σφαιρικό σωματίδιο είναι: Β = Vp x ρ p x g (1) οπού: V ο όγκος όπου: βαρύτητας (m/s 2 ) (3) π.d p2 /4) 3 ) ρ w η πυκνότητα

Transcript

1 Καθίζηση τύπου Ι Έστω ότι ένα διακεκριμένο σφαιρικό σωματίδιο (Σχήμα 1) καθιζάνει σε μια ήρεμη δεξαμενή νερού. Στο σωματίδιο αυτό ασκούνται τρεις διαφορετικές κατακόρυφες δυνάμεις που είναι το βάρος του, η άνωση και η οπισθέλκουσα. Σχήμα 1: Σφαιρικό σωματίδιο σε ήρεμο νερό κάτω από την επίδραση της οπισθέλκουσας δύναμης, της άνωσης και του βάρους του. Το βάρος του σωματιδίου είναι: Β = Vp x ρ p x g (1) οπού: V ο όγκος του σωματιδίου, m 3 ρ η πυκνότητα του σωματιδίου (kg/m 3 ) g η επιτάχυνση της βαρύτητας (m/s 2 ) Η ανωστική δύναμη είναι: A = Vp x ρ w x g (2) όπου V ο όγκος του σωματιδίου, m 3 ρ w η πυκνότητα του νερού kg/m 3 ) g η επιτάχυνση της βαρύτητας (m/s 2 ) Η οπισθέλκουσα δύναμη είναι: F = C D x A p x ρ w x Vs 2 /2 (3) όπου: C D ο συντελεστής οπισθέλκουσας Α η προβολή της σφαιρικής επιφάνειας (= π.d p2 /4) ρ w η πυκνότητα του νερού (kg/m 3 ) Vs η ταχύτητα καθίζησης (m/s) 1

2 Όταν η οπισθέλκουσα δύναμη γίνει ίση με τη συνισταμένη των δυνάμεων που αντιστοιχούν στο βάρος και στην άνωση του σωματιδίου τότε θα μηδενισθεί η επιτάχυνση και η πτώση θα γίνεται με την οριακή του ταχύτητα. Η οριακή αυτή ταχύτητα μπορεί να υπολογισθεί από τις σχέσεις 1, 2, 3 και τη σχέση 4 εάν αντικατασταθεί ο όγκος του σφαιρικού σωματιδίου με π π.d p3 /6 (όπου d p η διάμετρος του σωματιδίου). m p x dvs/dt (4) όπου: m p η μάζα του σωματιδίου, kg dvs/dt η επιτάχυνση του σωματιδίου (m/s 2 ) Β, Α και F οι δυνάμεις που αντιστοιχούν στο βάρος, την άνωση και την οπισθέλκουσα (Ν) Η οριακή ταχύτητα πτώσης ενός σφαιρικού σωματιδίου σε νερό που βρίσκεται κάτω από συνθήκες ηρεμίας δίνεται από την σχέση 5: Vs = [4/3x(g(ρ p- ρ w )1) d p / C D. ρ w ] 1/2 (5) Αν διαιρέσουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή της σχέσης 5 με ρ w, προκύπτει η σχέση 5α. όπου: Vs = [4/3x(g(ρ p /ρ w )-1) / C D ] 1/2 (5a) ρ p /ρ w = πυκνότητα σωματιδίου/πυκνότητα νερού, ονομάζεται και ειδική βαρύτητα ή σχετικό ειδικό βάρος του σωματιδίου, Ο συντελεστής οπισθέλκουσας, όταν πρόκειται για σφαιρικά σωματίδια, υπολογίζεται από τη σχέση: C D = 24/Re +3/[Re] 1/2 + 0,34 (6) και ο αριθμός Reynolds ορίζεται από τη σχέση 7: Re = Vs x d p x ρ w /μ (7) όπου: μ το δυναμικό ιξώδες του νερού (kg/m.s) Όταν ο αριθμός Re είναι μικρότερος από 0,3 τότε στην εξίσωση 6 σημαντικός είναι μόνο ο πρώτος όρος και μπορεί να θεωρηθεί ότι C D =24/Re. Κάτω απ' αυτές τις συνθήκες η σχέση 5 (που εκφράζει τον νόμο του Newton) παίρνει τη μορφή 8 που αντιστοιχεί στο νόμο του Stokes. Vs = (g x d 2 p (ρ p /ρ w )-1) / 18 ν (8) 2

