξαρτησία Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές
10 Ανεξαρτησία 10.1 Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές Στην παράγραφο αυτή δουλεύουμε σε χώρο πιθανότητας (Ω, F, P). Δίνουμε καταρχάς τον ορισμό της ανεξαρτησίας για ενδεχόμενα,
Εστω X σύνολο και A μια σ-άλγεβρα στο X. Ονομάζουμε το ζεύγος (X, A) μετρήσιμο χώρο.
2 Μέτρα 2.1 Μέτρα σε μετρήσιμο χώρο Εστω X σύνολο και A μια σ-άλγεβρα στο X. Ονομάζουμε το ζεύγος (X, A) μετρήσιμο χώρο. Ορισμός 2.1. Μέτρο στον (X, A) λέμε κάθε συνάρτηση µ : A [0, ] που ικανοποιεί τις
Ας υποθέσουμε ότι ο παίκτης Ι διαλέγει πρώτος την τυχαιοποιημένη στρατηγική (x 1, x 2 ), x 1, x2 0,
Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Στατιστικής Εισαγωγή στην Επιχειρησιακή Ερευνα Εαρινό Εξάμηνο 2015 Μ. Ζαζάνης Πρόβλημα 1. Να διατυπώσετε το παρακάτω παίγνιο μηδενικού αθροίσματος ως πρόβλημα γραμμικού
Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση
Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση ΠΜΣ / ΕΤΥ : Μεταπτυχιακό Μάθημα 4η Ενότητα: Γραμμικά Συστήματα Εξισωσεων και Pivots Χρήστος Ζαρολιάγκης (zaro@ceid.upatras.gr) Σπύρος Κοντογιάννης (kontog@cs.uoi.gr) Τμήμα Μηχανικών
https://github.com/kongr45gpen/ece-notes
Σημειώσεις Διαφορικές Εξισώσεις https://github.com/kongr45gpen/ece-notes ο εξάμηνο, 6 Περιεχόμενα I Σεβαστιάδης 3 Διαφορική εξίσωση ης τάξης 3. Χωριζόμενες διαφορικές εξισώσεις.................................
Αναγνώριση Προτύπων. Σήμερα! Λόγος Πιθανοφάνειας Πιθανότητα Λάθους Κόστος Ρίσκο Bayes Ελάχιστη πιθανότητα λάθους για πολλές κλάσεις
Αναγνώριση Προτύπων Σήμερα! Λόγος Πιθανοφάνειας Πιθανότητα Λάθους Πιθανότητα Λάθους Κόστος Ρίσκο Bayes Ελάχιστη πιθανότητα λάθους για πολλές κλάσεις 1 Λόγος Πιθανοφάνειας Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να ταξινομήσουμε
1. Εστω ότι A, B, C είναι γενικοί 2 2 πίνακες, δηλαδή, a 21 a, και ανάλογα για τους B, C. Υπολογίστε τους πίνακες (A B) C και A (B C) και
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Εαρινό Εξάμηνο 0 Ασκήσεις για προσωπική μελέτη Είναι απολύτως απαραίτητο να μπορείτε να τις λύνετε, τουλάχιστον τις υπολογιστικές! Εστω ότι A, B, C είναι γενικοί πίνακες,
Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων
ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Δευτέρα 8 Μαΐου 0 Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων
Ο Ισχυρός Νόμος των Μεγάλων Αριθμών
1 Ο Ισχυρός Νόμος των Μεγάλων Αριθμών Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζουμε ένα από τα σημαντικότερα αποτελέσματα της Θεωρίας Πιθανοτήτων, τον ισχυρό νόμο των μεγάλων αριθμών. Η διατύπωση που θα αποδείξουμε
