Κατασκευή της κίνησης Brown και απλές ιδιότητες

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Κατασκευή της κίνησης Brown και απλές ιδιότητες"

Transcript

1 5 Κατασκευή της κίνησης Brown και απλές ιδιότητες 51 Ορισμός, ύπαρξη, και μοναδικότητα Ορισμός 51 Μια στοχαστική ανέλιξη { : t } ορισμένη σε έναν χώρο πιθανότητας (Ω, F, P) και με τιμές στο R λέγεται (μονοδιάστατη) κίνηση Brown αν ισχύουν τα εξής: (i) Η ανέλιξη έχει ανεξάρτητες προσαυξήσεις Δηλαδή για κάθε n 1 και t 1 < t 2 < < t n, οι τυχαίες μεταβλητές είναι ανεξάρτητες B(t 1 ), B(t 2 ) B(t 1 ), B(t 3 ) B(t 2 ),, B(t n ) B(t n 1 ) (ii) Για κάθε s < t, B(s) N(, t s) (iii) Με πιθανότητα 1, η συνάρτηση t είναι συνεχής Σχήμα 51: Το γράφημα μιας πραγματοποίησης της κίνησης Brown Μια κίνηση Brown για την οποία με πιθανότητα 1 ισχύει B() = x λέγεται κίνηση Brown που ξεκινάει από το x, ενώ όταν x = μια τέτοια ανέλιξη λέγεται τυπική κίνηση Brown Στην απαίτηση (i) του ορισμού, η B(t 1 ) δεν είναι προσαύξηση της B εκτός αν η B είναι τυπική κίνηση Brown, οπότε B(t 1 ) = B(t 1 ) B() Ετσι η (i), στη γενική περίπτωση, είναι κάτι παραπάνω από «ανεξάρτητες προσαυξήσεις» Παρατήρηση 52 (Σημείο εκκίνησης της B) Ο πιο πάνω ορισμός δεν θέτει κανένα περιορισμό στην αρχική τιμή B() της κίνησης Ετσι, είναι δυνατόν η κίνηση να ξεκινάει από ένα συγκεκριμένο x R ή, γενικότερα, να ξεκινάει τυχαία επιλέγοντας το αρχικό της σημείο με βάση ένα μέτρο πιθανότητας µ στο R (δηλαδή η B() να είναι τυχαία μεταβλητή με κατανομή µ) Ολες αυτές οι κινήσεις Brown 41

2 42 Κατασκευή της κίνησης Brown και απλές ιδιότητες παράγονται από την τυπική κίνηση Brown ως εξής Εστω B τυπική κίνηση Brown και X τυχαία μεταβλητή (στον ίδιο χώρο πιθανότητας) ανεξάρτητη της B και με κατανομή µ Τότε η ανέλιξη W με W(t) := X + για κάθε t είναι κίνηση Brown με αρχική κατανομή µ Ιδιαιτέρως, όταν το µ δίνει όλη του τη μάζα σε ένα σημείο x R, τότε έχουμε W(t) = x +, δηλαδή την κίνηση Brown που ξεκινάει από το x Αν σε μια πιθανότητα ή σε μια μέση τιμή εμφανίζεται μια κίνηση Brown B με αρχική κατανομή µ και θέλουμε να το κάνουμε ξεκάθαρο, το δηλώνουμε γράφοντας P µ, E µ αντίστοιχα Ειδικά για την κίνηση Brown που ξεκινάει από το x R, χρησιμοποιούμε τον συμβολισμό P x, E x Αν το αρχικό σημείο είναι αδιάφορο ή ξεκάθαρο από τα συμφραζόμενα, θα γράφουμε απλώς P, E Παρατήρηση 53 (Κατανομές πεπερασμένης διάστασης) Αν ξέρουμε την κατανομή της B(), όλες οι κατανομές πεπερασμένης διάστασης της B υπολογίζονται (Ορισμός 43) Ας υποθέσουμε ότι η B ξεκινάει από το x, δηλαδή B() = x (για κάθε ω Ω) Τότε για = t < t 1 < t 2 < < t n, η κατανομή του διανύσματος (Y 1, Y 2,, Y n ) := (B(t 1 ) B(t ), B(t 2 ) B(t 1 ),, B(t n ) B(t n 1 )) καθορίζεται μοναδικά από τις ιδιότητες (i), (ii) του ορισμού Είναι η ίδια με αυτήν ενός διανύσματος ( t 1 t X 1, t 2 t 1 X 2,, t n t n 1 X n ), όπου οι X 1, X 2,, X n είναι ανεξάρτητητες τυπικές κανονικές τυχαίες μεταβλητές Αρα και η κατανομή του (B(t 1 ), B(t 2 ),, B(t n )) καθορίζεται μοναδικά αφού B(t 1 ) x + Y 1 x 1 B(t 2 ) x + Y 1 + Y = = + x B(t n ) x + Y 1 + Y Y n x Η τελευταία σχέση λέει επιπλέον ότι το τυχαίο διάνυσμα (B(t 1 ), B(t 2 ),, B(t n )) είναι Γκαουσιανό (Ορισμός Αʹ3 στο Παράρτημα Αʹ) Η κατανομή ενός Γκαουσιανού διανύσματος καθορίζεται πλήρως από τις μέσες τιμές των συνιστωσών του και τον πίνακα συνδιακύμανσης του (Βλέπε συζήτηση μετά το Θεώρημα Αʹ4 στο Παράρτημα Αʹ) Υπολογίζουμε τώρα αυτά τα χαρακτηριστικά για το (B(t 1 ), B(t 2 ),, B(t n )) Σαφώς, E() = x για κάθε t αφού η B() N(, t) Για τις συνδιακυμάνσεις έχουμε το εξής Παράδειγμα 54 Εστω x R και B κίνηση Brown με B() = x Τότε Cov(B(s), ) = s t για κάθε s, t Πράγματι, έστω ότι s < t Τότε Cov(B(s), ) = Cov(B(s), B(s) + B(s)) = Cov(B(s), B(s)) + Cov(B(s), B(s)) = + Var(B(s)) = s Στη δεύτερη ισότητα χρησιμοποιούμε τη διγραμμικότητα της συνδιακύμανσης Στην τρίτη ισότητα ότι οι B(s), B(s) είναι ανεξάρτητες και ότι B(s) N(x, s) (αφού B(s) B() N(, s)) Την κίνηση Brown ως φυσικό φαινόμενο κατέγραψε πρώτος ο Robert Brown το 1828 παρατηρώντας την κίνηση κόκων γύρης μέσα σε νερό Επειτα, το 19, ο Louis Bachelier τη χρησιμοποίησε ως Y 1 Y 2 Y n

3 52 Απλές ιδιότητες 43 μοντέλο για τις τιμές μετοχών Ο Albert Einstein το 195 απέδειξε ότι μια κίνηση με κάποια «φυσιολογικά» επιθυμητά χαρακτηριστικά θα ικανοποιεί την ιδιότητα (ii) του ορισμού πιο πάνω και υπέδειξε εφαρμογές στον μικρόκοσμο (πχ, προσδιορισμός του αριθμού του Avogadro) Παρ ολα αυτά, η απόδειξη ότι η κίνηση Brown υπάρχει, δηλαδή ότι υπάρχει ανέλιξη που να ικανοποιεί τις απαιτήσεις του Ορισμού 51, έγινε το 1923 από τον Nobert Wiener Ακολούθησαν και άλλες αποδείξεις ύπαρξης Θεώρημα 55 Μια τυπική κίνηση Brown υπάρχει Στο Παράρτημα Γʹ δίνεται μια απόδειξη που οφείλεται στον Paul Lévy και δημοσιεύτηκε το 1939 Μοναδικότητα Υπάρχουν άραγε πολλές στοχαστικές ανελίξεις που να ικανοποιούν τις ιδιότητες του Ορισμού 51 πιο πάνω μαζί με τη B() = ; Δηλαδή να είναι τυπικές κινήσεις Brown; Ναι, υπάρχουν Για παράδειγμα, αν B είναι μια τέτοια, τότε το ίδιο είναι και η B Μοναδική όμως είναι η κατανομή της τυπικής κίνησης Brown στον χώρο C([, )) των συνεχών συναρτήσεων στο [, ) Ας θυμηθούμε (Παράγραφος 41) ότι η τυπική κίνηση Brown μπορεί να θεωρηθεί τυχαία μεταβλητή με τιμές στον C([, )) Δηλαδή ω f ω, όπου f ω : [, ) R είναι η συνάρτηση με τιμές f ω (t) = Ως συνήθως, για μια τυχαία μεταβλητή παραλείπουμε το δειγματικό σημείο ω και γράφουμε αντί (ω) Η κατανομή μιας τυπικής κίνησης Brown είναι ένα μέτρο πιθανότητας στον C([, )) Για τη σ-άλγεβρα με την οποία εφοδιάζουμε τον C([, )), δες την Παρατήρηση 49 Οι ιδιότητες ορισμού της τυπικής κίνησης Brown είναι αρκετές ώστε να καθορίζουν μόνο μία κατανομή Ετσι έχουμε το εξής αποτέλεσμα μοναδικότητας Θεώρημα 56 Εστω δύο τυπικές κινήσεις Brown B, B Τότε οι B, B έχουν την ίδια κατανομή Απόδειξη Με βάση την Παρατήρηση 53, οι B, B έχουν τις ίδιες κατανομές πεπερασμένης διάστασης Το συμπέρασμα έπεται από το Θεώρημα Απλές ιδιότητες Κάθε κίνηση Brown ορίζει στον χώρο πιθανότητας στον οποίο ορίζεται μια φυσιολογική διήθηση Την (F t ) t με F t := σ({b(s) : s [, t]}) για κάθε t [, ) Πρόταση 57 (Μετατόπιση) Εστω B κίνηση Brown και t Ορίζουμε την ανέλιξη X ως Τότε: (i) Η X είναι τυπική κίνηση Brown (ii) Η X είναι ανεξάρτητη από την F t X(t) := B(t + t) B(t ) για κάθε t [, ) Απόδειξη (i) Ελέγχουμε τις ιδιότητες του ορισμού Για t 1 < t 2 < < t n (X(t 1 ), X(t 2 ) X(t 1 ), X(t 3 ) X(t 2 ),, X(t n ) X(t n 1 )) = (B(t + t 1 ) B(t ), B(t + t 2 ) B(t + t 1 ), B(t + t 3 ) B(t + t 2 ),, B(t + t n ) B(t + t n 1 )) Οι συντεταγμένες του τελευταίου διανύσματος είναι ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές επειδή η B είναι κίνηση Brown Για s < t, έχουμε X(t) X(s) = B(t + t) B(t + s) N(, s t) επειδή η B είναι κίνηση και (t + t) (t + s) = t s

