ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ"

Transcript

1 3ο κεφάλαιο: Εξισώσεις ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ )

2 Copyright 2014 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος άδεια χρήσης 3η Εκδοση, Αύγουστος 2014

3 Περιεχόµενα 1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ αx + β = ΘΕΩΡΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ Η ΕΞΙΣΩΣΗ xν = α ΘΕΩΡΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ Βιβλιογραφία Βιβλία Ιστοσελίδες

4

5 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ αx + β = 0 ΘΕΩΡΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ Η ΕΞΙΣΩΣΗ xν = α ΘΕΩΡΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ 1. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ αx + β = 0 ΘΕΩΡΙΑ Ερώτηση 1.1 Τι είναι εξίσωση ; Απάντηση Οι εξισώσεις µιας µεταβλητής, είναι σχέσεις της µορφής f (x) = g(x), µε f, g συναρτήσεις ορισµένες σε υποσύνολα του R. Οι οποίες επαληθεύονται για συγκεκριµένες τιµές των µεταβλητών, που ονοµάζονται ϱίζες ή λύσεις της εξίσωσης. Ερώτηση 1.2 Πως λύνεται η εξίσωση αx + β = 0 για τις διάφορες τιµές των α, β R; Απάντηση Είναι : αx + β = 0 αx = β Τώρα διακρίνουµε τις περιπτώσεις : β α 2. Αν α = 0 τότε από : αx = β 0x = β 1. Αν α 6= 0 τότε από : αx = β x =, µοναδική λύση. τώρα αν : i. β 6= 0 έχουµε, 0x = β 6= 0 το οποίο είναι αδύνατο, άρα η εξίσωση είναι αδύνατη, δεν έχει πραγµατικές ϱίζες. ii. β = 0 έχουµε, 0x = 0 το οποίο ισχύει για κάθε x R, άρα η εξίσωση είναι ταυτότητα, έχει άπειρες πραγµατικές ϱίζες.

6 Ερώτηση 1.3 Η εξίσωση αx = β πότε έχει : i. Μια µόνο λύση ii. Άπειρες λύσεις iii. Καµία λύση Απάντηση i. Μια µόνο λύση, έχει όταν : α 0 ii. Άπειρες λύσεις, έχει όταν : α = β = 0 iii. Καµία λύση, δεν έχει όταν : α = 0 και β 0 Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 6

7 1.1.2 ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ Θέµα 1.1 Να λύσετε τις εξισώσεις i. 2(x + 1) = x + 3 ii. x + 3 = 2(x 3) x iii. 5(x 3) x = 4x 15 Μεθοδολογία 1.1 Για να λύσουµε µια εξίσωση 1ου ϐαθµού, κάνουµε τις πράξεις, χωρίζου- µε γνωστούς από αγνώστους και αν ο συντελεστής του αγνώστου είναι 0 διαιρούµε µε αυτόν και τα δυο µέλη, διαφορετικά η εξίσωση είναι ή αδύνατη ή αόριστη. Λύση 1.1 i. 2(x + 1) = x + 3 2x + 2 = x + 3 2x + x = 3 2 3x = 1 x = 1 3 άρα η εξίσωση έχει µοναδική λύση. ii. x + 3 = 2(x 3) x x + 3 = 2x 6 x x 2x + x = 6 3 0x = 8 το οποίο είναι αδύνατο, άρα η εξίσωση δεν έχει λύση. iii. 5(x 3) x = 4x 15 5x 15 x = 4x 15 5x x 4x = x = 0 το οποίο ισχύει για κάθε x R, άρα η εξίσωση είναι αόριστη, δηλαδή έχει άπειρες λύσεις. Θέµα 1.2 Να λυθούν οι εξισώσεις : i. (x 2) 2 (x 1) 2 = (1 3x) 2 (2 3x) 2 (1) ii. x 2 7x + 6 = 0 (2) 2x + 7 iii. 2x + 5 = 2 x 2 + x (3) iv. v. 2x + 1 x 2 x 1 x = 6 x 3 2 x + 3 = 12 x 2 9 x (x 1) 2 (4) (5) Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 7