602. Συναρτησιακή Ανάλυση. Υποδείξεις για τις Ασκήσεις
602. Συναρτησιακή Ανάλυση Υποδείξεις για τις Ασκήσεις Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών Αθήνα 2018 Περιεχόμενα 1 Χώροι με νόρμα 1 2 Χώροι πεπερασμένης διάστασης 23 3 Γραμμικοί τελεστές και γραμμικά
Το κράτος είναι φτιαγμένο για τον άνθρωπο και όχι ο άνθρωπος για το κράτος. A. Einstein Πηγή:
Ας πούμε και κάτι για τις δύσκολες μέρες που έρχονται Το κράτος είναι φτιαγμένο για τον άνθρωπο και όχι ο άνθρωπος για το κράτος. A. Einstein 1879-1955 Πηγή: http://www.cognosco.gr/gnwmika/ 1 ΚΥΚΛΙΚΟΣ
Δ Ι Α Κ Ρ Ι Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. 1η σειρά ασκήσεων
Δ Ι Α Κ Ρ Ι Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α 1η σειρά ασκήσεων Ονοματεπώνυμο: Αριθμός μητρώου: Ημερομηνία παράδοσης: Μέχρι την Τρίτη 2 Απριλίου 2019 Σημειώστε τις ασκήσεις για τις οποίες έχετε παραδώσει λύση: 1
Αναλυτικές ιδιότητες
8 Αναλυτικές ιδιότητες 8. Βαθμός συνέχειας* Ξέρουμε ότι η κίνηση Brown είναι συνεχής και θα δείξουμε αργότερα ότι είναι πουθενά διαφορίσιμη. Πόσο ομαλή είναι λοιπόν; Μια ασθενέστερη μορφή ομαλότητας είναι
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Εαρινό Εξάμηνο
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΛ231: Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Εαρινό Εξάμηνο 2017-2018 Φροντιστήριο 3 - Λύσεις 1. Εστω ο πίνακας Α = [12, 23, 1, 5, 7, 19, 2, 14]. i. Να δώσετε την κατάσταση
Κεφάλαιο Η εκθετική κατανομή. Η πυκνότητα πιθανότητας της εκθετικής κατανομής δίδεται από την σχέση (1.1) f(x) = 0 αν x < 0.
Κεφάλαιο Συνεχείς Τυχαίες Μεταβλητές. Η εκθετική κατανομή Η πυκνότητα πιθανότητας της εκθετικής κατανομής δίδεται από την σχέση f(x) = λe λx αν x, αν x
ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά
ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά 015 Ανεξάρτητα δείγματα: Αφορά δύο κανονικούς πληθυσμούς με παραμέτρους
Martingales. 3.1 Ορισμός και παραδείγματα
3 Martingales 3.1 Ορισμός και παραδείγματα Εστω χώρος πιθανότητας (Ω, F, P). Διήθηση σε αυτό τον χώρο λέμε μια αύξουσα ακολουθία (F n ) n 0 σ-αλγεβρών, η καθεμία από τις οποίες είναι υποσύνολο της F. Δηλαδή,
1 GRAMMIKES DIAFORIKES EXISWSEIS DEUTERAS TAXHS
1 GRAMMIKES DIAFORIKES EXISWSEIS DEUTERAS TAXHS Γραμμικές μη ομογενείς διαφορικές εξισώσεις δευτέρας τάξης λέγονται οι εξισώσεις τύπου y + p(x)y + g(x)y = f(x) (1.1) Οταν f(x) = 0 η εξίσωση y + p(x)y +
Επιχειρησιακή Ερευνα Ι
Επιχειρησιακή Ερευνα Ι Μ. Ζαζάνης Κεφάλαιο 1 Τετραγωνικές μορφές στον R n και το ϑεώρημα του Taylor Ορισμός 1. Εστω a 11 a 1n A =.. a n1 a nn συμμετρικός πίνακας n n με στοιχεία στους πραγματικούς αριθμούς.
