) A a r a. Κίνηση σωματιδίου κάτω από επίδραση δύναμης. T = 1 2 m (!r 2 + r 2!θ 2. A a r a + C. = Ar a 1 dr V = F = V r V = Fdr

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download ") A a r a. Κίνηση σωματιδίου κάτω από επίδραση δύναμης. T = 1 2 m (!r 2 + r 2!θ 2. A a r a + C. = Ar a 1 dr V = F = V r V = Fdr"

Λευκοθέα Ακρίδας
7 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Κίνηση σωματιδίου κάτω από επίδραση δύναμης ΦΥΣ Διαλ.05 1 Έστω ένα σωματίδιο κινείται κάτω από την επίδραση μιας δύναμης F = Ar α 1 που έχει διεύθυνση προς την αρχή των αξόνων. Τα Α και α είναι σταθερές. Επιλέξτε κατάλληλες γενικευμένες συντεταγμένες και θεωρήστε την U = 0 στην αρχή των αξόνων. Βρείτε (α) τις εξισώσεις κίνησης και (β) τα µεγέθη που διατηρούνται Διαλέγουμε (r,θ) σα τις γενικευμένες συντεταγμένες. y θ r x Όπως είδαμε η κινητική ενέργεια σε πολικές συντεταγµένες: T = 1 2 m (!r 2 + r 2!θ 2 ) H δύναμη σχετίζεται με την δυναμική ενέργεια μέσω: F = V r V = r Fr r = Ar a 1 r V = 0 0 A a r a + C Εφόσον V(r=0)=0, τότε C=0 και η δυναμική ενέργεια γράφεται: V = A a r a Η Lagrangian γράφεται: L = T V = 1 2 m (!r 2 + r 2!θ 2 ) A a r a

2 ΦΥΣ Διαλ.05 2 Κίνηση σωματιδίου κάτω από επίδραση δύναμης Η εξίσωση Lagrange για την γενικευμένη συντεταγμένη r είναι:!r = m!r ;!r = m!! r ; r = mr!θ 2 Ar a 1!r r = 0 m!! r mr!θ 2 + Ar a 1 = 0 (1) Η εξίσωση Lagrange για την γενικευμένη συντεταγμένη θ είναι:! θ = mr 2!θ ; θ! = mr 2!! θ + 2mr!r θ! ; θ = 0 θ! θ = 0 mr 2!! θ + 2 mr!r θ! = 0 ( mr 2!θ ) = 0 (2) Αφού η ποσότητα l = mr 2!θ θεωρείται η στροφορμή του σωματιδίου, η (2) δηλώνει ότι η στροφορμή διατηρείται.

3 ΦΥΣ Διαλ.05 3 Κίνηση σωματιδίου κάτω από επίδραση δύναμης Χρησιμοποιώντας την στροφορμή, l, γράφουμε την (1) ως εξής: m!! r mr!θ 2 + Ar a 1 = 0 m!! r l 2 mr + Ar a 1 = 0 3 m!! r = l 2 mr Ar a 1 m!! r = 1 l 2 3 r 2 mr + A 2 a r a (πολ/ζω με!r ) O λόγος? g g(r) = r r m!! r!r = r Αλλά l 2 2mr + A 2 a r a r m!r!r = 1 2 m!r m!r 2 + m!! r!r = l 2 2mr + A 2 a r a και η τελευταία αυτή σχέση μπορεί να γραφεί ως: l 2 2mr + A 2 a r a = m!r 2 + l 2 2mr + A 2 a r a = 0 ( T + V ) = 0 Η τελευταία σχέση δηλώνει ότι η ολική ενέργεια διατηρείται

