ΣΤΑΤΙΚΗ 1 ΔΥΝΑΜΕΙΣ. Παράδειγμα 1.1

Transcript

1 ΣΤΤΙΚΗ 1 ΥΝΜΕΙΣ Στατική είναι ο κλάδος της μηχανικής που μελετά την ισορροπία των σωμάτων. Κατά την μελέτη δεχόμαστε ότι τα σώματα δεν παραμορφώνονται από τις δυνάμεις που ασκούνται σ αυτά. Οι παραμορφώσεις είναι αντικείμενο της αντοχής των υλικών. ύναμη είναι η αιτία που προκαλεί την παραμόρφωση των σωμάτων ή μεταβάλλει την κινητική τους κατάσταση. Η δύναμη είναι διανυσματικό μέγεθος και επομένως τα στοιχεία της είναι η διεύθυνση, η φορά, το μέτρο και το σημείο εφαρμογής. Φορέας της δύναμης είναι η ευθεία πάνω στην οποία βρίσκεται η δύναμη. Οταν οι φορείς πολλών δυνάμεων είναι παράλληλες τότε οι δυνάμεις έχουν την ίδια διεύθυνση. Οι μονάδες της δύναμης είναι το kp, το N, και άλλες. υνάμεις ασκούνται : α) Λόγω επαφής β) πό απόσταση ( εξ αιτίας κάποιου πεδίου ) Παράδειγμα 1.1 Στο σώμα ασκούνται δύο δυνάμεις : 1) Η δύναμη G που ασκεί η γη στο σώμα δηλαδή το βάρος ( από μακρυά ) 2) Η δύναμη Ρ που ασκεί το δάπεδο στο σώμα λόγω επαφής A P G Οι δυνάμεις από επαφή είναι πάντοτε κάθετες στις επιφάνειες στις οποίες ασκούνται. Παράδειγμα 1.2 Στο σώμα ασκούνται τρεις δυνάμεις : 1) Η δύναμη G που ασκεί η γη στο σώμα δηλαδή το βάρος ( από μακριά ) 2) Η δύναμη Ρ που ασκεί το σώμα στο σώμα λόγω επαφής, κάθετη στην κοινή εφαπτομένη τους, άρα κατά τη διεύθυνση της διακέντρου τους. 3) Η δύναμη Τ που ασκεί το κεκλιμένο επίπεδο στο σώμα λόγω επαφής φ T G P Στο σώμα ασκούνται 4 δυνάμεις.

2 2 ΞΙΩΜ ΡΣΗΣ - ΝΤΙΡΣΗΣ Όταν ένα σώμα ασκεί μία δύναμη Ρ σε ένα άλλο σώμα τότε και το σώμα ασκεί στο σώμα μία δύναμη Ρ αντίθετη της πρώτης. Παράδειγμα 2.1 Η ράβδος ασκεί στον κόμβο μία δύναμη Ρ( δράση ) Ο κόμβος ασκεί στην ράβδο μία δύναμη Ρ αντίθετη της Ρ ( αντίδραση ). Ρ Ρ Παράδειγμα 2.2 Σώμα κρέμεται από την οροφή με σχοινί Οι δυνάμεις στα άκρα του ίδιου σχοινιού είναι αντίθετες( ίσα μέτρα ). οροφή = η δύναμη που ασκεί η οροφή στο σχοινί = η δύναμη που ασκεί το σχοινί στην οροφή Ρ 3 = η δύναμη που ασκεί το σχοινί στο σώμα Ρ 4 = η δύναμη που ασκεί το σώμα στο σχοινί G = το βάρος του σώματος Ρ 4 Ρ 3 ια τα μέτρα των παραπάνω δυνάμεων ισχύουν οι εξής σχέσεις : G = σαν δράση-αντίδραση = Ρ 3 λόγω της ισορροπίας του σχοινιού Ρ 3 = Ρ 4 σαν δράση-αντίδραση Ρ 3 = G λόγω της ισορροπίας του σώματος Οι δυνάμεις που ασκούν τα σχοινιά έχουν φορέα την ευθεία του σχοινιού. 3 ΙΣΟΡΡΟΠΙ ΥΝΜΕΩΝ ύο ή περισσότερες δυνάμεις που ασκούνται στο ίδιο υλικό σημείο ισορροπούν όταν δεν φέρνουν κανένα αποτέλεσμα στο σημείο αυτό. Η συνθήκη ισορροπίας πολλών ομοεπιπέδων δυνάμεων που ασκούνται στο ίδιο υλικό σημείο ( ή η συνθήκη ισορροπίας υλικού σημείου ) είναι : ΣΡ x = 0 ΣΡ y = 0 Η συνθήκη ισορροπίας πολλών ομοεπιπέδων δυνάμεων που ασκούνται στο ίδιο στερεό σώμα ( ή η συνθήκη ισορροπίας στερεού σώματος ) είναι : ΣΡ x = 0 ΣΡ y = 0 ΣΜ = 0

