2.3 Πολυωνυμικές Εξισώσεις

Transcript

1 . Πολυωνυμικές Εξισώσεις η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις που μας ζητούν να λύσουμε μια πολυωνυμική εξίσωση.. Να λυθούν οι εξισώσεις: i = 0 ii. 7 = iii. ( + ) + 7 = 0 iv = 0 i = 0 ( + ) + ( + ) = 0 ( + ) ( + ) = 0 + = 0 ή + = 0 = - αδύνατη ή = - Άρα η λύση είναι η = - ii. 7 = 7 - = 0 ( 4 6) = 0 = 0 ή 4 6 = 0 = 0 ή 4 = 6 = 0 ή = ± 4 6 = 0 ή = ή = - iii. ( + ) + 7 = 0 ( + ) = = 7 + = - = - 4 iv = 0 8 = - 56 αδύνατη Οπότε δεν έχει λύσεις. Για να λύσουμε μια πολυωνυμική P ( ) = 0 εξίσωση χωρίς την βοήθεια του σχήματος Horner:. Παραγοντοποιούμε το πολυώνυμο P( ) οπότε παίρνει τη μορφή: P( ) = P ( ) P ( )... Pκ ( ) = 0 τότε γράφουμε: ( ) = 0 ( P( ) = 0 ή P( ) 0 P = ) ή... ή P 0 κ = Αναγόμαστε έτσι στην επίλυση περισσότερων αλλά απλούστερων εξισώσεων. 95

2 . Να λυθεί η εξίσωση: = 0 Ελπίζοντας πως το πολυώνυμο P( ) = έχει ακέραια ρίζα, βρίσκουμε τους διαιρέτες του α = o 6 που είναι οι ±, ±, ± και ± 6. P. με δοκιμές διαπιστώνουμε ότι ο είναι ρίζα του πολυωνύμου Κάνουμε τη διαίρεση μορφή ( ) π(). Άρα P( ) = ( )( 4 4 ) P( ) : ( ) για να γράψουμε το P ( ) στη και η δοθείσα εξίσωση γράφεται: 4 4 = 0 = ή 4 4 = 0) ( 0 ( = ή = ή = είναι οι ρίζες του τριωνύμου 4 4 και (Οι και βρίσκονται με τους γνωστούς τύπους διακρίνουσας ριζών τριωνύμου). 4. Να λυθεί η εξίσωση: = 0 (). Οι διαιρέτες του α = o είναι οι ±, ±, ±, ± 4, ± 6 και ±. Από αυτούς, οι θετικοί αριθμοί,,, 4, 6 και δεν είναι ρίζες της () Δοκιμάζουμε λοιπόν τους,,, 4. 6,.. Αν καταλήξουμε σε εξίσωση της μορφής: ν = α τότε έχουμε τις παρακάτω περιπτώσεις: α) ν άρτιος, α 0 ν τότε =± a β) ν άρτιος, α < 0 τότε αδύνατη γ) ν περιττός, α 0 ν τότε = a δ) ν περιττός, α < 0 τότε = ν α Παρατηρούμε ότι το είναι ρίζα του πολυωνύμου. Οπότε κάνουμε την διαίρεση P : + με την βοήθεια του σχήματος Horner 96

3 9 6-6 Βρίσκουμε πηλίκο π = Οπότε η εξίσωση () : = 0 ( + ) ( ) =0 () Όμως η () περιέχει έναν όρο τρίτου βαθμού. Οπότε για το π επαναλαμβάνουμε την ίδια διαδικασία. Πιθανές πολυώνυμο ακέραιες ρίζες του π ( ) είναι μόνο οι αρνητικοί διαιρέτες του 6, δηλαδή οι,, και 6. Με δοκιμές βρίσκουμε ότι π : π( ) = 0. Κάνουμε λοιπόν τη διαίρεση με την βοήθεια του σχήματος Horner Άρα π() = + +. Οπότε π() = ( + )( + + ) Άρα η εξίσωση () γίνεται: ( + ) ( + )( + + ) = 0 + = 0 ή + = 0 ή + + = 0 = - ή =- (αφού το τριώνυμο έχει αρνητική διακρίνουσα άρα αδύνατο). Οπότε οι συνολικές λύσεις είναι: =-, =- 4. Αν οποίες το P( ) = +λ, να βρείτε τις τιμές του λ για τις P έχει παράγοντα το. Για αυτές τις τιμές του λ να λύσετε την εξίσωση P = 0. Για να λύσουμε μια πολυωνυμική P ( ) = 0 εξίσωση βαθμού μεγαλύτερου από δύο κάνουμε παραγοντοποίηση όμως αυτό δεν είναι πολλές φορές εύκολο με τις μεθόδους που ξέρουμε. Όταν λοιπόν δεν μπορούμε να κάνουμε παραγοντοποίηση καταφεύγουμε στην βοήθεια του σχήματος Horner.. Αν οι συντελεστές της εξίσωσης (ή ορισμένοι από αυτούς) είναι κλασματικοί, τότε τους πολλαπλασιάζουμε με κατάλληλο αριθμό, οπότε όλοι οι συντελεστές γίνονται ακέραιοι.. Προσδιορίζουμε το σταθερό όρο. α ο 97

