ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Πιθανότητες. Εισαγωγή Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Κωνσταντίνος Μπλέκας

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Πιθανότητες Εισαγωγή Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Κωνσταντίνος Μπλέκας

2 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς.

3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Σημειώσεις Διδάσκων Κων. Μπλέκας, Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Οκτ. 2013

4 Υλη του μαθήματος Ι. Εισαγωγή και Βασικές Έννοιες ΙΙ. Τυχαίες μεταβλητές: Συναρτήσεις, Κατανομές και Χαρακτηριστικά τους III. Πολυδιάστατες τυχαίες μεταβλητές IV. Οριακά Θεωρήματα Πιθανότητες Μέρος 1 ο Κ. Μπλέκας (2/9)

5 Ι. Εισαγωγή και Βασικές Έννοιες Ι1. Τυχαίο πείραμα πειράματα τύχης Ορισμός Χαρακτηριστικά του πειράματος Ι2. Δειγματικός χώρος (δ.χ.) Ω Ορισμός διακριτοί και συνεχείς δ.χ. Πιθανότητες Μέρος 1 ο Κ. Μπλέκας (3/9)

6 Ι3. Ενδεχόμενα (events) Ορισμός βέβαιο, μηδενικό, στοιχειώδες ενδεχόμενο διαγράμματα Venn Σύνθετα ενδεχόμενα Τομή A B, ένωση Α Β, συμπλήρωμα A Ιδιότητες ενδεχομένων αντιμεταθετική, προσεταιρεστική, επιμεριστική, De Morgan Πιθανότητες Μέρος 1 ο Κ. Μπλέκας (4/9)

7 Ι4. Ορισμός της Πιθανότητας Κλασσικός Ορισμός Πλήθος ευνοϊκών αποτελεσμάτων Ν(Α) προς το πλήθος συνολικών αποτελεσμάτων του δ.χ. Ω Περιορισμοί: διακριτός χώρος, ισοπίθανα αποτελέσματα Στατιστικός Ορισμός N( A) P( A) N ( ) P( A) lim n ( A) n Ανάλογη της συχνότητας f n (A) του ενδεχομένου μετά από n επαναλήψεις Περιορισμοί: υψηλό υπολογιστικό κόστος, εμπειρικός κανόνας f n Πιθανότητες Μέρος 1 ο Κ. Μπλέκας (5/9)

8 Ι4. Ορισμός της Πιθανότητας (συν.) Αξιωματικός Ορισμός (Kolmogorov 1933) Θεμελιώδης ορισμός της έννοιας πιθανότητας Έστω τυχαίο πείραμα με δ.χ. Ω. Ένα μέτρο πιθανότητας είναι ένας κανόνας που καθορίζει σε κάθε ενδεχόμενο Α του Ω έναν αριθμό P(A) που ονομάζεται πιθανότητα του ενδεχομένου Α, για τον οποίο ισχύει τα επόμενα 3 βασικά αξιώματα: (Ι). P(A) 0 (μη αρνητικός αριθμός) (II). P(Ω) = 1 (πιθανότητα του δ.χ. Ω σταθερή και ίση με 1) (III). P(A B)=P(A)+P(B) αν A B= δηλ αν Α, Β ασυμβίβαστα (αναλογία πιθανότητας με φυσική μάζα) Πιθανότητες Μέρος 1 ο Κ. Μπλέκας (6/9)

9 Ι4. Ορισμός της Πιθανότητας (συν.) Πορίσματα του αξιωματικού ορισμού (με αποδείξεις) (Π1). P(A )=1-P(A) (Π2). P(A) 1 (Π3). P( )=0 (Π4). P(A 1 A 2 A n ) =P(A 1 )+P(A 2 )+ + P(A n ) αν τα n ενδεχόμενα είναι ανά δύο ασυμβίβαστα (δηλ. A i A j = i,j ) (Π5). P(A B) =P(A)+P(B)-P(A B) (Π6). P n n n 1 A Ai P Ai Aj P Ai Aj Ak... ( 1) P A1 A2... n i 1 i A i 1 i j i j k (Π7). Αν A B τότε P(A) P(B) Πιθανότητες Μέρος 1 ο Κ. Μπλέκας (7/9)

10 Ι5. Πιθανότητες σε διακριτούς και συνεχείς δ.χ. Διακριτοί δ.χ (discrete sample spaces) Έστω δ.χ. Ω={α1,α2, αn) αποτελούμενος από n (ασυμβίβαστα) αποτελέσματα, δηλ. P(a i a j )=0 Έστω ενδεχόμενο A={a 1, a 2,,a k ) αποτελούμενο από k αποτελέσματα του Ω. Τότε P(A) = P(a 1 )+P(a 2 )+ +P(a k ) Στην ειδική περίπτωση όπου έχουμε ισοπίθανα αποτελέσματα, δηλ. P(a i )=1/n, τότε P(A) = N(A)/N(Ω) = k/n (Ν(Α): πλήθος αποτελεσμάτων του ενδεχ. Α) Συνεχείς δ.χ. (continuous sample spaces) Υπάρχουν άπειρα αποτελέσματα. Τα ενδεχόμενα είναι περιοχές του δ.χ. Ω και η πιθανότητα είναι ανάλογη του όγκου που καταλαμβάνουν στον Ω. P(A) = E(A) / E(Ω) (Ε(Α) : εμβαδόν της περιοχής-ενδεχ. Α) Πιθανότητες Μέρος 1 ο Κ. Μπλέκας (8/9)

11 Ι6. Δεσμευμένη Πιθανότητα (Conditional Probability) Για 2 ενδεχ. Α, Β μας ενδιαφέρει η συσχέτισή τους, δηλ. να δούμε κατά πόσο η γνώση του ενός από τα δύο (π.χ. Β) επηρεάζει τη πιθανότητα εμφάνισης του άλλου (π.χ. Α). P(A B) : δεσμευμένη ή υπο-συνθήκη πιθανότητα να συμβεί το Α υπό την γνώση (δοθέντος) του Β. P Ερμηνεία και προεκτάσεις P A B A B P P( B) B 0 Πιθανότητες Μέρος 1 ο Κ. Μπλέκας (9/9)

12 Τέλος Ενότητας

13 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

14 Σημειώματα

15 Σημείωμα Ιστορικού Εκδόσεων Έργου Το παρόν έργο αποτελεί την έκδοση 1.0. Έχουν προηγηθεί οι κάτωθι εκδόσεις: Έκδοση 1.0 διαθέσιμη εδώ.

16 Σημείωμα Αναφοράς Copyright Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων, Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Κωνσταντίνος Μπλέκας. «Πιθανότητες. Εισαγωγή». Έκδοση: 1.0. Ιωάννινα Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση:

17 Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά Δημιουργού - Παρόμοια Διανομή, Διεθνής Έκδοση 4.0 [1] ή μεταγενέστερη. [1]