Εξισώσεις κίνησης του Hamilton

Transcript

1 ΦΥΣ Διαλ.11 1 Εξισώσεις κίνησης του Hamilton q Newtonian Lagrangian Hamiltonian q Περιγράφουν την ίδια φυσική και δίνουν τα ίδια αποτελέσματα q Διαφορές είναι στο τρόπο προσέγγισης των προβλημάτων q Συμμετρίες και αναλλοίωτο μεγεθών είναι περισσότερο εμφανείς ανάλογα με τη μέθοδο προσέγγισης q Ευελιξία στους μετασχηματισμούς q Ο φορμαλισμός Hamilton συνδέεται με την ανάπτυξη q Θεωρίας Hamilton-Jacobi q Κλασική θεωρεία διαταραχών q Κβαντική μηχανική q Στατιστική μηχανική

2 ΦΥΣ Διαλ.11 2 Από τις εξισώσεις του Lagrange σ αυτές του Hamilton Oι εξισώσεις Lagrange για Ν-συντεταγμένες: d dt L!q i L = 0 q i i = 1,!, N q N-μεταβλητές 2 N αρχικές συνθήκες π.χ. Ø Ερώτηση: Μπορούμε να λύσουμε το πρόβλημα με διαφορικές εξισώσεις 1 ης τάξης; Διαφορική εξίσωση 2 ης τάξης N-μεταβλητών q i (t = 0)!q i ( t = 0) ΝΑΙ αλλά θα χρειαστούμε 2-N εξισώσεις: Κρατάμε τις γενικευμένες συντεταγμένες αντικαθιστούμε τις γενικευμένες ταχύτητες q i και q! i με κάτι παρόμοιο Ø Παίρνουμε την συζυγή ορμή: p i L(q j,!q j,t)!q i

3 ΦΥΣ Διαλ.11 3 Χώρος μορφής ( configuration space ) q Θεωρήσαμε (q 1,,q n ) σαν ένα σημείο σε ένα N-διάστατο χώρο Ø Τον ονομάσαμε χώρο μορφής ή θεσεογραφικό χώρο Ø Η κίνηση του συστήματος τροχιά στο χώρο μορφής q Όταν παίρνουμε μεταβολές, θεωρούμε τα και!q i σαν ανεξάρτητες μεταβλητές και L L υπολογίζουμε τα και q i q! i π.χ. έχουμε 2Ν ανεξάρτητες μεταβλητές σε ένα Ν-διάστατο χώρο q Υπάρχουν πολλές πιθανές διαδρομές που περνούν από ένα σημείο του χώρου αυτού Ø Η αρχή του Hamilton θεμελιώνει ότι η δράση έχει στάσιμη τιμή q i 1 2 θεσεογραφικός χώρος Ldt q i = q 2 i (t) q(t) q 1 q 3 1 q 2

4 ΦΥΣ Διαλ.11 4 Χώρος φάσεων q Θεωρούμε τις συντεταγμένες και τις ορμές σαν ανεξάρτητες Ø Η κατάσταση του συστήματος δίνεται από (q 1,,q Ν, p 1,,p Ν ) Ø To θεωρούμε σαν ένα σημείο σε ένα 2Ν-διάστατο χώρο φάσεων q Μετατρέπουμε τις ανεξάρτητες μεταβλητές ( q i,!q i,t) ( q i, p i,t) q i p i = L!q i q Για τον μετασχηματισμό αυτό χρειαζόμαστε κάποιο μαθηματικό τέχνασμα q p i = i = q i p (t) i (t)