3 πόλυτα στερεό σώμα είναι κάθε σώμα που δεν παραμορφώνεται όσες δυνάμεις και αν ενεργούν σε αυτό. 4 ΣΥΝΘΕΣΗ ΥΝΜΕΩΝ Σύνθεση δυνάμεων είναι η διεργασία που κάνουμε για να αντικαταστήσουμε δοσμένες δυνάμεις με μία άλλη που να επιφέρει στο σώμα το ίδιο συνολικό αποτέλεσμα με αυτό που επιφέρουν όλες οι άλλες μαζί. Επομένως : Συνισταμένη δύο ή περισσοτέρων δυνάμεων είναι η δύναμη που επιφέρει στο σώμα το ίδιο συνολικό αποτέλεσμα με αυτό που επιφέρουν όλες οι άλλες μαζί. Οι αρχικές δυνάμεις λέγονται συνιστώσες. Παράδειγμα 4.1 Ρ Η Ρ είναι η συνισταμένη των και 5 ΝΛΥΣΗ ΥΝΜΗΣ ΣΕ ΥΟ ΣΥΝΙΣΤΩΣΕΣ νάλυση δύναμης σε δύο ή περισσότερες συνιστώσες είναι η διεργασία που κάνουμε για την εύρεση δύο ή περισσοτέρων δυνάμεων που να έχουν σαν συνισταμένη τους την δοσμένη δύναμη. Παράδειγμα 5.1 Η δύναμη Ρ αναλύεται στις δυνάμεις και y Ρ = Ρ*συνφ = Ρ*ημφ φ x

4 6 ΟΛΙΣΘΗΣΗ ΥΝΜΗΣ ΠΝΩ ΣΤΟΝ ΦΟΡΕ ΤΗΣ ΜΕΤΦΟΡ ΥΝΜΗΣ ΠΡΛΛΗΛ ΠΡΟΣ ΤΟΝ ΦΟΡΕ ΤΗΣ Μπορούμε να γλιστράμε μία δύναμη πάνω στον φορέα της Παράδειγμα 6.1 P P ια να μεταφέρουμε όμως μία δύναμη παράλληλα προς τον φορέα της πρέπει συγχρόνως να προσθέσουμε και μία ροπή ίση με το γινόμενο της δύναμης επί την απόσταση του νέου φορέα από τον παλιό. Παράδειγμα 6.2 Μ = Ρ*d Η δύναμη Ρ στο ισοδυναμεί με το σύστημα : Ρ Ρ Ρ στο και μία ροπή Μ = Ρ*d όπου Ρ = Ρ και Μ = Ρ*d d

5 7 ΣΤΗΡΙΞΗ ΤΩΝ ΣΩΜΤΩΝ Οι τρόποι στήριξης των σωμάτων είναι οι εξής : α) Πάκτωση : ονομάζεται ο τρόπος στήριξης πού προκαλεί τρεις δεσμεύσεις ελευθερίας κινήσεως, δηλαδή δεν επιτρέπει μετακίνηση, περιστροφή και αποχωρισμό τής δοκού. Ρ Τ Μ π β) Σταθερή στήριξη ή άρθρωση : ονομάζεται ο τρόπος στήριξης μίας δοκού που δεν επιτρέπει τη μετακίνηση και τον αποχωρισμό τής δοκού, αλλά επιτρέπει την περιστροφή αυτής. Ρ Τ γ) Κινητή στήριξη ή κύλιση : ονομάζεται ο τρόπος στήριξης μίας δοκού που επιτρέπει και την μετακίνηση και την περιστροφή και τον αποχωρισμό τής δοκού. Ν Ρ Τ Συμπέρασμα : Τα φορτία ( δυνάμεις ) πού επιβάλλονται σε μία δοκό μεταβιβάζονται στις στηρίξεις αυτής, όπου αναπτύσσονται δυνάμεις, οι αντιδράσεις στήριξης, οι οποίες εμποδίζουν την κίνηση ( μετακίνηση, στροφή ) της δοκού και δημιουργούν την κατάσταση ισορροπίας. Σαν αντιδράσεις στήριξης εμφανίζονται: α) Στην πάκτωση : η δύναμη και η ροπή Μ π. Επειδή η δύναμη αναλύεται σε δύο συνιστώσες δυνάμεις x, A y οι άγνωστοι είναι τρεις. β) Στην άρθρωση : η δύναμη που και αυτή αναλύεται σε x, y οπότε έχουμε δύο άγνωστους. γ) Στην κύλιση : η δύναμη πού είναι κάθετη στην επιφάνεια στήριξης άρα έχουμε έναν άγνωστο.

