Σ ένα ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ να σχεδιάσετε με αρχή το σημείο Γ, ένα διάνυσμα ³ ΓΔ αντίθετο του ΑΒ ³ και στη

Transcript

1 .5- øª ƒπ (56-6) :08 ÂÏ 6 Μέρος -.5. Η έννοια του διανύσματος 6 Τα διανύσματα α και β του παρακάτω σχήματος έχουν ίσα μέτρα. Να εξετάσετε αν τα διανύσματα αυτά είναι ίσα. 6 Σ ένα ισόπλευρο τρίγωνο να σχεδιάσετε με αρχή το σημείο, ένα διάνυσμα αντίθετο του και στη α συνέχεια να σχεδιάσετε με αρχή το σημείο, το διάνυσμα. β Να αποδείξετε ότι το είναι αντίθετο του. 4 Ποια από τα διανύσματα του παρακάτω σχήματος: α) έχουν ίσα μέτρα; β) είναι ίσα; γ) είναι αντίθετα; β ζ α κ γ 7 Στη δοκό έχουν σχεδιαστεί οι δυνάμεις F, F,, F, F 4, F 5. Nα βρείτε ποιες από αυτές: α) έχουν ίδια διεύθυνση β) έχουν αντίθετη φορά γ) είναι αντίθετες δ) είναι ίσες ε) έχουν ίσα μέτρα δ ι F = 7Ν ε θ F 4 = 5Ν F 5 = 7Ν 5 Να βρείτε το μέτρο των διανυσμάτων α, β, γ και δ του σχήματος. F = 5Ν = 0Ν cm { α β γ δ F = 5Ν cm { π π : ÙÔ ÛÎ ÎÈ, Ë Û ÏÈÛÛ ÌappleÔÚÂ Ó ÎÈÓËı ÔÚÈ fióùè, Î ıâù Î È È ÁÒÓÈ, fiappleˆ Ê ÓÂÙ È ÛÙÔ Û Ì. ªappleÔÚ ÙÂ Ó ÙÔappleÔıÂÙ ÛÂÙ ÏÏ 4 Û ÏÈÛÛÂ, ÙÛÈ ÒÛÙÂ, Ì Ì Ù Ó appleô ÂÈ Ë ÙÔappleÔıÂÙËıÂ, Ó Î Ï appleùô Ó Î È Ù 64 ÙÂÙÚ ÁˆÓ ÙÔ ÛÎ ÎÈÔ ;

2 .6- øª ƒπ (6-67) : ÂÏ 6.6. Άθροισμα και διαφορά διανυσμάτων Ε Άθροισμα διανυσμάτων Στη δραστηριότητα της προηγούμενης παραγράφου είδαμε ότι η τελική μετατόπιση ήταν το διάνυσμα Ε. Οι διαδοχικές μετατοπίσεις ήταν τα διανύσματα:,, και Ε, τα οποία λέγονται διαδοχικά διανύσματα, γιατί το τέλος του καθενός είναι η αρχή του επoμένου. Είναι φανερό ότι το άθροισμα των διαδοχικών μετατοπίσεων ισούται με την τελική μετατόπιση, δηλαδή: Ε = Ε. Με τον τρόπο αυτό ορίζεται το άθροισμα διαδοχικών διανυσμάτων. Τι γίνεται, όμως, όταν τα διανύσματα δεν είναι διαδοχικά; ς δούμε ένα διαφορετικό παράδειγμα. ƒ ƒ π F Ο Σέργιος είναι καπετάνιος ενός ιστιοπλοϊκού, που έχει αναμμένη τη μηχανή του και κρατάει σταθερή πορεία. Χωρίς να ελέγξει την κατεύθυνση του ανέμου που φυσάει, σηκώνει το ένα πανί. Το ιστιοπλοϊκό αρχίζει να αλλάζει πορεία, καθώς ο άνεμος φυσά προς άλλη κατεύθυνση, όπως φαίνεται στο σχήμα. ν F είναι η δύναμη που ασκεί στο σκάφος η μηχανή και F η δύναμη που ασκεί στο σκάφος ο άνεμος, προς ποια κατεύθυνση θα κινηθεί το ιστιοπλοϊκό; F F Λύση Έχουμε λοιπόν δύο δυνάμεις F (μηχανή) και F (άνεμος) που ασκούνται στο ιστιοπλοϊκό ταυτόχρονα και θέλουμε να βρούμε τη συνισταμένη δύναμη, όπως λέμε στη Φυσική, δηλαδή το άθροισμα των δύο διανυσμάτων F και F. F F F ολ Μεταφέρουμε παράλληλα το διάνυσμα F, έτσι ώστε να γίνει διαδοχικό με το F, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Τότε: F + F = + = + = = F ολ. F Oι δυνάμεις F και F λέγονται συνιστώσες της F ολ. Ένας άλλος τρόπος για να βρούμε το F ολ είναι να δούμε ότι αποτελεί τη διαγώνιο του παραλληλογράμμου. β Επομένως, έχουμε δύο μεθόδους, για να βρίσκουμε το άθροισμα διανυσμάτων. α δ γ. Η μέθοδος του πολυγώνου Μεταφέρουμε παράλληλα τα διανύσματα που θέλουμε να προσθέσουμε, ώστε να γίνουν όλα διαδοχικά. Το άθροισμα των α, β, γ, θα είναι το διάνυσμα δ, που θα έχει αρχή την αρχή του πρώτου και πέρας το πέρας του τελευταίου.

3 .6- øª ƒπ (6-67) : ÂÏ 6 Μέρος -.6. Άθροισμα και διαφορά διανυσμάτων 6. Η μέθοδος του παραλληλογράμμου α δ Μεταφέρουμε τα διανύσματα α, β, έτσι ώστε να έχουν κοινή αρχή και σχηματίζουμε το παραλληλόγραμμο που έχει πλευρές τα διανύσματα α και β. β Η διαγώνιος δ του παραλληλογράμμου που έχει ως αρχή την κοινή τους αρχή είναι το άθροισμα των διανυσμάτων α και β. ιαφορά διανυσμάτων Η διαφορά δύο διανυσμάτων και συμβολίζεται με και ορίζεται ως άθροισμα του με το αντίθετο διάνυσμα του, δηλαδή με το : = + ( ) = +. ια να αφαιρέσουμε δύο διανύσματα, προσθέτουμε στο το αντίθετο του, δηλαδή το. + ια να γίνει αυτό, σχεδιάζουμε ένα διάνυσμα Ε ίσο με το. + = + Ε Ε Το διάνυσμα Ε είναι η διαφορά του από το = +( ) = + = + Ε Ε = Ε ιαφορά δύο διανυσμάτων με κοινή αρχή ια να αφαιρέσουμε δύο διανύσματα με κοινή αρχή, Ο Ο O A προσθέτουμε στο Ο το αντίθετο του Ο, δηλαδή το Ο. Τα διανύσματα Ο και Ο είναι διαδοχικά. Ο + Ο = = Ο + Ο O A Το διάνυσμα είναι η διαφορά του Ο από το Ο Ο Ο = Ο + Ο = Ο + Ο = O A

4 .6- øª ƒπ (6-67) : ÂÏ Μέρος -.6. Άθροισμα και διαφορά διανυσμάτων Παρατηρούμε, λοιπόν, ότι η διαφορά Ο Ο δύο διανυσμάτων Ο, Ο με κοινή αρχή Ο, είναι ένα διάνυσμα, με αρχή το πέρας του δευτέρου και πέρας το πέρας του πρώτου. Επομένως για τις διαγωνίους Ο και του διπλανού παραλληλογράμμου ισχύει: Ο = α + β και = α β. α α+ β Το μηδενικό διάνυσμα Το άθροισμα δύο αντίθετων διανυσμάτων είναι ένα διάνυσμα του οποίου η αρχή και το τέλος (πέρας) ταυτίζονται. Το διάνυσμα αυτό λέγεται μηδενικό διάνυσμα και συμβολίζεται με 0. Eπομένως, το μηδενικό διάνυσμα είναι ένα σημείο, οπότε δεν έχει ούτε διεύθυνση ούτε φορά. Το μέτρο του είναι ίσο με 0. ηλαδή: 0 = 0. Ο β α β º ƒ ª ίνεται τυχαίο τετράπλευρο. Να αποδείξετε ότι: =. Έχουμε: Επίσης: = + =. = + =. Επομένως: =. º ƒ ª Τρεις δυνάμεις ασκούνται στο ιστοπλοϊκό του παρακάτω σχήματος: η F από τη μηχανή του, η F από τα πανιά του (αέρας) και το ρεύμα της θάλασσας F. Σε ποιο νησί κατευθύνεται το ιστιοπλοϊκό; Το ιστιοπλοϊκό κινείται κατά τη διεύθυνση της συνισταμένης των τριών αυτών δυνάμεων, δηλαδή του αθροίσματος F + F + F. ν σχηματίσουμε το άθροισμα αυτών των δυνάμεων, η συνισταμένη τους δείχνει ότι το ιστιοπλοϊκό κατευθύνεται προς τη Σέριφο.

5 .6- øª ƒπ (6-67) : ÂÏ 65 Μέρος -.6. Άθροισμα και διαφορά διανυσμάτων 65 º ƒ ª ίνεται παραλληλόγραμμο. Να προσδιορίσετε το σημείο Μ για το οποίο ισχύει: + Μ + + = 0. Έχουμε: + Μ + + = Μ = 0 ή ή + M = 0 ή Μ = 0 Το διάνυσμα Μ ισούται με το μηδενικό διάνυσμα, οπότε η αρχή και το πέρας ταυτίζονται. Επομένως, το σημείο Μ ταυτίζεται με το σημείο. ƒø π. ίνονται τα σημεία,, και, τα οποία δεν ανήκουν στην ίδια ευθεία. Σε καθεμιά από τις παρακάτω ερωτήσεις να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. α) β) γ) δ) ν =, τότε: ν =, τότε: ν =, τότε: = Το τρίγωνο είναι ισοσκελές. Το τρίγωνο είναι ισοσκελές. Το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο. Το είναι το μέσο του. Το είναι το μέσο του. = Το ταυτίζεται με το. Το ταυτίζεται με το. Το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο. ε) + + A+ = 0.. ίνονται τέσσερα σημεία,, και. Να συμπληρώσετε τις παρακάτω ισότητες: α) +... = β) = γ) = δ) = Η ισότητα = + είναι σωστή σ ένα μόνο από τα παρακάτω σχήματα. Μπορείτε να βρείτε σε ποιο; : : :

6 .6- øª ƒπ (6-67) : ÂÏ Μέρος -.6. Άθροισμα και διαφορά διανυσμάτων 4. Στο διπλανό σχήμα το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο. Να κυκλώσετε τις σωστές απαντήσεις. α) β) + = Ο + = Ο Ο Ο γ) Ο + = Ο Ο Ο δ) Ο + = Ο Ο Ο O π Στο παρακάτω σχήμα να σχεδιάσετε τα αθροίσματα: α) α + β β) β + γ γ) α + β + γ Ζ α β γ Ε Να βρεθούν τα αθροίσματα: α) + β) Ε + γ) + δ) + ΖΕ + ίνεται το τετράπλευρο. Να υπολογιστούν τα αθροίσματα: α) + + β) γ) 6 Σε ένα σώμα ασκούνται οι δυνάμεις F, F και F, όπως βλέπουμε στο παρακάτω σχήμα. Να σχεδιάσετε τη συνισταμένη τους. F 4 5 ίνεται τετράπλευρο και Μ σημείο της. Να υπολογίσετε τα αθροίσματα: α) + Μ + Μ β) Μ + Μ + + γ) + Μ + + Μ ίνεται παραλληλόγραμμο και Ο το σημείο τομής των διαγωνίων του. Να συγκρίνετε τις διαφορές: Ο α) Ο β) Ο γ) Ο δ) Ο Στο παρακάτω σχήμα τα τετράπλευρα και ΕΖ είναι παραλληλόγραμμα. 7 F F Στο διπλανό σχήμα να σχεδιάσετε τα διανύσματα, Ε, Ζ και Θ, έτσι ώστε να ισχύει: = +, Ε = +, Ζ = + και Θ = + +.

7 .6- øª ƒπ (6-67) : ÂÏ 67 Μέρος -.6. Άθροισμα και διαφορά διανυσμάτων Aν Μ είναι το μέσο της υποτείνουσας ενός ορθογωνίου τριγώνου ( =90 ), να αποδείξετε ότι: = Μ Μ. Μία βάρκα διασχίζει κάθετα ένα ποτάμι. ν η βάρκα κινείται μόνο από τη μηχανή της, θα έχει ταχύτητα με μέτρο m/s. Η βάρκα παρασύρεται, όμως, από το ρεύμα του ποταμού που έχει ταχύτητα 0,6 m/s. 0 π π : α) Να σχεδιάσετε τις δύο ταχύτητες. β) Να σχεδιάσετε την διεύθυνση που θα πάρει τελικά η βάρκα. ίνεται τετράπλευρο και Μ, Ν τα μέσα των πλευρών και. Να αποδείξετε ότι: Μ + Μ = Ν + Ν. Μ ÙÔ apple Ú Î Ùˆ Û Ì, Ù ÛËÌÂ,, ª,, Â Ó È Ù Ì Û ÙˆÓ appleïâ ÚÒÓ ÙÔ apple Ú ÏÏËÏÔÁÚ ÌÌÔ μ. ªappleÔÚ ÙÂ Ó Û ÌappleÏËÚÒÛÂÙ ÙÔ apple Ú Î Ùˆ È Ó ÛÌ ÙÔÛÙ ÚfiÏÂÍÔ; Κ Ο + = Μ Ν Ο T È Ó ÛÌ Ù ÛÙÔ Ô ÙË Î ÎÏÔÊÔÚ Â ÌÈ applefiïë apple Ú Ô Ó ÍÈ ÁÚ ÌÌ ÌÂÙÚfi. ÚÙË ÙˆÓ ÛÙ ÛÂˆÓ Ê ÓÂÙ È ÛÙÔ apple Ú - Î Ùˆ Û Ì. È Ó ÌÂÙ Ô Ì applefi Ó ÛËÌÂ Ô ÙË applefiïë ÛÂ Ó ÏÏÔ, ÁÈ apple Ú - ÂÈÁÌ applefi ÙÔ ÛËÌÂ Ô ÛÙÔ ÛËÌ Ô, ÌappleÔÚÔ ÌÂ Ó ÎÈÓËıÔ Ì ÌÂ È ÊÔÚÔ ÙÚfiappleÔ, ÔÈ ÔappleÔ ÔÈ ÌappleÔÚÔ Ó Ó apple Ú ÛÙ - ıô Ó ÌÂ È Ó ÛÌ Ù : Z = Z ή Λ Ν ΟΝ + = = = = + ΟΛ = Z = Z ή Z = Z ) ªappleÔÚ ÙÂ Ó Ú Ù ÏÏÔ ÙÚfiappleÔ ( ÛÙˆ Î È appleèô Ì ÎÚÈÓÔ ) ÁÈ Ó Î ÓÔ Ì ÙË È ÚÔÌ Z Î È Ó ÙÔ ÁÚ ÂÙ Û ÌÔÚÊ ıúô ÛÌ ÙÔ È Ó ÛÌ ÙˆÓ; ) ªÂ appleôèô ÙÚfiappleÔ ÌappleÔÚ ΠÓÂ Ó ÌÂÙ Â applefi ÙÔ ÛËÌÂ Ô 4 ÛÙÔ ÛËÌÂ Ô ; ÁÚ ÂÙ ÙÈ È ÚÔÌ Ù Û ÌÔÚÊ ıúô ÛÌ ÙÔ È Ó ÛÌ ÙˆÓ. Á) Î ÓÂÙ ÙÈ È ÚÔÌ : Ε 7, 4 Ζ Î È 8 μâ fiûô ÙÔ Ó ÙfiÓ appleâúèûûfi- ÙÂÚÔ ÙÚfiappleÔ!

8 .7- øª ƒπ (68-7) :4 ÂÏ Aνάλυση διανύσματος σε δύο κάθετες συνιστώσες F νάλυση διανύσματος σε δύο κάθετες συνιστώσες Όταν γίνεται σεισμός, ασκούνται δυνάμεις στα διάφορα μέρη των κτιρίων. Ο μηχανικός που κατασκευάζει τα κτίρια, για να εξασφαλίσει την αντοχή τους χρησιμοποιεί τις γνώσεις των επιστημών της «Στατικής» και της «ντοχής Υλικών». Υπολογίζει, λοιπόν, τις δυνάμεις που ασκούνται στα κάθετα και οριζόντια μέρη των κτιρίων (κολόνες και δοκάρια), για να μην πέσουν τα κτίρια. Κατά τη διάρκεια του σεισμού εφαρμόζεται μια πλάγια δύναμη στις κολόνες και τα δοκάρια του κτιρίου, όπως φαίνεται στο σκίτσο. x y A F F F y x Ο μηχανικός ενδιαφέρεται να γνωρίζει χωριστά τις δυνάμεις F, F, που ασκούνται αντίστοιχα στο δοκάρι και την κολόνα. Είναι αναγκαία, λοιπόν, η ανάλυση ενός διανύσματος F σε δύο κάθετα διανύσματα. Η ανάλυση του διανύσματος F στις δύο κάθετες συνιστώσες του F και F, γίνεται ως εξής: Στην αρχή του διανύσματος = F, σχηματίζουμε δύο κάθετες ευθείες x x και y y, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. πό το πέρας φέρνουμε δύο κάθετες: τη στην x x και τη στην y y. Τότε το είναι ορθογώνιο, επομένως: = + και επιπλέον = F και = F. Μέτρα Συνιστωσών ν γνωρίζουμε ότι το μέτρο της δύναμης που προέρχεται από το σεισμό είναι F = 6000 N και σχηματίζει με το οριζόντιο δοκάρι γωνία θ = 0, μπορούμε να υπολογίσουμε τα μέτρα των κάθετων συνιστωσών της F. A θ=0 Fοριζ F Fκαθ ναλύουμε το διάνυσμα σε δύο κάθετες συνιστώσες: = F οριζ και = F καθ. νωρίζουμε ότι: = 6000 N και θ = 0. Στο ορθογώνιο τρίγωνο έχουμε ότι: A συνθ = = και ημθ = =. Όμως =, οπότε =. Επομένως:

9 .7- øª ƒπ (68-7) :4 ÂÏ 69 Μέρος -.7. νάλυση διανύσματος σε δύο κάθετες συνιστώσες 69 F οριζ = = συνθ = 6000 F καθ = = ημθ = 6000 = 000 (Ν). = 000 (Ν). ενικότερα, για τα μέτρα των δύο κάθετων συνιστωσών F και F μιας δύναμης F ισχύει ότι: F = F συνθ και F = F ημθ º ƒ ª ίνεται ορθογώνιο. ν = 6, να υπολογίσετε τα μέτρα και. A θ=0 A A Έχουμε: συν0 = = και ημ0 = =, άρα = συν0 = 6 = και = ημ0 = 6 =. º ƒ ª Ένα φορτηγό βάρους N, είναι σταθμευμένο σε μία κατηφόρα με γωνία κλίσης 0, όταν ξαφνικά λύνεται το χειρόφρενο! Το διάνυσμα του βάρους του αναλύεται σε δύο κάθετες μεταξύ τους συνιστώσες, από τις οποίες η εξουδετερώνεται από το έδαφος, ενώ η κινεί το φορτηγό στην κατηφόρα. Να βρεθεί το μέτρο της δύναμης Έχουμε: συν60 =, oπότε: = συν60 = = 0000 N.

10 .7- øª ƒπ (68-7) :4 ÂÏ Μέρος -.7. νάλυση διανύσματος σε δύο κάθετες συνιστώσες. ƒø π Στο παρακάτω σχήμα αναλύσαμε τα διανύσματα, και ΕΖ σε δύο κάθετες συνιστώσες αλλά τα διανύσματα μπερδεύτηκαν! Μπορείτε να βρείτε ποιες είναι οι σωστές από τις παρακάτω σχέσεις; α β γ δ ε ζ Ζ Ε α) = γ + ζ α + ε α + ζ ε + γ β) = β + γ α + ζ β + ζ ε + δ γ) ΕΖ = γ + δ α + ε α + δ γ + ζ. Μια δύναμη F,μέτρου F = 5 Ν αναλύεται σε δύο κάθετες συνιστώσες F και F. ν F = 4 Ν τότε F =... : Ν : Ν : Ν : 4 Ν Nα κυκλώσετε τη σωστή απάντηση. F F 5 N F 4 N. Μια δύναμη F αναλύεται σε δύο κάθετες μεταξύ τους συνιστώσες F και F με μέτρα 5 N και N αντίστοιχα. Τότε F =... : 5 : : 7 : 8 Nα κυκλώσετε τη σωστή απάντηση. 5 N F F F N

11 .7- øª ƒπ (68-7) :4 ÂÏ 7 Μέρος -.7. νάλυση διανύσματος σε δύο κάθετες συνιστώσες 7 π Να αναλύσετε τα παρακάτω διανύσματα σε άθροισμα δύο κάθετων συνιστωσών. O Kωστάκης κάνει τσουλήθρα, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. ν το βάρος του Κωστάκη είναι 70 Ν, να βρείτε το μέτρο της δύναμης που τον κάνει να κινείται. 4 Ένας κυνηγός για να φτιάξει μια παγίδα, χρησιμοποιεί δύο σανίδες ίσου μήκους και τις τοποθετεί στο έδαφος, ώστε να σχηματίζουν ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο. Στην κορυφή του τριγώνου τοποθετεί πέτρα βάρους 00 N. Ποιο είναι το μέτρο της δύναμης που δέχεται κάθε σανίδα από το βάρος της πέτρας; Σε υπόγειο τελεφερίκ οι ράγες σχηματίζουν με το οριζόντιο επίπεδο γωνία 60. Το βάρος του βαγονιού των επιβατών (μαζί με τους επιβάτες) είναι 0000 Ν και σύρεται πάνω στις ράγες από την κορυφή με ένα συρματόσχοινο. Ποιο είναι το μέτρο της δύναμης που πρέπει να ασκείται από το συρματόσχοινο στο βαγόνι, ώστε να κινείται με σταθερή ταχύτητα προς τα πάνω; 5 Ένας σκιέρ γιγαντιαίου άλματος κατεβαίνει την εξέδρα που σχηματίζει με τον ορίζοντα γωνία 0. ν το βάρος του έχει μέτρο 800 N, ποιο είναι το μέτρο της δύναμης που τον μετακινεί κατά μήκος της εξέδρας;

12 .7- øª ƒπ (68-7) :4 ÂÏ 7 apple Ó ÏË Ë ÂÊ Ï Ô Επανάληψη στην Τριγωνομετρία Aν ω είναι μια οξεία γωνία ορθογωνίου τριγώνου, τότε: απέναντι κάθετη πλευρά ημω = υποτείνουσα προσκείμενη κάθετη πλευρά συνω= υποτείνουσα απέναντι κάθετη πλευρά εφω = προσκείμενη κάθετη πλευρά ια οποιαδήποτε οξεία γωνία ω ισχύουν: 0 < ημω < 0 < συνω < ημω εφω = συνω Όταν μια οξεία γωνία μεγαλώνει, τότε αυξάνεται το ημίτονό της και η εφαπτομένη της, αλλά ελαττώνεται το συνημίτονό της. ν δύο οξείες γωνίες έχουν ίσα ημίτονα ή ίσα συνημίτονα ή ίσες εφαπτομένες, τότε οι γωνίες αυτές είναι ίσες. Τριγωνομετρικοί αριθμοί ημίτονο συνημίτονο εφαπτομένη Επανάληψη στα ιανύσματα ιανυσματικά λέγονται τα μεγέθη που έχουν μέτρο και κατεύθυνση. Τα στοιχεία ενός διανύσματος είναι η διεύθυνση, η φορά και το μέτρο. ύο διανύσματα λέγονται ίσα, όταν έχουν την ίδια διεύθυνση, την ίδια φορά και ίσα μέτρα, ενώ δύο διανύσματα λέγονται αντίθετα, όταν έχουν την ίδια διεύθυνση, ίσα μέτρα και αντίθετη φορά. Άθροισμα διανυσμάτων.. Η μέθοδος του πολυγώνου: Όταν τα διανύσματα γίνουν διαδοχικά.. Η μέθοδος του παραλληλογράμμου: Όταν τα διανύσματα α, β, έχουν κοινή αρχή. α β γ α β δ δ ιαφορά διανυσμάτων. = + ( ) = + ιαφορά διανυσμάτων με κοινή αρχή. Ο Ο = Το μηδενικό διάνυσμα 0 είναι ένα διάνυσμα του οποίου η αρχή και το τέλος (πέρας) ταυτίζονται. Το μέτρο του είναι ίσο με 0. νάλυση διανύσματος σε δύο κάθετες συνιστώσες με μέτρα: F = F συνθ F = F ημθ

13 .- øª ƒπ (7-79) :6 ÂÏ 7 ΜΕΡΟΣ º π Ô Μέτρηση Κύκλου

14 .- øª ƒπ (7-79) :6 ÂÏ 74 ΕΙΣΩΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜ Ô appleúfi ÏËÌ ÙÔ ÙÂÙÚ ÁˆÓÈÛÌÔ ÙÔ Î ÎÏÔ, ÙÔ ÔappleÔ Ô Ù Ó Ó applefi Ù ÙÚ appleâú ÊËÌ Ï Ù appleúô Ï Ì Ù ÙË Ú ÈfiÙËÙ, Ô ÁËÛ ÛÙËÓ appleúôûapple ıâè ÂÎÙ ÌËÛË ÙË ÙÈÌ ÙÔ ÚÈıÌÔ apple, ÙÔ appleèô È ÛËÌÔ applefi fiïô ÙÔ ÚÈıÌÔ. ÚÈıÌfi apple appleúôî appleùâè Ê ÛÈÔÏÔÁÈÎ applefi ÙË Ì ÙÚËÛË ÙÔ Î ÎÏÔ, Ë ÔappleÔ Â Ó È ÙÔ Î ÚÈÔ ÓÙÈΠÌÂÓÔ ÙÔ ÙÔ. Εγγεγραμμένες γωνίες. Κανονικά πολύγωνα. Μήκος κύκλου.4 Μήκος τόξου.5 Εμβαδόν κυκλικού δίσκου.6 Εμβαδόν κυκλικού τομέα ÎÂÊ Ï Ô. ÂÍÂÙ ÛÔ ÌÂ, ÂappleÈappleÏ ÔÓ, Ù Î ÓÔÓÈÎ appleôï ÁˆÓ : appleôï ÁˆÓ Ì Û appleïâ Ú Î È Û ÁˆÓ Â. Ó È appleôï ÁÓˆÛÙ Û Ì Ù Û ÂÌ, ÏÏ ÙÒÚ ı ÌÂÏÂÙ ÛÔ Ì appleèô ÈÂÍÔ ÈÎ Ù ÛÙÔÈ Â ÙÔ Î È ÙËÓ Î Ù ÛΠÙÔ.

15 .- øª ƒπ (7-79) :6 ÂÏ 75.. Εγγεγραμμένες γωνίες θεατής φ φ Έχετε αναρωτηθεί ποτέ γιατί τα θέατρα, όπως η Επίδαυρος, έχουν «κυκλικό» σχήμα; φ σκηνή ιατί από κάθε κάθισμα, που βρίσκεται πάνω στον κύκλο, ο θεατής «βλέπει τη σκηνή με την ίδια γωνία φ». Οι γωνίες που βλέπουμε στο διπλανό σχήμα έχουν την κορυφή τους (θεατής) πάνω στον κύκλο και οι δύο πλευρές τους τέμνουν τον κύκλο. Mια γωνία x y που η κορυφή της ανήκει στον κύκλο (Ο, ρ) και οι πλευρές της x, Ay τέμνουν τον κύκλο, λέγεται εγγεγραμμένη γωνία στον κύκλο (Ο, ρ). x y Το τόξο του κύκλου (Ο, ρ) που περιέχεται στην εγγεγραμμένη γωνία λέγεται αντίστοιχο τόξο της. Επίσης, λέμε ότι η εγγεγραμμένη γωνία βαίνει στο τόξο. ƒ ƒ π Aντώνης Κ EΡ Μιχάλης Μ Στο Πανεπιστήμιο γίνεται μάθημα στο μφιθέατρο. ύο φοιτητές, ο ντώνης και ο Μιχάλης, κάθονται σε μία σειρά θέσεων που σχηματίζει με την έδρα ημικύκλιο, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Στο διάλειμμα ο ντώνης μέτρησε την απόστασή του από τα δύο άκρα, της έδρας και βρήκε ότι = m, = 4 m, ενώ έχουμε ότι = 5 m. Ο Μιχάλης, αντίστοιχα, βρήκε ότι Μ = 5 m και Μ = 5 m. α) Να εξετάσετε αν ισχύει το Πυθαγόρειο θεώρημα στα τρίγωνα και Μ. β) Τι γωνίες είναι οι και Μ; γ) Τι συμπεραίνετε γενικά για κάθε εγγεγραμμένη γωνία που βαίνει σε ημικύκλιο; Λύση α) Έχουμε ότι: + = + 4 = 5 = 5 = M + M = ( 5) + ( 5) = 5 =

16 .- øª ƒπ (7-79) :6 ÂÏ Μέρος -.. Εγγεγραμμένες γωνίες Επομένως, ισχύει το Πυθαγόρειο θεώρημα και στα δύο τρίγωνα και Μ. β) Aφού ισχύει το Πυθαγόρειο θεώρημα, θα έχουμε ότι: = 90 και Μ = 90, δηλαδή τα τρίγωνα είναι ορθογώνια. M γ) Συμπεραίνουμε ότι η προηγούμενη διαπίστωση ισχύει γενικά, δηλαδή: Κάθε εγγεγραμμένη γωνία που βαίνει σε ημικύκλιο είναι ορθή. A Κ Μια ορθή γωνία που βαίνει σε ημικύκλιο είναι ίση με το μισό της αντίστοιχης επίκεντρης που είναι η πλήρης γωνία. Το συμπέρασμα αυτό ισχύει για κάθε εγγεγραμμένη και την αντίστοιχη επίκεντρη γωνία της. Συγκεκριμένα: K Λ Kάθε εγγεγραμμένη γωνία ισούται με το μισό της επίκεντρης που έχει ίσο αντίστοιχο τόξο. Οι εγγεγραμμένες γωνίες ενός κύκλου που βαίνουν στο ίδιο τόξο ή σε ίσα τόξα είναι μεταξύ τους ίσες. Κάθε εγγεγραμμένη γωνία έχει μέτρο ίσο με το μισό του μέτρου του αντίστοιχου τόξου της. º ƒ ª 00 Σε ένα κύκλο (Ο, ρ) θεωρούμε τρία σημεία,,, έτσι ώστε = 0 και = 00. Να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου. 0 Ο φού = 00, τότε η αντίστοιχη επίκεντρη γωνία Ο θα είναι και αυτή ίση με 00. Επομένως, η γωνία που είναι εγγεγραμμένη και βαίνει στο ίδιο τόξο με την επίκεντρη Ο θα είναι: = Ο = 50. Ομοίως προκύπτει ότι: = 60. Επειδή το άθροισμα των γωνιών του τριγώνου είναι 80, θα ισχύει ότι: = = 70.

17 .- øª ƒπ (7-79) :6 ÂÏ 77 Μέρος -.. Εγγεγραμμένες γωνίες 77 º ƒ ª Στο παρακάτω σχήμα η είναι διάμετρος του κύκλου. Να υπολογίσετε τα διαδοχικά τόξα,,,. Tα διαδοχικά τόξα και σχηματίζουν ημικύκλιο, οπότε: 5x x + 50 = 80 ή 6x = 0, επομένως x = 0. Ομοίως, τα διαδοχικά τόξα και σχηματίζουν ημικύκλιο, οπότε: y 0 + 7y = 80, επομένως 0y = 00 ή y = 0. Έχουμε ότι: = y 0 = 60 0 = 40, = = 0, = = 70, = 7 0 = 40. º ƒ ª Στο παρακάτω σχήμα η είναι διάμετρος του κύκλου και οι Ο, ΟΕ είναι διχοτόμοι των γωνιών Ο, Ο αντίστοιχα. Να υπολογιστεί το τόξο Ε. 5x+0 y-0 Ο 7y x+50 φού οι Ο, ΟΕ είναι διχοτόμοι των γωνιών Ο και Ο αντίστοιχα, θεωρούμε ότι Ο = Ο = φ και ΟΕ = Ε Ο = ω. Όμως, ΟΕ = Ο + Ε Ο = φ + ω. Έχουμε Ο + Ο = 80, δηλαδή φ + ω = 80, οπότε φ + ω = 90. Άρα ΟΕ = 90 και το αντίστοιχο τόξο Ε είναι ίσο με 90. Ε ω ω φ φ Ο ƒø π. Στα παρακάτω σχήματα ποιες από τις γωνίες είναι εγγεγραμμένες και ποιες επίκεντρες; α Ο γ ε δ θ η β ζ. Στον παρακάτω πίνακα να βάλετε σε κύκλο τη σωστή απάντηση. A α) Το μέτρο της γωνίας φ είναι: M φ 50 β) Το μέτρο του τόξου είναι:

18 .- øª ƒπ (7-79) :6 ÂÏ Μέρος -.. Εγγεγραμμένες γωνίες. Στον παρακάτω πίνακα να βάλετε σε κύκλο τη σωστή απάντηση. A α) β) γ) Το μέτρο της γωνίας είναι: Το μέτρο της γωνίας A O είναι: Το μέτρο της γωνίας A είναι: A O δ) Το μέτρο της γωνίας A είναι: ν σε κύκλο φέρουμε δύο κάθετες διαμέτρους, τότε τα τέσσερα ίσα τόξα είναι: : 80 : 80 : 90 : 45. Να κυκλώσετε τη σωστή απάντηση. Στον παρακάτω πίνακα να βάλετε σε κύκλο τη σωστή απάντηση. α) β) γ) δ) To μέτρο μιας εγγεγραμμένης γωνίας που βαίνει σε ημικύκλιο είναι: ν σ έναν κύκλο μια επίκεντρη γωνία είναι ίση με μια εγγεγραμμένη, τότε για τα αντίστοιχα τόξα ισχύει: Η άκρη του ωροδείκτη ενός ρολογιού σε ώρες διαγράφει τόξο: Η άκρη του λεπτοδείκτη ενός ρολογιού σε 45 λεπτά διαγράφει τόξο: A 80 είναι ίσα Το τόξο της επίκεντρης είναι διπλάσιο από το τόξο της εγγεγραμμένης Το τόξο της επίκεντρης είναι ίσο με το μισό του τόξου της εγγεγραμμένης 0 70 π Να υπολογίσετε τις γωνίες φ και ω που υπάρχουν στα παρακάτω σχήματα. φ ω 55 0 φ ω φ ω Έστω Μ και Ν τα μέσα των τόξων και αντίστοιχα, ενός κύκλου κέντρου Ο και ακτίνας ρ. ν = 60 και = 70, να βρείτε το μέτρο του τόξου ΜΝ. M Στο διπλανό σχήμα το είναι τετράγωνο και το Μ ένα σημείο του τόξου. Να υπολογίσετε τη γωνία A Μ. Μ 70 O 60 N