4 ( ) Το πολυώνυμο P έχει παράγοντα το αν και μόνο αν P () = 0, δηλαδή λ = 0, δηλαδή λ = 4. Τότε το P ( ) 6 4 γράφεται: P( ) = Για να λύσουμε την εξίσωση ( ) 0 εξίσωσή μας γίνεται: P =, θέτουμε y =. Έτσι η y 5y 0y + 4 = 0 Επειδή το άθροισμα των συντελεστών ισούται με 0 τότε το είναι ρίζα Βρίσκουμε πηλίκο π y =. y 4y 4. Οπότε η εξίσωση γίνεται: ( y )( y 4y 4) = και έχει ρίζες y = 4 ± 7 y = = ±. Για το προκύπτουν οι εξισώσεις: = με ρίζες = και = = + με ρίζες = + και = + =, που είναι αδύνατη, αφού < Να βρείτε τα σημεία τομής του άξονα με τη γραφική παράσταση της συνάρτησης: f = Τα σημεία τομής με τον άξονα έχουν τετμημένες τις ρίζες της εξίσωσης f ( ) = 0. Οι διαιρέτες του σταθερού όρου είναι: ±, ±, ±, ± 6. f Με δοκιμές βρίσκουμε ότι το - είναι ρίζα της και. Βρίσκουμε τους διαιρέτες του αο και με αντικατάσταση ή το σχήμα Horner προσπαθούμε ανάμεσα σ' αυτούς τους διαιρέτες να εντοπίσουμε ακέραια ρίζα. 4. Μόλις εντοπίσουμε μία ρίζα ρ, παραγοντοποιούμε το P ( ), γράφοντας: ( ) = ( ρ) π( ) π( ) P Το πηλίκο το δίνει ευκολότερα το σχήμα Horner. 5. Στη συνέχεια εργαζόμαστε στην εξίσωση π ( ) = 0, επαναλαμβάνοντας τα παραπάνω βήματα. 98

5 Άρα f ( ) ( + ) ( ) = 0 =. ( ) g( ) ( ) 6 f = +, όπου g = Οι διαιρέσεις του σταθερού όρου είναι ±, ±, ±, ± 6 με δοκιμές g βρίσκουμε ότι το είναι ρίζα της Τα σημεία τομής με τον άξονα έχουν τετμημένες τις ρίζες της εξίσωσης P= 0 και τεταγμένες το 0. Για να βρούμε τις τετμημένες των κοινών σημείων δύο συναρτήσεων, εξισώνουμε τους αντίστοιχους τύπους Άρα g( ) = ( ) ( 5 ). Άρα f ( ) ( + )( ) ( 5 ) =. Μένει να λυθεί η 5 = 0 : Δ = 5 4 ( ) = = 49 ( 5 ) ± 49 5 ± 7 Άρα ρίζες:. = δηλαδή = ή = Άρα τα σημεία τομής με τον άξονα είναι τα: (-,0), (, 0), (,0), (,0). 6. Να βρείτε τα κοινά σημεία της ευθείας y = 6 8 και καμπύλης φ ( ) = Για να βρούμε τις τετμημένες των κοινών σημείων δύο συναρτήσεων αρκεί να λύσουμε την εξίσωση: y = φ() δηλαδή 99