3 Όπου: ν = το κινηματικό ιξώδες του νερού (m 2 /s) ρ p /ρρ w = το σχετικό ειδικό βάρος του σωματιδίου Για μεγάλες τιμές του αριθμού Re (π.χ. για Re >2000) ο συντελεστής C D τείνει προς την τιμή 0,4. Έτσι για μεγάλες τιμές του αριθμού Re η σχέση 5α γίνεται: Vs = [3,3 x g x (g(ρ p /ρ w )-1) d p ] 1/2 (5β) Στο Σχήμα 2 δίνεται η γραφική παράσταση της εξάρτησης της οριακής ταχύτητας πτώσης σωματιδίων άμμου (σχετικό ειδικό βάρος 2,65) σε νερό θερμοκρασίας 20 C από το μέγεθος των σωματιδίων για περιοχές μικρών αριθμών Re (νόμος του Stokes), για ενδιάμεσες τιμές αριθμών Re (μεταβατικές συνθήκες) και για περιοχές μεγάλων αριθμών Re (συνθήκες τυρβώδους ροής, νόμος του Newton). 3

4 ΚΑΘΙΖΗΣΗ ΤΥΠΟΥ Ι Παράδειγμα 1 Να σχεδιασθεί μία τετραγωνική δεξαμενή καθίζησης άμμου για την επεξεργασία m 3 /d ακατέργαστου επιφανειακού νερού (ποταμού) με ρυθμό επιφανειακής φόρτισης (SurfaceOverflowRate) = 12 m 3 /m 2 _d και υδραυλικό χρόνο παραμονής περίπου 4 h. Ο ρυθμός επιφανειακής φόρτισης φράγματος (WeirOverflowRate) να μην ξεπερνά τα 3000 m 3 /m_d. Όταν για Re<<0,,5 ισχύει V s = g*(ρ s ρ w )*d 2 / 18μ (Stokes), να καθορίσετε ποια σωματίδια από τα κλάσματα του πίνακα θα κατακρατηθούν. Η ειδική πυκνότητα άμμου είναι 1,15 kg/m 3. Λύση 1. Διαστάσεις δεξαμενής α. Απαιτούμενη επιφάνεια = Q/ρυθμό επιφ. Φόρτισης (SOR) = m 3 /d / 12 m 3 /m 2 _d = 1683 m 2 (τετραγωνική δεξαμενή) L = W = 41 m ~ 45m β. Βάθος Η = Vs * t = 12 m 3 /m 2 _d * 4 h = 0,5 m 3 /m 2 _h * 4 h = 2 m κατασκευάζουμε δεξαμενή με LxWxH = 45x45x2 *** κανονικά θα έπρεπε να βρούμε την καινούρια πλέον SOR, διότι ο ρυθμός καθίζησης ισούται με την επιφανειακή φόρτιση SOR: νέα SOR = 20200/45*455 = 9,98 m 3 /m 2 _d και Η = 0,42* *4 = 1,7m ~ 2m 2. Έλεγχος της επιφανειακής φόρτισης φράγματος υπερχείλισης (WOR): WOR = Q/W = 20200/45 = 448,8 m 3 /m_d Για να εκπληρώνει τον όρο 300< θα πρέπει να επιλέξουμε μία W = 67 m. 3. Για να καθορίσουμε ποια σωματίδια από τα κλάσματα του πίνακα θα κατακρατηθούν πρέπει να συγκρίνουμε την ταχύτητα του κάθε κλάσματος με βάση την εξίσωση του Stocke V s = g*(ρ s ρ w )*d 2 / 18μ, με την νέα SOR που προκύπτει από τα κατασκευαστικά δεδομένα. Και SOR = 10 m 3 /m 2 _d = 0,1157 0,12 mm/s 4

5 Επομένως από τα κλάσματα του παραπάνω πίνακα με την συγκεκριμένη κατασκευή και χαρακτηριστικά θα κατακρατηθούν πάνω από 90% στερεά με διάμετρο από 0,04 και πάνω Παράδειγμα 2 Να υπολογισθεί η οριακή ταχύτητα καθίζησης ενός σφαιρικού σωματιδίου άμμου διαμέτρου 0,4 mm. Η καθίζηση γίνεται σε μια δεξαμενή που περιέχει νερό το οποίο βρίσκεται σε συνθήκες ηρεμίας και η θερμοκρασία του είναι 20 C Δίνονται η πυκνότητα και το δυναμικό ιξώδες του νερού στους 20 C. Πυκνότητα 998,2 kg/m 3, δυναμικό ιξώδες 1, N.s/m 2. Η πυκνότητα της άμμου λαμβάνεται ίση με 2650 kg/m 3. Λύση Από το Σχήμα 2 σωματίδια άμμου με διάμετρο 0,4 mm καθιζάνουν υπό καθεστώς μεταβατικών συνθηκών. Ξεκινάμε την επίλυση της άσκησης κάνοντας μια παραδοχή για τον αριθμό Reynolds. Έστω λοιπόν Re =100. Βήμα 1 Με βάση την τιμή Re = 100 υπολογίζουμε την ταχύτητα καθίζησης (Vs) και το συντελεστή οπισθέλκουσας (C D ). 100 = (Vs (m/s)x(0,4x10-3 m)x998,2 kg/m 3 )/(1,002 x 10-3 N.s/m 2 ) = Vs (m/s)x398,483 s/m Vs = 0,251 m/s C D = 24/ /(100) 1/2 + 0,34 = 0,88 Στη συνέχεια με την τιμή C D = 0,88 (που υπολογίσθηκε για το συντελεστή οπισθέλκουσας) υπολογίζουμε (από τη σχέση 5α) την αντίστοιχη ταχύτητα καθίζησης. Vs,1 = [ 4/3((9,81 (m/s 2 )x(2650/998,2-1)x0,4x10-3 )/(C D )) ] 1/2 Vs,1 = [ (8,658x10-3 )/0,88) ] 1/2 Επειδή η τιμή Vs = 0,251 m/s διαφέρει σημαντικά από την τιμή Vs,1 =0,099 m/s δοκιμάζουμε εκ νέου λαμβάνοντας ως βάση για τους υπολογισμούς την τιμή Vs,1 = 0,099 m/s. Βήμα 2 Για Vs,1 = 0,099 m/s υπολογίζονται: Ν R = 398,483 x 0,099 = 39,45 C D = (24/39,45) + ((3/(39,45) 1/2 ) + 0,34 = 1,43 Vs,2 = ((8,658x10-3 )/1,43) 1/2 m/s = 0,078 m/s 5

6 Επειδή η τιμή Vs,2 = 0,099 m/s που βρέθηκε από την πρώτη δοκιμή εξακολουθεί να διαφέρει σημαντικά από την τιμή Vs,2 = 0,078 m/s που βρέθηκε με τη δεύτερη δοκιμή, επιχειρείται ένα τρίτο βήμα υπολογισμών με βάση την τιμή Vs,2 = 0,078 m/s. Βήμα 3 Για Vs,2 = 0,078 m/s υπολογίζονται: Ν R = 398,483 x 0,078 =31,08 C D = (24/31,08) + ((3/(31,08) 1/2 ) + 0,34 = 1,65 Vs,3 = ((8,658x10-3 )/1,65) 1/2 m/s = 0,072 m/s Παρατηρούμε ότι οι τιμές των ταχυτήτων καθίζησης πλησίασαν αρκετά (τιμές Vs,2 = 0,078 m/s και Vs,3 = 0,072 m/s). Έτσι σταματάμε τα βήματα των δοκιμών και θεωρούμε σαν οριακή ταχύτητα καθίζησης των σωματιδίων της άμμου τη μέση τιμή (0,072 +0,078)/2= 0,075 m/s. Θεωρία καθίζησης ΙΙ Το βάθος της δεξαμενής δεν αποτελεί συντελεστή για τον προσδιορισμό του μεγέθους των σωματιδίων που θα αφαιρεθούν πλήρως στην ζώνη καθίζησης. Ο συντελεστής που θα πρέπει να καθορισθεί ονομάζεται επιφανειακή φόρτιση, έχει τις μονάδες της ταχύτητας q o = Q/A (m 3 /m 2 _h) και αντιστοιχεί στην τελική ταχύτητα καθίζησης των σωματιδίων που θα αφαιρεθούν 100%. Εάν διεξαχθεί μια παρόμοια σύγκριση μεταξύ διακοπτόμενης και συνεχούς καθίζησης σε μία ορθογώνια δεξαμενή, η διαδρομή των καθιζανόντων σωματιδίων δεν θα είναι μία ευθεία γραμμή. Όπως καθορίσθηκε στην ανάλυση ασυνεχούς καθίζησης η μέση ταχύτητα του καθιζάνοντος συσσωματωμένου σωματιδίου θα αυξηθεί με το βάθος. Λόγω του ότι η διαδρομή τείνει να είναι καμπύλη (εικόνα) το βάθος είναι ένας συντελεστής στην καθίζηση συσσωμάτωσης. Για τον λόγο αυτό η ανάλυση πρέπει να διεξαχθεί σε μία στήλη με το ίδιο βάθος της επιδιωκόμενης δεξαμενής καθίζησης. Δεξαμενές καθίζησης διακεκριμένων σωματιδίων είναι συνήθως 2,5-3 μέτρα βαθιές, ενώ για την καθίζηση συσσωμάτων είναι συνήθως 3-4 μέτρα. Για λόγους πρακτικής το πλάτος δεν πρέπει να ξεπερνά τα 12 μέτρα (κατασκευή μηχανικών εξοπλισμών αφαίρεσης της ιλύος) και έτσι το μήκος της δεξαμενής πρέπει να διατηρηθεί σε λιγότερο από 48 μέτρα. 6

7 Παράδειγμα 3 Σχεδιασμός μιας ορθογώνιας δεξαμενής καθίζησης για καθίζηση τύπου ΙΙ Μία πόλης πρέπει να επεξεργασθεί m 3 νερού. Σωματίδια συσσωμάτωσης παράγονται κατά την διαδικασία κρωκίδωσης συσσωμάτωσης και η ανάλυση στήλης στο εργαστήριο έδειξε ότι μια επιφανειακή ταχύτητα υπερχείλισης 20 m 3 /m 2 _d επιτυγχάνει ικανοποιητική απομάκρυνση σε ένα βάθος 3,5 μέτρων. Να καθορισθούν οι διαστάσεις της απαιτούμενης δεξαμενής. Λύση 1. Υπολογισμός της επιφάνειας (προτείνονται δύο δεξαμενές, έκαστη να επεξεργάζεται 7500 m 3 /d) Q=q o A s 7500 m 3 /d = A s x20m/d A s =7500/20 = 375 m 2 2. Επιλογή σχέσης μήκους προς πλάτος 3/1 και υπολογισμός των διαστάσεων της επιφάνειας W x 3W = 375 m 2 Width =11,2 ~ 11 m Length = 33,5 ~34 m 3. Υπολογισμός του χρόνου παραμονής t= volume/flow rate = (11m x 34m x 3,5m)/[(7500 m 3 /d) x (1d/24h)] = 4,2 h 4. Υπολογισμός της οριζόντιας ταχύτητας v h = Q/A s = 7500 (m 3 /d) x 1d/24h /11m x 3,5 = 8,1 m/h 5. Υπολογισμός της ταχύτητας υπερχείλισης (weir overflow rate). Κατασκευάζοντας έναν απλό υπερχειλιστή κατά μήκος του τελικού άκρου της δεξαμενής, το μήκος του υπερχειλιστή θα είναι 11m και η ταχύτητα υπερχείλισης: 7500m 3 /d x 1d/24h x 1/11m = 28,4 m 3 /m_h Είναι αναγκαίο να εφαρμόσουμε 5 φορές αυτή το πλάτος (αύξηση του μήκους του υπερχειλιστή με εσωτερική κατασκευή παράλληλων καναλιών) 7

8 Σχήμα 3 6. Πρόσθεση ζωνών εισόδου και εξόδου στο ίσο βάθος της δεξαμενής και ζώνη ιλύος όπως στο Σχήμα 4 Καθίζηση Παράδειγμα 4 Μια μονάδα επεξεργασίας πόσιμου νερού έχει 4 δεξαμενές καθίζησης και επεξεργάζεται 630 m 3 /h. Κάθε μια δεξαμενή καθίζησης έχει πλάτος (W) 5 m, 24,5 m μήκος (L) και 4,5m βάθος (D). Να καθορίσετε 1) τον χρόνο παραμονής, 2) την ταχύτητα επιφανειακής φόρτισης, 3) την οριζόντια ταχύτητα κίνησης και 4) την ταχύτητα υπερχείλισης υποθέτοντας ότι το μήκος του υπερχειλιστή είναι 2,5 φορές το μήκος του πλάτους της δεξαμενής Λύση Βήμα 1 ο Υπολογισμός του χρόνου παραμονής για κάθε μια δεξαμενή καθίζησης Q=630m3/h /4 δεξαμενές = m3 θα επεξεργάζεται η κάθε μία δεξαμενή t= V/Q=5x24.5x4.5/630 m 3 /h = 551.3/157.5 = 3.5 h Βήμα 2 ο Υπολογισμός της επιφανειακής φόρτισης u = Q/LxW = m 3 /h /5m x 24.5 m = 1.28 m 3 /m 2 _h (βιβλιογραφικές τιμές: για διακεκριμένα σωματίδια m/h και για συσσωματωμένα m/h) Βήμα 3 ο Υπολογισμός της οριζόντιας ταχύτητας v= Q/WxD = / 5 x 4.5 = 7 m/h 8

9 (βιβλιογραφικές τιμές: να μην υπερβαίνει για ελαφρά συσσωματωμένα σωματίδια τα 9 m/h και για βαρύτερα διακεκριμένα σωματίδια περίπου 36 m/h) Βήμα 4 ο Υπολογισμός του ρυθμού υπερχείλισης v w = Q/2.5xW = 157.5/2.5x4.5 =14m/h πολύ μεγάλοι ρυθμοί υπερχείλισης οδηγούν σε αυξημένες ταχύτητες στην έξοδο. Αυτές οι ταχύτητες επαναφέρουν σωματίδια και συσσωματώματα, τα οποία κανονικά έχουν καθιζάνει, στο ρεύμα εκροής και διαφεύγουν με το καθαρό νερό. Εφαρμοζόμενοι ρυθμοί υπερχείλισης κυμαίνονται από 6 m 3 /m_h ( ανα μέτρο μήκους του υπερχειλιστή) για ελαφρά σωματίδια μέχρι 14 m 3 /m_h για βαρύτερα διακεκριμένα σωματίδια. Είναι αναγκαίο να κατασκευαστεί ειδική εσωτερική μονάδα συλλογής του καθαρού νερού 9υπερχειλιστής) όπως στο σχήμα 3. Καθίζηση κεκλιμένων πλακών Κεκλιμένες πλάκες και σωλήνες χρησιμοποιούνται συχνά στην επεξεργασία του πόσιμου νερού. Ένας μεγάλος αριθμός κεκλιμένων πλακών ή σωλήνων (d=20-50mm) τοποθετούνται μαζί και λειτουργούν ως μία μονάδα. Τοποθετούνται κεκλιμένα με μία γωνία 7-60 ο. Η τυπική απόσταση μεταξύ δύο πλακών για μη παρεμποδιζόμενη καθίζηση είναι 5 cm με ύψος 1-2 m. Τα σωματίδια ή τα συσσωματώματα καθιζάνουν με την βοήθεια της βαρύτητας. Πρόκειται συνήθως για ελαφριές κατασκευές από πλαστικά PVC ή ΑΒC (1x3). Οι συστοιχίες αγωγών δείχνουν έχουν μια καλή απόδοση αλλά παρουσιάζουν εμφράγματα. Κατασκευάζονται σε ομόρυθμη, παράλληλη και αντίθετη ροή. Η επιφανειακή φόρτιση ή ταχύτητα καθίζησης (u) και η οριζόντια ταχύτητα (v) υπολογίζονται ως ακολούθως: u = Q*w /A(H cosθ + w cos 2 θ) v = Q/A sinθ όπου u = επιφανειακή φόρτιση ή ταχύτητα καθίζησης, m/s v = ταχύτητα του νερού στην δεξαμενή καθίζησης, m/s A = επιφάνεια της δεξαμενής, m 2 θ = γωνία κλίσης, w = πλάτος της δεξαμενής καθίζησης, m H = κάθετο ύψος, m 9

10 Καθίζηση Παράδειγμα 5 Δύο δεξαμενές συσσωμάτωσης επεξεργάζονται 3600 m 3 /h και απομακρύνουν συσσωματώματα μεγαλύτερα από 0.02 mm. Η ταχύτητα καθίζησης των σωματιδίων 0.02 mm μετρήθηκε στο εργαστήριο ίση με 0.22 mm/s στους 15 ο C. Τοποθετήθηκαν σωληνοειδής συστήματα καθίζησης με μία γωνία 50 ο και η το πλευρικό ύψος είναι 1.22m. Καθορίστε την επιφάνεια της δεξαμενής που απαιτείται για την συστοιχία καθίζησης και το μέγεθος του καθενός στοιχείου στους 15 ο C. Λύση Βήμα 1 ο Υπολογισμός της επιφάνειας που απαιτείται για το σύστημα των καθιζητήρων Q=(1 m 3 /s)/2 = 0.5 m 3 /s = 30 m 3 /min W=50.8 mm = m Θ=50 ο Εφαρμόζοντας την εξίσωση u = Q*w /A(H cosθ + w cos 2 θ) u = 0.5*(0.0508)/A*(1.22x x ) u = /A Βήμα 2 ο Υπολογισμός της επιφάνειας Α Στην πράξη οι πραγματικές συνθήκες στον καθιζητήρα δεν είναι τόσο ιδανικές και ελεγχόμενες όσο στο εργαστήριο Οπότε είναι αναγκαίο να εφαρμοσθεί ένας συντελεστής ασφαλείας 0.6 για να προσδιορισθεί η ταχύτητα καθίζησης u = 0.6x m/s = /A => A = 236 m 2 ~ 240 m 2 Βήμα 3 ο Υπολογισμός του ρυθμού επιφανειακής φόρτισης Q/A Q/A = (0.5x24x60x60 m 3 /d)/240 m 2 = 180 m 3 /m 2 _d 10

11 Βήμα 4 ο Υπολογίστε την ταχύτητα ροής στον καθιζητήρα εφαρμόζοντας την εξίσωση v = Q/A sinθ v = 180/0.766 = 235 m/d = m/min = m/s Βήμα 5 ο Υπολογίστε το μέγεθος της δεξαμενής καθίζησης Σχεδιάζουμε δύο όμοιες δεξαμενές καθίζησης. Επιλέγουμε το βάθος (D) της δεξαμενής 4 m. Το πλάτος (W) επιλέγεται 8.0 m. Υπολογισμός του μήκους της δεξαμενής L = 240 m 2 /8 m = 30 m Στην πράξη πάντα προβλέπουμε επιπλέον χώρο ίσο με το ¼ του μήκους της δεξαμενής για μελλοντική αύξηση της ικανότητας καθίζησης, επομένως το πραγματικό μήκος της δεξαμενής γίνεται 30 x 4/3 = 40 m Βήμα 6 ο Ελέγχουμε την οριζόντια ταχύτητα Q/A = (30 m 3 /min)/(4 m x8 m) = m/min Βήμα 7 ο Έλεγχος του αριθμού Reynolds (R) στο σύστημα των καθιζητήρων Υδραυλική ακτίνα r = /(4 x ) = m R = v*r/μ = ( m/s)*( m)/ m 2 /s = 3 <2000 οπότε πρόκειται για μια στρωτή ροή 11