19 .- øª ƒπ (7-79) :6 ÂÏ 79 Μέρος -.. Εγγεγραμμένες γωνίες 79 4 Να υπολογίσετε τη γωνία φ στο παρακάτω σχήμα. 7 Να υπολογίσετε τις γωνίες x, y στο παρακάτω σχήμα. φ 0 90 φ+0 x 70 y 80 Ο 00 5 Στον κύκλο κέντρου Ο και ακτίνας ρ του παρακάτω σχήματος να υπολογίσετε τα τόξα,,,, αν γνωρίζουμε ότι A O = 45 και ότι οι, είναι διάμετροι του κύκλου. 45 Ο 8 9 Σ έναν κύκλο θεωρούμε τρία διαδοχικά τόξα A = 00, = 60 και = 80. Να υπολογίσετε τις γωνίες του τετράπλευρου. Στον κύκλο κέντρου Ο οι χορδές και τέμνονται στο Ρ. ν A = 50 και = 70, να υπολογίσετε τη γωνία φ. Ρ 50 φ 70 6 Σε ημικύκλιο διαμέτρου = 6 cm δίνεται σημείο του, έτσι ώστε =. Να υπολογίσετε τις πλευρές και τις γωνίες του τριγώνου. Ο O

20 .- øª ƒπ (80-85) :9 ÂÏ 80.. Κανονικά πολύγωνα Στην υμνασίου μελετήσαμε διάφορα είδη τετραπλεύρων, όπως το παραλληλόγραμμο, το ορθογώνιο, το ρόμβο, το τετράγωνο και το τραπέζιο. Ένα τυχαίο τετράπλευρο είναι ένα πολύγωνο με τέσσερις κορυφές. Μπορούμε να σχηματίσουμε και πολύγωνα με 5, 6, 7,... κορυφές, τα οποία αντίστοιχα λέγονται πεντάγωνο, εξάγωνο, επτάγωνο,..., κ.τ.λ. apple Ú ÏÏËÏfiÁÚ ÌÌÔ ÔÚıÔÁÒÓÈÔ Ε πεντάγωνο Ζ εξάγωνο Ζ Ε επτάγωνο Ένα πολύγωνο με ν κορυφές θα το λέμε ν-γωνο. Εξαίρεση αποτελεί το πολύγωνο με 4 κορυφές, που λέγεται τετράπλευρο. Ε Η ÙÂÙÚ ÁˆÓÔ ÚfiÌ Ô Ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό, αν όλες οι πλευρές του είναι μεταξύ τους ίσες και όλες οι γωνίες του είναι μεταξύ τους ίσες. π.χ. ÙÚ apple ÈÔ Iσόπλευρο τρίγωνο Τετράγωνο Κανονικό πεντάγωνο Κανονικό εξάγωνο

21 .- øª ƒπ (80-85) :9 ÂÏ 8 Μέρος -.. Kανονικά πολύγωνα 8 Κατασκευή κανονικών πολυγώνων ƒ ƒ π α) Να χωρίσετε έναν κύκλο σε έξι ίσα και διαδοχικά τόξα:,,, Ε, ΕΖ, Ζ. β) Τι παρατηρείτε για τα ευθύγραμμα τμήματα (χορδές),,, Ε, ΕΖ, Ζ; γ) Τι είδους πολύγωνο είναι το ΕΖ; Λύση α) φού όλος ο κύκλος έχει μέτρο 60, για να τον χωρίσουμε σε έξι ίσα τόξα, κάθε τόξο θα έχει μέτρο = A Ζ 60 Ο Ε Σχηματίζουμε διαδοχικά έξι επίκεντρες γωνίες ω = 60, οι οποίες χωρίζουν τον κύκλο σε έξι ίσα και διαδοχικά τόξα. β) νωρίζουμε από την υμνασίου ότι ίσα τόξα αντιστοιχούν σε ίσες χορδές, επομένως: = = = Ε = ΕΖ = Ζ. γ) Η γωνία του εξαγώνου είναι εγγεγραμμένη γωνία του κύκλου με αντίστοιχο τόξο, μέτρου: Ζ + ΖΕ + Ε + = = 40. Επομένως, = 40 = 0. Ομοίως, έχουμε ότι: = Ε = ΕΖ = Ε Ζ = Ζ = 0. Το εξάγωνο ΕΖ έχει όλες τις πλευρές του ίσες μεταξύ τους και όλες τις γωνίες του ίσες μεταξύ τους, οπότε είναι κανονικό. Η διαδικασία κατασκευής ενός κανονικού πολυγώνου με ν πλευρές (κανονικό ν-γωνο) ακολουθεί τα εξής βήματα: o Ì : 60 Υπολογίζουμε τη γωνία ω = ν. o Ì : Σχηματίζουμε διαδοχικά ν επίκεντρες γωνίες ω, οι οποίες χωρίζουν τον κύκλο σε ν ίσα τόξα. o Ì : Ενώνουμε με διαδοχικά ευθύγραμμα τμήματα τα άκρα των τόξων. Eίδαμε ότι με την προηγούμενη διαδικασία κατασκευάζεται ένα κανονικό εξάγωνο, του οποίου οι κορυφές είναι σημεία ενός κύκλου. Ο κύκλος αυτός λέγεται περιγεγραμμένος κύκλος του πολυγώνου.

22 .- øª ƒπ (80-85) :9 ÂÏ 8 8 Μέρος -.. Kανονικά πολύγωνα Επίσης, λέμε ότι το πολύγωνο είναι εγγεγραμμένο στο συγκεκριμένο κύκλο. Με τον ίδιο τρόπο μπορούμε να εγγράψουμε σε ένα κύκλο ένα ισόπλευρο τρίγωνο, ένα τετράγωνο και γενικά ένα κανονικό ν-γωνο. Ο ρ ω ω ω A ρ ρ ρ ωνία και κεντρική γωνία κανονικού πολυγώνου Κεντρική γωνία ν-γώνου Aς θεωρήσουμε ένα κανονικό πολύγωνο με ν πλευρές (κανονικό ν-γωνο) εγγεγραμμένο σε κύκλο (Ο, ρ). Eίδαμε προηγουμένως ότι για να χωρίσουμε τον κύκλο σε ν ίσα 60 τόξα, θεωρούμε ν διαδοχικές επίκεντρες γωνίες ω = ν. Ε Καθεμία από τις γωνίες αυτές λέγεται κεντρική γωνία του κανονικού ν-γώνου. Επομένως: H κεντρική γωνία ω ενός κανονικού ν-γώνου είναι ίση με ω = 60. ν Μ φ φ A ωνία ν-γώνου Σε οποιοδήποτε κανονικό ν-γωνο οι γωνίες Μ,,,... κ.ο.κ. είδαμε ότι είναι ίσες, αφού είναι εγγεγραμμένες σε ίσα τόξα και τις συμβολίζουμε με φ. φ Η γωνία φ ονομάζεται γωνία του κανονικού ν-γώνου. O φ φ ς δούμε τη σχέση της κεντρικής γωνίας ω και της γωνίας φ του ν-γώνου. Ενώνουμε το κέντρο του ν-γώνου με τις κορυφές, οπότε σχηματίζονται ν ίσα ισοσκελή τρίγωνα. Μ φ O ω A φ φ φ φ φ Σε καθένα από τα τρίγωνα αυτά οι προσκείμενες στη βάση φ γωνίες είναι ίσες με. Στο τρίγωνο Ο θα έχουμε ότι: φ φ ω + + = 80 ή ω + φ = 80 ή φ = 80 ω Επομένως: Η γωνία φ ενός κανονικού ν-γώνου είναι παραπληρωματική της κεντρικής γωνίας του ν-γώνου.

23 .- øª ƒπ (80-85) :9 ÂÏ 8 Μέρος -.. Kανονικά πολύγωνα 8 º ƒ ª α) Να βρείτε τη γωνία του κανονικού δεκαγώνου. β) Να βρείτε ποιο κανονικό πολύγωνο έχει γωνία 6. α) ν ονομάσουμε φ τη γωνία του κανονικού δεκαγώνου και ω την κεντρική του γωνία, έχουμε: φ = 80 ω = = 80 6 = β) 60 Ισχύει ότι: φ = 80 ω ή 6 = 80 ν ή = 80 6 ή = 8 ή ν = ν ν 8 ή ν = 0. ηλαδή, το κανονικό εικοσάγωνο έχει γωνία φ = 6. ω φ º ƒ ª Να κατασκευαστεί κανονικό πεντάγωνο. Με το διαβήτη θεωρούμε διαδοχικά τόξα ίσα με το. Φέρνουμε τις χορδές των παραπάνω τόξων. º ƒ ª ράφουμε κύκλο (Ο, ρ) και σχηματίζουμε μια επίκεντρη γωνία O 60 = 5 = 7. Ε ίνεται ένα κανονικό ν-γωνο. Να κατασκευάσετε το κανονικό πολύγωνο που έχει διπλάσιες πλευρές (ν-γωνο). O 7 ν ω είναι η κεντρική γωνία του πολυγώνου που έχει ν πλευρές, και θ η κεντρική γωνία του πολυγώνου με ν πλευρές, έχουμε ότι ω = ν και θ = ν. ω Επομένως, θ =. ν φέρουμε τις διχοτόμους των κεντρικών γωνιών του ν-γώνου, οι γωνίες που θα σχηματιστούν θα είναι οι κεντρικές γωνίες του πολυγώνου με ν πλευρές. Οι διχοτόμοι, όπως γνω-ρίζουμε, διέρχονται από τα μέσα των τόξων. Τα μέσα αυτών των τόξων και οι κορυφές του αρχικού ν-γώνου αποτελούν τις κορυφές του κανονικού πολυγώνου με ν πλευρές. θ O ω

24 .- øª ƒπ (80-85) :9 ÂÏ Μέρος -.. Kανονικά πολύγωνα ƒø π. Στον παρακάτω πίνακα να βάλετε σε κύκλο τη σωστή απάντηση. A α) Η κεντρική γωνία κανονικού εξαγώνου είναι: 0 β) H κεντρική γωνία κανονικού δωδεκάγωνου είναι: 0 γ) H κεντρική γωνία κανονικού πεντάγωνου είναι: 5 Ένα κανονικό πολύγωνο έχει κεντρική γωνία 6. δ) Το πλήθος των πλευρών του είναι: 6 ε) Ένα κανονικό πολύγωνο έχει κεντρική γωνία 0. Το πλήθος των πλευρών του είναι: Στον παρακάτω πίνακα να βάλετε σε κύκλο τη σωστή απάντηση. A α) Ένα κανονικό πολύγωνο έχει κεντρική γωνία 40. Η γωνία του πολυγώνου είναι: 50 β) Ένα κανονικό πολύγωνο έχει κεντρική γωνία 7. Η γωνία του πολυγώνου είναι: 08 γ) Ένα κανονικό πολύγωνο έχει κεντρική γωνία 0. Η γωνία του πολυγώνου είναι: Στον παρακάτω πίνακα να βάλετε σε κύκλο τη σωστή απάντηση. Ένα κανονικό πολύγωνο έχει 5 πλευρές. Η γωνία ενός κανονικού πολυγώνου είναι 50 Η γωνία ενός κανονικού πολυγώνου είναι 5 α) Η κεντρική του γωνία είναι: β) Η γωνία του πολυγώνου είναι: γ) Η κεντρική του γωνία είναι: δ) Το πλήθος των πλευρών του είναι: ε) Η κεντρική του γωνία είναι: στ) Το πλήθος των πλευρών του είναι: A π Να συμπληρώσετε τους παρακάτω πίνακες. πλήθος πλευρών γωνία κανονικού πολυγώνου κεντρική γωνία Σε κανονικό πολύγωνο η γωνία του είναι τετραπλάσια της κεντρικής του γωνίας. Να βρείτε τον αριθμό των πλευρών του πολυγώνου. Nα υπολογίσετε την κεντρική γωνία ω και τη γωνία φ ενός κανονικού εξαγώνου και να επαληθεύσετε ότι: ω + φ = 80. κεντρική γωνία 5 7 γωνία κανονικού πολυγώνου H γωνία ενός κανονικού πολυγώνου 5 είναι τα της ορθής. Να βρείτε τον αριθμό των πλευρών του πολυγώνου.

