A. ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Μάθημα: Μαθηματικά κατεύθυνσης, Τάξη: Γ Λυκείου Ενότητα: Θεώρημα Bolzano ( 3 διδακτικές ώρες)
|
|
- Αμύντας Μιχαλολιάκος
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 A ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Μάθημα: Μαθηματικά κατεύθυνσης, Τάξη: Γ Λυκείου Ενότητα: Θεώρημα Bolzano ( διδακτικές ώρες) 1 Σκοποί Στόχοι α Σκοποί: Οι μαθητές να συνειδητοποιήσουν ότι τα Μαθηματικά μπορεί να είναι αντικείμενο διερεύνησης, κατά την οποία τίθενται ερωτήματα και διατυπώνονται υποθέσεις, οι οποίες ελέγχονται και, όταν είναι εφικτό, αποδεικνύονται β Στόχοι: Οι μαθητές μετά το τέλος της διδασκαλίας να είναι σε θέση: Να αναφέρουν το Θεώρημα του Bolzano Να αναφέρουν το πόρισμα με την διατήρηση προσήμου συνάρτησης Να κατανοήσουν την γεωμετρική του απόδειξη Να κατανοήσουν ότι δεν ισχύει το αντίστροφό του Να αποκτήσουν την ικανότητα να το χρησιμοποιούν στις εξισώσεις για την ύπαρξη ριζών, Να αποκτήσουν την ικανότητα να εφαρμόζουν το πόρισμα διατήρησης πρόσημου μιας συνεχούς συνάρτησης Διδακτικά μέσα και υλικά Φύλλο εργασίας Προβολέας ή διαδραστικός πίνακας, πίνακας και χρωματιστές κιμωλίες Ερωτηματικός διάλογος καθοδηγούμενος, παραγωγική διδακτική μέθοδος Πορεία διδασκαλίας Διδακτικές ενέργειες Άνοιγμα Εισαγωγή (8-1 min) Έλεγχος «κατ οίκον» εργασιών Ανάκληση των γνωστικών προαπαιτούμενων: Συνέχεια συνάρτησης, γεωμετρική ερμηνεία συνέχειας, συνέχεια σε κλειστό διάστημα [ αβ, ] Επιμέλεια: Κωνσταντίνος Λ Κωνσταντόπουλος Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Σελίδα 1
2 Διέγερση του ενδιαφέροντος και προσέλκυση της προσοχής των μαθητών Δίνουμε στους μαθητές να λύσουν τις εξισώσεις: 1 = συν=1 6 = 1+ ηµ στο [,π ] 4 = 1 Σύντομα διαπιστώνουν ότι στην τρίτη και τέταρτη εξίσωση βρίσκονται σε ένα αδιέξοδο Το ερώτημα που τίθεται είναι: Τι κάνουμε σε τέτοιες εξισώσεις και πως μπορούμε να προσδιορίσουμε τις ρίζες των, αφού υπάρχουν, και γραφικά μπορούμε να τις δούμε; Κατασκευάζουμε τις γραφικές παραστάσεις των τελευταίων εξισώσεων όπου οι μαθητές διαπιστώνουν ότι υπάρχουν λύσεις ( τρόποι ) Επιμέλεια: Κωνσταντίνος Λ Κωνσταντόπουλος Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Σελίδα
3 Πληροφόρηση για τους στόχους του μαθήματος Θα μάθουμε ένα πολύ σημαντικό θεώρημα για τις συνεχείς συναρτήσεις που θα μας δώσει και απάντηση στο προηγούμενο αδιέξοδο Διδακτική επεξεργασία της ενότητας (5 min) Δραστηριότητα 1 η : Ζητάμε από τους μαθητές να σχεδιάσουν μία ευθεία (ε) και να πάρουν σημεία Α και Β που να βρίσκονται σε διαφορετικά ημιεπίπεδα Τους καλούμε να ενώσουν τα Α και Β με μία συνεχόμενη καμπύλη γραμμή χωρίς να σηκώσουν το μολύβι και να διαπιστώσουν ότι πάντα θα τμήσουν την ευθεία (ε) Τους καλούμε να κάνουν το ίδιο μόνο που τώρα τα σημεία Α και Β βρίσκονται στο ίδιο ημιεπίπεδο και να μας πουν αν πάντα η συνεχόμενη αυτή καμπύλη θα τέμνει την ευθεία (ε) Ότι έχουν κάνει, τους το δείχνουμε και με ένα αρχείο Geogebra Δραστηριότητα η : Δίνεται η διατύπωση του Θεωρήματος Bolzano Επισημαίνουμε: Το θεώρημα μας δίνει απλά την πληροφορία ότι υπάρχει ρίζα, στο εσωτερικό ενός διαστήματος, δεν μας λέει αν είναι μοναδική, ούτε την υπολογίζει Δραστηριότητα η : Γίνεται γεωμετρική ερμηνεία του Θεωρήματος και τονίζουμε Το θεώρημα Bolzano εξασφαλίζει την ύπαρξη τουλάχιστον μίας πραγματικής ρίζας της εξίσωσης f( ) = στο ( αβ, ) Ωστόσο δεν αποκλείεται η ύπαρξη περισσοτέρων ριζών στο ( αβ, ) Αυτό που κυρίως όμως μας εξασφαλίζει είναι «το ΑΔΥΝΑΤΟΝ ΤΗΣ ΜΗ ΥΠΑΡΞΗΣ ΡΙΖΑΣ στο ( αβ, )» Δραστηριότητα 5 η : Δίνουμε παραδείγματα που δεν ισχύει μία από τις προϋποθέσεις του ΘΒ και ζητάμε από τους μαθητές να μας πουν αν πάντα ισχύει το συμπέρασμα Δραστηριότητα 6 η : Καλούμε τους μαθητές να ανακαλύψουν μέσα από παραδείγματα αν ισχύει το αντίστροφο του ΘΒ Τονίζουμε ότι η συνθήκη f( a) f( β ) < είναι μόνο ικανή για να υπάρχει ρίζα και όχι αναγκαία Επιμέλεια: Κωνσταντίνος Λ Κωνσταντόπουλος Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Σελίδα
4 Δραστηριότητα 7 η : Για την εμπέδωση της νέας γνώσης αποδεικνύουμε ότι η τρίτη εξίσωση έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο [,π ] και καλούμε τους μαθητές να μας διαπιστώσουν αν η τέταρτη εξίσωση έχει ρίζα στο [, ] Δραστηριότητα 8 η : Για την εμπέδωση της νέας γνώσης τους καλούμε να απαντήσουν σε ερωτήσεις Σ Λ Κλείσιμο (5 min) Γίνεται ανακεφαλαίωση επισήμανση των κυριότερων σημείων του μαθήματος Επισημαίνετε το ΘΒ προσεγγίζει την ζητούμενη ρίζα και όχι την εύρεσή της Ζητείται από τους μαθητές : Α) να επεξεργαστούν, στο σπίτι τους, από το σχολικό βιβλίο(σελ ), τα εξής: Εφαρμογή σελ 197 και Ασκήσεις 6,7,8 α ομάδας B) 1 άσκηση στο φύλλο εργασίας 4 Τέστ αξιολόγησης (5 min) Δίνουμε τεστ αξιολόγησης ανώνυμο 5 Πηγές Βιβλιογραφία: Σχολικό βιβλίο Διαδίκτυο Ψηφιακό Σχολείο ΨΕΒ - Οδηγίες διαχείρισης ύλης του ΙΕΠ Σημειώσεις Διδάσκοντα Συνέχεια η και η διδακτική ώρα Δραστηριότητα 9 η : Διατυπώνουμε το πόρισμα για τη διατήρηση του πρόσημου μιας συνεχούς συνάρτησης σε ένα διάστημα Δ με f( ό), για λα τα και το δικαιολογούμε Επισημαίνουμε ότι αν αρνηθούμε μία από τις προϋποθέσεις, τότε δεν ισχύει πάντα το συμπέρασμα Παραδείγματα: Επιμέλεια: Κωνσταντίνος Λ Κωνσταντόπουλος Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Σελίδα 4
5 1 Άρνηση συνέχειας: ( 1 ) 1, [ 1, ) (, ] f( ) ασυνεχής στο = 4, = [ 1, ] και δεν διατηρεί σταθερό πρόσημο στο [ ] κάθε [ 1, ] Άρνηση της ( ) 1,, ενώ f( ) για f για κάθε : f( ) =, [ 1,1] είναι συνεχής στο [ 1,1], όμως f () = και η f διατηρεί σταθερό πρόσημο στο [ 1,1] Το αντίστροφο της πρότασης δεν ισχύει:, 1,, f( ) = 5, = [ 1, ], αφού ( ) ασυνεχής στο [ ) ( ] Διατηρεί σταθερό πρόσημο στο f > για κάθε [ 1, ] = αλλά η f είναι Δραστηριότητα 1 η : Διατυπώνουμε το πόρισμα για τη διατήρηση του πρόσημου μιας συνεχούς συνάρτησης σε καθένα από τα διαστήματα που ορίζουν οι πραγματικές της ρίζες στο πεδίο ορισμού της Δραστηριότητα 11 η : Διατύπωση της πρότασης : Αν f συνεχής και γνησίως μονότονη στο [ αβ, ] και f( a) f( β ) <, τότε η f έχει ακριβώς μία ρίζα στο ( αβ, ) (Μονοτονία = μοναδικότητα της ρίζας) Δραστηριότητα 1 η : Διατυπώνουμε σημαντικές παρατηρήσεις για το πρόσημο μιας συνεχούς συνάρτησης f με f( ό), για λα τα και f ( ξ ) < ή f ( ξ ) > με ξ Δραστηριότητα 1 η : Διατύπωση και απόδειξη μιας σπουδαίας πρότασης που βοηθάει σ:την επίλυση πολλών ασκήσεων: Κάθε πολυώνυμο περιττού βαθμού με πραγματικούς συντελεστές έχει τουλάχιστον μία πραγματική ρίζα Δραστηριότητα 14 η : Λύνονται ασκήσεις και παραδείγματα τα οποία χωρίζουμε στις εξής κατηγορίες: 1 Προϋποθέσεις ισχύος Θεωρήματος Βolzano Ύπαρξη μιας τουλάχιστον ρίζας δοθείσης εξίσωσης ή συνάρτησης στο ( αβ, ) Ύπαρξη ρίζας της f( ) = σε διάστημα της μορφής ( αβ, ] Επιμέλεια: Κωνσταντίνος Λ Κωνσταντόπουλος Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Σελίδα 5
6 4 Ύπαρξη μιας τουλάχιστον ρίζας χωρίς να αναφέρεται το διάστημα 5 Ύπαρξη ακριβώς μιας ή ακριβώς δύο ριζών στο διάστημα ( αβ, ) 6 Ύπαρξη ρίζας στο διάστημα ( αβ, ) σε εξίσωση με παρανομαστές 7 Πρόσημο συνάρτησης 8 Τομή των γραφικών παραστάσεων δύο συναρτήσεων σε ένα τουλάχιστον σημείο 9 Ύπαρξη ρίζας της εξίσωσης f( ) = f( + c) 1 Σταθερό πρόσημο συνάρτησης Δραστηριότητα 15 η : Δίνονται ασκήσεις εμπέδωσης με την αντίστοιχη μεθοδολογία Επιμέλεια: Κωνσταντίνος Λ Κωνσταντόπουλος Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Σελίδα 6
7 B ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Λύκειο Ενότητα: Θεώρημα Bolzano ( διδακτικές ώρες) Ονοματεπώνυμο 1 Λύστε τις παρακάτω εξισώσεις : a) = 6 b) συν=1 g) [,π ] d) + 1= = 1+ ηµ στο Απάντηση Σχεδιάστε μία ευθεία (ε) στο επίπεδο και πάρτε σημείο Α στο ένα ημιεπίπεδο και σημείο Β στο άλλο Γράψτε μία συνεχόμενη καμπύλη γραμμή (χωρίς να σηκώσετε το στυλό) από το Α στο Β Υπάρχει περίπτωση αυτή η καμπύλη να μην συναντήσει την ευθεία (ε); Επαναλάβετε το ίδιο παίρνοντας τώρα τα Α και Β στο ίδιο ημιεπίπεδο Συμβαίνει πάντα το ίδιο; Θεωρώντας τώρα ότι η ευθεία (ε) είναι ο άξονας, για να τον τέμνει πάντα μία καμπύλη γραμμή θα πρέπει αυτή να είναι και τα άκρα της να βρίσκονται του άξονα των 4 Διατύπωση του Θεωρήματος του Bolzano: Αν μία συνάρτηση f είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [ αβκαι, ] επιπλέον η f είναι στο [ αβ, ] Επιμέλεια: Κωνσταντίνος Λ Κωνσταντόπουλος Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Σελίδα 7
8 (δηλ οι τιμές f( α), f( β ) είναι ετερόσημες) τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ ( αβ, ) έτσι ώστε f ( ξ ) = Με άλλα λόγια η εξίσωση f ( ) = έχει τουλάχιστον μία πραγματική ρίζα στο ανοικτό διάστημα ( αβ, ) (Δηλαδή η C f τέμνει τον άξονα σε ένα τουλάχιστον σημείο με τετμημένη ( αβ) ), 5 Γεωμετρική ερμηνεία Γεωμετρικά μπορούμε να ερμηνεύσουμε το παραπάνω θεώρημα ως εξής: Το τμήμα της γραφικής παράστασης της f που περιέχεται μεταξύ των ευθειών = α και = β τέμνει τον τουλάχιστον μία φορά 6 Ας αρνηθούμε μία από τις προϋποθέσεις του ΘΒ Τότε το συμπέρασμα ισχύει πάντα; Ελέγξτε και αλγεβρικά τα παραπάνω στις συναρτήσεις: Επιμέλεια: Κωνσταντίνος Λ Κωνσταντόπουλος Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Σελίδα 8
9 [ ) f( ) = 5, = ( 1), 1, και g ( ), [,6] = 7 Το αντίστροφο του ΘΒ ισχύει; Ας δούμε πρώτα τα παρακάτω παραδείγματα Ελέγξτε και αλγεβρικά τα παραπάνω στις συναρτήσεις: [ ) [ ], 1, f( ) =,, και g ( ) =, [,6] Αρα το αντίστροφο του θεωρήματος Bolzano δεν ισχύει Αυτό σημαίνει ότι αν για μία πραγματική συνάρτηση f :[ αβ, ] R υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ ( αβ, ) έτσι ώστε f ( ξ ) = δεν συνεπάγεται αναγκαία ότι η f είναι ή ότι οι τιμές είναι ετερόσημες δηλαδή 8 Εφαρμογή του Θ Bolzano: Έστω η εξίσωση = 1+ ηµ Επιμέλεια: Κωνσταντίνος Λ Κωνσταντόπουλος Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Σελίδα 9
10 π π ; a) Αποδείξτε ότι έχει μία ρίζα στο (,π ) Μήπως ανήκει στο, π b) Αποδείξτε ότι η ρίζα ανήκει στο διάστημα, 9 Ερώτηση 1 Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο R και lim f( ) lim f( ) <, τότε η εξίσωση f( ) = έχει μια τουλάχιστον + πραγματική λύση Απάντηση: ΣΩΣΤΟ Σωστό Λάθος Ερώτηση f( α) f( β) [ αβ, ] Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [, ] αβ και ισχύει, τότε η εξίσωση f( ) = έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο Απάντηση: Σωστό Λάθος ΣΩΣΤΟ Ερώτηση Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής και αντιστρέψιμη στο R με f 1 () = και f 1 ( 1) =, τότε η εξίσωση f( ) = έχει μία ακριβώς πραγματική ρίζα Απάντηση: Σωστό Λάθος ΣΩΣΤΟ 1 Ασκήσεις για το σπίτι: Επιμέλεια: Κωνσταντίνος Λ Κωνσταντόπουλος Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Σελίδα 1
11 1) Αποδείξτε ότι η εξίσωση + 1= έχει μία ρίζα στο διάστημα (,1 ) Είναι μοναδική; Μήπως η ρίζα ανήκει στο διάστημα διάστημα 1, ; 1, 4 ;Μπορεί να έχει ρίζα στο ) Σχολικό βιβλίο: Εφαρμογή σελ 197 και ασκήσεις 6 & 7 σελ 198 και άσκηση 8 σελ199 Έστω f( ) = εϕ Αν είναι π π f( ) 1, f( ) τέτοιο ώστε f( ) = Γιατί συμβαίνει αυτό; = =, δεν υπάρχει π π, 4 4 4) Αν f συνεχής στο R, f(-1) = -1 και f(), τότε αποκλείεται να είναι f(15) = 15 Επιμέλεια: Κωνσταντίνος Λ Κωνσταντόπουλος Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Σελίδα 11
12 C ΤΕΣΤ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ Ερώτηση 1 Αν η συνάρτηση f είναι συνεχή ς στο [ αβ, ] και υπάρχει ( αβ) f = τότε ισχύει ότι f( α) f( β) ( ) < ώστε, Απάντηση: ΛΑΘΟΣ Σωστό Λάθος Ερώτηση Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [ αβ, ] και f( ) για κάθε ( αβ, ) ισχύει f( α) f( β) τότε Απάντηση: ΣΩΣΤΟ Σωστό Λάθος Ερώτηση Αν f( α) f( β) < και ( ) συνεχής στο [ αβ, ] f για κάθε ( αβ, ) τότε η συνάρτηση f δεν είναι Απάντηση: ΣΩΣΤΟ Σωστό Λάθος Ερώτηση 4 Πότε εφαρμόζουμε το Θεώρημα Bolzano; Το Θεώρημα Bolzano (όταν ικανοποιούνται οι προϋποθέσεις του) είναι ένας τρόπος για να αποδεικνύουμε την ύπαρξη μιας τουλάχιστον ρίζας της εξίσωσης f( ) = σε κάποιο ανοικτό διάστημα του πεδίου ορισμού της f Ερώτηση 5 Επιμέλεια: Κωνσταντίνος Λ Κωνσταντόπουλος Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Σελίδα 1