4 ΦΥΣ Διαλ.05 4 Εκκρεµές µε ελατήριο Θεωρήστε ένα εκκρεµές το οποίο αποτελείται από ένα ελατήριο στην άκρη του οποίου είναι κρεµασµένη µια µάζα m. To ελατήριο είναι σε ευθεία και το µήκος iσορροπίας του είναι l. Έστω ότι το σύστηµα κινείται στο κατακόρυφο επίπεδο και το µήκος του εκκρεµούς είναι l+x(t) και η γωνία µε την κατακόρυφο είναι θ(t). Να βρεθούν οι εξισώσεις κίνησης. Χρησιµοποιώντας πολικές συντεταγµένες, η ταχύτητα γράφεται: ( )! v = "rê r + r θê " θ v! = l + x t Η κινητική ενέργεια θα είναι: T = m 2 ê r + ( l + x( x) ) θê "! θ v = "x t! v! v = m 2 "x2 + ( l + x) 2 "θ 2 Η δυναµική ενέργεια προέρχεται από την βαρύτητα και το ελατήριο: Εποµένως η lagrangian του συστήµατος: V ( x,θ ) = mg( l + x)cosθ + k 2 x2 ( ) θê " θ ê r + l + x x L = m 2 (!x2 + ( l + x) 2!θ 2 ) + mg( l + x)cosθ k 2 x2

5 Εκκρεµές µε ελατήριο Οι εξισώσεις κίνησης εποµένως θα είναι:!x = m!x x - συντεταγµένη!x = m!!x x = m l + x! θ 2 + mgcosθ kx θ - συντεταγµένη!θ = m( l + x!θ )2 θ = mg( l + x)sinθ 2m l + x!x θ! + m( l + x) 2!! στροφορµή!θ = 2m l + x!x = x m!!x = m l + x!x!θ + m( l + x) 2!! θ ροπή ΦΥΣ Διαλ.05 5! θ 2 + mgcosθ kx θ = mg( l + x)sinθ 2m!x!θ + m l + x εφαπτοµενική δύναµη H ακτινική δύναµη F=mα συµπεριλαµβανοµένης της κεντροµόλου!!!θ = θ θ = mgsinθ m( l + x)!! θ = 2m!x!θ mgsinθ δύναµη coriolis

6 Μηχανή Atwoo 2 η περίπτωση ΦΥΣ Διαλ.05 6 Θεωρούμε τη μηχανή Atwoo του παρακάτω σχήματος. Χρησιμοποιώντας τις συντεταγμένες που δίνονται να προσδιοριστούν οι εξισώσεις κίνησης. Υποθέτουμε ότι οι τροχαλίες είναι αβαρείς και ότι τα 2 σχοινιά έχουν σταθερό μήκος l 1 και l 2 ενώ oι αποστάσεις x και y μετρούνται από το κέντρο της κάθε τροχαλίας. Για τη μάζα m 1 : v 1 = x v 1 =!x Για τη μάζα m 2 : v 2 = y = Για τη μάζα m 3 : v 3 = (l 1 x + l 2 y) ( l 1 x + y) v 2 =!x +!y v 3 =!x!y Άρα η κινητική ενέργεια του συστήματος είναι: T = 1 ( 2 m 1!x2 + m 2 (!x +!y) 2 (!x!y ) 2 ) T = 1 ( 2 m 1!x2 + m 2!x 2 + m 2!y 2 2m 2!x!y!x 2!y 2 + 2m 3!x!y ) T = 1 ( 2 (m + m + m ) 1 2 3!x2 + (m 2 )!y 2 2(m 2 m 3 )!x!y )

7 ΦΥΣ Διαλ Μηχανή Atwoo 2 η περίπτωση Η δυναμική ενέργεια του συστήματος είναι το άθροισμα των δυναμικών ενεργειών Για τη μάζα m 1 : V 1 = m 1 gx Για τη μάζα m 2 : V 2 = m 2 g l 1 x + y Για τη μάζα m 3 : V 3 = m 3 g l 1 x + l 2 y V = m 1 gx m 2 g(l 1 x + y) m 3 g( l 1 x + l 2 y) V = g(m 2 m 1 )x g(m 2 )y m 2 gl 1 m 3 gl 2 Η Lagrangian είναι: L = T V x: Οι εξισώσεις κίνησης για τις συντεταγμένες x και y είναι:!x = (m + m + m )!x (m m )!y x = g(m + m m ) 2 3 1!x!x = (m 1 + m 2 )!!x (m 2 m 3 )!!y x = 0 (m 1 + m 2 )!!x (m 2 m 3 )!!y + g(m 2 m 1 ) = 0 m 1!!x + m 2 (!!x!!y) (!!x +!!y) = g(m 2 m 1 )