25 .- øª ƒπ (80-85) :9 ÂÏ 85 Μέρος -.. Kανονικά πολύγωνα Να εξετάσετε αν υπάρχει κανονικό πολύγωνο: α) με κεντρική γωνία ω = 6. β) με γωνία φ = 0. Να κατασκευάσετε κανονικό οκτάγωνο. Ποιο κανονικό πολύγωνο έχει γωνία ίση με την κεντρική του γωνία; π ƒπ ª πøª 8 Με πλευρές τις πλευρές ενός κανονικού Κ Λ εξάγωνου, κατασκευάζουμε τετράγωνα εξωτε- Ζ A ρικά του εξαγώνου. Ε Να αποδείξετε ότι οι κορυφές των τετραγώνων, που δεν είναι και κορυφές του εξαγώνου, σχηματίζουν κανονικό δωδεκάγωνο. Î ÓÔÓÈÎ appleôï ÁˆÓ ÛÙË º ÛË, ÛÙËÓ ÓË Î È ÛÙÈ appleèûù ÌÂ Ô apple Ï ÙÈ ÙË lhambra ÛÙË Granada ÙË πûapple Ó Â Ó È ÙÔ ÂÍÔ fiùâúô, Ûˆ,  ÁÌ Ú ÛË ÙˆÓ Î ÓÔÓÈÎÒÓ appleôï ÁÒÓˆÓ ÛÙËÓ ÓË. Œ ÂÈ ÊÙÈ Ù fiïô Ì ËÊÈ ˆÙ apple Óˆ ÛÂ Û È appleô appleâúèï Ì ÓÔ Ó Âapple Ó Ï ÂÈ applefi Û Óı ÛÂÈ Î ÓÔÓÈÎÒÓ appleôï ÁÒÓˆÓ. Ó ÏÔÁ Û È Ô Ì ÂÈ ÛÂ ÌˆÛ Î, ÛÂ Ê ÛÌ Ù Î È ÁÂÓÈÎfiÙÂÚ ÛÙÈ ÓÂ. Ã Ú ÎÙËÚÈÛÙÈÎfiÙÂÚÔ apple Ú ÂÈÁÌ appleôùâïô Ó ÔÈ ËÌÈÔ ÚÁ  ÙÔ ÏÏ Ó Ô Î ÏÏÈÙ ÓË M.C. Escher. Ú ÛË Î ÓÔÓÈÎÒÓ appleôï ÁÒÓˆÓ ÛÙËÓ ÓË Î È ÙË È ÎfiÛÌËÛË appleôùâïâ ÎÔÌÌ ÙÈ appleôïïòó Ú ˆÓ appleôïèùèûìòó. È Ô Ì ÚÈÔÈ (appleâú appleô 4000 apple.ã.) È ÎÔÛÌÔ Û Ó Ù Ûapple ÙÈ Î È ÙÔ Ó Ô ÙÔ ÌÂ Û È applefi Âapple Ó Ï Ì ÓfiÌÂÓ Î ÓÔÓÈÎ appleôï ÁˆÓ. Ó ÏÔÁÂ È ÎÔÛÌ ÛÂÈ ÎfiÌË Î È ÂÊ ÚÌÔÁ ÛÙÈ Î Ù ÛΠÎÙÈÚ ˆÓ Ô Ó apple ÚÔ ÛÈ ÛÙ ÛÙÔ ÈÁ appleùèô, ÙÔ ŒÏÏËÓÂ, ÙÔ ª ÚÈÙ ÓÔ, ÙÔ ƒˆì Ô, ÙÔ ÚÛÂ, ÙÔ ÕÚ Â, ÙÔ μ ÓÙÈÓÔ, ÙÔ π appleˆóâ Î È ÙÔ ÈÓ Ô. ÃÚËÛÈÌÔappleÔÈÔ Û Ó È ÊÔÚ Ù ÓÈÎ Û Â È ÛÌÔ Î È Ù Ó ÓÙÔÓÔ Ô Û ÌÌÂÙÚÈÎfi ÙÚfiappleÔ ÚˆÌ ÙÈÛÌÔ.  ÚÎÂÙÔ appleôïèùèûìô Ë ıúëûîâ Ù Ó ÂΠÓË appleô ÙÔ ÒıËÛÂ Û Ùfi ÙÔ Â Ô ÓË. È apple Ú ÂÈÁÌ, Ë ÈÛÏ ÌÈÎ ıúëûîâ apple ÁÔÚ ÂÈ ÙËÓ Ó apple Ú ÛÙ ÛË ˆÓÙ ÓÒÓ ÔÚÁ ÓÈÛÌÒÓ Û ÚÁ Ù ÓË. È ÙÔ ÏfiÁÔ Ùfi, ÔÈ ª ÚÈÙ ÓÔ ËÌÈÔ ÚÁËÛ Ó ÌfiÓÔ ÊËÚËÌ Ó ÁˆÌÂÙÚÈÎ Û Ì Ù. ÓÙ ıâù, ÔÈ ƒˆì ÔÈ Î È ÏÏÔÈ ÌÂÛÔÁÂÈ ÎÔ Ï Ô ÚËÛÈÌÔappleÔ ËÛ Ó ˆ ÊfiÓÙÔ Û Ó ÛÌÔ Î ÓÔÓÈÎÒÓ appleôï ÁÒÓˆÓ, ÁÈ Ó ÙÔÓ ÛÔ Ó Ó apple Ú ÛÙ ÛÂÈ Ì ÓıÚÒappleÔ ÛÎËÓ applefi ÙË Ê ÛË. Î ÓÔÓÈÎ appleôï ÁˆÓ Û Ó ÓÙÒÓÙ È ÛÙË º ÛË Î È Á ÓÔÓÙ È ÓÙÈΠÌÂÓÔ ÌÂÏ ÙË applefi È ÊÔÚÔ ÎÏ Ô ÙˆÓ º ÛÈÎÒÓ appleèûùëìòó, fiappleˆ ÙËÓ Ú ÛÙ ÏÏÔÁÚ Ê (Ì ÎÙ Ó Ã), ÙËÓ ÓÙÔÌË ÓÈÎ, ÙËÓ ÓÙÈÎ ÃËÌÂ. È apple Ú ÂÈÁÌ, Ë Ú ÛÙ ÏÏÔÁÚ Ê Ì ÎÙ ÓÂ Ã Â Ó È Ô ÂappleÈÛÙËÌÔÓÈÎfi ÎÏ Ô appleô Û ÔÏÂ Ù È Ì ÙËÓ Âapple Ó ÏËappleÙÈÎ ÙÔappleÔı ÙËÛË ÈˆÓ ÓÙÈÎÂÈÌ ÓˆÓ, fiappleˆ Ù Û Ó ÓÙÒÓÙ È ÛÙË º ÛË. ÚÎÂÙ applefi ÙÈ Ó Î Ï ÂÈ ÛÙËÓ Ú ÛÙ ÏÏÔÁÚ Ê Î Ù Ù Ì Û ÙÔ 0Ô ÈÒÓ ÌÔÈ Ô Ó Ì ÚÁ Ù ÓË ÙÔ M.C. Esher. ÕÏÏÔÈ ÙÔÌ ÚÂ Ó appleô Û ÔÏÔ ÓÙ È Û ÛÙËÌ ÙÈÎ Ì ΠÓÔÓÈÎ appleôï ÁˆÓ appleâúèï Ì ÓÔÓÙ È ÛÙË ÂˆÏÔÁ, ÙË ªÂÙ ÏÏÔ ÚÁ, ÙË μèôïôá ÎfiÌË Î È ÛÙËÓ Ú appleùôáú Ê!

26 .- øª ƒπ (86-89) : ÂÏ 86.. Μήκος κύκλου ƒ ƒ π ς θεωρήσουμε ένα νόμισμα των. φού μετρήσετε τη διάμετρό του δ, να βάλετε μελάνι γύρω - γύρω από το νόμισμα και να το κυλίσετε κάθετα στο χαρτί, έτσι ώστε να κάνει μια πλήρη περιστροφή. α) Το μήκος L που διαγράφει είναι το μήκος του κύκλου. Συμπληρώστε τον παρακάτω πίνακα: δ = L= L δ = β) ς δούμε κατόπιν μερικές προσεγγιστικές μετρήσεις από την στρονομία για την «περιφέρεια» και τις διαμέτρους κάποιων πλανητών. Συμπληρώστε τον πίνακα: Πλανήτες Ερμής Aφροδίτη Άρης η Σελήνη Να κάνετε τις πράξεις με ακρίβεια δύο δεκαδικών ψηφίων χρησιμοποιώντας έναν υπολογιστή τσέπης. Τι παρατηρείτε; Λύση α) Έχουμε ότι: 8006,6 km, km 4005,8 km 094,6 km δ= L= L δ = L 50 km 4879 km 04 km 6794 km 756 km 476 km,5 cm 7,85 cm,4 cm L β) Παρατηρούμε ότι ο λόγος δ είναι περίπου,4 για όλους τους πλανήτες. υτός ο σταθερός λόγος ονομάστηκε από τους αρχαίους Έλληνες ως «ο αριθμός π», ο πιο διάσημος και αξιοσημείωτος απ όλους τους αριθμούς (βλέπε Ιστορικό σημείωμα). L δ L δ

27 .- øª ƒπ (86-89) : ÂÏ 87 Μέρος -.. Mήκος κύκλου 87 ποδεικνύεται ότι ο αριθμός π είναι ένας άρρητος αριθμός, δηλαδή δεκαδικός με άπειρα ψηφία, τα οποία δεν προκύπτουν με συγκεκριμένη διαδικασία. Τα πρώτα 40 δεκαδικά ψηφία του π είναι: π =, L πό τη σχέση = π, προκύπτει ότι: δ Το μήκος του κύκλου υπολογίζεται από τη σχέση: L= πδ ή L = πρ Παρατήρηση: Στις εφαρμογές και ασκήσεις θα χρησιμοποιούμε για τον π την προσεγγιστική τιμή,4. º ƒ ª Ένας κύκλος έχει μήκος L = 9,4 cm. Να βρείτε το μήκος της ακτίνας του. ια το μήκος του κύκλου ισχύει ότι: L 9,4 L = πρ ή ρ = π =,4 =,5 cm. º ƒ ª Ένας κύκλος έχει μήκος 0 cm περισσότερο από έναν άλλο. Πόσο μεγαλύτερη είναι η ακτίνα του; Θα ισχύει ότι: L = L + 0 ή πρ = πρ + 0. Επομένως: 0 0 ρ = ρ + ή ρ = ρ + ή ρ = ρ +,59. π,4 ηλαδή, η ακτίνα του πρώτου κύκλου είναι μεγαλύτερη κατά,59 cm της ακτίνας του δεύτερου. º ƒ ª Να υπολογιστεί το μήκος του κύκλου στο παρακάτω σχήμα. Η εγγεγραμμένη γωνία A είναι ίση με 0, οπότε βρίσκουμε την αντίστοιχη επίκεντρη Ο = 0 = 60. Επομένως, το τρίγωνο Ο είναι ισόπλευρο με Ο = Ο = = cm, οπότε ρ = cm. Άρα, το μήκος του κύκλου είναι: L = πρ =,4 =,56 cm. cm 0 Ο

28 .- øª ƒπ (86-89) : ÂÏ Μέρος -.. Mήκος κύκλου ƒø π. Nα συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα: κτίνα ρ 5 cm 4 cm Μήκος κύκλου L 7,68 cm cm,56 cm 9 cm. Aν τριπλασιάσουμε την ακτίνα ενός κύκλου (Ο, ρ), τότε το μήκος του κύκλου: : διπλασιάζεται : τριπλασιάζεται : τετραπλασιάζεται : παραμένει το ίδιο. Να κυκλώσετε τη σωστή απάντηση.. Τρεις ομόκεντροι κύκλοι έχουν ακτίνες ρ, ρ, ρ αντίστοιχα. Να συμπληρώσετε τον πίνακα: L L L L L L L L L ρ L 4ρ L 6ρ L ρ ρ ρ π Ένας κύκλος έχει μήκος 0 cm περισσότερο από έναν άλλο. Πόσο μεγαλύτερη είναι η ακτίνα του; ύρω από τον κορμό ενός αιωνόβιου δέντρου τυλίγουμε ένα σκοινί. Μετράμε το σκοινί και βρίσκουμε ότι έχει μήκος,5 m. Να υπολογίσετε την ακτίνα του κορμού. 6 7 θα διαγράψει το άκρο του λεπτοδείκτη σε ώρες. Στη μηχανή ενός αυτοκινήτου δύο τροχαλίες, συνδέονται με ελαστικό ιμάντα. ν ρ = cm και ρ = 8 cm, να βρείτε πόσες στροφές θα κάνει η, αν η κάνει μία στροφή. Ένας ποδηλάτης, που προετοιμάζεται για τους αγώνες, προπονείται σε στίβο σχήματος κύκλου με ακτίνα ρ = 0 m. Πόσες στροφές θα κάνει σε ώρες προπόνησης, αν κινείται με ταχύτητα 0km/h; Οι διάμετροι δύο κύκλων διαφέρουν κατά 5 cm. Να βρείτε πόσο διαφέρουν: α) oι ακτίνες τους β) oι περίμετροί τους. 4 5 Οι περίμετροι δύο κύκλων έχουν λόγο προς. Να βρείτε το λόγο: α) των διαμέτρων τους. β) των ακτίνων τους. Ο λεπτοδείκτης ενός ρολογιού έχει μήκος,5 cm. Να βρείτε πόσο διάστημα 8 νωρίζουμε ότι ο Ισημερινός της ης έχει μήκος km περίπου. Θεωρώντας ότι η η είναι σφαιρική να βρείτε την ακτίνα της.

29 .- øª ƒπ (86-89) : ÂÏ 89 Μέρος -.. Mήκος κύκλου 89 π ƒπ ª πøª apple =, apple Â Ó È Ô ÌfiÓÔ ÚÚËÙÔ Î È appleâú ÙÈÎfi, fiappleˆ Ï ÁÂÙ È ÚÈıÌfi appleô Û Ó ÓÙ Ù È ÛÙË Ê ÛË. ÙËÓ Ï È È ı ÎË Ê ÓÂÙ È fiùè Ô apple ıâˆúô ÓÙ Ó ÛÔ Ì ÙÔ. È μ ÏÒÓÈÔÈ appleâú appleô ÙÔ.000 apple.ã. ıâˆúô Û Ó fiùè Ô apple  ÙÂ Â Ó È ÛÔ Ì ÙÔ Â Ù Ì ÙÔ. 8 È ÈÁ appleùèôè ÛÙÔÓ apple apple ÚÔ ÙÔ Rhind (500 apple.ã.) ıâˆúô Û Ó fiùè ÙÔ ÂÌ fió ÂÓfi Î ÎÏÔ ÈÛÔ Ù È Ì ( 8 ), fiappleô Ë È ÌÂÙÚÔ ÙÔ Î ÎÏÔ, ÔapplefiÙÂ, apple, øûùfiûô, ÔÈ Ú ÔÈ ŒÏÏËÓÂ Í Ê Á Ó applefi ÙÈ «ÔÓ ÚÈλ ÂÎÙÈÌ ÛÂÈ ÙˆÓ μ ÏˆÓ ˆÓ Î È ÙˆÓ ÈÁ appleù ˆÓ Î È ˆÛ Ó ÂappleÈÛÙËÌÔÓÈÎ Ì ıô Ô ÁÈ ÙÔÓ appleôïôáèûìfi ÙÔ apple. Ô Û Ó Û Ó ÌÂ Ó applefi Ù appleâú ÊËÌ «Ï Ù» appleúô Ï Ì Ù ÙË Ú ÈfiÙËÙ : Ì ÙÔ appleúfi ÏËÌ ÙÔ ÙÂÙÚ ÁˆÓÈÛÌÔ ÙÔ Î ÎÏÔ, ËÏ ÙËÓ Î Ù ÛΠ̠ΠÓfiÓ Î È È ÙË ÙÂÙÚ ÁÒÓÔ ÈÛÂÌ ÈÎÔ Ì ÔÛÌ ÓÔ Î ÎÏÔ. ÎÙÈÌ ÛÂÈ ÙÔ apple ÔÏÏÔ ÂappleÈÛÙ ÌÔÓ applefi ÙËÓ Ú ÈfiÙËÙ (Ì appleúˆùfiáôó Ì Û ) Ì ÚÈ Û ÌÂÚ (ÌÂ Û Á ÚÔÓÔ appleâú appleôïôáèûù ), appleúôûapple ıëû Ó Ó ÚÔ Ó appleúôûâáá ÛÂÈ ÙÔ apple Ì fiûô ÙÔ Ó ÙfiÓ appleâúèûûfiùâú ÂÎ ÈÎ ËÊ. ªÂÚÈÎ applefi Ù ÙÈ appleúôûapple ıâèâ Â Ó È ÔÈ apple Ú Î Ùˆ: ƒãπª : apple ª π : apple (=,46...) , apple,4857 apple 7 7 TSU CHUNG-CHI ( Ó ):,4596 apple,4597, apple 55. AL KASHI (5Ô ÈÒÓ Ì.Ã.): 6 ÎÚÈ ÂÎ ÈÎ ËÊ. LUDOLPH VAN CEULEN: 0, Î ÙfiappleÈÓ, ÙÂÏÈÎ 5 ÎÚÈ ÂÎ ÈÎ ËÊ. SNELL: 4 ËÊ. apple VIETE (59): appleúòùô Ù appleô : = JOHN WALLIS: apple = LEINIZ (67): apple = JOHN MACHIN (706): 00 ÂÎ ÈÎ ËÊ JOLIANN DASE (84-86): 00 WILLIAM SHANKS (85): 707 π C (H/Y)(949): 07 CDC 6600 (967): I appleˆóèî Ì (99): (= 4 ).

30 .4- øª ƒπ (90-9) : ÂÏ Μήκος τόξου ια να υπολογίσουμε το μήκος ενός τόξου μετρημένου σε μοίρες, αρκεί να εφαρμόσουμε την απλή μέθοδο των τριών. Ένα τόξο 60 (ολόκληρος ο κύκλος) Ένα τόξο μ έχει μήκος πρ. πόσο μήκος έχει; O μ Τόξο 60 μ Μήκος πρ 60 μ μ Έχουμε: = ή = πρ. πρ 60 rad μ Το μήκος ενός τόξου μ ισούται με: = πρ. 60 O ρ Aκτίνια (rad) Aρκετές φορές ως μονάδα μέτρησης των τόξων ενός κύκλου θεωρούμε το τόξο που έχει το ίδιο μήκος με την ακτίνα ρ του κύκλου. υτή η μονάδα μέτρησης λέγεται ακτίνιο ή rad. ν χρησιμοποιήσουμε ακτίνια,τότε: Το μήκος ενός τόξου α rad ισούται με: = αρ. Σχέση μοιρών και ακτινίων Εξισώνοντας τις δύο προηγούμενες σχέσεις: μ = πρ 60 = αρ μ μ μ α βρίσκουμε ότι: πρ = αρ ή π = α ή = π Η αναλογία αυτή εκφράζει τη σχέση των μοιρών με τα ακτίνια. Σχόλιο: Ο κύκλος χωρίζεται σε τέσσερα ίσα τόξα από δύο κάθετες διαμέτρους: = = =. Καθένα από αυτά τα τόξα έχει μέτρο 90 και ονομάζεται τεταρτοκύκλιο. O

31 .4- øª ƒπ (90-9) : ÂÏ 9 Μέρος -.4. Mήκος τόξου 9 º ƒ ª Να διατάξετε από το μικρότερο προς το μεγαλύτερο τα παρακάτω τόξα: π π π rad, 5, 48, rad, 5, rad. 4 6 ια να μπορέσουμε να συγκρίνουμε τα τόξα, θα πρέπει είτε να τα μετατρέψουμε όλα σε μοίρες είτε να τα μετατρέψουμε όλα σε rad. Aς κάνουμε και τις δύο μετατροπές: Μοίρες rad π = 45 4 π 4 5 5π 5 = π 48 = 5 π = 70 π 5 5π 5 = 4 π = 0 6 π 6 Επομένως, ισχύει ότι: 5π π 4π 5π π π 5 < 45 < 48 < 5 < 70 < 0 ή < < < < < º ƒ ª Ένα τόξο 0 έχει μήκος, cm. Να βρείτε την ακτίνα του κύκλου. μ Το μήκος του τόξου είναι: = πρ, οπότε έχουμε διαδοχικά: 60 0, = πρ 80, = πρ 6 πρ = 7,8 7,8 7,8 ρ = = =,48 (cm). π,4 º ƒ ª Nα αποδείξετε ότι τα μήκη των τόξων Ο και στο διπλανό σχήμα είναι ίσα. Σχολιάστε το αποτέλεσμα. Ο Κ ρ Στον κύκλο (Κ, ρ) το τόξο Ο είναι ημικύκλιο, επομένως έχει μήκος: 80 = πρ = πρ. Στον κύκλο (Ο, ρ) το τόξο αντιστοιχεί σε τεταρτοκύκλιο, οπότε έχει μήκος: = π (ρ) = πρ. Άρα, τα δύο τόξα έχουν ίδιο μήκος. 60 Συμπεραίνουμε ότι δύο τόξα με ίσα μήκη δεν είναι απαραίτητα ίσα, αφού μπορεί να ανήκουν σε κύκλους με διαφορετικές ακτίνες.

32 .4- øª ƒπ (90-9) : ÂÏ 9 9 Μέρος -.4. Mήκος τόξου ƒø π. Να αντιστοιχίσετε τα μέτρα των τόξων της πρώτης γραμμής από μοίρες σε ακτίνια (rad) της δεύτερης γραμμής. Μοίρες κτίνια 90 π 4 60 π 80 π 70 π 45 π 60 π. Aν το μήκος ενός τόξου μ είναι ίσο με το του μήκους του κύκλου στον οποίο 8 ανήκει, τότε: : μ = 45 : μ = 90 : μ = 60 : μ = 80 Να βάλετε σε κύκλο τη σωστή απάντηση.. Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα: Τόξο σε μοίρες 0 00 Τόξο σε ακτίνια π π 4 5π 4 7π π Nα συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα: Τόξο σε μοίρες 5 Τόξο σε ακτίνια π π π Ένα τόξο 45 έχει μήκος 5,7 cm. Να βρείτε την ακτίνα του κύκλου. ίνονται τόξα π ακτινίων. Να εξετάσετε αν είναι πάντοτε ίσα. ίνονται τρεις ομόκεντροι κύκλοι ακτίνων cm,,5 cm και cm και μια επίκεντρη γωνία 45. Να βρείτε τα μήκη των τόξων που αντιστοιχούν στη γωνία αυτή. 80 Nα υπολογίσετε το μήκος ενός τεταρτοκύκλιου ακτίνας ρ = 8 cm. Σ έναν κύκλο που έχει μήκος 88,4 cm να βρείτε το μήκος τόξου 0. O 45 Ζ E 4 Να βρείτε το μήκος του τόξου που αντιστοιχεί στην πλευρά τετραγώνου εγγεγραμμένου σε κύκλο με ακτίνα ρ = 0 cm.