5 Μετασχηματισμός Legendre ΦΥΣ Διαλ.11 5 q Ξεκινώντας από μια συνάρτηση δυο μεταβλητών Ø Το ολικό διαφορικό γράφεται: δηλαδή να αντικαταστήσουμε το x αντικατέστησε Ø Ορίζουμε μια συνάρτηση g(u,y) τέτοια ώστε: g f ux με ² Το ολικό διαφορικό της g είναι: dg = df d ux = udx + vdy udx xdu = vdy xdu Το οποίο ισούται με: dg = g g du + u y dy Αν f = L( q,!q ) δηλαδή ( x, y) = (!q,q ) τότε L(!q,q) g(p,q) = L p!q df = f x dx + f y ( ) αν g y = v q Πως εφαρμόζεται αυτό στην Κλασική Μηχανική? f (x, y) dy udx + vdy q Έστω ότι θέλουμε ένα νέο group από ανεξάρτητες μεταβλητές u,y και g u = x Αυτό χρειαζόμαστε

6 Hamiltonian q Ορίζουμε την Hamiltonian: H (q, p,t) = Ø To ολικό διαφορικό είναι:!q i p i L(q,!q,t) dh = p i d!q i +!q i dp i L q i dq i L!q i d!q i L t dt dh =!q i dp i!p i dq i L t dt i L q i =!p i ΦΥΣ Διαλ.11 6 Αντίθετο πρόσημο από το μετασχ. Legendre dh = H p i dp i + H q i dq i + H t dt

7 ΦΥΣ Διαλ.11 7 Εξισώσεις του Hamilton dh =!q i dp i!p i dq i L t dt dh = H p i dp i + H q i dq i + H t dt q Εξισώνοντας τα δύο ολικά διαφορικά για την Hamiltonian έχουμε: H p i =!q i H q i =!p i H t = L t Ø 2Ν εξισώσεις αντικαθιστούν τις n-εξισώσεις Lagrange Ø 1 ης τάξης διαφορικές εξισώσεις αντί για 2 ης τάξης E-L Ø Συμμετρία μεταξύ p και q q Δεν υπάρχει τίποτα το καινούριο Ανασυντάξαμε τις ίδιες εξισώσεις Ø Η πρώτη εξίσωση συνδέει ορμή και ταχύτητα που δίνεται στο Newtonian φορμαλισμό q Η δεύτερη εξίσωση είναι ισοδύναμη με τις εξισώσεις κίνησης του Newton και Lagrange

8 ΦΥΣ Διαλ.11 8 Hamiltonian και εξισώσεις Hamilton Η Συνταγή ( ) 1 Προσδιορισμός της Lagrangian με το σύνολο των q i : L q i,!q i,t ( ) 2 Προσδιορισµός των συζυγών ορµών: p i = L q i,!q i,t!q i 3 Προσδιορισµός της Hamiltonian: H ( q i,!q i,t)= p i!q i L( q i,!q i,t) i 4 Χρησιµοποίηση της (1) για να γράψουµε τα!q i συναρτήσει των q i και p i Αντιστρέφουµε δηλαδή τις εξισώσεις της συζυγούς ορµής 5 Αντικατάσταση όποιων!q i στην εξίσωση της H ώστε να είναι συνάρτηση µόνο των q i και p i, δηλαδή H q i, p i,t!q i = H p i!p i = H q i ( ) 6 Προσδιορισµός των εξισώσεων κίνησης: (τώρα H έχει την σωστή µορφή) και L t = H t

9 ΦΥΣ Διαλ.11 9 Ένα παράδειγμα q Μάζα m εξαρτημένη από ελατήριο υπακούει στο νόμο του Hooke F = kx L = m 2!x2 k 2 x2 p = L!q = m!x H =!xp L = m!x 2 m 2!x2 + k 2 x2 H = m 2!x2 + k 2 x2 H = p2 2m + k 2 x2 q Oι εξισώσεις Hamilton είναι:!x = H p = p m!p = H x = kx Συνηθισμένες εξισώσεις αρμονικού ταλαντωτή

10 Δεύτερο Παράδειγμα Μηχανή Atwood ΦΥΣ Διαλ Έστω ότι η θέση x της m 1 είναι η μια γενικευμένη συντεταγμένη H Lagrangian είναι: L = T U όπου T = 1 ( 2 m 1 + m 2 )!x 2 y m 1 x ( ) και U = m 1 gx m 2 gy = m 1 gx m 2 g l x U = ( m 1 m 2 )gx + const U = ( m 1 m 2 )gx m 2 Επομένως L = 1 ( 2 m 1 + m 2 )!x 2 + ( m 1 m 2 )gx p = L!x L!x = T U!x Υπολογίζουμε την Hamiltonian: H = p!x L ( ) = T!x p = ( m 1 + m 2 )!x ( ) Λύνουμε την εξίσωση αυτή ως προς!x!x = p / m 1 + m 2 Αντικαθιστούμε στην H = p!x L H = Εξισώσεις Hamilton:!x = H p = p 2 ( ) m 1 m 2 2 m 1 + m 2 p m 1 + m!p = H 2 x = ( m 1 m 2 )g ( )gx

11 ΦΥΣ Διαλ Συνάρτηση ενέργειας q Ο ορισμός της Hamiltonian είναι ταυτόσημος με αυτόν της συνάρτησης της ενέργειας: L h( q,!q,t ) =!q i ( ) L q,!q,t!q i Ø O διαχωρισμός είναι στις λεπτομέρειες: H είναι συνάρτηση των (q,p,t) q Αυτό ισούται με την ολική ενέργεια αν: q H Lagrangian είναι : L( q,!q,t ) = L 0 ( q,t) + L 1 ( q,t)!q i + L 2 ( q,t)!q j!q k q Oι δεσμοί είναι ανεξάρτητοι του χρόνου Ø Αυτό συνεπάγεται ότι: q Oι δυνάμεις είναι συντηρητικές: Ø Αυτό συνεπάγεται ότι: T = L 2 ( q,t)!q j!q k V = L 0 ( q)

12 ΦΥΣ Διαλ Hamiltonian και ολική ενέργεια Αν οι συνθήκες κάνουν το h να αντιστοιχεί σε ολική ενέργεια μπορούμε να παραλείψουμε τον υπολογισμό της Lagrangian και να πάμε απ ευθείας στον υπολογισμό της Hamiltonian Ø Στο παράδειγμά μας για το σώμα στο ελατήριο θα έχουμε: H = E = T + V = p2 2m + k 2 x2 Ø Στο παράδειγμά μας για την μηχανή Atwood θα έχουμε: H = E = T +U = p 2 ( ) m 1 m 2 2 m 1 + m 2 ( )gx q Αυτό δουλεύει πολύ συχνά αλλά όχι πάντα Ø Όταν το σύστημα συντεταγμένων είναι εξαρτώμενο από τον χρόνο π.χ. περιστρεφόμενο (μη αδρανειακό) σύστημα συντεταγμένων Ø Όταν το δυναμικό εξαρτάται από την ταχύτητα π.χ. σωματίδιο σε ΕΜ πεδίο

13 Διατήρηση της Hamiltonian ΦΥΣ Διαλ Θεωρούμε τη παράγωγο ως προς το χρόνο της Hamiltonian dh ( q, p,t) dt = H q!q + H p!p + H t και από τις εξισώσεις Hamilton:!p = H q!q = H p dh (q, p,t) dt =!p!q +!q!p + H t Η Hamiltonian διατηρείται αν δεν εξαρτάται εκφρασμένα από τον χρόνο. q Η Hamiltonian μπορεί ή όχι να αντιστοιχεί στην ολική ενέργεια Ø Αν αντιστοιχεί, τότε υπάρχει διατήρηση της ενέργειας q Ακόμα και αν δεν είναι η ολική ενέργεια, μια σταθερά της κίνησης H είναι

14 ΦΥΣ Διαλ Κυκλικές συντεταγμένες q Μια κυκλική συντεταγμένη δεν εμφανίζεται στη Lagrangian L q Από κατασκευή δεν θα εμφανίζεται ούτε στην Hamiltonian q Η εξίσωση του Hamilton λέει H ( q, p,t) =!q i p i L( q,!q,t )!p = H q = 0 Η συζυγής ορμή μια κυκλικής συντεταγμένης διατηρείται q Ακριβώς το αποτέλεσμα που πήραμε και για το Lagrangian φορμαλισμό