Μαθηµατική Επαγωγή. Ορέστης Τελέλης. Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς

Transcript

1 Μαθηµατική Επαγωγή Ορέστης Τελέλης Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Επαγωγή 1 / 17

2 Υπενθύµιση: Ακολουθίες Ακολουθία είναι συνάρτηση από το Z (συνήθως, από το N) σε σύνολο S. a n συµβολίζει τον n-οστό όρο, δηλαδή, την εικόνα του ακεραίου n. {a n } συµβολίζει την ακολουθία µε n-οστό όρο a n. Περιγράφονται και µε καταγραφή όρων σε αύξουσα σειρά του δείκτη. Παράδειγµα. Η ακολουθία {a n } µε a n = 1 n : 1, 1 2, 1 3, 1 4,... Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Επαγωγή 2 / 17

3 Υπενθύµιση: Γεωµετρική Πρόοδος Γεωµετρική Πρόοδος είναι ακολουθία της µορφής: α, α r, α r 2,..., α r n,... Αρχικός Ορος: a R, Λόγος: r R, r = a n+1 /a n, n-οστός Ορος: a n = a r n (για n 0). Παραδείγµατα: b n = ( 1) n : 1, 1, 1, 1, 1,... c n = 2 5 n : 2, 10, 50, 250, 1250,... d n = 6 (1/3) n : 6, 2, 2 3, 2 9, 2 27,... Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Επαγωγή 3 / 17

4 Υπενθύµιση: Αριθµητική Πρόοδος Αριθµητική Πρόοδος είναι ακολουθία της µορφής: α, α + δ, α + 2 δ,..., α + n δ,... Αρχικός Ορος: α R, ιαφορά:, δ = a n+1 a n R, n-οστός Ορος: a n = α + (n 1) δ (για n 1). Παραδείγµατα: s n = 1 + 4n: 1, 3, 7, 11,... t n = 7 3n: 7, 4, 1, 2,... Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Επαγωγή 4 / 17

5 Υπενθύµιση: Αθροισµα Ορων Ακολουθίας Αθροισµα n πρώτων όρων Αριθµητικής Προόδου: S n = n a i = n (α + (i 1)δ) = n 2 (a 1 + a n ) Αθροισµα n πρώτων όρων Γεωµετρικής Προόδου: Για r 1: S n = n 1 a i = i=0 n 1 α r i i=0 = α rn α r 1 Αθροισµα άπειρων όρων Γεωµετρικής Προόδου µε λόγο r < 1 a i = i=0 i=0 α r i = α 1 r Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Επαγωγή 5 / 17

6 Μαθηµατική Επαγωγή Θέλουµε να αποδείξουµε πρόταση P(n), που εξαρτάται από n N Αν µπορούµε να δείξουµε: Βάση της Επαγωγής: Οτι η P(n 0 ) είναι αληθής, για κάποιο n 0 N. Επαγωγική Υπόθεση: Υποθέτοντας P(k) αληθή για αυθαίρετο k n 0, Επαγωγικό Βήµα: Συνεπάγεται P(k + 1) είναι αληθής. Τότε συµπεραίνουµε ότι P(n) αληθής για κάθε n n 0, n N. Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Επαγωγή 6 / 17

7 Αθροισµα n πρώτων όρων αριθµητικής προόδου Ν Ο: n a i = n 2 (a 1 + a n ), για κάθε n 1, για την a i = α + (i 1)δ Βάση Επαγωγής: n = 1 a 1 = a 1 Επαγωγική Υπόθεση: Εστω ότι για n = k 1: k a i = k 2 (a 1 + a k ) Επαγωγικό Βήµα: Για n = k + 1, έχουµε: n k+1 a i = a i = k a i + a k+1 = k 2 (a 1 + a k ) + a k+1 = k 2 [ ] α + α + (k 1)δ + α + kδ = (k + 1)α + k(k + 1) δ 2 = 2(k + 1) k(k + 1) α + δ = k + 1 (α + α + kδ) = n (a 1 + a n ) Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Επαγωγή 7 / 17

8 Αθροισµα n πρώτων όρων Γεωµετρικής Προόδου Ν Ο: n 1 a i = α rn α r 1 i=0 για κάθε n 1, για την a n = α r n, r 1. Βάση της Επαγωγής: Για n = 1: α r 0 = α r1 α r 1 Επαγωγική Υπόθεση: Εστω ότι για n = k 1: Επαγωγικό Βήµα: Για n = k + 1: j=0 α(r 1) = r 1 k 1 a r i = α rk α r 1 n 1 (α r i ) = i=0 k k 1 (α r i ) = (α r i ) + α r k i=0 i=0 = α rk (r 1) + α r k a r 1 = α rk+1 α r 1 = α rn α r 1 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Επαγωγή 8 / 17

9 Ανισότητες (1/2) Ν Ο για κάθε n N: n < 2 n Βάση της Επαγωγής: Για n = 0, έχουµε 0 = n < 2 0 = 1. Επαγωγική Υπόθεση: Εστω ότι για n = k 0 είναι k < 2 k. Επαγωγικό Βήµα: Για n = k + 1 1, έχουµε: n = k + 1 < 2 k + 1 = 2 k < 2 k + 2 k = 2 2 k = 2 n Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Επαγωγή 9 / 17

10 Ανισότητες (2/2) Ν Ο Για κάθε n Z + µε n 4: 2 n < n!. Βάση της Επαγωγής: Για n = 4, έχουµε 2 4 = 16 < 24 = 4!. Επαγωγική Υπόθεση: Εστω ότι για n = k 4 έχουµε 2 k < k!. Επαγωγικό Βήµα: Για n = k + 1 5, έχουµε: 2 n = 2 k+1 = 2 2 k < 2 k! < (k + 1) k! = (k + 1)! = n! Παρατήρηση: εκτός της επαγωγικής υπόθεσης, χρησιµοποιήσαµε ότι: 2 < 5 k + 1 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Επαγωγή 10 / 17

11 Φράγµατα Αρµονικών Αριθµών (1/2) Ν Ο για κάθε n 0: 1 + n 2 H 2 n n + 1, όπου H n = είχνουµε πρώτα το κάτω ϕράγµα n (1/r) r=1 Βάση της Επαγωγής: Για n = 0 έχουµε: H 2 0 = H 1 = /2 Επαγωγική Υπόθεση: Εστω ότι για n = k 0 έχουµε: H 2 k 1 + k 2 Επαγωγικό Βήµα: Για n = k + 1 2, έχουµε: H 2 n = H 2 k+1 = H 2 k + 2 k όροι {}}{ k 2 k k 2 + 2k 1 + k = k k = 1 + n 2 2 k όροι {}}{ k 2 k+1 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Επαγωγή 11 / 17

12 Φράγµατα Αρµονικών Αριθµών (2/2) είχνουµε το άνω ϕράγµα, ότι: H 2 n 1 + n, για κάθε n 0. Βάση της Επαγωγής: Για n = 0, έχουµε: H 2 0 = H 1 = Επαγωγική Υπόθεση: Εστω ότι για n = k 0 ισχύει: H 2 k 1 + k Επαγωγικό Βήµα: Για n = k + 1 έχουµε: H 2 n = H 2 k+1 = H 2 k + Πόρισµα: Επειδή 1 + n 2 H 2 n 1 + k + 2 k όροι {}}{ k 2 k+1 2k k < 2 + k = n + 1 n + 1, έχουµε: log 2 n H n 1 + log 2 n Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Επαγωγή 12 / 17

13 Πληθικότητα υναµοσυνόλου Ν Ο Αν S είναι σύνολο µε S = n 0, τότε P(S) = 2 n. Βάση της Επαγωγής: n = 0: τότε S =, P(S) = { } άρα, P(S) = 1 = 2 0. Επαγωγική Υπόθεση: Εστω για κάθε σύνολο S, µε S = k 0: P(S) = 2 k. Επαγωγικό Βήµα: Εστω T αυθαίρετο σύνολο µε T = k + 1 στοιχεία. Για οποιοδήποτε στοιχείο a T µπορούµε να γράψουµε το T σαν T = {a} S, όπου S είναι σύνολο k στοιχείων. Τότε, έχουµε: P(T) = { X X P(S) } { X {a} X P(S) } Εποµένως, P(T) = 2 P(S) = 2 2 k = 2 k+1. Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Επαγωγή 13 / 17

14 Βρείτε το Λάθος! (1/2) Απίστευτο! n ευθείες στο επίπεδο, κάθε Ϲεύγος από τις οποίες δε συνιστά δύο παράλληλες, συναντώνται σε ένα κοινό σηµείο. «Απόδειξη:» Βάση της Επαγωγής: Αληθές για κάθε n = 2 µη παράλληλες ευθείες. Επαγωγική Υπόθεση: Εστω αληθές για κάθε σύνολο k 2 ευθειών (κάθε Ϲεύγος από τις οποίες δε συνιστά δύο παράλληλες). Επαγωγικό Βήµα: Θεωρούµε αυθαίρετο σύνολο n = k + 1 ευθειών (κάθε Ϲεύγος από τις οποίες δε συνιστά δύο παράλληλες). Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Επαγωγή 14 / 17

15 Βρείτε το Λάθος! (2/2) Συνέχεια «Απόδειξης:» Αριθµούµε τις k + 1 ευθείες για να τις διακρίνουµε κάπως (1, 2,... ) Οι πρώτες k ( 1, 2,..., k ) συναντώνται σε µοναδικό σηµείο p 1 (από επαγωγική υπόθεση). Οι τελευταίες k ( 2, 3,..., k + 1 ) συναντώνται σε µοναδικό σηµείο p 2 (από επαγωγική υπόθεση). Αν p 1 p 2, τότε οι ευθείες που περιέχουν και τα δύο σηµεία ταυτίζονται και, εποµένως είναι τετριµµένα παράλληλες ανα Ϲεύγη. Α ΥΝΑΤΟ ΑΡΑ: p 1 = p 2 και η πρόταση ισχύει για το σύνολο των k + 1 ευθειών.????????????? Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Επαγωγή 15 / 17

16 Το Λάθος: Βρίσκεται στο επαγωγικό ϐήµα, συγκεκριµένα, στην απαγωγή σε άτοπο. Το επιχείρηµα εκεί είναι ότι δε µπορεί να ισχύει p 1 p 2, διότι: Οι ευθείες που ανήκουν στις k πρώτες και στις k + 1 τελευταίες τέµνονται τόσο στο p 1 όσο και στο p 2. Αρα οι ευθείες αυτές ταυτίζονται και είναι ανά δύο παράλληλες. Οµως: αν αυτές οι ευθείες είναι ακριβώς µία δεν προκύπτει άτοπο! Προφανώς µία ευθεία τέµνεται µε την ίδια (σε άπειρα σηµεία) και είναι παράλληλη στον εαυτό της. Κατά συνέπεια, το επαγωγικό ϐήµα δεν οδηγεί από την περίπτωση n = 2 στην περίπτωση n = 3. Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Επαγωγή 16 / 17

17 Επιπλέον Ασκήσεις Για κάθε n 1: n i 2 = n(n + 1)(2n + 1) 6 Για κάθε n 1: n i 3 = n2 (n + 1) 2 4 Για κάθε n 10: 2 n > n 3. Να διατυπωθεί µια εικασία για το άθροισµα των πρώτων n περιττών αριθµών και να αποδειχθεί επαγωγικά. Ανισότητα Bernoulli: Για r 1: (1 + x) r 1 + r x ( όπου x 0 ). Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Επαγωγή 17 / 17