6 8 ΣΧΕΙΣΗ ΥΝΜΗΣ ΥΠΟ ΚΛΙΜΚ Με κλίμακα 1 cm ~ 5 kp να σχεδιάσετε μία δύναμη Ρ = 15 kp ύναμη 5 kp σχεδιάζεται με διάνυσμα μήκους ύναμη 15 kp σχεδιάζεται με διάνυσμα μήκους 1 cm x; cm x = 3 cm Άρα : Ρ = 15 kp ( με μήκος 3 cm ) 9 ΣΥΣΤΗΜΤ ΟΜΟΕΠΙΠΕΩΝ ΥΝΜΕΩΝ α) Συντρέχουσες είναι οι δυνάμεις που οι φορείς τους διέρχονται όλοι από το ίδιο σημείο. β) Παράλληλες είναι οι δυνάμεις που οι φορείς τους είναι παράλληλοι. γ) Τυχαίες 9.1 ΣΥΝΤΡΕΧΟΥΣΕΣ ΥΝΜΕΙΣ Σύνθεση με γραφικό τρόπο Τις κάνουμε διαδοχικές. Η συνισταμένη έχει αρχή την αρχή της πρώτης και τέλος το τέλος της τελευταίας. Ρ 3 Ρ Ρ 3 Το σχήμα που σχηματίζουν οι συνιστώσες,, Ρ 3 λέγεται δυναμοπολύγωνο.

7 9.1.2 Ισορροπία Οι δυνάμεις ισορροπούν όταν το δυναμοπολύγωνό τους είναι κλειστό δηλαδή όταν η αρχή και το τέλος του συμπίπτουν. ( γραφικός τρόπος ελέγχου ) Ρ 3 Ρ 3 ύο δυνάμεις ισορροπούν όταν είναι αντίθετες νάλυση δύναμης Ρ σε δύο συνιστώσες που να βρίσκονται πάνω σε δύο δοσμένους φορείς. ια να είναι δυνατή η ανάλυση πρέπει οι φορείς των συνιστωσών και ο φορέας της συνισταμένης να διέρχονται από το ίδιο σημείο. y P πό το πέρας της Ρ φέρνουμε παράλληλες προς τους δύο άξονες. x y Ρ y x Ρ x Σύνθεση δύο συντρεχουσών δυνάμεων μέτρο Ρ = συνφ Ñ διεύθυνση εφω = ημφ + συνφ φ ω

8 9.1.5 Σύνθεση περισσοτέρων συντρεχουσών δυνάμεων 1ο) Παίρνουμε δύο ορθογώνιους άξονες Οx, Οy 2ο) ναλύουμε κάθε δύναμη σε δύο συνιστώσες μία πάνω στον Οx και μία πάνω στον Οy 3ο) ρίσκουμε την συνισταμένη όλων των προβολών πάνω στον Οx και την συνισταμένη όλων των προβολών πάνω στον Οy. Εστω ΣΡ x και ΣΡ y αντίστοιχα. 4ο) Η συνισταμένη όλων των δυνάμεων άρα θα έχει : μέτρο Ρ = ( ΣΡ x ) 2 + ( ΣP y ) 2 και διεύθυνση : εφω = ΣΡ y ΣΡ x Παράδειγμα = 10 kp = 10 kp Ρ 3 = 5 kp ω = 60 φ = 30 y ω φ x x = συνφ Ρ 3 y = ημφ x = συνφ y y y y = ημφ ω φ x ΣΡ x = συνφ - συνω x x ΣΡ y = ημω + ημφ - Ρ 3 Ρ 3 Και επομένως ΣΡ x = συνφ - συνω = 3,667 kp ΣΡ y = ημω + ημφ - Ρ 3 = 8,667 kp

9 y ΣΡ y Ρ ω x ΣΡ x Τελικά μέτρο : Ρ = ( ΣΡ x ) 2 + ( ΣΡ y ) 2 = 9,40 kp ΣΡ y διεύθυνση : εφω = = 2,37 άρα ω = 67 ο ΣΡ x όπου ω = η γωνία που σχηματίζει η συνισταμένη Ρ με τον άξονα Οχ. Παρατηρήσεις : α) Επιλέγουμε κατάλληλα τους άξονες έτσι ώστε πάνω σ αυτούς να πέφτουν όσο το δυνατόν περισσότερες δυνάμεις β) Στον χώρο θα χρειασθεί να αναλύσουμε κάθε δύναμη σε τρεις συνιστώσες Ισορροπία πολλών συντρεχουσών δυνάμεων ( ισορροπία υλικού σημείου ) Ένα υλικό σημείο ισορροπεί όταν Ρ = 0 δηλαδή όταν : ΣΡ χ = 0 ΣΡ ψ = 0