Μεγάλες αποκλίσεις* 17.1 Η έννοια της μεγάλης απόκλισης
7 Μεγάλες αποκλίσεις* 7. Η έννοια της μεγάλης απόκλισης Εστω (X ανεξάρτητες και ισόνομες τυχαίες μεταβλητές ώστε (X = = (X = = /2 και S = k= X k το άθροισμα των πρώτων από αυτές. Ο νόμος των μεγάλων αριθμών
Κατασκευή της κίνησης Brown και απλές ιδιότητες
5 Κατασκευή της κίνησης Brown και απλές ιδιότητες 51 Ορισμός, ύπαρξη, και μοναδικότητα Ορισμός 51 Μια στοχαστική ανέλιξη { : t } ορισμένη σε έναν χώρο πιθανότητας (Ω, F, P) και με τιμές στο R λέγεται (μονοδιάστατη)
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟN ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ
Δημήτρης Χελιώτης ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟN ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ B τ u(x):=e x {f(b τ ) u(x) = } x ii ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΧΕΛΙΩΤΗΣ Επίκουρος καθηγητής Τμήμα Μαθηματικών Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνων Εισαγωγή στον
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟN ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ
Δημήτρης Χελιώτης ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟN ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ B τ u(x):=e x {f(b τ ) u(x) = } x ii ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΧΕΛΙΩΤΗΣ Επίκουρος καθηγητής Τμήμα Μαθηματικών Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνων Εισαγωγή στον
Ανεξαρτησία Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές
10 Ανεξαρτησία 10.1 Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές Στην παράγραφο αυτή δουλεύουμε σε χώρο πιθανότητας (Ω, F, P). Δίνουμε καταρχάς τον ορισμό της ανεξαρτησίας για ενδεχόμενα,
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ. Πρώτη Γραπτή Εργασία. Εισαγωγή στους υπολογιστές Μαθηματικά
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΕΟ-13 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: 2012-13 Πρώτη Γραπτή Εργασία Εισαγωγή στους υπολογιστές Μαθηματικά
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Εαρινό Εξάμηνο
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΛ31: Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Εαρινό Εξάμηνο 017-018 Φροντιστήριο 5 1. Δικαιολογήστε όλες τις απαντήσεις σας. i. Δώστε τις 3 βασικές ιδιότητες ενός AVL δένδρου.
Το υπόδειγμα IS-LM: Εισαγωγικά
1/35 Το υπόδειγμα IS-LM: Εισαγωγικά Νίκος Γιαννακόπουλος Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2014-2015 Εαρινό Εξάμηνο Τι γνωρίζουμε; 2/35 Αγορά αγαθών και
Μεγάλες αποκλίσεις* 17.1 Η έννοια της μεγάλης απόκλισης
7 Μεγάλες αποκλίσεις* 7. Η έννοια της μεγάλης απόκλισης Εστω (X ανεξάρτητες και ισόνομες τυχαίες μεταβλητές ώστε P(X = = P(X = = /2 και S = k= X k το άθροισμα των πρώτων από αυτές. Ο νόμος των μεγάλων
Χαρακτηριστικές συναρτήσεις
13 Χαρακτηριστικές συναρτήσεις 13.1 Μετασχηματισμός Fourier μέτρου πιθανότητας στο R Εστω (Ω, F, µ) χώρος μέτρου και f : Ω C Borel-μετρήσιμη συνάρτηση. Το πραγματικό και φανταστικό μέρος της f, που τα
Κεφάλαιο 1. Πίνακες και απαλοιφή Gauss
Κεφάλαιο 1 Πίνακες και απαλοιφή Gauss Γύρω απ το γινομένου πινάκων Κάτι σαν τυπολόγιο Αν AB = C, τότε: 1 (C) i j = (i-γραμμή A) ( j-στήλη B) Το συμβολίζει εσωτερικό γινόμενο 2 (i-γραμμή C) = k(a) ik (k-γραμμή
Ανελίξεις σε συνεχή χρόνο
4 Ανελίξεις σε συνεχή χρόνο Σε αυτό το κεφάλαιο είναι συγκεντρωμένοι ορισμοί και αποτελέσματα από τη θεωρία των στοχαστικών ανελιξεων συνεχούς χρόνου. Με εξαίρεση την Παράγραφο 4.1, η οποία είναι εντελώς
{ i f i == 0 and p > 0
ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Διδάσκων: Ε. Μαρκάκης, Φθινοπωρινό εξάμηνο 014-015 Λύσεις 1ης Σειράς Ασκήσεων
Εισαγωγικές Διαλέξεις στην Θεωρία των Αλυσίδων Markov και των Στοχαστικών Ανελίξεων. Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών
Εισαγωγικές Διαλέξεις στην Θεωρία των Αλυσίδων Markov και των Στοχαστικών Ανελίξεων Μιχάλης Ζαζάνης Τμήμα Στατιστικής Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Κεφάλαιο Αλυσίδες Markov σε Συνεχή Χρόνο. Αλυσίδες
Πιθανότητες ΙΙ 1 o Μέρος. Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών
Πιθανότητες ΙΙ o Μέρος Μιχάλης Ζαζάνης Τμήμα Στατιστικής Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών 4 Απριλίου 7 Κεφάλαιο Συνεχείς Τυχαίες Μεταβλητές. Η εκθετική κατανομή Η πυκνότητα πιθανότητας της εκθετικής κατανομής
Η Θεωρια Αριθμων στην Εκπαιδευση
Η Θεωρια Αριθμων στην Εκπαιδευση Καθηγητὴς Ν.Γ. Τζανάκης Εφαρμογὲς τῶν συνεχῶν κλασμάτων 1 1. Η τιμὴ τοῦ π μὲ σωστὰ τὰ 50 πρῶτα δεκαδικὰ ψηφία μετὰ τὴν ὑποδιαστολή, εἶναι 3.14159265358979323846264338327950288419716939937511.
