ΗΥ118 Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό Εξάμηνο η Σειρά Ασκήσεων - Λύσεις

Transcript

1 ΗΥ118 Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό Εξάμηνο η Σειρά Ασκήσεων - Λύσεις Άσκηση 3.1 [1 μονάδα] Έστω Α={1,2,3,{1,3},4,{5,6}}. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές και ποιες λάθος; i. {5,6} Α vi. {1,2,3} Α ii. {6} Α vii. {1,2,3,4,5,6} Α iii. {5,6} Α viii. {1,3} Α iv. {6} Α ix. {1,3} Α v. {{5,6}} Α x. {3} Α i. Ψευδής ii. Ψευδής iii. Αληθής iv. Ψευδής v. Αληθής vi. Αληθής vii. Ψευδής viii. Αληθής ix. Αληθής x. Αληθής Άσκηση 3.2 [1.2 μονάδες] Έστω A={1,{4},{2},3,4,5}, B={{{1,4,5,3,1}}}, C={1,{3},2}, D={1,3}, E={1,4,{5},{3}}, F={1,8,{1,2,3,4}}, Υπολογίστε τα σύνολα 1. A C 2. B F 3. D C 4. C E 5. C (D F) 6. A E 1. A C={1} 2. B F= 3. D C={1,2,3,{3}} 4. C E={1,{3}} 5. C (D F)={1,{3},2} 6. {1,4}

2 Άσκηση 3.3 [1.8 μονάδες] Ισχύει ότι αν (A B) (A B) τότε A=B? Αν ναι, αποδείξτε το Υποθέτουμε ότι (A B) (A B) Έστω x A τότε και x A B Εφόσον (A B) (A B) άρα και x A B x A x x B Α Β Αντίστοιχα έστω x Β x A B x A B x A x B x Α Β Α Άρα Α=Β Άσκηση 3.4 [1.5 μονάδες] Το Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών έκανε μια στατιστική σε 40 φοιτητές που πέρασαν το ΗΥ118 για να μελετήσει την αποτελεσματικότητα των μεθόδων του μαθήματος Τα αποτελέσματα που καταγράφηκαν είναι: 23 φοιτητές συμμετείχαν στην πρόοδο 18 φοιτητές έλυναν τις ασκήσεις συστηματικά 31 πήγαιναν συστηματικά στις παραδόσεις 11 συμμετείχαν στην πρόοδο και έλυναν τις ασκήσεις 19 συμμετείχαν στην πρόοδο και παρακολουθούσαν τις παραδόσεις 14 παρακολουθούσαν τις παραδόσεις και έλυναν τις ασκήσεις 37 φοιτητές έκαναν τουλάχιστον ένα από τα 3 (παρακολουθούσαν τις παραδόσεις ή έλυναν τις ασκήσεις ή πήγαν στην πρόοδο) Να υπολογίσετε: α. Πόσοι φοιτητές πήγαν μόνο στον τελικό; β. Πόσοι φοιτητές εκμεταλλεύτηκαν όλες τις δυνατότητες (πρόοδο, ασκήσεις, παραδόσεις) γ. Πόσοι φοιτητές πήγαν μόνο στην πρόοδο και τον τελικό; Έστω: P το σύνολο των φοιτητών που συμμετείχαν στη μελέτη. P =40 P A το σύνολο των φοιτητών που συμμετείχαν στην πρόοδο P A =23 P B το σύνολο των φοιτητών που έλυναν τις ασκήσεις. P B =18 P C το σύνολο των φοιτητών που παρακολουθούσαν τις παραδόσεις. P C =31 Γνωρίζω επίσης ότι P A P B =11, P Α P C =19, P B P C =14 και P A P B P C = 37 α. Οι φοιτητές που πήγαν μόνο στον τελικό ήταν P - P A P B P C =40-37=3 β. P A P B P C = P A + P B + P C - P A P B - P Α P C - P B P C + P A P B P C 37= P A P B P C P A P B P C =9 γ. Έστω το παρακάτω διάγραμμα Venn

3 O ζητούμενος αριθμός είναι ο α που είναι ο πληθικός αριθμός του συνόλου που φαίνεται σκιαγραφημένο. Βλέπουμε ότι P A =α+β+δ+ε=23 P A P B =β+ε=11 P Α P C =δ+ε=19 P A P B P C =ε=9 Από τα παραπάνω προκύπτει ότι α=2 Άσκηση 3.5 [2.0 μονάδες] (α) Αποδείξτε τον κανόνα διαιρετότητας με το 9: Αν το άθροισμα των ψηφίων ενός αριθμού n διαιρείται με το 9 τότε και ο n διαιρείται με το 9. (β) αποδείξτε κατά πόσον ισχύει το αντίστροφο. Απόδειξη Θα αποδείξουμε ότι για κάθε ακέραιο n με x ψηφία που γράφεται ως a x a 3a 2 a 1a 0, εάν 9 (a 0 + a 1+ a 2+ a a x), τότε 9 n. Θα δείξουμε επίσης ότι ισχύει και το αντίστροφο. Πρώτα διαπιστώνουμε ότι n = a 0 + a a a a x 10 x Επίσης, εάν s είναι το άθροισμα των ψηφίων του n, τότε s = a 0 + a 1 + a 2 + a a x. Επομένως, n - s = (a 0 - a 0) + (a a 1) + (a a 2) (a x 10 x a x) = a 1(10-1) + a 2(10 2-1) a x(10 x - 1). Εάν θέσουμε b k = 10 k - 1, τότε b k = (το 9 εμφανίζεται k φορές)

4 και b k =9(1 1). Επομένως, n - s = a 1(b 1)+ a 2(b 2) a x (b x) Όμως όλοι οι αριθμοί b k διαιρούνται με το 9, και επομένως και οι αριθμοί a k b k διαιρούνται με το 9. Επομένως το άθροισμα όλων των a k b k (που είναι ίσο με n-s) διαιρείται με το 9. Ευθύ: Εφόσον ο s διαιρείται με το 9, και εφόσον το n-s διαιρείται με το 9, προκύπτει ότι και το n διαιρείται με το 9. Αντίστροφο: Εφόσον ο n διαιρείται με το 9, και εφόσον το n-s διαιρείται με το 9, προκύπτει ότι και το s διαιρείται με το 9. Το θεώρημα της διαιρετότητας με το 9 λοιπόν μπορεί να διαμορφωθεί ως: Ένας αριθμός διαιρείται με το 9 αν και μόνο αν το άθροισμα των ψηφίων του διαιρείται με το 9. Άσκηση 3.6 [2.5 μονάδες] 1. Αποδείξτε με έμμεση απόδειξη ότι αν x 3 άρρητος τότε και x άρρητος 2. Αποδείξτε με τη μέθοδο της απαγωγής σε άτοπο ότι για κάθε x,y N αν x+y 100 τότε είτε x 50 είτε y Αποδείξτε με ευθεία απόδειξη ότι το άθροισμα δύο διαδοχικών ακεραίων είναι περιττός αριθμός 4. Αποδείξτε ότι αν ένας ακέραιος n δεν διαιρείται ακριβώς με το 5 τότε η διαίρεση n 2 /5 αφήνει υπόλοιπο 1 ή 4. Ποια αποδεικτική μέθοδο χρησιμοποιήσατε? 5. Έστω κύκλος με κέντρο Ο και ΟΑ μια ακτίνα του κύκλου. Έστω ε ευθεία που εφαπτομένη του κύκλου στο σημείο Α. Αποδείξτε ότι η ε είναι κάθετη στην ΟΑ. Ποια αποδεικτική μέθοδο χρησιμοποιήσατε? 1. Έστω ότι ο x είναι ρητός Τότε x= για κάποια α,β Z, και β 0 Άρα x 3 =. Αλλά α3 και β 3 Z οπότε και ο x 3 είναι ρητός. Οπότε αν ο x 3 είναι άρρητος τότε και ο x είναι άρρητος 2. Έστω ότι x+y 100 και ότι δεν ισχύει ότι είτε x 50 είτε y 50. Τότε x<50 και y<50. Προσθέτοντας τις δύο ανισότητες κατά μέλη προκύπτει ότι x+y<100. Άτοπο 3. Έστω m,n δύο διαδοχικοί ακέραιοι και υποθέτουμε ότι ο n είναι ο μεγαλύτερος από τους δύο. Εφόσον είναι διαδοχικοί θα ισχύει n-m=1 n=m+1 n+m=(m+1)+m=2m+1 που είναι περιττός αριθμός 4. Εφόσον ο n δεν διαιρείται με το 5 η διαιρέση n/5 θα αφήνει υπόλοιπο 1,2,3,ή 4 a. Περίπτωση 1: Αφήνει υπόλοιπο 1. Υπάρχει δηλαδή κάποιος k Z: n=5k+1 n 2 =(5k+1) 2 =25k 2 +10k+1=5(5k 2 +2k)+1 Άρα ο n 2 διαιρούμενος με το 5 αφήνει υπόλοιπο 1 b. Περίπτωση 2: Αφήνει υπόλοιπο 2. Υπάρχει δηλαδή κάποιος k Z: n=5k+2 n 2 =(5k+2) 2 =25k 2 +20k+4=5(5k 2 +4k)+4. Άρα ο n 2 διαιρούμενος με το 5 αφήνει υπόλοιπο 4

5 c. Περίπτωση 3: Αφήνει υπόλοιπο 3. Υπάρχει δηλαδή κάποιος k Z: n=5k+3 n 2 =(5k+3) 2 =25k 2 +30k+9=5(5k 2 +6k+1)+4. Άρα ο n 2 διαιρούμενος με το 5 αφήνει πάλι υπόλοιπο 4 d. Περίπτωση 4: Αφήνει υπόλοιπο 4. Υπάρχει δηλαδή κάποιος k Z: n=5k+4 n 2 =(5k+2) 2 =25k 2 +40k+16=5(5k 2 +8k+3)+1. Άρα ο n 2 διαιρούμενος με το 5 αφήνει πάλι υπόλοιπο 1 e. (Απόδειξη με περιπτώσεις) 5. Έστω ότι η ΟΑ δεν είναι κάθετη στην ε. Από το κέντρο του κύκλου φέρω την ΟΒ κάθετη στην ε Εφόσον η ε είναι εφαπτόμενη του κύκλου στο Α, το Β υποχρεωτικά θα βρίσκεται εκτός του κύκλου (διαφορετικά θα είχαν παραπάνω από ένα κοινό σημείο). Άρα ΟΒ > ρ Το τρίγωνο ΟΑΒ είναι ορθογώνιο τρίγωνο με υποτείνουσα την ΟΑ. Άρα ΟΑ=ρ>ΟΒ (σε τρίγωνο απέναντι από άνισες γωνίες βρίσκονται ομοίως άνισες πλευρές). Άτοπο (Απαγωγή σε άτοπο)