4 44 Κατασκευή της κίνησης Brown και απλές ιδιότητες Σχήμα 52: Η Πρόταση 57 λέει ότι τοποθετώντας νέους άξονες στο (t, B(t )), η ανέλιξη δεξιά του νέου συστήματος αξόνων είναι τυπική κίνηση Brown και ανεξάρτητη από το παρελθόν Τέλος, με πιθανότητα 1, η συνάρτηση t X(t) είναι συνεχής αφού η B είναι συνεχής με πιθανότητα 1 Το B(t ) είναι απλώς ένας αριθμός που εξαρτάται από το ω αλλά όχι από το t (ii) Η απόδειξη είναι τεχνική και δίνεται στο Παράρτημα Γʹ Η προηγούμενη πρόταση λέει ότι για δεδομένο t >, η κίνηση Brown ξαναγεννιέται τη χρονική στιγμή t με την έννοια ότι αυτό που ακολουθεί επηρεάζεται από το παρελθόν {B(s) : s [, t ]} μόνο από την τιμή B(t ) Το υπόλοιπο τμήμα της κίνησης, δηλαδή το B(t + t) B(t ) : t, είναι κάτι εντελώς καινούργιο Δεν εξαρτάται από το παρελθόν Εναλλακτικά, αν παρατηρούμε το γράφημα {(t, ) : t } της κίνησης Brown και τοποθετήσουμε την αρχή των αξόνων στο (t, B(t )), η κίνηση που θα δούμε δεξιά από το (, ) του νέου συστήματος συντεταγμένων είναι πάλι κίνηση Brown και μάλιστα ανεξάρτητη από το παρελθόν Συνέπεια αυτής της ιδιότητας είναι ότι η B είναι ανέλιξη Markov ως προς τη διήθηση που παράγει Πρόταση 58 Εστω B τυπική κίνηση Brown Ορίζουμε την ανέλιξη X ως Τότε η X είναι τυπική κίνηση Brown Απόδειξη Ομοια όπως στο (i) της Πρότασης 57 X(t) := για κάθε t [, ) Πρόταση 59 (Αλλαγή κλίμακας) Εστω B τυπική κίνηση Brown και c Ορίζουμε την ανέλιξη X ως Τότε η X είναι τυπική κίνηση Brown Απόδειξη Ομοια όπως στο (i) της Πρότασης 57 X(t) := 1 c B(c2 t) για κάθε t [, ) Παρατήρηση 51 Η ιδιότητα αλλαγής κλίμακας είναι πολύ χρήσιμη σε υπολογισμούς Για παράδειγμα, για a, αν ορίσουμε Ta B := inf{t : = a} τον χρόνο που απαιτείται ώστε η τυπική κίνηση Brown B να πάρει την τιμή a, τότε T B a d = a 2 T B 1 Πράγματι, επειδή για την κίνηση Brown X a := B(a 2 )/a έχουμε = a X a (t/a 2 ) = 1, έπεται ότι Ta B = a 2 T1 Xa d = a 2 T1 B

5 53 Επισκέψεις στο 45 Η επόμενη ιδιότητα της κίνησης Brown συσχετίζει τη συμπεριφορά της στο με αυτήν στο Πρόταση 511 (Αντιστροφή χρόνου) Εστω B τυπική κίνηση Brown Ορίζουμε την ανέλιξη X ως tb(1/t) για κάθε t >, X(t) := (51) για t = Η X είναι τυπική κίνηση Brown Η απόδειξη της πρότασης δίνεται στο Παράρτημα Γʹ Μια συνέπεια της είναι ότι με πιθανότητα 1 η X είναι συνεχής στο και άρα με πιθανότητα 1 ισχύει lim = (52) t t Παρατήρηση 512 (Υπολογισμοί με την κίνηση Brown) Σε υπολογισμούς με την κίνηση Brown χρησιμοποιούμε: (α) Την ιδιότητα των ανεξάρτητων προσαυξήσεων και την συνέπεια της ότι για s < t η B(s) είναι ανεξάρτητη από την σ-άλγεβρα F s (53) Αυτό γιατί με βάση την Πρόταση 57 η ανέλιξη Y με Y(r) = B(s + r) B(s) για κάθε r είναι ανεξάρτητη της F s και B(s) = Y(t s) (β) Στην περίπτωση της τυπικής κίνησης Brown το ότι για κάθε t > ισχύει d = tb(1) (54) Αυτό είναι σωστό γιατί και τα δύο μέλη έχουν κατανομή N(, t) Προσοχή όμως Οι ανελίξεις () t και (X(t)) t με X(t) = tb(1) είναι διαφορετικές Κάθε μονοπάτι της X είναι απλώς ένα (τυχαίο) πολλαπλάσιο της συνάρτησης t, ενώ αυτό δεν ισχύει για τα μονοπάτια της B Αυτό που ισχύει είναι ότι οι B, X έχουν τις ίδιες κατανομές διάστασης 1 (δες Ορισμό 43), δηλαδή αυτό που λέει η (54), αλλά έχουν διαφορετικές κατανομές [οι οποίες είναι μέτρα στον C([, ))] Διαφορετικές είναι ακόμα και οι κατανομές τους διάστασης 2 (Ασκηση) Για παραδειγμα, στον υπολογισμό ( 1 ) 1 1 E e B(s) ds = E(e B(s) ) ds = E(e 1 sb(1) ) ds = e s/2 ds, εφαρμόζουμε την (54) χωριστά για κάθε s Δεν μπορούμε να ισχυριστούμε ότι 1 eb(s) ds d = e sb(1) ds Στο δεξί μέλος της (54) φυσικά αντί της B(1) μπορούμε να βάλουμε μια Z N(, 1) η να γράψουμε W(1) όπου W είναι μια άλλη τυπική κίνηση Brown Ομοια όπως στην (54), ισχύει B(s) d = t s B(1) για κάθε s, t Ετσι αναγόμαστε σε υπολογισμούς που αφορούν την κατανομή N(, 1) 53 Επισκέψεις στο Οπως θα φανεί στο Κεφάλαιο 8, η κίνηση Brown έχει αρκετά ακανόνιστο γράφημα Για παράδειγμα, το μήκος του περιορισμού του γραφήματος σε οποιοδήποτε διάστημα είναι άπειρο ενώ η ίδια η κίνηση, ως συνάρτηση του χρόνου, δεν είναι διαφορίσιμη πουθενά Σε αυτή την παράγραφο θα δούμε ότι μόλις ξεκινάει από το μηδέν, αμέσως παίρνει και θετικές και αρνητικές τιμές Δηλαδή δεν είναι δυνατόν να υπάρχει διάστημα (, ε) όπου η κίνηση να διατηρεί πρόσημο Θεωρούμε τους τυχαίους χρόνους T := inf{t > : < }, T + := inf{t > : > }

6 46 Κατασκευή της κίνησης Brown και απλές ιδιότητες Πρόταση 513 Εστω B τυπική κίνηση Brown Τότε με πιθανότητα 1, ισχύει T = T + = Απόδειξη Ανάλογα όπως στην Παρατήρηση 51, δείχνουμε ότι για κάθε a ισχύει T + d = a 2 T + Οπότε για κάθε x, c > έχουμε P(T + > x) = P(cT + > x) = P(T + > x/c) Για c + η τελευταία ποσότητα συγκλίνει στην P(T + = ) Επεται λοιπόν ότι P(T + {, }) = 1 Ομως P(T + = ) P(T 1 = ), όπου T 1 := inf{t : = 1}, και η τελευταία πιθανότητα είναι, όπως θα δείξουμε στην Πρόταση 73 Ετσι ο ισχυρισμός για το T + αποδείχθηκε Για το T έπεται όμοια ή με χρήση της Πρότασης 58 και του αποτελέσματος για το T + Επεται από την προηγούμενη πρόταση και τη συνέχεια της κίνησης Brown ότι με πιθανότητα 1, inf{t > : = } = Επομένως, υπάρχει ακολουθία μηδενικών της B που τείνουν στο Θα αποδείξουμε τώρα ότι το σύνολο έχει Lebesgue μέτρο Πρόταση 514 Με πιθανότητα 1 ισχύει λ(z) = Με λ συμβολίζουμε το μέτρο Lebesgue στο R Z := {t [, ) : = } Απόδειξη Χρησιμοποιώντας το θεώρημα Fubini, υπολογίζουμε ( ) E{λ(Z)} = E 1 B(s)= ds = E(1 B(s)= ) ds = P(B(s) = ) ds =, αφού η B(s) είναι συνεχής τυχαία μεταβλητή [έχει κατανομή N(, s)] Το συμπέρασμα έπεται Η τελευταία πρόταση λέει ότι κατά μια έννοια το σύνολο Z είναι μικρό Από την άλλη, θα δείξουμε στην Πρόταση 66 ότι είναι ένα τέλειο σύνολο (είναι κλειστό και κάθε σημείο του είναι σημείο συσσώρευσης του), επομένως υπεραριθμήσιμο Επίσης μπορεί να δειχθεί ότι έχει διάσταση Hausdorff 1/2 54 Συμπεριφορά στο άπειρο* Η κίνηση Brown παίρνει θετικές και αρνητικές τιμές για οσοδήποτε μεγάλους χρόνους Μάλιστα ισχύει ότι lim t B t =, lim t B t = Εμείς θα αποδείξουμε κάτι ισχυρότερο Πρόταση 515 Για την τυπική κίνηση Brown B με πιθανότητα 1 ισχύει lim =, t t lim = t t

7 Απόδειξη Θα δείξουμε ότι με πιθανότητα 1 ισχύει 55 Πολυδιάστατη κίνηση Brown 47 B(n) lim = n n Θέτουμε X k := B(k) B(k 1) για κάθε k N + Οι τυχαίες μεταβλητές (X k ) k 1 είναι ανεξάρτητες και ισόνομες Για C > σταθερό και κάθε n N + θέτουμε A n (C) := {B(n) C n} Τότε { } B(n) A(C) := lim C lim sup A n (C) n n n 1 και P(lim sup A n (C)) lim P(A n (C)) = P(B(1) C) > n 1 n Η πρώτη ανισότητα είναι γνωστή ιδιότητα των μέτρων πιθανότητας και η ισότητα έπεται από την ιδιότητα αλλαγής κλίμακας της κίνησης Brown Αρα το σύνολο A(C) έχει θετική πιθανότητα Από την άλλη, ανήκει στην τελική σ-άλγεβρα των (X k ) k 1 Από τον νόμο -1 του Kolmogorom, έπεται ότι το A(C) έχει πιθανότητα 1 Αρα και το { } B(n) lim = = n n k=1 A(k) έχει πιθανότητα 1 Για το δεύτερο όριο, παρατηρούμε ότι η B είναι επίσης τυπική κίνηση Brown, άρα από το πρώτο όριο έχουμε με πιθανότητα 1 ότι lim t ( / t) = που σημαίνει ότι lim t (/ t) = Σε ένα σύνολο με πιθανότητα 1 τα δύο όρια έχουν τις τιμές και αντίστοιχα Καλύτερη εικόνα για τη συμπεριφορά της κίνησης Brown στο άπειρο δίνει ο νόμος του επαναλαμβανόμενου λογαρίθμου (Θεώρημα 881 στο Durrett (21)), που λέει ότι lim t 2t log log t = 1, lim t 2t log log t = 1 (55) Μάλιστα, τα σημεία συσσώρευσης του δικτύου 2t log log t t> (για t ) είναι ολόκληρο το διάστημα [ 1, 1] 55 Πολυδιάστατη κίνηση Brown Ορισμός 516 Εστω d 1 φυσικός αριθμός και B (1), B (2),, B (d) ανεξάρτητες μονοδιάστατες κινήσεις Brown Ονομάζουμε d-διάστατη κίνηση Brown την ανέλιξη = B (1) (t) B (2) (t) B (d) (t), t [, ) Οταν B() = R d για όλα τα ω Ω, λέμε ότι η B είναι d-διάστατη τυπική κίνηση Brown Η d-διάστατη κίνηση Brown περιγράφει την κίνηση ενός σωματιδίου στον R d Σε κάθε συντεταγμένη η κίνηση του σωματιδίου είναι μια μονοδιάστατη κίνηση Brown και οι κινήσεις Brown που

8 48 Κατασκευή της κίνησης Brown και απλές ιδιότητες Σχήμα 53: Δυό πραγματοποιήσεις της τυπικής διδιάστατης κίνησης Brown για το χρονικό διάστημα [, 1] Ζωγραφίζουμε την εικόνα της B στο διάστημα [, 1] και όχι το γράφημα της αντιστοιχούν στις d συντεταγμένες είναι ανεξάρτητες Η κίνηση που απασχόλησε τους Brown και Einstein ήταν η τριδιάστατη κίνηση Brown Σχετικά με το σημείο εκκίνησης της πολυδιάστατης κίνησης Brown και τον χρησιμοποιούμενο συμβολισμό, ισχύουν αυτά που είπαμε στην Παρατήρηση 52 για τη μονοδιάστατη περίπτωση Για την πολυδιάστατη κίνηση Brown ισχύουν τα ανάλογα των Προτάσεων 56 και 57 Για την Πρόταση 57 η διήθηση που θεωρούμε είναι η F t := σ({b(s) : s [, t]}) για κάθε t [, ) 56 Η κίνηση Brown ως φυσιολογικό αντικείμενο Η κίνηση Brown είναι το συνεχές ανάλογο του απλού τυχαίου περιπάτου Z (Παράγραφος 31) Οι δυό αυτές ανελίξεις συνδέονται με πολλούς τρόπους και εδώ θα περιγράψουμε έναν από αυτούς, ίσως τον πιο απλό Εστω (S n ) n ο απλός τυχαίος περίπατος στο Z Αν τον θεωρήσουμε ως τυχαία συνάρτηση, το γράφημά της είναι το διακριτό σύνολο σημείων {(k, S k ) : k N} Ενώνοντας διαδοχικά σημεία με ευθύγραμμα τμήματα, φτιάχνουμε μια συνεχή συνάρτηση S : [, ) R Δηλαδή, S x αν x N, S (x) := (56) γραμμική επέκταση σε κάθε διάστημα [k, k + 1] με k N Τυπικά, η S ισούται με S (x) = {1 (x [x])}s [x] + (x [x])s [x]+1 = S [x] + (x [x])(s [x]+1 S [x] ) για κάθε x [, ) Για n N + θεωρούμε τη συνάρτηση S n : [, ) R με S n(t) = S (nt) n (57) για κάθε t [, ) Με άλλα λόγια, το γράφημα της S n προκύπτει αν πάρουμε το γράφημα της S και συρρικνώσουμε τον μεν οριζόντιο άξονα κατά 1/n τον δε κάθετο κατά 1/ n Αυτό που ισχύει είναι ότι: Για μεγάλο n, η ανέλιξη S n προσεγγίζει την κίνηση Brown Δηλαδή, αν θέλει να δει κανείς μια πραγματοποίηση της κίνησης Brown, αρκεί να πάρει μεγάλο n και να κάνει μια πραγματοποίηση της S n Αυτή η ασαφής πρόταση είναι μια απλουστευμένη διατύπωση ενός θεωρήματος το οποίο θα διατυπώσουμε τώρα

9 56 Η κίνηση Brown ως φυσιολογικό αντικείμενο Σχήμα 54: Το γράφημα της συνάρτησης S στο διάστημα [, 4] για μια πραγματοποίση του τυχαίου περιπάτου Θεωρούμε το χώρο C[, ) με την τοπολογία της ομοιόμορφης σύγκλισης στα συμπαγή υποσύνολα του [, ) και ένα χώρο πιθανότητας ( Ω, F, P) στον οποίο συμβολίζουμε τη μέση τιμή με Ẽ και στον οποίο είναι ορισμένη μια κίνηση Brown B Επειτα θεωρούμε (X n ) n 1 ακολουθία ανεξάρτητων ισόνομων τυχαίων μεταβλητών με E(X 1 ) =, Var(X 1 ) = 1 Θέτουμε S =, S n := X X n για κάθε n 1 και ορίζουμε τις συναρτήσεις S και S n όπως στις (56), (57) Παρατηρήστε ότι η (S n) n 1 είναι ακολουθία τυχαίων μεταβλητών η οποία παίρνει τιμές στο C[, ) Στο ίδιο σύνολο παίρνει τιμές και η B Θεώρημα 517 (Donsker) Η ακολουθία (S n) n 1 συγκλίνει κατά κατανομή στη B Αν θυμηθούμε τον της σύγκλισης κατά κατανομή, αυτό σημαίνει ότι για κάθε συνάρτηση F : C[, ) R συνεχή και φραγμένη ισχύει ότι lim E F(S n) = ẼF(B) n Την απόδειξη του θεωρήματος μπορεί να βρεί κανείς σε βιβλία που ασχολούνται με την κίνηση Brown, για παράδειγμα, στο Karatzas and Shreve (1991), Θεώρημα 42 του Κεφαλαίου 2 Το θεώρημα Donsker περιέχει το κεντρικό θεώρημα Γιατί για g : R R συνεχή και φραγμένη, παίρνουμε τη συνεχή και φραγμένη συνάρτηση F : C[, ) R με F( f ) = g( f (1)) Δηλαδή η F από το μονοπάτι f κοιτάει μόνο την τιμή του στο 1 Τότε ( ) S F(S n) n = g, n F(B) = g(b(1)), και το θεώρημα δίνει ότι ( ) S lim E g n = Ẽg(B(1)), n n που σημαίνει ότι S n n B(1) Ομως B(1) N(, 1), άρα αυτό είναι το κεντρικό οριακό θεώρημα Παράδειγμα 518 Εστω (S n ) n ο απλός τυχαίος περίπατος Τότε για κάθε x R ισχύει ότι ( ) max1 k n S k P < x P(max < x) n t [,1]

10 5 Κατασκευή της κίνησης Brown και απλές ιδιότητες καθώς n Πράγματι, ο ισχυρισμός έπεται αν εφαρμόσουμε το θεώρημα Donsker για τη συνάρτηση F : C[, ) R με F( f ) = 1 max{ f (t):t [,1]}<x, η οποία είναι φραγμένη και συνεχής Η πιθανότητα P(max t [,1] < x), που εμφανίζεται στο όριο, υπολογίζεται στο Πόρισμα 64 Ασκήσεις Στις ασκήσεις πιο κάτω, B είναι μια τυπική κίνηση Brown 51 Θεωρούμε τη συνάρτηση f : (, ) R με f (t) = P( > t) για κάθε t > (α) Να δειχθεί ότι η f είναι φθίνουσα (β) Ποια είναι η παράγωγός της; 52 Για s, t να δειχθεί ότι Cov(B 2 (t), B 2 (s)) = Var(B 2 (s t)) = 2(s t) 2 53 Εστω n N +, χρόνοι = t < t 1 < < t n, και σταθερές a 1, a 2,, a n R Να δειχθεί ότι η τυχαία μεταβλητή a 1 B(t 1 ) + + a n B(t n ) ακολουθεί την κανονική κατανομή Ποια είναι η μέση τιμή και διασπορά της; 54* Εστω r < s < t Να δειχθεί ότι η B(s) B(r) (B(r), ) ακολουθεί την κατανομή N(µ, σ 2 ) με µ := s r t r (y x), σ2 = s r (t s), t r και x = B(r), y = B(s) Αυτή η ιδιότητα μας επιτρέπει να προσομοιώνουμε ακριβώς οποιοδήποτε πεπερασμένο πλήθος σημείων στο μονοπάτι της κίνησης Brown Για παράδειγμα, θέτουμε B() = και ξέρουμε ότι η B(1) N(, 1), άρα προσομοιώνουμε την τιμή της ακριβώς Επειτα προσομοιώνουμε τη B(1/2) με χρήση της άσκησης και μπορούμε να συνεχίσουμε προσομοιώνοντας τις τιμές B(1/4), B(3/4) 55 Εστω t > Να δειχθεί ότι η X = t B(s) ds ακολουθεί την κατανομή N(, t3 /3) 56 Για t > να υπολογιστεί η μέση τιμή και η διασπορά της τυχαίας μεταβλητής Y = t B2 (s) ds 57 Εστω a > Να δειχθεί ότι η ανέλιξη X με X(t) := B(a t) B(a) για κάθε t [, a] είναι κίνηση Brown στο [, a] 58 Εστω Z := {s > : B(s) = } το σύνολο των μηδενικών της B Να δειχθεί ότι για κάθε a > ισχύει Z d = a 2 Z και άρα η E{λ(Z)} {, }, όπου λ(z) είναι το μέτρο Lebesgue του συνόλου Z 59 Εστω t Να δειχθεί ότι με πιθανότητα 1 η κίνηση Brown δεν έχει τοπικό ακρότατο (μέγιστο ή ελάχιστο) στο t 51* Εστω t Να δειχθεί ότι με πιθανότητα 1 η κίνηση Brown δεν είναι διαφορίσιμη στο t 511 Εστω g : R R συνεχής και φραγμένη συνάρτηση Να δειχθεί ότι η συνάρτηση F : C[, ) R με F( f ) = g( f (1)) είναι συνεχής και φραγμένη 512 Εστω (S n ) n ο απλός τυχαίος περίπατος Να δειχθεί ότι η ακολουθία (I n ) n 1 με n I n := 1 n 2 k=1 S 2 k συγκλίνει κατά κατανομή στην τυχαία μεταβλητή 1 2 dt

Εφαρμογές στην κίνηση Brown

Εφαρμογές στην κίνηση Brown 13 Εφαρμογές στην κίνηση Brown Σε αυτό το κεφάλαιο θέλουμε να κάνουμε για την πολυδιάστατη κίνηση Brown κάτι ανάλογο με αυτό που κάναμε στην Παράγραφο 7.2 για τη μονοδιάστατη κίνηση Brown. Δηλαδή να μελετήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Αναλυτικές ιδιότητες

Αναλυτικές ιδιότητες 8 Αναλυτικές ιδιότητες 8. Βαθμός συνέχειας* Ξέρουμε ότι η κίνηση Brown είναι συνεχής και θα δείξουμε αργότερα ότι είναι πουθενά διαφορίσιμη. Πόσο ομαλή είναι λοιπόν; Μια ασθενέστερη μορφή ομαλότητας είναι

Διαβάστε περισσότερα

Ανελίξεις σε συνεχή χρόνο

Ανελίξεις σε συνεχή χρόνο 4 Ανελίξεις σε συνεχή χρόνο Σε αυτό το κεφάλαιο είναι συγκεντρωμένοι ορισμοί και αποτελέσματα από τη θεωρία των στοχαστικών ανελιξεων συνεχούς χρόνου. Με εξαίρεση την Παράγραφο 4.1, η οποία είναι εντελώς

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Μετρήσιμες συναρτήσεις

5.1 Μετρήσιμες συναρτήσεις 5 Μετρήσιμες συναρτήσεις 5.1 Μετρήσιμες συναρτήσεις Ορισμός 5.1. Εστω (Ω, F ), (E, E) μετρήσιμοι χώροι. Μια συνάρτηση f : Ω E λέγεται F /Eμετρήσιμη αν f 1 (A) F για κάθε A E. (5.1) Συμβολίζουμε το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγικά. 1.1 Η σ-αλγεβρα ως πληροφορία

Εισαγωγικά. 1.1 Η σ-αλγεβρα ως πληροφορία 1 Εισαγωγικά 1.1 Η σ-αλγεβρα ως πληροφορία Στη θεωρία μέτρου, όταν δουλεύει κανείς σε έναν χώρο X, συνήθως έχει διαλέξει μια αρκετά μεγάλη σ-άλγεβρα στον X έτσι ώστε όλα τα σύνολα που εμφανίζονται να ανήκουν

Διαβάστε περισσότερα

Παντού σε αυτό το κεφάλαιο, αν δεν αναφέρεται κάτι διαφορετικό, δουλεύουμε σε ένα χώρο πιθανότητας (Ω, F, P) και η G F είναι μια σ-άλγεβρα.

Παντού σε αυτό το κεφάλαιο, αν δεν αναφέρεται κάτι διαφορετικό, δουλεύουμε σε ένα χώρο πιθανότητας (Ω, F, P) και η G F είναι μια σ-άλγεβρα. 2 Δεσμευμένη μέση τιμή 2.1 Ορισμός Παντού σε αυτό το κεφάλαιο, αν δεν αναφέρεται κάτι διαφορετικό, δουλεύουμε σε ένα χώρο πιθανότητας (Ω, F, P) και η G F είναι μια σ-άλγεβρα. Ορισμός 2.1. Για X : Ω R τυχαία

Διαβάστε περισσότερα

Εστω X σύνολο και A μια σ-άλγεβρα στο X. Ονομάζουμε το ζεύγος (X, A) μετρήσιμο χώρο.

Εστω X σύνολο και A μια σ-άλγεβρα στο X. Ονομάζουμε το ζεύγος (X, A) μετρήσιμο χώρο. 2 Μέτρα 2.1 Μέτρα σε μετρήσιμο χώρο Εστω X σύνολο και A μια σ-άλγεβρα στο X. Ονομάζουμε το ζεύγος (X, A) μετρήσιμο χώρο. Ορισμός 2.1. Μέτρο στον (X, A) λέμε κάθε συνάρτηση µ : A [0, ] που ικανοποιεί τις

Διαβάστε περισσότερα

Ο Ισχυρός Νόμος των Μεγάλων Αριθμών

Ο Ισχυρός Νόμος των Μεγάλων Αριθμών 1 Ο Ισχυρός Νόμος των Μεγάλων Αριθμών Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζουμε ένα από τα σημαντικότερα αποτελέσματα της Θεωρίας Πιθανοτήτων, τον ισχυρό νόμο των μεγάλων αριθμών. Η διατύπωση που θα αποδείξουμε

Διαβάστε περισσότερα

Martingales. 3.1 Ορισμός και παραδείγματα

Martingales. 3.1 Ορισμός και παραδείγματα 3 Martingales 3.1 Ορισμός και παραδείγματα Εστω χώρος πιθανότητας (Ω, F, P). Διήθηση σε αυτό τον χώρο λέμε μια αύξουσα ακολουθία (F n ) n 0 σ-αλγεβρών, η καθεμία από τις οποίες είναι υποσύνολο της F. Δηλαδή,

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση ειδικών μορφών ΣΔΕ

Επίλυση ειδικών μορφών ΣΔΕ 15 Επίλυση ειδικών μορφών ΣΔΕ Σε αυτό το κεφάλαιο θα δούμε κάποιες ειδικές μορφές ΣΔΕ για τις οποίες υπάρχει μέθοδος επίλυσης. Περισσότερες μπορεί να δει κανείς στο Kloeden and Plaen (199), 4.-4.4. Θα

Διαβάστε περισσότερα

Ο τύπος του Itô. f (s) ds (12.1) f (g(s)) dg(s). (12.2) t f (B s ) db s + 1 2

Ο τύπος του Itô. f (s) ds (12.1) f (g(s)) dg(s). (12.2) t f (B s ) db s + 1 2 12 Ο τύπος του Itô Για συνάρτηση f : R R με συνεχή παράγωγο, έχουμε d f (s) = f (s) ds που σε ολοκληρωτική μορφή σημαίνει f (b) f (a) = b a f (s) ds (12.1) για κάθε a < b. Αν επιπλέον και η g : R R έχει

Διαβάστε περισσότερα

Ανεξαρτησία Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές

Ανεξαρτησία Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές 10 Ανεξαρτησία 10.1 Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές Στην παράγραφο αυτή δουλεύουμε σε χώρο πιθανότητας (Ω, F, P). Δίνουμε καταρχάς τον ορισμό της ανεξαρτησίας για ενδεχόμενα,

Διαβάστε περισσότερα

Ανεξαρτησία Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές

Ανεξαρτησία Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές 10 Ανεξαρτησία 10.1 Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές Στην παράγραφο αυτή δουλεύουμε σε χώρο πιθανότητας (Ω, F, P). Δίνουμε καταρχάς τον ορισμό της ανεξαρτησίας για ενδεχόμενα,

Διαβάστε περισσότερα

Ανεξαρτησία Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές

Ανεξαρτησία Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές 10 Ανεξαρτησία 10.1 Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές Στην παράγραφο αυτή δουλεύουμε σε χώρο πιθανότητας (Ω, F, P). Δίνουμε καταρχάς τον ορισμό της ανεξαρτησίας για ενδεχόμενα,

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστικές διαφορικές εξισώσεις

Στοχαστικές διαφορικές εξισώσεις 14 Στοχαστικές διαφορικές εξισώσεις 14.1 Γενικά Στοχαστική διαφορική εξίσωση λέμε μια εξίσωση της μορφής dx = µ(, X ) d + σ(, X ) db, X = x, (14.1) με µ, σ : [, ) R R μετρήσιμες συναρτήσεις, x R, και B

Διαβάστε περισσότερα

Μεγάλες αποκλίσεις* 17.1 Η έννοια της μεγάλης απόκλισης

Μεγάλες αποκλίσεις* 17.1 Η έννοια της μεγάλης απόκλισης 7 Μεγάλες αποκλίσεις* 7. Η έννοια της μεγάλης απόκλισης Εστω (X ανεξάρτητες και ισόνομες τυχαίες μεταβλητές ώστε (X = = (X = = /2 και S = k= X k το άθροισμα των πρώτων από αυτές. Ο νόμος των μεγάλων αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

Χαρακτηριστικές συναρτήσεις

Χαρακτηριστικές συναρτήσεις 13 Χαρακτηριστικές συναρτήσεις 13.1 Μετασχηματισμός Fourier μέτρου πιθανότητας στο R Εστω (Ω, F, µ) χώρος μέτρου και f : Ω C Borel-μετρήσιμη συνάρτηση. Το πραγματικό και φανταστικό μέρος της f, που τα

Διαβάστε περισσότερα

Αποδεικτικές Διαδικασίες και Μαθηματική Επαγωγή.

