ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΛΟΓΙΚΗ Α Ψ Α Ψ viii) 9. Α Ψ ix) Α Ψ xi) Α Ψ xii) 0 0. Α Ψ xiii) Α Ψ xiv) Α Ψ xv)

Transcript

1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΛΟΓΙΚΗ 1. Σε κάθε μία από τις παρακάτω προτάσεις να κυκλώσετε το γράμμα Α, αν θεωρείτε ότι ο ισχυρισμός που διατυπώνετε είναι αληθής, ενώ αν θεωρείτε ότι είναι ψευδής να κυκλώσετε το Ψ. Οι α,β,γ είναι πραγματικοί αριθμοί. i) 4 3 ii) 1 1 iii) 16 4 iv) v) vi) ή vii) 3 9 viii) 9 3 ix) xi) xii) xiii) xiv) xv). Σε καθεμία από τις επόμενες περιπτώσεις να εξετάσετε ποια από τις συνεπαγωγές Ρ=> Q ή Q => Ρ ισχύει. α) Ρ: «Ο Θοδωρής μένει στην Αθήνα.» Q: «Ο Θοδωρής μένει στην Ελλάδα.» β) Ρ: «Η Ειρήνη είναι Ευρωπαία.» Q: «Η Ειρήνη είναι Ελληνίδα.» γ) Ρ: «Ο Νίκος έχει τελειώσει το Γυμνάσιο.» Q: «Ο Νίκος έχει τελειώσει το Λύκειο.» δ) Ρ: «Στην Ελλάδα ο μήνας είναι Ιούλιος.» Q: «Στην Ελλάδα είναι καλοκαίρι.» ε) Ρ: «Ο Βασίλης και ο Κώστας έχουν γενέθλια την ίδια μέρα.» Q: «Ο Βασίλης και ο Κώστας είναι δίδυμοι.» στ) Ρ: «Η Άννα είναι 30 ετών.» Q: «Η Αννα είναι ενήλικη.» 3. Να εξετάσετε ποιοι από τους παρακάτω ισχυρισμούς είναι προτάσεις και καθέναν από αυτούς να τον χαρακτηρίσετε ως αληθή ή ψευδή α) 5+5=10 β) 7+4=1 γ) Ο αριθμός x είναι ακέραιος δ) Ο αριθμός 3 είναι ακέραιος ε) Ο αριθμός - είναι φυσικός στ) x = 4 4. κάθε πραγματικό αριθμό α ή ως ψευδή (Ψ) σε κάθε άλλη περίπτωση. α) α = 5 α = 5 β) α = 4 α = 16 γ) α = 36 α = 6 δ) α = 100 (α = 10 ή α = - 10) ε) α 9 α 3 στ) α 7 α 49 1

2 5. Σε καθεμία από τις παρακάτω περιπτώσεις να επιλέξετε τη σωστή απάντηση : α) Ο ισχυρισμός (x-1)(y+)=0 είναι ισοδύναμος με τον ισχυρισμό : Α: x=1 και y=- Β: x 1 και y - Γ: x=1 ή y=- Δ: x 1 ή y - β) Ο ισχυρισμός x(y-3) 0 είναι ισοδύναμος με τον ισχυρισμό : Α: x=0 και y=3 Β: x 0 και y 3 Γ: x=0 ή y=3 Δ: x 0 ή y 3 6. Να αντιστοιχίσετε κάθε ισχυρισμό της στήλης Α με τον ισοδύναμο του στη στήλη Β. Στήλη Α Στήλη Β x 1 x 0 Α x 1 x 1 x 0 3 x 4 και Β x x x 0 Γ x 1 ή x 4 x 4 Δ x 1 x 5 x 4 και x 0 Ε x ή x 7. Θεωρούμε τους ισχυρισμούς P : (x-1) (x-)=0 και Q: (x-) (x-3)=0.να αντιστοιχίσετε κάθε ισχυρισμό της στήλης Α με τον ισοδύναμο του στη στήλη Β. Στήλη Α Στήλη Β 1 P Α x= Q Β x=1 και x= 3 P ή Q Γ x 1 ή x 4 P και Q Δ x ή x 3 E x και x 3 8. Δίνονται οι ισχυρισμοί Α : x 9, B: ( x 3) ( x 1) 0 και Γ: x>0.να αντιστοιχίσετε κάθε ισχυρισμό της στήλης Α με τον ισοδύναμο του στη στήλη Β. Στήλη Α Στήλη Β 1 Α και Γ α x=1 Β και Γ β x=3 3 Α και Β γ x 3 ή x 3 4 Α ή Β δ x 3 ή x 1 ε x=-3 στ x 3 και x 1 και x=3 ζ x 3 ή x 1 ή x=3 9. Θεωρούμε τους ισχυρισμούς :P : (x+1) x=0 και Q: x (x-1)=0 Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση : α) Ο ισχυρισμός P και Q είναι ισοδύναμος με : Α: x=-1 Β: x=0 Γ: x=1 Δ:x=-1 ή x=0 ή x=1 β) Ο ισχυρισμός P ή Q είναι ισοδύναμος με :