8 ΦΥΣ Διαλ.05 8 Μηχανή Atwoo 2 η περίπτωση y:!y = (m 2 )!y (m 2 m 3 )!x!y = (m 2 )!!y (m 2 m 3 )!!x y = g(m 2 )!y y = 0 (m 2 )!!y (m 2 m 3 )!!x g(m 2 ) = 0 m 2 (!!y!!x) (!!y +!!x) = g(m 2 ) Άρα οι 2 εξισώσεις κίνησης που έχουμε είναι: m 1!!x + m 2 (!!x!!y) (!!x +!!y) = g(m 2 m 1 ) m 2 (!!y!!x) (!!y +!!x) = g(m 2 )

9 ΦΥΣ Διαλ.05 9 Η διπλή μηχανή Atwoo Με Newtonian μηχανική Είδαμε τη λύση του προβλήματος με τις εξισώσεις Lagrange. Πως θα το λύναμε με καθαρά Newtonian μηχανική m 1 g 2Τ Τ 2Τ Τ Πρέπει να βρούμε τις δυνάμεις: Τ η τάση στο σκοινί της χαμηλότερης τροχαλίας Η τάση στο σχοινί της πάνω τροχαλίας θα είναι 2Τ Σε κάθε μάζα m 1, m 2, m 3 ενεργεί το βάρος του και η αντίστοιχη τάση του νήματος. Γράφουμε 3 εξισώσεις από το 2 ο νόμο του Newton: 2T m 1 g = m 1 a 1 m 2 g m 3 g T m 2 g = m 2 a 2 T m 3 g = m 3 a 3 Θεωρώντας α 1,α 2,α 3 θετικά προς τα πάνω Έχουμε 3 εξισώσεις με 4 αγνώστους Τ, α 1, α 2, α 3 : Η 4 η εξίσωση βγαίνει από την αρχή διατήρησης του σχοινιού : H μέση θέση των 2 μαζών m 2 και m 3 μετατοπίζεται κατά την ίδια απόσταση όπως και η κατώτερη τροχαλία. Αυτή με τη σειρά της μετατοπίζεται ίση και αντίθετη απόσταση με αυτή της m 1

10 ΦΥΣ Διαλ Η διπλή μηχανή Atwoo Με Newtonian μηχανική Μαθηματικά αυτό εκφράζεται ως: a 1 = a 2 + a 3 2 Επομένως από τις 4 εξισώσεις μπορούμε να λύσουμε το σύστημα και να βρούμε τις 3 επιταχύνσεις: a 1 = g 4m m m m + m m 2 m 3 + m 1 m 2 a 2 = g 4m 2m 3 + m 1 m 2 3m 3 4m 2 m 3 + m 1 m 2 a 3 = g 4m 2m 3 + m 1 m 3 3m 2 4m 2 m 3 + m 1 m 2

11 ΦΥΣ Διαλ Κίνηση βλήματος σε 2 - Διαστάσεις Θεωρήστε την κίνηση ενός βλήματος υπό την επίδραση της βαρύτητας (σε 2-Δ) χωρίς την επίδραση αντίστασης του αέρα. Έστω ότι η αρχική ταχύτητα του βλήματος είναι v 0 και η γωνία βολής θ. Να βρεθούν οι εξισώσεις κίνησης σε καρτεσιανές και πολικές συντεταγμένες. Α. Καρτεσιανές συντεταγμένες T = 1 2 mv2 = 1 2 m!x2 +!y 2 V = mgy θεωρώντας V = 0 για y = 0 Η Lagrangian θα έχει τη μορφή: L = T V = 1 2 m (!x2 +!y 2 ) mgy Από τις εξισώσεις Lagrange για συντεταγμένες x,y έχουμε: x-συντεταγμένη:!x!x = m!x ; = m!!x ; x = 0!y = m!y ; y-συντεταγμένη:!y!q i = 0 q i = m!!y ; y = mg!x x = 0 m!!x = 0!y y = 0 m!!y = mg!!y = g

