2.6 ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΚΑΙ ΔΙΑΦΟΡΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "2.6 ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΚΑΙ ΔΙΑΦΟΡΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ"

Ὑάκινθος Μακρή
7 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ΜΕΡΟΣ 2.6 ΘΡΟΙΣΜ ΚΙ ΙΦΟΡ ΙΝΥΣΜΤΩΝ ΘΡΟΙΣΜ ΚΙ ΙΦΟΡ ΙΝΥΣΜΤΩΝ Άθροισμα διανυσμάτων Το άθροισμα διανυσμάτων ρίσκεται με δύο τρόπους. Η μέθοδος του πολυγώνου Μεταφέρουμε τα διανύσµατα που χρειάζεται ώστε να γίνουν όλα διαδοχικά. Το άθροισμα των διανυσμάτων θα είναι το διάνυσµα, που θα έχει αρχή την αρχή του πρώτου και πέρας το πέρας του τελευταίου. ια παράδειγμα το άθροισμα των διανυσμάτων α, και γ είναι δ. α γ δ. Η μέθοδος του παραλληλογράµµου Μεταφέρουμε τα διανύσµατα α,, έτσι ώστε να έχουν κοινή αρχή και σχηµατίζουµε το παραλληλόγραµµο που έχει διαδοχικές πλευρές τα διανύσµατα α και. Η διαγώνιος δ του παραλληλογράµµου είναι το ά- θροισμα των διανυσµάτων α και. α δ

2 294 ΜΕΡΟΣ 2.6 ΘΡΟΙΣΜ ΚΙ ΙΦΟΡ ΙΝΥΣΜΤΩΝ ιαφορά διανυσμάτων Η διαφορά δύο διανυσμάτων AB και συμολίζεται µε και γράφεται ως άθροισμα του AB µε το αντίθετο διάνυσµα του, δηλαδή το : = + ( ) = + ιαφορά δύο διανυσμάτων με κοινή αρχή η διαφορά Ο Ο δύο διανυσµάτων Ο, Ο µε κοινή αρχή Ο, είναι ένα διάνυσµα µε αρχή το πέρας του δευτέρου () και πέρας το πέρας του πρώτου (). Το μηδενικό διάνυσμα Το μηδενικό διάνυσµα είναι το άθροισμα δύο αντίθετων διανυσµάτων,δηλαδή ένα διάνυσµα του οποίου η αρχή και το τέλος (πέρας) ταυτίζονται. Το μηδενικό διάνυσµα συμολίζεται µε 0. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΤΝΟΗΣΗΣ 1. ίνονται τα σημεία,, και, τα οποία δεν ανήκουν στην ίδια ευθεία. Σε καθεμία από τις παρακάτω ερωτήσεις να επιλέξετε τη σωστή 1 ν = τότε : Το τρίγωνο είναι ισοσκελές 2 ν = τότε : Το τρίγωνο είναι ισοσκελές 3 ν = τότε : Το τετράπλευρο Είναι παραλληλόγραμμο Το είναι το μέσο του Το είναι το μέσο του = Το ταυτίζεται με το Το ταυτίζεται με το Το τετράπλευρο Είναι παραλληλόγραμμο = = 0 1) Σωστή είναι το,γιατί δύο διανύσματα με κοινή αρχή δεν μπορούν να είναι ίσα () και δεν είναι = (). 2) Σωστή είναι το,γιατί τα σημεία ανήκουν στην ίδια ευθεία() και δεν είναι = ().

3 ΜΕΡΟΣ 2.6 ΘΡΟΙΣΜ ΚΙ ΙΦΟΡ ΙΝΥΣΜΤΩΝ 295 3) Σωστή είναι το,γιατί δεν είναι = () και το τετράπλευρο δεν είναι ορθογώνιο (). 4) Σωστή είναι το,γιατί = = 5) Σωστή είναι το,γιατί = = 0 + = 2. ίνονται τέσσερα σηµεία,, και. Να συµπληρώσετε τις παρακάτω ισότητες δ) + = = + = = = = = δ) = Μέθοδος πολυγώνου. Μέθοδος πολυγώνου. ιαφορά διανυσμάτων με δ) Μέθοδος πολυγώνου 3. Η ισότητα = + είναι σωστή σ ένα µόνο από τα παρακάτω σχήµατα. Μπορείτε να ρείτε σε ποιο; : : : Το Κανόνας παραλληλογράμμου

4 296 ΜΕΡΟΣ 2.6 ΘΡΟΙΣΜ ΚΙ ΙΦΟΡ ΙΝΥΣΜΤΩΝ 4. Στο διπλανό σχήµα το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραµµο. Να κυκλώσετε τις σωστές απαντήσεις. + = Ο + = Ο + = Ο + = Ο Ο Ο Ο Ο Ο Ο Ο Ο Ο + = ( ) Ο + = Ο + = Ο Ο + = Ο + = Ο Ο + = OB + = Ο ( ) ( ) ( ) Κανόνας παραλληλογράμμου ντικαθιστούμε το διανυσμα με το ίσο του και κανόνας παραλληλογράμμου ντικαθιστούμε το διανυσμα με το ίσο του και κανόνας παραλληλογράμμου ντικαθιστούμε το διανυσμα με το ίσο του και μέθοδος πολυγώνου Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ ΣΚΗΣΗ 1 Να ρείτε τα αθροίσµατα των διανυσµάτων α,, γ, στο παρακάτω σχήµα: α + + γ α + + γ γ α

5 ΜΕΡΟΣ 2.6 ΘΡΟΙΣΜ ΚΙ ΙΦΟΡ ΙΝΥΣΜΤΩΝ 297 α γ α α + + γ γ α + + γ Κάνουμε τα διανύσματα διαδοχικά όπως φαίνεται στο παραπάνω σχήμα και τα προσθέτουμε. Το διάνυσμα του αθροίσματος έχει αρχή την αρχή του πρώτου και το πέρας του τελευταίου. ΣΚΗΣΗ 2 ίνεται το τετράπλευρο.να υπολογιστούν τα αθροίσµατα: = = = 0 = + = = = Μέθοδος πολυγώνου. Μέθοδος πολυγώνου και μηδενικό διάνυσμα. Είναι = και κατόπιν προκύπτει διαφορά διανυσμάτων με ΣΚΗΣΗ 3 Έστω τετράπλευρο και Μ σηµείο της. Να υπολογίσετε τα αθροίσµατα: + Μ + Μ Μ + Μ Μ + + Μ

6 298 ΜΕΡΟΣ 2.6 ΘΡΟΙΣΜ ΚΙ ΙΦΟΡ ΙΝΥΣΜΤΩΝ Μ + Μ + Μ = Μ + Μ = Είναι Μ = Μ και = Μ Μ = κατόπιν προκύπτει διαφορά διανυσμάτων με Μ + Μ + + = + + = Μέθοδος πολυγώνου και = + = + = 2 + Μ + + Μ = + + Μ + Μ = = + = = ΣΚΗΣΗ 4 ίνεται παραλληλόγραµµο και Ο το σηµείο τοµής των διαγωνίων του. Να συγκρίνετε τις διαφορές: Ο, Ο Ο, δ) Ο Ο = Ο = + Ο = Ο Ο = + Ο = Ο + = Ο Ο = Ο + = + Ο = Ο δ) Ο = + Ο = Ο + = Ο Ο = Ο και Ο = Ο είναι = και κατόπιν προκύπτει διαφορά διανυσμάτων με Ομοίως Ο ιαφορά διανυσμάτων με ιαφορά διανυσμάτων με ιαφορά διανυσμάτων με δ) ιαφορά διανυσμάτων με Επομένως ίδια με και με δ).

7 ΜΕΡΟΣ 2.6 ΘΡΟΙΣΜ ΚΙ ΙΦΟΡ ΙΝΥΣΜΤΩΝ 299 ΣΚΗΣΗ 5 Στο παρακάτω σχήµα τα τετράπλευρα και ΕΖ είναι παραλληλόγραµµα. Ζ Να ρεθούν τα αθροίσµατα: + Ε + + δ) + ΖΕ + + = Ε + = Ε + = Ε + = δ) + ΖΕ + = + + = Ε Μέθοδος παραλληλογράμμου. Είναι = και μέθοδος πολυγώνου. μέθοδος πολυγώνου. δ) ΖΕ = και μέθοδος πολυγώνου. ΣΚΗΣΗ 6 Σε ένα σώµα ασκούνται οι δυνάµεις F1, F2 και F3, όπως λέπουµε στο παρακάτω σχήµα. Να ρείτε τη συνισταµένη τους. F 3 F1 F2

8 300 ΜΕΡΟΣ 2.6 ΘΡΟΙΣΜ ΚΙ ΙΦΟΡ ΙΝΥΣΜΤΩΝ F1 F2 F F2 F3 F 3 F 1 + F 2 F 1 + F 2 Με την μέθοδο του παραλληλογράμμου κατασκευάζουμε το άθροισμα των δύο πρώτων διανυσμάτων και κατόπιν με την μέθοδο του πολυγώνου κατασκευάζουμε και την συνισταμένη των τριών διανυσμάτων. ΣΚΗΣΗ 7 Στο παρακάτω σχήµα να σχεδιάσετε τα διανύσµατα, Ε, Ζ και Θ, έτσι ώστε να ισχύει: = + Ε = + Ζ = + και Θ = + + = + Ε = +

9 ΜΕΡΟΣ 2.6 ΘΡΟΙΣΜ ΚΙ ΙΦΟΡ ΙΝΥΣΜΤΩΝ 301 Ζ =Θ Ζ = + Θ = + ΣΚΗΣΗ 8 Aν Μ είναι το µέσο της υποτείνουσας ενός ορθογωνίου τριγώνου (=90 ), να δείξετε ότι: = Μ Μ. Μ = Μ Μ = Μ Μ = = Μ + Μ = ιαφορά διανυσμάτων με ντικαθιστούμε το διάνυσμα Μ με το ίσο του Μ είναι Μ = Μ Μέθοδος πολυγώνου Τα δεύερα μέλη ίσα άρα και τα πρώτα. ΣΚΗΣΗ 9 Μία άρκα διασχίζει κάθετα ένα ποτάµι. ν η άρκα κινείται µόνο από τη µηχανή της, θα έχει ταχύτητα µε µέτρο 2 m/s. Η άρκα παρασύρεται, όµως, από το ρεύµα του ποταµού που έχει ταχύτητα 0,6 m/s. Να σχεδιάσετε τις δύο ταχύτητες. Να σχεδιάσετε την διεύθυνση που θα πάρει τελικά η άρκα.

10 302 ΜΕΡΟΣ 2.6 ΘΡΟΙΣΜ ΚΙ ΙΦΟΡ ΙΝΥΣΜΤΩΝ F ολική F 2 = 0,6m / s F 1 = 2m / s ΣΚΗΣΗ 10 ίνεται τετράπλευρο και Μ, Ν τα µέσα των πλευρών και. Να αποδείξετε ότι: Μ + Μ = Ν + Ν. Μ = + = Ν + Ν + Ν + Ν = = Ν + Ν Ν Μ + Μ = ράφουμε τα διανύσματα Μ και Μ σαν αθροίσματα άλλων διανυσμάτων σύμφωνα με την μέθοδο του πολυ- = Μ + + Μ + = γώνου. Μ + Μ = 0 ( Μ = Μ) ράφουμε τα διανύσματα και σαν αθροίσματα άλλων διανυσμάτων σύμφωνα μ ε την μέθοδο του πολυ- γώνου. Ν + Ν = 0 ( Ν = Ν) Ουσιαστικά εδώ γράφουμε τα εσωτερικά διανύσματα του τετράπλευρου συναρτήσει των διανυσμάτων της περιμέτρου του τετράπλευρου για να χρησιμοποιήσουμε την ιδιότητα των μέσων των ευθυγράμμων τμημάτων.

Σχετικά έγγραφα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Πυθαγόρειο ενικό Λύκειο Σάμου ΕΠΝΛΗΨΗ ΕΩΜΕΤΡΙΣ ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό