ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ

Transcript

1 ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΔΟΜΟΣΤΑΤΙΚΗΣ Εργαστήριο Μεταλλικών Κατασκευών Διπλωματική Εργασία «ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΚΑΘΟΛΙΚΟΥ ΛΥΓΙΣΜΟΥ ΥΠΟΓΕΙΩΝ ΜΕΤΑΛΛΙΚΩΝ ΑΓΩΓΩΝ» Παύλος Καλφαντής Επιβλέποντες: Χάρης Γαντές, Καθηγητής Ε.Μ.Π. Βασίλης Μελισσιανός, υπ. Διδάκτορας Ε.Μ.Π. ΑΘΗΝΑ, ΙΟΥΛΙΟΣ 2014 ΕΜΚ ΔΕ 2014/14

2 ii Παύλος Π. Καλφαντής (2014) Διερεύνηση καθολικού λυγισμού υπόγειων μεταλλικών αγωγών Διπλωματική Εργασία ΕΜΚ Ε 2014/14 Εργαστήριο Μεταλλικών Κατασκευών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο, Αθήνα Pavlos P. Kalfantis (2014) An investigation into upheaval buckling of buried steel pipelines Diploma Thesis ΕΜΚ Ε 2014/14 Institute of Steel Structures, National Technical University of Athens, Greece Διπλωματική Εργασία Καλφαντή Παύλου Ε.Μ.Π. 2014

3 Διερεύνηση καθολικού λυγισμού υπόγειων μεταλλικών αγωγών iii

4 iv Copyright Pavlos P. Kalfantis, 2014 Με επιφύλαξη παντός δικαιώματος. All rights reserved. Απαγορεύεται η αντιγραφή, αποθήκευση και διανομή της παρούσας εργασίας, εξ ολοκλήρου ή τμήματος αυτής, για εμπορικό σκοπό. Επιτρέπεται η ανατύπωση, αποθήκευση και διανομή για σκοπό μη κερδοσκοπικό, εκπαιδευτικής η ερευνητικής φύσης, υπό την προϋπόθεση να αναφέρεται η πηγή προέλευσης και να διατηρείται το παρόν μήνυμα. Ερωτήματα που αφορούν τη χρήση της εργασίας για κερδοσκοπικό σκοπό πρέπει να απευθύνονται προς τον συγγραφέα. No part of these pages, either text or image may be used for any purpose other than personal use. Therefore, reproduction, modification, storage in a retrieval system or retransmission, in any forms or by any mean, electronic, mechanical or otherwise, for reasons other than personal use, is strictly prohibited without prion written permission. Διπλωματική Εργασία Καλφαντή Παύλου Ε.Μ.Π. 2014

5 v ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΔΟΜΟΣΤΑΤΙΚΗΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΕΤΑΛΛΙΚΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ Διπλωματική Εργασία ΕΜΚ ΔΕ 2014/14 ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΚΑΘΟΛΙΚΟΥ ΛΥΓΙΣΜΟΥ ΥΠΟΓΕΙΩΝ ΜΕΤΑΛΛΙΚΩΝ ΑΓΩΓΩΝ Παύλος Καλφαντής Επιβλέποντες: Χάρης Γαντές, Καθηγητής Ε.Μ.Π. Βασίλης Μελισσιανός, Υπ. Διδάκτορας Ε.Μ.Π. Περίληψη Στην παρούσα διπλωματική εργασία διερευνάται το φαινόμενο του καθολικού λυγισμού υπόγειων μεταλλικών αγωγών ως αποτέλεσμα της ενεργοποίησης σεισμικών ρηγμάτων από τα οποία διέρχονται. Στο πρώτο κεφάλαιο εισάγεται το πρόβλημα των υπόγειων μεταλλικών αγωγών διερχόμενων από σεισμικά ρήγματα και παρουσιάζεται μία συνοπτική βιβλιογραφική ανασκόπηση του φαινομένου του καθολικού λυγισμού αγωγών. Στο δεύτερο κεφάλαιο μελετάται η συμπεριφορά ελαστικής δοκού επί ελαστικού εδάφους ως μία πρώτη προσέγγιση για την προσομοίωση του καθολικού λυγισμού υπόγειων αγωγών. Εξετάζεται η λυγισμική συμπεριφορά αμφιέρειστων και αμφίπακτων δοκών πεπερασμένου μήκους επί εύκαμπτης θεμελίωσης υπό σταθερή αξονική θλιπτική δύναμη. Εξάγονται αναλυτικές σχέσεις περιγραφής του φαινομένου και ειδικότερα οι ιδιομορφές λυγισμού, οι τιμές των κρίσιμων φορτίων και τα όρια μετάθεσης των ιδιομορφών συναρτήσει της ελαστικής εδαφικής δυσκαμψίας. Ακολούθως τα αναλυτικά αποτελέσματα συγκρίνονται με αποτελέσματα αριθμητικών αναλύσεων. Στο τρίτο κεφάλαιο ερευνάται αριθμητικά η μεταλυγισμική απόκριση της δοκού μέσω μη-γραμμικών αναλύσεων γεωμετρίας με αρχικές ατέλειες. Στο τέταρτο κεφάλαιο παρουσιάζεται η προσομοίωση του αγωγού που υπόκειται σε ενεργοποίηση σεισμικού ρήγματος, μέσω δύο παραδειγμάτων, ενός κανονικού και ενός ανάστροφου ρήγματος. Η αλληλεπίδραση αγωγού περιβάλλοντος εδάφους προσομοιώνεται με μη-γραμμικά ελατήρια σε τρεις διευθύνσεις και εξάγονται όλα τα αναπτυσσόμενα εντατικά μεγέθη. Η αναπτυσσόμενη ένταση συναρτάται με τον τύπο του ρήγματος που ενεργοποιείται. Στο πέμπτο κεφάλαιο γίνεται αποτίμηση του κινδύνου εκδήλωσης καθολικού λυγισμού υπόγειων μεταλλικών αγωγών λόγω ενεργοποίησης ανάστροφων σεισμικών ρηγμάτων που καταπονούν κυρίως θλιπτικά τον αγωγό και θέτουν σε κίνδυνο την ακεραιότητά του. Ο κίνδυνος του καθολικού λυγισμού αξιολογείται αριθμητικά έναντι των άλλων μορφών αστοχίας, λαμβάνοντας υπόψιν τόσο τη γεωμετρική μη-γραμμικότητα, όσο και τη μη-γραμμικότητα του χάλυβα και του εδάφους. Τέλος, διερευνάται παραμετρικά ο κίνδυνος εκδήλωσης καθολικού λυγισμού αρχικά σε σχέση με τη γωνία του ρήγματος, και στη συνέχεια σε σχέση με το λόγο της διαμέτρου του αγωγού προς το πάχος του τοιχώματος του. Στο έκτο και τελευταίο κεφάλαιο παρουσιάζονται τα γενικά συμπεράσματα της εργασίας και γίνονται προτάσεις για την περαιτέρω διερεύνηση του φαινομένου. Διερεύνηση καθολικού λυγισμού υπόγειων μεταλλικών αγωγών

6 vi Διπλωματική Εργασία Καλφαντή Παύλου Ε.Μ.Π. 2014

7 vii NATIONAL TECHNICAL UNIVERSITY OF ATHENS SCHOOL OF CIVIL ENGINEERING DIVISION OF STRUCTURAL ENGINEERING INSTITUTE OF STEEL STRUCTURES Diploma Thesis ΕΜΚ ΔΕ 2014/14 AN INVESTIGATION INTO UPHEAVAL BUCKLING OF BURIED STEEL PIPELINES Pavlos Kalfantis Supervisors: Charis Gantes, Professor N.T.U.A. Vasileios Melissianos, PhD Candidate N.T.U.A. Abstract In the present diploma thesis, upheaval buckling of buried steel pipelines due to seismic fault activation is investigated. In the first chapter, pipeline fault crossing and a literature review on upheaval buckling are presented. In the second chapter, the behavior of an elastic beam resting on elastic foundation is addressed, as an approach to simulate upheaval buckling of buried pipelines. The behavior of a simply supported and a fixed-fixed beam of finite length resting on elastic foundation under compression is investigated. Analytical solutions for beam linear buckling analysis, eigenmode shapes, critical buckling loads and eigenmode transition limits in relation to soil stiffness are extracted. Furthermore, the results are compared to numerical analyses results. In the third chapter, the post-buckling behavior of the simply-supported and fixed-fixed beam is investigated via geometrically nonlinear analyses with imperfections (GNIA). In the fourth chapter, a numerical simulation of a pipeline crossing an activated seismic fault is presented, via two examples of a normal and a reverse fault. The pipeline soil interaction is simulated using nonlinear springs in three dimensions and the pipeline internal forces due to the fault activation are calculated. The developing pipeline forces depend on the fault type. In the fifth chapter the risk of upheaval buckling of buried steel pipelines under acting compressive forces due to reverse fault activation is numerically investigated. The risk of upheaval buckling is assessed against other failure modes, such as pipeline local buckling, by also accounting for geometrical, pipeline steel and soil nonlinearities. Finally, parametric analyses are conducted in order to assess the risk of upheaval buckling in relation to the fault s angle and to the pipeline s diameter to thickness ratio. In the sixth and last chapter, conclusions of the diploma thesis are presented and proposals for the further investigation of this phenomenon are suggested. Διερεύνηση καθολικού λυγισμού υπόγειων μεταλλικών αγωγών

8 viii Διπλωματική Εργασία Καλφαντή Παύλου Ε.Μ.Π. 2014

9 ix ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ Με τη διπλωματική αυτή εργασία ολοκληρώνεται ο κύκλος φοίτησης μου στη Σχολή Πολιτικών Μηχανικών του Εθνικού Μετσόβιου Πολυτεχνείου. Με την αφορμή αυτή θα ήθελα να εκφράσω τις ευχαριστίες μου σε όλους όσους έπαιξαν σημαντικό ρόλο κατά τη διάρκεια της 5ετούς φοίτησης μου στο Ίδρυμα. Καταρχάς θα ήθελα να ευχαριστήσω τον Καθηγητή του Εθνικού Μετσόβιου Πολυτεχνείου. κ. Χάρη Γαντέ που ήταν και ο επιβλέπων της διπλωματικής μου εργασίας. Η διαρκής και υποδειγματική καθοδήγησή μαζί με την άριστη επιστημονική του κατάρτιση συνέβαλαν καταλυτικά στην ολοκλήρωση της προσπάθειας μου αυτής. Επίσης θέλω να ευχαριστήσω θερμά τον κ. Γιώργο Μπουκοβάλα, Καθηγητή του τομέα Γεωτεχνικής του Ε.Μ.Π και τον κ. Τάσο Αβραάμ, Λέκτορα του τομέα Δομοστατικής του Ε.Μ.Π. για τη συμμετοχή τους στην εξεταστική επιτροπή της διπλωματικής μου εργασίας. Για την αμέριστη συμπαράσταση και βοήθεια του καθ όλη τη διάρκεια της διπλωματικής μου εργασίας θα ήθελα να ευχαριστήσω θερμά τον υποψήφιο Διδάκτορα Ε.Μ.Π. Βασίλη Μελισσιανό. Για τη βοήθειά της στη μορφοποίηση του κειμένου θα ήθελα να ευχαριστήσω την κ. Ισαβέλλα Βασιλοπούλου, Δρ. Πολιτικό Μηχανικό Ε.Μ.Π. Τέλος, θα ήθελα να ευχαριστήσω την οικογένεια μου για τη συμπαράσταση της σε όλη τη διάρκεια των σπουδών μου. Παύλος Καλφαντής Ιούλιος 2014 Διερεύνηση καθολικού λυγισμού υπόγειων μεταλλικών αγωγών

10 x Διπλωματική Εργασία Καλφαντή Παύλου Ε.Μ.Π. 2014

11 xi ΠΕΡΙΕXOΜΕΝΑ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΥΠΟΓΕΙΟΙ ΜΕΤΑΛΛΙΚΟΙ ΑΓΩΓΟΙ ΔΟΚΟΣ ΕΠΙ ΕΛΑΣΤΙΚΟΥ ΕΔΑΦΟΥΣ ΚΑΘΟΛΙΚΟΣ ΛΥΓΙΣΜΟΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΜΕΛΕΤΗΣ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ ΑΝΑΦΟΡΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΛΥΓΙΣΜΟΥ ΔΟΚΟΥ ΕΠΙ ΕΛΑΣΤΙΚΟΥ ΕΔΑΦΟΥΣ ΑΠΕΙΡΟΜΗΚΗΣ ΔΟΚΟΣ ΕΠΙ ΕΔΑΦΟΥΣ ΑΜΦΙΕΡΕΙΣΤΗ ΔΟΚΟΣ Γραμμική ανάλυση λυγισμού Αναλυτική προσέγγιση Ιδιομορφές λυγισμού αμφιέρειστης δοκού Γραμμική ανάλυση λυγισμού Αριθμητική προσέγγιση Σύγκριση αναλυτικών αριθμητικών αποτελεσμάτων Μετάθεση ιδιομορφών ΑΜΦΙΠΑΚΤΗ ΔΟΚΟΣ Γραμμική ανάλυση λυγισμού Αναλυτική προσέγγιση Ιδιομορφές λυγισμού αμφίπακτης δοκού Γραμμική ανάλυση λυγισμού Αριθμητική προσέγγιση Σύγκριση αναλυτικών αριθμητικών αποτελεσμάτων Μετάθεση ιδιομορφών ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Διερεύνηση καθολικού λυγισμού υπόγειων μεταλλικών αγωγών

12 xii 2.5 ΑΝΑΦΟΡΕΣ ΜΗ-ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΑΝΑΛΥΣΕΙΣ ΔΟΚΟΥ ΕΠΙ ΕΛΑΣΤΙΚΟΥ ΕΔΑΦΟΥΣ ΑΜΦΙΕΡΕΙΣΤΗ ΔΟΚΟΣ Δεδομένα αναλύσεων Σχήματα ατελειών για μη-γραμμικές αναλύσεις Αποτελέσματα μη-γραμμικών αναλύσεων γεωμετρίας με αρχικές ατέλειες ΑΜΦΙΠΑΚΤΗ ΔΟΚΟΣ Δεδομένα αναλύσεων Σχήματα ατελειών για μη-γραμμικές αναλύσεις Αποτελέσματα μη-γραμμικών αναλύσεων γεωμετρίας με αρχικές ατέλειες ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΔΙΕΛΕΥΣΗ ΑΓΩΓΟΥ ΑΠΟ ΣΕΙΣΜΙΚΟ ΡΗΓΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΑΓΩΓΟΥ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΕΔΑΦΟΥΣ Αξονικά εδαφικά ελατήρια Οριζόντια εδαφικά ελατήρια Κατακόρυφα εδαφικά ελατήρια προς τα άνω Κατακόρυφα εδαφικά ελατήρια προς τα κάτω ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ Αγωγός Έδαφος Προσομοίωση ρήγματος ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΩΝ ΑΝΑΛΥΣΕΩΝ Κανονικό ρήγμα Ανάστροφο ρήγμα ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΚΙΝΔΥΝΟΥ ΚΑΘΟΛΙΚΟΥ ΛΥΓΙΣΜΟΥ ΛΟΓΩ ΕΝΕΡΓΟΠΟΙΗΣΗΣ ΑΝΑΣΤΡΟΦΟΥ ΡΗΓΜΑΤΟΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΘΟΛΙΚΟΣ ΛΥΓΙΣΜΟΣ ΑΓΩΓΟΥ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΜΗ-ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΚΙΝΔΥΝΟΣ ΚΑΘΟΛΙΚΟΥ ΛΥΓΙΣΜΟΥ ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΕΣ ΑΝΑΛΥΣΕΙΣ Επιρροή γωνίας ρήγματος Διπλωματική Εργασία Καλφαντή Παύλου Ε.Μ.Π. 2014

13 xiii Επιρροή λόγου διαμέτρου προς πάχος ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΔΡΟΜΟΥ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΕΩΝ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΠΕΡΙΛΗΨΗ ΓΕΝΙΚΑ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ ΓΙΑ ΠΕΡΑΙΤΕΡΩ ΕΡΕΥΝΑ Διερεύνηση καθολικού λυγισμού υπόγειων μεταλλικών αγωγών

14 xiv Διπλωματική Εργασία Καλφαντή Παύλου Ε.Μ.Π. 2014

15 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1.1 ΥΠΟΓΕΙΟΙ ΜΕΤΑΛΛΙΚΟΙ ΑΓΩΓΟΙ Οι αυξανόμενες ενεργειακές απαιτήσεις του σύγχρονου κόσμου επιβάλλουν την αναζήτηση κοιτασμάτων πετρελαίου και φυσικού αερίου σε τοποθεσίες που βρίσκονται μακριά από τους τελικούς αποδέκτες των καυσίμων. Έτσι, καθίσταται επιτακτική η ανάγκη κατασκευής αγωγών καυσίμων για τη μεταφορά τους στον τελικό αποδέκτη που εκτείνονται σε μήκη εκατοντάδων χιλιομέτρων. Η ικανότητα μεταφοράς μεγάλων ποσοτήτων πετρελαίου και αερίου σε μεγάλες αποστάσεις και μέσω μεγάλων και διαφορετικών γεωγραφικών περιοχών καθιστά τους αγωγούς κατασκευές με μεγάλη οικονομική και περιβαλλοντική σημασία για το σύνολο της κοινωνίας. Ταυτόχρονα, όμως, αποτελούν κατασκευές μεγάλης επικινδυνότητας, καθώς μία πιθανή αστοχία, όπως διαρροή, θραύση ή ακόμα και έκρηξη μπορεί να προκαλέσει σημαντικές οικονομικές, περιβαλλοντικές επιπτώσεις στη γύρω περιοχή ακόμα και ανθρώπινες απώλειες. Συνήθως, οι αγωγοί κατασκευάζονται από χάλυβα και θάβονται σε βάθος λίγων μέτρων προκειμένου να προστατεύονται έναντι διάβρωσης και τυχηματικών δράσεων, όπως είναι θραύση από χτύπημα γεωργικού μηχανήματος. Ένας τυπικός αγωγός μεταφοράς καυσίμων που θάβεται σε όρυγμα λίγων μέτρων παρουσιάζεται στο Σχήμα 1-1. Η διαδικασία σχεδιασμού και κατασκευής ενός αγωγού πραγματοποιείται εντός ενός αυστηρού πλαισίου περιορισμών και κανονισμών. Τέτοιοι περιορισμοί είναι, για παράδειγμα, η ανάγκη αποφυγής κατά τη διαδικασία επιλογής της χάραξης οικιστικών περιοχών ή περιοχών με περιβαλλοντική ευαισθησία, που τις καθιστά ακατάλληλες να αναλάβουν τον κίνδυνο μίας πιθανής αστοχίας. Λόγω αυτών των περιορισμών, καθώς και λόγω του μήκους των αγωγών που εκτείνεται σε χιλιάδες χιλιόμετρα, είναι πολλές φορές αδύνατο να αποφευχθούν κατά την όδευση σεισμικές περιοχές. Αυτές οι περιοχές συνήθως περιλαμβάνουν σεισμικά ρήγματα ή περιοχές ενδεχομένων κατολισθήσεων και ενδέχεται να επιβάλλουν μεγάλες μετατοπίσεις στον αγωγό, τις οποίες, όντας θαμμένος, πρέπει να ακολουθήσει. Επομένως, η ακεραιότητα του αγωγού εξαρτάται άμεσα από τις επιβαλλόμενες μεγάλες μόνιμες εδαφικές μετακινήσεις, οι οποίες θα πρέπει να προβλεφθούν κατά το δυνατόν και να ληφθούν υπόψιν κατά το σχεδιασμό του αγωγού. Προκύπτει, έτσι, η ανάγκη προσομοίωσης της αλληλεπίδρασης αγωγού περιβάλλοντος εδάφους. Από όλους τους σεισμικούς κινδύνους, όπως είναι η ενεργοποίηση σεισμικών ρηγμάτων, η ρευστοποίηση του περιβάλλοντος εδάφους ή τα σεισμικά κύματα, έχει αποδειχθεί από μελέτες και αναλύσεις προηγουμένων σεισμών ότι ο κρισιμότερος κίνδυνος είναι η ενεργοποίηση ρήγματος. Διερεύνηση καθολικού λυγισμού υπόγειων μεταλλικών αγωγών

16 2 Κεφάλαιο 1 Σχήμα 1-1. Τοποθέτηση μεταλλικού αγωγού σε όρυγμα [ Η ενεργοποίηση ενός ρήγματος προκαλεί μεγάλες χωρικές μόνιμες διαφορικές εδαφικές μετακινήσεις οι οποίες παραμορφώνουν τον αγωγό, ο οποίος όντας αναγκασμένος να τις ακολουθήσει αναπτύσσει σύνθετη ένταση (O Rourke και Liu [1-1]). Στη φύση απαντώνται τρεις τύποι ρηγμάτων, τα κανονικά, τα ανάστροφα και τα ρήγματα οριζόντιας ολίσθησης. Στα μεν κανονικά ρήματα ο αγωγός αναπτύσσει κυρίως κάμψη και εφελκυσμό, ενώ στα ανάστροφα ρήγματα ο αγωγός αναπτύσσει κυρίως κάμψη και θλίψη. Τέλος, στα ρήγματα οριζόντιας ολίσθησης ο αγωγός αναπτύσσει κυρίως κάμψη και διάτμηση. Ως αποτέλεσμα της αναπτυσσόμενης σύνθετης έντασης, ο αγωγός αναπτύσσει μεγάλες εφελκυστικές και θλιπτικές τάσεις. Παρόλο που ο χάλυβας χαρακτηρίζεται από υψηλή ολκιμότητα, οι αναπτυσσόμενες τάσεις και μετελαστικές παραμορφώσεις μπορούν να ξεπεράσουν την ικανότητα του υλικού να τις αναλάβει και επομένως αποτελούν έναν κίνδυνο για τους μελετητές τέτοιου τύπου τεχνικών έργων. Οι ενδεχόμενες μορφές αστοχίας του αγωγού κατά την ενεργοποίηση ενός σεισμικού ρήγματος είναι αφενός η αστοχία των συγκολλήσεων μεταξύ διαδοχικών τμημάτων του αγωγού. Αφετέρου, μέσω μεγάλων θλιπτικών παραμορφώσεων, οι αγωγοί, όντας κατασκευές μεγάλου μήκους και με λεπτότοιχα τοιχώματα, είναι ευπαθείς σε πιθανή απώλεια ευστάθειας μέσω φαινομένων δευτέρας τάξεως. Τα φαινόμενα αυτά χωρίζονται σε δύο μεγάλες κατηγορίες. Στην πρώτη περιλαμβάνεται ο τοπικός λυγισμός του μεταλλικού κελύφους του φορέα (Shell-type buckling), με απώλεια του κυκλικού σχήματος του. Τέτοιου είδους αστοχία παρουσιάζεται στο Σχήμα 1-2. Σχήμα 1-2. Τοπικός λυγισμός μεταλλικόυ αγωγού [Takada et al. 2001] Στη δεύτερη κατηγορία περιλαμβάνεται ο λυγισμός συνολικά του φορέα σε ένα συγκεκριμένο μήκος (Beam-type buckling), με απώλεια της αρχικής ευθύγραμμης χάραξης του και μετατροπής της σε ένα Διπλωματική Εργασία Καλφαντή Παύλου Ε.Μ.Π. 2014

17 Εισαγωγή 3 σχήμα που προσομοιάζει το σχήμα Ω, όπως παρουσιάζεται στο Σχήμα 1-3. Αυτός ο τύπος λυγισμού, που στο εξής θα καλείται καθολικός λυγισμός (Upheaval buckling UHB), είναι το αντικείμενο της παρούσας εργασίας. Ειδική μνεία γίνεται για ενεργοποίηση ανάστροφων ρηγμάτων, η οποία επιβάλλει στον αγωγό ένα σχήμα μικρότερο από το αρχικό του, και επομένως η αναπτυσσόμενη παραμόρφωση σε αυτόν είναι κατά κύριο λόγο θλιπτική καθιστώντας την απώλεια ευστάθειας ως πιο πιθανή μορφή αστοχίας. Ένας επιπρόσθετος παράγοντας που αυξάνει την πιθανότητα καθολικού λυγισμού, ειδικά σε υποθαλάσσιους αγωγούς, είναι οι αναπτυσσόμενες θλιπτικές δυνάμεις λόγω θερμοκρασιακής διαφοράς μεταξύ του περιβάλλοντος και του μεταφερόμενου καυσίμου. Σχήμα 1-3. Καθολικός λυγισμός υπόγειου μεταλλικού αγωγού [ Ο καθολικός λυγισμός υπόγειων μεταλλικών αγωγών έχει μελετηθεί εκτενώς από τους ερευνητές κατά τη διάρκεια του περασμένου αιώνα, μετά από τέτοιου είδους αστοχίες που συνέβησαν σε αγωγούς. Η έρευνα για τον καθολικό λυγισμό συνεχίζεται παγκοσμίως λόγω της κρισιμότητας του φαινομένου ιδιαίτερα στους υποθαλάσσιους αγωγούς. 1.2 ΔΟΚΟΣ ΕΠΙ ΕΛΑΣΤΙΚΟΥ ΕΔΑΦΟΥΣ Το μηχανικό μοντέλο που υιοθετείται συνήθως για την προσομοίωση του καθολικού λυγισμού υπόγειων αγωγών είναι αυτό της δοκού εδραζόμενης επί εύκαμπτης θεμελίωσης. Σύμφωνα με αυτή την προσέγγιση, μια απειρομήκης δοκός εδράζεται επί ελαστικού εδάφους Winkler, το οποίο αποτελείται από ανεξάρτητα μεταξύ τους μετακινησιακά ελαστικά ελατήρια εγκάρσια στον άξονα του αγωγού. Η προσομοίωση του καθολικού λυγισμού γίνεται με εφαρμογή θλιπτικών φορτίων επί της δοκού. Ο Hetenyi [1-2] ήταν ο πρώτος που μελέτησε το φαινόμενο του καθολικού λυγισμού της ελαστικής δοκού πεπερασμένου μήκους με διάφορες συνοριακές συνθήκες επί ελαστικού εδάφους Winkler υπό σταθερό αξονικό θλιπτικό φορτίο, με εφαρμογή της στατικής θεωρίας δεύτερης τάξης. Στα συμπεράσματα της εργασίας του περιλαμβάνονται και τα πρώτα διαγράμματα μετάθεσης ιδιομορφών που παρατηρούνται στο πρόβλημα. Οι διάφορες εργασίες που έχουν δημοσιευθεί ασχολούνται με διάφορες παραμέτρους του φαινομένου, όπως είναι το μήκος της υπό εξέταση δοκού, η προσομοίωση των εδαφικών ελατηρίων καθώς και η προσομοίωση της επιβαλλόμενης έντασης στη δοκό. Οι Massalas et al. [1-3] προσομοίωσαν το έδαφος με ελαστικά ελατήρια χωρίς τη δυνατότητα παραλαβής εφελκυστικών δυνάμεων και κατέληξαν στο συμπέρασμα ότι τα κρίσιμα φορτία λυγισμού του ελαστικού εδάφους είναι μεγαλύτερα από τα αντίστοιχα του ελαστικού εδάφους χωρίς δυνατότητα παραλαβής εφελκυστικών δυνάμεων. Οι Yun και Kyriakides [1-4] μελέτησαν τόσο τον τοπικό όσο και τον καθολικό λυγισμό απειρομήκους δοκού υπό σύνθετη αξονική και καμπτική ένταση και κατέληξαν ότι το πρώτο κρίσιμο φορτίο λυγισμού προκύπτει για σχετικά μικρές εγκάρσιες μετακινήσεις στον αγωγό. Τέλος, οι Song και Li [1-5] αλλά και οι Li και Batra [1-6] στις εργασίες τους ασχολήθηκαν με τις ιδιομορφές λυγισμού της ελαστικής δοκού πεπερασμένου μήκους επί ελαστικού εδάφους με διάφορες συνοριακές συνθήκες και μελέτησαν το Διερεύνηση καθολικού λυγισμού υπόγειων μεταλλικών αγωγών

18 4 Κεφάλαιο 1 φαινόμενο της αύξησης του κρίσιμου φορτίου λυγισμού καθώς και της μετάθεσης των κρίσιμων ιδιομορφών με την αύξηση της εδαφικής δυσκαμψίας. Στις εργασίες εξήγαγαν αναλυτικές λύσεις για τα κρίσιμα φορτία λυγισμού και διαγράμματα που παρουσιάζεται η μετάθεση των κρίσιμων ιδιομορφών λυγισμού για αύξηση της εδαφικής δυσκαμψίας σε δοκούς με συνοριακές συνθήκες αμφιέρειστης, αμφίπακτης αλλά και μονόπακτης δοκού. 1.3 ΚΑΘΟΛΙΚΟΣ ΛΥΓΙΣΜΟΣ ΥΠΟΓΕΙΩΝ ΜΕΤΑΛΛΙΚΩΝ ΑΓΩΓΩΝ Τα φαινόμενα καθολικού λυγισμού μεταλλικών αγωγών είναι εξόχως επικίνδυνα σε αγωγούς σχετικώς μικρών διαμέτρων όπου ο λόγος διαμέτρου του αγωγού D προς το πάχος του κελύφους t είναι αρκετά μικρός και επομένως η λυγηρότητα του φορέα αρκετά μεγάλη, σύμφωνα με τους Yun και Kyriakides [1-4]. Σύμφωνα με την εργασία τους, καθολικός λυγισμός συμβαίνει σε μήκος δοκού ίσο με περίπου διαμέτρους του αγωγού. Το γεγονός δε ότι οι αγωγοί στις περισσότερες περιπτώσεις είναι θαμμένοι σε σχετικά ρηχά ορύγματα, ειδικά στους υποθαλάσσιους αγωγούς που η εκσκαφή ορύγματος ικανού βάθους είναι πολλές φορές αδύνατη, καθιστούν τον καθολικό λυγισμό πολλές φορές την κρίσιμη μορφή αστοχίας. Ο καθολικός λυγισμός μπορεί επίσης να αποτελέσει την κρίσιμη μορφή αστοχίας σε αγωγούς μεγάλης πίεσης και μεγάλης εσωτερικής θερμοκρασίας λόγω επιβολής σε αυτόν δυνάμεων που οφείλονται σε θερμοκρασιακές διαφορές. Οι υποθαλάσσιοι αγωγοί είναι περισσότερο επιρρεπείς σε αυτό το φαινόμενο καθώς σε μεγάλα βάθη η διαφορά θερμοκρασίας μεταξύ του περιβάλλοντος και του καυσίμου στο εσωτερικό είναι μεγάλη και η οποία σε συνδυασμό με την εσωτερική πίεση επιβάλλει θλιπτικές δυνάμεις στον αγωγό, οι οποίες οδηγούν στον καθολικό λυγισμό. Η εκτεταμένη μελέτη του καθολικού λυγισμού αγωγών ξεκίνησε στις αρχές της δεκαετίας του Αρχικά μελετήθηκε ο λυγισμός λόγω θερμοκρασιακής μεταβολής υποθαλάσσιων αγωγών με χρήση του προσομοιώματος δοκού εδραζόμενης επί άκαμπτης θεμελίωσης και προτάθηκαν αναλυτικές σχέσεις υπολογισμού των καμπτικών ροπών και των αξονικών δυνάμεων. Τέτοιες εργασίες δημοσίευσαν οι Hobs [1-7], Yun και Kyriakides [1-8] και Taylor και Gan [1-9]. Αργότερα, στα μέσα της δεκαετίας του 1990, παρουσιάσθηκε η πιο εκτεταμένη πειραματική διερεύνηση του καθολικού λυγισμού αγωγών επί ελαστικού εδάφους, από τους Maltby και Calladine [1-10], [1-11]. Τα αποτελέσματα προέκυψαν από πολλές αναλύσεις αγωγών υπό αξονική, εγκάρσια αλλά και ανακυκλιζόμενη αξονική ένταση. Η μελέτη της δοκού επί ελαστικού εδάφους ή επί άκαμπτης θεμελίωσης με αναλυτικές μεθόδους μπορεί να θεωρηθεί μία πρώτη προσέγγιση προσομοίωσης του φαινομένου του καθολικού λυγισμού. Για την πληρέστερη έως τώρα αναλυτική προσέγγιση του φαινομένου χρησιμοποιήθηκε από τους Andreuzzi και Perrone [1-12] το προσομοίωμα αμφιέρειστης ελαστικής δοκού μεγάλου μήκους υπό σταθερή θερμοκρασιακή μεταβολή με συνυπολογισμό των τριβών μεταξύ του αγωγού και του εδάφους. Στην εργασία τους εξήγαγαν αναλυτικές λύσεις περιγραφής του φαινομένου. Όμως, οι πραγματικές χερσαίες και υποθαλάσσιες εδαφικές συνθήκες απέχουν από τις υποθέσεις του ελαστικού εδάφους ή της άκαμπτης θεμελίωσης. Έτσι, υιοθετήθηκε ερευνητικά το προσομοίωμα του αγωγού επί ελαστοπλαστικής θεμελίωσης για τη μελέτη του λυγισμού λόγω θερμοκρασιακής μεταβολής υποθαλάσσιων αγωγών [1-13], [1-14]. Στη συνέχεια, η ευαισθησία του λυγισμού λόγω θερμοκρασιακής μεταβολής στις αρχικές ατέλειες αναδείχθηκε με υιοθέτηση του προσομοιώματος της δοκού μεγάλου βάρους επί άκαμπτης θεμελίωσης από τους Karampour et al. [1-15]. Τα πρώτα συμπεράσματα της εργασίας τους αφορούν την ευαισθησία του φαινομένου στις αρχικές ατέλειες και όχι τόσο στην εδαφική δυσκαμψία. Η διαθέσιμη βιβλιογραφία, όμως, περί καθολικού λυγισμού χερσαίων αγωγών παραμένει περιορισμένη. Ενδεικτικά, έμφαση στον καθολικό λυγισμό χερσαίων αγωγών δόθηκε από τους Matheson et al. [1-16] κατά τη μελέτη της ειδικής περίπτωσης αγωγών διερχόμενων πάνω από χαμηλό ύψωμα κατασκευασμένων με τμήματα ψυχρής έλασης, όπου Διπλωματική Εργασία Καλφαντή Παύλου Ε.Μ.Π. 2014

19 Εισαγωγή 5 προτάθηκε μία συνάρτηση οριακής κατάστασης. Στην εργασία τους περιλαμβάνονται παραμετρικές αναλύσεις για τη διάμετρο του αγωγού D, το λόγο διαμέτρου προς τοίχωμα D/t καθώς και το υλικό του αγωγού. Πρόσφατα, επίσης, παρουσιάσθηκε μία μέθοδος για την εκτίμηση του κινδύνου καθολικού λυγισμού χερσαίων αγωγών υπό θλιπτική εδαφική παραμόρφωση βασιζόμενη σε συνδυασμό αριθμητικών αναλύσεων [1-17]. 1.4 ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΜΕΛΕΤΗΣ Η παρούσα εργασία αφορά μία πρώτη προσπάθεια προσομοίωσης του καθολικού λυγισμού υπόγειων μεταλλικών αγωγών λόγω ενεργοποίησης σεισμικών ρηγμάτων. Αρχικά μελετάται αναλυτικά και αριθμητικά το πρόβλημα της λυγισμικής και μεταλυγισμικής συμπεριφοράς ελαστικής δοκού επί ελαστικού εδάφους υπό σταθερή θλιπτική δύναμη. Εξάγονται αναλυτικές σχέσεις περιγραφής του φαινομένου οι οποίες συγκρίνονται με αποτελέσματα αριθμητικών αναλύσεων. Ακολούθως, μελετάται αριθμητικά μέσω μη-γραμμικών αναλύσεων η μεταλυγισμική συμπεριφορά της δοκού επί εδάφους Winkler. Στη συνέχεια γίνεται μια προσομοίωση της ενεργοποίησης ρήγματος ώστε να αποτιμηθεί ο κίνδυνος καθολικού λυγισμού υπόγειου μεταλλικού αγωγού λόγω της ενεργοποίησης αυτής, σε συνάρτηση με τις υπόλοιπες πιθανές μορφές αστοχίας. Για την προσομοίωση του εδάφους επιλέγονται μη-γραμμικά ελατήρια, σύμφωνα με τις αμερικανικές οδηγίες ASCE-ALA [1-18]. Παρουσιάζονται αναλυτικά τα εντατικά μεγέθη που αναπτύσσονται στον αγωγό λόγω πιθανής ενεργοποίησης τόσο κανονικού όσο και ανάστροφου ρήγματος. Η περίπτωση του ανάστροφου ρήγματος αναλύεται πιο διεξοδικά καθώς οι επιβαλλόμενες θλιπτικές δυνάμεις καθιστούν την αστοχία από καθολικό λυγισμό περισσότερο κρίσιμη. Τέλος, παρουσιάζεται μια παραμετρική διερεύνηση του κινδύνου του καθολικού λυγισμού αγωγών σε σχέση με το λόγο της διαμέτρου του αγωγού D προς το πάχος του τοιχώματος t, καθώς και μια παραμετρική διερεύνηση σε σχέση με τη γωνία βύθισης του ανάστροφου ρήγματος. 1.5 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ ΑΝΑΦΟΡΕΣ [1-1] O Rourke M.J. και Liu X. Response of buried pipelines subjected to earthquake effects. Monograph No. 3, Multidisciplinary Center for Earthquake Engineering Research, [1-2] Hetenyi Z. Beams on elastic foundation, Ann Arbor: The University of Michigan Press, [1-3] Massalas Ch., Tzivanidis G. και Katsikadelis J. Buckling of a continuous beam resting on a tensionless elastic foundation, The Franklin Institute, [1-4] Yun H.D. και Kyriakides S. On the beam and shell modes of buckling of buried steel pipelines, Soil Dynamics and Earthquake Engineering, [1-5] Song Xi και Li S-R. Thermal buckling and post-buckling of pinned-fixed Euler Bernoulli beams on an elastic foundation, Elsevier, [1-6] Li S-R και Batra R.C. Thermal buckling and postbuckling of Euler-Bernoulli Beams supported on nonlinear elastic foundations, AIAA Journal, [1-7] Hobs R.E. In-service buckling of heated pipelines, Journal of Transportation Engineering, [1-8] Yun H.D. και Kyriakides S. A model of beam-mode buckling of buried pipelines ASCE Journal of Engineering Mechanics, Vol 111, [1-9] Taylor N. και Gan Α.Β. Submarine pipeline buckling imperfection studies, Thin-Walled Structures, Διερεύνηση καθολικού λυγισμού υπόγειων μεταλλικών αγωγών

20 6 Κεφάλαιο 1 [1-10] Maltby T.C. και Calladine C.R. An investigation into upheaval buckling of buried pipelines I. Experimental apparatus and some observations, International Journal of Mechanical Sciences, Vol. 37, [1-11] Maltby T.C. και Calladine C.R. An investigation into upheaval buckling of buried pipelines II. Theory and analysis of experimental observations, International Journal of Mechanical Sciences, Vol. 37, [1-12] Andreuzzi F. και Perrone A. Analytical solution for upheaval buckling of buried pipelines, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, Vol. 190, [1-13] Wang L., Shi R., Yuan F, Guo Z. και Yu L. Global buckling of pipeline in the vertical plane with soft seabed, Applied Ocean Research, Vol. 33, [1-14] Shi R., Wang L., Guo Z., και Yuan F. Upheaval buckling of a pipeline with prop imperfection on a plastic seabed, Thin-Walled Structures, Vol. 65, [1-15] Karampour H., Albermani F. και Gross J. On the lateral and upheaval buckling of subsea pipelines, Engineering Structures, Vol. 52, 2013 [1-16] Matheson I., Zhou J., Zhou W. και Gailing R. An upheaval buckling limit state function for onshore natural gas pipelines, IPC th International Pipeline Conference, ASME (ed.), [1-17] Mitsuya M., Sanakoue T. και Motohashi H. Beam-mode buckling of buried pipeline subjected to seismic ground motion, Journal of Pressure Vessel Technology, Vol. 135, 2013, pp. (021801) [1-18] ALA AMERICAN LIFELINES ALLIANCE, Guidelines for the Design of Buried Steel Pipe July 2001 (with addenda through February 2005), Διπλωματική Εργασία Καλφαντή Παύλου Ε.Μ.Π. 2014

21 2 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΛΥΓΙΣΜΟΥ ΔΟΚΟΥ ΕΠΙ ΕΛΑΣΤΙΚΟΥ ΕΔΑΦΟΥΣ 2.1 ΑΠΕΙΡΟΜΗΚΗΣ ΔΟΚΟΣ ΕΠΙ ΕΔΑΦΟΥΣ Το μηχανικό μοντέλο που υιοθετείται συνήθως για τη μελέτη του καθολικού λυγισμού υπόγειων αγωγών είναι αυτό της δοκού εδραζόμενης επί εύκαμπτης θεμελίωσης. Αρχικά θα μελετηθεί η περίπτωση της ελαστικής θεμελίωσης με χρήση του προσομοιώματος Winkler για το έδαφος. Το μοντέλο Winkler προσομοιώνει το έδαφος με ανεξάρτητα μετακινησιακά εγκάρσια ελατήρια που στηρίζουν τη δοκό. Η μετακίνηση του ελατηρίου είναι ανάλογη της δυσκαμψίας του. Η υπό μελέτη δοκός Euler- Bernoulli επί ελαστικού εδάφους σταθεράς k υπό σταθερό αξονικό θλιπτικό φορτίο P παρουσιάζεται στο Σχήμα 2-1, όπου L είναι το μήκος της δοκού, Ε το μέτρο ελαστικότητας και Ι η ροπή αδράνειας της διατομής. Σχήμα 2-1. Δοκός επί ελαστικού εδάφους Το κρίσιμο φορτίο λυγισμού υπολογίζεται διατυπώνοντας τις εξισώσεις ισορροπίας στην παραμορφωμένη κατάσταση της δοκού αμέσως μετά το λυγισμό. Σύμφωνα με τη γραμμική ανάλυση λυγισμού οι μετατοπίσεις θεωρούνται αρκούντως μικρές ώστε η παραμορφωμένη κατάσταση να μη διαφέρει πολύ από την απαραμόρφωτη, το οποίο ισχύει ικανοποιητικά τη στιγμή αμέσως μετά το λυγισμό. Ένα τμήμα της δοκού στην παραμορφωμένη κατάσταση μαζί με τα αναπτυσσόμενα εντατικά μεγέθη παρουσιάζεται στο Σχήμα 2-2. Στο διάγραμμα ελευθέρου σώματος που παρουσιάζεται στο Σχήμα 2-2, Μx είναι η καμπτική ροπή στη διατομή x, Qx η τέμνουσα στη διατομή x, dy η διαφορική βύθιση του φορέα μεταξύ των διατομών x και x+dx και P το θλιπτικό φορτίο που ασκείται στη δοκό. Επίσης, q(x) είναι η δύναμη που ασκούν τα εδαφικά ελατήρια ανά μονάδα μήκους κατά μήκος του αγωγού σύμφωνα με τη σχέση (2-1), όπου y(x) είναι η εγκάρσια μετακίνηση και k η σταθερά που χαρακτηρίζει το έδαφος ως ελαστικό μέσο Διερεύνηση καθολικού λυγισμού υπόγειων μεταλλικών αγωγών

22 8 Κεφάλαιο 2 q(x) Σχήμα 2-2. Διάγραμμα ελευθέρου σώματος παραμορφωμένου τμήματος δοκού ky(x) (2-1) Από το διάγραμμα ελευθέρου σώματος προκύπτουν οι εξισώσεις ισορροπίας του φορέα. Από την εξίσωση ισορροπίας των κατακόρυφων δυνάμεων προκύπτει η σχέση: dq x Qx Qx dx q(x)dx 0 dx (2-2) με dqx q(x) ky(x) dx (2-3) Αντίστοιχα η εξίσωση ισορροπίας των καμπτικών ροπών δίνεται από τη σχέση: dm 1 dx 2 2 x Mx p(x)dy Qxdx Mx dx q(x) dx 0 (2-4) Αγνοώντας τους όρους ανωτέρα τάξεως, η εξίσωση (2-4) απλοποιείται ως εξής: dm dy (2-5) dx x Qx P(x) ky(x) dx Από τις εξισώσεις (2-2) έως (2-5) προκύπτει η διαφορική εξίσωση ισορροπίας της δοκού: 2 2 dqx d Mx dy P(x) ky(x) 2 2 (2-6) dx dx dx Ταυτόχρονα, σύμφωνα με την τεχνική θεωρία της κάμψης και για παραδοχή μικρών μετατοπίσεων, γνωρίζουμε ότι: dm dy (2-7) dx 2 4 x EI 2 4 dx και επομένως προκύπτει η διαφορική εξίσωση ισορροπίας της δοκού (2-8): EIy(x) Py(x) ky(x) 0 (2-8) Η πολυπλοκότητα της διαφορικής εξίσωσης (2-8) απαιτεί τη χρήση μαθηματικού προγραμματισμού για την εύρεση της γενικής λύσης. Για το σκοπό αυτό χρησιμοποιείται το εμπορικό λογισμικό MAPLE [2-1] Διπλωματική Εργασία Καλφαντή Παύλου Ε.Μ.Π. 2014

23 Γραμμική Ανάλυση Λυγισμού Δοκού Επί Ελαστικού Εδάφους 9 για την εξαγωγή της γενικής λύσης της διαφορικής εξίσωσης (2-8), η οποία δίνεται από την εξίσωση (2-9): α 2 α 16β x 2α 2 α 16β x 2α 2 α 16β x 2α 2 α 16β x ' 2 ' 2 ' 2 ' y(x) C e C e C e C e (2-9) Οι παράμετροι α, β, Α και Β εισάγονται για την απλοποίηση της παράστασης και παρουσιάζονται στις εξισώσεις (2-10) και (2-11): α EI 2 P, β 4EI 4 k (2-10) α α 16β α α 16β A, Β (2-11) 2 2 Εισάγοντας τις παραμέτρους των εξισώσεων (2-10) και (2-11) στη σχέση (2-9) προκύπτει η γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης (2-8) ως ακολούθως: y(x) C1 cos Ax C2 sin Ax C3 cos Bx C4 sinbx (2-12) Οι σταθερές ολοκλήρωσης C1, C2, C3 και C4 υπολογίζονται με εφαρμογή των συνοριακών συνθηκών του εκάστοτε προβλήματος. Στις παραγράφους 2.2 και 2.3 μελετώνται οι περιπτώσεις δοκών με συνοριακές συνθήκες αμφιέρειστης και αμφίπακτης δοκού αντίστοιχα. 2.2 ΑΜΦΙΕΡΕΙΣΤΗ ΔΟΚΟΣ Γραμμική ανάλυση λυγισμού Αναλυτική προσέγγιση Αρχικά μελετάται η περίπτωση της αμφιέρειστης ελαστικής δοκού επί ελαστικού εδάφους υπό σταθερό αξονικό θλιπτικό φορτίο P. Η υπό μελέτη δοκός παρουσιάζεται στο Σχήμα 2-3, όπου EI είναι η δυσκαμψία της δοκού, k η εδαφική δυσκαμψία και L το μήκος της δοκού. Σχήμα 2-3. Αμφιέρειστη δοκός επί ελαστικού εδάφους υπό θλιπτικό φορτίο P Οι συνοριακές συνθήκες της αμφιέρειστης δοκού περιγράφονται από το ακόλουθο σύστημα εξισώσεων: y(0) y(l) y (0) y (L) 0 (2-13) Το σύστημα των εξισώσεων (2-13) με χρήση της εξίσωσης (2-12) λαμβάνει τη μορφή: C1 0 cos AL sin AL cos BL sinbl C A 0 B 0 C A cos AL A sin AL B cos BL B sinbl C4 0 (2-14) Διερεύνηση καθολικού λυγισμού υπόγειων μεταλλικών αγωγών

24 10 Κεφάλαιο 2 O μηδενισμός της ορίζουσας της σχέσης (2-14) σύμφωνα με τη σχέση (2-15) οδηγεί στην εξίσωση λυγισμού του προβλήματος (2-16), από όπου προκύπτει ο υπολογισμός των φορτίων λυγισμού της δοκού cos AL sin AL cos BL sinbl det A 0 B A cos AL A sin AL B cos BL B sinbl (2-15) ή 2 2 (A B ) sin AL sinbl 0 (2-16) Η εξίσωση (2-16) έχει αναλυτική λύση και από αυτή διακρίνονται οι ακόλουθες περιπτώσεις: A B 0, ενώ με χρήση των εξισώσεων (2-10) προκύπτει 2 (P / EI) 16k / 4EI 0, από όπου προκύπτει η λύση: 4 4 α β, δηλαδή 16 0 Pmin 2 kei (2-17) - sin AL 0 και άρα AL nπ, για n=1,2,. Ο όρος n υποδηλώνει την αντίστοιχη ιδιομορφή του προβλήματος. Υψώνοντας τη σχέση στο τετράγωνο προκύπτει η έκφραση χρησιμοποιώντας τις σχέσεις (2-10) και (2-11) προκύπτει η λύση της εξίσωσης (2-16). A L n π , ενώ n π EI kl Pn, ή L n π 2 2 kl Pn n PEuler 2 2 (2-18) n π - sinbl 0 και άρα ΒL nπ, για n=1,2,. Υψώνοντας στο τετράγωνο προκύπτει ενώ χρησιμοποιώντας την εξίσωση (2-10) προκύπτει η λύση (2-18) Β L n π, Από τη γενική λύση (2-18) της εξίσωσης (2-16) και για τις τέσσερις πρώτες ιδιομορφές, δηλαδή για τιμές της παραμέτρου n=1, 2, 3, 4 προκύπτουν τα κρίσιμα φορτία λυγισμού συναρτήσει της εδαφικής δυσκαμψίας k, της δυσκαμψίας της δοκού EI και του μήκους της δοκού L. Τα τέσσερα πρώτα κρίσιμα φορτία λυγισμού παρουσιάζονται στις εξισώσεις (2-19) ως (2-22). Η λύση (2-17) δίνει σε κάθε περίπτωση την ελάχιστη από τις λύσεις που προκύπτουν από την γενική λύση (2-18), όπως παρουσιάζεται στη συνέχεια στο Σχήμα Για το λόγο αυτό, τα τέσσερα πρώτα φορτία λυγισμού προκύπτουν από την εξίσωση (2-18), θεωρώντας πως η λύση (2-17) περιλαμβάνεται σε αυτά. P 2 2 π EI kl, ή L π P 2 kl P (2-19) π 1 Euler 2 P 2 2 4π EI kl, ή L 4π P 2 kl 4P (2-20) 4π 2 Euler 2 P 2 2 9π EI kl, ή L 9π P 2 kl 9P (2-21) 9π 3 Euler 2 P π EI kl, ή L 16π kl P4 16P Euler 2 (2-22) 16π Διπλωματική Εργασία Καλφαντή Παύλου Ε.Μ.Π. 2014

25 Γραμμική Ανάλυση Λυγισμού Δοκού Επί Ελαστικού Εδάφους Ιδιομορφές λυγισμού αμφιέρειστης δοκού Για την εύρεση του σχήματος των ιδιομορφών αμφιέρειστης δοκού, χρησιμοποιείται η εξίσωση (2-12). Από την πρώτη και τη δεύτερη συνοριακή συνθήκη της εξίσωσης (2-13), προκύπτει: C C ή C C 1 3 (2-23) A C B C 0 ή C 1(B A ) 0 και άρα C C ή B A 2 2 (2-24) Στην περίπτωση που προκύπτει: B A 2 2, έχουμε Β=Α και επομένως, χρησιμοποιώντας τη σχέση (2-23) y(x) C2 sin Ax C4 sin Ax (C2 C 4)sin Ax ή y(x) sin Ax, για Β=Α (2-25) εφόσον η ιδιομορφή δεν έχει μέγεθος και ο όρος (C2+C4) μπορεί να απαλειφθεί. Αν B A, έχουμε C1 C3 0. Επίσης εφόσον 2 2 τη δεύτερη συνοριακή συνθήκη προκύπτει: B A, έχουμε B A και άρα sinbl sin AL. Από 2 2 sinbl C2 sin AL C4 sinbl 0 και επομένως C2 C για sin AL 0 4 sin AL sin AL C για sinbl 0 sinbl ή C4 2 (2-26) Επομένως έχουμε την γενική έκφραση που δίνει το σχήμα της ιδιομορφής από την εξίσωση (2-12): sinbl y(x) C4 sinbx sin Ax sin AL ή sin AL y(x) C2 sin Ax sinbx sinbl και εφόσον η ιδιομορφή δεν έχει μέγεθος, ο όρος C4 και αντίστοιχα ο όρος C2 μπορούν να απαλειφθούν και επομένως προκύπτει: sinbl y(x) sinbx sin Ax για sin AL 0 (2-27) sin AL sin AL y(x) sin Ax sinbx για sinbl 0 (2-28) sinbl Από τη σχέση (2-18) προκύπτουν τα κρίσιμα φορτία της αμφιέρειστης δοκού επί ελαστικού εδάφους, συναρτήσει της παραμέτρου n. Αντικαθιστώντας τα φορτία αυτά στην αντίστοιχη παράσταση (2-25), (2-27) ή (2-28), προκύπτουν τα σχήματα της ιδιομορφής που αντιστοιχούν στο κάθε κρίσιμο φορτίο. Για τον προσδιορισμό των σχημάτων προγραμματίζονται οι εξισώσεις (2-18), (2-25), (2-27) και (2-28) στο MATLAB [2-3]. Στο Σχήμα 2-4 παρουσιάζονται τα σχήματα των τεσσάρων πρώτων ιδιομορφών για n=1, 2, 3, 4 καθώς και η αντίστοιχη ονοματολογία που υιοθετείται. Η ονοματολογία βασίζεται στη συμμετρία του σχήματος της ιδιομορφής, δηλαδή εάν αυτό είναι συμμετρικό η αντισυμμετρικό ως προς το κέντρο της δοκού, καθώς και από την τάξη της ιδιομορφής, ανάλογα την τιμή του αριθμού n. Έτσι, για n=1 προκύπτει συμμετρικό σχήμα και άρα υιοθετείται το όνομα [1S], για n=2 προκύπτει αντισυμμετρικό σχήμα και υιοθετείται το όνομα [1Α], για n=3 προκύπτει συμμετρικό σχήμα και υιοθετείται το όνομα [2S] και, τέλος, για n=4 έχουμε αντισυμμετρικό σχήμα το οποίο ονομάζεται [2Α]. Διερεύνηση καθολικού λυγισμού υπόγειων μεταλλικών αγωγών

26 12 Κεφάλαιο 2 Σχήμα 2-4. Ιδιομορφές λυγισμού αμφιέρειστης δοκού επί ελαστικού εδάφους Γραμμική ανάλυση λυγισμού Αριθμητική προσέγγιση Η περίπτωση της αμφιέρειστης δοκού επί ελαστικού εδάφους μελετάται αριθμητικά με χρήση του εμπορικού προγράμματος πεπερασμένων στοιχείων ADINA [2-2]. Για το σκοπό αυτό προσομοιώνεται μία συνεχής αμφιέρειστη δοκός, όπως παρουσιάζεται στο Σχήμα 2-3. Η δοκός που μελετάται είναι διατομής CHS 33.7x2 και μήκους L=5m, κατασκευασμένη από ελαστικό χάλυβα με μέτρο ελαστικότητας Ε=210GPa και λόγο Poisson ν=0.30. Ο φορέας προσομοιώνεται με ραβδωτά πεπερασμένα στοιχεία (beam elements), ενώ το ελαστικό έδαφος Winkler προσομοιώνεται με εγκάρσια μονοαξονικά ελατήρια (spring elements) που συνδέουν τη δοκό με το έδαφος, το οποίο θεωρείται ακλόνητο. Η εδαφική δυσκαμψία λαμβάνεται ίση με 1kN/m. Ο φορέας διακριτοποιείται ανά 0.05m, κατόπιν της ανάλυσης ευαισθησίας που προηγήθηκε για τον προσδιορισμό της βέλτιστης διακριτοποίησης. Για τη δοκό που προσομοιώνεται στο ADINA εκτελείται γραμμικοποιημένη ανάλυση λυγισμού (Linearized buckling analysis LBA), όπου υπολογίζονται οι τέσσερις πρώτες ιδιομορφές λυγισμού και τα αντίστοιχα κρίσιμα φορτία λυγισμού. Τα κρίσιμα φορτία λυγισμού παρουσιάζονται στον Πίνακα 2-1 ενώ οι ιδιομορφές λυγισμού στο Σχήμα 2-5. Πίνακας 2-1. Τέσσερα πρώτα κρίσιμα φορτία λυγισμού αριθμητικής προσέγγισης P 1(kN) P 2(kN) P 3(kN) P 4(kN) Σχήμα 2-5. Ιδιομορφές λυγισμού αμφιέρειστης δοκού Αριθμητική προσέγγιση Διπλωματική Εργασία Καλφαντή Παύλου Ε.Μ.Π. 2014

27 Γραμμική Ανάλυση Λυγισμού Δοκού Επί Ελαστικού Εδάφους Σύγκριση αναλυτικών και αριθμητικών αποτελεσμάτων Για διάφορες τυπικές διατομές του εμπορίου και για δύο διαφορετικές τιμές της εδαφικής δυσκαμψίας υπολογίζεται το κρίσιμο φορτίο λυγισμού μέσω της εξίσωσης (2-18) αλλά και μέσω της γραμμικοποιημένης ανάλυσης λυγισμού (LBA) με χρήση του προγράμματος ADINA. Τα αποτελέσματα της αναλυτικής λύσης των εξισώσεων (2-18) επαληθεύονται μέσω του προγράμματος πεπερασμένων στοιχείων ADINA [2-2]. Τα αποτελέσματα καθώς και το επί τοις εκατό σφάλμα παρουσιάζονται στον Πίνακα 2-2. Σύμφωνα με την τελευταία στήλη του Πίνακα 2-2 που παρουσιάζει το σφάλμα προκύπτει ικανοποιητική ακρίβεια των αριθμητικών αποτελεσμάτων συγκριτικά με την αναλυτική λύση. Πίνακας 2-2. Σύγκριση αποτελεσμάτων αναλυτικής και αριθμητικής προσέγγισης Διατομή L(m) k(kn/m) Κρίσιμο Φορτίο - Αναλυτική Λύση (kn) Κρίσιμο Φορτίο - Adina (kn) ε(%) CHS33.7x CHS33.7x CHS168.3x CHS168.3x CHS168.3x NPS NPS NPS NPS NPS NPS NPS NPS Στη συνέχεια συγκρίνονται τα τέσσερα πρώτα κρίσιμα φορτία λυγισμού για δύο διαφορετικές περιπτώσεις διατομής και εδαφικής δυσκαμψίας, καθώς και τα σχήματα ιδιομορφών που προκύπτουν από επίλυση και με τις δύο μεθόδους. Οι δύο περιπτώσεις σύγκρισης παρουσιάζονται στον Πίνακα 2-3. Πίνακας 2-3. Περιπτώσεις σύγκρισης αναλυτικής και αριθμητικής λύσης Περίπτωση Διατομή L(m) R(mm) t(mm) E(GPa) I(cm 4 ) k(kn/m) 1 CHS33.7x CHS168.3x Για κάθε περίπτωση παρουσιάζονται αποτελέσματα σε πίνακα που δείχνει την σύγκριση των 4 πρώτων φορτίων λυγισμού καθώς και σε σχήματα που δείχνουν την σύγκριση των σχημάτων των αντίστοιχων ιδιομορφών. Παρατηρείται πλήρης ταύτιση των σχημάτων των ιδιομορφών καθώς και μικρό σφάλμα ακόμα και για μεγαλύτερης τάξης κρίσιμα φορτία. Διερεύνηση καθολικού λυγισμού υπόγειων μεταλλικών αγωγών

28 14 Κεφάλαιο 2 Περίπτωση 1 Πίνακας 2-4. Σύγκριση τεσσάρων πρώτων κρίσιμων φορτίων περίπτωσης 1 P 1(kN) P 2(kN) P 3(kN) P 4(kN) Αναλυτική Λύση Αριθμητική Λύση (ADINA) ε(%) Σχήμα 2-6. Σύγκριση σχημάτων πρώτης ιδιομορφής για την περίπτωση 1 Σχήμα 2-7. Σύγκριση σχημάτων δεύτερης ιδιομορφής για την περίπτωση 1 Διπλωματική Εργασία Καλφαντή Παύλου Ε.Μ.Π. 2014

29 Γραμμική Ανάλυση Λυγισμού Δοκού Επί Ελαστικού Εδάφους 15 Σχήμα 2-8. Σύγκριση σχημάτων τρίτης ιδιομορφής για την περίπτωση 1 Σχήμα 2-9. Σύγκριση σχημάτων τέταρτης ιδιομορφής για την περίπτωση 1 Περίπτωση 2 Πίνακας 2-5. Σύγκριση τεσσάρων πρώτων κρίσιμων φορτίων περίπτωσης 2 P 1(kN) P 2(kN) P 3(kN) P 4(kN) Αναλυτική Λύση Αριθμητική Λύση (ADINA) ε(%) Διερεύνηση καθολικού λυγισμού υπόγειων μεταλλικών αγωγών

30 16 Κεφάλαιο 2 Σχήμα Σύγκριση σχημάτων πρώτης ιδιομορφής για την περίπτωση 2 Σχήμα Σύγκριση σχημάτων δεύτερης ιδιομορφής για την περίπτωση 2 Σχήμα Σύγκριση σχημάτων τρίτης ιδιομορφής για την περίπτωση 2 Διπλωματική Εργασία Καλφαντή Παύλου Ε.Μ.Π. 2014

31 Γραμμική Ανάλυση Λυγισμού Δοκού Επί Ελαστικού Εδάφους 17 Σχήμα Σύγκριση σχημάτων τέταρτης ιδιομορφής για την περίπτωση Μετάθεση ιδιομορφών Η γραφική παράσταση των εξισώσεων (2-17) και (2-19) έως (2-22) στο Σχήμα 2-14 παρουσιάζει τη σχέση της εδαφικής δυσκαμψίας σε σχέση με τα τέσσερα πρώτα κρίσιμα φορτία λυγισμού, όπου στον κατακόρυφο άξονα παρουσιάζεται το αδιαστατοποιημένο φορτίο P σύμφωνα με της σχέσεις (2-29) και (2-30) ενώ στον οριζόντιο άξονα παρουσιάζεται η αδιαστατοποιημένη εδαφική δυσκαμψία k, σύμφωνα με τη σχέση (2-31). P P P (2-29) Euler P 2 π EI L Euler 2 (2-30) 4 kl k 4 (2-31) EIπ Σχήμα Σχέση αδιαστατοποιημένης εδαφικής δυσκαμψίας και αδιαστατοποιημένων κρίσιμων φορτίων Διερεύνηση καθολικού λυγισμού υπόγειων μεταλλικών αγωγών

32 18 Κεφάλαιο 2 Από το Σχήμα 2-14 προκύπτει μετάθεση της κρίσιμης ιδιομορφής λυγισμού με την αύξηση της εδαφικής δυσκαμψίας. Εξισώνοντας της σχέσεις (2-19) και (2-20), προκύπτει η πρώτη μετάθεση της κρίσιμης ιδιομορφής, από το σχήμα [1S] στο σχήμα [1Α]. π ΕΙ kl π ΕΙ kl P1 P ή 2 4 L π L 4π kl ή k 4 4 ΕΙπ (2-32) Με αντίστοιχη διαδικασία εξίσωσης των φορτίων, προκύπτουν οι τιμές της αδιαστατοποιημένης εδαφικής δυσκαμψίας στις οποίες συμβαίνει μετάθεση της κρίσιμης ιδιομορφής λυγισμού. P P 2 3 π ΕΙ kl π ΕΙ kl ή 4 9 L 4π L 9π kl ή k 36 4 ΕΙπ (2-33) P P π ΕΙ kl π ΕΙ kl ή 9 16 L 9π L 16π kl ή k ΕΙπ (2-34) P P π ΕΙ kl π ΕΙ kl ή L 16π L 25π ή kl k ΕΙπ (2-35) Βάσει των ανωτέρω ορίζονται οι ακόλουθες περιοχές, όπως παρουσιάζονται στον Πίνακα 2-6 Πίνακας 2-6. Περιοχές κρίσιμων ιδιομορφών αμφιέρειστης δοκού Περιοχή Εύρος τιμών εδαφικής δυσκαμψίας k Κρίσιμη ιδιομορφή Α (0,4) Β (4,36) Γ (36,144) Δ (144,400) Διπλωματική Εργασία Καλφαντή Παύλου Ε.Μ.Π. 2014

33 Γραμμική Ανάλυση Λυγισμού Δοκού Επί Ελαστικού Εδάφους ΑΜΦΙΠΑΚΤΗ ΔΟΚΟΣ Γραμμική ανάλυση λυγισμού Αναλυτική προσέγγιση Στη συνέχεια μελετάται η περίπτωση της αμφίπακτης δοκού επί ελαστικού εδάφους Winkler υπό σταθερό αξονικό θλιπτικό φορτίο P. Η υπό μελέτη δοκός παρουσιάζεται στο Σχήμα 2-15 όπου EI είναι η δυσκαμψία της δοκού, k η ελαστική εδαφική δυσκαμψία και L το μήκος της δοκού. Σχήμα Αμφίπακτη δοκός επί εδάφους Winkler Οι συνοριακές συνθήκες της αμφίπακτης δοκού περιγράφονται από το ακόλουθο σύστημα εξισώσεων: y(0) y(l) y (0) y (L) 0 (2-36) Το σύστημα των εξισώσεων (2-36) λαμβάνει την μορφή: C1 0 cos AL sin AL cos BL sinbl C A 0 B C 3 0 A sin AL A cos AL B sinbl B cos BL C4 0 (2-37) Ο μηδενισμός της ορίζουσας σύμφωνα με τη σχέση (2-38) οδηγεί στην εξίσωση λυγισμού του προβλήματος (2-39), από όπου προκύπτει ο υπολογισμός των φορτίων λυγισμού cos AL sin AL cos BL sinbl det 0 0 A 0 B A sin AL A cos AL B sinbl B cos BL (2-38) 2 2 (A B )sin AL sinbl 2AB(cos AL cosbl 1) 0 (2-39) Ιδιομορφές λυγισμού αμφίπακτης δοκού Για την εύρεση του σχήματος των ιδιομορφών αμφίπακτης δοκού, χρησιμοποιείται η εξίσωση (2-12). Από την πρώτη, την τρίτη και την τέταρτη συνοριακή συνθήκη του συστήματος (2-36), προκύπτει: C1 C3 0 ή C1 C3 (2-40) B AC2 BC4 0 ή C2 C4 (2-41) A AC1 sin AL AC2 cos AL BC3 sinbl BC4 cos BL 0 ή B cosbl B cos AL C C WC A sin AL B sinbl για A sinal B sinbl (2-42) Αν A sinal B sinbl τότε διακρίνονται οι ακόλουθες περιπτώσεις: Διερεύνηση καθολικού λυγισμού υπόγειων μεταλλικών αγωγών

34 20 Κεφάλαιο 2 C4 0 C2 0 y(x) C1 cos Ax C3 cos Bx y(x) C 1(cos Ax cos Bx). cosbl cos AL, και με χρήση της δεύτερης συνοριακής συνθήκης προκύπτει sinal=0 που αντικατοπτρίζει τα φορτία λυγισμού της αμφιέρειστης και επομένως απορρίπτεται. Εφόσον η ιδιομορφή δεν έχει μέγεθος, ο όρος C1 στην παράσταση y(x) C 1(cos Ax cos Bx) μπορεί να απαλειφθεί και προκύπτει: Αν A sinal y(x) cos Ax cos Bx (2-43) B sinbl, με αντικατάσταση των σχέσεων (2-40), (2-41) και (2-42) στην εξίσωση (2-12), προκύπτει η παράσταση που δίνει το σχήμα ιδιομορφής της αμφίπακτης δοκού: B y(x) C4 W cos Ax sin Ax W cos Bx sinbx A Εφόσον η ιδιομορφή δεν έχει μέγεθος, ο όρος C4 μπορεί να απαλειφθεί. Έτσι, η παράσταση που δίνει το σχήμα της ιδιομορφής συναρτήσει της εδαφικής δυσκαμψίας και του επιβαλλόμενου φορτίου δίνεται από την σχέση (2-44): B y(x) W cos Ax sin Ax W cos Bx sinbx, A B cosbl B cos AL W A sin AL B sinbl (2-44) Η εξίσωση μηδενισμού τις ορίζουσας των συνοριακών συνθηκών (2-39) δεν έχει κλειστή αναλυτική λύση καθώς είναι έντονα μη-γραμμική και επομένως προκειμένου να αποφευχθούν πολύπλοκες μαθηματικές μέθοδοι επίλυσης εφαρμόζεται η επίλυση μέσω δοκιμών με προγραμματισμό στο MATLAB [2-3]. Έτσι, δημιουργείται αλγόριθμος ο οποίος για διάφορες τιμές τις εδαφικής δυσκαμψίας υπολογίζει τα 4 πρώτα φορτία λυγισμού με εύρεση των τεσσάρων πρώτων θετικών λύσεων ως προς P της εξίσωσης (2-39) καθώς και το σχήμα τις ιδιομορφής που αντιστοιχεί στο καθένα, σύμφωνα με τις σχέσεις (2-43) και (2-44). Έτσι, παρουσιάζονται ενδεικτικά τα αποτελέσματα για τις ιδιομορφές λυγισμού και τα τέσσερα πρώτα κρίσιμα φορτία για μία περίπτωση αμφίπακτης δοκού επί ελαστικού εδάφους. Η δοκός που μελετάται είναι διατομής CHS 33.7x2 και μήκους L=5m. Η δοκός είναι κατασκευασμένη από ελαστικό χάλυβα με μέτρο ελαστικότητας Ε=210GPa και λόγο Poisson ν=0.30, ενώ η εδαφική δυσκαμψία λαμβάνεται ίση με 2kN/m. Πίνακας 2-7. Φορτία λυγισμού από αναλυτική επίλυση P 1(kN) P 2(kN) P 3(kN) P 4(kN) Διπλωματική Εργασία Καλφαντή Παύλου Ε.Μ.Π. 2014

35 Γραμμική Ανάλυση Λυγισμού Δοκού Επί Ελαστικού Εδάφους 21 Σχήμα Ιδιομορφές λυγισμού από επίλυση εξίσωσης λυγισμού Γραμμική ανάλυση λυγισμού Αριθμητική προσέγγιση Η περίπτωση της αμφίπακτης δοκού επί ελαστικού εδάφους μελετάται αριθμητικά μέσω του προγράμματος πεπερασμένων στοιχείων ADINA. Για το σκοπό αυτό προσομοιώνεται μία συνεχής αμφίπακτη δοκός, όπως παρουσιάζεται στο Σχήμα Η δοκός που μελετάται είναι ίδιων χαρακτηριστικών με την δοκό που μελετήθηκε στην παράγραφο Ο φορέας προσομοιώνεται με ραβδωτά πεπερασμένα στοιχεία (beam elements), ενώ το ελαστικό έδαφος Winkler προσομοιώνεται με εγκάρσια μονοαξονικά ελατήρια (spring elements) που συνδέουν τη δοκό με το έδαφος, το οποίο θεωρείται ακλόνητο. Ο φορέας διακριτοποιείται ανά 0.05m, κατόπιν της ανάλυσης ευαισθησίας που προηγήθηκε για τον προσδιορισμό της βέλτιστης διακριτοποίησης. Για τη δοκό που προσομοιάζεται στο πρόγραμμα πεπερασμένων στοιχείων εκτελείται γραμμικοποιημένη ανάλυση λυγισμού (Linearized buckling analysis LBA), όπου ζητούνται τα 4 πρώτα κρίσιμα φορτία λυγισμού καθώς και τα αντίστοιχα σχήματα των ιδιομορφών. Τα αποτελέσματα των κρίσιμων φορτίων παρουσιάζονται στον Πίνακα 2-8 ενώ οι ιδιομορφές λυγισμού στο Σχήμα Πίνακας 2-8. Φορτία λυγισμού από αριθμητική επίλυση P 1(kN) P 2(kN) P 3(kN) P 4(kN) Σχήμα Ιδιομορφές λυγισμού από αριθμητική επίλυση Διερεύνηση καθολικού λυγισμού υπόγειων μεταλλικών αγωγών

36 22 Κεφάλαιο Σύγκριση αναλυτικών και αριθμητικών αποτελεσμάτων Με βάση τα αποτελέσματα των αναλύσεων τόσο της αναλυτικής προσέγγισης όσο και της αριθμητικής προσέγγισης, όπως παρουσιάστηκαν στις παραγράφους και 2.3.3, γίνεται η σύγκριση των τεσσάρων πρώτων κρίσιμων φορτίων καθώς και των αντίστοιχων σχημάτων των ιδιομορφών όπως προκύπτουν από τις δύο αυτές εναλλακτικές προσεγγίσεις. Πιο συγκεκριμένα, παρουσιάζεται ο Πίνακας 2-9 που δείχνει την απόκλιση των κρίσιμων φορτίων της κάθε μεθόδου καθώς και τα σχήματα των τεσσάρων πρώτων ιδιομορφών των δύο προσεγγίσεων σε κοινά διαγράμματα. Παρατηρείται πλήρης ταύτιση των σχημάτων των ιδιομορφών καθώς και μικρό σφάλμα ακόμα και για τα μεγαλύτερης τάξης κρίσιμα φορτία. Πίνακας 2-9. Σύγκριση τεσσάρων πρώτων κρίσιμων φορτίων P 1(kN) P 2(kN) P 3(kN) P 4(kN) Αναλυτική Λύση Λύση Adina ε(%) Σχήμα Σύγκριση σχημάτων πρώτης ιδιομορφής Σχήμα Σύγκριση σχημάτων δεύτερης ιδιομορφής Διπλωματική Εργασία Καλφαντή Παύλου Ε.Μ.Π. 2014

37 Γραμμική Ανάλυση Λυγισμού Δοκού Επί Ελαστικού Εδάφους 23 Σχήμα Σύγκριση σχημάτων τρίτης ιδιομορφής Σχήμα Σύγκριση σχημάτων τέταρτης ιδιομορφής Μετάθεση ιδιομορφών Από τα αποτελέσματα των παραμετρικών αναλύσεων για τον υπολογισμό κρίσιμων φορτίων και ιδιομορφών λυγισμού στο MATLAB, προκύπτει ότι στην αμφίπακτη δοκό επί εδάφους Winkler παρατηρείται μια μετατροπή του σχήματος των ιδιομορφών με αύξηση της εδαφικής δυσκαμψίας. Για το λόγο αυτό εισάγεται η ακόλουθη ονοματολογία με βάση τα σχήματα των ιδιομορφών αμφίπακτης δοκού χωρίς έδαφος, οι οποίες παρουσιάζονται στο Σχήμα Η ονοματολογία των ιδιομορφών αμφίπακτης δοκού χωρίς έδαφος προκύπτει και σε αυτή την περίπτωση από το σχήμα της ιδιομορφής, δηλαδή εάν αυτό είναι συμμετρικό η αντισυμμετρικό ως προς το κέντρο της δοκού, καθώς και από την τάξη της ιδιομορφής, ανάλογα την τιμή του αριθμού n. Έτσι, για n=1 προκύπτει συμμετρικό σχήμα και άρα υιοθετείται το όνομα [1S], για n=2 προκύπτει αντισυμμετρικό σχήμα και υιοθετείται το όνομα [1Α], για n=3 προκύπτει συμμετρικό σχήμα και υιοθετείται το όνομα [2S] και, τέλος, για n=4 έχουμε αντισυμμετρικό σχήμα το οποίο ονομάζεται [2Α]. Διερεύνηση καθολικού λυγισμού υπόγειων μεταλλικών αγωγών

38 24 Κεφάλαιο 2 Σχήμα Ιδιομορφές λυγισμου αμφίπακτης δοκού Στον Πίνακα 2-10 και στα σχήματα Σχήμα 2-23 εώς Σχήμα 2-26 παρουσιάζεται η ονοματολογία των ιδιομορφών που εισάγεται. Ο διαχωρισμός γίνεται με βάση τον αριθμό των σημείων στα οποία το σχήμα της ιδιομορφής μηδενίζεται εσωτερικά των στηρίξεων. Επομένως, για επιπλέον σημεία μηδενισμού της ιδιομορφής [1S] υιοθετείται το όνομα [1S ], όπως παρουσιάζεται γραφικά στο Σχήμα 2-23, ενώ αντίστοιχα ονομάζονται και οι ιδιομορφές [1A ], [2S ] και [2A ]. Πίνακας Ονοματολογία Ιδιομορφών Όνομα Ιδιομορφής Σχήμα αμφίπακτης χωρίς Εσωτερικά Σημεία ελατήρια Μηδενισμού [1S] [1S] 0 [1S'] [1S] 2 [1A] [1A] 1 [1A'] [1A] 3 [2S] [2S] 0 [2S'] [2S] 2 [2A] [2A] 3 [2A'] [2A] 5 Σχήμα Ιδιομορφές λυγισμού [1S] και [1S ] Διπλωματική Εργασία Καλφαντή Παύλου Ε.Μ.Π. 2014

39 Γραμμική Ανάλυση Λυγισμού Δοκού Επί Ελαστικού Εδάφους 25 Σχήμα Ιδιομορφές λυγισμού [1Α] και [1Α ] Σχήμα Ιδιομορφές λυγισμού [2S] και [2S ] Σχήμα Ιδιομορφές λυγισμού [2Α] και [2Α ] Μετά τις παραμετρικές αναλύσεις που γίνονται στο MATLAB, και σε πλήρη αντιστοιχία με την αμφιέρειστη δοκό, δημιουργούνται οι γραφικές παραστάσεις που δείχνουν τη σχέση της εδαφικής δυσκαμψίας με τα τέσσερα πρώτα κρίσιμα φορτία λυγισμού. Τα αποτελέσματα παρουσιάζονται στο Σχήμα 2-27 όπου στον κατακόρυφο άξονα παρουσιάζεται το αδιαστατοποιημένο φορτίο σύμφωνα με τις Σχέσεις (2-45) και (2-46) ενώ στον οριζόντιο άξονα παρουσιάζεται η αδιαστατοποιημένη εδαφική Διερεύνηση καθολικού λυγισμού υπόγειων μεταλλικών αγωγών

40 26 Κεφάλαιο 2 δυσκαμψία σε εύρος 0 έως 250, σύμφωνα με τη σχέση (2-31). Τέλος, στο Σχήμα 2-28 παρουσιάζεται η κρίσιμη ιδιομορφή λυγισμού στο ίδιο εύρος εδαφικής δυσκαμψίας. P 2 4π EI Euler,Αμφίπακτης 2 (2-45) L P P P (2-46) Euler,Αμφίπακτης Σχήμα Φορτία λυγισμού τεσσάρων πρώτων ιδιομορφών λυγισμού σε σχέση με την εδαφική δυσκαμψία Σχήμα Σχέση αδιαστατοποιημένης εδαφικής δυσκαμψίας και αδιαστατοποιημένου κρισίμου φορτίου Η παρουσία του ελαστικού εδάφους επί του οποίου εδράζεται η δοκός οδηγεί σε μετάθεση των κρίσιμων ιδιομορφών με την αύξηση τις δυσκαμψίας του εδάφους k, όπως συμβαίνει και στην αμφιέρειστη δοκό. Σε αντίθεση με την αμφιέρειστη δοκό, όπου όλα τα σχήματα των ιδιομορφών λυγισμού γίνονται κρίσιμα με την προοδευτική αύξηση της εδαφικής δυσκαμψίας, στην αμφίπακτη δοκό υπάρχει μια διαρκής μετάβαση από μία συμμετρική σε μία αντισυμμετρική κρίσιμη ιδιομορφή λυγισμού με αύξηση των αντιστοίχων εσωτερικών σημείων μηδενισμού, άλλα πάντα με βάση τα σχήματα [1S] και [1Α]. Με βάση τα αποτελέσματα των αναλύσεων, ορίζονται οι ακόλουθες περιοχές σύμφωνα με τον Πίνακα Διπλωματική Εργασία Καλφαντή Παύλου Ε.Μ.Π. 2014

41 Γραμμική Ανάλυση Λυγισμού Δοκού Επί Ελαστικού Εδάφους 27 Πίνακας Περιοχές κρίσιμων ιδιομορφών αμφίπακτης δοκού Περιοχή Εύρος τιμών εδαφικής δυσκαμψίας Κρίσιμη ιδιομορφή Α (0,9) Β (9,64) Γ (64,225) Δ (225,576) 2.4 ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Μελετήθηκε αναλυτικά και αριθμητικά η λυγισμική συμπεριφορά δοκού επί ελαστικού εδάφους σαν μία πρώτη προσέγγιση του φαινομένου του καθολικού λυγισμού υπόγειων μεταλλικών αγωγών. Μελετήθηκαν οι περιπτώσεις τόσο της αμφιέρειστης όσο και της αμφίπακτης δοκού. Τόσο στην αναλυτική προσέγγιση όσο και στην αριθμητική επίλυση υπολογίστηκαν τα τέσσερα πρώτα κρίσιμα φορτία λυγισμού καθώς και τα σχήματα των αντίστοιχων ιδιομορφών. Στη συνέχεια έγινε η σύγκριση των δύο αυτών επιλύσεων όπου προέκυψε πλήρης ταύτιση των αποτελεσμάτων, τόσο στις τιμές των κρίσιμων φορτίων όσο και στα σχήματα των ιδιομορφών. Παρατηρήθηκε επίσης ότι η εδαφική δυσκαμψία επηρεάζει τα κρίσιμα φορτία λυγισμού καθώς με την αύξηση της εδαφικής δυσκαμψίας παρατηρείται αύξηση των κρίσιμων φορτίων λυγισμού. Παρατηρείται, όμως, μικρότερη επιρροή της αύξησης της εδαφικής δυσκαμψίας στις ανώτερες ιδιομορφές. Τέλος, μελετήθηκε το φαινόμενο της μετάθεσης των κρίσιμων ιδιομορφών λυγισμού καθώς και της μετατροπής του σχήματος αυτών, στην περίπτωση της αμφίπακτης δοκού, με την αύξηση της εδαφικής δυσκαμψίας. 2.5 ΑΝΑΦΟΡΕΣ [2-1] Maple (2011), Waterloo Maple Inc. [2-2] ADINA R & D Inc. (2006), Theory and Modeling Guide Volume I: ADINA, Report AED [2-3] MATLAB 6.1, The MathWorks Inc., Natick, MA, 2000 Διερεύνηση καθολικού λυγισμού υπόγειων μεταλλικών αγωγών

42 28 Κεφάλαιο 2 Διπλωματική Εργασία Καλφαντή Παύλου Ε.Μ.Π. 2014

43 3 ΜΗ-ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΑΝΑΛΥΣΕΙΣ ΔΟΚΟΥ ΕΠΙ ΕΛΑΣΤΙΚΟΥ ΕΔΑΦΟΥΣ Η απώλεια της ευστάθειας μιας κατασκευής θέτει σε κίνδυνο την ικανότητα της να παραλάβει τα φορτία για τα οποία είναι μελετημένη. Σε φορείς δε που ο λυγισμός είναι μια πιθανή μορφή αστοχίας, ενδιαφέρον παρουσιάζει η δυνατότητα του φορέα να παραλάβει φορτία στην κατάσταση μετά τον λυγισμό, δηλαδή κατά πόσο ο φορέας παρουσιάζει ασταθή η ευσταθή μεταλυγισμική συμπεριφορά. Επομένως, το πρόβλημα της δοκού επί ελαστικού εδάφους όπως παρουσιάστηκε στο κεφάλαιο 2 αναλύεται στο κεφάλαιο 3 με μη-γραμμικές αναλύσεις οι οποίες έχουν σκοπό τη μελέτη της μεταλυγισμικής συμπεριφοράς του φορέα. Έτσι, εξετάζεται μέσω μη-γραμμικών αναλύσεων γεωμετρίας με αρχικές ατέλειες η λυγισμική και μεταλυγισμική συμπεριφορά της αμφιέρειστης και της αμφίπακτης δοκού επί ελαστικού εδάφους. 3.1 ΑΜΦΙΕΡΕΙΣΤΗ ΔΟΚΟΣ Δεδομένα αναλύσεων Μελετάται η λυγισμική και μεταλυγισμική συμπεριφορά μιας αμφιέρειστης δοκού επί ελαστικού εδάφους με χρήση του προγράμματος πεπερασμένων στοιχείων ADINA [3-1]. Η δοκός που μελετάται είναι διατομής CHS 33.7x2 και μήκους L=5m. To υλικό που χρησιμοποιείται είναι ελαστικός χάλυβας, με μέτρο Ελαστικότητας Ε=210GPa και λόγο Poisson ν=0.30. Το κρίσιμο φορτίο λυγισμού της υπό εξέταση δοκού χωρίς εδαφικά ελατήρια προκύπτει ίσο με Pcr=π 2 ΕΙ/L 2 =2.0824kN. Ο φορέας προσομοιώνεται με ραβδωτά πεπερασμένα στοιχεία (beam elements), ενώ το ελαστικό έδαφος Winkler προσομοιώνεται με εγκάρσια μονοαξονικά ελατήρια (spring elements) που συνδέουν τη δοκό με το έδαφος, το οποίο θεωρείται ακλόνητο. Ο φορέας διακριτοποιείται ανά 0.05m, κατόπιν ανάλυσης ευαισθησίας που προηγήθηκε για τον προσδιορισμό της βέλτιστης διακριτοποίησης. Ο τύπος της ανάλυσης που πραγματοποιείται είναι μη-γραμμική ανάλυση γεωμετρίας με αρχικές ατέλειες (Geometrically nonlinear imperfection analysis - GNIA), ενώ στο πρόγραμμα πεπερασμένων στοιχείων ADINA χρησιμοποιείται ο αλγόριθμος arc-length (collapse). Στη GNIA οι εξισώσεις ισορροπίας διατυπώνονται στην παραμορφωμένη κατάσταση, η οποία διαφέρει σημαντικά από την απαραμόρφωτη. Η GNI ανάλυση δύναται να περιγράψει τόσο τη λυγισμική, όσο και τη μεταλυγισμική συμπεριφορά κατασκευών που είναι ευπαθείς σε λυγισμό. Διερεύνηση καθολικού λυγισμού υπόγειων μεταλλικών αγωγών

44 30 Κεφάλαιο 3 Επιλέγονται τέσσερις περιπτώσεις εδαφικής δυσκαμψίας. Οι περιπτώσεις 1, 3 αντιστοιχούν στις περιοχές A, B αντίστοιχα, ενώ οι περιπτώσεις 2 και 4 αντιστοιχούν στην μετάβαση από την περιοχή A στην B και από την B στην Γ, αντίστοιχα. Οι περιοχές Α, Β, Γ για τις κρίσιμες ιδιομορφές λυγισμού ορίζονται στον Πίνακα 2-6 του κεφαλαίου 2. Για τις τέσσερις αυτές περιπτώσεις προκύπτουν και τα κρίσιμα φορτία για τις αντίστοιχες τέσσερις πρώτες ιδιομορφές τους, όπως παρουσιάζονται στον Πίνακα 3-1. Πίνακας 3-1. Υπό εξέταση περιπτώσεις για GNIA Περίπτωση 1 Περίπτωση 2 Περίπτωση 3 Περίπτωση 4 k k(kn/m) P 1(kN) P 2(kN) P 3(kN) P 4(kN) P cr(kn) Κρίσιμη Ιδιομορφή [1S] [1S] και [1Α] [1Α] [1Α] και [2S] Σχήματα ατελειών για μη-γραμμικές αναλύσεις Η παρουσία αθέλητων ατελειών μπορεί να επηρεάσει σημαντικά τη συμπεριφορά κατασκευών ευαίσθητων σε λυγισμό. Για το λόγο αυτό, σε κάθε υπό εξέταση περίπτωση μελετάται η συμπεριφορά του ατελούς φορέα όπου επιλέγονται ως σχήματα ατελειών γραμμικοί συνδυασμοί των 4 πρώτων ιδιομορφών της αμφιέρειστης δοκού επί ελαστικού εδάφους. H μέγιστη εγκάρσια μετακίνηση κατά μήκους του φορέα yατ λαμβάνεται σύμφωνα με την οδηγία του EC3, δηλαδή ίση με L/500 =0.1m, το οποίο είναι μία συνήθης πρακτική για χαλύβδινα μέλη. Ο γραμμικός συνδυασμός των ιδιομορφών για κάθε συνδυασμό ατέλειας παρουσιάζεται στον Πίνακα 3-2. Τα σχήματα ατελειών που προκύπτουν από τους συνδυασμούς του Πίνακα 3-2 και εισάγονται στις μη-γραμμικές αναλύσεις που πραγματοποιούνται στο πρόγραμμα πεπερασμένων στοιχείων ADINA παρουσιάζονται στο Σχήμα 3-1. Στον οριζόντιο άξονα παρουσιάζεται η αδιστατοποιημένη θέση κατά μήκος της δοκού ενώ στον κατακόρυφο άξονα παρουσιάζεται το μέγεθος της ατέλειας ως ποσοστό επί του μήκους της δοκού. Συνδυασμοί Aτελειών I II III IV Πίνακας 3-2. Συνδυασμοί ατελειών Ιδιομορφές Λυγισμού (LBA) [1S]+[2S]+[1A]+[2A] [1S]-[2S]+[1A]+[2A] [1S]+[2S]+[1A]-[2A] [1S]-[2S]+[1A]-[2A] Διπλωματική Εργασία Καλφαντή Παύλου Ε.Μ.Π. 2014

45 Μη-Γραμμικές Αναλύσεις Δοκού Επί Ελαστικού Εδάφους 31 Σχήμα 3-1. Σχήματα ατελειών Αποτελέσματα μη-γραμμικών αναλύσεων γεωμετρίας με αρχικές ατέλειες Τα αποτελέσματα των μη-γραμμικών αναλύσεων παρουσιάζονται συνήθως υπό τη μορφή δρόμων ισορροπίας, όπου στον οριζόντιο άξονα παρουσιάζεται η μετατόπιση μίας χαρακτηριστικής θέσης του φορέα, ενώ στον κατακόρυφο άξονα παρουσιάζεται μια χαρακτηριστική τιμή φορτίου. Ο δρόμος ισορροπίας περιλαμβάνει ζεύγη τιμών φορτίου και μετατόπισης για τα οποία ο φορέας ισορροπεί. Στις αναλύσεις που πραγματοποιούνται για την παρούσα εργασία, στον οριζόντιο άξονα παρουσιάζεται η μετακίνηση του σημείου με τη μέγιστη εγκάρσια μετακίνηση στο τέλος της ανάλυσης, αδιαστατοποιημένη με το μήκος της δοκού ymax/l και στον κάθετο άξονα το αξονικό φορτίο, αδιαστατοποιημένο με το κρίσιμο φορτίο λυγισμού P/Pcr. Επίσης παρουσιάζεται το παραμορφωμένο σχήμα του φορέα στο τέλος της ανάλυσης για κάθε περίπτωση. Τα αποτελέσματα παρουσιάζονται στα Σχήματα 3-2 έως 3-9. Ακολούθως, ο Πίνακας 3-3 παρουσιάζει την ποσοστιαία διαφορά του οριακού φορτίου Pmax όπως προκύπτει για κάθε περίπτωση από την GNI ανάλυση ως προς το κρίσιμο φορτίο λυγισμού όπως προκύπτει από την γραμμικοποιημένη ανάλυση λυγισμού (LBA). Τα αποτελέσματα των μη-γραμμικών αναλύσεων αναδεικνύουν την ασταθή μεταλυγισμική συμπεριφορά του φορέα σε κάθε υπό εξέταση περίπτωση. Τέτοια ασταθής μεταλυγισμική συμπεριφορά είναι πολύ σημαντική κατά τη διάρκεια σχεδιασμού τέτοιου τύπου κατασκευών και θα πρέπει να λαμβάνεται υπόψη, με κατάλληλους συντελεστές ασφαλείας. Όσων αφορά το παραμορφωμένο σχήμα της δοκού στο τέλος του κάθε δρόμου ισορροπίας, παρατηρείται ότι δεν επηρεάζεται σημαντικά από το σχήμα της ατέλειας. Το σχήμα με το οποίο λυγίζει σε κάθε περίπτωση η δοκός είναι παρόμοιο με την εκάστοτε κρίσιμη ιδιομορφή. Ακόμα και στις περιπτώσεις τα φορτία δύο ιδιομορφών λυγισμού είναι πρακτικά ίσα, ο φορέας λυγίζει με το σχήμα της ιδιομορφής που οριακά δίνει το μικρότερο φορτίο. Τέλος, παρατηρείται ότι με την αύξηση της εδαφικής δυσκαμψίας, το η απόκλιση του οριακού φορτίου της GNIA ως προς το κρίσιμο φορτίο της LBA μεγαλώνει, φτάνοντας στην τάξη του 5% για την τελευταία περίπτωση εδαφικής δυσκαμψίας. Διερεύνηση καθολικού λυγισμού υπόγειων μεταλλικών αγωγών

46 32 Κεφάλαιο 3 Περίπτωση 1 - k 1.58 Σχήμα 3-2. Δρόμοι ισορροπίας για k 1.58 Περίπτωση 2 - k 4.01 Σχήμα 3-3. Παραμορφωμένος φορέας για k 1.58 Σχήμα 3-4. Δρόμοι ισορροπίας για k 4.01 Διπλωματική Εργασία Καλφαντή Παύλου Ε.Μ.Π. 2014

47 Μη-Γραμμικές Αναλύσεις Δοκού Επί Ελαστικού Εδάφους 33 Περίπτωση 3 - k Σχήμα 3-5. Παραμορφωμένος φορέας για k 4.01 Σχήμα 3-6. Δρόμοι ισορροπίας για k Σχήμα 3-7. Παραμορφωμένος φορέας για k Διερεύνηση καθολικού λυγισμού υπόγειων μεταλλικών αγωγών

48 34 Κεφάλαιο 3 Περίπτωση 4 - k Σχήμα 3-8. Δρόμοι ισορροπίας για k Σχήμα 3-9. Παραμορφωμένος φορέας για k Πίνακας 3-3. Οριακά φορτία GNIA Περίπτωση 1 Περίπτωση 2 Περίπτωση 3 Περίπτωση 4 P max(ι) P max(ιι) P max(ιιι) P max(iv) P cr(lba) P(kN) ΔP(%) P(kN) ΔP(%) P(kN) ΔP(%) P(kN) ΔP(%) Διπλωματική Εργασία Καλφαντή Παύλου Ε.Μ.Π. 2014

49 Μη-Γραμμικές Αναλύσεις Δοκού Επί Ελαστικού Εδάφους ΑΜΦΙΠΑΚΤΗ ΔΟΚΟΣ Δεδομένα αναλύσεων Ακολούθως μελετάται η λυγισμική και μεταλυγισμική συμπεριφορά μιας αμφίπακτης δοκού επί ελαστικού εδάφους με χρήση του προγράμματος πεπερασμένων στοιχείων ADINA. Η δοκός που μελετάται είναι διατομής CHS 168.3x5 και μήκους L=5m. To υλικό που χρησιμοποιείται είναι ελαστικός χάλυβας, με μέτρο Ελαστικότητας Ε=210GPa και λόγο Poisson ν=0.30. Το φορτίο λυγισμού της υπό εξέταση δοκού χωρίς εδαφικά ελατήρια προκύπτει ίσο με Pcr=4π 2 ΕΙ/L 2 = kN. Ο φορέας προσομοιώνεται με ραβδωτά πεπερασμένα στοιχεία (beam elements), ενώ το ελαστικό έδαφος Winkler προσομοιώνεται με εγκάρσια μονοαξονικά ελατήρια (spring elements) που συνδέουν τη δοκό με το έδαφος, το οποίο θεωρείται ακλόνητο. Ο φορέας διακριτοποιείται ανά 0.05m, κατόπιν ανάλυσης ευαισθησίας που προηγήθηκε για τον προσδιορισμό της βέλτιστης διακριτοποίησης. Ο τύπος της ανάλυσης που πραγματοποιείται είναι μη-γραμμική ανάλυση γεωμετρίας με αρχικές ατέλειες (GNIA), ενώ στο πρόγραμμα πεπερασμένων στοιχείων ADINA χρησιμοποιήθηκε ο αλγόριθμος arc-length (collapse). Στην GNIA οι εξισώσεις ισορροπίας καταστρώνονται στην παραμορφωμένη κατάσταση, η οποία διαφέρει σημαντικά από την απαραμόρφωτη. Η GNI ανάλυση δύναται να περιγράψει τόσο τη λυγισμική, όσο και τη μεταλυγισμική συμπεριφορά κατασκευών που είναι ευπαθείς σε λυγισμό. Επιλέγονται πέντε περιπτώσεις εδαφικής δυσκαμψίας, όπως παρουσιάζονται στο παρακάτω σχήμα. Οι περιπτώσεις 1, 3, 5 αντιστοιχούν στις περιοχές Α, Β, Γ αντίστοιχα, ενώ οι περιπτώσεις 2 και 4 αντιστοιχούν στην μετάβαση από την περιοχή Α στην Β και από την Β στην Γ, αντίστοιχα. Οι περιοχές Α, Β, Γ για τις κρίσιμες ιδιομορφές λυγισμού ορίζονται στον Πίνακα 2-11 του κεφαλαίου 2. Για τις πέντε αυτές περιπτώσεις προκύπτουν τα τέσσερα πρώτα κρίσιμα φορτία και τα σχήματα των αντιστοίχων ιδιομορφών τους από γραμμικοποιημένη ανάλυση λυγισμού. Οι πέντε υπό εξέταση περιπτώσεις, τα τέσσερα πρώτα φορτία λυγισμού καθώς και στο σχήμα της κρίσιμης ιδιομορφής λυγισμού σε κάθε περίπτωση παρουσιάζονται στον Πίνακα 3-4. Πίνακας 3-4. Υπό εξέταση περιπτώσεις για GNIA Περίπτωση 1 Περίπτωση 2 Περίπτωση 3 Περίπτωση 4 Περίπτωση 5 k k(kn/m) P A(kN) P B(kN) P C(kN) P D(kN) Κρίσιμη Ιδιομορφή [1S] [1S] και [1A] [1A] [1A] και [1S ] [1S ] Σχήματα ατελειών για μη-γραμμικές αναλύσεις Σε κάθε περίπτωση μελετάται η συμπεριφορά του ατελούς φορέα, με ατέλειες γραμμικούς συνδυασμούς των 4 πρώτων ιδιομορφών της εκάστοτε αμφίπακτης δοκού επί ελαστικού εδάφους. Τα διαφορετικά σχήματα των τεσσάρων πρώτων ιδιομορφών σε κάθε υπό εξέταση περίπτωση καθιστούν αναγκαίο, σε αντίθεση με την αμφιέρειστη δοκό, να χρησιμοποιηθούν διαφορετικά σχήματα ατελειών σε κάθε περίπτωση. H μέγιστη εγκάρσια ατέλεια κατά μήκους του φορέα yατ λαμβάνεται σύμφωνα με Διερεύνηση καθολικού λυγισμού υπόγειων μεταλλικών αγωγών

50 36 Κεφάλαιο 3 την οδηγία του EC3, δηλαδή ίση με L/500=0.1m, το οποίο είναι μια συνήθης πρακτική για χαλύβδινα μέλη. Σε κάθε περίπτωση οι συνδυασμοί έχουν ονομαστεί όπως παρουσιάζει ο Πίνακας 3-5. Οι τέσσερις πρώτες ιδιομορφές λυγισμού της κάθε περίπτωσης καθώς και τα σχήματα ατελειών που προκύπτουν από τους γραμμικούς συνδυασμούς αυτών και εισάγονται στις μη γραμμικές αναλύσεις που πραγματοποιούνται στο πρόγραμμα πεπερασμένων στοιχείων ADINA παρουσιάζονται από το Σχήμα 3-14 έως το Σχήμα Στα σχήματα των ατελειών, στον οριζόντιο άξονα παρουσιάζεται η αδιστατοποιημένη θέση κατά μήκος της δοκού ενώ στον κατακόρυφο άξονα παρουσιάζεται το μέγεθος της ατέλειας ως ποσοστό επί του μήκους της δοκού. Πίνακας 3-5. Συνδυασμοί ατελειών Συνδυασμοί Aτελειών I II III IV Ιδιομορφές Λυγισμου (LBA) 1 η +2 η +3 η +4 η 1 η +2 η +3 η -4 η 1 η +2 η -3 η -4 η 1 η -2 η -3 η -4 η Περίπτωση 1 - k 4.5 Σχήμα Τέσσερις πρώτες ιδιομορφές λυγισμού δοκού για k 4.5 Σχήμα Σχήματα ατελειών για k 4.5 Διπλωματική Εργασία Καλφαντή Παύλου Ε.Μ.Π. 2014

51 Μη-Γραμμικές Αναλύσεις Δοκού Επί Ελαστικού Εδάφους 37 Περίπτωση 2 - k 9 Σχήμα Τέσσερις πρώτες ιδιομορφές λυγισμού δοκού για k 9 Περίπτωση 3 - k 36.5 Σχήμα Σχήματα ατελειών για k 9 Σχήμα Τέσσερις πρώτες ιδιομορφές λυγισμού δοκού για k 36.5 Διερεύνηση καθολικού λυγισμού υπόγειων μεταλλικών αγωγών

52 38 Κεφάλαιο 3 Περίπτωση 4 - k 64 Σχήμα Σχήματα ατελειών για k 36.5 Σχήμα Τέσσερις πρώτες ιδιομορφές λυγισμού δοκού για k 64 Σχήμα Σχήματα ατελειών για k 64 Διπλωματική Εργασία Καλφαντή Παύλου Ε.Μ.Π. 2014

53 Μη-Γραμμικές Αναλύσεις Δοκού Επί Ελαστικού Εδάφους 39 Περίπτωση 5 - k Σχήμα Τέσσερις πρώτες ιδιομορφές λυγισμού δοκού για k Σχήμα Σχήματα ατελειών για k Αποτελέσματα μη-γραμμικών αναλύσεων Τα αποτελέσματα των μη-γραμμικών αναλύσεων παρουσιάζονται υπό τη μορφή δρόμων ισορροπίας, όπου στον οριζόντιο άξονα παρουσιάζεται η μετακίνηση του σημείου του φορέα το οποίο έχει τη μέγιστη εγκάρσια μετακίνηση στο τέλος της ανάλυσης, αδιαστατοποιημένη με το μήκος της δοκού ymax/l και στον κάθετο άξονα το αξονικό φορτίο, αδιαστατοποιημένο με το κρίσιμο φορτίο λυγισμού P/Pcr. Επίσης παρουσιάζεται το παραμορφωμένο σχήμα του φορέα στο τέλος της ανάλυσης για κάθε περίπτωση. Τα αποτελέσματα παρουσιάζονται από το Σχήμα 3-20 έως το Σχήμα Ακολούθως, ο Πίνακας 3-6 παρουσιάζει την ποσοστιαία διαφορά του οριακού φορτίου Pmax όπως προκύπτει για κάθε περίπτωση από την GNI ανάλυση ως προς το κρίσιμο φορτίο λυγισμού όπως προκύπτει από την γραμμικοποιημένη ανάλυση λυγισμού (LBA). Τα αποτελέσματα των μη-γραμμικών αναλύσεων αναδεικνύουν και στην περίπτωση της αμφίπακτης δοκού την ασταθή μεταλυγισμική της συμπεριφορά της σε κάθε υπό εξέταση περίπτωση. Όσων αφορά το παραμορφωμένο σχήμα της δοκού στο τέλος του κάθε δρόμου ισορροπίας, παρατηρείται ότι δεν επηρεάζεται σημαντικά από το σχήμα της ατέλειας. Το σχήμα με το οποίο παραμορφώνεται σε κάθε περίπτωση η δοκός είναι παρόμοιο με την εκάστοτε κρίσιμη ιδιομορφή. Ακόμα και στις περιπτώσεις που τα φορτία δύο ιδιομορφών λυγισμού είναι πρακτικά ίσα, ο φορέας λυγίζει με το σχήμα της Διερεύνηση καθολικού λυγισμού υπόγειων μεταλλικών αγωγών

54 40 Κεφάλαιο 3 ιδιομορφής που οριακά δίνει το μικρότερο φορτίο. Τέλος, παρατηρείται ότι με την αύξηση της εδαφικής δυσκαμψίας, το η απόκλιση του οριακού φορτίου της GNIA ως προς το κρίσιμο φορτίο της LBA μεγαλώνει, φτάνοντας στην τάξη του 5% για την τελευταία περίπτωση εδαφικής δυσκαμψίας. Περίπτωση 1 - k 4.5 Σχήμα Δρόμοι ισορροπίας για k 4.5 Σχήμα Παραμορφωμένος φορέας για k 4.5 Διπλωματική Εργασία Καλφαντή Παύλου Ε.Μ.Π. 2014

55 Μη-Γραμμικές Αναλύσεις Δοκού Επί Ελαστικού Εδάφους 41 Περίπτωση 2 - k 9 Σχήμα Δρόμοι ισορροπίας για k 9 Περίπτωση 3 - k 36.5 Σχήμα Παραμορφωμένος φορέας για k 9 Σχήμα Δρόμοι ισορροπίας για k 36.5 Διερεύνηση καθολικού λυγισμού υπόγειων μεταλλικών αγωγών

56 42 Κεφάλαιο 3 Σχήμα Παραμορφωμένος φορέας για k 36.5 Περίπτωση 4 - k 64 Σχήμα Δρόμοι ισορροπίας για k 64 Σχήμα Παραμορφωμένος φορέας για k 64 Διπλωματική Εργασία Καλφαντή Παύλου Ε.Μ.Π. 2014

57 Μη-Γραμμικές Αναλύσεις Δοκού Επί Ελαστικού Εδάφους 43 Περίπτωση 5 - k Σχήμα Δρόμοι ισορροπίας για k Σχήμα Παραμορφωμένος φορέας για k Πίνακας 3-6. Οριακά φορτία Ανάλυσης GNIA Περίπτωση 1 Περίπτωση 2 Περίπτωση 3 Περίπτωση 4 Περίπτωση 5 P max(ι) P max(ιι) P max(ιιι) P max(iv) P cr(lba) P(kN) ΔP(%) P(kN) ΔP(%) P(kN) ΔP(%) P(kN) ΔP(%) P(kN) ΔP(%) Διερεύνηση καθολικού λυγισμού υπόγειων μεταλλικών αγωγών

58 44 Κεφάλαιο Συμπεράσματα Μελετήθηκε αριθμητικά η λυγισμική και μεταλυγισμική συμπεριφορά τόσο της αμφίέρειστης όσο και της αμφίπακτης δοκού επί ελαστικού εδάφους σαν μία πρώτη προσέγγιση του φαινομένου του καθολικού λυγισμού υπόγειων μεταλλικών αγωγών. Η μεταλυγισμική συμπεριφορά των δοκών Euler- Bernoulli επί ελαστικού εδάφους μελετήθηκε μέσω μη-γραμμικών αναλύσεων γεωμετρίας με αρχικές ατέλειες (GNIA). Οι προκύπτοντες δρόμοι ισορροπίας σε κάθε εξεταζόμενη περίπτωση υποδεικνύουν ασταθή μεταλυγισμική συμπεριφορά του φορέα καθώς και μικρή επιρροή των ατελειών στο οριακό φορτίο. Τέλος, η αύξηση της εδαφικής δυσκαμψίας συνεπάγεται μεγαλύτερη απόκλιση του οριακού φορτίου Pmax, όπως προκύπτει σε κάθε περίπτωση από τη GNI ανάλυση, ως προς το κρίσιμο φορτίο λυγισμού όπως προκύπτει από τη γραμμικοποιημένη ανάλυση λυγισμού (LBA). Διπλωματική Εργασία Καλφαντή Παύλου Ε.Μ.Π. 2014

59 4 ΔΙΕΛΕΥΣΗ ΑΓΩΓΟΥ ΑΠΟ ΣΕΙΣΜΙΚΟ ΡΗΓΜΑ 4.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η διαδικασία σχεδιασμού και κατασκευής ενός αγωγού πραγματοποιείται εντός ενός αυστηρού κανονιστικού πλαισίου που καθιστά αναπόφευκτη, σε ορισμένες περιπτώσεις, την όδευση του αγωγού μέσα από σεισμογενείς περιοχές, που συνήθως περιλαμβάνουν σεισμικά ρήγματα. Έτσι, η ακεραιότητα του αγωγού εξαρτάται άμεσα από την ικανότητά του να ακολουθήσει τις μεγάλες μόνιμες εδαφικές μετακινήσεις που οφείλονται σε ενδεχόμενη ενεργοποίηση των ρηγμάτων αυτών. Η διαφορική εδαφική μετακίνηση κατά την ενεργοποίηση ενός ρήγματος έχει αποδειχθεί από προηγούμενα σεισμικά γεγονότα ως το κρίσιμο αίτιο αστοχίας υπόγειων μεταλλικών αγωγών, σε σύγκριση με άλλες αστοχίες που συνδέονται με σεισμικές διεγέρσεις, όπως κατολισθήσεις, ρευστοποίηση του εδάφους, φορτία από σεισμικά κύματα κ.α.. Κατά τη διάρκεια του αντισεισμικού σχεδιασμού ενός αγωγού, βασική προτεραιότητα αποτελεί η αποφυγή οποιασδήποτε πιθανής αστοχίας του μεταλλικού κελύφους, η οποία μπορεί να οδηγήσει σε διαρροή του μεταφερόμενου καυσίμου, αστοχία της κατασκευής ή ακόμα και έκρηξη. Τα προηγούμενα ενδεχομένως να έχουν ως συνέπεια περιβαλλοντική βλάβη ή ανθρώπινους τραυματισμούς. Η ενεργοποίηση ενός ρήγματος προκαλεί μεγάλες μόνιμες χωρικές εδαφικές μετακινήσεις οι οποίες παραμορφώνουν τον αγωγό, ο οποίος όντας αναγκασμένος να τις ακολουθήσει αναπτύσσει σύνθετη ένταση. Στη φύση απαντώνται τρεις τύποι ρηγμάτων, τα κανονικά, τα ανάστροφα και τα ρήγματα οριζόντιας ολίσθησης. Στα μεν κανονικά ρήματα ο αγωγός αναπτύσσει κυρίως κάμψη και εφελκυσμό, ενώ στα ανάστροφα ρήγματα ο αγωγός αναπτύσσει κυρίως κάμψη και θλίψη. Τέλος, στα ρήγματα οριζόντιας ολίσθησης ο αγωγός αναπτύσσει κυρίως κάμψη και διάτμηση. Οι τρεις τύποι ρηγμάτων καθώς και οι παραμορφώσεις που επιβάλλει ο κάθε ένας παρουσιάζονται στο Σχήμα 4-1. Ο αγωγός, λοιπόν, αναπτύσσει καμπτικές, θλιπτικές ή εφελκυστικές τάσεις και ανηγμένες παραμορφώσεις. Παρόλο που ο χάλυβας χαρακτηρίζεται από υψηλή ολκιμότητα, οι αναπτυσσόμενες μεγάλες τάσεις και μετελαστικές παραμορφώσεις μπορούν να ξεπεράσουν την ικανότητα του υλικού να τις αναλάβει, και επομένως αποτελούν ένα κρίσιμο θέμα για τους μελετητές τέτοιου τύπου τεχνικών έργων. Μεγάλες εφελκυστικές παραμορφώσεις θέτουν σε κίνδυνο κυρίως τις συγκολλητές συνδέσεις των διαδοχικών τμημάτων του αγωγού. Από την άλλη πλευρά, μέσω μεγάλων θλιπτικών παραμορφώσεων είναι πιθανή η απώλεια της ευστάθειας του αγωγού, είτε σε επίπεδο διατομής με τοπικό λυγισμό του μεταλλικού τοιχώματος, είτε σε επίπεδο κατασκευής μέσω καθολικού λυγισμού του αγωγού σε ένα πεπερασμένο μήκος γύρω από το σεισμικό ρήγμα. Συγκεκριμένα στην παρούσα Διερεύνηση καθολικού λυγισμού υπόγειων μεταλλικών αγωγών

60 46 Κεφάλαιο 4 εργασία, όπου αντικείμενο μελέτης είναι ο καθολικός λυγισμός των υπόγειων μεταλλικών αγωγών, μεγάλο ενδιαφέρον παρουσιάζουν τα ανάστροφα σεισμικά ρήγματα, τα οποία επιβάλλουν μεγάλες θλιπτικές και καμπτικές παραμορφώσεις και επομένως είναι η πιθανή η απώλεια της ευστάθειας λόγω των αναπτυσσόμενων θλιπτικών δυνάμεων. Επομένως καθίσταται αναγκαίος ο αριθμητικός υπολογισμός των επιβαλλόμενων αυτών παραμορφώσεων και αναπτυσσόμενων τάσεων στον αγωγό για τον προσδιορισμό του σεισμικού κινδύνου καθώς επίσης για πιο αποτελεσματικό σχεδιασμό αντίστοιχων μελλοντικών έργων. Σχήμα 4-1. Τύποι ρηγμάτων [United States Geological Survey (USGS)] 4.2 ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΑΓΩΓΟΥ Ο σκοπός της αριθμητικής προσομοίωσης και ανάλυσης του αγωγού είναι η αποτίμηση της συμπεριφοράς και της απόκρισης του αγωγού έναντι ενεργοποίησης τεκτονικού ρήγματος. Καθίσταται επομένως αναγκαία η αξιόπιστη και ταυτόχρονα υπολογιστικά αποτελεσματική προσομοίωση της αλληλεπίδρασης αγωγού εδάφους, της επιβαλλόμενης εδαφικής μετακίνησης καθώς επίσης και του ίδιου του αγωγού μέσω πεπερασμένων στοιχείων. Στην πράξη όλοι οι σύγχρονοι κανονισμοί, όπως ο Ευρωκώδικας 8, τα πρότυπα ASCE-ALA, API 5L, ASME B31 κ.α., προτείνουν τη χρήση ραβδωτών πεπερασμένων στοιχείων (beam-type finite elements) για την προσομοίωση του αγωγού, ενώ παράλληλα επιβάλλουν όρια στις εφελκυστικές και θλιπτικές παραμορφώσεις έναντι αστοχίας από τοπικό λυγισμό ή εφελκυστική θραύση των ραφών συγκόλλησης. Παρ όλα αυτά, ένα τμήμα του αγωγού που βρίσκεται κοντά στο τεκτονικό ρήγμα δύναται να προσομοιασθεί με επιφανειακά πεπερασμένα στοιχεία (shell-type finite elements) για την ακριβέστερη εκτίμηση της ενδεχόμενης αστοχίας από τοπικό λυγισμό, η οποία δε δύναται να πραγματοποιηθεί με χρήση ραβδωτών στοιχείων. Η χρήση, όμως, επιφανειακών στοιχείων αυξάνει σημαντικά την πολυπλοκότητα του προσομοιώματος και το υπολογιστικό κόστος. Στην παρούσα εργασία, στην οποία δε μελετάται ο κίνδυνος τοπικού λυγισμού αλλά μόνο καθολικού, επιλέγονται σε όλα τα προσομοιώματα τα ραβδωτά πεπερασμένα στοιχεία. 4.3 ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΕΔΑΦΟΥΣ Η προσομοίωση του περιβάλλοντος εδάφους μπορεί να γίνει με δύο διαφορετικούς τρόπους. Στην πρώτη επιλογή το έδαφος δύναται να προσομοιωθεί με μετακινησιακά μη-γραμμικά ελατήρια προς όλες τις διευθύνσεις, ενώ στη δεύτερη επιλογή η προσομοίωση δύναται να υλοποιηθεί με συμπαγή Διπλωματική Εργασία Καλφαντή Παύλου Ε.Μ.Π. 2014

61 Διέλευση Αγωγού Από Σεισμικό Ρήγμα 47 χωρικά πεπερασμένα στοιχεία (solid finite elements). Η δεύτερη επιλογή, όμως, απαιτεί την προσομοίωση μεγάλου μέρους του περιβάλλοντος εδάφους, κάτι που αυξάνει σημαντικά τη δυσκολία της μοντελοποίησης καθώς και το υπολογιστικό κόστος, ενώ απαιτεί και την προσομοίωση του αγωγού με επιφανειακά πεπερασμένα στοιχεία. Από την άλλη πλευρά, τα εδαφικά ελατήρια είναι συμβατά με τα πεπερασμένα στοιχεία δοκού στην προσομοίωση της αλληλεπίδρασης εδάφους κατασκευής, ενώ η χρήση τους υιοθετείται από όλους τους σύγχρονους κανονισμούς και πρότυπα. Στην παρούσα εργασία επιλέγεται η προσομοίωση του εδάφους με μετακινησιακά ελατήρια στις τρεις διευθύνσεις. Αναλυτικότερα, γίνεται χρήση ελατηρίων στη διαμήκη διεύθυνση του αγωγού που προσομοιάζουν την τριβή που αναπτύσσεται μεταξύ αγωγού και εδάφους (axial frictional soil springs), εγκάρσιων οριζόντιων ελατηρίων για την προσομοίωση της εγκάρσιας μετακίνησης του αγωγού μέσα στο διανοιγμένο όρυγμα (lateral transverse soil springs), καθώς επίσης και εγκαρσίων κατακόρυφων ελατηρίων εγκάρσια στον αγωγό προς τα άνω (vertical upward soil springs) και προς τα κάτω (vertical downward soil springs) για την προσομοίωση της μετακίνησης του αγωγού στο κατακόρυφο επίπεδο. Η χρήση διαφορετικών εδαφικών ελατηρίων πάνω και κάτω από τον αγωγό προκύπτει από το γεγονός ότι τα εδαφικά χαρακτηριστικά πάνω και κάτω από τον αγωγό διαφέρουν σημαντικά, καθώς κάτωθεν του αγωγού βρίσκεται το μητρικό έδαφος, ενώ άνωθεν αυτού βρίσκεται η επίχωση που διαστρώνεται μετά την κατασκευή του, η οποία συνήθως είναι χαλαρό μη-συνεκτικό έδαφος το οποίο συμπυκνώνεται ελαφρά. Τα εδαφικά ελατήρια παρουσιάζονται στο Σχήμα 4-2, ενώ τα χαρακτηριστικά τους υπολογίζονται βάσει των σχέσεων που προτείνονται από το πρότυπο ASCE-ALA και που παρουσιάζονται στις παραγράφους έως Σχήμα 4-2. Προσομοίωση αλληλεπίδρασης αγωγού εδάφους Αξονικά εδαφικά ελατήρια Η μέγιστη αξονική δύναμη ανά μέτρο μήκους που μπορεί να μεταφερθεί στον αγωγό είναι: 1 Κ (4-1) 2 0 Τ πdαc πdhγ tan δ U όπου: D εξωτερική διάμετρος αγωγού c συνοχή εδάφους H βάθος επίχωσης έως τη μέση στάθμη του αγωγού γ ενεργό ειδικό βάρος εδάφους Διερεύνηση καθολικού λυγισμού υπόγειων μεταλλικών αγωγών

62 48 Κεφάλαιο 4 Κ0 συντελεστής πλευρικής τριβής α συντελεστής συνοχής c 2 3 c 1 c 1 δ φ γωνία τριβής μεταξύ αγωγού και εδάφους εσωτερική γωνία τριβής εδάφους fφ f συντελεστής που εξαρτάται από το υλικό επένδυσης εξωτερικά του αγωγού Ενώ η μετακίνηση ΔΤ που αντιστοιχεί στη δύναμη ΤU ορίζεται ως: ΔΤ ΔΤ 3mm 8mm για πυκνή άμμο για στιφρή άργιλο ΔΤ ΔΤ 5mm για χαλαρή άμμο 10mm για μαλακή άργιλο (4-2) Οριζόντια εδαφικά ελατήρια Η μέγιστη εγκάρσια δύναμη ανά μέτρο μήκους που μπορεί να μεταφερθεί στον αγωγό είναι: όπου: P N cd N γhd U ch qh (4-3) Νch συντελεστής οριζόντιας φέρουσας ικανότητας αργίλου (0 για c=0) Ν συντελεστής οριζόντιας φέρουσας ικανότητας άμμου(0 για φ=0 ο ) qh Οι συντελεστές Νch και Νqh προκύπτουν από τους εμπειρικούς τύπους (4-3) και (4-4), ενώ οι συντελεστές a, b, c, d, e, x παρουσιάζονται στον Πίνακα 4-1. c d Νch a bx (x 1) (x 1) (4-4) Ν a bx cx dx ex qh (4-5) Τέλος, η μετακίνηση ΔP που αντιστοιχεί στη δύναμη PU ορίζεται ως D ΔP 0.04 H 0.10D 2 (4-6) Πίνακας 4-1. Συντελεστές a, b, c, d, e, x Συντελεστής φ x a b c d e N ch 0 ο H/D N qh 20 ο H/D N qh 25 ο H/D N qh 30 ο H/D N qh 35 ο H/D N qh 40 ο H/D N qh 45 ο H/D Διπλωματική Εργασία Καλφαντή Παύλου Ε.Μ.Π. 2014

63 Διέλευση Αγωγού Από Σεισμικό Ρήγμα Κατακόρυφα εδαφικά ελατήρια προς τα άνω Οι εξισώσεις για τα εδαφικά ελατήρια προς τα άνω βασίζονται σε εργαστηριακά πειράματα μικρής κλίμακας και θεωρητικά μοντέλα. Για το λόγο αυτό, οι εξισώσεις αυτές έχουν εφαρμογή σε σχετικά μικρά βάθη ορύγματος Η/D, όπως ορίζονται στις ακόλουθες εξισώσεις. Η μέγιστη κάθετη δύναμη ανά μέτρο μήκους που μπορεί να μεταφερθεί στον αγωγό είναι: όπου: Q N cd N γhd U cv qv (4-7) Νcv συντελεστής προς τα άνω φέρουσας ικανότητας αργίλου (0 για c=0) Η Νcv 2 10 D για Η 10 D (4-8) Νqv συντελεστής προς τα άνω φέρουσας ικανότητας άμμου(0 για φ=0 ο ) Ν qv φh N 44D q (Το Νq ορίζεται στην παράγραφο 4.3.4) (4-9) Ενώ η μετακίνηση ΔQu που αντιστοιχεί στη δύναμη QU ορίζεται ως: ΔQu 0.01H 0.02H για σκληρές και μαλακές άμμους 0.1D ΔQu 0.1H 0.2H για στιφρές και χαλαρές αργίλους 0.2D (4-10) Κατακόρυφα εδαφικά ελατήρια προς τα κάτω Η μέγιστη κάθετη προς τα κάτω δύναμη ανά μέτρο μήκους που μπορεί να μεταφερθεί στον αγωγό είναι: 2 D (4-11) Q N cd N γhd N γ d c q γ 2 όπου οι συντελεστές φέρουσας ικανότητας Νc, Nq, Nγ ορίζονται ως: φ (4-12) 2 πtan(φ 0.001) 2 Ν c [cot(φ 0.001)] * [e * tan (45 ) 1] φ (4-13) 2 πtanφ 2 Νq e tan (45 ) Νγ (0.18φ 2.5) e (4-14) Ενώ η μετακίνηση ΔQd που αντιστοιχεί στη δύναμη Qd ορίζεται ως: Δ 0.1D για κοκκώδη εδάφη Qd Δ 0.2D για συνεκτικά εδάφη Qd (4-15) Τελικά, προκύπτουν τα διαγράμματα που περιγράφουν τη μη-γραμμική συμπεριφορά των εδαφικών ελατηρίων. Ο οριζόντιος μετελαστικός κλάδος δεν έχει, σύμφωνα με το πρότυπο ASCE-ALA, Διερεύνηση καθολικού λυγισμού υπόγειων μεταλλικών αγωγών

64 50 Κεφάλαιο 4 συγκεκριμένη παραμόρφωση θραύσης. Τα ενδεικτικά διαγράμματα δύναμης μετατόπισης των εδαφικών ελατηρίων παρουσιάζονται στο Σχήμα 4-3. Σχήμα 4-3. Διαγράμματα δύναμης-μετατόπισης εδαφικών ελατηρίων [ASCE-ALA: Guidelines for the Design of Buried Steel Pipe] 4.4 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ Για τη μελέτη της απόκρισης ενός υπόγειου μεταλλικού αγωγού σε ενεργοποίηση ενός σεισμικού ρήγματος, χρησιμοποιείται το εμπορικό πρόγραμμα πεπερασμένων στοιχείων ADINA. Στόχος της ανάλυσης αυτής είναι ο υπολογισμός των αναπτυσσόμενων εντατικών και παραμορφωσιακών μεγεθών στον αγωγό από αυτή τη σεισμική διέγερση, ώστε να αποτιμηθεί η συμπεριφορά του σε πιθανή αστοχία από καθολικό λυγισμό. Η αποτίμηση της συμπεριφοράς σε καθολικό λυγισμό θα αναλυθεί στο κεφάλαιο 5. Η πραγματοποιούμενη ανάλυση είναι μη-γραμμική ανάλυση γεωμετρίας και υλικού (Geometric and Material Nonlinear Analysis GΜNA), ενώ στο πρόγραμμα πεπερασμένων στοιχείων ADINA χρησιμοποιείται ο αλγόριθμος arc-length (collapse) προκειμένου να «εντοπισθεί» ενδεχόμενη ασταθής μεταλυγισμική συμπεριφορά. Στη GΜNA οι εξισώσεις ισορροπίας διατυπώνονται στην παραμορφωμένη κατάσταση, η οποία διαφέρει σημαντικά από την απαραμόρφωτη, ενώ ο νόμος του υλικού είναι μηγραμμικός. Μέσω της GΜN ανάλυσης δύναται να περιγραφεί τόσο η λυγισμική, όσο και η μεταλυγισμική συμπεριφορά κατασκευών που είναι ευπαθείς σε λυγισμό και να εκτιμηθεί η αλληλεπίδραση λυγισμού και διαρροής υλικού Αγωγός Για τον αγωγό επιλέγεται μια τυπική διατομή υπόγειου μεταλλικού αγωγού υψηλής πίεσης, με εξωτερική διάμετρο D=0.9144m (36in), πάχος τοιχώματος t=0.0119m (0.469in) και συνολικό μήκος L=1000m. Το υλικό του αγωγού είναι χάλυβας ποιότητας API5L-X65, με νόμο υλικού ελαστικό γραμμικώς κρατυνόμενο, του οποίου τα χαρακτηριστικά παρουσιάζονται στον Πίνακα 4-1 και στο Σχήμα 4-4. Πίνακας 4-2. Χαρακτηριστικά χάλυβα Χ65 Τάση διαρροής(μpa) Τάση θραύσης(μpa) Παραμόρφωση διαρροής(%) Παραμόρφωση θραύσης(%) 20 Μέτρο ελαστικότητας(gpa) 210 Μέτρο κράτυνσης(gpa) 0.70 Διπλωματική Εργασία Καλφαντή Παύλου Ε.Μ.Π. 2014

65 Διέλευση Αγωγού Από Σεισμικό Ρήγμα 51 Σχήμα 4-4. Διάγραμμα τάσεων-παραμορφώσεων χάλυβα Χ65 Η προσομοίωση του αγωγού γίνεται με ραβδωτά πεπερασμένα στοιχεία, ενώ ο φορέας του συνολικού μήκους L=1000m διακτριτοποιείται ανά 0.50m, έπειτα από ανάλυση ευαισθησίας που προηγήθηκε για την εύρεση της βέλτιστης διακριτοποίησης. Ειδικότερα, εξετάσθηκαν προσομοιώματα με διακριτοποίηση 0.20m, 0.50m, 1.00m και 2.00m από όπου προέκυψε σημαντική διαφορά στα αποτελέσματα μεταξύ της διακριτοποίησης των 0.50m και των 1.00m, ενώ οι διαφορές στα αποτελέσματα μεταξύ 0.20m και 0.50m κρίθηκαν ως αμελητέες. Τα αποτελέσματα της ανάλυσης ευαισθησίας διακριτοποίησης δεν παρουσιάζονται για λόγους οικονομίας χώρου. Όσον αφορά τα όρια των μεγίστων επιτρεπόμενων παραμορφώσεων στον αγωγό από την ενεργοποίηση του σεισμικού ρήγματος, αυτά εκτιμώνται από τις προτεινόμενες σχέσεις του προτύπου ASCE-ALA. Έτσι, οι μέγιστες επιτρεπόμενες εφελκυστικές και θλιπτικές παραμορφώσεις δίνονται από τις εξισώσεις (4-16) και (4-17), αντίστοιχα: εt,max 2% (4-16) t pd ε c,max D 2Et, όπου 2 D D (4-17) 1 3(D D ) / D min Όπου D η εξωτερική διάμετρος του αγωγού, Dmin η εσωτερική διάμετρος, t το πάχος του τοιχώματος, Ε το μέτρο ελαστικότητας του υλικού και p είναι η εσωτερική πίεση του αγωγού. Σημειώνεται ότι στην πραγματικότητα η εσωτερική πίεση δρα «ανακουφιστικά» έναντι της εξωτερικής εδαφικής πίεσης. Όμως, επί το δυσμενέστερο η εσωτερική πίεση του αγωγού αμελείται και ο αντίστοιχος τελευταίος όρος της σχέσης (4-17) αμελείται. Έτσι, για τη διατομή που εξετάζεται προκύπτει το όριο εφελκυστικών παραμορφώσεων εt,max=2% και θλιπτικών εc,max=-0.35% Έδαφος Στην υπό εξέταση περίπτωση θεωρείται ότι ο αγωγός βρίσκεται θαμμένος σε βάθος Η=1.76m έως τη στάθμη του κέντρου βάρος του αγωγού και η επίχωση είναι άμμος μέσης πυκνότητας με εσωτερική γωνία τριβής φ=36 ο και ειδικό βάρος γ=18kn/m 3. Τα χαρακτηριστικά των εδαφικών ελατηρίων (αξονικά, οριζόντια, κάθετα προς τα άνω και προς τα κάτω) προσδιορίζονται από τις σχέσεις της παραγράφου 4.3. Η μέγιστη δύναμη για κάθε ελατήριο καθώς και η αντίστοιχη μετατόπιση παρουσιάζονται στον Πίνακα 4-3, ενώ στο Σχήμα 4-5, στο Σχήμα 4-6, στο Σχήμα 4-7 και στο Σχήμα 4-8 παρουσιάζονται τα αντίστοιχα διαγράμματα δύναμης μετατόπισης για κάθε τύπο ελατηρίου. Διερεύνηση καθολικού λυγισμού υπόγειων μεταλλικών αγωγών

66 52 Κεφάλαιο 4 Πίνακας 4-3. Δυνάμεις και μετακινήσεις διαρροής Ελατήρια Δύναμη διαρροής(kn/m) Μετατόπιση διαρροής(mm) Αξονικά Oριζόντια Κατακόρυφα προς τα άνω Κατακόρυφα προς τα κάτω Σχήμα 4-5. Διάγραμμα δύναμης μετακίνησης αξονικών ελατηρίων Σχήμα 4-6. Διάγραμμα δύναμης μετακίνησης οριζοντίων ελατηρίων Διπλωματική Εργασία Καλφαντή Παύλου Ε.Μ.Π. 2014

67 Διέλευση Αγωγού Από Σεισμικό Ρήγμα 53 Σχήμα 4-7. Διάγραμμα δύναμης μετακίνησης κατακόρυφων προς τα άνω ελατηρίων Σχήμα 4-8. Διάγραμμα δύναμης μετακίνησης κατακόρυφων προς τα κάτω ελατηρίων Προσομοίωση ρήγματος Εξετάζονται δύο περιπτώσεις σεισμικής διάρρηξης, ένα κανονικό και ένα ανάστροφο ρήγμα, όπως σχηματικά παρουσιάζονται στο Σχήμα 4-9 και στο Σχήμα 4-10 αντίστοιχα. Σχήμα 4-9. Κανονικό ρήγμα Διερεύνηση καθολικού λυγισμού υπόγειων μεταλλικών αγωγών

68 54 Κεφάλαιο 4 Σχήμα Ανάστροφο ρήγμα Και στις δύο περιπτώσεις το ρήγμα θεωρείται επίπεδο με μηδενικό πάχος και εμφανίζεται στην επιφάνεια του εδάφους ως ευθεία γραμμή. Ο αγωγός συναντά το ρήγμα υπό γωνία β=20 ο, ενώ η γωνία βύθισης των ρηγμάτων είναι ψ=70 ο. Οι δύο υπό εξέταση περιπτώσεις παρουσιάζονται στο Σχήμα 4-11 και στο Σχήμα 4-12, όπου LF είναι το μήκος του ρήγματος στην επιφάνεια του εδάφους, Lp η απόσταση από το πέρας του ρήγματος στην οποία το συναντάει ο αγωγός, ενώ Δ1, Δ2 και Δ3 είναι οι μετακινήσεις στο επίπεδο του ρήγματος και Δx, Δy και Δz οι αντίστοιχες μετακινήσεις στο επίπεδο του αγωγού. Πιο συγκεκριμένα, Δ1 και Δ2 είναι οι μετακινήσεις παράλληλα και κάθετα στον άξονα του ρήγματος, αντίστοιχα, ενώ Δ3 ονομάζεται η κατακόρυφη μετακίνηση που επιβάλλει η ενεργοποίηση του ρήγματος. Οι μετακινήσεις Δ2 και Δ3 συνδέονται με την γωνία βύθισης σύμφωνα με τη σχέση (4-18), ενώ η μετακίνηση Δ1 παράλληλα στο ρήγμα είναι ανεξάρτητη των υπόλοιπων δύο. Δ Δ tan(ψ) (4-18) 3 2 Από περιστροφή του συστήματος αξόνων στον άξονα του αγωγού, προκύπτουν οι μετακινήσεις Δx και Δy παράλληλα και κάθετα στον αγωγό αντίστοιχα, σύμφωνα με τις σχέσεις (4-19) και (4-20). Η κατακόρυφη μετακίνηση Δz ταυτίζεται με την κατακόρυφη μετακίνηση Δ3 (4-21). Δx Δ1sin(β) Δ2cos(β) (4-19) Δy Δ1cos(β) Δ2sin(β) (4-20) Δz Δ 3 (4-21) Σχήμα Κανονικό ρήγμα Διπλωματική Εργασία Καλφαντή Παύλου Ε.Μ.Π. 2014

69 Διέλευση Αγωγού Από Σεισμικό Ρήγμα 55 Σχήμα Ανάστροφο ρήγμα Στα αριθμητικά μοντέλα θεωρείται ότι ο αγωγός συναντά το ρήγμα στη μέση του μήκους του, οπότε επιβάλλονται μετακινήσεις στους κόμβους εδάφους των ελατηρίων του μισού αγωγού. Στο Σχήμα 4-13 παρουσιάζεται το υπό μελέτη πρόβλημα, ενώ τα εικονιζόμενα ελατήρια αντικατοπτρίζουν για λόγους ευκρίνειας και τα τέσσερα διαφορετικά εδαφικά ελατήρια που παρουσιάστηκαν προηγουμένως. Οι εδαφικές μετακινήσεις επιβάλλονται στο δεξιό μέρος του σχήματος, κατά τις διευθύνσεις x,y και z του συστήματος αξόνων του αγωγού. Σχήμα Γεωμετρία προβλήματος αριθμητικής προσομοίωσης Οι επιβαλλόμενες μετακινήσεις λόγω ενεργοποίησης του ρήγματος είναι κατακόρυφη μετακίνηση Δ3=1m και οριζόντια μετακίνηση Δ1=0.2m και στις δύο περιπτώσεις ρήγματος. Οι μετακινήσεις στο επίπεδο του αγωγού Δx, Δy, Δz προσδιορίζονται από τις εξισώσεις (4-17), (4-18) και (4-19) και παρατίθενται στον Πίνακα 4-4. Πίνακας 4-4. Επιβαλλόμενες μετακινήσεις στον αγωγό Ρήγμα Κανονικό Ανάστροφο Δx(m) Δy(m) Δz(m) ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΩΝ ΑΝΑΛΥΣΕΩΝ Τα αποτελέσματα των GMN αναλύσεων παρουσιάζονται σε διαγράμματα που απεικονίζουν την αναπτυσσόμενη ένταση και παραμόρφωση κατά μήκος του αγωγού έπειτα από την ενεργοποίηση του σεισμικού ρήγματος. Ειδικότερα, παρουσιάζεται το παραμορφωμένο σχήμα της δοκού στο τέλος της ανάλυσης, μετά τις μόνιμες επιβαλλόμενες εδαφικές μετακινήσεις. Στη συνέχεια παρουσιάζεται η αναπτυσσόμενη αξονική δύναμη Ν κατά μήκος του αγωγού, η καμπτική ροπή στις δύο διευθύνσεις My και Μz, η μέγιστη και η ελάχιστη τάση Von Mises σ,max και σ,min που αναπτύσσεται ως αποτέλεσμα Διερεύνηση καθολικού λυγισμού υπόγειων μεταλλικών αγωγών

70 56 Κεφάλαιο 4 των προηγουμένων, καθώς επίσης και η μέγιστη και η ελάχιστη διαμήκης ανηγμένη παραμόρφωση ε,max και ε,min. Τέλος, παρουσιάζονται οι αναπτυσσόμενες δυνάμεις των εδαφικών ελατηρίων κατά μήκος του αγωγού, απ όπου προκύπτει η έκταση της πλαστικοποίησης του εδάφους πέριξ της θέσης του ρήγματος Κανονικό ρήγμα Αρχικά παρουσιάζεται η παραμόρφωση του αγωγού σε τρισδιάστατη απεικόνιση, κάτοψη και όψη λόγω της ενεργοποίησης του ρήγματος. Στη συνέχεια παρουσιάζονται τα αναπτυσσόμενα εντατικά και παραμορφωσιακά μεγέθη, ενώ στο τέλος της παραγράφου γίνεται σχολιασμός των αποτελεσμάτων. Σχήμα Παραμόρφωση αγωγού λόγω ενεργοποίησης ρήγματος Σχήμα Όψη παραμορφωμένου και απαραμόρφωτου φορέα Διπλωματική Εργασία Καλφαντή Παύλου Ε.Μ.Π. 2014

71 Διέλευση Αγωγού Από Σεισμικό Ρήγμα 57 Σχήμα Κάτοψη παραμορφωμένου και απαραμόρφωτου φορέα Σχήμα Διάγραμμα αξονικών δυνάμεων κατά μήκος του αγωγού Σχήμα Διάγραμμα καμπτικών ροπών στο κατακόρυφο επίπεδο (Μy) κατά μήκος του αγωγού Διερεύνηση καθολικού λυγισμού υπόγειων μεταλλικών αγωγών

72 58 Κεφάλαιο 4 Σχήμα Διάγραμμα καμπτικών ροπών στο οριζόντιο επίπεδο (Μz) κατά μήκος του αγωγού Σχήμα Διάγραμμα τάσεων Von Mises κατά μήκος του αγωγού Σχήμα Διάγραμμα διαμήκων ανηγμένων παραμορφώσεων κατά μήκος του αγωγού Διπλωματική Εργασία Καλφαντή Παύλου Ε.Μ.Π. 2014

73 Διέλευση Αγωγού Από Σεισμικό Ρήγμα 59 Σχήμα Διάγραμμα δυνάμεων αξονικών ελατηρίων τριβής Σχήμα Διάγραμμα δυνάμεων εγκάρσιων πλευρικών ελατηρίων Σχήμα Διάγραμμα δυνάμεων κατακόρυφων προς τα άνω ελατηρίων Διερεύνηση καθολικού λυγισμού υπόγειων μεταλλικών αγωγών

74 60 Κεφάλαιο 4 Σχήμα Διάγραμμα δυνάμεων κατακόρυφων προς τα κάτω ελατηρίων Τα αποτελέσματα της ανάλυσης για το κανονικό ρήγμα αναδεικνύουν ότι: Κατά μήκος του αγωγού αναπτύσσεται αξονική εφελκυστική δύναμη με διάγραμμα που προσομοιάζει το τριγωνικό σχήμα (Σχήμα 4-17), ενώ η μέγιστη τιμή του βρίσκεται στη θέση του ρήγματος και ισούται με Ν= kN. Οι αναπτυσσόμενες καμπτικές ροπές περί τον άξονα y περιορίζονται σε ένα πολύ μικρό μήκος της τάξης των 100m του αγωγού γύρω από το σεισμικό ρήγμα, με μέγιστη τιμή M= kNm (Σχήμα 4-18). Οι αναπτυσσόμενες καμπτικές ροπές περί του άξονα z περιορίζονται σε ένα πολύ μικρό μήκος της τάξης των 100m του αγωγού γύρω από το σεισμικό ρήγμα, με μέγιστη τιμή M=510.39kNm (Σχήμα 4-19). Οι τάσεις Von Mises (Σχήμα 4-20) κατά μήκος του αγωγού παρουσιάζουν μία μέγιστη τιμή στην περιοχή του ρήγματος σ=458.13μpa. H μικρή υπέρβαση του ορίου διαρροής του χάλυβα Χ65 (fy=448.50mpa) έχει ως αποτέλεσμα την ανάπτυξη μόνιμων μετελαστικών παραμορφώσεων που επηρεάζουν την λειτουργικότητα του αγωγού, χωρίς όμως να τίθεται κίνδυνος θραύσης του κελύφους. Αντίστοιχα, οι διαμήκεις ανηγμένες παραμορφώσεις (Σχήμα 4-21) που αναπτύσσονται στην περιοχή του ρήγματος παρουσιάζουν μέγιστη τιμή ε=1.59% που είναι μικρότερη από το όριο λειτουργικότητας που προτείνει το ASCE-ALA εt,max=2.00% και ελάχιστη τιμή ε=-0.13% που είναι μικρότερη κατά απόλυτη τιμή από το όριο των θλιπτικών παραμορφώσεων εc,max=-0.35%. Το διάγραμμα των αναπτυσσόμενων δυνάμεων των αξονικών ελατηρίων (Σχήμα 4-22) υποδηλώνει την πλαστικοποίηση του εδάφους στη διαμήκη διεύθυνση σε μήκος περίπου 500m γύρω από το ρήγμα. Από το διάγραμμα των εγκάρσιων πλευρικών ελατηρίων (Σχήμα 4-23) προκύπτει μεγάλη αύξηση της δύναμης αντίστασης του εδάφους πλευρικά του αγωγού στη θέση του ρήγματος, χωρίς όμως να παρατηρείται πλαστικοποίηση του, καθώς η αναπτυσσόμενη δύναμη είναι μικρότερη της δύναμης διαρροής των πλευρικών ελατηρίων. Τέλος, τα διαγράμματα των δυνάμεων των κατακόρυφων ελατηρίων (Σχήμα 4-24 και Σχήμα 4-25) υποδηλώνουν έντονη σημειακή πλαστικοποίηση του μητρικού εδάφους στη θέση του ρήγματος αλλά και πλαστικοποίηση του εδαφικού υλικού της επίχωσης εκατέρωθεν του ρήγματος. Διπλωματική Εργασία Καλφαντή Παύλου Ε.Μ.Π. 2014

75 Διέλευση Αγωγού Από Σεισμικό Ρήγμα Ανάστροφο ρήγμα Αρχικά παρουσιάζεται η παραμόρφωση του αγωγού σε τρισδιάστατη απεικόνιση, κάτοψη και όψη λόγω της ενεργοποίησης του ρήγματος. Στη συνέχεια παρουσιάζονται τα αναπτυσσόμενα εντατικά και παραμορφωσιακά μεγέθη, ενώ στο τέλος της παραγράφου γίνεται σχολιασμός των αποτελεσμάτων. Σχήμα Παραμόρφωση αγωγού λόγω ενεργοποίησης ρήγματος Σχήμα Όψη παραμορφωμένου και απαραμόρφωτου φορέα Σχήμα Κάτοψη παραμορφωμένου και απαραμόρφωτου φορέα Διερεύνηση καθολικού λυγισμού υπόγειων μεταλλικών αγωγών

76 62 Κεφάλαιο 4 Σχήμα Διάγραμμα αξονικών δυνάμεων κατά μήκος του αγωγού Σχήμα Διάγραμμα καμπτικών ροπών στο κατακόρυφο επίπεδο (My) κατά μήκος του αγωγού Σχήμα Διάγραμμα καμπτικών ροπών στο οριζόντιο επίπεδο (Μz) κατά μήκος του αγωγού Διπλωματική Εργασία Καλφαντή Παύλου Ε.Μ.Π. 2014

77 Διέλευση Αγωγού Από Σεισμικό Ρήγμα 63 Σχήμα Διάγραμμα τάσεων Von Mises κατά μήκος του αγωγού Σχήμα Διάγραμμα διαμήκων ανηγμένων παραμορφώσεων κατά μήκος του αγωγού Σχήμα Διάγραμμα δυνάμεων αξονικών ελατηρίων τριβής Διερεύνηση καθολικού λυγισμού υπόγειων μεταλλικών αγωγών

78 64 Κεφάλαιο 4 Σχήμα Διάγραμμα δυνάμεων εγκάρσιων πλευρικών ελατηρίων Σχήμα Διάγραμμα δυνάμεων κατακόρυφων προς τα άνω ελατηρίων Σχήμα Διάγραμμα δυνάμεων κατακόρυφων προς τα κάτω ελατηρίων Διπλωματική Εργασία Καλφαντή Παύλου Ε.Μ.Π. 2014

79 Διέλευση Αγωγού Από Σεισμικό Ρήγμα 65 Τα αποτελέσματα της ανάλυσης για το ανάστροφο ρήγμα αναδεικνύουν ότι: Κατά μήκος του αγωγού αναπτύσσεται αξονική θλιπτική δύναμη με διάγραμμα που προσομοιάζει το τριγωνικό σχήμα (Σχήμα 4-29), ενώ η μέγιστη τιμή του βρίσκεται στη θέση του ρήγματος και ισούται με Ν= kN. Οι αναπτυσσόμενες καμπτικές ροπές περιορίζονται σε ένα πολύ μικρό μήκος του αγωγού της τάξης των 100m γύρω από το σεισμικό ρήγμα, με μέγιστη τιμή M= kNm (Σχήμα 4-30). Οι αναπτυσσόμενες καμπτικές ροπές περί του άξονα z περιορίζονται σε ένα πολύ μικρό μήκος του αγωγού της τάξης των 100m γύρω από το σεισμικό ρήγμα, με μέγιστη τιμή M=508.80kNm (Σχήμα 4-31). Οι τάσεις Von Mises (Σχήμα 4-32) κατά μήκος του αγωγού παρουσιάζουν μία μέγιστη τιμή στην περιοχή του ρήγματος σ=496.60μpa. H μικρή υπέρβαση του ορίου διαρροής του χάλυβα Χ65 (fy=448.50mpa) έχει ως αποτέλεσμα την ανάπτυξη μόνιμων μετελαστικών παραμορφώσεων που επηρεάζουν την λειτουργικότητα του αγωγού, χωρίς όμως να τίθεται κίνδυνος θραύσης του κελύφους. Αντίστοιχα, οι διαμήκεις ανηγμένες παραμορφώσεις (Σχήμα 4-33) που αναπτύσσονται στην περιοχή του ρήγματος παρουσιάζουν μέγιστη τιμή ε=1.91% που είναι μικρότερη από το όριο λειτουργικότητας που προτείνει το ASCE-ALA εt,max=2.00% και ελάχιστη τιμή ε=-7.09% που είναι μεγαλύτερη κατά απόλυτη τιμή από το όριο των θλιπτικών παραμορφώσεων εc,max=-0.35%. Επομένως ο αγωγός έχει αστοχήσει από τοπικό λυγισμό λόγω μεγάλων θλιπτικών παραμορφώσεων. Το διάγραμμα των αναπτυσσόμενων δυνάμεων των αξονικών ελατηρίων (Σχήμα 4-34) υποδηλώνει την πλαστικοποίηση του εδάφους στη διαμήκη διεύθυνση σε μήκος περίπου 500m γύρω από το ρήγμα. Από το διάγραμμα των εγκάρσιων πλευρικών ελατηρίων (Σχήμα 4-35) προκύπτει μεγάλη αύξηση της δύναμης αντίστασης του εδάφους πλευρικά του αγωγού στη θέση του ρήγματος, χωρίς όμως να παρατηρείται πλαστικοποίηση του, καθώς η αναπτυσσόμενη δύναμη είναι μικρότερη της δύναμης διαρροής των πλευρικών ελατηρίων. Τέλος, τα διαγράμματα των δυνάμεων των κατακόρυφων ελατηρίων (Σχήμα 4-36 και Σχήμα 4-37) υποδηλώνουν έντονη σημειακή πλαστικοποίηση του μητρικού εδάφους στη θέση του ρήγματος αλλά και πλαστικοποίηση του εδαφικού υλικού της επίχωσης εκατέρωθεν του ρήγματος. Διερεύνηση καθολικού λυγισμού υπόγειων μεταλλικών αγωγών

80 66 Κεφάλαιο 4 Διπλωματική Εργασία Καλφαντή Παύλου Ε.Μ.Π. 2014

81 5 ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΚΙΝΔΥΝΟΥ ΚΑΘΟΛΙΚΟΥ ΛΥΓΙΣΜΟΥ ΛΟΓΩ ΕΝΕΡΓΟΠΟΙΗΣΗΣ ΑΝΑΣΤΡΟΦΟΥ ΡΗΓΜΑΤΟΣ 5.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Στο παρόν κεφάλαιο γίνεται αποτίμηση του κινδύνου εκδήλωσης καθολικού λυγισμού χαλύβδινων αγωγών που διέρχονται από ανάστροφα σεισμικά ρήγματα. Όπως αναλύθηκε στο κεφάλαιο 4, η ενεργοποίηση ενός ανάστροφου ρήγματος έχει ως αποτέλεσμα την ανάπτυξη σύνθετης εντατικής κατάστασης στον αγωγό, καθώς πέραν της καμπτικής έντασης αναπτύσσονται και μεγάλες θλιπτικές δυνάμεις κατά μήκος του αγωγού. Η ενεργοποίηση ενός ανάστροφου ρήγματος παρουσιάζεται στο Σχήμα 5-1. Σχήμα 5-1. Ενεργοποίηση ανάστροφου ρήγματος Το ρήγμα θεωρείται επίπεδο με μηδενικό πάχος και εμφανίζεται στην επιφάνεια του εδάφους ως ευθεία γραμμή. Ο αγωγός θεωρείται ότι συναντάει κάθετα το ρήγμα, ενώ η γωνία βύθισης του ανάστροφου ρήγματος είναι ψ=70 ο. Έτσι οι μετακινήσεις Δ1, Δ2 και Δ3 στο επίπεδο του ρήγματος ταυτίζονται με τις αντίστοιχες μετακινήσεις Δx, Δy και Δz στο επίπεδο του αγωγού. Χάριν απλοποίησης στην παρούσα μελέτη θεωρείται ότι η οριζόντια μετακίνηση του ρήγματος πραγματοποιείται αποκλειστικά εντός του κατακορύφου επιπέδου που διέρχεται από τον αγωγό, χωρίς εγκάρσια προς τον αγωγό συνιστώσα (Δ1=Δy=0). Συνεπώς, υιοθετείται το προσομοίωμα της δοκού μεγάλου μήκους επί ελαστοπλαστικού εδάφους με συνεχή πλευρική κατακόρυφη στήριξη από ομοιόμορφα κατανεμημένα εγκάρσια ελατήρια που Διερεύνηση καθολικού λυγισμού υπόγειων μεταλλικών αγωγών

82 68 Κεφάλαιο 5 προσομοιώνουν την προς τα άνω (upward movement) και την προς τα κάτω κίνηση (downward movement) του αγωγού εντός του ορύγματος. Ταυτόχρονα λαμβάνεται υπ όψιν και η αλληλεπίδραση αγωγού εδάφους μέσω της τριβής που προσομοιώνεται με διαμήκη αξονικά ελατήρια. Ο αγωγός προσομοιώνεται αριθμητικά σε δύο διαστάσεις με πεπερασμένα στοιχεία δοκού, καθώς η δυνατότητα που αυτά παρέχουν για υπολογισμό των τάσεων και των παραμορφώσεων σε επιλεγμένες θέσεις τόσο κατά μήκος του αγωγού, όσο και επί της διατομής τα καθιστούν ένα χρήσιμο και αξιόπιστο εργαλείο για την αποτίμηση της καθολικής και εμμέσως, όπως θα εξηγηθεί στη συνέχεια της τοπικής συμπεριφοράς του αγωγού. Ακολούθως, τα φαινόμενα αλληλεπίδρασης εδάφους αγωγού προσομοιώνονται με μη-γραμμικά ελατήρια μετάθεσης σε δύο διευθύνσεις. Ειδικότερα, η τριβή μεταξύ του αγωγού και του εδάφους προσομοιώνεται με διαμήκη ελατήρια, των οποίων οι ιδιότητες εξαρτώνται από τα χαρακτηριστικά της εδαφικής επίχωσης και του περιβλήματος του αγωγού. Ταυτόχρονα, ένα ζεύγος κατακορύφων ελατηρίων προσομοιώνει την κατακόρυφη κίνηση του αγωγού εντός του ορύγματος με τα χαρακτηριστικά τους να διαφέρουν σημαντικά λόγω των διαφορετικών χαρακτηριστικών της υπερκείμενης εδαφικής επίχωσης και του υποκείμενου μητρικού εδάφους. Η αριθμητική προσομοίωση του εδάφους και του αγωγού παρουσιάζεται στο Σχήμα 5-2. Σχήμα 5-2. Προσομοίωση αλληλεπίδρασης αγωγού εδάφους Η μελέτη του κινδύνου καθολικού λυγισμού λόγω ενεργοποίησης ανάστροφου ρήγματος υλοποιείται στην παρούσα εργασία μέσω ενός παραδείγματος και προσεγγίζεται αριθμητικά με χρήση του λογισμικού πεπερασμένων στοιχείων ADINA. Για το σκοπό αυτό θεωρείται ένας ευθύγραμμος αγωγός συνολικού μήκους L=1000m με διατομή διαμέτρου D=0.9144m (36in) και πάχους τοιχώματος t=0.0119m (0.469in). Η προσομοίωση του αγωγού γίνεται με ραβδωτά πεπερασμένα στοιχεία, ενώ ο φορέας του συνολικού μήκους 1000m διακτριτοποιείται ανά 0.50m, έπειτα από ανάλυση ευαισθησίας που προηγήθηκε για την εύρεση της βέλτιστης διακριτοποίησης. Μελετήθηκαν μοντέλα με διακριτοποίηση ανά 0.20m, 0.50m, 1.00m και 2.00m από όπου προέκυψε σημαντική διαφορά στα αποτελέσματα μεταξύ της διακριτοποίησης των 0.50m και των 1.00m, ενώ οι διαφορές στα αποτελέσματα μεταξύ 0.20m και 0.50m κρίθηκαν ως αμελητέες. Στην υπό εξέταση περίπτωση θεωρείται ότι ο αγωγός βρίσκεται θαμμένος σε βάθος Η=1.76m έως τη στάθμη του κέντρου βάρος του αγωγού και το υλικό επίχωσης είναι άμμος μέσης πυκνότητας με γωνία τριβής φ=36 ο και ειδικό βάρος γ=18kn/m 3. Ο αγωγός περιβάλλεται εξωτερικά με πίσσα λιθάνθρακα (coal tar), με συντελεστή f=0.90 ο οποίος πολλαπλασιαζόμενος με την εσωτερική γωνία τριβής του εδάφους δίνει τη γωνία τριβής μεταξύ του αγωγού και του εδάφους. Επιπλέον, το έδαφος προσομοιώνεται με ελαστοπλαστικά μετακινησιακά ελατήρια των οποίων τα χαρακτηριστικά εκτιμώνται σύμφωνα με τις οδηγίες του ASCE-ALA και παρουσιάζονται στον Πίνακα 5-1. Τα διαγράμματα δύναμης μετακίνησης των χρησιμοποιούμενων εδαφικών ελατηρίων (αξονικά εδαφικά ελατήρια, κατακόρυφα Διπλωματική Εργασία Καλφαντή Παύλου Ε.Μ.Π. 2014

83 Αξιολόγηση Κινδύνου Καθολικού Λυγισμού Λόγω Ενεργοποίησης Ανάστροφου Ρήγματος 69 εδαφικά ελατήρια προς τα άνω, κατακόρυφα εδαφικά ελατήρια προς τα κάτω) έχουν παρουσιαστεί στο κεφάλαιο 4. (Σχήμα 4-5, Σχήμα 4-7 και Σχήμα 4-8). Πίνακας 5-1. Δυνάμεις και μετακινήσεις διαρροής εδαφικών ελατηρίων Ελατήρια Δύναμη διαρροής(kn/m) Μετατόπιση διαρροής(mm) Αξονικά Κατακόρυφα προς τα άνω Κατακόρυφα προς τα κάτω Στο Σχήμα 5-3 παρουσιάζεται η γεωμετρία του προβλήματος, όπου LF είναι το μήκος του ρήγματος στην επιφάνεια του εδάφους, Lp η απόσταση από το πέρας του ρήγματος στην οποία το συναντάει ο αγωγός. Το ρήγμα ενεργοποιούμενο μετακινείται κατακόρυφα κατά Δ3=4.00m και κατά το διαμήκη άξονα του αγωγού κατά Δ2=1.46. Η μετακίνηση του εδάφους στο ανερχόμενο τέμαχος του ρήγματος υλοποιείται στο αριθμητικό προσομοίωμα ως στατικά επιβαλλόμενη μετακίνηση στους αντίστοιχους εδαφικούς κόμβους των ελατηρίων. Σχήμα 5-3. Γεωμετρία προβλήματος Στα αριθμητικά μοντέλα θεωρείται ότι ο αγωγός συναντά το ρήγμα στη μέση του μήκους του, οπότε επιβάλλονται μετακινήσεις στους κόμβους εδάφους των ελατηρίων του μισού αγωγού. Στο Σχήμα 5-4 παρουσιάζεται το υπό μελέτη πρόβλημα, ενώ τα εικονιζόμενα ελατήρια αντικατοπτρίζουν για λόγους ευκρίνειας και τα τρία διαφορετικά εδαφικά ελατήρια που παρουσιάστηκαν προηγουμένως. Οι εδαφικές μετακινήσεις επιβάλλονται στο δεξιό μέρος του σχήματος, κατά τις διευθύνσεις x και z του συστήματος αξόνων του αγωγού. Σχήμα 5-4. Γεωμετρία αριθμητικής προσομοίωσης Διερεύνηση καθολικού λυγισμού υπόγειων μεταλλικών αγωγών

84 70 Κεφάλαιο ΚΑΘΟΛΙΚΟΣ ΛΥΓΙΣΜΟΣ ΑΓΩΓΟΥ Η μελέτη του κινδύνου καθολικού λυγισμού λόγω της ενεργοποίησης ανάστροφου ρήγματος και των συνεπαγόμενων μεγάλων αναπτυσσόμενων θλιπτικών δυνάμεων υλοποιείται αξιοποιώντας το αριθμητικό προσομοίωμα που παρουσιάστηκε προηγουμένως. Ο υπό εξέταση αγωγός χαρακτηρίζεται από σχετικά μεγάλο λόγο D/t=76.84 και βρίσκεται θαμμένος σε σχετικά μεγάλο βάθος (Η=1.76m). Έτσι, αναμένεται να κυριαρχήσει ο τοπικός λυγισμός ως μορφή αστοχίας (Yun και Kyriakides [1-4]). Παρ όλα αυτά κατά το σχεδιασμό του αγωγού κρίνεται σκόπιμη η διερεύνηση της αλληλουχίας των πιθανών μορφών αστοχίας, ώστε αφενός να αναδειχθεί η κρίσιμη μορφή αστοχίας, αφετέρου δε να αξιολογηθεί η συνολική συμπεριφορά του φορέα. Το φαινόμενο του λυγισμού χαρακτηρίζεται από έντονη γεωμετρική μη-γραμμικότητα όπου οι εξισώσεις ισορροπίας του φορέα διατυπώνονται στην παραμορφωμένη κατάσταση, η οποία διαφέρει σημαντικά από την απαραμόρφωτη. Έτσι, η μελέτη της προλυγισμικής και μεταλυγισμικής συμπεριφοράς του φορέα πραγματοποιείται μέσω μη-γραμμικών αναλύσεων γεωμετρίας και υλικού ώστε να αποτιμηθεί η αλληλεπίδραση του λυγισμού και της αστοχίας του υλικού. Στην παρούσα εργασία εξετάζονται ένας ελαστοπλαστικός αγωγός, όπου ο χάλυβας είναι ποιότητας API5L-X65, με διγραμμικό νόμο υλικού και χαρακτηριστικά που παρουσιάζονται στον Πίνακα 5-2, και ο ίδιος αγωγός θεωρούμενος ως απείρως ελαστικός, για λόγους σύγκρισης. Πίνακας 5-2. Χαρακτηριστικά χάλυβα Χ65 Τάση διαρροής(μpa) Τάση θραύσης(μpa) Παραμόρφωση διαρροής(%) 0.21 Παραμόρφωση θραύσης(%) 20 Μέτρο ελαστικότητας(gpa) 210 Μέτρο κράτυνσης(gpa) 0.70 Καθώς το υπό εξέταση πρόβλημα θεωρείται δισδιάστατο, στο Σχήμα 5-5 και στο Σχήμα 5-6 απεικονίζονται οι κατακόρυφες μετακινήσεις του αγωγού και του εδάφους, όπου Η είναι το βάθος ταφής του αγωγού, Δ3s είναι η κατακόρυφη μετακίνηση του ρήγματος, Δ3p είναι η κατακόρυφη μετακίνηση του αγωγού, και δδ3=δ3p-δ3s είναι η σχετική κατακόρυφη μετακίνηση του αγωγού μέσα στο έδαφος. Ειδικότερα, στο Σχήμα 5-5 απεικονίζεται η περίπτωση όπου δδ3<0 για μικρή μετακίνηση του ανερχόμενου τεμάχους του ρήγματος, ενώ στο Σχήμα 5-6 απεικονίζεται η περίπτωση όπου δδ3>0 για μεγάλη μετακίνηση του ανερχόμενου τεμάχους του ρήγματος, οπότε η παραμόρφωση του αγωγού αποκτά χαρακτηριστικά καθολικού λυγισμού. Σχήμα 5-5. Ορισμός κατακορύφων μετακινήσεων αγωγού και ρήγματος για δδ 3<0 Διπλωματική Εργασία Καλφαντή Παύλου Ε.Μ.Π. 2014