ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Πιθανότητες. Συνάρτηση κατανομής πιθανότητας Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Κωνσταντίνος Μπλέκας

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Πιθανότητες Συνάρτηση κατανομής πιθανότητας Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Κωνσταντίνος Μπλέκας

2 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς.

3 II. Τυχαίες Μεταβλητές τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) Χ : Αναφέρεται πάνω σε μία μετρούμενη ποσότητα του τυχαίου πειράματος Εκφράζει μία συνάρτηση (απεικόνιση) από τον δειγματικό χώρο (Ω) σε έναν αριθμητικό χώρο (R X ), Ω -> R X Η ποσότητα είναι τυχαία καθώς αναφέρεται σε χώρο αβεβαιότητας: P(X=) = P(ζ Ω : X(ζ)=) Αθροιστική συνάρτηση κατανομής πιθανότητας (σ.κ.π.) F() = P( X ) = P(ζ Ω : X(ζ) ) Πιθανότητες Μέρος 3 ο Κ. Μπλέκας (/7)

4 II. Ιδιότητες της σ.κ.π. F() (α). 0 F(), εφόσον είναι πιθανότητα (β). lim F lim F 0 (γ). αν < 2 τότε F( ) F( 2 ), δηλ. η F() είναι μη φθίνουσα (δ). Η σ.κ.π. F() είναι συνεχής από δεξιά (δεξιά συνεχής) F F h F( ) lim h 0 (ε). αν a<b τότε P(a<X b) = F(b) F(a) (στ). P(X=a) = F(a) F(a - ) (δηλ. το άλμα της σ.κ.π. στο σημείο X=a) (ζ). P(X>) = - P(X ) = -F() Πιθανότητες Μέρος 3 ο Κ. Μπλέκας (2/7)

5 II2. Διακριτές Τυχαίες Μεταβλητές Μία τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) Χ είναι διακριτή εάν το σύνολο τιμών της είναι πεπερασμένο ή το πολύ απείρως αριθμήσιμο. R X = {, 2,,, } Η σ.κ.π. F() = P( X ) είναι μη φθίνουσα, δεξιά συνεχής και κλιμακωτή με άλματα στις τιμές της μεταβλητής. Το σύνολο πιθανοτήτων των τιμών της τ.μ. Χ ορίζει την συνάρτηση () = P(X=) R X που ονομάζεται συνάρτηση πυκνότητας (ή μάζας) πιθανότητας (σ.π.π.) και για την οποία ισχύουν τα παρακάτω: ( ) 0 i i R X F PX i PX F F k k Πιθανότητες Μέρος 4 ο Κ. Μπλέκας (3/8) k i k

6 II3. Ειδικές κατανομές διακριτών τ.μ. (Α) Ομοιόμορφη (Uiorm) κατανομή Όλες οι τιμές της μεταβλητής είναι ισοπίθανες Σύνολο τιμών της μεταβλητής R X = {, 2,, } Συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας (σ.π.π.) ( i ) = / i=,, Συνάρτηση κατανομής πιθανότητας (σ.κ.π.) F PX ακέραιο μέρος του Πιθανότητες Μέρος 4 ο Κ. Μπλέκας (4/8)

7 II3. Ειδικές κατανομές διακριτών τ.μ. (συν.) (Β) Beroulli κατανομή Beroulli πείραμα ή δοκιμή: το τυχαίο πείραμα το αποτέλεσμα του οποίου είναι δυαδικό: αποτυχία (0) ή επιτυχία (). ρ (-ρ) είναι η πιθανότητα επιτυχίας (αποτυχίας). Σύνολο τιμών της μεταβλητής R X = {0,} σ.π.π. σ.κ.π. Πιθανότητες Μέρος 4 ο Κ. Μπλέκας (5/8) X P F 0

8 II3. Ειδικές κατανομές διακριτών τ.μ. (συν.) (Γ) Διωνυμική (biomial) κατανομή Μετρά το πλήθος των επιτυχιών σε ανεξάρτητες Beroulli δοκιμές κάθε μία από τις οποίες έχει πιθανότητα επιτυχίας ρ. συμβολίζουμε τ.μ. X ~ b(,ρ). σύνολο τιμών της μεταβλητής R X = {0,,, } σ.π.π. - Αν ρ=0.5 τότε η σ.π.π. είναι συμμετρική, δηλ. () = (-) - Αναδρομικός τύπος: - Για *=[(+)ρ] έχουμε την μέγιστη τιμή (κορυφή της κατανομής) Πιθανότητες Μέρος 4 ο Κ. Μπλέκας (6/8)

9 II3. Ειδικές κατανομές διακριτών τ.μ. (συν.) (Δ) Αρνητική Διωνυμική (Negative biomial) κατανομή Μετρά το πλήθος των Beroulli δοκιμών που απαιτούνται ώστε να πετύχουμε επιτυχίες. συμβολίζουμε τ.μ. X ~ Nb(,ρ). σύνολο τιμών της μεταβλητής R X = {, +, } σ.π.π. Αναδρομικός τύπος: Πιθανότητες Μέρος 4 ο Κ. Μπλέκας (7/8)

10 II3. Ειδικές κατανομές διακριτών τ.μ. (συν.) (Ε) Γεωμετρική (Geometrical) κατανομή Μετρά το πλήθος των Beroulli δοκιμών μέχρι την πρώτη επιτυχία. συμβολίζουμε τ.μ. X ~ G(ρ) δηλ. G(ρ) Nb(=,ρ) σύνολο τιμών της μεταβλητής R X = {, 2, } σ.π.π. Πιθανότητα να περιμένουμε τουλάχιστον χρον. στιγμές έως ότου εμφανιστεί κάτι σ.κ.π. F PX άρα PX F Ιδιότητα της απώλειας μνήμης PX m X P( X m) m Η πιθανότητα να περιμένουμε επιπλέον τουλάχιστον m χρονικές στιγμές είναι η ίδια με την πιθανότητα να περιμέναμε m χρον. στιγμές από την αρχή. Πιθανότητες Μέρος 4 ο Κ. Μπλέκας (8/8)

11 II3. Ειδικές κατανομές διακριτών τ.μ. (συν.) (ΣΤ) Υπεργεωμετρική (Hyper-Geometrical) κατανομή Έστω δοχείο με Ν αντικείμενα εκ των οποίων τα m έχουν μία κοινή ιδιότητα. Επιλέγουμε τα αντικείμενα και μετράμε πόσα από αυτά έχουν την ιδιότητα των m αντικειμένων. συμβολίζουμε τ.μ. X ~ hg(n,m,), σύνολο τιμών R X = {0,,, mi(,m)} σ.π.π. αναδρομικός τύπος: Πιθανότητες Μέρος 4 ο Κ. Μπλέκας (9/8) N m N m X P m N m

12 II3. Ειδικές κατανομές διακριτών τ.μ. (συν.) (Ζ) Poisso κατανομή Μετρά το πλήθος εμφάνισης ενός φαινομένου σε ένα συγκεκριμένο χρονικό ή χωρικό διάστημα. (π.χ. αριθμός άφιξης πελατών, πλήθος σταλθέντων πακέτων από έναν εξυπηρετητή (server), αριθμός επισκέψεων μιας ιστοσελίδας, κλπ.) συμβολίζουμε τ.μ. X ~ P(λ), σύνολο τιμών της μεταβλητής R X = {0,, } σ.π.π.! PX e λ: ρυθμός εμφάνισης του φαινομένου αναδρομικός τύπος: Πιθανότητες Μέρος 4 ο Κ. Μπλέκας (0/8)

13 Τέλος Ενότητας

14 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

15 Σημειώματα

16 Σημείωμα Ιστορικού Εκδόσεων Έργου Το παρόν έργο αποτελεί την έκδοση.0. Έχουν προηγηθεί οι κάτωθι εκδόσεις: Έκδοση.0 διαθέσιμη εδώ.

17 Σημείωμα Αναφοράς Copyright Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων, Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Κωνσταντίνος Μπλέκας. «Πιθανότητες. Συνάρτηση κατανομής πιθανότητας». Έκδοση:.0. Ιωάννινα 204. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση:

18 Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commos Αναφορά Δημιουργού - Παρόμοια Διανομή, Διεθνής Έκδοση 4.0 [] ή μεταγενέστερη. []