Κεφάλαιο 10 - Ιξωδοελαστικότητα

Transcript

1 Κεφάλαιο - Ιξωδοελαστικότητα Ποια είναι η μηχανική αντοχή ενός πολυμερούς; Στόχοι του κεφαλαίου Οι έννοιες της τάσης και της παραμόρφωσης. Ερπυσμός, χαλάρωση τάσης. Μοντέλα Maxwell, Kelvin και πιο πολύπλοκα. Χαρακτηρισμός του τύπου του πολυμερούς με βάση το σημείο υαλώδους μετάβασής του. Προσδιορισμός του μέτρου ελαστικότητας από διαγράμματα τάσης-παραμόρφωσης. Δυναμική μηχανική συμπεριφορά ιξωδοελαστικών υλικών. Μηχανική αστοχία πολυμερών... Εισαγωγή H ιξωδοελαστικότητα αποτελεί ένα από τα πλέον χαρακτηριστικά γνωρίσματα των πολυμερών. Μαζί με τη θερμοκρασία υαλώδους μετάβασης και το μοριακό βάρος αποτελούν, ίσως, τις σημαντικότερες ιδιότητες των πολυμερών. Γενικά, τα ιδανικά στερεά είναι υλικά που παραμορφώνονται ελαστικά. Η ενέργεια, δηλαδή, που απαιτείται για την παραμόρφωση, ανακτάται πλήρως όταν αφαιρεθούν οι τάσεις. Αντίθετα τα ιδανικά ρευστά παραμορφώνονται αναντίστρεπτα. Η ενέργεια, δηλαδή, που απαιτείται για την παραμόρφωση, μεταπίπτει σε θερμική ενέργεια viscous dissipaion και δεν ανακτάται όταν αφαιρεθούν οι τάσεις. Τα πολυμερή είναι ιξωδοελαστικά υλικά, σε ασκούμενη μηχανική τάση παρουσιάζουν τόσο ιξώδη όσο και ελαστική παραμόρφωση. Έχουν χαρακτηριστικά ιξωδών υγρών και ελαστικών στερεών. Ορισμοί κλασικών μηχανικών ιδιοτήτων ελαστικών στερεών Στις μηχανικές ιδιότητες των στερεών υπάρχουν δύο βασικές παράμετροι, η τάση και η παραμόρφωση. Υπάρχουν διάφορες δοκιμές οι οποίες γίνονται. Εδώ επικεντρωνόμαστε μόνο στον εφελκυσμό τανυσμό και τη διάτμηση... Εφελκυσμός Δοκίμιο αρχικού μήκους L εφελκύεται με δύναμη F που ασκείται σε επιφάνεια διατομή του δοκιμίου Α Σχήμα.. Η ασκούμενη τάση τανυσμού ensile sress σ είναι Παναγιώτου, : F A. και έχει ως αποτέλεσμα παραμόρφωση του δοκιμίου επιμήκυνση ε: L L. To μέτρο ελαστικότητας ή μέτρο του Young, ορίζεται ως εξής:

2 .3 και η ενδοτικότητα compliance από τη σχέση: J.4 A F L Δ Σχήμα. Δοκίμιο αρχικού μήκους L που υφίσταται εφελκυστική δύναμη F και αποκτά επιμήκυνση κατά ΔL... Διάτμηση Το δοκίμιο σε αυτή την περίπτωση παραμορφώνεται με την επίδραση της δύναμης F Σχήμα.. Οπότε η ασκούμενη διατμητική τάση στην επιφάνεια Α θα είναι: F A.5 και η διατμητική παραμόρφωση σε αυτή την περίπτωση ορίζεται ως γ. Οπότε το μέτρο διάτμησης ή μέτρο αποθήκευσης G θα είναι: G.6 F Σχήμα. Δοκίμιο που υφίσταται διατμητική δύναμη, F. Γραμμική ιξωδοελαστικότητα

3 Ένα ρευστό βρίσκεται ανάμεσα σε δύο παράλληλες πλάκες, εκ των οποίων η πάνω κινείται κάτω από την επίδραση σταθερής δύναμης F ενώ η κάτω παραμένει ακίνητη. Το προφίλ ταχυτήτων, που αναπτύσσει το ρευστό ανάμεσα στις πλάκες, φαίνεται στο Σχήμα.3 Fried, 3. F y x V x Σχήμα.3 Προφίλ ταχύτητας κατά την κίνηση ρευστού ανάμεσα σε δύο παράλληλες πλάκες, εκ των οποίων η πάνω κινείται κάτω από την επίδραση σταθερής δύναμης F ενώ η κάτω παραμένει ακίνητη. Για ένα ιξώδες υγρό ισχύει ο Νόμος του Newon ορισμός του ιξώδους: d d.7 Όπου σ η τάση σ = FA, η το ιξώδες του ρευστού και ε η παραμόρφωση η οποία δημιουργείται. Η πιο ακριβής έκφραση για τον ορισμό της τάσης είναι: Οπότε V xy y U Vx U xy y x xy U U y y xy xy.8 Το αντίστοιχο πρότυπο του ιδανικού ιξώδους υγρού είναι ο Ιξωδομειωτήρας έμβολο dashpo: 3

4 Για ένα ιδανικό ελαστικό στερεό, για τον υπολογισμό της σχέσης τάσης-παραμόρφωσης, ισχύει ο νόμος του Hooke:.9 To αντίστοιχο πρότυπο σε αυτή την περίπτωση είναι το ελατήριο: Δοκιμές που εξετάζονται Ερπυσμός creep:μελετάται η μεταβολή της παραμόρφωσης με το χρόνο, με την επίδραση σταθερού φορτίου. Χαλάρωση Τάσης sress relaxaion: μελετάται η μεταβολή της τάσης με το χρόνο, για σταθερή παραμόρφωση. Δυναμική μηχανική συμπεριφορά: μελετάται η παραμόρφωση υπό την επίδραση τάσης ημιτονοειδώς μεταβαλλόμενης με το χρόνο..3 Ερπυσμός Για την προσομοίωση χρησιμοποιούντια κυρίως μοντέλα του Maxwell και του Kelvin-Voig..3. Μοντέλο του Maxwell Στην περίπτωση αυτή θεωρείται ότι το ελατήριο και το έμβολο τοποθετούνται στη σειρά. 4

5 Οπότε με εφαρμογή τάσης σ η συνολική παραμόρφωση που παρατηρείται θα είναι το άθροισμα των δύο παραμορφώσεων ε και ε. Άρα:. Οι δύο παραμορφώσεις ε και ε μπορούν να υπολογιστούν από τις εξισώσεις.7 και.9. Επειδή, όμως, στην.7 εμφανίζεται η παράγωγος της παραμόρφωσης, παραγωγίζουμε την εξίσωση. και προκύπτει: d d d d d d d d. Η εξίσωση. δίνει το ρυθμό παραμόρφωσης σύμφωνα με το μοντέλο του Maxwell. Στην περίπτωση του ερπυσμού, η τάση που εφαρμόζεται είναι σταθερή. Άρα, σ = σταθερό και dσd =. Οπότε η. γίνεται:. Η εξίσωση. ολοκληρώνεται με όρια για =, ε = σε. Αυτό σημαίνει ότι στην αρχή της φόρτισης η συνολική παραμόρφωση του συστήματος ισούται με την παραμόρφωση του ελατηρίου ή ότι αυτό παραμορφώνεται ακαριαία. Έτσι, προκύπτει: d d d d d d.3 Και η ενδοτικότητα compliance του μοντέλου είναι: 5

6 J.4 Ανάκτηση της παραμόρφωσης: Όταν η τάση κάποια χρονική στιγμή αφαιρείται υπάρχει μια ακαριαία ανάκτηση της ελαστικής παραμόρφωσης η οποία προκύπτει από την εξίσωση. για σ =. Επομένως, = ηdεd ε = σταθ. = σ Ε. Η μεταβολή της παραμόρφωσης ε με το χρόνο κάτω από την επίδραση σταθερής τάσης σ, σύμφωνα με το μοντέλο του Maxwell για τον ερπυσμό, φαίνεται στο Σχήμα.4. Επίσης, στο ίδιο Σχήμα παρουσιάζεται και η μόνιμη παραμόρφωση μετά την αφαίρεση της τάσης τη χρονική στιγμή. Σχήμα.4 Μεταβολή της παραμόρφωσης με το χρόνο κάτω από την επίδραση σταθερής τάσης ερπυσμός μέχρι τη χρονική στιγμή..3. Μοντέλο Kelvin ή Voig Στην περίπτωση αυτή θεωρείται ότι το ελατήριο και το έμβολο τοποθετούνται σε παράλληλη διάταξη. 6

7 Η ασκούμενη τάση σ κατανέμεται και στο ελατήριο και τον ιξωδομειωτήρα. Άρα:.5 Η συνολική παραμόρφωση που παρατηρείται θα ισούται τόσο με την παραμόρφωση του ελατηρίου όσο και του εμβόλου, δηλαδή:.6 Οι δύο τάσεις σ και σ μπορούν να υπολογιστούν από τις εξισώσεις.7 και.9.οπότε: d d.7 Η εξίσωση.7 δίνει τη μεταβολή του ρυθμού παραμόρφωσης σύμφωνα με το μοντέλο του Kelvin. Στην περίπτωση του ερπυσμού, η τάση που εφαρμόζεται είναι σταθερή και η.7 μπορεί να επιλυθεί ως γραμμική διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης με όρια για =, ε = και, ε = σε. Αυτό σημαίνει ότι σε μεγάλο χρόνο η συνολική παραμόρφωση του συστήματος ισούται με την παραμόρφωση του ελατηρίου. Έτσι, προκύπτει: d d exp.8 Ανάκτηση της παραμόρφωσης: 7

8 Όταν η τάση κάποια χρονική στιγμή αφαιρείται, υπάρχει μια ακαριαία ανάκτηση της ελαστικής παραμόρφωση, η οποία προκύπτει από την εξίσωση.7 για σ =. Επομένως, = Ε ε + ηdεd ε = ε exp- η. Η μεταβολή της παραμόρφωσης ε με το χρόνο κάτω από την επίδραση σταθερής τάσης σ, σύμφωνα με το μοντέλο του Kelvin για τον ερπυσμό, φαίνεται στο Σχήμα.5. Σχήμα.5 Μεταβολή της παραμόρφωσης με το χρόνο κάτω από την επίδραση σταθερής τάσης ερπυσμός σύμφωνα με το μοντέλο του Kelvin..3.3 Συνδυασμένο Ιξωδοελαστικό Μοντέλο Maxwell Kelvin Αποτελείται από ένα μοντέλο Maxwell σε σειρά με ένα μοντέλο Kelvin Στην περίπτωση αυτή η συνολική παραμόρφωση ισούται με το άθροισμα της παραμόρφωσης που προκύπτει από τα δύο μοντέλα. Άρα: 8

9 9 K K M.9 Κατά τον ερπυσμό με σ = σταθερό και dσd= ισχύει K K K M M exp. και ο ρυθμός παραμόρφωσης θα είναι: d d K K M exp. και η συνολική ανάκτηση, όταν η τάση μηδενίζεται σε χρόνο είναι: K K K K K M exp exp. Η μεταβολή της παραμόρφωσης ε με το χρόνο κάτω από την επίδραση σταθερής τάσης σ, σύμφωνα με το μοντέλο του Kelvin για τον ερπυσμό, φαίνεται στο Σχήμα.6. Σχήμα.6 Μεταβολή της παραμόρφωσης με το χρόνο κάτω από την επίδραση σταθερής τάσης ερπυσμός σύμφωνα με το μοντέλο Maxwell - Kelvin..4 Χαλάρωση Τάσης Κατά τη δοκιμή χαλάρωσης τάσης, στο δοκίμιο επιβάλλεται στιγμιαία μια ορισμένη παραμόρφωση και μελετάται η μεταβολή της τάσης με το χρόνο..4. Μοντέλο Maxwell

10 Σύμφωνα με το μοντέλο του Μaxwell, η συνολική παραμόρφωση που παρατηρείται θα είναι το άθροισμα των δύο παραμορφώσεων ε και ε. Οι δύο παραμορφώσεις ε και ε μπορούν να υπολογιστούν από τις εξισώσεις.7 και.9. Επειδή, όμως, στην.7 εμφανίζεται η παράγωγος της παραμόρφωσης, παραγωγίζουμε την εξίσωση. και προκύπτει: d d d d d d d d. Η εξίσωση. δίνει το ρυθμό παραμόρφωσης σύμφωνα με το μοντέλο του Maxwell. Στην περίπτωση της χαλάρωσης τάσης, η παραμόρφωση είναι σταθερή. Άρα, ε = σταθερό και dεd =. Οπότε η. γίνεται: d d.3 Η παραπάνω εξίσωση ολοκληρώνεται με όρια για =, σ = σ. Έτσι, προκύπτει: d d d d exp exp d d ln.4 Το τ = η Ε έχει μονάδες χρόνου και λέγεται χρόνος χαλάρωσης. Το μέτρο ελαστικότητας ή μέτρο χαλάρωσης ορίζεται από τη σχέση:

11 r exp.5 H μεταβολή της τάσης με το χρόνο κάτω από την επίδραση σταθερής παραμόρφωσης χαλάρωση τάσης σύμφωνα με το μοντέλο του Maxwell, φαίνεται στο Σχήμα.7. Σχήμα.7 Μεταβολή της τάσης με το χρόνο κάτω από την επίδραση σταθερής παραμόρφωσης χαλάρωση τάσης σύμφωνα με το μοντέλο Maxwell..4. Γενικευμένο μοντέλο Χαλάρωσης τάσης Για να προσομοιωθούν πειραματικά δεδομένα πολλές φορές απαιτείται να γίνει εισαγωγή περισσοτέρων χρόνων χαλάρωσης. Έτσι, μπορούν να συνδυαστούν πολλά μοντέλα Maxwell εν παραλλήλω, όπως φαίνεται στην παρακάτω εικόνα.

12 Στη γενική περίπτωση η τελική μεταβολή της τάσης, σ θα δίνεται από τη σχέση: exp exp... exp Αντίστοιχα το μέτρο χαλάρωσης θα είναι: r exp exp... exp Παράδειγμα. Σ ένα πολυμερές κατά τη δοκιμασία χαλάρωσης τάσης, δώστε σε ένα διάγραμμα και σχολιάστε την επίδραση του χρόνου χαλάρωσης στη μεταβολή της τάσης με το χρόνο. Λύση Σύμφωνα με το μοντέλο του Maxwell ισχύει: exp exp exp Τα αποτελέσματα της εξίσωσης αυτής για τιμές του χρόνου χαλάρωσης, τ =,, 5 και s φαίνονται στο παρακάτω διάγραμμα.

13 , σσ,8,6,4 τ= s τ= s τ=5 s τ= s,, 5 5 s Σχήμα.8 Μεταβολή της τάσης με το χρόνο, σε πείραμα χαλάρωσης τάσης για διάφορες τιμές του χρόνου χαλάρωσης Παρατηρείται ότι μείωση του χρόνου χαλάρωσης οδηγεί σε πολύ γρήγορη απόκριση του συστήματος και μηδενισμό της τάσης σε πολύ σύντομο χρονικό διάστημα. Παράδειγμα. Για ένα πολυμερές σε πείραμα χαλάρωσης τάσης, μετρήθηκαν οι παρακάτω τιμές τάσης ως προς την αρχική τάση σσ σε διάφορες χρονικές στιγμές. Με βάση αυτά υπολογίστε το χρόνο χαλάρωσης του υλικού. Xρόνος s σσ,,995,3,985,,95,,94,3,86,4,88,5,779,6,74,7,75,8,67,9,637,66,,549,4,497,6,449,8,46,368,5,86 3,3 3,5,74 4,35 5,8 6,5 7,3 3

14 8,8 9,,67 5 5,53-4 4,54-5 Λύση Σύμφωνα με το μοντέλο του Maxwell ισχύει: exp exp exp ln Άρα, μια γραφική παράσταση του lnσσ ως προς χρόνο θα πρέπει να δίνει ευθεία με κλίση το -τ. Με τα δεδομένα του παραδείγματος ένα τέτοιο διάγραμμα φαίνεται παρακάτω: - lnσσ κλίση = s Σχήμα.9 Προσδιορισμός του χρόνου χαλάρωσης υλικού με βάση τα δεδομένα μεταβολής της τάσης ως προς το χρόνο του παραδείγματος.. Η κλίση υπολογίζεται σε -.5. Άρα, -τ = -.5. Επομένως, τ = s..5 Ιξωδοελαστική συμπεριφορά πολυμερών Η ιξωδοελαστική συμπεριφορά των πολυμερών κατά το ερπυσμό, η μεταβολή δηλαδή της παραμόρφωσής τους κατά την επιβολή σταθερής τάσης, εξαρτάται από τη θερμοκρασία υαλώδους μετάβασης του υλικού. Αν υποθέσουμε ότι επιβάλλεται στο πολυμερές μια σταθερή τάση τη χρονική στιγμή, η οποία παύει να εφαρμόζεται τη χρονική στιγμή, τότε διαγράμματα ερπυσμού άμορφου γραμμικού πολυμερούς σε διάφορες περιοχές θερμοκρασίας φαίνονται στο παρακάτω Σχήμα.. 4

15 Α. Υαλώδης κατάσταση T g > Τ περ, ελαστική συμπεριφορά γ Β. Ιξωδοελαστική συμπεριφορά Τ g + 3 ο C < Τ περ < Τ m γ 5

16 Γ. Ιξωδοελαστική συμπεριφορά Τ g < Τ περ < Τ g + 3 ο C γ Δ. Ιξώδης κατάσταση Τ περ > Τ m, νευτώνεια συμπεριφορά γ Σχήμα. Διαγράμματα ερπυσμού άμορφου γραμμικού πολυμερούς σε διάφορες περιοχές θερμοκρασίας. χρόνος εφαρμογής του φορτίου και χρόνος αποφόρτισης Καραγιαννίδης, Σιδερίδου, Αχιλιάς, & Μπικιάρης, 9..6 Δυναμική μηχανική συμπεριφορά ιξωδοελαστικών υλικών Μια τρίτη μέθοδος δοκιμασίας των ιξωδοελαστικών υλικών είναι η δυναμο-μηχανική δοκιμή dynamic mechanical es. Κατά τη δοκιμασία αυτή επιβάλλεται στο δοκίμιο μια ημιτονοειδώς μεταβαλλόμενη τάση ή παραμόρφωση και μετράται η αντίστοιχη απόκριση του υλικού Fried, 3. Έτσι, αν επιβάλουμε μια παραμόρφωση: sin 6

17 .8 η τάση-απόκριση του υλικού θα είναι: sin.9 Όπου ω είναι η γωνιακή συχνότητα και φ η διαφορά φάσης. Η εξίσωση.9 γράφεται: cos sin sin cos.3 Οπότε η τάση θεωρείται ότι περιλαμβάνει δύο όρους: ο ένας με μέτρο σ cosφ σε φάση με την παραμόρφωση και ο άλλος με μέτρο σ sinφ με διαφορά φάσης 9 ο με την παραμόρφωση. Οπότε η τάση γράφεται: Gsin G cos.3 Όπου: G cos ; G sin.3 Έτσι, φαίνεται ότι τα μέτρα G και G θα μπορούσαν να αναπαρασταθούν μιγαδικά ως εξής: Και: exp i exp i Οπότε αποδίδεται ένα μιγαδικό μέτρο G * ως εξής: G exp i cos isin G ig.35 Το πραγματικό μέρος του G * είναι το G το οποίο λέγεται και μέτρο αποθήκευσης sorage modulus, επειδή καθορίζει την ενέργεια που αποθηκεύεται ως ελαστική ενέργεια στο δοκίμιο λόγω της επιβαλλόμενης παραμόρφωσης. Το φανταστικό μέρος του G * είναι το G το οποίο αναφέρεται και ως μέτρο απωλειών loss modulus, επειδή καθορίζει την απώλεια της μηχανικής ενέργειας σε θερμική. Παράδειγμα.3 Κατά τη δυναμική καταπόνηση ενός πολυμερούς προσδιορίστε τα μέτρα αποθήκευσης και απωλειών, αν υποθέσουμε ότι η συμπεριφορά του υλικού μπορεί να αναπαρασταθεί ικανοποιητικά από το μοντέλο του Maxwell. 7

18 8 Λύση Σύμφωνα με το μοντέλο του Maxwell, που παρουσιάστηκε στην εξίσωση., βρέθηκε ότι d d d d Υποθέτοντας ημιτονοειδή μεταβολή στην παραμόρφωση: sin Προκύπτει: cos sin d d d d d d.36 Αυτή είναι μια γραμμική διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης δες παράρτημα με: cos,,, x q x p x y και λύση την παρακάτω: sin sin cos cos cos C e e C e d e C e d e C e d e C e d d Επειδή η εξίσωση εμπεριέχει εκθετικούς και τριγωνομετρικούς όρους, προτείνεται η παρακάτω επίλυση: Έστω ότι η λύση της.36 είναι της μορφής: cos sin B A Τότε η.36 γίνεται: B A A B B A B A B A d B A d cos sin cos sin cos cos sin sin cos cos cos sin cos sin Εξισώνοντας τους συντελεστές των ημιτόνων και των συνημίτονων, προκύπτει:

19 9 A B B B B B A B A A B Θέτοντας:.37 προκύπτει η λύση: cos sin cos sin cos sin G G.38 με, G G.39.7 Μεταβολή του μέτρου ελαστικότητας με τη θερμοκρασία Η μεταβολή του μέτρου ελαστικότητας, Ε διαφόρων τύπων πολυμερών με τη θερμοκρασία, φαίνεται στο Σχήμα.. Διακρίνονται 5 περιοχές Rodriguez, 985. Στην πρώτη υαλώδη περιοχή, το υλικό είναι σκληρό και εύθρυπτο και αναφέρεται, συνήθως, σε πολυμερή με T g πολύ μεγαλύτερο από τη θερμοκρασία περιβάλλοντος όπως π.χ. το πολυστυρένιο και το ΡΜΜΑ, όπου το μέτρο ελαστικότητας έχει πολύ μεγάλες τιμές έως 3 9 Pa. Η δεύτερη περιοχή είναι ουσιαστικά η περιοχή της υαλώδους μετάβασης, το Ε πέφτει κατά περίπου 3 τάξεις μεγέθους. Η τρίτη είναι η περιοχή της ελαστομερούς κατάστασης, όπου το Ε εμφανίζει ένα πλατό και το υλικό συμπεριφέρεται ως ελαστομερές. Στη συνέχεια, αν το υλικό είναι διασταυρωμένο, η καμπύλη παραμένει σταθερή και δεν μεταβάλλεται. Αν είναι γραμμικό, ακολουθεί μια δεύτερη πτώση, όπου έχουμε ελαστομερή ροή μέχρι το σημείο τήξης του υλικού. Έπειτα από αυτό υπάρχει η ροή τήγματος. Στα ημι-κρυσταλλικά πολυμερή η μεταβολή από την υαλώδη στην ελαστομερή κατάσταση δεν συνοδεύεται από μεγάλη πτώση του Ε.

20 4 Μέτρο ελαστικότητας, Ε MPa Διασταυρωμένο Υαλώδης Μεταβατική Ελαστομερής Ροή τήγματος Αμορφο θερμοκρασία ο C Ελαστομερής ροή Ημι-κρυσταλλικό Σχήμα. Μεταβολή του μέτρου Ε με τη θερμοκρασία, για άμορφο γραμμικό πολυμερές, διασταυρωμένο και ημικρυσταλλικό. Παράδειγμα.4 Στο παρακάτω Σχήμα φαίνονται η καταγραφή του μέτρου ελαστικότητας με τη θερμοκρασία, όπως λήφθηκε για πολυμεθακρυλικό μεθυλεστέρα με δυναμομηχανική ανάλυση DMA. 9 lasic Modulus, ' Pa PMMA Μετρήσεις με DMA Temperaure o C α Εκτιμήστε τη συμπεριφορά του ΡΜΜΑ σε θερμοκρασία περιβάλλοντος. β Εκτιμήστε την περιοχή της θερμοκρασίας υαλώδους μετάβασης του πολυμερούς και γ σε ποια θερμοκρασία εμφανίζει ελαστομερή συμπεριφορά. Λύση

21 α Σε θερμοκρασία περιβάλλοντος το Ε είναι πολύ μεγάλο, περίπου GPa. Αυτό σημαίνει ότι το υλικό είναι στην υαλώδη κατάσταση. Είναι σκληρό και εύθραυστο. Συμπεριφέρεται σαν ελαστικό στερεό με πολύ μικρή παραμόρφωση μέχρι να σπάσει. β Από την αλλαγή της κλίσης της καμπύλης Ε προς Τ, η οποία συμβαίνει περίπου στους 9- ο C, εκτιμάται ότι και η περιοχή θερμοκρασιών υαλώδους μετάβασης είναι αυτή. γ Πάνω από ο C περίπου, το Ε έχει μειωθεί κατά 4 τάξεις μεγέθους. Επομένως, το υλικό είναι πλέον ελαστομερές..8 Αρχή της ισοδυναμίας χρόνου-θερμοκρασίας Στα ιξωδοελαστικά υλικά πολυμερή συχνά είναι σημαντικό να γνωρίζουμε πώς το υλικό συμπεριφέρεται π.χ. κατά τον ερπυσμό ή τη χαλάρωση τάσης σε σταθερή θερμοκρασία αλλά πολύ μεγάλο χρονικό διάστημα μέχρι και χρόνια. Επειδή αυτό δεν μπορεί να γίνει πειραματικά, αρκούν πειράματα σε μικρότερα χρονικά διαστήματα αλλά διαφορετικές θερμοκρασίες. Αυτό σημαίνει ότι στα ιξωδοελαστικά υλικά ο χρόνος και η θερμοκρασία είναι ισοδύναμα. Για το λόγο αυτό ορίζεται ένας παράγοντας μετατόπισης, α T shif facor: T r.4 Ως ο χρόνος που απαιτείται για να έχουμε ένα συγκεκριμένο μέτρο ελαστικότητας, Ε σε κάποια θερμοκρασία, ως προς ένα χρόνο αναφοράς r, που αντιστοιχεί στην ίδια τιμή του μέτρου ελαστικότητας σε μια θερμοκρασία αναφοράς T r. H αρχή ισοδυναμίας χρόνου θερμοκρασίας καλύτερα εκφράζεται ως εξής: T, T r, r.4 Η διαδικασία περιλαμβάνει την εκτέλεση πειραμάτων σε διάφορες θερμοκρασίες και σχετικά σύντομους χρόνους. Στη συνέχεια, γίνεται μετατόπιση με τον κατάλληλο συντελεστή και δημιουργία μιας μητρικής καμπύλης Maser curves, που ισχύει για ένα μεγάλο εύρος χρόνων. Ο συντελεστής μετατόπισης δίνεται από την σχέση των Williams-Landel-Ferry WLF : log T T log T r C T Tr C T T r.4 Όπου C και C δύο σταθερές και T r η θερμοκρασία αναφοράς. Αν τεθεί T r = T g, τότε οι σταθερές C και C προσεγγίζονται από τις παγκόσμιες σταθερές C = 7.44 και C = 5.6. Οι σταθερές C και C για διάφορα πολυμερή φαίνονται στον Πίνακα που ακολουθεί: Πολυμερές T g K C C Φυσικό ελαστικό Πολυισοβουτυλένιο Πολυουρεθάνη Πολυοξικός βινυλεστέρας Πολυμεθακρυλικός αιθυλεστέρας Πολυτερεφθαλικός αιθυλενεστέρας, ΡΕΤ, αμορφος Πολυτερεφθαλικός αιθυλενεστέρας, κρυσταλικός Πολυβινυλοχλωρίδιο Πολυστυρένιο

22 Πίνακας. Τιμές θερμοκρασίας υαλώδους μετάβασης και σταθερών C και C της εξίσωσης.4 για διάφορα πολυμερή Fried, 3..9 Μηχανική Αστοχία Πολυμερών Τυπικά διαγράμματα τάσης-ανηγμένης επιμήκυνσης διαφόρων πολυμερών κάτω από την επίδραση εφελκυστικής τάσης φαίνονται στο Σχήμα.. Στη συμπεριφορά του υλικού κατά τη μηχανική καταπόνηση, πολύ σημαντική είναι η επίδραση της θερμοκρασίας υαλώδους μετάβασής του Καραγιαννίδης, Σιδερίδου, Αχιλιάς, & Μπικιάρης, 9. Όταν σε κάποιο υλικό, η Τ g είναι πολύ υψηλότερη από το περιβάλλον διάγραμμα Α τότε το υλικό είναι σκληρό και εύθραυστο ψαθυρό, brile. Η παραμόρφωση, δηλαδή, που υφίσταται είναι πολύ μικρή ακόμη και με μεγάλη εφαρμογή τάσης, μέχρι το σημείο θραύσης του ιδανικό ελαστικό στερεό. Παραδείγματα τέτοιων πολυμερών είναι το πολυστυρένιο και ο πολυμεθακρυλικός μεθυλεστέρας με T g στην περιοχή των ο C. Αν το T g του υλικού είναι και πάλι υψηλότερο από τη θερμοκρασία περιβάλλοντος αλλά μικρότερο από την προηγούμενη περίπτωση, Τ < Τg, τότε τα υλικά χαρακτηρίζονται ως σκληρά και στιβαρά και εμφανίζουν εκτός της γραμμικής μεταβολής του ελαστικού στερεού και μία περιοχή μεταβολής της παραμόρφωσης που είναι ελαστομερής έχουμε, δηλαδή, μεγαλύτερη παραμόρφωση με την εφαρμογή τάσης Β. Το υλικό φθάνει πάλι στο σημείο θραύσης όπου σπάει. Παράδειγμα τέτοιου υλικού είναι το PVC με Tg=8 ο C. Σε πολυμερή με Tg κοντά στη θερμοκρασία περιβάλλοντος π.χ. Νάιλον με Τg 5 o C η συμπεριφορά σε μηχανική καταπόνηση είναι λίγο περισσότερο πολύπλοκη. Στην περίπτωση αυτή μετά την ελαστική και ελαφρώς ελαστομερή συμπεριφορά, όπως αναφέρθηκε και προηγουμένως, παρατηρείται μια μείωση της τάσης με αύξηση της παραμόρφωσης. Στο σημείο αυτό έχουμε τη δημιουργία λαιμού στο δοκίμιο Σχήμα.3. Το σημείο αυτό λέγεται σημείο διαρροής. Τα μακρομόρια μέσα στο υλικό αλλάζουν διαμορφώσεις και από τυχαία διευθέτηση στο χώρο τείνουν να πάρουν κατεύθυνση αντίστοιχη με την εφαρμοζόμενη τάση. Όσο διαρκεί η δοκιμή όλο και περισσότερες μακρομοριακές αλυσίδες διευθετούνται παράλληλα με την εφαρμοζόμενη τάση. Ετσι το υλικό παραμορφώνεται επιμηκύνεται χωρίς την ανάγκη εφαρμογής επιπλέον τάσης. Από κάποιο σημείο και μετά το υλικό συμπεριφέρεται και πάλι σαν ελαστικό στερεό με μικρή αύξηση της παραμόρφωσης με αύξηση της τάσης μέχρι το σημείο θραύσης Γ. Τα υλικά λέγονται σκληρά και ανθεκτικά ελατά, ducile και παραδείγματα είναι η οξική και νιτρική κυτταρίνη, το ΑΒS, κ.α. Όταν η θερμοκρασία περιβάλλοντος είναι πάνω από το T g του πολυμερούς τότε το υλικό χαρακτηρίζεται ως ελαστομερές. Χρειάζεται, επομένως, μικρή τάση για να έχουμε αρκετή παραμόρφωση. Όταν το Τ > Τg το υλικό χαρακτηρίζεται ως μαλακό και ασθενές με παράδειγμα το πολυισοβουτυλένιο Δ. Σε πολυμερή με ακόμη πιο χαμηλά Τg, όπως για παράδειγμα το πλαστικοποιημένο PVC ή το πολυαιθυλένιο με Τg περίπου στους -35 ο C, μετά την καθαρά ελαστομερή συμπεριφορά, εμφανίζεται και μια ελαστική με γραμμική αύξηση της τάσης ως προς την παραμόρφωση μέχρι το σημείο θραύσης. Τα υλικά αυτά λέγονται μαλακά και ανθεκτικά Ε. Τέλος, τα πολυμερή με πολύ χαμηλό Τg είναι τα καθαρά ελαστομερή, όπου έχουμε μεγάλη παραμόρφωση με μικρή εφαρμογή τάσης ΣΤ. Παραδείγματα τέτοιων πολυμερών είναι το φυσικό ελαστικό πολυισοπρένιο με Tg = -7 o C, το SBR με Tg= -6 o C, κ.α Υαλώδης κατάσταση

23 Α. Σκληρά και εύθραυστα Τ << Τg 4 8 σ γ Β. Σκληρά και στιβαρά Τ < Τg 4 8 σ γ 3

24 Γ. Σκληρά και ανθεκτικά Τ Τg 4 8 σ γ Ελαστομερής κατάσταση Δ. Μαλακά και ασθενή Τ>Tg 4 8 σ γ 4

25 Ε. Μαλακά και ανθεκτικά Τ > Τg, 4 8 σ γ ΣΤ. Ελαστομερή Τ >> Tg, σ γ Σχήμα. Διαγράμματα τάσης-ανηγμένης επιμήκυνσης διαφόρων πολυμερών κάτω από την επίδραση εφελκυστικής τάσης ανάλογα με τη θερμοκρασία υαλώδους μετάβασης του υλικού. 5

26 Σχήμα.3 Δημιουργία λαιμού σε δοκίμιο πολυμερούς με Τ Τg κάτω από την επίδραση σταθερής τάσης. Άλυτα προβλήματα. Γράψτε τις εξισώσεις τάσης παραμόρφωσης για ελαστικά στερεά Ν. Hooke και ιξώδη υγρά Ν. Νεύτωνα, αντίστοιχα. Σύμβολα:. Το φαινόμενο εκείνο, στο οποίο μελετάται η μεταβολή της παραμόρφωσης με τον χρόνο κάτω από την επίδραση σταθερού φορτίου, είναι: α ο ερπυσμός β η χαλάρωση τάσης γ η ιξωδοελαστικότητα δ ο πολυμερισμός 3. Κατά τη δοκιμασία του ερπυσμού, σε ποιο ιξωδοελαστικό μοντέλο προβλέπεται η παρακάτω σχέση μεταβολής της παραμόρφωσης με το χρόνο: γ = σε -exp- η α Μοντέλο Μαxwell ελατήριο ιξωδομειωτήρας σε σειρά β Μοντέλο Kelvin ελατήριο ιξωδομειωτήρας εν παραλλήλω γ σε κανένα από τα παραπάνω 4. Κατά τη δοκιμασία του ερπυσμού, ποιο θεωρητικό ιξωδοελαστικό μοντέλο προβλέπει καλύτερα τη μεταβολή της παραμόρφωσης με το χρόνο που παρατηρείται πειραματικά στην ελαστομερή κατάσταση υλικών σε Τg < T < Tg+3 o C; α Μοντέλο Maxwell β Μοντέλο Kelvin γ Σύνθετο μοντέλο Maxwell-Kelvin 6

27 Παράρτημα δ σε κανένα από τα παραπάνω 5. Σε μια δοκιμασία χαλάρωσης τάσης σύμφωνα με το μοντέλο του Maxwell η μεταβολή της τάσης με το χρόνο δίνεται από τη σχέση: α σ = Ε γ + η dγd β σ = σ + τ γ σ =σ exp-τ 6. Με τι ισούται ο χρόνος χαλάρωσης τάσης τ. Εξηγείστε τα σύμβολα. 7. Ένα πολυμερές μπορεί να προσομοιωθεί από δύο στοιχεία Maxwell συνδεδεμένα εν παραλλήλω, το καθένα με το ίδιο μέτρο ελαστικότητας. Σ ένα πείραμα χαλάρωσης τάσης, η εφαρμοζόμενη τάση μειώθηκε κατά 3.7% της αρχικής της τιμής έπειτα από min. Αν ο χρόνος χαλάρωσης του πρώτου στοιχείου είναι min, υπολογίστε τον χρόνο χαλάρωσης του δεύτερου στοιχείου. 8. Ένα πολυμερές θεωρείται ότι συμπεριφέρεται ιξωδοελαστικά σύμφωνα με το μοντέλο του Maxwell. Όταν εφαρμοσθεί μία τάση 3 Pa για s η παραμόρφωση που υφίσταται το δείγμα είναι νέο μήκος.5 φορές του αρχικού του μήκους. Μετά τα s αφαιρείται η τάση και το νέο μήκος του δοκιμίου είναι μόνο. φορές το αρχικό του. Ποιος είναι ο χρόνος χαλάρωσης του πολυμερούς; 9. Ένα διασταυρωμένο πολυμερές μπορεί να προσομοιωθεί από ένα μοντέλο με τρία στοιχεία Maxwell τοποθετημένα σε παράλληλη διάταξη. Δίνονται για τα 3 στοιχεία Ε = Ε = Ε 3 = 5 Pa και χρόνοι χαλάρωσης τ = s, τ = s και τ 3 = άπειρο. Υπολογίστε α την απαιτούμενη τάση για μία ξαφνική επιμήκυνση = στο διπλάσιο του αρχικού μήκους του δοκιμίου. β Την τάση έπειτα από s στην διπλάσια επιμήκυνση και γ την τάση έπειτα από 5 s στην διπλάσια επιμήκυνση.. Ενα διασταυρωμένο πολυμερές μπορεί να προσομοιωθεί από ένα μοντέλο με τρία στοιχεία Maxwell τοποθετημένα σε παράλληλη διάταξη με ίσα μέτρα ελαστικότητας Ε = Ε = Ε 3 και ιξώδη που δίνονται από τη σχέση: η = 4η = 9η 3. Κάντε ένα διάγραμμα του logσσ ως προς τ και ως προς logτ για τη συνολική συστοιχία, στο διάστημα. < τ <. Με τ το χρόνο χαλάρωσης για το στοιχείο. Επίλυση γραμμικής διαφορικής εξίσωσης πρώτης τάξης: dy dx p x y q x έχει λύση την: y x e C q x e p x dx p x dx dx Βιβλιογραφία 7

28 Fried, J. R. 3. Polymer Science and Technology. USA: Prenice Hall. Rodriguez, F Principles of Polymer Sysems. New York: McGraw Hill. Καραγιαννίδης, Γ., Σιδερίδου, Ε., Αχιλιάς, Δ. Σ., & Μπικιάρης, Δ. 9. Τεχνολογία Πολυμερών. Θεσσαλονίκη: Ζήτη. Παναγιώτου, Κ.. Επιστήμη και Τεχνολογία Πολυμερών. Θεσσαλονίκη: Πήγασος. 8