6 = = = 0 ( + )( + 4) ( + ) = 0 ( + )( 5 + 4) = 0 Άρα + = 0 ή = 0 Άρα = ή = ή = 4. Για =, y = 0. Για =, y =. Για = 4, y = 6. Άρα τα κοινά σημεία είναι τα, 0, ( ) (, ) και (,6) 7. Δίνεται το πολυώνυμο 4 P 4. = + ( α ) ( α+ ) + ( α ) + α. Αν το P( ) έχει και ρίζες, οι οποίες είναι ανεξάρτητες του α, τότε: α) να βρεθούν αυτές οι ρίζες, β) να βρεθούν όλες οι ρίζες του P. α) Έστω ρ ρίζα του P. Τότε: P 4 ( ρ) = 0 ρ + ( α ) ρ ( α + ) ρ + ( α) ρ + α = 0 4 ρ + αρ ρ αρ ρ + ρ αρ + α = 0 ( ρ ρ ρ + ) = 0 4 ρ ρ ρ + ρ + α () Επειδή οι ρίζες του P ( ) δεν εξαρτώνται από το α, η σχέση () ισχύει για κάθε α R. Επομένως πρέπει: 4 ρ ρ ρ + ρ = 0 ρ ρ ρ + = 0 ρ ρ ρ + = 0 ρ ( ρ ) ( ρ ) = 0 ( ρ )( ρ ) = 0 ρ = ή ρ = ή ρ = Παρατηρήσεις: α) Αν όλοι οι συντελεστές της εξίσωσης είναι ομόσημοι, τότε αναζητούμε μόνο αρνητικές ρίζες. β) Αν το άθροισμα των συντελεστών είναι 0, τότε ο ρ = είναι σίγουρα ρίζα της εξίσωσης. γ) Αν οι συντελεστές περιττής τάξης α, α,..., αν+ είναι αρνητικοί, τότε η εξίσωση δεν έχει αρνητική ρίζα. β) Για να βρούμε και τις υπόλοιπες ρίζες του P ( ), εφαρμόζουμε διαδοχικά το σχήμα Horner στο P( ) και στα αντίστοιχα πηλίκα. 00

7 i. Από το παρακάτω σχήμα Horner προκύπτει: ( ) = ( ) π ( ) P α α α α α α α α α α 0 όπου: π ( ) = + ( α ) ( α + ) α ii. Από το παρακάτω σχήμα Horner προκύπτει: π = + π α α α - α + α α α 0 όπου: π ( ) = + ( α ) α 4 Άρα: ( ) ( ) ( ) ( + ) + ( α ) α P = + α α + + α + α = 0 = 0 = ή = ή = ή = α η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις που μας ζητούν να λύσουμε μια πολυωνυμική ανίσωση. δ) Αν δεν υπάρχει σταθερός όρος (ακριβέστερα: «αν ο σταθερός όρος είναι 0»), τότε σίγουρα μια ρίζα είναι το μηδέν αφού βγαίνει κοινός παράγοντας ο. ε) Στην περίπτωση που οι συντελεστές της εξίσωσης είναι ακέραιοι, τότε οι πιθανές κλασματικές ρίζες της εξίσωσης είναι οι λ κ, όπου κ είναι διαιρέτης του σταθερου όρου α ο και ο λ είναι διαιρέτης του (μεγιστοβάθμιου) συντελεστή α. ν. Να λυθεί η ανίσωση: + > 0 0

8 + > 0 ( ) ( ) > ( ) ( ) > 0 ( )( ) > 0 0 ( + )( )( ) > 0 Οι ρίζες των παραγόντων του γινομένου ( + )( )( ) είναι οι, και. Με τη βοήθεια του παρακάτω πίνακα προσήμων προκύπτει ότι η ανίσωση ( + )( )( ) > 0 αληθεύει για όλα τα R με < < ή > Να λυθούν οι ανισώσεις: i ii i. Έχουμε: () Παραγοντοποιούμε το πολυώνυμο P = Οι πιθανές ακέραιες ρίζες της εξίσωσης ( ) 0 ±, ±, ± 9. Με δοκιμές βρίσκουμε ότι το - είναι ρίζα του P ( ) P = είναι οι αριθμοί Για να λύσουμε ανισώσεις της μορφής F( ) F < > Q, όπου, Q πολυώνυ- μα:. αρχικά μεταφέρουμε όλους τους όρους στο ένα μέλος ώστε να εμφανιστεί πολυώνυμο της μορφής P, δηλαδή: > > F Q F Q 0 < < P( ) > 0 <. Στη συνέχεια, όπως και στις πολυωνυμικές εξισώσεις, παραγοντοποιούμε το P ( ), δηλαδή ( ) P ( )...P ( ) 0 P < > κ