33 .5- øª ƒπ (9-95) :5 ÂÏ 9.5. Εμβαδόν κυκλικού δίσκου ια να υπολογίσουμε το εμβαδόν ενός κυκλικού δίσκου, χωρίζουμε τον κυκλικό δίσκο σε όσο πιο μικρά μέρη μπορούμε. Κόβουμε τα κομματάκια αυτά και κατόπιν τα τοποθετούμε όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα: 4 ρ πρ Παρατηρούμε ότι σχηματίζεται ένα σχήμα που «μοιάζει» με ορθογώνιo. ν συνεχίσουμε να χωρίζουμε τον κυκλικό δίσκο ολοένα σε πιο μικρά ίσα μέρη, τότε το τελικό σχήμα θα προσεγγίζει όλο και περισσότερο ένα ορθογώνιο, του οποίου η «βάση» είναι ίση με το μισό του μήκους του κύκλου, δηλαδή με πρ, και το «ύψος» με την ακτίνα του κύκλου. Επομένως, το εμβαδόν του κυκλικού δίσκου ισούται με το εμβαδόν του ορθογωνίου που σχηματίζεται, δηλαδή με ρ πρ. Επομένως: Το εμβαδόν κυκλικού δίσκου ακτίνας ρ, ισούται με Ε = πρ º ƒ ª ν το μήκος ενός κύκλου είναι 6,8 cm, να βρείτε το εμβαδόν του. Το μήκος του κύκλου δίνεται από τον τύπο L=πρ, δηλαδή 6,8=,4 ρ, οπότε ρ= (cm). Tότε, το εμβαδόν του κυκλικού δίσκου είναι: Ε = πρ =,4 =,4 (cm ). º ƒ ª Στο διπλανό σχήμα η κίτρινη περιοχή που βρίσκεται ανάμεσα στους δύο κύκλους ονομάζεται κυκλικός δακτύλιος. ν το εμβαδόν του κίτρινου δακτυλίου είναι ίσο με το εμβαδόν του μπλε κυκλικού δίσκου, ο οποίος έχει ακτίνα ρ = cm, να βρείτε την ακτίνα R του μεγάλου κύκλου. ρ O R Τo εμβαδόν Ε του δακτυλίου ισούται με τη διαφορά των εμβαδών Ε = πr και E = πρ των δύο κυκλικών δίσκων. Επομένως, Ε = Ε Ε = πr πρ. φού Ε = Ε, θα έχουμε: πr πρ = πρ ή πr = πρ ή R = ρ ή R = ( ) = 4. Οπότε: R = cm.

34 .5- øª ƒπ (9-95) :5 ÂÏ Μέρος -.5. Eμβαδόν κυκλικού δίσκου º ƒ ª Mια πιτσαρία προσφέρει πίτσες κυκλικού σχήματος σε τρία μεγέθη: τη μικρή, τη μεσαία και τη μεγάλη. Η μικρή έχει διάμετρο cm και κοστίζει 7. Η μεσαία έχει διάμετρο 8 cm και κοστίζει 8 και 50 λεπτά. Η μεγάλη έχει διάμετρο cm και κοστίζει και 90 λεπτά. Ποια από τις τρεις πίτσες συμφέρει από άποψη τιμής; ια να συγκρίνουμε τις πίτσες, αρκεί να βρούμε το κόστος τού cm για κάθε πίτσα. Η μικρή έχει εμβαδόν: Ε = πρ = π ( ) = 45,7 (cm ). Η μεσαία έχει εμβαδόν: Ε = πρ = π 4 = 65,44 (cm ). Το κόστος του cm για κάθε πίτσα είναι: Η μεγάλη έχει εμβαδόν: Ε = πρ = π ( ) = 854,87 (cm ). Μικρή 700 =,69 (λεπτά/cm ) 45,7 Μεσαία 850 =,8 (λεπτά/cm ) 65,44 Μεγάλη 90 =,9 (λεπτά/cm ) 854,87 Επομένως, συμφέρει να αγοράσουμε τη μεσαία πίτσα. ƒø π... Ένας κύκλος έχει εμβαδόν ίσο αριθμητικά με το μήκος του. Η ακτίνα του είναι ίση με: : 4 : : 6 : 5. Να κυκλώσετε τη σωστή απάντηση. Ένας κύκλος έχει μήκος L = 4 cm. Tο εμβαδόν του είναι: : cm 4 : π cm : 9 cm : 6 cm. Nα κυκλώσετε τη σωστή απάντηση. ν τριπλασιάσουμε την ακτίνα ενός κύκλου (Ο, ρ), τότε το εμβαδόν του: : διπλασιάζεται : τριπλασιάζεται : εξαπλασιάζεται : εννιαπλασιάζεται. Να κυκλώσετε τη σωστή απάντηση. 4. Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα: κτίνα ρ κύκλου 5 cm Εμβαδόν κύκλου Ε 8,6 cm,5 cm 94 cm

35 .5- øª ƒπ (9-95) :6 ÂÏ 95 Μέρος -.5. Eμβαδόν κυκλικού δίσκου Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα: κτίνα ρ Μήκος L cm cm cm 4 cm ρ cm ρ cm ρ cm 4ρ cm Τι παρατηρείτε; Εμβαδόν Ε π Ένας κύκλος (Ο, ρ) έχει διάμετρο 0 cm. Να βρείτε την ακτίνα του κύκλου που έχει τετραπλάσια επιφάνεια από τον κύκλο (Ο, ρ). 5 Ένα τετράγωνο έχει πλευρά cm. Να βρεθεί (κατά προσέγγιση) η ακτίνα ενός κυκλικού δίσκου που είναι ισοδύναμος (δηλαδή έχει το ίδιο εμβαδόν) με το τετράγωνο. Να βρείτε το εμβαδόν του μπλε κυκλικού δακτυλίου, αν ρ= cm και R= cm. O ρ R 6 Λυγίζουμε ένα σύρμα μήκους,56 m, ώστε να σχηματίσει κύκλο. Να βρείτε το εμβαδόν του κυκλικού δίσκου που αντιστοιχεί στο συρμάτινο κύκλο. Στο διπλανό σχήμα να υπολογίσετε το μήκος και το εμβαδόν του κύκλου. 6 cm A O 8 cm 7 Να υπολογίσετε το εμβαδόν κυκλικού δίσκου που είναι περιγεγραμμένος σε τετράγωνο πλευράς α = 6 cm. 4 Ένας κύκλος έχει ακτίνα 0 cm. Να κατασκευάσετε κυκλικό δίσκο με διπλάσιο εμβαδόν. 8 Ένας κυκλικός δίσκος έχει εμβαδόν 44π cm. Να βρείτε το μήκος του τόξου του κύκλου που αντιστοιχεί σε επίκεντρη γωνία 60.

36 .6- øª ƒπ (96-98) :8 ÂÏ Εμβαδόν κυκλικού τομέα ς θεωρήσουμε ένα κύκλο (Ο, ρ) και μια επίκεντρη γωνία xοy μέτρου μ. Το μέρος του κυκλικού δίσκου που περιέχεται μέσα στη γωνία xοy λέγεται κυκλικός τομέας γωνίας μ του κύκλου (Ο, ρ). Ο μ x μ y Aν η επίκεντρη γωνία x Οy είναι μέτρου μ, τότε και το αντίστοιχο τόξο της έχει μέτρο μ, οπότε βρίσκουμε το εμβαδόν του κυκλικού τομέα: 60 πρ μ = ή Ε ν το τόξο έχει μετρηθεί σε ακτίνια και ισούται με α rad, τότε πάλι έχουμε: μ E= πρ 60 Τόξο σε μοίρες Eμβαδόν Τόξο σε ακτίνα (rad) Eμβαδόν 60 πρ π πρ μ Ε α Ε E = πρ α ρ = α ή π E= αρ Ο 50 ƒ ƒ π Mια κυκλική πλατεία έχει ακτίνα ρ = 0 m. Ένας προβολέας είναι τοποθετημένος στο κέντρο της πλατείας και εκπέμπει μια δέσμη φωτός που φωτίζει ένα κυκλικό τομέα γωνίας 50. α) Να βρείτε το εμβαδόν της πλατείας. β) Να βρείτε το εμβαδόν του κυκλικού τομέα που φωτίζεται. º ƒ ª Λύση α) Το εμβαδόν της πλατείας είναι: Ε = πρ =,4 0 = 56 (m ). β) νωρίζουμε ότι όλη η πλατεία αντιστοιχεί σε τόξο 60 και έχει εμβαδόν 56 m. ια να βρούμε το εμβαδόν ε του κυκλικού τομέα που αντιστοιχεί σε ε τόξο 50, χρησιμοποιούμε την απλή μέθοδο των τριών, οπότε: = ή ε = ε 60 = 74,44 (m ). Nα υπολογίσετε το εμβαδόν του κυκλικού τομέα στον στίβο της σφαιροβολίας ακτίνας ρ = 4 m και γωνίας 65. Το εμβαδόν του κυκλικού τομέα δίνεται από τον τύπο: μ Ε = πρ =, = 6,56 (m )

37 .6- øª ƒπ (96-98) :8 ÂÏ 97 Μέρος -.6. Eμβαδόν κυκλικού τομέα 97 º ƒ ª O παρακάτω κύκλος έχει διάμετρο και εμβαδόν 40 cm. Nα υπολογίσετε τα εμβαδά Ε, Ε, Ε, Ε 4. Έχουμε ότι: Ο = 0, Ο = 90 και Ο = 90 Ο = 90 0 = 60 Επομένως: Ε = (πρ 80 ) = 40 = 0 (cm ). 60 Ε Ο Ε = (πρ 90 ) = 40 = 0 (cm ) Ε = (πρ 0 ) = 40 =, (cm ). 60 Ε 4 0 Ε Ε Ε 4 = (πρ 60 ) = 40 = 6,67 (cm ) ƒø π. Nα συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα: ακτίνα κύκλου γωνία κυκλικού τομέα ρ = cm μ = 60 μ = 45 ρ = cm εμβαδόν κυκλικού τομέα Ε = 8π cm Ε = π cm Σ έναν κύκλο κέντρου Ο και ακτίνας ρ =... (cm) ο κυκλικός τομέας γωνίας 0 έχει μήκος τόξου 6π (cm) και εμβαδόν... (cm ). Να συμπληρώσετε τα κενά. Η ακτίνα ενός κύκλου είναι cm. Ένας κυκλικός τομέας γωνίας 60 έχει εμβαδόν: : 4π (cm ) : 6π (cm ) : 54π (cm ) : 08π (cm ). Nα κυκλώσετε τη σωστή απάντηση. ν το εμβαδόν κυκλικού τομέα είναι,56 cm και η γωνία του είναι 90, η ακτίνα του κύκλου είναι: : cm, : 4 cm, : 9 cm, : 7 cm. Να κυκλώσετε τη σωστή απάντηση. ν τριπλασιάσουμε την ακτίνα ενός κύκλου (Ο, ρ), τότε το εμβαδόν ενός κυκλικού τομέα του κύκλου: : διπλασιάζεται : τριπλασιάζεται : εξαπλασιάζεται : εννιαπλασιάζεται. Να κυκλώσετε τη σωστή απάντηση. π Να υπολογιστεί η γωνία κυκλικού τομέα που έχει εμβαδόν ίσο με το του 8 εμβαδού του κύκλου. Ένας κυκλικός τομέας γωνίας 0 έχει εμβαδόν m. Να υπολογίσετε την ακτίνα του κύκλου.

38 .6- øª ƒπ (96-98) :8 ÂÏ Μέρος -.6. Eμβαδόν κυκλικού τομέα Το εμβαδόν ενός κυκλικού δίσκου είναι 56 cm. Να υπολογίσετε το εμβαδόν ενός κυκλικού τομέα γωνίας 6. Το εμβαδόν κυκλικού τομέα γωνίας 45 είναι 0,5π cm. Να βρείτε το εμβαδόν του κύκλου στον οποίο ανήκει ο τομέας. ύο ομόκεντροι κύκλοι έχουν ακτίνες ρ = cm και ρ =4 cm αντίστοιχα. Να υπολογίσετε το εμβαδόν O του γραμμοσκιασμένου μέρους του σχήματος. A Ο υαλοκαθαριστήρας ενός αυτοκινήτου έχει μήκος 55 cm. Το σημείο περιστροφής απέχει από το λάστιχο καθαρισμού 5 cm. Aν ο υαλοκαθαριστήρας διαγράφει γωνία 0, να υπολογίσετε την επιφάνεια που καθαρίζει. 8 Να υπολογίσετε τα εμβαδά των γραμμοσκιασμένων καμπυλόγραμμων επιφανειών στα παρακάτω τετράγωνα: α) ==8 cm β) = 8 cm γ) = 8 cm δ) = 8 cm ε) A = 8 cm Να βρείτε το εμβαδόν της γραμμοσκιασμένης επιφάνειας στο σχήμα, αν οι αριθμοί εκφράζουν τα μήκη των αντίστοιχων τμημάτων σε cm. apple Ó ÏË Ë ÂÊ Ï Ô Μέτρηση Κύκλου Ε Ζ Εγγεγραμμένες γωνίες ενός κύκλου που βαίνουν στο ίδιο τόξο ή σε ίσα τόξα ειναι μεταξύ τους ίσες. Κάθε εγγεγραμμένη γωνία ισούται με το μισό της επίκεντρης γωνίας που έχει ίσο αντίστοιχο τόξο. Κανονικό πολύγωνο: ίσες πλευρές ίσες γωνίες 60 Κεντρική γωνία κανονικού ν-γώνου: ω = ν ωνία κανονικού ν-γώνου: φ = 80 ω Μήκος κύκλου: L δ = π ή L = πρ Μήκος τόξου: μ = πρ 60 ή = αρ Εμβαδό κυκλικού δίσκου: Ε = πρ Εμβαδό κυκλικού τομέα: μ Ε = πρ ή Ε = αρ 60

39 4.- øª ƒπ (99-05) :0 ÂÏ 99 ΜΕΡΟΣ º π 4 Ô εωμετρικά Στερεά H εωμετρία του Xώρου αποτελεί ένα από τα πιο ενδιαφέροντα κεφάλαια, εξαιτίας των πολλών εφαρμογών της στην καθημερινή ζωή. Mέτρηση Στερεών Θα μας απασχολήσει η μελέτη στερεών σωμάτων, όπως τo πρίσμα, ο κύλινδρος, η πυραμίδα, ο κώνος και η σφαίρα. Θα εξετάσουμε τα στοιχεία τους και τη μέτρηση των επιφανειών τους και του όγκου τους (Στερεομετρία).

40 4.- øª ƒπ (99-05) :0 ÂÏ 00 ΕΙΣΩH 4. Ευθείες και επίπεδα στο χώρο 4. Στοιχεία και εμβαδόν πρίσματος και κυλίνδρου 4. Όγκος πρίσματος και κυλίνδρου 4.4 Η πυραμίδα και τα στοιχεία της 4.5 Ο κώνος και τα στοιχεία του 4.6 Η σφαίρα και τα στοιχεία της 4.7 εωγραφικές συντεταγμένες ÃÒÚÔ Ê ÛÈÎfi ÎfiÛÌÔ ÛÙÔÓ ÔappleÔ Ô Ô ÌÂ Î È fiï Ù ÓÙÈΠÌÂÓ, Î ıò Î È Ù Ì fióù appleô Ì appleâúè ÏÏÔ Ó, appleôùâïô Ó ÙÔÓ «ÒÚÔ». Û Ì Ù ÙÔ ÒÚÔ È ÎÚ ÓÔÓÙ È Û Âapple appleâ Î È ÛÙÂÚÂ Î È appleôùâïô ÓÙ È applefi ÂappleÈÊ ÓÂÈÂ, ÁÚ ÌÌ Î È ÛËÌÂ. È ÂappleÈÊ ÓÂÈÂ Ô Ó Ô È ÛÙ ÛÂÈ Î È È ÎÚ ÓÔ Ó Ù ÓÙÈΠÌÂÓ ÌÂÙ Í ÙÔ, ÔÈ ÁÚ ÌÌ Ô Ó Ì È ÛÙ ÛË Î È Ù ÛËÌ ΠÌ. ˆÌÂÙÚ ÙÔ ÒÚÔ Â Ó È Ë ÂappleÈÛÙ ÌË appleô ÌÂÏÂÙ Ù ÛÙÂÚ ÛÒÌ Ù Î È ÙÈ È ÈfiÙËÙ ÙÔ ÛÙÔÓ ÒÚÔ. ÙÂÚÂÔÌÂÙÚ Û ÔÏÂ Ù È Ì ÙË Ì ÙÚËÛË ÙˆÓ fiáîˆó ÙˆÓ È ÊfiÚˆÓ ÛÙÂÚÂÒÓ Û ËÌ ÙˆÓ: ÙˆÓ appleúèûì ÙˆÓ, ÙˆÓ Î Ï Ó ÚˆÓ, ÙË ÛÊ Ú Î.Ô.Î. ÒÚÔ ÂÈ ÙÚÂÈ È ÊÔÚÂÙÈÎ È ÛÙ ÛÂÈ : Ì ÎÔ, appleï ÙÔ Î È Ô Î È ÂÎÙ ÓÂÙ È appleâúèfiúèûù. È ı ÁfiÚÂÈÔÈ ÌÂÏ ÙËÛ Ó ÙË ÛÊ Ú Î È Î appleôè Î ÓÔÓÈÎ appleôï  Ú, ÏÏ ÔÈ Ï ÙˆÓÈÛÙ Ù Ó ÙÔ appleô Û ÔÏ ıëî Ó ÂÎÙÂÙ Ì Ó Ì ٠ΠÓÔÓÈÎ appleôï  Ú. Ô ÙÂÙÚ Â ÚÔ, Ô Î Ô, ÙÔ ÔÎÙ Â ÚÔ, ÙÔ ÂÈÎÔÛ Â ÚÔ Î È ÙÔ ˆ ÂÎ Â ÚÔ ÔÓÔÌ ÔÓÙ È Ï ÙˆÓÈÎ ÙÂÚÂ. ÓÔÌ ÔÓÙ È Âapple ÛË Î È ÔÛÌÈÎ ÙÂÚÂ, Î ıò ÛÙË ºÈÏÔÛÔÊ ÙÔ Ï ÙˆÓ Û Ì fiïè Ó ÓÙ ÛÙÔÈ ÙËÓ ÊˆÙÈ, ÙË ÁË, ÙÔ ÓÂÚfi, ÙÔÓ Ú Î È ÙËÓ «apple ÌappleÙË Ô Û» (quinta essentia). ÌÂÏ ÙË ÙÔ Î Ô, ÙÔ ÙÂÙÚ Â ÚÔ Î È ÙÔ ˆ ÂÎ Â ÚÔ appleú appleâè Ó ÁÈÓ applefi ÙÔ ı ÁfiÚÂÈÔ Ø Ô Â ÙËÙÔ ÌÂÏ ÙËÛ ÙÔ ÔÎÙ Â ÚÔ Î È ÙÔ ÂÈÎÔÛ Â ÚÔ, ÂÓÒ Ô ÔÍÔ ıâìâï ˆÛ ÙË Ì ÙÚËÛ ÙÔ. ÙÂÚÂÔÌÂÙÚ appleôùâïâ ÛËÌ ÓÙÈÎfi Ì ÚÔ ÙË Î ıëìâúèó Ì ˆ : applefi Ì appleï apple Ú ÁÁÂÏ Ù appleâùû Ú ÁÈ ÙÔ ˆÌ ÙÈfi Ì ˆ ÙÔ Û Â È ÛÌfi ÎÙÈÚ ˆÓ ÛÙËÓ Ú ÈÙÂÎÙÔÓÈÎ. ÂÓ Â Ó È fiìˆ Î È Ï Á ÔÈ ÂappleÈ Ú ÛÂÈ ÙË ÛÙËÓ ÓË: ˆÁÚ ÊÈÎ, ÁÏ appleùèî Î.. ÂÍ ÈÚÂÙÈÎ Ú ÛË ÙË ÛıËÛË ÙÔ ÒÚÔ Ì Û applefi ÙË ÂˆÌÂÙÚ ÁÈÓÂ Ê ÓÂÚ Î Ù ÙËÓ Ó Á ÓÓËÛË. Ó Á ÓÓËÛË È ıâùâ Ô ÛÈÎ Ú ÎÙËÚÈÛÙÈÎ : ÙËÓ ÌÊ ÛË ÛÙÔ Û Ì Î È ÙËÓ ÌÊ ÛË ÛÙÔ ÚÒÌ. ÌfiÓÔ, Ûˆ, ˆÁÚ ÊÔ appleô Êı Û ÛÙÔ ÓÒÙ ÙÔ Âapple appleâ Ô Î È ÛÙ Ô Ù Ó Ô Leonardo da Vinci, Ô ÔappleÔ Ô ˆÛ ÛÙËÓ appleèappleâ ÔÌÂÙÚ Î È ÙË ÙÂÚÂÔÌÂÙÚ ÌÈ È ÛÙ ÛË ÁÓˆÛÙË ÛÙÈ appleúôëáô ÌÂÓ ÁÂÓÈ. «ª ÛÙÈÎfi  appleóô» ÙÔ da Vinci ÛÙËÓ ÂÎÎÏËÛ Santa Maria della Grazie ÛÙÔ ªÈÏ ÓÔ Â Ó È Ó ÍÔ Ô Â ÁÌ ÙË Ú ÛË ÙˆÓ ÁÓÒÛÂˆÓ ÙÂÚÂÔÌÂÙÚ ÛÙËÓ ÓË Î È ÂÎappleÏ ÛÛÂÈ Ì ÙËÓ ÌÂÛË ÛıËÛË ÙÔ ÒÚÔ appleô ÓÂÈ ÛÙÔ ıâ Ù. ˆÌÂÙÚ ÙÔ ÒÚÔ Ú ÛÎÂÈ ÛËÌ ÓÙÈÎ ÂÊ ÚÌÔÁ Î È Û ÏÏ ÂappleÈÛÙ ÌÂ. ÙË μèôïôá Î È ÛÙËÓ π ÙÚÈÎ Ë ÌÂÏ ÙË ÙÔ ÂÁÎÂÊ ÏÔ Î È ÏÏˆÓ ÔÚÁ ÓˆÓ ÙÔ ÛÒÌ ÙÔ Á ÓÂÙ È Ì ÓÙÔÓË ÙËÓ apple ÚÔ Û ÂÓÓÔÈÒÓ ÙË ÙÂÚÂÔÌÂÙÚ. ÙË ÃËÌÂ Ë ÔÌÈÎ Ù ÍÈÓfiÌËÛË ÙˆÓ ÔÚÁ ÓÈÎÒÓ ÂÓÒÛÂˆÓ Á ÓÂÙ È ÌÂ È ÈfiÙËÙ ÁˆÌÂÙÚÈÎÒÓ Û ËÌ ÙˆÓ ÙË ÙÂÚÂÔÌÂÙÚ. ÙË ÂÈÛÌÔÏÔÁ, ÔÈ appleúôûôìôèòûâè ÙˆÓ ÎÈÓ ÛÂˆÓ ÙˆÓ ÙÂÎÙÔÓÈÎÒÓ appleï ÎÒÓ ÎÔÏÔ ıô Ó «ÁˆÌÂÙÚÈÎÔ Î ÓfiÓ» ÛÙÔ ÒÚÔ. È ÂÊ ÚÌÔÁ ÙË ÂˆÌÂÙÚ ÙÔ ÃÒÚÔ Â Ó È appleôïï Ó ÂÈÎÓ ÔÓÙ ÙË ÁÓÒÛË ÙË ÙÂÚÂÔÌÂÙÚ ÛÂ Ó Ó applefiûapple ÛÙÔ ÎÔÌÌ ÙÈ ÙË Î ıëìâúèó Ì ˆ, ÙË ÓË Î È ÙË appleèûù ÌË.