12 ΦΥΣ Διαλ Κίνηση βλήματος Β. Πολικές συντεταγμένες Για τις πολικές συντεταγμένες θεωρούμε την r (ακτινική διεύθυνση) και θ (γωνία με την οριζόντια διεύθυνση) T = 1 2 mv2 = 1 2 m!r 2 + r 2!θ 2 V = mgr sinθ θεωρώντας V = 0 για θ = 0 Η Lagrangian θα έχει τη μορφή: L = T V = 1 2 m (!r 2 + r 2!θ 2 ) mgr sinθ Οι εξισώσεις Lagrange είναι: r-συντεταγμένη:!r = m!r ;!r!r = m!! r r = 0!! r r θ! 2 + gsinθ = 0!q i = 0 q i θ-συντεταγμένη:! θ = mr 2!θ ; r = mr! θ 2 mgsinθ θ = mgr cosθ θ! = 2mr!r θ! + mr 2!! θ θ! θ = 0 r 2!! θ + 2r!r θ! + gr cosθ = 0

13 ΦΥΣ Διαλ O νόμος του Snell Θεωρούμε μια περιοχή του χώρου η οποία διαχωρίζεται με ένα επίπεδο. Η δυναμική ενέργεια ενός σωματιδίου στην περιοχή 1 είναι U 1 και στην περιοχή 2 είναι U 2. Αν ένα σωματίδιο μάζας m το οποίο κινείται με ταχύτητα v 1 στη περιοχή 1 περάσει από την περιοχή 1 στη περιοχή 2 έτσι ώστε η πορεία του στην περιοχή 1 σχηματίζει γωνία θ 1 με την κάθετη στο διαχωριστικό επίπεδο και μια γωνία θ 2 με τη κάθετο όταν είναι στη περιοχή 2, δείξτε ότι: y U 1 U 2 θ 1 v 1 v 2 θ 2 x sinθ 1 sinθ 2 = 1+ U 1 U 2 T 1 όπου T 1 = 1 2 mv 2 1 Διαλέγουμε τις συντεταγμένες x,y ώστε ο άξονας y διαχωρίζει τις 2 περιοχές: U = U 1 x < 0 U 2 x > 0 Επομένως η Lagrangian του σωματιδίου θα γραφεί ως: L = 1 2 mv 2 1 U(x) L = 1 2 m (!x2 +!y 2 ) U(x)

14 ΦΥΣ Διαλ O νόμος του Snell Επομένως οι εξισώσεις Lagrange για τις δύο γενικευμένες συντεταγμένες!x = m!x ;!x x!x = m!!x ; = 0 m!!x + U x Για την συντεταγμένη y:!y = m!y ;!y y = 0 m!!y = 0 = 0 x = U x!y = m!!y ; y = 0 Γράφοντας: m!!x = m!x = p x m!!x + U x = 0 p x m = p x x (1) (2) x = p x m p x x + U x = 0 p x x και αντικατάσταση στην (1) Την οποία και ολοκληρώνουμε από ένα οποιοδήποτε σημείο της περιοχής 1 σε ένα οποιοδήποτε σημείο της περιοχής 2

15 ΦΥΣ Διαλ O νόμος του Snell Έχουμε: 2 p x p x m x + U 2 x x = 0 p x p x 1 m x x + 1 2( 2) p x 2( 1) 2m p x 2m +U ( 2) U ( 1) = m!x U x x +U ( 2) = 1 2 m!x 1 = 0 2 +U 1 (3) Από τη 2 η εξίσωση κίνησης έχουμε: m!!y = 0 ( m!y ) = 0 m!y = σταϑ. (4) Επομένως m!y (1) = m!y (2) 1 2 m!y 2 (1) = 1 2 m!y 2 (2) (5) Από τις εξισώσεις (3) και (5) έχουμε: 1 2 mv 2 ( 1) +U ( 1) = 1 2 mv 2 2 +U 2 (6) Από την (4) έχουμε ακόμα: m!y = σταϑ. mv 1 sinθ 1 = mv 2 sinθ 2 (7) Αντικαθιστώντας την (6) στην (7) έχουμε: sinθ 1 sinθ 2 = v 2 v 1 = 1 + U 1 U 2 T 1 Το πρόβλημα αυτό είναι το μηχανικό ανάλογο της διάθλασης του φωτός