9 Άρα P = = + Επομένως η ανίσωση () γράφεται ισοδύναμα: + () 0 Επειδή όμως για κάθε R είναι ( ) 0, η ανίσωση () είναι με τη σειρά της ισοδύναμη με την + 0 Συνεπώς η αρχική ανίσωση αληθεύει για όλα τα R με. iii. Παραγοντοποιούμε το πολυώνυμο 4 P( ) = Οι πιθανές ακέραιες ρίζες της εξίσωσης P ( ) = 0 είναι οι διαιρέτες του, δηλαδή οι ± και ±. P Με δοκιμές βρίσκουμε ότι το είναι ρίζα του Άρα P( ) = ( )( ) Στη συνέχει παραγοντοποιούμε το πολυώνυμο Q( ) = Οι πιθανές ρίζες της εξίσωσης Q ( ) = 0 είναι οι διαιρέτες του, δηλαδή οι ± και ±. Q Με δοκιμές βρίσκουμε ότι το είναι ρίζα του. βρίσκουμε τις ρίζες καθεμιάς από τις παραστάσεις P ( ), P ( ),, P κ ( ). 4. τέλος κάνουμε έναν πίνακα προσήμων για τις παραστάσεις P ( ), P ( ),, P κ ( ), από τον οποίο βρίσκουμε το πρόσημο του P. πολυωνύμου

10 Άρα Q( ) = ( )( + 5 ) Τέλος παραγοντοποιούμε το τριώνυμο ± 7 Είναι Δ = = 49 και, = = = ή = 6 Άρα + 5 = ( + ) Επομένως η αρχική ανίσωση γράφεται ισοδύναμα: ( ) ( + ) 0 Με τη βοήθεια του παρακάτω πίνακα προσήμων προκύπτει ότι η αρχική ανίσωση αληθεύει για όλα τα R με ή =. - - ( ) ( + ) Η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f βρίσκεται κάτω (αντίστοιχα πάνω) από τον άξονα μόνο όταν f ( ) < 0 (αντίστοιχα f > ). 0. Γενικότερα, η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f βρίσκεται κάτω (αντί- 0στοιχα πάνω) από τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης g μόνο όταν f ( ) < g( ) (αντίστοιχα f > g ). Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση f = της πολυωνυμικής συνάρτησης: βρίσκεται πάνω από τον άξονα. Για να βρίσκεται ένα σημείο ( o, yo ) της γραφικής παράστασης της f πάνω από τον άξονα, σημαίνει ότι y > 0. Άρα f ( o ) > 0. Ζητάμε λοιπόν τα διαστήματα για τα οποία f ( ) > 0. Οι διαιρέτες του σταθερού όρου είναι: ±, ±, ± 4. f Με δοκιμές βρίσκουμε ότι το - είναι ρίζα της 04

11 Με δοκιμές βρίσκουμε ότι το είναι ρίζα του Q( ) g ( ) ( ) ( 4) =. 4 : Δ = ± 6 Άρα ρίζες: = - ή f > 0 + > ( ) 4 ( 4) = 4 + = Αν μια παράσταση είναι της μορφής [ A( ) ] B( ) ή της 4 μορφής [ A( ) ] B( ) ή γενικότερα της μορφής v [ A( ) ] B( ), όπου ν φυσικός, τότε το πρόσημό της εξαρτάται από το πρόσημο της παράστασης B. Άρα (,) (, + ) η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις που αναφέρονται στις ακέραιες ρίζες μιας πολυωνυμικής εξίσωσης. Αν η εξίσωση 0 λ+ + λ =, λ έχει ακέραια ρίζα να βρείτε το λ και να λύσετε την εξίσωση. 05

12 Οι πιθανές ακέραιες ρίζες της εξίσωσης είναι οι: ±. Για = η εξίσωση γράφεται: ( λ+ ) + λ = 0 λ + λ = 0 λ = Για = η εξίσωση γράφεται: ( ) ( λ+ )( ) + λ( ) = 0 λ λ = 0 4 λ = 4 λ =, άτοπο γιατί λ. Επομένως λ = Για λ = η εξίσωση γίνεται: = 0 4 = 0 ( )( ) ( ) = =0 = 0 ή + = 0 = ή + 5 = ή 5 =.. Αν η εξίσωση: συνθ ( α ) + = 0, [ 0,π ) έχει θετικούς ακέραιους συντελεστές και αρνητική ακέραια ρίζα να βρείτε τα θ και α. Για να μην έχει μια πολυωνυμική εξίσωση ακέραιες λύσεις πρέπει κανένας από τους διαιρέτες του σταθερού όρου να μην είναι ρίζα της εξίσωσης. Επειδή η εξίσωση έχει θετικούς ακέραιους συντελεστές και ισχύει: συνθ είναι συνθ = θ = 0. Οπότε η εξίσωση γίνεται: ( α ) + =0 Επειδή η εξίσωση έχει αρνητική ακέραια ρίζα, αυτή θα είναι από τους αρνητικούς διαιρέτες του. Άρα είναι το. Οπότε: ( ) + 5( ) + ( α )( ) + = α+ + = 0 6 α = 0 α =, δεκτή. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ρίζα. 5 + = 0 δεν έχει ακέραια Οι μόνες πιθανές ακέραιες ρίζες του πολυωνύμου P( ) = 5 + είναι οι διαιρέτες ± και ± του σταθερού όρου. Είναι όμως P() = 4 0, P( ) = 8 0, P = 40 0 και P( ) = Άρα το P δεν έχει ακέραια ρίζα.\ 06

13 4. Αν κ και λ ακέραιοι, να αποδείξετε ότι η εξίσωση v 8λ κ + = 0 δεν έχει ακέραιες ρίζες. Οι πιθανές ακέραιες ρίζες της εξίσωσης είναι οι διαιρέτες του, δηλαδή οι ±. v Όμως: για = είναι: 8λ ( κ ) + = 0 8λ κ + = 0 ( 4λ κ) = 4λ κ = άτοπο, γιατί 4λ κ Z, ενώ Q, v για = είναι: 8λ ( ) ( κ ) ( ) + = 0 8 λ + κ = 0 ( 4λ + κ) = 4λ + κ = άτοπο, γιατί 4λ + κ Z, ενώ Q. v Επομένως η 8λ ( κ ) + = 0 δεν έχει ακέραιες ρίζες. 4 η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις στις κλασματικές εξισώσειςανισώσεις. Να λυθεί η εξίσωση = + Είναι = ( + )( ). Συνεπώς η () ορίζεται για κάθε R με και. Με αυτούς τους περιορισμούς η () γράφεται ισοδύναμα: = () Μία εξίσωση που περιέχει τον άγνωστο σε παρονομαστή λέγεται κλασματική. Για να λύσουμε μια κλασματική εξίσωση ακολουθούμε τα εξής βήματα:. Παραγοντοποιούμε τους παρονομαστές.. Βρίσκουμε το Ε.Κ.Π των παρανομαστων.. Θέτουμε τους απαραίτητους περιορισμούς (Ε.Κ.Π 0). 4. Κάνουμε απαλοιφή παρανομαστών δηλαδή πολλαπλασιάζουμε με το Ε.Κ.Π όλους τους όρους. 5. Λύνουμε την πολυωνυμική εξίσωση που προκύπτει. 6. Ελέγχουμε τις λύσεις με βάση τους περιορισμούς. 07