Αποδεικτικές Διαδικασίες και Μαθηματική Επαγωγή. Αποδεικτικές Διαδικασίες και Μαθηματική Επαγωγή. Mαθηματικό σύστημα Ένα μαθηματικό σύστημα αποτελείται από αξιώματα, ορισμούς, μη καθορισμένες έννοιες και θεωρήματα. Η Ευκλείδειος γεωμετρία αποτελεί ένα

Διαβάστε περισσότερα

Μεγάλες αποκλίσεις* 17.1 Η έννοια της μεγάλης απόκλισης

Μεγάλες αποκλίσεις* 17.1 Η έννοια της μεγάλης απόκλισης 7 Μεγάλες αποκλίσεις* 7. Η έννοια της μεγάλης απόκλισης Εστω (X ανεξάρτητες και ισόνομες τυχαίες μεταβλητές ώστε P(X = = P(X = = /2 και S = k= X k το άθροισμα των πρώτων από αυτές. Ο νόμος των μεγάλων

Διαβάστε περισσότερα

Μεγάλες αποκλίσεις* 17.1 Η έννοια της μεγάλης απόκλισης

Μεγάλες αποκλίσεις* 17.1 Η έννοια της μεγάλης απόκλισης 7 Μεγάλες αποκλίσεις* 7. Η έννοια της μεγάλης απόκλισης Εστω (X ) ανεξάρτητες και ισόνομες τυχαίες μεταβλητές ώστε P(X = ) = P(X = ) = /2 και S = k= X k το άθροισμα των πρώτων από αυτές. Ο νόμος των μεγάλων

Διαβάστε περισσότερα

Οι γέφυρες του ποταμού... Pregel (Konigsberg)

Οι γέφυρες του ποταμού... Pregel (Konigsberg) Οι γέφυρες του ποταμού... Pregel (Konigsberg) Β Δ Β Δ Γ Γ Κύκλος του Euler (Euler cycle) είναι κύκλος σε γράφημα Γ που περιέχει κάθε κορυφή του γραφήματος, και κάθε ακμή αυτού ακριβώς μία φορά. Για γράφημα

Διαβάστε περισσότερα

Η εξίσωση Black-Scholes

Η εξίσωση Black-Scholes 8 Η εξίσωση Black-Scholes 8. Μια απλή αγορά Θεωρούμε ότι έχουμε μια αγορά που έχει μόνο δύο προϊόντα. Το ένα είναι η δυνατότητα κατάθεσης σε μια τράπεζα (ισοδύναμα, αγορά ομολόγων της τράπεζας) και το

Διαβάστε περισσότερα

Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις, Ιδιοτιμές με πολλαπλότητα, Εκθετικά πινάκων. 9 Απριλίου 2013, Βόλος

Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις, Ιδιοτιμές με πολλαπλότητα, Εκθετικά πινάκων. 9 Απριλίου 2013, Βόλος ιαφορικές Εξισώσεις Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις, Ιδιοτιμές με πολλαπλότητα, Ατελείς ιδιοτιμές Εκθετικά πινάκων Μανόλης Βάβαλης Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Τηλεπικοινωνιών και ικτύων Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας 9 Απριλίου

Διαβάστε περισσότερα

602. Συναρτησιακή Ανάλυση. Υποδείξεις για τις Ασκήσεις

602. Συναρτησιακή Ανάλυση. Υποδείξεις για τις Ασκήσεις 602. Συναρτησιακή Ανάλυση Υποδείξεις για τις Ασκήσεις Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών Αθήνα 2018 Περιεχόμενα 1 Χώροι με νόρμα 1 2 Χώροι πεπερασμένης διάστασης 23 3 Γραμμικοί τελεστές και γραμμικά

Διαβάστε περισσότερα

21/11/2005 Διακριτά Μαθηματικά. Γραφήματα ΒΑΣΙΚΗ ΟΡΟΛΟΓΙΑ : ΜΟΝΟΠΑΤΙΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΙ Δ Ι. Γεώργιος Βούρος Πανεπιστήμιο Αιγαίου

21/11/2005 Διακριτά Μαθηματικά. Γραφήματα ΒΑΣΙΚΗ ΟΡΟΛΟΓΙΑ : ΜΟΝΟΠΑΤΙΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΙ Δ Ι. Γεώργιος Βούρος Πανεπιστήμιο Αιγαίου Γραφήματα ΒΑΣΙΚΗ ΟΡΟΛΟΓΙΑ : ΜΟΝΟΠΑΤΙΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΙ A Ε B Ζ Η Γ K Θ Δ Ι Ορισμός Ένα (μη κατευθυνόμενο) γράφημα (non directed graph) Γ, είναι μία δυάδα από σύνολα Ε και V και συμβολίζεται με Γ=(Ε,V). Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟN ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟN ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ Δημήτρης Χελιώτης ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟN ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ B τ u(x):=e x {f(b τ ) u(x) = } x ii ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΧΕΛΙΩΤΗΣ Επίκουρος καθηγητής Τμήμα Μαθηματικών Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνων Εισαγωγή στον

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟN ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟN ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ Δημήτρης Χελιώτης ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟN ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ B τ u(x):=e x {f(b τ ) u(x) = } x ii ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΧΕΛΙΩΤΗΣ Επίκουρος καθηγητής Τμήμα Μαθηματικών Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνων Εισαγωγή στον

Διαβάστε περισσότερα

Ας υποθέσουμε ότι ο παίκτης Ι διαλέγει πρώτος την τυχαιοποιημένη στρατηγική (x 1, x 2 ), x 1, x2 0,

Ας υποθέσουμε ότι ο παίκτης Ι διαλέγει πρώτος την τυχαιοποιημένη στρατηγική (x 1, x 2 ), x 1, x2 0, Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Στατιστικής Εισαγωγή στην Επιχειρησιακή Ερευνα Εαρινό Εξάμηνο 2015 Μ. Ζαζάνης Πρόβλημα 1. Να διατυπώσετε το παρακάτω παίγνιο μηδενικού αθροίσματος ως πρόβλημα γραμμικού

Διαβάστε περισσότερα

Δημήτρης Χελιώτης ΕΝΑ ΔΕΥΤΕΡΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

Δημήτρης Χελιώτης ΕΝΑ ΔΕΥΤΕΡΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Δημήτρης Χελιώτης ΕΝΑ ΔΕΥΤΕΡΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ii ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΧΕΛΙΩΤΗΣ Επίκουρος καθηγητής Τμήμα Μαθηματικών Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνων Ενα δεύτερο μάθημα στις πιθανότητες Ενα δεύτερο

Διαβάστε περισσότερα

Αναγνώριση Προτύπων. Σήμερα! Λόγος Πιθανοφάνειας Πιθανότητα Λάθους Κόστος Ρίσκο Bayes Ελάχιστη πιθανότητα λάθους για πολλές κλάσεις

Αναγνώριση Προτύπων. Σήμερα! Λόγος Πιθανοφάνειας Πιθανότητα Λάθους Κόστος Ρίσκο Bayes Ελάχιστη πιθανότητα λάθους για πολλές κλάσεις Αναγνώριση Προτύπων Σήμερα! Λόγος Πιθανοφάνειας Πιθανότητα Λάθους Πιθανότητα Λάθους Κόστος Ρίσκο Bayes Ελάχιστη πιθανότητα λάθους για πολλές κλάσεις 1 Λόγος Πιθανοφάνειας Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να ταξινομήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΗ ΚΙΝΗΣΗ ΤΡΙΩΡΗ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ A ΛΥΚΕΙΟΥ. Ονοματεπώνυμο Τμήμα

ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΗ ΚΙΝΗΣΗ ΤΡΙΩΡΗ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ A ΛΥΚΕΙΟΥ. Ονοματεπώνυμο Τμήμα Σελίδα 1 ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2014 2015 ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΗ ΚΙΝΗΣΗ ΤΡΙΩΡΗ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ A ΛΥΚΕΙΟΥ Ονοματεπώνυμο Τμήμα ΘΕΜΑ Α Οδηγία: Να γράψετε στην κόλλα σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα Αναγνώριση Προτύπων Σημερινό Μάθημα Εκτίμηση Πυκνότητας με k NN k NN vs Bayes classifier k NN vs Bayes classifier Ο κανόνας ταξινόμησης του πλησιέστερου γείτονα (k NN) lazy αλγόριθμοι O k NN ως χαλαρός

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων

Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Δευτέρα 8 Μαΐου 0 Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

Ευρωπαϊκά παράγωγα Ευρωπαϊκά δικαιώματα

Ευρωπαϊκά παράγωγα Ευρωπαϊκά δικαιώματα 17 Ευρωπαϊκά παράγωγα 17.1 Ευρωπαϊκά δικαιώματα Ορισμός 17.1. 1) Ευρωπαϊκό δικαίωμα αγοράς σε μία μετοχή είναι ένα συμβόλαιο που δίνει στον κάτοχό του το δικαίωμα να αγοράσει μία μετοχή από τον εκδότη

Διαβάστε περισσότερα

ιάσταση του Krull Α.Π.Θ. Θεσσαλονίκη Χ. Χαραλαμπους (ΑΠΘ) ιάσταση του Krull Ιανουάριος, / 27

ιάσταση του Krull Α.Π.Θ. Θεσσαλονίκη Χ. Χαραλαμπους (ΑΠΘ) ιάσταση του Krull Ιανουάριος, / 27 ιάσταση του Krull Χ. Χαραλάμπους Α.Π.Θ. Θεσσαλονίκη Ιανουάριος, 2017 Χ. Χαραλαμπους (ΑΠΘ) ιάσταση του Krull Ιανουάριος, 2017 1 / 27 Ορισμοί Εστω R (αντιμεταθετικός) δακτύλιος. Ορισμός Η διάσταση του Krull

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΤΑΞΗ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ 12 ΙΟΥΝΙΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΥΚΛΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ): ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Η εκθετική κατανομή. Η πυκνότητα πιθανότητας της εκθετικής κατανομής δίδεται από την σχέση (1.1) f(x) = 0 αν x < 0.

Κεφάλαιο Η εκθετική κατανομή. Η πυκνότητα πιθανότητας της εκθετικής κατανομής δίδεται από την σχέση (1.1) f(x) = 0 αν x < 0. Κεφάλαιο Συνεχείς Τυχαίες Μεταβλητές. Η εκθετική κατανομή Η πυκνότητα πιθανότητας της εκθετικής κατανομής δίδεται από την σχέση f(x) = λe λx αν x, αν x

Διαβάστε περισσότερα

Ταξινόμηση των μοντέλων διασποράς ατμοσφαιρικών ρύπων βασισμένη σε μαθηματικά κριτήρια.

Ταξινόμηση των μοντέλων διασποράς ατμοσφαιρικών ρύπων βασισμένη σε μαθηματικά κριτήρια. ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ Ταξινόμηη των μοντέλων διαποράς ατμοφαιρικών ρύπων βαιμένη ε μαθηματικά κριτήρια. Μοντέλο Ελεριανά μοντέλα (Elerian) Λαγκρατζιανά μοντέλα (Lagrangian) Επιπρόθετος διαχωριμός Μοντέλα

Διαβάστε περισσότερα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα Αναγνώριση Προτύπων Σημερινό Μάθημα Μη Παραμετρικός Υπολογισμός πυκνότητας με εκτίμηση Ιστόγραμμα Παράθυρα Parzen Εξομαλυμένη Kernel Ασκήσεις 1 Μη Παραμετρικός Υπολογισμός πυκνότητας με εκτίμηση Κατά τη

Διαβάστε περισσότερα

Το κράτος είναι φτιαγμένο για τον άνθρωπο και όχι ο άνθρωπος για το κράτος. A. Einstein Πηγή:

Το κράτος είναι φτιαγμένο για τον άνθρωπο και όχι ο άνθρωπος για το κράτος. A. Einstein Πηγή: Ας πούμε και κάτι για τις δύσκολες μέρες που έρχονται Το κράτος είναι φτιαγμένο για τον άνθρωπο και όχι ο άνθρωπος για το κράτος. A. Einstein 1879-1955 Πηγή: http://www.cognosco.gr/gnwmika/ 1 ΚΥΚΛΙΚΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Εαρινό Εξάμηνο

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Εαρινό Εξάμηνο ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΛ231: Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Εαρινό Εξάμηνο 2017-2018 Φροντιστήριο 3 - Λύσεις 1. Εστω ο πίνακας Α = [12, 23, 1, 5, 7, 19, 2, 14]. i. Να δώσετε την κατάσταση

Διαβάστε περισσότερα

«ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ»

«ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» HY 118α «ΔΙΚΡΙΤ ΜΘΗΜΤΙΚ» ΣΚΗΣΕΙΣ ΠΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΙΣΤΩΝ εώργιος Φρ. εωργακόπουλος ΜΕΡΟΣ (1) ασικά στοιχεία της θεωρίας συνόλων. Π. ΚΡΗΤΗΣ ΤΜ. ΕΠ. ΥΠΟΛΟΙΣΤΩΝ «ΔΙΚΡΙΤ ΜΘΗΜΤΙΚ». Φ. εωργακόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Πίνακες και απαλοιφή Gauss

Κεφάλαιο 1. Πίνακες και απαλοιφή Gauss Κεφάλαιο 1 Πίνακες και απαλοιφή Gauss Γύρω απ το γινομένου πινάκων Κάτι σαν τυπολόγιο Αν AB = C, τότε: 1 (C) i j = (i-γραμμή A) ( j-στήλη B) Το συμβολίζει εσωτερικό γινόμενο 2 (i-γραμμή C) = k(a) ik (k-γραμμή

Διαβάστε περισσότερα

Η ανισότητα α β α±β α + β με α, β C και η χρήση της στην εύρεση ακροτάτων.

Η ανισότητα α β α±β α + β με α, β C και η χρήση της στην εύρεση ακροτάτων. A A N A B P Y T A Άρθρο στους Μιγαδικούς Αριθμούς 9 5 0 Η ανισότητα α β α±β α + β με α, β C και η χρήση της στην εύρεση ακροτάτων. Δρ. Νίκος Σωτηρόπουλος, Μαθηματικός Εισαγωγή Το άρθρο αυτό γράφεται με

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ Την ευθύνη του εκπαιδευτικού υλικού έχει ο επιστημονικός συνεργάτης των Πανεπιστημιακών Φροντιστηρίων «ΚOΛΛΙΝΤΖΑ», οικονομολόγος συγγραφέας θεμάτων ΑΣΕΠ, Παναγιώτης Βεργούρος.

Διαβάστε περισσότερα

HY 280. θεμελιακές έννοιες της επιστήμης του υπολογισμού ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Γεώργιος Φρ.

HY 280. θεμελιακές έννοιες της επιστήμης του υπολογισμού ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Γεώργιος Φρ. HY 280 «ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ» θεμελικές έννοιες της επιστήμης του υπολογισμού ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Γεώργιος Φρ. Γεωργκόπουλος μέρος Α Εισγωγή, κι η σική θεωρί των πεπερσμένων

Διαβάστε περισσότερα

{ i f i == 0 and p > 0

{ i f i == 0 and p > 0 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Διδάσκων: Ε. Μαρκάκης, Φθινοπωρινό εξάμηνο 014-015 Λύσεις 1ης Σειράς Ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΟΛΑ (προσέξτε τα κοινά χαρακτηριστικά των παρακάτω προτάσεων) Οι άνθρωποι που σπουδάζουν ΤΠ&ΕΣ και βρίσκονται στην αίθουσα

ΣΥΝΟΛΑ (προσέξτε τα κοινά χαρακτηριστικά των παρακάτω προτάσεων) Οι άνθρωποι που σπουδάζουν ΤΠ&ΕΣ και βρίσκονται στην αίθουσα ΣΥΝΟΛΑ (προσέξτε τα κοινά χαρακτηριστικά των παρακάτω προτάσεων) Οι άνθρωποι που σπουδάζουν ΤΠ&ΕΣ και βρίσκονται στην αίθουσα Τα βιβλία διακριτών μαθηματικών του Γ.Β. Η/Υ με επεξεργαστή Pentium και χωρητικότητα

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγικές Διαλέξεις στην Θεωρία των Αλυσίδων Markov και των Στοχαστικών Ανελίξεων. Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών

Εισαγωγικές Διαλέξεις στην Θεωρία των Αλυσίδων Markov και των Στοχαστικών Ανελίξεων. Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εισαγωγικές Διαλέξεις στην Θεωρία των Αλυσίδων Markov και των Στοχαστικών Ανελίξεων Μιχάλης Ζαζάνης Τμήμα Στατιστικής Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Κεφάλαιο Αλυσίδες Markov σε Συνεχή Χρόνο. Αλυσίδες

Διαβάστε περισσότερα

17 Μαρτίου 2013, Βόλος

17 Μαρτίου 2013, Βόλος Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις 1ης Τάξης Σ Ε 1ης τάξης, Πεδία κατευθύνσεων, Υπαρξη και μοναδικότητα, ιαχωρίσιμες εξισώσεις, Ολοκληρωτικοί παράγοντες, Αντικαταστάσεις, Αυτόνομες εξισώσεις Μανόλης Βάβαλης

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Μιγαδική Ανάλυση. (Πρώτη Ολοκληρωμένη Γραφή)

Εισαγωγή στη Μιγαδική Ανάλυση. (Πρώτη Ολοκληρωμένη Γραφή) Εισαωή στη Μιαδική Ανάλυση Σημειώσεις (Πρώτη Ολοκληρωμένη Γραφή) Ε. Στεφανόπουλος Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αιαίου Καρλόβασι Καλοκαίρι 26 Πρόλοος Οι σημειώσεις αυτές είναι αποτέλεσμα επεξερασίας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ. H λογική ασχολείται με δύο έννοιες, την αλήθεια και την απόδειξη. Oι έννοιες αυτές έχουν γίνει

ΕΙΣΑΓΩΓΗ. H λογική ασχολείται με δύο έννοιες, την αλήθεια και την απόδειξη. Oι έννοιες αυτές έχουν γίνει ΕΙΣΑΓΩΓΗ ------------------------------------------------------------------------------------- H λογική ασχολείται με δύο έννοιες, την αλήθεια και την απόδειξη. Oι έννοιες αυτές έχουν γίνει αντικείμενο

Διαβάστε περισσότερα

Δ Ι Α Κ Ρ Ι Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. 1η σειρά ασκήσεων

Δ Ι Α Κ Ρ Ι Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. 1η σειρά ασκήσεων Δ Ι Α Κ Ρ Ι Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α 1η σειρά ασκήσεων Ονοματεπώνυμο: Αριθμός μητρώου: Ημερομηνία παράδοσης: Μέχρι την Τρίτη 2 Απριλίου 2019 Σημειώστε τις ασκήσεις για τις οποίες έχετε παραδώσει λύση: 1

Διαβάστε περισσότερα

Παραβολή ψ=αχ 2 +βχ+γ, α 0. Η παραβολή ψ = αχ 2. Γενικά : Κάθε συνάρτηση της μορφής ψ=αχ 2 + βχ +γ, α 0 λέγεται τετραγωνική συνάρτηση.

Παραβολή ψ=αχ 2 +βχ+γ, α 0. Η παραβολή ψ = αχ 2. Γενικά : Κάθε συνάρτηση της μορφής ψ=αχ 2 + βχ +γ, α 0 λέγεται τετραγωνική συνάρτηση. Η παραβολή ψ=αχ 2 +βχ+γ Σελίδα 1 από 10 Παραβολή ψ=αχ 2 +βχ+γ, α0 Γενικά : Κάθε συνάρτηση της μορφής ψ=αχ 2 + βχ +γ, α0 λέγεται τετραγωνική συνάρτηση. Η παραβολή ψ = αχ 2 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

Περίληψη. του Frostman 4.1. Τέλος, η ϑεωρία του μέτρου Hausdorff αναπτύσσεται περαιτέρω στην τελευταία παράγραφο. Εισαγωγή 2

Περίληψη. του Frostman 4.1. Τέλος, η ϑεωρία του μέτρου Hausdorff αναπτύσσεται περαιτέρω στην τελευταία παράγραφο. Εισαγωγή 2 Το Μέτρο και η Διάσταση Hausdorff Γεωργακόπουλος Νίκος Τερεζάκης Αλέξης Περίληψη Αναπτύσσουμε τη ϑεωρία του μέτρου και της διάστασης Hausdorff με εφαρμογές στον υπολογισμό διαστάσεων συνόλων fractal (Θεώρημα

Διαβάστε περισσότερα

Ισοπεριμετρικές ανισότητες για το

Ισοπεριμετρικές ανισότητες για το Ισοπεριμετρικές ανισότητες για το μέτρο του Gauss Διπλωματική Εργασία Μαρία Μαστροθεοδώρου Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών Αθήνα 018 Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή 1 1.1 Το ισοπεριμετρικό πρόβλημα................................

Διαβάστε περισσότερα

Διανυσματικές Συναρτήσεις

Διανυσματικές Συναρτήσεις Κεφάλαιο 5 Διανυσματικές Συναρτήσεις 51 Διανυσματατικές συναρτήσεις Μια συνάρτηση με τιμές στοr n, n>1 λέγεται διανυσματική συνάρτηση Τις διανυσματικές συναρτήσεις ϑα τις συμβολίζουμε με παχειά γράμματα,

Διαβάστε περισσότερα

Χαρτοφυλάκια και arbitrage

Χαρτοφυλάκια και arbitrage 16 Χαρτοφυλάκια και arbitrage 16.1 Αγορές μετοχών Ποια είναι η χρήση και η σημασία των μετοχών μιας εταιρείας; Κατά τη σύστασή της ή σε άλλες στιγμές του χρόνου ύπαρξής της χρειάζεται να συγκεντρώσει κεφάλαιο

Διαβάστε περισσότερα

Πιθανότητες ΙΙ 1 o Μέρος. Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών

Πιθανότητες ΙΙ 1 o Μέρος. Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Πιθανότητες ΙΙ o Μέρος Μιχάλης Ζαζάνης Τμήμα Στατιστικής Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών 4 Απριλίου 7 Κεφάλαιο Συνεχείς Τυχαίες Μεταβλητές. Η εκθετική κατανομή Η πυκνότητα πιθανότητας της εκθετικής κατανομής

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων

Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Τετάρτη 23 Μαΐου 2012 Εκφωήσεις και Λύσεις

Διαβάστε περισσότερα

τους στην Κρυπτογραφία και τα

τους στην Κρυπτογραφία και τα Οι Ομάδες των Πλεξίδων και Εφαρμογές τους στην Κρυπτογραφία και τα Πολυμερή Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών ΕΜΠ Επιβλέπουσα Καθηγήτρια: Λαμπροπούλου Σοφία Ιούλιος, 2013 Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Ερευνα Ι

Επιχειρησιακή Ερευνα Ι Επιχειρησιακή Ερευνα Ι Μ. Ζαζάνης Κεφάλαιο 1 Τετραγωνικές μορφές στον R n και το ϑεώρημα του Taylor Ορισμός 1. Εστω a 11 a 1n A =.. a n1 a nn συμμετρικός πίνακας n n με στοιχεία στους πραγματικούς αριθμούς.

Διαβάστε περισσότερα

1. Εστω ότι A, B, C είναι γενικοί 2 2 πίνακες, δηλαδή, a 21 a, και ανάλογα για τους B, C. Υπολογίστε τους πίνακες (A B) C και A (B C) και

1. Εστω ότι A, B, C είναι γενικοί 2 2 πίνακες, δηλαδή, a 21 a, και ανάλογα για τους B, C. Υπολογίστε τους πίνακες (A B) C και A (B C) και ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Εαρινό Εξάμηνο 0 Ασκήσεις για προσωπική μελέτη Είναι απολύτως απαραίτητο να μπορείτε να τις λύνετε, τουλάχιστον τις υπολογιστικές! Εστω ότι A, B, C είναι γενικοί πίνακες,

Διαβάστε περισσότερα

Σχέσεις και ιδιότητές τους

Σχέσεις και ιδιότητές τους Σχέσεις και ιδιότητές τους Διμελής (binary) σχέση Σ από σύνολο Χ σε σύνολο Υ είναι ένα υποσύνολο του καρτεσιανού γινομένου Χ Υ. Αν (χ,ψ) Σ, λέμε ότι το χ σχετίζεται με το ψ και σημειώνουμε χσψ. Στην περίπτωση

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Λύκειο Μαραθοκάμπου Σάμου. Άλγεβρα Β λυκείου. 13 Οκτώβρη 2016

Γενικό Λύκειο Μαραθοκάμπου Σάμου. Άλγεβρα Β λυκείου. 13 Οκτώβρη 2016 Γενικό Λύκειο Μαραθοκάμπου Σάμου Άλγεβρα Β λυκείου Εργασία2 η : «Συναρτήσεις» 13 Οκτώβρη 2016 Ερωτήσεις Θεωρίας 1.Πότελέμεότιμιασυνάρτησηfείναιγνησίωςάυξουσασεέναδιάστημα του πεδίου ορισμού της; 2.Πότελέμεότιμιασυνάρτησηfείναιγνησίωςφθίνουσασεέναδιάστημα

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγικές Διαλέξεις στην Θεωρία των Αλυσίδων Markov και των Στοχαστικών Ανελίξεων. Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών

Εισαγωγικές Διαλέξεις στην Θεωρία των Αλυσίδων Markov και των Στοχαστικών Ανελίξεων. Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εισαγωγικές Διαλέξεις στην Θεωρία των Αλυσίδων Markov και των Στοχαστικών Ανελίξεων Μιχάλης Ζαζάνης Τμήμα Στατιστικής Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Κεφάλαιο Αλυσίδες Markov σε Συνεχή Χρόνο Αλυσίδες Markov

Διαβάστε περισσότερα

"Η απεραντοσύνη του σύμπαντος εξάπτει τη φαντασία μου. Υπάρχει ένα τεράστιο σχέδιο, μέρος του οποίου ήμουν κι εγώ".

Η απεραντοσύνη του σύμπαντος εξάπτει τη φαντασία μου. Υπάρχει ένα τεράστιο σχέδιο, μέρος του οποίου ήμουν κι εγώ. "Η απεραντοσύνη του σύμπαντος εξάπτει τη φαντασία μου. Υπάρχει ένα τεράστιο σχέδιο, μέρος του οποίου ήμουν κι εγώ". "Ότι ανόητο είπα μπορεί και να είναι ένα ρέψιμο κάποιου ξεχασμένου αστέρα..." "Δεν κάνει

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟ ΙΑΤΡΕΙΟ. Με την πιστοποίηση του αποκτά πρόσβαση στο περιβάλλον του ιατρού που παρέχει η εφαρμογή.

ΣΤΟ ΙΑΤΡΕΙΟ. Με την πιστοποίηση του αποκτά πρόσβαση στο περιβάλλον του ιατρού που παρέχει η εφαρμογή. ΣΤΟ ΙΑΤΡΕΙΟ Ο ιατρός αφού διαπιστώσει εάν το πρόσωπο που προσέρχεται για εξέταση είναι το ίδιο με αυτό που εικονίζεται στο βιβλιάριο υγείας και ελέγξει ότι είναι ασφαλιστικά ενήμερο (όπως ακριβώς γίνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ Η ΚΑΤΑΝΑΛΩΤΙΚΗ ΑΠΟΦΑΣΗ. Άσκηση με θέμα τη μεγιστοποίηση της χρησιμότητας του καταναλωτή

ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ Η ΚΑΤΑΝΑΛΩΤΙΚΗ ΑΠΟΦΑΣΗ. Άσκηση με θέμα τη μεγιστοποίηση της χρησιμότητας του καταναλωτή ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΙΟΝΙΩΝ ΝΗΣΩΝ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 07 08 ΛΕΥΚΑΔΑ ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ Η ΚΑΤΑΝΑΛΩΤΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: Aποτελεσματικότητα της νομισματικής και δημοσιονομικής πολιτικής σε μια ανοικτή οικονομία

ΘΕΜΑ: Aποτελεσματικότητα της νομισματικής και δημοσιονομικής πολιτικής σε μια ανοικτή οικονομία ΘΕΜΑ: ποτελεσματικότητα της νομισματικής και δημοσιονομικής πολιτικής σε μια ανοικτή οικονομία Σύνταξη: Μπαντούλας Κων/νος, Οικονομολόγος, Ms Χρηματοοικονομικών 1 Η πρώτη θεωρία σχετικά με τον αυτόματο

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Ανεξαρτησία. Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Τηλεπικοινωνιών και ικτύων Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας. 17 Μαρτίου 2013, Βόλος

Γραμμική Ανεξαρτησία. Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Τηλεπικοινωνιών και ικτύων Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας. 17 Μαρτίου 2013, Βόλος Γραμμικές Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις Ανώτερης Τάξης Γραμμικές Σ Ε 2ης τάξης Σ Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία Μανόλης Βάβαλης

Διαβάστε περισσότερα

( ιμερείς) ΙΜΕΛΕΙΣ ΣΧΕΣΕΙΣ Α Β «απεικονίσεις»

( ιμερείς) ΙΜΕΛΕΙΣ ΣΧΕΣΕΙΣ Α Β «απεικονίσεις» ( ιμερείς) ΙΜΕΛΕΙΣ ΣΧΕΣΕΙΣ Α Β «πεικονίσεις» 1. ΣΧΕΣΕΙΣ: το σκεπτικό κι ο ορισμός. Τ σύνολ νπριστούν ιδιότητες μεμονωμένων στοιχείων: δεδομένου συνόλου S, κι ενός στοιχείου σ, είνι δυντόν είτε σ S είτε

Διαβάστε περισσότερα

Το Θεώρημα Μοναδικότητας των Stone και von Neumann

Το Θεώρημα Μοναδικότητας των Stone και von Neumann Κ Ε Το Θεώρημα Μοναδικότητας των Stone και von Neumann Διπλωματική Εργασία Ειδίκευσης στα Θεωρητικά Μαθηματικά Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Μαθηματικών Αθήνα 2011 Αφιερώνεται στην οικογένεια μου ii Περίληψη

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Εαρινό Εξάμηνο

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Εαρινό Εξάμηνο ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΛ231: Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Εαρινό Εξάμηνο 2017-2018 Φροντιστήριο 3 1. Εστω η στοίβα S και ο παρακάτω αλγόριθμος επεξεργασίας της. Να καταγράψετε την κατάσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΕΠ 2000 ΑΣΕΠ 2000 Εμπορική Τράπεζα 1983 Υπουργείο Κοιν. Υπηρ. 1983

ΑΣΕΠ 2000 ΑΣΕΠ 2000 Εμπορική Τράπεζα 1983 Υπουργείο Κοιν. Υπηρ. 1983 20 Φεβρουαρίου 2010 ΑΣΕΠ 2000 1. Η δεξαμενή βενζίνης ενός πρατηρίου υγρών καυσίμων είναι γεμάτη κατά τα 8/9. Κατά τη διάρκεια μιας εβδομάδας το πρατήριο διέθεσε τα 3/4 της βενζίνης αυτής και έμειναν 4000

Διαβάστε περισσότερα

Προτεινόμενα θέματα στο μάθημα. Αρχές Οικονομικής Θεωρίας ΟΜΑΔΑ Α. Στις προτάσεις από Α.1. μέχρι και Α10 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της

Προτεινόμενα θέματα στο μάθημα. Αρχές Οικονομικής Θεωρίας ΟΜΑΔΑ Α. Στις προτάσεις από Α.1. μέχρι και Α10 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της Προτεινόμενα θέματα στο μάθημα Αρχές Οικονομικής Θεωρίας ΟΜΑΔΑ Α Στις προτάσεις από Α.1. μέχρι και Α10 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της καθεμιάς και δίπλα σε κάθε αριθμό την ένδειξη Σωστό, αν

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 2. Σάμης Τρέβεζας

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 2. Σάμης Τρέβεζας ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 2 Σάμης Τρέβεζας ii ΣΑΜΗΣ ΤΡΕΒΕΖΑΣ Λέκτορας Τμήμα Μαθηματικών Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνων Πιθανότητες ΙΙ Σημειώσεις σε εξέλιξη... (02/03) Περιεχόμενα 1 Δομές σε Οικογένειες

Διαβάστε περισσότερα

Αρτιες και περιττές συναρτήσεις

Αρτιες και περιττές συναρτήσεις Μελέτη Συναρτήσεων: άρτιες, περιττές συναρτήσεις - μονοτονία - ακρότατα Κωνσταντίνος Α. Ράπτης Άρτιες και περιττές συναρτήσεις Ὁι ψυχολόγοι κάνουν λόγο για δύο επίπεδα συλλογιστικής και μνήμης: το αρχαϊκό

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Tα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια «ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ» προετοιμάζοντας σε ολιγομελείς ομίλους τους υποψήφιους για τον επικείμενο διαγωνισμό του Υπουργείου Οικονομικών, με κορυφαίο

Διαβάστε περισσότερα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα

Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα Αναγνώριση Προτύπων Σημερινό Μάθημα Bias (απόκλιση) και variance (διακύμανση) Ελεύθεροι Παράμετροι Ελεύθεροι Παράμετροι Διαίρεση dataset Μέθοδος holdout Cross Validation Bootstrap Bias (απόκλιση) και variance

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις. Σημερινό μάθημα

Συναρτήσεις. Σημερινό μάθημα Συναρτήσεις Σημερινό μάθημα C++ Συναρτήσεις Δήλωση συνάρτησης Σύνταξη συνάρτησης Πρότυπο συνάρτησης & συνάρτηση Αλληλο καλούμενες συναρτήσεις συναρτήσεις μαθηματικών Παράμετροι συναρτήσεων Τοπικές μεταβλητές

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟ ΦΑΡΜΑΚΕΙΟ. Με την πιστοποίηση του έχει πρόσβαση στο περιβάλλον του φαρμακείου που παρέχει η εφαρμογή.