3 Α: x=-1 Β: x=0 Γ: x=1 Δ:x=-1 ή x=0 ή x=1 10. Θεωρούμε τους ισχυρισμούς :P : (x+1) x=0 και Q: x (x-1)=0 Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση : α) Ο ισχυρισμός P και Q είναι ισοδύναμος με : Α: x=-1 Β: x=0 Γ: x=1 Δ:x=-1 ή x=0 ή x=1 β) Ο ισχυρισμός P ή Q είναι ισοδύναμος με : Α: x=-1 Β: x=0 Γ: x=1 Δ:x=-1 ή x=0 ή x=1 11. κάθε πραγματικό αριθμό α ή ως ψευδή (Ψ) σε κάθε άλλη περίπτωση. α) α > 0 β) α > α γ) α + > α δ) α α ε) α > 3 α > 9 στ) α < 3 α < 9 ζ) α > 9 α > 3 η) α < 9 α < 3 1. όλους τους πραγματικούς αριθμούς α, β και γ ή ως ψευδή (Ψ) σε κάθε άλλη περίπτωση. α) (α = και β = 4) α + β = 6 β) (α = 3 και β = 5) α β = 15 γ) α β = 1 (α = 3 και β = 7) δ) α < β α < β ε) (α < και β < 4) α β < 8 στ) α < β α γ < β γ 13. κάθε πραγματικό αριθμό x ή ως ψευδή (Ψ) σε κάθε άλλη περίπτωση. α) x = 6 x = 9 β) x = 16 3x = 1 γ) x = 6 x + 3 = 6 δ) 3x = 6 x 3 = Έστω x πραγματικός αριθμός. Να χαρακτηρίσετε καθέναν από τους παρακάτω ισχυρισμούς ως αληθή (Α), αν αληθεύει για κάθε πραγματικό αριθμό x ή ως ψευδή (Ψ) σε κάθε άλλη περίπτωση. α) x >5 x>3 β) x >1 x γ) 1<x<3 x = δ) x<5 x>0 15. Έστω ν φυσικός αριθμός.να χαρακτηρίσετε καθέναν από τους παρακάτω ισχυρισμούς ως αληθή (Α), αν αληθεύει για κάθε φυσικό αριθμό ν ή ως ψευδή (Ψ) σε κάθε άλλη περίπτωση. α) ν >6 ν β) ν >4 ν 5 γ) <ν<4 ν =3 δ) 3<ν<6 4 ν Έστω ν φυσικός αριθμός και οι ισχυρισμοί : Ρ: ν 1000, Q : ν < 1000 και R : ο αριθμός ν είναι τριψήφιος. κάθε φυσικό αριθμό ν ή ως ψευδή (Ψ) σε κάθε άλλη περίπτωση. α) P R β) Q R γ) R P δ) R Q ε) (Pκαι Q) R 17. Οι αριθμοί α και β είναι φυσικοί με β 0. Να χαρακτηρίσετε καθέναν από τους παρακάτω ισχυρισμούς ως αληθή (Α), αν αληθεύει για όλους τους φυσικούς αριθμούς α και β ή ως ψευδή (Ψ) σε κάθε άλλη περίπτωση. 3

4 α) Ο αριθμός α +β είναι φυσικός β) Ο αριθμός α-β είναι φυσικός γ) Ο αριθμός α β είναι φυσικός δ) Ο αριθμός α :β είναι φυσικός 18. Έστω α και β δύο περιττοί αριθμοί. Να χαρακτηρίσετε καθέναν από τους παρακάτω ισχυρισμούς ως αληθή (Α), αν αληθεύει για όλους τους περιττούς αριθμούς α και β ή ως ψευδή (Ψ) σε κάθε άλλη περίπτωση. α) Ο αριθμός α +β είναι άρτιος β) Ο αριθμός α-β είναι περιττός γ) Ο αριθμός α β είναι άρτιος δ) Ο αριθμός α+ είναι περιττός 1 ε) Ο αριθμός είναι ακέραιος 19. Ο αριθμός ν είναι άρτιος. Να χαρακτηρίσετε καθέναν από τους παρακάτω ισχυρισμούς ως αληθή (Α), αν αληθεύει για όλους τους άρτιους αριθμούς ν ή ως ψευδή (Ψ) σε κάθε άλλη περίπτωση. α) Ο αριθμός ν είναι πολλαπλάσιο του β) Ο αριθμός ν+1 είναι περιττός γ) Ο αριθμός ν+10 είναι άρτιος δ) Ο αριθμός ν διαιρείται με το 4 ε) Ο αριθμός ν διαιρείται με το 4 0. Θεωρούμε τους ισχυρισμούς : Κ: Το τελευταίο ψηφίο του ακεραίου x είναι το 0 Λ: Το τελευταίο ψηφίο του ακεραίου x είναι το 5 Μ: Ο ακέραιος x διαιρείται με το 5. όλους τους ακέραιους αριθμούς x ή ως ψευδή (Ψ) σε κάθε άλλη περίπτωση. α)κ Μ β) Λ Μ γ) Μ Κ δ) Μ Λ ε) Μ (Κ ή Λ) 1. Θεωρούμε τους ισχυρισμούς : Κ: Ο ακέραιος x διαιρείται με το Λ: Ο ακέραιος x διαιρείται με το 3 Μ: Ο ακέραιος x διαιρείται με το 6. όλους τους ακέραιους αριθμούς x ή ως ψευδή (Ψ) σε κάθε άλλη περίπτωση. α) Μ Κ β) Μ Λ γ) Κ Μ δ) Λ Μ ε) Μ (Κ ή Λ) στ) Μ (Κ και Λ). Θεωρούμε τους ισχυρισμούς : Κ: Οι αριθμοί α και β είναι θετικοί Λ: α +β>0 Μ: α β >0. όλους τους αριθμούς α και β ή ως ψευδή (Ψ) σε κάθε άλλη περίπτωση. α) Κ Λ β) Μ Κ γ) Μ Λ δ) Κ Μ ε) Λ Μ στ) Λ Κ ζ) Κ (Λ και Μ) η) Κ (Λ ή Μ) 4