CSE.UOI : Μεταπτυχιακό Μάθημα
Θέματα Αλγορίθμων Αλγόριθμοι και Εφαρμογές στον Πραγματικό Κόσμο CSE.UOI : Μεταπτυχιακό Μάθημα 10η Ενότητα: Χρονικά Εξελισσόμενες ικτυακές Ροές Σπύρος Κοντογιάννης kntg@cse.ui.gr Τμήμα Μηχανικών Η/Υ &
Συναρτήσεις. Σημερινό μάθημα
Συναρτήσεις Σημερινό μάθημα C++ Συναρτήσεις Δήλωση συνάρτησης Σύνταξη συνάρτησης Πρότυπο συνάρτησης & συνάρτηση Αλληλο καλούμενες συναρτήσεις συναρτήσεις μαθηματικών Παράμετροι συναρτήσεων Τοπικές μεταβλητές
ΠΡΟΛΟΓΟΣ. Αθήνα, 12 Απριλίου 2016.
Αλγεβρική Γεωμετρία ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος Κεφάλαιο 1. Αλγεβρικές ποικιλότητες 1 1. Αλγεβρικά Σύνολα 1 2. Το Θεώρημα Ριζών του Hilbert 7 3. Συγγενείς Αλγεβρικές Ποικιλότητες 14 4. Πολλαπλότητα και Πολλαπλότητα
ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ
ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΘΕΜΑ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ Πανεπιστήμιο Πατρών Σχολή : Θετικών Επιστημών Τμήμα : Μαθηματικών Μ.Δ.Ε. : Μαθηματικά των Φυσικών και Βιομηχανικών Εφαρμογών Ακαδημαϊκό Έτος
Εφαρμογές στην κίνηση Brown
13 Εφαρμογές στην κίνηση Brown Σε αυτό το κεφάλαιο θέλουμε να κάνουμε για την πολυδιάστατη κίνηση Brown κάτι ανάλογο με αυτό που κάναμε στην Παράγραφο 7.2 για τη μονοδιάστατη κίνηση Brown. Δηλαδή να μελετήσουμε
ιαφορικές Εξισώσεις 1
Κεφάλαιο 6 ιαφορικές Εξισώσεις 1 6.1 Γενικά Για τη επίλυση των διαφόρων προβληµάτων υπάρχουν γενικά δύο τύποι µαθηµατικών µοντέλων. 1. Στατικά µοντέλα, π.χ. το κυκλοφοριακό σύστηµα µιας πόλης, ελαχιστοποίηση
επίπεδων καμπυλών Χειμερινό Εξάμηνο I(P, F G) των F και G σε ένα σημείο P A 2 K
Θεωρία Τομών Επίπεδων Καμπυλών Εργασία στο πλαίσιο τού μαθήματος Αλγεβρικές Καμπύλες (με κωδ. αριθμό Α 19) Χειμερινό Εξάμηνο 2008-2009 Μιχαήλ Γκίκας 1 Αριθμός τομής δυο συσχετικών επίπεδων καμπυλών Εστω
Δημήτρης Χελιώτης ΕΝΑ ΔΕΥΤΕΡΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ
Δημήτρης Χελιώτης ΕΝΑ ΔΕΥΤΕΡΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ii ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΧΕΛΙΩΤΗΣ Επίκουρος καθηγητής Τμήμα Μαθηματικών Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνων Ενα δεύτερο μάθημα στις πιθανότητες Ενα δεύτερο
Διαφορικές Εξισώσεις Πρώτης Τάξης
Κεφάλαιο 2 Διαφορικές Εξισώσεις Πρώτης Τάξης Στο κεφάλαιο αυτό θα μελετήσουμε διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης και θα διατυπώσουμε χωρίς απόδειξη βασικά θεωρήματα αυτών. Το εδάφιο 2.1 ασχολείται με γραμμικές
Εισαγωγικές Διαλέξεις στην Θεωρία των Αλυσίδων Markov και των Στοχαστικών Ανελίξεων. Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών
Εισαγωγικές Διαλέξεις στην Θεωρία των Αλυσίδων Markov και των Στοχαστικών Ανελίξεων Μιχάλης Ζαζάνης Τμήμα Στατιστικής Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Κεφάλαιο Αλυσίδες Markov σε Συνεχή Χρόνο Αλυσίδες Markov
ΣΥΝΟΛΑ (προσέξτε τα κοινά χαρακτηριστικά των παρακάτω προτάσεων) Οι άνθρωποι που σπουδάζουν ΤΠ&ΕΣ και βρίσκονται στην αίθουσα
ΣΥΝΟΛΑ (προσέξτε τα κοινά χαρακτηριστικά των παρακάτω προτάσεων) Οι άνθρωποι που σπουδάζουν ΤΠ&ΕΣ και βρίσκονται στην αίθουσα Τα βιβλία διακριτών μαθηματικών του Γ.Β. Η/Υ με επεξεργαστή Pentium και χωρητικότητα
Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα
Αναγνώριση Προτύπων Σημερινό Μάθημα Μη Παραμετρικός Υπολογισμός πυκνότητας με εκτίμηση Ιστόγραμμα Παράθυρα Parzen Εξομαλυμένη Kernel Ασκήσεις 1 Μη Παραμετρικός Υπολογισμός πυκνότητας με εκτίμηση Κατά τη
Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων
ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Τετάρτη 23 Μαΐου 2012 Εκφωήσεις και Λύσεις
Μεγάλες αποκλίσεις* 17.1 Η έννοια της μεγάλης απόκλισης
7 Μεγάλες αποκλίσεις* 7. Η έννοια της μεγάλης απόκλισης Εστω (X ) ανεξάρτητες και ισόνομες τυχαίες μεταβλητές ώστε P(X = ) = P(X = ) = /2 και S = k= X k το άθροισμα των πρώτων από αυτές. Ο νόμος των μεγάλων
τους στην Κρυπτογραφία και τα
Οι Ομάδες των Πλεξίδων και Εφαρμογές τους στην Κρυπτογραφία και τα Πολυμερή Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών ΕΜΠ Επιβλέπουσα Καθηγήτρια: Λαμπροπούλου Σοφία Ιούλιος, 2013 Περιεχόμενα
Διανυσματικές Συναρτήσεις
Κεφάλαιο 5 Διανυσματικές Συναρτήσεις 51 Διανυσματατικές συναρτήσεις Μια συνάρτηση με τιμές στοr n, n>1 λέγεται διανυσματική συνάρτηση Τις διανυσματικές συναρτήσεις ϑα τις συμβολίζουμε με παχειά γράμματα,
Εισαγωγή στη Μιγαδική Ανάλυση. (Πρώτη Ολοκληρωμένη Γραφή)
Εισαωή στη Μιαδική Ανάλυση Σημειώσεις (Πρώτη Ολοκληρωμένη Γραφή) Ε. Στεφανόπουλος Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αιαίου Καρλόβασι Καλοκαίρι 26 Πρόλοος Οι σημειώσεις αυτές είναι αποτέλεσμα επεξερασίας
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ. Τρίτη Γραπτή Εργασία στη Στατιστική
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ-13 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: 2011-12 Τρίτη Γραπτή Εργασία στη Στατιστική Γενικές οδηγίες
12/1/2006 Διακριτά Μαθηματικά. Ορισμός. Υπό γράφημα Τ γραφήματος Γ καλείται συνδετικό (ή επικαλύπτον)
ΣΥΝΔΕΤΙΚΑ ΔΕΝΤΡΑ Ορισμός. Υπό γράφημα Τ γραφήματος Γ καλείται συνδετικό (ή επικαλύπτον) δέντρο (spanning tree) του Γ εάν αυτό είναι δέντρο και περιέχει όλες τις κορυφές του Γ. Παράδειγμα. Στο παρακάτω
Σχέσεις και ιδιότητές τους
