3.""Πώς"θα"λύσω"μια"εξίσωση"δευτέρου"βαθμού;

Transcript

1 3.""Πώς"θα"λύσω"μια"εξίσωση"δευτέρου"βαθμού; Βασικό! Το να έχεις τον άγνωστο x με εκθέτη 2 εξ αρχής στην εξίσωση, δεν είναι σίγουρο ότι θα δώσει εξίσωση δευτέρου βαθμού! Αυτό θα προκύψει μετά την εκτέλεση των πράξεων που απαιτούνται στην εξίσωση. Υπάρχουν οι εξής περιπτώσεις, όπου φαίνεται ότι δεν απαιτείται πάντα η χρήση της διακρίνουσας για να λυθεί μια εξίσωση δευτέρου βαθμού. α) Όταν η εξίσωση έχει μέσα της και x 2 και x και σταθερό αριθμό (δηλαδή έχει την μορφή αx 2 + βx + γ = 0 ), τότε λύσ' την με την χρήση της διακρίνουσας. β) 'Οταν η εξίσωση έχει μέσα της μόνο x 2 και x (δηλαδή έχει την μορφή αx 2 + βx = 0 ), τότε λύνεται με παραγοντοποίηση, δηλαδή αx 2 + βx = 0 x(αx + β) = 0 x = 0 ή αx + β = 0, οπότε πάντα έχεις μια λύση x = 0 και μια απλή εξίσωση πρώτου βαθμού, την αx + β = 0. γ) Όταν η εξίσωση έχει μέσα της μόνο x 2 και έναν σταθερό αριθμό (δηλαδή έχει την μορφή αx 2 + γ = 0 ), τότε λύσε την εξίσωση ως προς x 2, οπότε: αν δεξιά προκύψει θετικός αριθμός θ (οπότε η εξίσωση θα λάβει την μορφή x 2 = θ, θ > 0 ), τότε λύσεις της είναι οι αριθμοί x = θ ή x = θ. αν δεξιά προκύψει αρνητικός αριθμός α (οπότε η εξίσωση θα λάβει την μορφή x 2 = α, α < 0 ), τότε η εξίσωση είναι αδύνατη στο! (αφού δεν μπορεί ένα τετράγωνο να δίνει ως αποτέλεσμα έναν αρνητικό αριθμό). Στην περίπτωση που η εξίσωση είναι κλασματική, ισχύουν όσα αναφέρθηκαν παραπάνω για την εξίσωση πρώτου βαθμού και την ύπαρξη κλασμάτων. 4.""Πώς"θ'"απλοποιήσω"μια"απόλυτη"τιμή; Βασικότατο!! Ισχύει x 0, για κάθε x!. Αυτό είναι χρήσιμο, όταν χρειάζεσαι το πρόσημο κάποιας παράστασης και υπάρχει και απόλυτη τιμή. Όταν πρέπει ν' απλοποιήσεις μια απόλυτη τιμή (δηλαδή να συνεχίσεις στην άσκηση χωρίς αυτήν), τότε πρέπει να βρεις το πρόσημο της παράστασης που βρίσκεται μέσα στην απόλυτη τιμή. Ο ορισμός της απόλυτης τιμής αναφέρει ότι α = α, αν α 0, δηλαδή: α, α <

2 α) αν η παράσταση που είναι μέσα στην απόλυτη τιμή είναι θετική, τότε «φεύγουν» οι γραμμές της απόλυτης τιμής και η παράσταση που είναι μέσα της γράφεται μετά όπως είναι. Για παράδειγμα, είναι x 2 +1 = x 2 +1, επειδή είναι x 2 +1 > 0, για κάθε x!. β) αν η παράσταση που είναι μέσα στην απόλυτη τιμή είναι αρνητική, τότε «φεύγουν» οι γραμμές της απόλυτης τιμής και η παράσταση που είναι μέσα της γράφεται με αντίθετα πρόσημα. Για παράδειγμα, είναι x 2 1 = x 2 +1, επειδή είναι x 2 1 < 0, για κάθε x!. γ) αν το πρόσημο της παράστασης που είναι μέσα στην απόλυτη τιμή δεν είναι σταθερό, τότε θα πρέπει να διακρίνεις δύο περιπτώσεις: όταν η παράσταση που είναι μέσα στην απόλυτη τιμή είναι θετική, τότε «φεύγουν» οι γραμμές της απόλυτης τιμής και γράφεις την παράσταση που είναι μέσα της όπως είναι. όταν η παράσταση που είναι μέσα στην απόλυτη τιμή είναι αρνητική, τότε «φεύγουν» οι γραμμές της απόλυτης τιμής και γράφεις την παράσταση που είναι μέσα της με αντίθετα πρόσημα. Για παράδειγμα, για την x 1, επειδή η παράσταση x 1 δεν έχει σταθερό x 1, αν x 1 0 πρόσημο, είναι x 1 = x 1, αν x 1 x 1 =. (x 1), αν x 1 < 0 1 x, αν x < 1 5.""Πώς"θα"λύσω"μια"εξίσωση"που"έχει"απόλυτη"τιμή; Το πρώτο που πρέπει να δεις είναι αν η εξίσωση έχει μία ή δύο απόλυτες τιμές (δηλαδή, να έχει μία μόνο παράσταση μέσα της, έστω κι αν επαναλαμβάνεται αρκετές φορές στην εξίσωση, ή αν υπάρχουν δύο διαφορετικές παραστάσεις μέσα στις απόλυτες τιμές). α) Αν η εξίσωση έχει μία απόλυτη τιμή, τότε βάσει της ιδιότητας προκύπτουν δύο νέες εξισώσεις: x = θ, θ > 0 x = θ ή x = θ, στην πρώτη εξίσωση γράψε ό,τι έχει μέσα της η απόλυτη τιμή, εξίσωσέ την με τον αριθμό που έχεις δεξιά και λύσε την εξίσωση που προκύπτει, ανάλογα με το είδος της (αυτά προκύπτουν από την σχέση x = θ ). στην δεύτερη εξίσωση γράψε ό,τι έχει μέσα της η απόλυτη τιμή, εξίσωσέ την με τον αντίθετο του αριθμού που έχεις δεξιά και λύσε την εξίσωση που προκύπτει, ανάλογα με το είδος της (αυτά προκύπτουν από την σχέση x = θ )

3 Αν είναι θ = 0, τότε έχεις την εξίσωση x = 0, απ' όπου προκύπτει x = 0, δηλαδή όταν δεξιά έχεις μηδέν, τότε πάρε ό,τι έχεις μέσα στην απόλυτη τιμή, εξίσωσέ το με το μηδέν και λύσε την εξίσωση που προκύπτει. Αν είναι θ < 0, τότε έχεις την εξίσωση x = θ, θ < 0, δηλαδή θα έχεις ότι x < 0, που είναι αδύνατο, αφού είναι x 0, για κάθε x!. Παράδειγμα 1. Για την εξίσωση x 1 = 5 έχουμε x 1 = 5 x 1 = 5 η x = 6 ή x = 4. x 1 = 5 Παράδειγμα 2. Για την εξίσωση x 2 1 = 5 έχουμε x 2 1 = 5 x 2 1 = 5 η x 2 = 6 η x 2 1 = 5 x 2 = 4 (αδυνατη) x 2 = 6 x = 6 ή x = 6. β) Αν η εξίσωση έχει δύο απόλυτες τιμές, τότε βάσει της ιδιότητας προκύπτουν δύο νέες εξισώσεις: x = θ x = θ ή x = θ στην πρώτη εξίσωση γράψε ό,τι έχει μέσα της η απόλυτη τιμή του πρώτου μέλους, εξίσωσέ την με την παράσταση που έχεις μέσα στην δεύτερη απόλυτη τιμή και λύσε την εξίσωση που προκύπτει, ανάλογα με το είδος της (αυτά προκύπτουν από την σχέση x = θ ). στην δεύτερη εξίσωση γράψε ό,τι έχει μέσα της η απόλυτη τιμή του πρώτου μέλους, εξίσωσέ την με την αντίθετη της παράστασης που έχεις μέσα στην δεύτερη απόλυτη τιμή και λύσε την εξίσωση που προκύπτει, ανάλογα με το είδος της (αυτά προκύπτουν από την σχέση x = θ ). Παράδειγμα. Για την εξίσωση x 2 = 2x + 5 έχουμε x 2 = 2x + 5 x 2 = 2x + 5 η x = 7 η x = 7 ή x = 1. x 2 = 2x 5 3x =

4 6.""Πώς"θα"λύσω"μια"ανίσωση"που"έχει"απόλυτη"τιμή; Οι ανισώσεις με απόλυτες τιμές στηρίζονται στις ιδιότητες: α) x θ, θ > 0 θ x θ (ανάλογα με < ). β) x θ, θ > 0 x θ ή x θ (ανάλογα με > ). Πρώτα, όμως, πρέπει να έχεις την απόλυτη τιμή στο αριστερό μέλος της ανίσωσης και στο δεξιό μέλος να έχεις τον αριθμό. α) Αν προκύψει ανίσωση της μορφής x θ, δημιούργησε μια διπλή ανίσωση και στην μέση βάλε την παράσταση που έχεις μέσα στην απόλυτη τιμή. Αν στην μέση υπάρχει πολυώνυμο πρώτου βαθμού, τότε απομόνωσε το x προσθέτοντας (ή αφαιρώντας) από τα μέλη της ανίσωσης τον αριθμό που υπάρχει. Αν το x έχει και συντελεστή, τότε η τελευταία κίνηση θα είναι να διαιρέσεις και μ' αυτόν τον αριθμό, ώστε τελικά στην μέση να μείνει μόνο του το x. Αν στην μέση δεν έχεις πολυώνυμο πρώτου βαθμού, αλλά δευτέρου (ή μεγαλύτερου βαθμού) ή εκθετική ή λογαριθμική παράσταση, τότε «σπάσε» τις δύο ανισώσεις, λύσε καθεμία ξεχωριστά και, στο τέλος, κάνε συναλήθευση των λύσεών τους. Υπενθυμίζεται ότι: αν είναι θ = 0, τότε έχουμε x 0 x = 0 x = 0. αν είναι θ < 0, τότε η ανίσωση είναι αδύνατη. Παράδειγμα 1. Για την ανίσωση x 1 2 έχουμε x x x x 3 x [ 1,3]. Παράδειγμα 2. Για την ανίσωση 3 1 x 1 έχουμε 3 1 x 1 1 3(1 x) x x x x x 4 3 x 2 3, 4 3. β) Αν προκύψει ανίσωση της μορφής x θ, τότε γράψε την παράσταση που έχεις μέσα στην απόλυτη τιμή και βάλ' την, μία φορά μεγαλύτερη από τον αριθμό και μία φορά μικρότερη από τον αντίθετο του αριθμού που έχεις δεξιά στην ανίσωση και λύσε τις ανισώσεις που θα προκύψουν. Υπενθυμίζεται ότι: αν είναι θ = 0, τότε έχουμε x 0 x!

5 αν είναι θ < 0, τότε έχουμε πάλι ότι x!. Παράδειγμα 1. Για την ανίσωση x 3 4 έχουμε x 3 4 x 3 4 ή x 3 4 x 7 ή x 1 x (, 1] [7,+ ). Παράδειγμα 2. Για την ανίσωση 2x +1 3 έχουμε 2x +1 3 η 2x x 2 η x 1 η x (, 2] [1,+ ). 2x x 4 x 2 7.""Πώς"θα"λύσω"μια"ανίσωση"δευτέρου"βαθμού; Η επίλυση ανισώσεων δευτέρου βαθμού είναι από τα σημαντικότερα θέματα της Άλγεβρας, χωρίς αυτό να σημαίνει ότι είναι και δύσκολη υπόθεση! ΑΠΑΡΑΒΑΤΟΣ ΚΑΝΟΝΑΣ! Πάντα να μεταφέρεις όλους τους όρους της ανίσωσης σ' ένα μέλος, ώστε το x 2 να έχει θετικό συντελεστή, και στο δεύτερο μέλος να έχεις μηδέν!! Το πρώτο που πρέπει να κάνεις είναι να βρεις τις ρίζες του τριωνύμου του πρώτου μέλους (αν έχει). Διακρίνονται οι εξής περιπτώσεις: Α) Αν το τριώνυμο έχει δύο ρίζες x 1 (ας είναι x 1 < x 2 ), τότε φτιάξε τον ακόλουθο πίνακα x 1 x 2 + αx 2 + βx + γ ομ#σημο του α ετερ#σημο του α ομ#σημο του α και πάρε τα διαστήματα που απαντούν στο ζητούμενο της ανίσωσης, δηλαδή: αν έχεις την ανίσωση αx 2 + βx + γ > 0, τότε θα γράψεις σαν λύση x (,x 1 ) (x 2,+ ). αν έχεις την ανίσωση αx 2 + βx + γ 0, τότε θα γράψεις σαν λύση x (,x 1 ] [x 2,+ ). αν έχεις την ανίσωση αx 2 + βx + γ < 0, τότε θα γράψεις σαν λύση x (x 1 ). αν έχεις την ανίσωση αx 2 + βx + γ 0, τότε θα γράψεις σαν λύση x [x 1 ]