5 3. Θεωρούμε τους ισχυρισμούς : Κ: Tο τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο Λ: Tο τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι ορθογώνιο Μ: Το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι ρόμβος Ν : Tο τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι τετράγωνο οποιοδήποτε τετράπλευρο ΑΒΓΔ ή ως ψευδή (Ψ) σε κάθε άλλη περίπτωση. α) Λ Κ β) Κ Μ γ) Ν Μ δ) Λ Ν ε) Κ (Λ ή Μ) στ) Ν (Λ και Μ) 4. Να συμπληρώσετε τα κενά με έναν από τους ισχυρισμούς <<ή>> ή <<και>> ώστε να προκύψουν αληθείς ισχυρισμοί: α) Αν x είναι πραγματικός αριθμός με x 9,τότε x =3 x=-3 β) Αν x είναι πραγματικός αριθμός με x 5,τότε x 5 x - 5 γ) Αν x,y είναι πραγματικοί αριθμοί με x y 0,τότε x =0 y=0 δ) Αν x,y είναι πραγματικοί αριθμοί με x y 0,τότε x 0 y 0 5. Να χαρακτηρίσετε καθεμία από τις παρακάτω προτάσεις σαν αληθή (Α) ή σαν ψευδή (Ψ). α) Για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς α και β ισχύει ότι a ( a )( a ) β) Για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς α και β ισχύει ότι ( a ) γ) Για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς α, β 0 ισχύει ότι δ) Για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς α, β 0 ισχύει ότι 1 6. α)το κλάσμα ορίζεται όταν : (x 1)(x ) Α: x 1 και x - B: x 1 ή x - Γ: x=1 ή x=- Δ: x=1 και x=- 7. Θεωρούμε τους ισχυρισμούς : P: α=β, Q : 3α=3β,S= α+ 3=β+ 3 και α =β. κάθε πραγματικό αριθμό x ή ως ψευδή (Ψ) σε κάθε άλλη περίπτωση. α) P Q β) S P γ) Q S δ) P T ε) T P στ) S T 8. Να εξετάσετε αν οι παρακάτω προτάσεις (συζεύξεις) είναι αληθείς ή ψευδείς i) Ο αριθμός είναι άρτιος και ο 3 είναι περιττός... ii) Το τετράγωνο είναι παραλληλόγραμμο και το άθροισμα των γωνιών του είναι iii) -3 > - και 0 : 4 = Να εξετάσετε αν οι παρακάτω προτάσεις (διαζεύξεις) είναι αληθείς ή ψευδείς i) Ο αριθμός 6 διαιρεί το 36 ή το 49 είναι πολλαπλάσιο του 7.. ii) Ο κύκλος έχει γωνίες ή είναι επίπεδο σχήμα.. iii) Κάθε τραπέζιο είναι παραλληλόγραμμο ή η εξίσωση 3x=6 έχει λύση x= Να αποδώσετε με την μορφή συνεπαγωγής το Πυθαγόρειο θεώρημα 5

6 31. Να αποδώσετε με την μορφή συνεπαγωγής την πρόταση: «Το άθροισμα δύο περιττών αριθμών είναι άρτιος» 3. Να γράψετε τις παρακάτω συνεπαγωγές συμβολικά και να εξετάσετε για ποιες ισχύει και η αντίστροφη.σε όσες δεν ισχύει το αντίστροφο να προσθέστε μια συνθήκη ώστε να γίνουν ισοδυναμίες. i) Αν x=4 τότε x =16 ii) Αν το γινόμενο δύο αριθμών είναι 0, τότε ένας τουλάχιστον από αυτούς είναι 0 iii) Aν το γινόμενο δύο αριθμών δεν είναι 0, τότε και οι δύο είναι διάφοροι του μηδενός iv) Aν 0<x<1 τότε x <1 6