13 Με το Θεώρημα Bolzano βρίσκουμε την ρίζα της εξίσωσης f ( ) = ; Όχι Το Θεώρημα Bolzano μας εξασφαλίζει την ύπαρξη μιας τουλάχιστον ρίζας της εξίσωσης f( ) =, χωρίς όμως να την προσδιορίζει Για να βρούμε τη ρίζα ή τις ρίζες πρέπει να λύσουμε την εξίσωση με τους γνωστούς τρόπους που μάθαμε στην Α και Β Λυκείου Όταν η εξίσωση δε λύνεται μπορούμε να βρούμε τη ρίζα της εξίσωσης f( ) = διχοτομήσεις των διαστημάτων με όποια προσέγγιση θέλουμε με τη βοήθεια του Θεωρήματος Bolzano με διαδοχικές D ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Λύκειο Ενότητα: Θεώρημα Bolzano ( η & η διδακτική ώρα) 11 Αν μία συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ και ισχύει f( ) για όλα τα τότε συνάγουμε ότι f( ή ) f< ( ) > για κάθε Αυτό σημαίνει ότι η f διατηρεί σταθερό πρόσημο στο Δ Απόδειξη 1 Μία συνεχής συνάρτηση f διατηρεί το πρόσημο της σε καθένα από τα διαστήματα στα οποία οι διαδοχικές ρίζες της χωρίζουν το πεδίο ορισμού της Επιμέλεια: Κωνσταντίνος Λ Κωνσταντόπουλος Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Σελίδα 1
14 (Από την έκφραση «διαδοχικές ρίζες» συμπεραίνουμε ότι f( ) για κάθε ( ρ1, ρ) όπου ρ1, ρ είναι δύο διαδοχικές ρίζες της f ) 1 Α) Αν η f είναι συνεχής και γνησίως μονότονη στο [ αβ, ] και επί πλέον ισχύει f( α) f( β) <, τότε η f έχει ακριβώς μία ρίζα στο ( αβ, ) Β) Αν η f είναι συνεχής στο και ισχύει: af ά( ) για κ θε τ τε ( ) για κ θε β f ( ξ ) µε ξ > ό f > ά Γ) Αν η f είναι συνεχής στο και ισχύει: af ά( ) για κ θε τ τε ( ) για κ θε β f ( ξ ) µε ξ < ό f < ά 1 14 Κάθε πολυώνυμο P ( ) ν ν * = αν + αν α1+ α) με αν, ν, περιττού βαθμού με πραγματικούς συντελεστές έχει τουλάχιστον μία πραγματική ρίζα ( Διακρίνουμε περιπτώσεις: α ν > και α < ) Απόδειξη ν 15 Παραδείγματα: 1 η κατηγορία: Προϋποθέσεις ισχύος Θεωρήματος Bolzano Επιμέλεια: Κωνσταντίνος Λ Κωνσταντόπουλος Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Σελίδα 14
15 Δίνεται η συνάρτηση f( ) = + + 1, , < 1 Να εξετάσετε αν ικανοποιούνται οι προϋποθέσεις του θεωρήματος Bolzano στο διάστημα [ 1,1] Μεθοδολογία Εξετάζουμε αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο δοθέν διάστημα Αν έχει πολλούς κλάδους η συνάρτηση f εξετάζουμε επιπλέον τη συνέχεια της f στα σημεία που αλλάζει μορφή Διαπιστώνουμε αν οι τιμές f ( α ), f ( β ) είναι ετερόσημες Συμπεραίνουμε ότι υπάρχει ρίζα στο διάστημα που μας δίνεται η κατηγορία: Ύπαρξη μιας τουλάχιστον ρίζας δοθείσης εξίσωσης ή συνάρτησης στο ( αβ, ) 6 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ln = + 6 έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο διάστημα ( 1, e ) Μεθοδολογία Κάνουμε απαλοιφή παρονομαστών εφόσον απαιτείται Μεταφέρουμε όλους τους όρους στο πρώτο μέλος της εξίσωσης Θεωρούμε το πρώτο μέλος της εξίσωσης ως συνάρτηση f Εφαρμόζουμε το θεώρημα Bolzano στο [ αβ, ] η κατηγορία: Ύπαρξη ρίζας της f( ) = ( αβ, ] σε διάστημα της μορφής * Αν R να δείξετε ότι η εξίσωση αηµ + π = έχει μία α + τουλάχιστον ρίζα στο (,α + π] Μεθοδολογία Επιμέλεια: Κωνσταντίνος Λ Κωνσταντόπουλος Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Σελίδα 15
16 Ως γνωστόν το θεώρημα του Bolzano εφαρμόζεται σε κλειστό διάστημα [ αβ, ] ενώ το συμπέρασμα του στο αντίστοιχο ανοικτό διάστημα Έτσι λοιπόν όταν η ρίζα, μιας συνεχούς αβ, ή στα ημιανοικτά συνάρτησης f στο [, ] διαστήματα [ αβ, ) ή (, ] του θεωρήματος, δηλαδή f( ) f( ) αβ, μας ζητηθεί στο κλειστό διάστημα [ ] αβ, θα έχουμε και μηδενισμό του γινομένου στη δεύτερη συνθήκη α β, συνεπώς θα υπάρχει ένα τουλάχιστον [ αβ, ] ένα τουλάχιστον [ αβ) ή ένα τουλάχιστον [ αβ) f( ) =, διότι: Αν f( ) f( ), τέτοιο, ώστε, α β <, τότε θα υπάρχει ένα τουλάχιστον ( αβ) Αν f( α) f( β ) =, τότε = α ή = β, ή τέτοιο, ώστε f( ) = 4 η κατηγορία: Ύπαρξη μιας τουλάχιστον ρίζας χωρίς να αναφέρεται το διάστημα Να δείξετε ότι η εξίσωση στο R + = + 5 έχει τουλάχιστον μία ρίζα Μεθοδολογία Ελέγχουμε με δοκιμές ποιο μπορεί να είναι το κατάλληλο διάστημα ικανοποιούνται οι προϋποθέσεις του θεωρήματος Bolzano [ αβ, ] στο οποίο να 5 η κατηγορία: Ύπαρξη ακριβώς μιας ή ακριβώς δύο ριζών σε διάστημα ( αβ, ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 9+ 1= έχει ακριβώς δύο ρίζες στο (, ) Μεθοδολογία Δημιουργούμε την f κατά τα γνωστά Αποδεικνύουμε την ύπαρξη τουλάχιστον μίας ρίζας με το θεώρημα Bolzano Αποδεικνύουμε ότι η f είναι γνησίως μονότονη, άρα και 1-1 Συνεπώς η ρίζα θα είναι μοναδική Στην περίπτωση που πρέπει να αποδείξουμε την ύπαρξη ακριβώς δύο ριζών στο ( αβ, ) διαχωρίζουμε το δοθέν διάστημα σε δύο υποδιαστήματα και αποδεικνύουμε την ύπαρξη ακριβώς μίας ρίζας σε καθένα από αυτά Επιμέλεια: Κωνσταντίνος Λ Κωνσταντόπουλος Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Σελίδα 16
17 6 η κατηγορία: Ύπαρξη ρίζας σε διάστημα ( αβ, ) παρανομαστές σε εξίσωση με Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ρίζα στο διάστημα (, ) Μεθοδολογία = έχει τουλάχιστον μία Στην περίπτωση που η εξίσωση που μας δίνεται περιέχει παρονομαστές και η συνάρτηση που θεωρούμε δεν ορίζεται σε κάποιο από τα άκρα του διαστήματος, τότε πρώτα κάνουμε απαλοιφή παρονομαστών και κατόπιν θεωρούμε τη συνάρτηση f( ) Τελικά αποδεικνύουμε το ζητούμενο κάνοντας χρήση του θεωρήματος Bolzano με την f( ) 7 η κατηγορία: Πρόσημο συνάρτησης Βρείτε το πρόσημο της συνάρτησης διάστημα [, π ] f( ) = ηµ συν στο Μεθοδολογία Για να βρούμε το πρόσημο μιας συνεχούς συνάρτησης ως εξής: f σε ένα διάστημα Δ, εργαζόμαστε Διαπιστώνουμε τη συνέχεια της f στο διάστημα Δ Λύνουμε την εξίσωση f( ) =, Σε καθένα από τα υποδιαστήματα του Δ που ορίζουν οι διαδοχικές ρίζες της f, επιλέγουμε έναν αριθμό και βρίσκουμε την τιμή f( ) Το πρόσημο της τιμής f( ) είναι το πρόσημο της f στο αντίστοιχο διάστημα 8 η κατηγορία: Τομή των γραφικών παραστάσεων δύο συναρτήσεων σε ένα τουλάχιστον σημείο Να δείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων 4 f( ) = + + και g ( ) = τέμνονται σε ένα τουλάχιστον σημείο του διαστήματος ( 1,1) Μεθοδολογία Επιμέλεια: Κωνσταντίνος Λ Κωνσταντόπουλος Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Σελίδα 17