10 10 ΥΝΜΕΙΣ ΣΕ ΡΟΥΣ ενικώς εάν σε μία ράβδο ασκούνται δύο δυνάμεις με φορέα την ευθεία της ράβδου τότε υπάρχουν δύο περιπτώσεις : 10.1 ΕΦΕΛΚΥΟΜΕΝΗ ΡΟΣ Η δύναμη Ρ προκαλεί την αντίδραση Ρ ια να ισορροπεί η ράβδος πρέπει Ρ Ρ Ρ = Ρ Οι δύο αυτές δυνάμεις εφελκύουν την ράβδο προσπαθώντας να την επιμηκύνουν. Τότε λέμε ότι η ράβδος καταπονείται σε εφελκυσμό. Στο διπλανό σχήμα, στη ράβδο, εάν Ρ εξετάσουμε την Ρ Ρ Ρ ισορροπία του κόμβου πρέπει να δεχθούμε ότι η ράβδος ασκεί στον κόμβο μία δύναμη Ρ αντίθετη της Ρ ώστε ο κόμβος να ισορροπεί. Το ίδιο ισχύει και για τον κόμβο δηλαδή πάλι πρέπει να δεχθούμε ότι η ράβδος ασκεί στον κόμβο μία δύναμη Ρ αντίθετη της Ρ ώστε και ο κόμβος να ισορροπεί. Τις δυνάμεις Ρ και Ρ τις ασκεί η ράβδος στους κόμβους λόγω της συνοχής των μορίων της δηλαδή επειδή αντιστέκεται το υλικό της σε εφελκυσμό ( αντοχή του υλικού ). Οι δυνάμεις Ρ και Ρ λέγονται εσωτερικές δυνάμεις, αλληλοεξουδετερώνονται και δεν επιδρούν στην ισορροπία της ράβδου αλλά μόνον των κόμβων ΘΛΙΟΜΕΝΗ ΡΟΣ Και εδώ έχουμε εξωτερικές και εσωτερικές δυνάμεις. Οι εξωτερικές δυνάμεις τώρα έχουν φορά προς το εσωτερικό της ράβδου και τείνουν να μειώσουν το μήκος της.τότε λέμε ότι η ράβδος καταπονείται σε θλίψη. Και πάλι εμφανίζονται οι δυνάμεις Ρ και Ρ τις οποίες ασκεί η ράβδος στους κόμβους λόγω της συνοχής των μορίων της δηλαδή επειδή αντιστέκεται το υλικό της σε θλίψη ( αντοχή του υλικού ). Ρ Ρ Ρ Ρ Παράδειγμα 10.1 α) Το βάρος ασκεί μέσω του σχοινιού στον κόμβο μία δύναμη Ρ 3 β) η ράβδος 1 ασκεί στον κόμβο μία δύναμη γ) η ράβδος 2 ασκεί στον κόμβο μία δύναμη Ρ 1 Ρ 3

11 υτές οι δυνάμεις είναι εσωτερικές για τις ράβδους. Η ράβδος 1 εφελκύεται Η ράβδος 2 θλίβεται Παράδειγμα 10.2 Ρ κόμβος ράβδος 2 ράβδος 1 οριζόντιο επίπεδο α) το εξωτερικό φορτίο Ρ ασκείται στον κόμβο β) η ράβδος 1 ασκεί στον κόμβο μία δύναμη, άρα θλίβεται γ) η ράβδος 2 δεν φορτίζεται και επομένως δεν ασκεί δύναμη ( χρειάζεται όμως για την ευστάθεια της κατασκευής. 11 ΡΟΠΗ ΥΝΜΗΣ 11.1 ΣΤΤΙΚΗ ΡΟΠΗ ΥΝΜΗΣ Στατική ροπή δύναμης Ρ ως προς σημείο Ο λέγεται ένα διανυσματικό μέγεθος που έχει : α) ιεύθυνση κάθετη στο επίπεδο που ορίζουν η Ρ και το Ο β) Φορά που καθορίζεται από τον κανόνα της δεξιόστροφης βίδας γ) Μέτρο Μ = Ρ*d όπου d είναι η απόσταση του Ο από τον φορέα της Ρ Η ροπή χαρακτηρίζεται σαν θετική όταν τείνει να περιστρέψει το σώμα σύμφωνα με την φορά περιστροφής των δεικτών του ρολογιού ( - ) Μ O d Ρ

12 11.2 ΣΤΤΙΚΗ ΡΟΠΗ ΥΝΜΗΣ ΩΣ ΠΡΟΣ ΞΟΝ Στατική ροπή δύναμης Ρ ως προς άξονα χ χ λέγεται ένα διανυσματικό μέγεθος που έχει : α) ιεύθυνση τον άξονα περιστροφής β) Φορά που καθορίζεται από τον κανόνα της δεξιόστροφης βίδας γ) Μέτρο Μ = Ρ*d όπου d είναι η απόσταση του Ο από τον φορέα της Ρ Η ροπή χαρακτηρίζεται σαν θετική όταν τείνει να περιστρέψει το σώμα σύμφωνα με την φορά περιστροφής των δεικτών του ρολογιού ( - ) x Μ O d Ρ Η ροπή μετριέται σε kp*cm, N*m, κ.λ.π. x 11.3 ΘΕΩΡΗΜ ΤΩΝ ΡΟΠΩΝ Η ροπή της συνισταμένης πολλών ομοεπιπέδων δυνάμεων ως προς ένα σημείο Ο ή άξονα χ χ είναι ίση με το αλγεβρικό άθροισμα των ροπών των δυνάμεων ως προς το σημείο Ο ή τον άξονα χ χ ηλαδή : Ροπή της Ρ ως προς Ο = Ροπή της ως προς Ο + Ροπή της ως προς Ο + Ροπή της Ρ 3 ως προς Ο Ροπή της Ρ ν ως προς Ο. Ρ 3 Μ = Μ 1 + Μ 2 + Μ Μ ν Ρ ν

13 11.4 ΖΕΥΟΣ ΥΝΜΕΩΝ Ζεύγος δυνάμεων είναι ένα σύστημα δύο παραλλήλων δυνάμεων ίσου μέτρου αλλά αντίθετης φοράς. Το ζεύγος δυνάμεων έχει : α) Συνισταμένη δύναμη ίση με 0 β) Συνισταμένη ροπή διάφορη του μηδενός Μ Ρ = 0 Μ = 0 Ρ d Ρ Η ροπή του ζεύγους είναι σταθερή, ανεξάρτητη της θέσης του κάθετου άξονα. 12 ΠΡΛΛΗΛΕΣ ΥΝΜΕΙΣ ύο παράλληλες δυνάμεις έχουν την ίδια διεύθυνση και είναι δυνατόν να είναι : α) Ομόρροπες β) ντίρροπες 12.1 ΣΥΝΘΕΣΗ ΥΟ ΟΜΟΡΡΟΠΩΝ ΥΝΜΕΩΝ Η συνισταμένη δύο ομορρόπων δυνάμεων έχει μέτρο ίσο με το άθροισμα των μέτρων τους και ίδια φορά με αυτές. Το σημείο εφαρμογής της ( ο φορέας της ) βρίσκεται με εφαρμογή του θεωρήματος των ροπών. A χ 1 O χ 2 B Ρ πόδειξη χ 1 Ροπή Ρ ως προς Ο = Ροπή ως προς Ο - Ροπή ως προς Ο <=> 0 = χ 2 - χ 1 Άρα και ακόμη = Ρ = + χ 2

14 12.2 ΣΥΝΘΕΣΗ ΥΟ ΝΤΙΡΡΟΠΩΝ ΥΝΜΕΩΝ Η συνισταμένη δύο αντιρρόπων δυνάμεων έχει μέτρο ίσο με την διαφορά των μέτρων τους και φορά την φορά της μεγαλύτερης από αυτές. Το σημείο εφαρμογής της ( ο φορέας της ) βρίσκεται με εφαρμογή του θεωρήματος των ροπών. A Ρ B O (+) πόδειξη Ροπή Ρ ως προς Ο = Ροπή ως προς Ο - Ροπή ως προς Ο <=> 0 = χ 1 - χ 2 όπου χ 1 = Ο και χ 2 = Ο Άρα Ρ = Ρ - Ρ = και ακόμη χ 1 χ ΣΥΝΘΕΣΗ ΠΟΛΛΩΝ ΠΡΛΛΗΛΩΝ ΥΝΜΕΩΝ Ομοίως : α) μέτρο Ρ = το αλγεβρικό άθροισμα των μέτρων τους β) η θέση του φορέα της βρίσκεται με το θεώρημα των ροπών 13 ΣΥΝΘΗΚΗ ΙΣΟΡΡΟΠΙΣ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΤΟΣ ΣΡ x = 0 ΣΡ y = 0 ΣΜ = 0 Εναλλακτικά μπορούμε αντί των δύο πρώτων εξισώσεων να πάρουμε δύο αντίστοιχες εξισώσεις με εφαρμογή της ισορροπίας των ροπών ως προς διαφορετικό, κάθε φορά, σημείο.

15 14 ΥΠΟΛΟΙΣΜΟΣ ΝΤΙΡΣΕΩΝ ΣΕ ΕΝ ΣΩΜ ΠΟΥ ΙΣΟΡΡΟΠΕΙ ενικές οδηγίες 1ο) Σχεδιάζουμε το σώμα μαζί με τα στηρίγματά του 2ο) Σχεδιάζουμε τα φορτία του και τις αντιδράσεις που εμφανίζονται στα σημεία στήριξης 3ο) Εφαρμόζουμε τις συνθήκες ισορροπίας και επιλύουμε το σύστημα που προκύπτει. Παράδειγμα 14.1 Ράβδος αβαρής έχει φορτίο Ρ και στηρίζεται με άρθρωση στο ένα άκρο και με σχοινί αβαρές στο άλλο όπως στο σχήμα. Να βρείτε τις δυνάμεις που ασκούν στην ράβδο η άρθρωση και το σχοινί. 1ο) Κάνουμε το σχήμα 2ο) Το σχοινί ασκεί μία δύναμη κατά τον άξονά του Στην άρθρωση δεν εμφανίζεται ροπή αλλά μία δύναμη R άγνωστη η οποία πρέπει να διέρχεται από το σημείο τομής των φορέων των δύο άλλων δυνάμεων l 1 l R Τ φ Ρ ( διότι το άθροισμα των ροπών των δυνάμεων ως προς οποιοδήποτε σημείο, άρα και ως προς το, πρέπει να ισούται με μηδέν αφού το σώμα ισορροπεί ) 3ο) ναλύουμε τις δυνάμεις σε χωριστό σχήμα σε δύο άξονες Οχ και Οψ και εφαρμόζουμε τις συνθήκες ισορροπίας : ΣΡ x = 0 ΣΡ y = 0 ΣΜ = 0 l 1 Ζ R lημφ Τ φ και επιλύουμε το σύστημα l Ρ

16 ναλύουμε την R σε δύο συνιστώσες R x και R y και τις υπολογίζουμε σαν δύο ξεχωριστές άγνωστες δυνάμεις. φού τις βρούμε, η άγνωστη δύναμη R προσδιορίζεται ως εξής : R = R x 2 + R y 2 R εφω = R y R y ω R x R x 100 ΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΤΙΚΗΣ 101 Να σχεδιάσετε και να υπολογίσετε τις δυνάμεις που ασκούνται στα σώματα και στους κόμβους διατυπώνοντας για κάθε δύναμη μία πρόταση του τύπου : F = η δύναμη που ασκεί το σώμα τάδε στο σώμα τάδε α) β) γ) δ) ε) ς)

17 102 Να βρείτε την συνισταμένη των δυνάμεων : y = 15 kp = 10 kp Ρ 3 = 12 kp Ρ 4 = 8 kp Ρ 3 φ = 40 ο ω = 30 ο ω φ x Ρ Να βρείτε την ολική ροπή που τείνει να στρέψει τον τροχό : α) Ο = 20 kp φ=30 R= 5 cm = 30 kp β) = 12 kp = 8 kp Μ μέσο της Ο O R = 10 cm P 3 = 10 kp

18 104 Να βρείτε τις δυνάμεις που ασκούνται στην αλυσίδα. άρος G = 500 kp ράβδοι ω = 60 ω = 60 αλυσίδα 105 Να υπολογίσετε : α) τη δύναμη που ασκεί το λείο κεκλιμένο επίπεδο στο σώμα καθώς και β) τη δύναμη που ασκεί το νήμα στο σώμα.ίνονται : γωνία φ = 30 μοίρες, γωνία θ = 60 μοίρες m = 10 kg και g = 10 m/sec 2. φ θ 106 Να υπολογίσετε : α) τη δύναμη που επίτονος ασκεί ο επίτονος στον αβαρή στύλο, εάν η δύναμη από το καλώδιο είναι Ρ = 3*10 4 kp και η δύναμη που ασκεί ο στύλος στον κόμβο ( αντίθετη με τη δύναμη που ασκεί ο κόμβος στο στύλο ) είναι R = 4*10 4 kp β) τη γωνία φ που σχηματίζει ο επίτονος με το οριζόντιο έδαφος. Να θεωρήσετε ότι η κατασκευή ενός στύλου φ γίνεται με την προϋπόθεση ότι αυτός θα δέχεται δύναμη πάνω στον κατά μήκος άξονά του, δηλαδή θα καταπονείται σε κεντρική θλίψη. Ñ στύλος

19 107 Να υπολογίσετε τη δύναμη που ασκεί ο άνθρωπος καθώς και τη δύναμη που δέχεται η οριζόντια δοκός του ικριώματος, για να ανυψώσει σιγά-σιγά το βάρος G = 30 kp με τη βοήθεια της ακίνητης τροχαλίας. G 108 Να υπολογίσετε τις αντιδράσεις που εμφανίζονται στα στηρίγματα της δοκού, βάρους G = 1000 kp, μήκους l = 100 cm, η οποία στηρίζεται με άρθρωση στο και με απλή επαφή στο. Το βάρος Ρ είναι ίσο προς 2000 kp. Το μήκος είναι ίσο με 60 cm. A P B 109 Να βρείτε τις αντιδράσεις που ασκούνται στην ράβδο, η οποία έχει μήκος 100 cm, είναι αβαρής, στηρίζεται με άρθρωση στο και με κύλιση στο και φορτίζεται όπως στο σχήμα. ίνονται τα μήκη = 20 cm, = 30 cm και Ε = 40 cm. P 1 = 10 kp P 2 = 20 kp P 3 = 15 kp Ε Λύση 1 ον ) Κάνουμε ξανά το σχήμα και βάζουμε και τις δυνάμεις που ασκούνται στη ράβδο από τα στηρίγματα και. A P 1 = 10 kp P 2 = 20 kp P 3 = 15 kp B ( + ) Ε

20 2 ον ) Εφαρμόζουμε τις συνθήκες ισορροπίας : Θεωρούμε ότι όλες οι δυνάμεις βρίσκονται πάνω στον άξονα των Υ. Η φορά κάθε δύναμης λαμβάνεται θετική όταν είναι προς τα πάνω. ια τις ροπές παίρνουμε σαν θετική την φορά που είναι σύμφωνη με την φορά περιστροφής των δεικτών του ρολογιού. ΣP y = 0 => A - P - P -P + B = 0 ( 1 ) ΣΜ = 0 => 0 + P 1 * + P 2 * + P 3 *Ε - * = 0 ( 2 ) Τελικά + = 45 kp ( 1 ) B*100 cm = 2550 kp*cm ( 2 ) πό όπου A = 19,5 kp B = 25,5 kp Σημείωση : Στην άρθρωση αντιδρά γενικά μια πλάγια δύναμη. Όμως τώρα που όλα τα φορτία είναι κατακόρυφα και η αντίδραση θα είναι κατακόρυφη. 110 Να βρείτε τις αντιδράσεις που ασκούνται στον πρόβολο, ο οποίος έχει μήκος 100 cm, είναι αβαρής, στηρίζεται με πάκτωση στο και φορτίζεται όπως στο σχήμα. ίνονται τα μήκη = 20 cm, = 30 cm και Ε = 40 cm. P 1 = 10 kp P 2 = 20 kp P 3 = 15 kp Ε Λύση 1 ον ) Κάνουμε ξανά το σχήμα και βάζουμε και τις αντιδράσεις που ασκούνται στη ράβδο από την πάκτωση, δηλαδή μία δύναμη και μία ροπή Μ Π ( ροπή πάκτωσης ) A P 1 = 10 kp P 2 = 20 kp P 3 = 15 kp Μ Π ( + ) Ε

21 2 ον ) Εφαρμόζουμε τις συνθήκες ισορροπίας : Θεωρούμε ότι όλες οι δυνάμεις βρίσκονται πάνω στον άξονα των Υ.Η φορά κάθε δύναμης λαμβάνεται θετική όταν είναι προς τα πάνω. ια τις ροπές παίρνουμε σαν θετική την φορά που είναι σύμφωνη με την φορά περιστροφής των δεικτών του ρολογιού. ΣP y = 0 => A - P 1 - P 2 -P 3 = 0 ( 1 ) ΣΜ = 0 => 0 - Μ Π + P 1 * + P 2 * + P 3 *Ε = 0 ( 2 ) Τελικά A = 45 kp Μ Π = 2550 kp*cm Σημείωση : Στην πάκτωση αντιδρά γενικά μια πλάγια δύναμη. Όμως τώρα που όλα τα φορτία είναι κατακόρυφα και η αντίδραση θα είναι κατακόρυφη. 111 Να βρείτε τις αντιδράσεις που ασκούνται στην ράβδο, η οποία έχει μήκος 100 cm, είναι αβαρής, στηρίζεται με άρθρωση στο και με κύλιση στο και φορτίζεται όπως στο σχήμα. ίνονται τα μήκη = 20 cm, = 30 cm και Ε = 40 cm και φ = 30 ο. P 1 = 10 kp P 2 = 20 kp P 3 = 16kp φ Ε Λύση 1 ον ) Κάνουμε ξανά το σχήμα και βάζουμε και τις δυνάμεις που ασκούνται στη ράβδο από τα στηρίγματα και. A A y P 1 = 10 kp P 2 = 20 kp P 3 = 16 kp P 3x B A x P 3y φ Ε ( + ) 2 ον ) Εφαρμόζουμε τις συνθήκες ισορροπίας :

22 Θεωρούμε ότι οι δυνάμεις, βρίσκονται πάνω στον άξονα των Υ. Ειδικά η πλάγια δύναμη P 3 αναλύεται σε Ρ 3x και Ρ 3y. Η φορά κάθε δύναμης στον y λαμβάνεται θετική όταν είναι προς τα πάνω. Η φορά κάθε δύναμης στον x λαμβάνεται θετική όταν είναι προς τα δεξιά. ια τις ροπές παίρνουμε σαν θετική την φορά που είναι σύμφωνη με την φορά περιστροφής των δεικτών του ρολογιού. ΣP x = 0 => -Ax + P 3x = 0 ( 1 ) ΣP y = 0 => ΣΜ = 0 => A y - P - P -P + B = 0 ( 2 ) 1 2 3y 0 + P 1 * + P 2 * + P 3y *Ε - * = 0 ( 3 ) όπου P 3x = P 3 *συνφ = 16*0,866 = 13,856 kp P 3y = P 3 *ημφ = 16*0,5 = 8 kp Τελικά A x = 13,856 kp A y = 18,8 kp B = 19,2 kp και = 2 2 x + A y = 23,354 kp 112 Να σχεδιάσετε και να υπολογίσετε τις δυνάμεις που ασκούνται στoν κόμβο διατυπώνοντας για κάθε μια μία πρόταση του τύπου : F = η δύναμη που ασκεί το σώμα τάδε στο κόμβο Τα και είναι νήματα που στηρίζονται στην οροφή G=500 kp 113 Εάν αυξάνουμε προοδευτικά την δύναμη F που εφαρμόζεται μέσω του νήματος στο κέντρο του κύκλου να βρείτε ποιο νήμα θα κοπεί πρώτο στο διπλανό σχήμα ( τα δύο νήματα είναι όμοια ). K F A ω