14 ( ) 5( + ) = ( + ) = = 0 () Πιθανές ακέραιες ρίζες της () είναι οι διαιρέτες του 6, δηλαδή οι ±, ±, ± και ± 6. Με δοκιμές διαπιστώνουμε ότι ο είναι πράγματι ρίζα της Για να λύσουμε μια κλασματική ανίσωση ακολουθούμε τα εξής βήματα: Η διαίρεση ( ) : ( ) δίνει πηλίκο +, οπότε η () γράφεται: + = 0 = ή + = 0) ( = ή ( 0 ± 7 = 4 Η ρίζα = της () δεν είναι ρίζα και της (), αφού δεν ικανοποιεί τους αντίστοιχους περιορισμούς. ± 7 Έτσι η () αληθεύει μόνο όταν =. 4. Να λυθεί η ανίσωση Η ανίσωση γράφεται: + ( ) +. Παραγοντοποιούμε τους παρονομαστές.. Παίρνουμε περιορισμούς.. Φέρνω τους όρους στο πρώτο μέλος και κάνω τα κλάσματα ομώνυμα. 4. Τότε προκύπτει ένα κλάσμα που με βάση γνωστή ιδιότητα το μετατρέπω σε γινόμενο. και ορίζεται μόνο όταν 0 και. Τότε έχουμε ισοδύναμα: ( ) ( + )( ) ( ) 08

15 ( ) ( + ) , ( ) ( + )( ) 0 ( + )( )( ) 0 ( + )( ) 0 Όπότε λόγω και των περιορισμών, έχουμε: [, + ] { 0,} 5 η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις στις άρρητες εξισώσειςανισώσεις. Να λυθεί η εξίσωση + =. Πρέπει 0. Έχουμε + = = (). Υψώνουμε στο τετράγωνο και παίρνουμε: = = = 0 ( = ή = 4) Για = η () δίνει = και έτσι η τιμή = απορρίπτεται. Για = 4 η () δίνει = 4 που ισχύει. Άρα η μοναδική ρίζα της () είναι η = 4.. Να λυθεί η εξίσωση 4+ = (). Η εξίσωση ορίζεται μόνο όταν 0, δηλαδή. Η () γράφεται διαδοχικά: = 4 (απομονώσαμε το ριζικό) ( ) = ( 4) (υψώσαμε στο τετράγωνο) = = 0 = ή = 6 Μια εξίσωση στην οποία εμφανίζεται άγνωστος κάτω από ριζικό λέγεται άρρητη. Για να λύσουμε μια άρρητη εξίσωση ακολουθούμε τα εξής βήματα:. Παίρνουμε τους περιορισμούς ώστε κάθε υπόριζο να είναι 0.. Απομονώνουμε στο ένα μέλος αν αυτό διευκολύνει το ένα ριζικό.. Υψώνουμε και τα δύο μέλη στο τετράγωνο (ή στην δύναμη που είναι ή ρίζα). 4. Αν υπάρχουν ακόμα ρίζες επαναλάμβάνουμε τα βήματα, όσες φορές χρειασθεί για να εξαλειφθούν οι ρίζες. 09

16 Από τους και 6 διαπιστώνουμε με επαλήθευση ότι μόνο ο 6 είναι ρίζα της ().. Να λυθούν οι εξισώσεις: i. = ii. = 0 iii. = i. Η εξίσωση αυτή ορίζεται μόνο όταν 0, δηλαδή. Τότε είναι = = = 4 =, δεκτή ii. = 0 = 0 = iii. Η εξίσωση = είναι αδύνατη, αφού 0 και < Να λυθεί η εξίσωση 6 = 4. Η εξίσωση ορίζεται μόνο όταν 6 0. Τότε είναι 6 = 4 6 = 4 6 = = 0 = Η τιμή αυτή του επαληθεύει τον περιορισμό 6 0, συνεπώς είναι η μοναδική ρίζα της δοθείσας εξίσωσης. 5. Να λυθεί η εξίσωση 8 7y y = 4 y () 5. Λύνουμε την πολυωνυμική εξίσωση που προκύπτει και βρίσκουμε τις ρίζες της. 6. Αν υψώσουμε, τα μέλη μιας εξίσωσης στο τετράγωνο (και γενικά σε οποιαδήποτε άρτια δύναμη), τότε η εξίσωση που προκύπτει έχει ως ρίζες της όλες τις ρίζες της αρχικής εξίσωσης, μπορεί όμως να έχει και άλλες ρίζες εκτός από αυτές. Έτσι είναι απαραίτητο να διαπιστώνουμε, με επαλήθευση στην αρχική εξίσωση, ποιες από τις ρίζες που βρήκαμε είναι ρίζες της και ποιες όχι. Αρχικά πρέπει ( 8 7y 0 και y 0 και 4 y 0), δηλαδή 8 4 y και y 0 και y, δηλαδή y 0 7 Τότε από την () έχουμε ισοδύναμα: 0