18 Τα σημεία τομής των δύο γραφικών παραστάσεων τα βρίσκουμε από τη λύση της εξίσωσης Αν μας ζητούν να αποδείξουμε την ύπαρξη ενός τουλάχιστον σημείου τομής των δύο γραφικών παραστάσεων τότε θεωρούμε τη συνάρτηση h ( ) = f( ) g ( ) και εφαρμόζουμε το θεώρημα Bolzano στο δοθέν διάστημα 9 η κατηγορία: Ύπαρξη ρίζας της εξίσωσης f( ) = f( + c) Έστω συνάρτηση f ορισμένη και συνεχής στο R με την ιδιότητα f( ) f( ) + + = για κάθε R Να αποδείξετε ότι υπάρχει [ ], ώστε να ισχύει f f ( ) = ( + ) 1 η κατηγορία: Σταθερό πρόσημο συνάρτησης Έστω συνάρτηση f συνεχής στο R και τέτοια ώστε: f ( ) + ( + 1 ) f( ) + e = e f( ) για κάθε R (1) α Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ln( + 1) = f() έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (,1 ) β Να αποδείξετε ότι f( ) > για κάθε R Μεθοδολογία Για να αποδείξουμε ότι μια συνεχής συνάρτηση f διατηρεί σταθερό πρόσημο σε ένα διάστημα Δ, δηλαδή ότι είναι f( ) > για κάθε ή f( ) < για κάθε, εργαζόμαστε με τη μέθοδο της απαγωγής σε άτοπο Συγκεκριμένα υποθέτουμε ότι η f δεν διατηρεί σταθερό πρόσημο στο Δ, οπότε θα υπάρχουν 1, με 1 <,ώστε f( 1) f( ) < Τότε εφαρμόζοντας το Θ Bolzano στο [, ] καταλήγουμε σε άτοπο 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1) Να δείξετε ότι η εξίσωση 1 ln =, έχει μοναδική ρίζα Επιμέλεια: Κωνσταντίνος Λ Κωνσταντόπουλος Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Σελίδα 18
19 ) Έστω συνάρτηση f ορισμένη και συνεχής στο [,5 ] με + + = (1) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f( ) = έχει μία f(1) f( f)() τουλάχιστον ρίζα στο [,5 ] ) Δίνεται ότι ο μιγαδικός αριθμός z 1 = 1+ i είναι ρίζα της εξίσωσης + + = Να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ (,1) τέτοιο z ( λ κ) z 5κ λ, κλ, R ώστε: ( ) ξ + κ λ ξ + κe ξ = 4) Έστω οι μιγαδικοί αριθμοί zw, τέτοιοι ώστε: z = 1και w = Έστω επίσης συνάρτηση f συνεχής στο R τέτοια ώστε: f z w f f ( ) ( ) 5 ( ) = + για κάθε R Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένας τουλάχιστον (,1) ώστε 5) Έστω συνάρτηση f συνεχής στο [ ] [,1] f( ) =,1,τέτοια ώστε f( ) 1 για κάθε Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένας τουλάχιστον [,1),ώστε f e f ( ) + = ( ) 6) Έστω συνάρτηση f ορισμένη και συνεχής στο R τέτοια ώστε: ( ) f( ) ηµ e e συν για κάθε R Να βρείτε το πρόσημο της f( ) 7) Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί zw, και η συνάρτηση f( ) w z w z = + Να αποδείξετε υπάρχει [ ] 1,1 8) Έστω η συνεχής συνάρτηση f : ώστε f ( ) = Να βρείτε το ( ( ) ) f( ) = με ( ) lim f ) Έστω η συνεχής συνάρτηση f : με ( 1) f για κάθε και f = και 1, διαδοχικές ρίζες της εξίσωσης f ( ) = Να βρείτε το lim + 1) Έστω μία συνεχής συνάρτηση f :[, α ] με ( ) κάθε [, α ] f ( ) f β < < για Αν β < α να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ( α ) ώστε ( ) β ( ), f f + = Επιμέλεια: Κωνσταντίνος Λ Κωνσταντόπουλος Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Σελίδα 19
20 11) ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ Έστω οι συναρτήσεις f, g ορισμού το R Δίνεται ότι η συνάρτηση της σύνθεσης f 1 Α Να δείξετε ότι η g είναι 1-1 Β Να δείξετε ότι η εξίσωση: ( ) ( ) ( ( ) 1) ακριβώς δύο θετικές και μία αρνητική ρίζα με πεδίο g f + = g f + έχει g είναι 1- (Υπόδειξη: Αν ζητείται η ύπαρξη περισσότερων σημείων ξ 1,ξ,,ξ ν τότε εφαρμόζουμε ν φορές το Θ Bolzano σε ν διαστήματα τα οποία δεν έχουν κοινά εσωτερικά σημεία Τα διαστήματα μπορεί να δίνονται ή τα προσδιορίζουμε εμείς) 1) Έστω μία συνεχής συνάρτηση με f ( 14) = 15 και f : R R ισχύει f( ά), γιαr κ θε Να βρείτε αν υπάρχει το lim f( ) + 1) Έστω f συνεχής στο R και οι μιγαδικοί z =α+ f(α)i και w = β- f(β)i με α β f(α) f(β) Έστω επίσης w + z < w - z Δείξτε ότι υπάρχει γ (α, β) : f(γ) = 14) Έστω f συνεχής, γνησίως αύξουσα και δεν μηδενίζεται στο [1, ] και ο μιγαδικός y = Δείξτε ότι : z f () 4 i f(1) f() = + του οποίου η εικόνα βρίσκεται στην ευθεία i) f(1) f() f() = -8 ii) f() <, για κάθε [1, ] iii) Υπάρχει (1, ) : f( ) = - (Θ Μεγίστης-Ελαχίστης τιμής) 1 Έστω Υποδείξεις 1 f( ) = ln,, +, f ( με τον ορισμό), lim f( ) = +, οπότε ( ) υπάρχει α κοντ άστο + τ έτοιο ώστε f ( α ) + >, lim f( ) = οπότε υπάρχει + + ( ) < και εφαρμ ΘΒ στο [, ] (, ) β κοντ άστο τ έτοιο ώστε f β αβ + 1 ος τρόπος : Θα ισχύει f(1) ή = f( = f)() = από τους προσθετέους είναι ετερόσημοι, οπότε εφαρμόζω ΘΒ ( περιπτώσεις) Επιμέλεια: Κωνσταντίνος Λ Κωνσταντόπουλος Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Σελίδα
21 ος τρόπος: Έστω ότι η f δεν έχει καμία ρίζα, δηλ [ ] f( ) ήf f( ) > ά ( ) < για κ θε,5, άρα f(1) ή + f f( + f f)() > f (1) + ( + )() < άτοπο 1 1 f( ) = + e και εφαρμόζω ΘΒ στο [ ] z = 1+ i z = z = 1 i, υπολογίζω κ=-1, λ=- και θεωρώ συνάρτηση,1 4 f( )( f ( ) + z+ w f( ) + 5) = + 1, Είναι = z+ w <, οπότε [,1 ] f( ) = f z w f f ( ) + z+ w f( ) + 5> αφού + 1 και εφαρμόζω ΘΒ στο ( ) + + ( ) g( ) = f ( ) + e f ( ), g(), g(1) > 6 Έστω ότι η f δεν διατηρεί σταθερό πρόσημο στο R, οπότε θα υπάρχουν 1, Rµε 1 < και f( 1) f( ) και εφαρμόζοντας ΘΒ υπάρχει ξ R: f( ξ) =, τότε e ξ συνξ + 1, άτοπο Άρα η f διατηρεί σταθερό πρόσημο στο R Για = f() 1 > f( ) > για κάθε R 7 f( 1) και f(1) 8 Η f διατηρεί πρόσημο, f ( ) = < f( ) <, οπότε ( ) 9 Όμοια f () < 1 ( ) ( ) β ( ) 11 Β g= f f + και εφαρμόζω ΘΒ g:1 1 ( ( ) ) ( ( ) ) ( ) ( ) f 1 < g f g f f f Έστω + = = = h ( ) = + 1, h () = 1 >, h (1) = 1 <, h () = > και h( ) = 1<, οπότε ΘΒ στα [, ], [,1 ], [ 1, ] 1 Έστω g ( ) = ά f( ) R, για κ θε, η g διατηρεί πρόσημο, gά ( ) >, για R κ θε, 1 lim =, οπότε άρα f( ) > + 1 w + z < w - z και εφαρμόζω ΘΒ στο [ αβ, ] 14 i) Re( z) = Im( z) > 1 1 g( ) > f( ) > f( ) > o< <, όμως f( ) ii) H f διατηρεί πρόσημο και από i) προκύπτει f( ) < iii) Ισχύει m f( ) M για κάθε [1, ] Θέτουμε =1,,, πολλαπλασιάζουμε τις ανισώσεις με -1 και χρησιμοποιώντας το i) προκύπτει m M Επιμέλεια: Κωνσταντίνος Λ Κωνσταντόπουλος Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Σελίδα 1
0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO - ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
Διαβάστε περισσότεραΣυνέχεια συνάρτησης σε διάστημα. Η θεωρία και τι προσέχουμε. x, ισχύει: lim f (x) f ( ).
Κεφάλαιο 4 Συνέχεια συνάρτησης σε διάστημα 411 Ερώτηση θεωρίας 1 Η θεωρία και τι προσέχουμε Πότε μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα (, ) αβ; Απάντηση Μια συνάρτηση f θα λέμε