ΣΤΟ ΦΑΡΜΑΚΕΙΟ. Με την πιστοποίηση του έχει πρόσβαση στο περιβάλλον του φαρμακείου που παρέχει η εφαρμογή. ΣΤΟ ΦΑΡΜΑΚΕΙΟ Ο ασθενής έχοντας μαζί του το βιβλιάριο υγείας του και την τυπωμένη συνταγή από τον ιατρό, η οποία αναγράφει τον μοναδικό κωδικό της, πάει στο φαρμακείο. Το φαρμακείο αφού ταυτοποιήσει το

Διαβάστε περισσότερα

Η έκδοση αυτή είναι υπό προετοιμασία. Γιάννης Α. Αντωνιάδης, Αριστείδης Κοντογεώργης

Η έκδοση αυτή είναι υπό προετοιμασία. Γιάννης Α. Αντωνιάδης, Αριστείδης Κοντογεώργης Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές Η έκδοση αυτή είναι υπό προετοιμασία Γιάννης Α. Αντωνιάδης, Αριστείδης Κοντογεώργης 9 Φεβρουαρίου 2015 2 Περιεχόμενα I ΑΡΙΘΜΟΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΡΗΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 7 1 ΔΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΠΡΩΤΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Πληροφορικής

Μαθηματικά Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Αθηνών Μαθηματικά Πληροφορικής Ηλίας Κουτσουπιάς Αθήνα, Οκτώβριος 2009 Περιεχόμενα Περιεχόμενα 1 Σύνολα... 5 ΆλλαΣύμβολα... 6 1 Υποθέσεις και Θεωρήματα 9 1.1 Παρατήρηση-Υπόθεση-Απόδειξη...

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική Β Λυκείου Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Παναγόπουλος Γιώργος Φυσικός

Φυσική Β Λυκείου Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Παναγόπουλος Γιώργος Φυσικός Φυσική Β Λυκείου Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Παναγόπουλος Γιώργος Φυσικός gior.panagopoulos@gmail.com Βουλδής Άγγελος Φυσικός angelos_vouldis@hotmail.com Μεντζελόπουλος Λευτέρης Φυσικός MSc Περιβαλλοντολογία

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΕΠΩΝΥΜΟ: ΟΝΟΜΑ: ΟΜΑΔΑ Α Για τις προτάσεις Α1 μέχρι και Α6 να

Διαβάστε περισσότερα

Αρτιες και περιττές συναρτήσεις

Αρτιες και περιττές συναρτήσεις Μελέτη Συναρτήσεων: άρτιες, περιττές συναρτήσεις - μονοτονία - ακρότατα Κώστας Ράπτης Άρτιες και περιττές συναρτήσεις Ὁι ψυχολόγοι κάνουν λόγο για δύο επίπεδα συλλογιστικής και μνήμης: το αρχαϊκό και το

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου 3 ο Κεφάλαιο Ηλεκτρικό Πεδίο. Ηλεκτρικό πεδίο. Παρασύρης Κώστας Φυσικός Ηράκλειο Κρήτης

Φυσική Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου 3 ο Κεφάλαιο Ηλεκτρικό Πεδίο. Ηλεκτρικό πεδίο. Παρασύρης Κώστας Φυσικός Ηράκλειο Κρήτης Φσική Θετικής & Τεχνολογικής Κτεύθνσης Β Λκείο 3 ο Κεφάλιο Ηλεκτρικό Πεδίο 3 Ηλεκτρικό πεδίο Πρσύρης Κώστς Φσικός Ηράκλειο Κρήτης Φσική Θετικής & Τεχνολογικής Κτεύθνσης Β Λκείο 3 ο Κεφάλιο Ηλεκτρικό Πεδίο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΛΟΓΟΣ. Αθήνα, 12 Απριλίου 2016.

ΠΡΟΛΟΓΟΣ. Αθήνα, 12 Απριλίου 2016. Αλγεβρική Γεωμετρία ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος Κεφάλαιο 1. Αλγεβρικές ποικιλότητες 1 1. Αλγεβρικά Σύνολα 1 2. Το Θεώρημα Ριζών του Hilbert 7 3. Συγγενείς Αλγεβρικές Ποικιλότητες 14 4. Πολλαπλότητα και Πολλαπλότητα

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΩΝ FRACTALS

Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΩΝ FRACTALS Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΩΝ FRACTALS ΕΛΕΝΗ ΤΑΝΤΟΥΛΟΥ ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ: ΑΝΤΩΝΗΣ ΤΣΟΛΟΜΥΤΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΣΑΜΟΣ 2009 Στην μητέρα μου που μπορεί και με ανέχεται ακόμα,

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηματισμοί Laplace. Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Η/Υ Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας

Μετασχηματισμοί Laplace. Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Η/Υ Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ιαφορικές Εξισώσεις Μετασχηματισμοί Laplace Μανόλης Βάβαλης Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Η/Υ Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Βόλος, 11 Μαΐου 2015 Περιεχόμενα Μετασχηματισμοί Laplace Ορισμός μετασχηματισμού

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση δικτύων διανομής

Επίλυση δικτύων διανομής ΑστικάΥδραυλικάΈργα Υδρεύσεις Επίλυση δικτύων διανομής Δημήτρης Κουτσογιάννης & Ανδρέας Ευστρατιάδης Τομέας Υδατικών Πόρων Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Διατύπωση του προβλήματος Δεδομένου ενός δικτύου αγωγών

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων

Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ (ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ) Τετάρτη 8 Μαΐου 26 Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων η LaT E X-έκδοση ( 22/5/26)

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ: ΕΜΠΟΡΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ

ΜΑΘΗΜΑ: ΕΜΠΟΡΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΕΜΠΟΡΙΚΟ ΔΙΚΑΙΟ Tα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια «ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ» προετοιμάζοντας σε ολιγομελείς ομίλους τους υποψήφιους για τον επικείμενο διαγωνισμό του Υπουργείου Οικονομικών, με κορυφαίο επιτελείο

Διαβάστε περισσότερα

Pointers. Σημερινό Μάθημα! Χρήση pointer Τελεστής * Τελεστής & Γενικοί δείκτες Ανάκληση Δέσμευση μνήμης new / delete Pointer σε αντικείμενο 2

Pointers. Σημερινό Μάθημα! Χρήση pointer Τελεστής * Τελεστής & Γενικοί δείκτες Ανάκληση Δέσμευση μνήμης new / delete Pointer σε αντικείμενο 2 Pointers 1 Σημερινό Μάθημα! Χρήση pointer Τελεστής * Τελεστής & Γενικοί δείκτες Ανάκληση Δέσμευση μνήμης new / delete Pointer σε αντικείμενο 2 1 Μνήμη μεταβλητών Κάθε μεταβλητή έχει διεύθυνση Δεν χρειάζεται

Διαβάστε περισσότερα

CSE.UOI : Μεταπτυχιακό Μάθημα

CSE.UOI : Μεταπτυχιακό Μάθημα Θέματα Αλγορίθμων Αλγόριθμοι και Εφαρμογές στον Πραγματικό Κόσμο CSE.UOI : Μεταπτυχιακό Μάθημα 10η Ενότητα: Χρονικά Εξελισσόμενες ικτυακές Ροές Σπύρος Κοντογιάννης kntg@cse.ui.gr Τμήμα Μηχανικών Η/Υ &

Διαβάστε περισσότερα

Μονάδες 5 1.2.α. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον παρακάτω πίνακα σωστά συµπληρωµένο.

Μονάδες 5 1.2.α. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον παρακάτω πίνακα σωστά συµπληρωµένο. ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΤΕΡΑ 12 ΙΟΥΝΙΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΥΚΛΟΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ): ΧΗΜΕΙΑ - ΒΙΟΧΗΜΕΙΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ

ΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ Tα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια «ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ» προετοιμάζοντας σε ολιγομελείς ομίλους τους υποψήφιους για τον επικείμενο διαγωνισμό του Υπουργείου Οικονομικών, με κορυφαίο επιτελείο

Διαβάστε περισσότερα

επίπεδων καμπυλών Χειμερινό Εξάμηνο I(P, F G) των F και G σε ένα σημείο P A 2 K

επίπεδων καμπυλών Χειμερινό Εξάμηνο I(P, F G) των F και G σε ένα σημείο P A 2 K Θεωρία Τομών Επίπεδων Καμπυλών Εργασία στο πλαίσιο τού μαθήματος Αλγεβρικές Καμπύλες (με κωδ. αριθμό Α 19) Χειμερινό Εξάμηνο 2008-2009 Μιχαήλ Γκίκας 1 Αριθμός τομής δυο συσχετικών επίπεδων καμπυλών Εστω

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Πειραιώς. Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών Αναλογιστική Επιστήμη και Διοικητική Κινδύνου

Πανεπιστήμιο Πειραιώς. Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών Αναλογιστική Επιστήμη και Διοικητική Κινδύνου Πανεπιστήμιο Πειραιώς Τμήμα Στατιστικής και Ασφαλιστικής Επιστήμης Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών Αναλογιστική Επιστήμη και Διοικητική Κινδύνου Παραμετρικά Μοντέλα Επιβίωσης που προκύπτουν από μεταβολές

Διαβάστε περισσότερα