16 ΦΥΣ Διαλ Εφαπτόµενο διάνυσµα σε καµπύλη χορδή από το Α->Α Έστω η καµπύλη C: r! = r! ( α ) εφαπτόμενη στο Α Η χορδή Έστω Α σηµείο της C που αντιστοιχεί στην παράµετρο α και Α ένα κοντινό σηµείο που αντιστοιχεί στην παράµετρο α+δα. A A! αντιπροσωπεύει το διάνυσµα: Δ r! = r! ( α + Δα ) r! ( α ) Δ r! Άρα το διάνυσµα: είναι το µοναδιαίο διάνυσµα παρ/λο στην χορδή A A! Δ r! = Το µοναδιαίο διάνυσµα εφαπτόµενο της καµπύλης στο Α ορίζεται: ˆt α! r! Το εφαπτόµενο διάνυσµα t σχετίζεται µε την παράγωνο : α ˆt α = lim Δ! r Δα 0 Δα = lim Δ! r Δα 0 Δ r! lim Δ! r Δα 0 Δα = ˆt ( α ) lim Δ! r Δα 0 Δα = ˆt ( α )! r α! r α =! r α ˆt α lim Δ! r Δα 0 Δ r! Αν θεωρήσουµε ότι η παράµετρος α είναι η απόσταση s κατά µήκος της καµπύλης C όπως µετράται από κάποιο σταθερό σηµείο, τότε: r! s = lim Δ! r Δs 0 Δs = 1 και εποµένως: ˆt =! r s

17 ΦΥΣ Διαλ Κάθετο διάνυσµα σε καµπύλη Έστω το εφαπτόµενο δίανυσµα στην C: ˆt = ˆt ( s) Εποµένως το διάνυσµα t θα έχει παράγωγο ως προς s που είναι ένα άλλο διάνυσµα. Εφόσον το t είναι µοναδιαίο διάνυσµα: ˆt ( s) ˆt ( s) = 1 Παραγωγίζοντας ως προς s: 0 = s ˆt ˆt = ˆt s ˆt + ˆt ˆt s = 2 ˆt s ˆt Είναι χρήσιµο να γράφουµε την παράγωγο του t ως προς s: καµπυλότητα: k = ˆt s Γεωµετρική ερµηνεία: κάθετο µοναδιαίο διάνυσµα: ˆη Έστω s µετρούµενο από κάποιο σηµείο Α πάνω στην καµπύλη C. Το ανάπτυγµα Taylor της C γύρω από το Α δίνει: r! ( s) = r! 0! r s =! a + s! t ks2 ˆn + O s 3 + s! r ˆt s = k ˆη s + 1 s=0 2 s2 s ˆt 2! r s 2 H καµπύλη C κοντά στο Α βρίσκεται στο επίπεδο που περνά από το Α και είναι παρ/λο στα διανύσµατα t και n s=0 + O( s 3 )

18 ΦΥΣ Διαλ Ταχύτητα και επιτάχυσνη γενική κίνηση σηµείου Η ταχύτητα ορίζεται:! v =! r Η επιτάχυνση ορίζεται:! a =! v Έστω s το µήκος του τόξου που καλύπτεται στο P, µετρούµενο ως προς κάποιο σταθερό σηµείο στην καµπύλη και το s αυξάνει µε τον χρόνο t Με τον κανόνα της αλυσίδας έχουµε:! v =! r =! r s s v! = v! r s = vˆt όπου t το µοναδιαίο εφαπτοµενικό διάνυσµα και v η ταχύτητα του P H επιτάχυνση θα είναι: a! =! v = ( vˆt ) = v ˆt + v ˆt = v ˆt + v ˆt s s! a = v ˆn ˆt + kv 2 H επιτάχυνση εποµένως δεν έχει την διεύθυνση κατά µήκος της διαδροµής αλλά περιέχει και µια συνιστώσα κάθετη στην τοπική διεύθυνση της διαδροµής

Σχετικά έγγραφα

( ) ) V(x, y, z) Παραδείγματα. dt + "z ˆk + z d ˆk. v 2 =!x 2 +!y 2 +!z 2. F =! "p. T = 1 2 m (!x2 +!y 2 +!z 2

( ) ) V(x, y, z) Παραδείγματα. dt + z ˆk + z d ˆk. v 2 =!x 2 +!y 2 +!z 2. F =! p. T = 1 2 m (!x2 +!y 2 +!z 2 ΦΥΣ 211 - Διαλ.04 1 Παραδείγματα Κίνηση ενός και μόνο σωματιδίου, χρησιμοποιώντας Καρτεσιανές συντεταγμένες και συντηρητικές δυνάμεις. Οι εξισώσεις Lagrange θα πρέπει να επιστρέφουν τα ίδια αποτελέσματα