Διαβάστε περισσότερα1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΣΥΝΕΧΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΟΡΙΣΜΟΣ Όταν θέλουμε να εξετάσουμε ως προς τη συνέχεια μια συνάρτηση πολλαπλού τύπου, εργαζόμαστε ως εξής
Διαβάστε περισσότεραA. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
8Α ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ A ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πότε μια συνάρτηση λέγεται συνεχής σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού o της ; Απάντηση : ( ΟΜΟΓ, 6 ΟΜΟΓ, 9 Β, ΟΜΟΓ, 5 Έστω μια συνάρτηση και ένα σημείο του πεδίου
Διαβάστε περισσότεραΘεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:
Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η
Διαβάστε περισσότεραA. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
8Α ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ A ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πότε μια συνάρτηση λέγεται συνεχής σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού o της ; Απάντηση : ( ΟΜΟΓ, 6 ΟΜΟΓ, 9 Β, ΟΜΟΓ, 5 Έστω μια συνάρτηση και ένα σημείο του πεδίου
Διαβάστε περισσότεραΣυνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα
8 Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1 Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι: i Συνεχής σε ένα ανοιχτό διάστημα (α,β) όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του διαστήματος (α,β)
Διαβάστε περισσότεραΜέθοδος Α. Β 3. Η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα των xx σε ένα σημείο με τετμημένη ξ [α,β],
Θωμάς Ραϊκόφτσαλης ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΕ ΚΛΕΙΣΤΟ ΔΙΑΣΤΗΜΑ Μέθοδος Α Αν μας ζητείτε να αποδείξουμε ότι ισχύει ένα από τα εξής: Α. Η εξίσωση f() έχει μια τουλάχιστον ρίζα ξ (α,β), Α. Υπάρχει ξ (α,β) έτσι ώστε f(ξ),
Διαβάστε περισσότεραf(x) = και στην συνέχεια
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση. Στις συναρτήσεις μπορούμε να μετασχηματίσουμε πρώτα τον τύπο τους και μετά να βρίσκουμε το πεδίο ορισμού τους; Όχι. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης το βρίσκουμε πριν μετασχηματίσουμε
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ.2.5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Παράδειγμα. Να εξετάσετε από τις παρακάτω συναρτήσεις ποιές ικανοποιούν
Διαβάστε περισσότερα13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης
3 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρημα Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ ένα διάστημα Δ, τότε: Αν f ( ) > 0για κάθε εσωτερικό του Δ, η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. Αν
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός
ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE
ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE Αν μια συνάρτηση f είναι : συνεχής στο κλειστό [α,β] παραγωγίσιμη στο ανοιχτό (α,β) f(α)=f(β) f 0 τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον, τέτοιο ώστε ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ : σημαίνει ότι υπάρχει
Διαβάστε περισσότεραΜ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ
Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών
Διαβάστε περισσότεραθ. Bolzano θ. Ενδιάμεσων τιμών θ. Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές
Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ΕΜΕ (Τεύχος 35) θ Bolzano θ Ενδιάμεσων τιμών θ Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές Στο άρθρο αυτό επιχειρείται μια προσέγγιση των βασικών αυτών θεωρημάτων με εφαρμογές έ- τσι ώστε να
Διαβάστε περισσότεραΟ μαθητής που έχει μελετήσει τo κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:
Ο μαθητής που έχει μελετήσει τo κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:. Να μπορεί να βρίσκει απο τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης το πεδίο ορισμού της το σύνολο τιμών της την τιμή της σε ένα σημείο..
Διαβάστε περισσότεραx είναι f 1 f 0 f κ λ
3 Ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ [Κεφάλαια, Μέρος Β' του σχολικού βιβλίου] ΘΕΜΑ Α.Βλέπε σχολικό βιβλίο, σελίδα 4.. Βλέπε σχολικό βιβλίο, σελίδα 88, 89. 3. α) ΣΩΣΤΟ, διότι αν η f παραγωγίσιμη στο χ
Διαβάστε περισσότεραΒΑΣΙΚΑ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΣΥΝΕΧΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΥ ΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΣΕ ΚΛΕΙΣΤΟ ΔΙΑΣΤΗΜΑ
ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΣΥΝΕΧΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΥ ΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΣΕ ΚΛΕΙΣΤΟ ΔΙΑΣΤΗΜΑ Του ΔΗΜΗΤΡΗ ΝΤΡΙΖΟΥ σχολικού συμβούλου Μαθηματικών Τρικάλων και Καρδίτσας drizosdim@yahoo.gr Εισαγωγή Σύντομη ιστορική αναδρομή Το
Διαβάστε περισσότερατα βιβλία των επιτυχιών
Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από
Διαβάστε περισσότεραΕπαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο -ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Απο το Ψηφιακό Σχολείο του ΥΠΠΕΘ Επιμέλεια: Συντακτική Ομάδα mathpgr Συντονιστής:
Διαβάστε περισσότεραΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 10: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση.
Διαβάστε περισσότερα2.6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ
6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Αν θέλουμε να δείξουμε ότι μια συνάρτηση είναι σταθερή σε ένα διάστημα Δ αποδεικνύουμε ότι η είναι συνεχής στο Δ και ότι για κάθε
Διαβάστε περισσότεραΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ: Τύποι - Βασικές έννοιες
Τύποι - Βασικές έννοιες Όρια - Συνέχεια 37. ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ: Τύποι - Βασικές έννοιες Με τη βοήθεια του παρακάτω θεωρήματος διευκολύνεται ο υπολογισμός ορίων (άλγεβρα ορίων): Αν τα όρια lim f () και lim g()
Διαβάστε περισσότερααβ (, ) τέτοιος ώστε f(x
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Άσκηση α) Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [ αβ., ] Αν η f είναι συνεχής στο [ αβ, ]
Διαβάστε περισσότερα2. Αν έχουμε μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ.
Κατηγορία η Εύρεση μονοτονίας Τρόπος αντιμετώπισης:. Αν έχουμε μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f( ) σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το
Διαβάστε περισσότεραΚαθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com.
Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com. A. Οι κανόνες De L Hospital και η αρχική συνάρτηση κάνουν πιο εύκολη τη λύση των προβλημάτων με το Θ. Rolle. B. Η αλγεβρική
Διαβάστε περισσότεραMαθηματικά Θετικής - Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ. Λυκείου Ανάλυση Κεφ. 1 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
Γ. Λυκείου Ανάλυση Κεφ. ο Γ / ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΙΣΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
Διαβάστε περισσότεραΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ
ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...
Διαβάστε περισσότεραΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ Δ/ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Β. ΑΙΓΑΙΟΥ
ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ Δ/ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Β ΑΙΓΑΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΩΝ ΟΜΑΔΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ.2.6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ..6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα 1. ΘΕΜΑ Β Να μελετηθούν ως προς την μονοτονία
Διαβάστε περισσότεραΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΟ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΟ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ -ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο τουr Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μια διαδικασία (κανόνα)
Διαβάστε περισσότεραg(x) =α x +β x +γ με α= 1> 0 και
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ..3: Μονότονες Συναρτήσεις - Αντίστροφη Συνάρτηση σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα.
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ
5 ΧΡΟΝΙΑ ΕΜΠΕΙΡΙΑ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β]. Αν η f είναι συνεχής στο [α,β]
Διαβάστε περισσότεραΓ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α
ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Έστω µια συνάρτηση f παραγωγίσιµη σ ένα διάστηµα (α, β), µε εξαίρεση ίσως ένα σηµείο του, στο
Διαβάστε περισσότεραΓ ε ν ι κ έ ς εξ ε τ ά σ ε ι ς Μαθηματικά Γ λυκείου Θ ε τ ι κ ών και οικονομικών σπουδών
Φ ρ ο ν τ ι σ τ ή ρ ι α δ υ α δ ι κ ό ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ δυαδικό Γ ε ν ι κ έ ς εξ ε τ ά σ ε ι ς 6 Μαθηματικά Γ λυκείου Θ ε τ ι κ ών και οικονομικών σπουδών Τα θέματα επεξεργάστηκαν οι καθηγητές των Φροντιστηρίων
Διαβάστε περισσότεραΦ4: ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
Φ4: ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΓΙΑΝΝΗΣ ΧΡΑΣ -3 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α - ΘΕΩΡΙΑ - ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ - ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ - ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΘΕΜΑ Β - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Γ -
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. ΜΕΡΟΣ Α : Άλγεβρα. Κεφάλαιο 2 ο (Προτείνεται να διατεθούν 12 διδακτικές ώρες) Ειδικότερα:
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΕΡΟΣ Α : Άλγεβρα Κεφάλαιο ο (Προτείνεται να διατεθούν διδακτικές ώρες) Ειδικότερα:. -. (Προτείνεται να διατεθούν 5 διδακτικές ώρες).3 (Προτείνεται να διατεθούν
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ορισμός Θεωρούμε μια συνάρτηση f συνεχή σ' ένα διάστημα Δ και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ. α) Θα λέμε ότι η f είναι κυρτή ή στρέφει τα κοίλα άνω στο Δ, αν η f
Διαβάστε περισσότεραΘεώρημα Bolzano. Γεωμετρική Ερμηνεία του θ.bolzano. Θ. Bolzano και ύπαρξη ρίζας
Θεώρημα Bolzano Έστω μια συνάρτηση f η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α, β]. Αν: Η f είναι συνεχής στο [α, β] και Ισχύει f(a)f(β) < 0, τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα x 0 (α, β) τέτοιο ώστε
Διαβάστε περισσότεραV. Διαφορικός Λογισμός. math-gr
V Διαφορικός Λογισμός Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blospotcom, bouboulismyschr ΜΕΡΟΣ Η έννοια της Παραγώγου Α Ορισμός Εφαπτομένη καμπύλης συνάρτησης: Έστω μια συνάρτηση και A, ένα σημείο της C Αν
Διαβάστε περισσότερα( ) f( x ) ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. Επώνυμο: Όνομα: Τμήμα: Ημερομηνία: Α Βαθ. Β Βαθ. Μ.Ο. (ενδεικτικές λύσεις)
Επώνυμο: Όνομα: Τμήμα: ΤΣΙΜΙΣΚΗ & ΚΑΡΟΛΟΥ ΝΤΗΛ ΓΩΝΙΑ ΤΗΛ : 777 594 ΑΡΤΑΚΗΣ Κ. ΤΟΥΜΠΑ ΤΗΛ : 99 9494 www.sygrono.gr Ημερομηνία: Α Βαθ. Β Βαθ. Μ.Ο. ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (ενδεικτικές
Διαβάστε περισσότεραΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτοµένης της γραφικής παράστασης τη f(x) στο σηµείο x ο είναι f x ) (Μονάδες 4)
Αµυραδάκη, Νίκαια (-493576) ΘΕΜΑ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 3 Α. Πότε µια συνάρτηση f λέγεται παραγωγίσιµη στο ο ; Β. Τι σηµαίνει γεωµετρικά το θεώρηµα Rolle ; Γ. Να αποδείξετε ότι ( ) a = a ln a (Μονάδες 5) (Μονάδες
Διαβάστε περισσότεραΘεώρημα Bolzano. ΑΠΑΝΤΗΣΗ. Έστω μια συνάρτηση f, ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [, ]. Αν: η f είναι συνεχής στο [, ] και, επιπλέον, ισχύει
Θεώρημα Bolzno. ΑΠΑΝΤΗΣΗ Έστω μια συνάρτηση f, ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [, ]. Αν: η f είναι συνεχής στο [, ] και, επιπλέον, ισχύει f f 0, τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον, 0 (, ) τέτοιο, ώστε f( 0
Διαβάστε περισσότεραΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ορισμοί Μία συνάρτηση f λέγεται: 1 γνησίως αύξουσα σ' ένα υποσύνολο Β του πεδίου ορισμού της όταν για κάθε 1, Β με 1 < ισχύει ότι f( 1 ) < f( ) γνησίως φθίνουσα σ' ένα υποσύνολο Β
Διαβάστε περισσότεραΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f () σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος. Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων.
Άσκηση Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων Μέρος ο i. Δίνεται η γνησίως μονότονη συνάρτηση f : A IR. Να αποδείξετε
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ. f ( x) 0 0 2x 0 x 0
ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ) 8 ΜΑΪΟΥ 6 ΘΕΜΑ Α Α. Θεωρία, βλ. σχολικό βιβλίο
Διαβάστε περισσότερα2.8 ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
8 ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 49 ΟΡΙΣΜΟΣ 6 4 Πότε μια συνάρτηση λέγεται κυρτή και πότε κοίλη σε ένα διάστημα Δ ; Απάντηση : Έστω μία συνάρτηση σ υ ν ε χ ή ς σ ένα διάστημα Δ και π α ρ α γ ω γ ί
Διαβάστε περισσότερανα είναι παραγωγίσιμη Να ισχύει ότι f Αν μια από τις τρεις παραπάνω συνθήκες δεν ισχύουν τότε δεν ισχύει και το θεώρημα Rolle.
Κατηγορία η Συνθήκες θεωρήματος Rolle Τρόπος αντιμετώπισης:. Για να ισχύει το θεώρημα Rolle για μια συνάρτηση σε ένα διάστημα [, ] (δηλαδή για να υπάρχει ένα τουλάχιστον (, ) τέτοιο ώστε ( ) ) πρέπει:
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Παύλος Βασιλείου
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Παύλος Βασιλείου Σε όλους αυτούς που παλεύουν για έναν καλύτερο κόσμο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΟ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ -ΟΡΙΟ
Διαβάστε περισσότερα52 Χρόνια ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΣΑΒΒΑΪΔΗ-ΜΑΝΩΛΑΡΑΚΗ ΠΑΓΚΡΑΤΙ : Εκφαντίδου 26 και Φιλολάου : Τηλ.:
5 Χρόνια ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΠΑΓΚΡΑΤΙ : Εκφαντίδου 6 και Φιλολάου : Τηλ.: 107601470-107600179 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 01 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ: ΘΕΜΑ 1 ο Α. i) Θεωρία, σχολικό
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ( ) ( ) ( ) α β, παραγωγίσιμη στο ( ) β με. β α β α. f β f α. g ( ξ ) = 0, δηλαδή
Κεφάλαιο: ιαφορικός Λογισμός Το θεώρημα μέσης τιμής αποτελεί γενίκευση του θεωρήματος Rolle Λόγω όμως των πολλών και σημαντικών εφαρμογών του θεωρείται ένα από τα πλέον θεμελιώδη θεωρήματα της ανάλυσης
Διαβάστε περισσότεραΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις παρακάτω συναρτήσεις: f (x) = 0 x(2ln x + 1) = 0 ln x = x = e x =
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 0: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ
Διαβάστε περισσότερα1. Υπολογίστε, όπου αυτές υπάρχουν, τις παραγώγους των συναρτήσεων:
Υπολογίστε, όπου αυτές υπάρχουν, τις παραγώγους των συναρτήσεων:, g, h Απάντηση: Η με έχει παράγωγο 4 Μπορούμε όμως να εργαστούμε ως εξής: Είναι άρα 4 Η g με g έχει παράγωγο : g Η συνάρτηση h με h έχει
Διαβάστε περισσότεραΔιαγώνισμα Προσομοίωσης Εξετάσεων 2017
Ένα διαγώνισμα προετοιμασίας για τους μαθητές της Γ Λυκείου στα Μαθηματικά Προσανατολισμού Διαγώνισμα Προσομοίωσης Εξετάσεων 7 Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κων/νος Παπασταματίου Μαθηματικός Φροντιστήριο
Διαβάστε περισσότεραΑ2. α. Ψ β. Σχολικό βιβλίο σελ. 134 ΣΧΟΛΙΟ): Πχ. για την
ΛΥΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ 7 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 9 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΜΑ Α Α. Σχολικό βιβλίο (έκδοση 8) σελ. 7 Α. α. Ψ β. Σχολικό
Διαβάστε περισσότεραΔιαγωνίσματα ψηφιακού βοηθήματος σχολικού έτους
ΨΗΦΙΑΚΌ ΒΟΗΘΗΜΑ ΥΠΠΕΘ Διαγωνίσματα ψηφιακού βοηθήματος σχολικού έτους 7-8 Με τις λύσεις τους o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 7: ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΣΠΟΥΔΩΝ
Διαβάστε περισσότεραΜΕΡΟΣ Β ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ
ΜΕΡΟΣ Β ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ-ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ η Έκδοση, Ιανουάριος 7 Γιάννης Καραγιάννης
Διαβάστε περισσότερα2.7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
.7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ I. Αν μια συνάρτηση παρουσιάζει τοπικό ακρότατο σε ένα εσωτερικό σημείο του πεδίου ορισμού της και είναι παραγωγισιμη σε αυτό τότε ( ).(Θεώρημα Fermat) II.
Διαβάστε περισσότεραΠολλά ψέματα λίγες αλήθειες. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1 ο
Πολλά ψέματα λίγες αλήθειες. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΡΟΣ ο ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Οι απαντήσεις βρίσκονται μετά τις εκφωνήσεις Εξετάστε αν είναι αληθείς ή ψευδείς οι παρακάτω προτάσεις και αιτιολογήστε.
Διαβάστε περισσότεραΜονοτονία - Ακρότατα - 1 1 Αντίστροφη Συνάρτηση
4 Μονοτονία - Ακρότατα - Αντίστροφη Συνάρτηση Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Μονοτονία συνάρτησης Μια συνάρτηση f λέγεται: Γνησίως αύξουσα σ' ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε,
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΠΤΥΧΙΟΥΧΟΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ (ΕΚΠΑ) ΔΙΑΔΙΚΤΥΑΚΟ
Διαβάστε περισσότεραα) () z i z iz i Αν z i τότε i( yi) i + + y y y ( y) i i y + 4y + 4, y y 4. Άρα z i. 4 β) ( z) z i z z i z ( i) z, οπότε ( z ) i z z Άρα z z γ) Αν z τ
Λυμένα θέματα στους Μιγαδικούς αριθμούς. Δίνονται οι μιγαδικοί z, w και u z w. α) Να αποδείξετε ότι ο μιγαδικός z είναι φανταστικός αν και μόνο αν ισχύει z z. β) Αν για τους z και w ισχύει: z + w z w,
Διαβάστε περισσότερα1 ο Τεστ προετοιμασίας Θέμα 1 ο
ο Τεστ προετοιμασίας Θέμα ο Σε κάθε μια από τις ακόλουθες προτάσεις αφού πρώτα σημειώσετε το Σ (σωστή) ή το Λ (λανθασμένη), στη συνέχεια να δώσετε μια σύντομη τεκμηρίωση της όποιας απάντησή σας Αν για
Διαβάστε περισσότερα) της γραφικής παράστασης της f που άγονται από το Α, τις οποίες και να βρείτε. Μονάδες 8 Γ2. Αν ( 1) : y x, και ( 2
Α Π Α Ν Τ Η Σ Ε Ι Σ Θ Ε Μ Α Τ Ω Ν Π Α Ν Ε Λ Λ Α Δ Ι Κ Ω Ν Ε Ξ Ε Τ Α Σ Ε Ω Ν 7 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 9.6.7 ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f ()
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος. Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων
Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων Άσκηση i. Δίνεται η γνησίως μονότονη συνάρτηση f : A IR. Να αποδείξετε ότι
Διαβάστε περισσότεραΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΝΕΟ & ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ
ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΝΕΟ & ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΘΕΜΑ Α ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 18 ΜΑΪΟΥ 16 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ
Διαβάστε περισσότεραΑ3. Σχολικό βιβλίο σελ. 142 Γεωμετρική ερμηνεία του θ. Fermat: Στο σημείο (x o, f(x o )) η εφαπτομένη της C f είναι οριζόντια.
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΗΣΗΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ 8 ΜΑΡΤΙΟΥ 08 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΜΑ Α Α. Σχολικό βιβλίο σελ. 76 Α. α. Ψ β. Σχολικό
Διαβάστε περισσότεραΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.)
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση. ΘΕΜΑ Β Δίνεται
Διαβάστε περισσότεραΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ 18 ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΥ 2016 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. f x = x 6x + 3, x 1, 1. Η f είναι συ-
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ 8 ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΥ 06 ΘΕΜΑ Α Α. i. Σωστό ii. Λάθος iii. Λάθος iv. Λάθος v. Λάθος ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ f = 6 +,,. Η f είναι συ- Α. Θεωρούμε συνάρτηση ( ) [ ]
Διαβάστε περισσότεραΟΙ πιο πάνω έννοιες εκφράζουν όπως λέμε τη μονοτονία της συνάρτησης.
3 Μονοτονία συναρτήσεων 3 Μονοτονία συναρτήσεων 3Α Μονοτονία συνάρτησης Έστω f μία συνάρτηση με πεδίο ορισμού Γνησίως αύξουσα συνάρτηση Η συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα στο Δ αν για κάθε, Δ, με
Διαβάστε περισσότεραΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙΔΕΣ
ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ ΟΜΑΔΑ Β ΔΕΥΤΕΡΑ 5 ΜΑΪΟΥ 5 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ:
Διαβάστε περισσότερα1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 73 8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ρισμός της συνέχειας Έστω οι συναρτήσεις g h παρακάτω σχήματα των οποίων οι γραφικές παραστάσεις δίνονται στα C h 6 l ( C l g( C g l l (a Παρατηρούμε ότι:
Διαβάστε περισσότεραΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΩΝ ΜΟΡΦΩΝ MIAΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ
ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΩΝ ΜΟΡΦΩΝ MIAΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ Στα παρακάτω γίνεται μία προσπάθεια, ομαδοποίησης των ασκήσεων επίλυσης εξισώσεων και ανισώσεων, συναρτησιακών μορφών, συνεχών συναρτήσεων,
Διαβάστε περισσότεραΠρότυπα κλειστά τμήματα «ΜΕΘΟΔΟΣ» 2.6. ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE. Υποδείξεις Απαντήσεις Ασκήσεων. Προσδιορισμός παραμέτρων ώστε να εφαρμόζεται το θεώρημα Rolle
Σελ.414 Πρότυπα κλειστά τμήματα «ΜΕΘΟΔΟΣ».6. ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE Υποδείξεις Απαντήσεις Ασκήσεων.344. α. Σωστό β. Λάθος γ. Λάθος δ. Σωστό ε. Σωστό στ. Σωστό ζ. Λάθος η. Σωστό θ. Σωστό ι. Λάθος ια. Σωστό ιβ. Σωστό
Διαβάστε περισσότεραΑναλυτικές λύσεις όλων των θεμάτων στα Μαθηματικά των Πανελλαδικών εξετάσεων και των Επαναληπτικών εξετάσεων Θεολόγης Καρκαλέτσης
Αναλυτικές λύσεις όλων των θεμάτων στα Μαθηματικά των Πανελλαδικών εξετάσεων και των Επαναληπτικών εξετάσεων 9 Θεολόγης Καρκαλέτσης Μαθηματικός teomail@schgr Πρόλογος Στο βιβλίο αυτό περιέχονται όλα τα
Διαβάστε περισσότεραΗ ΜΕΘΟΔΕΥΣΗ ΤΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ
Σελίδα 1 από 34 Η ΜΕΘΟΔΕΥΣΗ ΤΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Μπάμπης Στεργίου 017 Εισαγωγή Οι εξισώσεις, η λύση τους, η εύρεση του πλήθους ριζών τους ή τα ερωτήματα που αφορούν στην ύπαρξη ριζών, αποτελούν ένα σημαντικό
Διαβάστε περισσότεραΓΕΛ. ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ
ΓΕΛ. ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 213-14 Ονοματεπώνυμο Τμήμα Θεώρημα Rolle Michel Rolle (1652 1719) Γάλλος μαθηματικός γεννήθηκε στο Ambert- Basse και πέθανε στο Παρίσι. Αυτοδίδακτος μαθηματικός σε αυτόν οφείλεται ο
Διαβάστε περισσότεραΤΩΝ ΟΜΑΔΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΩΝ ΟΜΑΔΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΒΑΣΙΚΕΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ, ΟΡΙΟ, ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΚΑΙ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
Διαβάστε περισσότεραΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
Νίκος Ζανταρίδης (Φροντιστήριο Πυραμίδα) ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ένα γενικό θέμα Ανάλυσης Χρήσιμες Προτάσεις Ασκήσεις για λύση Μικρό βοήθημα για τον υποψήφιο μαθητή της Γ Λυκείου λίγο πριν τις εξετάσεις Απρίλιος
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ
ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 4 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν Η f είναι συνεχής στο Δ και f = για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ τότε να αποδείξετε
Διαβάστε περισσότεραIV. Συνέχεια Συνάρτησης. math-gr
IV Συνέχεια Συνάρτησης mth-gr mth-gr Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grblogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ Συνέχεια Συνάρτησης Α Ορισμός Συνέχεια σε σημείο: Θα λέμε ότι μια συνάρτηση είναι συνεχής
Διαβάστε περισσότερα4ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά προσανατολισμού της Γ Λυκείου
4ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά προσανατολισμού της Γ Λυκείου 8-9 Θέμα A A Αν οι συναρτήσεις,g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι η συνάρτηση και ισχύει: g g παραγωγίσιμη στο μονάδες
Διαβάστε περισσότεραΗΡΑΚΛΕΙΤΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΗΡΑΚΛΕΙΤΟΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β') ΔΕΥΤΕΡΑ 28 ΜΑΪΟΥ 2012
ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β') ΔΕΥΤΕΡΑ 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE. τέτοιο ώστε. στο οποίο η εφαπτομένη είναι παράλληλη στον άξονα χχ. της γραφικής παράστασης της f x με. Κατηγορίες Ασκήσεων
Διατύπωση: Εάν για μια συνάρτηση ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE x ισχύουν Η x συνεχής στο [α,β] Η x παραγωγίσιμη στο (α, β) a τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον, τέτοιο ώστε ' 0 Γεωμετρική Ερμηνεία : Γεωμετρικά το θεώρημα ROLLE
Διαβάστε περισσότερα5.1.1 Η θεωρία και τι προσέχουμε
Κεφάλαιο 5 Συνέχεια συνάρτησης σε διάστημα Συνέπειες του Θεωρήματος Bolzano 5.. Η θεωρία και τι προσέχουμε Τα κύρια χαρακτηριστικά μιας συνεχούς συνάρτησης f ορισμένης σε ένα διάστημα Δ, είναι: i. Η γραφική
Διαβάστε περισσότεραΗ Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου
Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑ Α. Α1. Θεωρία -απόδειξη θεωρήματος στη σελίδα 262 (μόνο το iii) στο σχολικό βιβλίο.
ΙΟΥΝΙΟΥ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Θεωρία -απόδειξη θεωρήματος στη σελίδα 6 (μόνο το iii) στο σχολικό βιβλίο.
Διαβάστε περισσότερα[ α π ο δ ε ί ξ ε ι ς ]
Γ' Λυκείου Κατεύθυνση [ α π ο δ ε ί ξ ε ι ς ] ε ξ ε τ α σ τ έ α ς ύ λ η ς 7-8 Επιμέλεια Κόλλας Αντώνης Όριο πολυωνυμικής στο Αν P( = αν ν + αν ν +... + α + α είναι πολυώνυμο του και, τότε: P( P( P( =...
Διαβάστε περισσότεραΟι ασκήσεις βασίζονται στο αξιόλογο φυλλάδιο του Μαθηματικού Μιλτ. Παπαγρηγοράκη, από τις σημειώσεις του για το 4ο Γενικό Λύκειο Χανίων [ <
Οι ασκήσεις βασίζονται στο αξιόλογο φυλλάδιο του Μαθηματικού Μιλτ. Παπαγρηγοράκη, από τις σημειώσεις του για το 4ο Γενικό Λύκειο Χανίων [008-009 < Mathematica.gr], τον οποίο κι ευχαριστώ ιδιαίτερα για
Διαβάστε περισσότερα2.8 ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 8 ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 49 ΟΡΙΣΜΟΣ 6 4 Πότε μια συνάρτηση λέγεται κυρτή και πότε κοίλη σε ένα διάστημα Δ ; Απάντηση : Έστω μία συνάρτηση σ υ ν ε χ ή ς σ ένα
Διαβάστε περισσότερα********* Β ομάδα Κυρτότητα Σημεία καμπής*********
********* Β ομάδα Κυρτότητα Σημεία καμπής********* 5 Για την δύο φορές παραγωγίσιμη στο R συνάρτηση ισχύει: e για κάθε R. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της δεν παρουσιάζει σημείο καμπής. Υποθέτουμε
Διαβάστε περισσότεραOΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Έστω Α ένα υποσύνολο του Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α ; Απάντηση : ΕΣΠ Β Έστω
Διαβάστε περισσότερα35 Χρήσιμες Προτάσεις με αποδείξεις Γ Λυκείου Μαθηματικά Κατεύθυνσης
4 5 35 Χρήσιμες Προτάσεις με αποδείξεις Γ Λυκείου Μαθηματικά Κατεύθυνσης Περίληψη: Στο ένθετο αυτό περιλαμβάνονται 35 βασικές προτάσεις, μικρά λήμματα χρήσιμα για τις εξετάσεις. Μας βοηθούν να «ξεκλειδώνουμε»
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2003
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ o A. Να αποδείξετε ότι, αν µία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σ ένα σηµείο x, τότε είναι και συνεχής στο σηµείο αυτό.
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO Μία διδακτική προσέγγιση
Μία διδακτική προσέγγιση ΦΥΛΛΑ ΕΡΓΑΣΙΑΣ (4-2ωρα) Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 1 ο 2ωρο Μπέρναρντ Μπολζάνο (1781-1848) (Πηγή: http://en.wikipedia.org/wiki/bernard_bolzano ) www.commonmaths.weebly.com Σελίδα
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑ Α. lim f(x) 0 και lim g(x), τότε lim [f(x) g(x)] 0. lim.
ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 9 ΙΟΥΝΙΟΥ 7 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΡΕΙΣ A. Έστω μια συνάρτηση
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ
Διατύπωση: Αν μια συνάρτηση είναι: συνεχής στο κλειστό διάστημα [ α β] και παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα ( α β) τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ ( α β) τέτοιο ώστε: ( ( β) ( α) β α Γεωμετρικά αυτό σημαίνει
Διαβάστε περισσότεραΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΝΕΟ & ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ
ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΝΕΟ & ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΘΕΜΑ Α ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 8 ΜΑΪΟΥ 6 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΝΕΟ
Διαβάστε περισσότερα