ΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ / ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΞΑΝΘΗ ΡΕΥΣΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ. Αγγελίδης Π., Επίκ. καθηγητής

Transcript

1 ΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ / ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΞΑΝΘΗ ΡΕΥΣΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Αγγελίδης Π., Επίκ. καθηγητής ΘΕΩΡΙΑ ΟΜΟΙΩΜΑΤΩΝ

2 ΘΕΩΡΙΑ ΟΜΟΙΩΜΑΤΩΝ Πριν την κατασκευή μεγάλων Υδραυλικών Έργων όπως φράγματα, υπερχειλιστές, και μηχανών όπως στροβίλων, πρέπει να γνωρίζουμε με αξιοπιστία την συμπεριφορά τους. Η θεωρητική αντιμετώπιση των προβλημάτων αυτών δεν είναι ικανοποιητική (γενικά), γιατί οι τυρβώδεις ροές δεν μπορούν να αντιμετωπισθούν θεωρητικά με μεγάλη ακρίβεια. Σχεδόν όλες οι υδραυλικές κατασκευές είναι μεγάλες σε μέγεθος, και δεν μπορούν να δοκιμαστούν στα εργαστήρια στο πραγματικό τους μέγεθος. Εξαιτίας αυτού ετοιμάζονται και δοκιμάζονται στα εργαστήρια μικρού μεγέθους ομοιώματα. Η μέθοδος εξέτασης της υδραυλικής συμπεριφοράς μιας πραγματικής κατασκευής ή μηχανής χρησιμοποιώντας μικρού μεγέθους ομοιώματα στο εργαστήριο ονομάζεται Θεωρία Ομοιωμάτων.

3

4 α) Υπερχειλιστής (μεσαίο φάτνωμα) φράγματος Τεμένους (στον ποταμό Νέστο) σε κλίμακα 1:30 β) Διάταξη του υπερχειλιστή με τους οδόντες απόσβεσης κινητικής ενέργειας, σε κλίμακα 1:60. Έρευνα σε εργαστηριακό ομοίωμα στο Α Εργαστήριο Υδραυλικής του ΔΠΘ με επιστημονικό υπεύθυνο τον Καθηγητή ΝΚωτσοβίνο.

5

6

7 Ομοίωμα υπερχειλιστή φράγματος Ευήνου στο Εργαστήριο Υδραυλικής του ΠΘ

8 Υδραυλικό ομοίωμα της λίμνης Βιστονίδας-όρμου Πόρτο Λάγους για την μελέτη της διείσδυσης του θαλασσινού νερού στην λίμνη, που έχει γλυκό νερό. Έρευνα σε εργαστηριακό ομοίωμα στο Α Εργαστήριο Υδραυλικής του ΔΠΘ με επιστημονικό υπεύθυνο τον Καθηγητή Ν Κωτσοβίνο.

9 Υδραυλικό ομοίωμα του Παγασητικού κόλπου για την μελέτη της ανταλλαγής των νερών του Βόρειου Ευβοϊκού κόλπου(χρωματισμένο κόκκινο) με τα νερά του Παγασητικού. Έρευνα σε εργαστηριακό ομοίωμα στο Α Εργαστήριο Υδραυλικής του ΔΠΘ με επιστημονικό υπεύθυνο τον Καθηγητή Ν Κωτσοβίνο.

10 Υδραυλικό ομοίωμα της εξάπλωσης του επιφανειακού πλουμίου του ποταμού Καλαμά στην θαλάσσια περιοχή της Κέρκυρας-Ηγουμενίτσας. Έρευνα σε εργαστηριακό ομοίωμα στο Α Εργαστήριο Υδραυλικής του ΔΠΘ με επιστημονικό υπεύθυνο τον Καθηγητή Ν Κωτσοβίνο

11 Περιστρεφόμενη δεξαμενή στο Εργαστήριο Υδραυλικής του ΠΘ. Χρησιμοποιείται για τη μελέτη ροών μεγάλης κλίμακας υπό την επίδραση της δύναμης Coriolis

12 Πειράματα στην περιστρεφόμενη δεξαμενή στο Εργαστήριο Υδραυλικής του ΠΘ. Χρησιμοποιείται για τη μελέτη ροών μεγάλης κλίμακας υπό την επίδραση της δύναμης Coriolis

13 Εργαστηριακή προσομοίωση φλεβών αρνητικής άνωσης στο Εργαστήριο Υδραυλικής του ΠΘ

14 ΘΕΩΡΙΑ ΟΜΟΙΩΜΑΤΩΝ Τα πλεονεκτήματα της ανάλυσης των ομοιωμάτων είναι: Εκτελώντας πειράματα στα σχετικά ομοιώματα, μπορούμε να προβλέψουμε τη συμπεριφορά και απόδοση μιας πραγματικής κατασκευής ή μηχανής. Με μικρό κόστος, το σχέδιο μιας κατασκευής ή μηχανής, μπορεί να βελτιωθεί γνωρίζοντας τις πιθανές αιτίες της αποτυχίας. Είναι δυνατή η μελέτη στο εργαστήριο εναλλακτικών σχεδίων. Υπάρχουν περιπτώσεις που η αναλυτική μέθοδος δεν είναι δυνατή και η ανάλυση ομοιωμάτων είναι η μόνη μέθοδος σχεδιασμού κατασκευών ή μηχανών

15 ΤΟ ΠΡΩΤΟΤΥΠΟ ΚΑΙ ΤΟ ΟΜΟΙΩΜΑ ΤΟΥ - Υ ΡΑΥΛΙΚΗ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ Η κατασκευή με το πραγματικό μέγεθος ονομάζεται πρωτότυπο, ενώ το πανομοιότυπο με το μικρό μέγεθος ονομάζεται ομοίωμα (odel). Η αξιοπιστία της ανάλυσης ομοιωμάτων εξαρτάται από την ομοιότητα ανάμεσα στο πρωτότυπο και στο ομοίωμα του. Όταν η ομοιότητα ανάμεσα στο πρωτότυπο και στο ομοίωμα του είναι πλήρης απ όλες τις απόψεις τότε αυτή η ομοιότητα ονομάζεται Υδραυλική ομοιότητα. Γενικά υπάρχουν οι παρακάτω τρεις τύποι ομοιότητας: (α) Γεωμετρική ομοιότητα (β) Κινηματική ομοιότητα (γ) υναμική ομοιότητα.

16 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ Έστω: Το μήκος του ομοιώματος = Το πλάτος του ομοιώματος = Το ύψος του ομοιώματος = Τα αντίστοιχα μήκος, πλάτος, ύψος του πρωτοτύπου είναι =,, Lv Bv Dv Εμβαδόν ομοιώματος = Όγκος ομοιώματος = E μβαδόν, όγκος πρωτοτύπου = A v, v A L B D γραμμική κλίμακα (μηκών ) = Lr κλίμακα Εμβαδών και την κλίμακα Όγκων =r = r A, L L A A v v v B D = Lr = = Bv Dv L B 2 = Ar = = Lr Lv Bv L B D = r = = Lv Bv Dv L r 3.

17 ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ Για να έχουμε κινηματική ομοιότητα ανάμεσα στο ομοίωμα και στο πρωτότυπό του πρέπει οι παρακάτω λόγοι ανάμεσα στο ομοίωμα και στο πρωτότυπο να λαμβάνουν την ίδια τιμή σε κάθε σημείο του έργου r = v ή ΥΝΑΜΙΚΗ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ Γιαναέχουμεδυναμικήαναλογίαανάμεσαστοομοίωμακαιστο πρωτότυπό του πρέπει ο παρακάτω λόγος να λαμβάνει την ίδια τιμή σε κάθε σημείο. F r = F F v

18 ΤΥΠΟΙ ΟΜΟΙΩΜΑΤΩΝ 1. Γραμμικό ομοίωμα. Είναι εκείνο το οποίο είναι γεωμετρικά όμοιο με το πρωτότυπό του δηλαδή η αναλογία των αντίστοιχων γραμμικών διαστάσεων είναι ίσες. Τα αποτελέσματα τα οποία παίρνουμε από την ανάλυση ομοιωμάτων, μπορούν να μεταφερθούν αυτούσια στο πρωτότυπο.

19 ΤΥΠΟΙ ΟΜΟΙΩΜΑΤΩΝ 2. Στρεβλό ομοίωμα. Είναιαυτότοοποίοδενείναιγεωμετρικάόμοιομετοπρωτότυπό του, π.χ. η γραμμική κλίμακα (κλίμακα μηκών) των αντίστοιχων γραμμικών διαστάσεων είναι άνισες. Δηλαδή υπάρχει άλλη γραμμική κλίμακα για τις οριζόντιες αποστάσεις και άλλη κλίμακα για τις κατακόρυφες. Αυτό γίνεται όταν π.χ. έχουμε να μελετήσουμε το ομοίωμα ενός ποταμού 10 χιλιομέτρων μήκους και 10 μέτρων βάθους. Μία ενιαία γραμμική κλίμακα 1:1000 θα έδινε ένα ομοίωμα μήκους 10 μέτρων και βάθους ενός μόλις εκατοστού. Με τόσο μικρό βάθος στο ομοίωμα δεν μπορούμε να έχουμε σωστές παρατηρήσεις. Αναγκαζόμαστε συνεπώς να διαλέξουμε π.χ. κλίμακα 1:1000 για τις οριζόντιες διαστάσεις και κλίμακα 1:100 για τις κατακόρυφες.

20 ΝΟΜΟΙ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑΣ Η δυναμική ομοιότητα απαιτεί την ομοιότητα των δυνάμεων που εμφανίζονται σ`ένα υδραυλικό φαινόμενο. Αυτές οι δυνάμεις μπορεί να είναι μια ή περισσότερες από τις παρακάτω δυνάμεις: (i) Δυνάμεις αδρανείας που συμβολίζονται με Fi (ii) Δυνάμεις ιξώδους που συμβολίζονται με Fu (iii) Δυνάμεις βαρύτητας που συμβολίζονται με Fg (iv) Δυνάμεις πιέσεως που συμβολίζονται με Fv (v) Ελαστικές δυνάμεις που συμβολίζονται με Fe (vi) Δυνάμεις επιφανειακής τάσης που συμβολίζονται με Fs. (i) Δύναμη αδράνειας (Fi)είναι η δύναμη αντίστασης μιας μάζας στην επιτάχυνση =μάζα x επιτάχυνση (ii) Δύναμη ιξώδους (Fu)είναιτογινόμενοτηςτάσης ιξώδους και εμβαδού =διατμητική τάση x εμβαδόν λόγωτου (iii) Δύναμη βαρύτητας (Fg)είναι το γινόμενο της μάζας του υγρού και της επιτάχυνσης g λόγω της βαρύτητας = x g

21 ΝΟΜΟΙ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑΣ Για την επίτευξη πλήρους δυναμικής ομοιότητας πρέπει ο λόγος της δύναμης αδράνειας Fi με κάθε μια από τις άλλες δυνάμεις (ιξώδους και βαρύτητας) να παίρνει την ίδια τιμή στο πρωτότυπο και στο ομοίωμα. Κάθε τέτοιος λόγος είναι αδιάστατος αριθμός. Δύο σημαντικοί αδιάστατοι αριθμοί είναι ο αριθμός του Reynolds και του Froude. ΟαριθμόςReynolds είναιολόγοςτηςδύναμηςαδράνειαςπροςτη δύναμη ιξώδους που ενεργούν σ` ένα φαινόμενο ροής. Σε μια ροή υγρού που οι δυνάμεις αδράνειας και ιξώδους είναι επικρατέστερες, απαιτούμε ο αριθμός Reynolds του ομοιώματος και του πρωτοτύπου να είναι ο ίδιος.

22 Σε μια ροή υγρού που οι δυνάμεις αδράνειας και ιξώδους είναι επικρατέστερες, απαιτούμε ο αριθμός Reynolds του ομοιώματος και του πρωτοτύπου να είναι ο ίδιος. Μεγάλη τιμή του Re υποδεικνύει τη συγκριτική επικράτηση της δύναμης αδράνειας, ενώ χαμηλή τιμή δείχνει τη συγκριτική επικράτηση της δύναμης ιξώδους

23 Ο αριθμός του Froude είναι ο λόγος της δύναμης αδράνειας προς τη δύναμη βαρύτητας: Όπως προηγουμένως Η δύναμη βαρύτητας: Fi ρ L Άρα έχουμε = = 3 Fg ρ L g L g Η τετραγωνική ρίζα του οποίου ονομάζεται αριθμός Froude F =. Lg Έστω ότι επιθυμούμε ταύτηση αρ.froude & Reynolds σε πρωτότυπο και ομοίωμα: L L L v Re = = = v v L v 3/ 2 v L = F = = L = v L Lg L g L Συνεπώς αν στο πρωτότυπο χρησιμοποιηθεί νερό με ν ρ =10-6 και για κλίμακα 1/50, τότε στο μοντέλο απαιτείται ν =2.8x10-9, που δεν υπάρχει.

24 Έστω ότι έχουμε ομοιότητα Froude. Ο λόγος των ταχυτήτων στο ομοίωμα και στο πρωτότυπο ισούται με: L F = = = = Lr Lg L g L Ο λόγος των χρόνων ισούται με: T L / Lr = = = T L / L r L r Ο λόγος των παροχών ισούται με: Q Q A = = L L = L A 2 5/2 r r r

25 Έστω ότι έχουμε ομοιότητα Reynolds. Ο λόγος των ταχυτήτων στο ομοίωμα και στο πρωτότυπο ισούται με: L Re = = v L v Ο λόγος των χρόνων ισούται με: T L / L L T L / v v 2 r r = = Lr = r r L v v = = L v L r r Ο λόγος των παροχών ισούται με: Q A v = = L = L v Q A L 2 r r r r r

26 Έστω ότι έχουμε ομοιότητα Froude και στρεβλή κλίμακα. Ο λόγος των ταχυτήτων στο ομοίωμα και στο πρωτότυπο ισούται με: F = = Lg L g όπου Y R είναι ο λόγος των μηκών κατακόρυφης κλίμακας Ο λόγος των χρόνων ισούται με: T L / Lr = = T L / Y R (L r είναι ο λόγος των οριζόντιων μηκών) L = = L Y R Ο λόγος των παροχών ισούται με: Q Q = A A = L L B B = L Y r R Y R = L r Y 3/ 2 R

27 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΟΜΟΙΩΜΑΤΟΣ ΒΟΡΕΙΟΥ ΑΙΓΑΙΟΥ k hor = 10 Οριζόντια κλίμακα 3 Κατακόρυφη κλίμακα k ver = 10 Διαστάσεις περιοχής προσομοίωσης: 400 x 400 K x 500 Διαστάσεις ομοιώματος: 4x4x0.5 Από την ομοιότητα κατά Froude 5 Η κλίμακα του χρόνου όσον αφορά τις οριζόντιες κινήσεις είναι: k t 5 khor khor 10 = = = = k 3 u k 10 ver 4 οπότε 1dayστο πρότυπο 24x60x60x 3.16*10-4 =27.3 s στο μοντέλο Η παροχή μοντέλου, για πραγματική Q = /s Q Q F Lg = = L g L 3 = = Y = 10 = R L 3/2 Q 5( 3) 3/2 5 3 = LY r R = Q= 1.26*10 / s= lit/ in 40000

28 Σε προβλήματα που σχετίζονται με συχνότητα περιστροφής, ηοποία μπορεί να οφείλεται στη δύναμη Coriolis, τότε η ομοιότητα που θα ακολουθηθεί βασίζεται στον αδιάστατο αριθμό Rossby. Χρησιμοποιώντας ομοιότητα κατά Rossby στο πρότυπο και στο μοντέλο προκύπτει η κλίμακα της παραμέτρου Coriolis: Ro U U π μ = = f L f L π π μ μ k f k k u = = hor k k ver hor Όπου U=ταχύτητα, L=χαρακτηριστικό μήκος, και f= συχνότητα περιστροφής Για το προαναφερθέν παράδειγμα του ομοιώματος του Β. Αιγαίου έχουμε: k f 3 k k u ver 10 = = = = k k 10 hor hor

29 Αν τα φαινόμενα επιφανειακής τάσης επικρατούν, τότε η ομοιότητα που θα ακολουθηθεί βασίζεται στον αδιάστατο αριθμό Weber. H ομοιότητα αυτή εξασφαλίζει τη σωστή αναλογία ανάμεσα στο ομοίωμα και στο πρωτότυπο με προσοχή στις επιδράσεις της επιφανειακής τάσης. Ο νόμος αυτός ομοιότητας εφαρμόζεται στη μελέτη του σχηματισμού σταγονιδίων, στην τριχοειδή ανύψωση, κ.λπ. Ορισμένα κυματικά φαινόμενα που παρουσιάζονται στα ομοιώματα οφείλονται στην επιφανειακή τάση. ΟαριθμόςWeber ορίζεται ως εξής: W=ρU 2 L/σ όπου U= χαρακτηριστική ταχύτητα, L=χαρακτηριστικό μήκος, ρ= πυκνότητα υγρού, σ=επιφανειακής τάση.

30 Εξισώνοντας τον αριθμό Weber για το ομοίωμα και το πρωτότυπο δίνει τις ακόλουθες σχέσεις για τους λόγους ταχύτητας και χρόνου: U R =(σ R /L R ρ R ) 1/2 T R =(L R3 ρ R /σ R ) 1/2

31 Στη ροή ανοικτών αγωγών, η παρουσία της ελεύθερης επιφάνειας εξασφαλίζει ότι οι δυνάμεις βαρύτητας είναι πάντα δεσπόζουσες. Γι αυτό, σχεδόν όλα τα ομοιώματα ανοικτών αγωγών είναι δομημένα με βάση τον νόμο του Froude. Οι επιδράσεις της επιφανειακής τάσης είναι σημαντικές μόνο όταν η ακτίνα της καμπύλης της ελεύθερης επιφάνειας ή οι αποστάσεις από τα στερεά όρια είναι πολύ μικρές. Οι επιδράσεις της επιφανειακής τάσης είναι αμελητέες στα περισσότερα πρωτότυπα και προσοχή πρέπει να δίνεται για να εξασφαλιστεί ότι είναι επίσης αμελητέες στα ομοιώματα. Από μια πρακτική άποψη, αν τα βάθη ροής των ομοιωμάτων είναι μεγαλύτερα από 0.05, οι επιδράσεις της επιφανειακής τάσης μπορούν συνήθως να αγνοηθούν. Δεν ισχύει όμως αυτό, αν πρόκειται να μελετήσουμε την κίνηση φυσαλίδων αέρα, πχ σε μια υδροληψία.