23 114 Τροχός βάρους G = 2 kp ισορροπεί όπως στο σχήμα. Να βρείτε όλες τις δυνάμεις που ασκούνται στον τροχό αυτό. Το νήμα είναι οριζόντιο φ = 60 μοίρες. φ 115 Κύλινδρος βάρους G = 50 kp και ακτίνας R = 50 cm ισορροπεί όπως στο σχήμα Εάν το οριζόντιο σχοινί ασκεί δύναμη F = 37,5 kp να βρείτε την δύναμη Τ που ασκεί το δάπεδο στον κύλινδρο. ίνεται το ύψος της προεξοχής h = 10 cm. δύναμη F h κύλινδρος 116 Να σχεδιάσετε και να υπολογίσετε τις δυνάμεις που ασκούνται στη ράβδο διατυπώνοντας για κάθε δύναμη μια πρόταση του τύπου : F = η δύναμη που ασκεί το σώμα τάδε στη ράβδο Η ράβδος στηρίζεται με άρθρωση στο και με το νήμα στο και θεωρείται αβαρής και έχει μήκος = 100 cm P = 100 kp

24 117 Να σχεδιάσετε και να υπολογίσετε τις δυνάμεις που ασκούνται στη ράβδο διατυπώνοντας για κάθε μια μία πρόταση του τύπου : F = η δύναμη που ασκεί το σώμα τάδε στη ράβδο Η ράβδος στηρίζεται με άρθρωση στο και με το νήμα στο και έχει βάρος G = 500 kp και μήκος = 100 cm P = 100 kp 118 Να σχεδιάσετε και να υπολογίσετε τις δυνάμεις που ασκούνται στη ράβδο διατυπώνοντας για κάθε δύναμη μια πρόταση του τύπου : F = η δύναμη που ασκεί το σώμα τάδε στη ράβδο Η ράβδος στηρίζεται με άρθρωση στο και με νήμα στο και έχει βάρος G = 500 kp. ίνονται : = 100 cm, = 20 cm P 1 = 200 kp P 2 = 100 kp

25 119 Να βρείτε τις αντιδράσεις που ασκούνται στην ράβδο η οποία έχει μήκος 100 cm, είναι αβαρής και φορτίζεται όπως στο σχήμα. ίνονται τα μήκη = 20 cm, = 30 cm, Ε = 40 cm P 1 = 20 kp P 2 = 40 kp P 3 = 30 kp Ε 120 Να βρείτε τις αντιδράσεις που ασκούνται στον πρόβολο ο οποίος έχει μήκος 100 cm, είναι αβαρής και φορτίζεται όπως στο σχήμα. ίνονται : = 20 cm, = 30 cm, Ε = 40 cm. P 1 = 20 kp P 2 = 40 kp P 3 = 30 kp Ε 121 Να βρείτε τις αντιδράσεις που ασκούνται στην ράβδο η οποία έχει μήκος 100 cm, βάρος G = 1000 kp και φορτίζεται όπως στο σχήμα. ίνονται τα μήκη = 20 cm, = 30 cm, Ε = 40 cm. P 1 = 20 kp P 2 = 40 kp P 3 = 30 kp Ε

26 122 Να βρείτε τις αντιδράσεις που ασκούνται στον πρόβολο ο οποίος έχει μήκος 100 cm, βάρος G = 1000 kp και φορτίζεται όπως στο σχήμα. = 20 cm, = 30 cm, Ε = 40 cm. P 1 = 20 kp P 2 = 40 kp P 3 = 30 kp Ε 123 Να βρείτε τις αντιδράσεις που ασκούνται στην ράβδο η οποία έχει μήκος 100 cm, βάρος G = 1000 kp και φορτίζεται όπως στο σχήμα. ίνονται τα μήκη = 20 cm, = 30 cm, Ε = 40 cm. P 4 = 25 kp P 2 = 40 kp P 3 = 30 kp P 1 = 20 kp P 5 = 10 kp ö = 60 ï φ = 30 0 Ε