Σχέσεις και ιδιότητές τους Διμελής (binary) σχέση Σ από σύνολο Χ σε σύνολο Υ είναι ένα υποσύνολο του καρτεσιανού γινομένου Χ Υ. Αν (χ,ψ) Σ, λέμε ότι το χ σχετίζεται με το ψ και σημειώνουμε χσψ. Στην περίπτωση
Διαφορικές εξισώσεις δεύτερης τάξης
17 Διαφορικές εξισώσεις δεύτερης τάξης επισκοπηση Στο κεφάλαιο αυτό μελετάμε τις διαφορικές εξισώσεις δεύτερης τάξης. Εξισώσεις σαν αυτές ανακύπτουν σε πολλές εφαρμογές στις φυσικές επιστήμες και στις
α 0. α ν x ν +α ν 1 x ν α 1 x+α 0 α ν x ν,α ν 1 x ν 1,...,α 1 x,α 0, ...,α 1,α 0,
Άλγεβρα Β Λυκείου - Πολυώνυμα: Θεωρία, Μεθοδολογία και Λυμένες ασκήσεις Κώστας Ράπτης Μάιος 2011 Μέρος I Πολυώνυμα 1 Πολυώνυμα 1.1 Στοιχεία ϑεωρίας Καλούμε μονώνυμο του x κάθε παράσταση της μορφήςαx ν,
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. Άλκης Τερσένοβ. Περιεχόµενα Κεφάλαιο Ι. Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις. 0. Εισαγωγή... 2
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 217 Άλκης Τερσένοβ Περιεχόµενα... 1 Κεφάλαιο Ι. Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις. Εισαγωγή... 2 1. Εξισώσεις µε χωρισµένες µεταβλητές... 9 2. Γραµµικές Εξισώσεις Πρώτης Ταξης...17
Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα
Αναγνώριση Προτύπων Σημερινό Μάθημα Bias (απόκλιση) και variance (διακύμανση) Ελεύθεροι Παράμετροι Ελεύθεροι Παράμετροι Διαίρεση dataset Μέθοδος holdout Cross Validation Bootstrap Bias (απόκλιση) και variance
Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα
Αναγνώριση Προτύπων Σημερινό Μάθημα Η κατάρα της διαστατικότητας Μείωση διαστάσεων εξαγωγή χαρακτηριστικών επιλογή χαρακτηριστικών Αναπαράσταση έναντι Κατηγοριοποίησης Ανάλυση Κυρίων Συνιστωσών PCA Γραμμική
On the summability of divergent power series solutions for certain first-order linear PDEs Masaki HIBINO (Meijo University)
On the summability of divergent power series solutions for certain first-order linear PDEs Masaki HIBINO (Meijo University) 1 1 Introduction (E) {1+x 2 +β(x,y)}y u x (x,y)+{x+b(x,y)}y2 u y (x,y) +u(x,y)=f(x,y)
Εξέταση Ηλεκτρομαγνητισμού Ι 2 Φεβρουαρίου 2018
ΕΚΠΑ, Τμήμα Φυσικής Εξέταση Ηλεκτρομαγνητισμού Ι 2 Φεβρουαρίου 2018 ΘΕΜΑ 1 Γραμμική κατανομή φορτίου εκτείνεται από h έως +h κατά μήκος του άξονα z με ετερογενή πυκνότητα λ 0 < 0 για h z < 0 και λ 0 >
Επίλυση δικτύων διανομής
ΑστικάΥδραυλικάΈργα Υδρεύσεις Επίλυση δικτύων διανομής Δημήτρης Κουτσογιάννης & Ανδρέας Ευστρατιάδης Τομέας Υδατικών Πόρων Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Διατύπωση του προβλήματος Δεδομένου ενός δικτύου αγωγών
Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα
Αναγνώριση Προτύπων Σημερινό Μάθημα Εκτίμηση Πυκνότητας με k NN k NN vs Bayes classifier k NN vs Bayes classifier Ο κανόνας ταξινόμησης του πλησιέστερου γείτονα (k NN) lazy αλγόριθμοι O k NN ως χαλαρός
Ασκήσεις Γενικά Μαθηµατικά Ι Οµάδα 6 (λύσεις)
Ασκήσεις Γενικά Μαθηµατικά Ι Οµάδα 6 (λύσεις) Λουκάς Βλάχος και Μανώλης Πλειώνης Άσκηση 1: (α) Να προσεγγισθεί η τιµή του e µε ακρίβεια 0.001. (ϐ) Να προσεγγισθεί ο ln µε ακρίβεια 0.1. Λύση : Αν ξεκινήσουµε
«ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ»
HY 118α «ΔΙΚΡΙΤ ΜΘΗΜΤΙΚ» ΣΚΗΣΕΙΣ ΠΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΙΣΤΩΝ εώργιος Φρ. εωργακόπουλος ΜΕΡΟΣ (1) ασικά στοιχεία της θεωρίας συνόλων. Π. ΚΡΗΤΗΣ ΤΜ. ΕΠ. ΥΠΟΛΟΙΣΤΩΝ «ΔΙΚΡΙΤ ΜΘΗΜΤΙΚ». Φ. εωργακόπουλος
ΕΙΣΑΓΩΓΗ. H λογική ασχολείται με δύο έννοιες, την αλήθεια και την απόδειξη. Oι έννοιες αυτές έχουν γίνει
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ------------------------------------------------------------------------------------- H λογική ασχολείται με δύο έννοιες, την αλήθεια και την απόδειξη. Oι έννοιες αυτές έχουν γίνει αντικείμενο
ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Αναπληρωτής Καθηγητής. Σχολή ιοίκησης Επιχειρήσεων Πανεπιστήμιο Πατρών
ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 4: Περαιτέρω εξειδίκευση του υποδείγματος Ιωάννης Βενέτης Αναπληρωτής Καθηγητής Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Σχολή ιοίκησης Επιχειρήσεων Πανεπιστήμιο Πατρών 1/61 Ι. Βενέτης (Πανεπιστήμιο
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. Πρόχειρες σηµειώσεις. Αλκης Τερσένοβ. Κεφάλαιο Ι. Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις
http : //www.math.uoc.gr/gr/m embers/tersenov ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 215 Πρόχειρες σηµειώσεις Αλκης Τερσένοβ Περιεχόµενα... 1 Κεφάλαιο Ι. Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις. Εισαγωγή...2 1. Εξισώσεις
Differentiation exercise show differential equation
Differentiation exercise show differential equation 1. If y x sin 2x, prove that x d2 y 2 2 + 2y x + 4xy 0 y x sin 2x sin 2x + 2x cos 2x 2 2cos 2x + (2 cos 2x 4x sin 2x) x d2 y 2 2 + 2y x + 4xy (2x cos
10 ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
SECTION 0 ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 0. Ορισµοί Συνήθης διαφορική εξίσωση (Σ Ε) καλείται µια εξίσωση της µορφής f [y (n), y (n ),..., y'', y', y, x] 0 όπου y', y'',..., y (n ), y (n) είναι οι παράγωγοι
ΘΕΜΑ 1ο Α. α) Δίνεται η συνάρτηση F(x)=f(x)+g(x). Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες, να αποδείξετε ότι: F (x)=f (x)+g (x).
ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ 3 ΙΟΥΝΙΟΥ 000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5) ΘΕΜΑ 1ο Α. α) Δίεται η
Περίληψη. του Frostman 4.1. Τέλος, η ϑεωρία του μέτρου Hausdorff αναπτύσσεται περαιτέρω στην τελευταία παράγραφο. Εισαγωγή 2
Το Μέτρο και η Διάσταση Hausdorff Γεωργακόπουλος Νίκος Τερεζάκης Αλέξης Περίληψη Αναπτύσσουμε τη ϑεωρία του μέτρου και της διάστασης Hausdorff με εφαρμογές στον υπολογισμό διαστάσεων συνόλων fractal (Θεώρημα
Προτεινόμενα θέματα στο μάθημα. Αρχές Οικονομικής Θεωρίας ΟΜΑΔΑ Α. Στις προτάσεις από Α.1. μέχρι και Α10 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της
Προτεινόμενα θέματα στο μάθημα Αρχές Οικονομικής Θεωρίας ΟΜΑΔΑ Α Στις προτάσεις από Α.1. μέχρι και Α10 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της καθεμιάς και δίπλα σε κάθε αριθμό την ένδειξη Σωστό, αν
Περιεχόμενα. 3 Γεννήτριες συναρτήσεις Συνήθεις γεννήτριες συναρτήσεις Βασικές γεννήτριες συναρτήσεις
Περιεχόμενα Γραφήματα 5. Εισαγωγή ιστορικό....................................... 5. Γραφήματα δεσμών........................................ 6.. Βασικοί ορισμοί...................................... 6..
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΟΜΟΓΕΝΟΠΟΙΗΣΗΣ
ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΠΟΔΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΝ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΝ ΕΠΙΣΤΗΜΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΝ Πρόγραμμα μεταπτυχιακών σπουδών στα Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Διπλωματική Εργασία ΕΙΣΑΓΓΗ ΣΤΗ ΘΕΡΙΑ ΟΜΟΓΕΝΟΠΟΙΗΣΗΣ ΚΑΣΤΑΝΗ
ΛΟΓΙΣΜΟΣ Συναρτήσεων µιας Μεταβλητής
Σηµειωσεις: ΛΟΓΙΣΜΟΣ Συναρτήσεων µιας Μεταβλητής Θ. Κεχαγιάς Σεπτέµβρης 9 v..85 Περιεχόµενα Προλογος Εισαγωγη Βασικες Συναρτησεις. Θεωρια..................................... Λυµενα Προβληµατα.............................
= 1. z n 1 = z z n = 1. f(z) = x 0. (0, 0) = lim
ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ 1η Σειρά Ασκήσεων στη Μιγαδική Ανάλυση 1. Να λυθεί η εξίσωση: 4 1 + 3i. Λύση. Επειδή 1 + 3i e πi/3, οι λύσεις της εξίσωσης 4 1 + 3i
( ιμερείς) ΙΜΕΛΕΙΣ ΣΧΕΣΕΙΣ Α Β «απεικονίσεις»
( ιμερείς) ΙΜΕΛΕΙΣ ΣΧΕΣΕΙΣ Α Β «πεικονίσεις» 1. ΣΧΕΣΕΙΣ: το σκεπτικό κι ο ορισμός. Τ σύνολ νπριστούν ιδιότητες μεμονωμένων στοιχείων: δεδομένου συνόλου S, κι ενός στοιχείου σ, είνι δυντόν είτε σ S είτε
Ασκήσεις Ανάλυση Ι Λύσεις ασκήσεων Οµάδας 1
Ασκήσεις Ανάλυση Ι Λύσεις ασκήσεων Οµάδας Λουκάς Βλάχος και Χάρης Σκόκος ) ύο καράβια αναχωρούν από το ίδιο λιµάνι. Το ένα κινείται µε 5 Km/h προς τα νότια και το άλλο µε Km/h προς τα ανατολικά. Να εκϕράσετε
Τίτλος Μαθήματος: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι
Τίτλος Μαθήματος: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ενότητα: Βασικά θεωρήματα για τις γραμμικές Σ.Δ.Ε. Όνομα Καθηγητή: Χρυσή Κοκολογιαννάκη Τμήμα: Μαθηματικών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται