Μερικές ερωτήσεις στις φθίνουσες και στις εξαναγκασμένες

HTML
DOWNLOAD

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Μερικές ερωτήσεις στις φθίνουσες και στις εξαναγκασμένες"

Ὕδρα Θεοδοσίου
8 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Μερικές ερωτήσεις στις φθίνουσες και στις εξαναγκασμένες Α) Φθίνουσα Ταλάντωση λόγω ύναµης ίστασης F =-bυ Θεωρούµε ότι ο ταλωτής εκτελεί φθίνουσα ταλάντωση υπό την επίραση ύναµης επαναφοράς F επ =- Dx και ύναµης ίστασης F =-bυ. Σε κάθε θέση της τροχιάς ισχύει: Σ F = Fεπ + F ma= Dx bυ (1) Ερώτηση 1 Στη ιάρκεια µιας περιόου της φθίνουσας ταλάντωσης, ο ταλωτής αποκτά µέγιστη (τοπικά) ταχύτητα όταν ιέρχεται από τη θέση χ=0; d Αποκτά µέγιστη (τοπικά) ταχύτητα στη θέση όπου: υ = a = 0 bυ Λόγω της (1) έχουµε: 0= Dx bυ x= D Όταν κινείται προς τη θέση χ=0, µε υ <0 τότε χ>0, ενώ όταν κινείται µε υ >0 τότε χ<0 Έστω λοιπόν ότι η γραφική παράσταση της αποµάκρυνσης από την αρχική θέση ισορροπίας y=0 σε συνάρτηση µε το χρόνο, για ένα σώµα το οποίο εκτελεί φθίνουσα ταλάντωση υπό την επίραση ύναµης επαναφοράς F επ =- Dy και ύναµης ίστασης F =-bυ, ίνεται από το επόµενο σχήµα Έστω ότι το ίστοιχο ιάγραµµα της ταχύτητας είναι: 1

2 Από τα παραπάνω προκύπτει ότι οι χρονικές στιγµές t στο ιάγραµµα y-t και t 4 στο ιάγραµµα υ-t είναι ιαφορετικές. Ερώτηση Όταν η ενέργεια ταλάντωσης µηενιστεί, ο ταλωτής θα σταµατήσει στη θέση χ=0; d Ο ταλωτής θα σταµατήσει όταν υ=0 και υ = a = 0 Λόγω της (1): 0= Dx+ 0 x= 0 Προσοχή: Όταν η ταλάντωση είναι φθίνουσα λόγω σταθερής ύναµης ίστασης όπως η τριβή, τότε, όταν η ενέργεια ταλάντωσης µηενιστεί, ο ταλωτής ε θα σταµατήσει στη θέση χ=0, αλλά στη θέση όπου: T 0= Dx+ T x= D Ερώτηση 3 Στη ιάρκεια της φθίνουσας ταλάντωσης ο ρυθµός µεταβολής της υναµικής ενέργειας ίνεται από τη σχέση: = Dx υ Η υναµική ενέργεια οφείλεται στη ύναµη επαναφοράς που ασκείται στο σώµα και ισχύει:

3 = PF = F ( Dx) Dx επ επ υ = υ = υ Ερώτηση 4 Στη ιάρκεια της φθίνουσας ταλάντωσης ο ρυθµός µεταβολής της κινητικής ενέργειας ίνεται από τη σχέση: = ma υ Η µεταβολή της κινητικής ενέργειας οφείλεται στο έργο της συνισταµένης ύναµης, άρα: = P F ma ΣF =Σ υ= υ Προσοχή: Στη φθίνουσα εν ισχύει ότι ω x υ = m a ω = x, οπότε ίστοιχα εν ισχύει ότι Β) Εξαναγκασµένη Ταλάντωση Θεωρούµε ότι ο ταλωτής εκτελεί εξαναγκασµένη ταλάντωση υπό την επίραση ύναµης επαναφοράς F επ =-Dx, ύναµης ίστασης F =-bυ και της περιοικής ύναµης του ιεγέρτη F = F ηµ ( ωt+ θ ). Ο ταλωτής εκτελεί αρµονική ταλάντωση µε γωνιακή συχνότητα ω, τη γωνιακή συχνότητα του ιεγέρτη. Οι συναρτήσεις αποµάκρυνσης-χρόνου (χ-t), ταχύτητας-χρόνου (υ-t), επιτάχυνσης-χρόνου (α-t), ίνονται από τις εξισώσεις: x= ηµ ( ωt+ ϕο ) dx υ = = ωσυν ( ωt+ ϕ0) dυ = = ω ηµ ( ω + ϕο ) a t 3

4 Σε κάθε θέση της τροχιάς ισχύει: Σ F = ma Fεπ + F + F = ma Dx bυ + F = m( ω x) () αφού η επιτάχυνση συνέεται µε την αποµάκρυνση µε τη σχέση a= ω x Ερώτηση 1 Ο στιγµιαίος ρυθµός προσφοράς ενέργειας από το ιεγέρτη είναι ίσος µε το στιγµιαίο ρυθµό απώλειας ενέργειας λόγω της ύναµης ίστασης; Σε κάθε θέση της τροχιάς ισχύει: F ma F F F ma Dx F F m ω x Σ = επ + + = + + = ( ) ω + + = ω + = ω ω m ο x F F m x F F m ο x m x F + F = m ω ω x α ( ο ) ( ) Προσοχή Η σταθερά επαναφοράς D συνέεται µε τη γωνιακή ιιοσυχνότητα ω ο του συστήµατος και όχι µε τη γωνιακή συχνότητα του ιεγέρτη : D= ω m ο Αν ω ωο τότε σε κάθε θέση x 0 : ( α) F + F 0 F F Fυ F υ PF PF Αν ω ωο τότε ΜΟΝΟ στη θέση x= 0 : ( α) F + F = 0 F = F Fυ = F υ PF = PF Αν ω= ωο τότε σε κάθε θέση x 0 : ( α) F + F = 0 F = F Fυ = F υ PF = PF ηλαή µόνο αν το σύστηµα βρίσκεται σε συντονισµό, ο στιγµιαίος ρυθµός προσφοράς ενέργειας από το ιεγέρτη είναι ίσος µε το στιγµιαίο ρυθµό απώλειας ενέργειας λόγω της ύναµης ίστασης. 4

5 Ερώτηση Η µέγιστη κινητική και η µέγιστη υναµική ενέργεια στη ιάρκεια της περιόου, είναι ίσες; Ισχύει ότι: αλλά 1 1 K = mυ K = mω 1 1 U = D U = m ω ο Αν ω ωο τότε K U Μόνο αν ω= ωο τότε K = U Ερώτηση 3 Ο στιγµιαίος ρυθµός µεταβολής της κινητικής ενέργειας είναι ίθετος του στιγµιαίου ρυθµού µεταβολής της υναµικής ενέργειας; Για το στιγµιαίο ρυθµό µεταβολής της κινητικής ενέργειας ισχύει: = PΣ F =ΣF υ= ma υ = mω x υ Η υναµική ενέργεια οφείλεται στη ύναµη επαναφοράς που ασκείται στο σώµα και ισχύει: = PF = F ( Dx) Dx m x επ επ υ = υ = υ = ωο υ Αν ω ωο τότε Ερώτηση 4 5

6 Στην εξαναγκασµένη ταλάντωση η ταχύτητα υ και η αποµάκρυνση χ, συνέονται µε τη σχέση υ =± ω x Η σχέση αυτή προκύπτει από το γεγονός ότι η αποµάκρυνση χ και η ταχύτητα υ είναι αρµονικές συναρτήσεις του χρόνου. x x= ηµ ( ωt+ ϕο ) ηµ ( ωt+ ϕο ) = ηµ ( ωt+ ϕο ) = x υ υ υ = ωσυν ( ωt+ ϕ ) συν ( ωt+ ϕ ) = συν ( ωt+ ϕ ) = ω ω Όµως: x υ ηµ ω ϕ συν ω ϕ υ ω υ ω ω ( t+ ο ) + ( t+ 0) = 1 + = 1... = ( x ) =± x Ερώτηση 5 Α) Στην εξαναγκασµένη ταλάντωση η ταχύτητα υ και η αποµάκρυνση χ, συνέονται µε τη σχέση: mυ + mω x = mω ; Β) Η σχέση αυτή ηλώνει ότι το άθροισµα κινητικής και υναµικής σε κάθε θέση είναι ίση µε την ολική; Η σχέση αυτή προκύπτει από το γεγονός ότι η αποµάκρυνση χ και η ταχύτητα υ είναι αρµονικές συναρτήσεις του χρόνου. Όπως είξαµε πριν: x υ ηµ ( ωt+ ϕο ) + συν ( ωt+ ϕ0) = 1 + = 1 ω x + υ = ω ω mυ + mω x = mω 6

7 Γ) Η σχέση mυ + mω x = mω ποια φυσική σηµασία έχει; Απάντηση: ΚΑΜΙΑ Οι όροι φοράς 1 m x ω και Fεπ Dx mωο x 1 m ω εν εκφράζουν ούτε τη υναµική, η οποία συνέεται µε τη ύναµη επανα- = =, ούτε την ολική ενέργεια. Επιµέλεια Θοωρής Παπασγουρίης 7

Σχετικά έγγραφα

β. Το πλάτος της σύνθετης ταλάντωσης είναι : Α = (Α 1 ² + Α 2 ² + 2 Α 1 Α 2 συν φ) (φ = π rad) Α = (Α 1 ² + Α 2 ² + 2 Α 1 Α 2 συν π) Α = [Α 1 ² + Α 2

β. Το πλάτος της σύνθετης ταλάντωσης είναι : Α = (Α 1 ² + Α 2 ² + 2 Α 1 Α 2 συν φ) (φ = π rad) Α = (Α 1 ² + Α 2 ² + 2 Α 1 Α 2 συν π) Α = [Α 1 ² + Α 2 1) Ένα κινητό εκτελεί συγχρόνως δύο απλές αρμονικές ταλαντώσεις που γίνονται στην ίδια διεύθυνση και γύρω από την θέση ισορροπίας με εξισώσεις : x 1 = 3 ημ [(2 π) t] και x 2 = 4 ημ [(2 π) t + φ], (S.I.).