8 Λύση 1.2 i. (1) x 2 4x + 4 (x 2 2x + 1) = 1 6x + 9x 2 (4 12x + 9x 2 ) x 2 4x + 4 x 2 + 2x 1 = 1 6x + 9x x 9x 2 4x x 1 = 1 6x x 2x + 3 = 6x 3 2x 6x = 3 3 8x = 6 x = 6 8 = 3 4 ii. (2) x 2 (6 + 1)x = 0 (x 6) (x 1) = 0 x 6 = 0 ή x 1 = 0 x = 6 ή x = 1 iii. (3) 12 2x x + 5 = 12 2 x x (2x + 7) 4(2x + 5) = 3(2 x) 6(2 + x) 6x x 20 = 6 3x 12 6x 6x x 20 = 6 3x 12 6x 6x 8x + 3x + 6x = x = 7 x = 1 iv. (4) 2x + 1 x(x 1) 1 x = x (x 1) 2, x 0, x 1 x(x 1) 2 2x + 1 x(x 1) x(x 1 1)2 x (x 1)(2x + 1) (x 1) 2 = x 2 2x 2 + x 2x 1 x 2 + 2x 1 = x 2 x = x(x 1)2 (x 1) 2 x = 2 δεκτή αφού ικανοποιεί τους περιορισµούς v. (5) 6 x 3 2 x + 3 = 12 (x 3)(x + 3), x 3, x 3 6 (x 3)(x + 3) x 3 (x 3)(x + 3) 2 x + 3 = (x 3)(x + 3) 12 (x 3)(x + 3) 6(x + 3) 2(x 3) = 12 6x x + 6 = 12 6x 2x = x = 12 x = 3 απορρίπτεται αφού δεν ικανοποιεί τους περιορισµούς Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 8

9 άρα η εξίσωση (5) είναι αδύνατη Θέµα 1.3 Να προσδιοριστεί ο πραγµατικός αριθµός λ, ώστε η εξίσωση (λ + 1)x 2(λ + 2x) = λ(λ 2) 9 να είναι ταυτότητα. Λύση 1.3 Από τη ϑεωρία γνωρίζουµε ότι η εξίσωση αx = β είναι ταυτότητα αν και µόνο αν α = β = 0. Εποµένως ϑα πρέπει να ϕέρουµε την εξίσωση σ αυτή τη µορφή. (λ + 1)x 2(λ + 2x) = λ(λ 2) 9 λx + x 2λ 4x = λ 2 2λ (λ 3)x = λ 2 9 Άρα για είναι ταυτότητα πρέπει : λ 3 = 0 λ 2 9 λ = 3 λ = ±3 λ = 3 Θέµα 1.4 Να προσδιοριστεί ο πραγµατικός αριθµός λ, ώστε η εξίσωση (λ 2 + 3)x 4(x λ) = λ να είναι αδύνατη. Λύση 1.4 Από τη ϑεωρία γνωρίζουµε ότι η εξίσωση αx = β είναι αδύνατη αν και µόνο αν α = 0 και β 0. Εποµένως ϑα πρέπει να ϕέρουµε την εξίσωση σ αυτή τη µορφή. (λ 2 + 3)x 4(x λ) = λ xλ 2 + 3x 4x + 4λ = λ xλ 2 + 3x 4x = λ λ x(λ 2 1) = λ 2 4λ + 3 Άρα για να είναι αδύνατη ϑα πρέπει : λ 2 1 = 0 λ = 1 ή λ = 1 λ 2 4λ λ 3 και λ 1 Άρα για να είναι αδύνατη ϑα πρέπει λ=1. λ = 1 Θέµα 1.5 Να προσδιοριστεί ο πραγµατικός αριθµός λ, ώστε η εξίσωση λ 2 x 2 = 4x + 1 να έχει µοναδική λύση. λ Λύση 1.5 Από τη ϑεωρία γνωρίζουµε ότι η εξίσωση αx = β έχει µοναδική λύση αν και µόνο αν α = β = 0. Εποµένως ϑα πρέπει να ϕέρουµε την εξίσωση σ αυτή τη µορφή. Για να έχει νόηµα η εξίσωση ϑα πρέπει λ 0. Με αυτή την προϋπόθεση έχουµε : Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 9

10 λ 2 x 2 λ = 4x + 1 λ λ2 x λ 2 λ = λ 4x + λ 1 λ 3 x 2 = 4λx + λ λ 3 x 4λx = λ + 2 x(λ 3 4λ) = λ + 2 Άρα για να έχει µοναδική λύση ϑα πρέπει : λ 0 λ 3 4λ 0 λ(λ 2 4) 0 λ λ 0, 2, 2 Θέµα 1.6 Να λυθεί η εξίσωση λ 2 x 1 = x + λ (1) για τις διάφορες τιµές του λ R. Λύση 1.6 Για να λύσω την παραµετρική εξίσωση, ϑα πρέπει να ϕέρω την εξίσωση στη µορφή : αx = β λ 2 x 1 = x + λ λ 2 x x = 1 + λ (λ 2 1)x = 1 + λ τώρα διακρίνουµε τις περιπτώσεις : I. Αν λ λ ±1 λ R { 1, 1} τότε η εξίσωση έχει µοναδική λύση την : x = 1 + λ λ 2 1 = 1 + λ (λ 1)(λ + 1) = 1 λ 1 II. Αν λ=-1, αντικαθιστώντας στην (1) έχουµε : 0x = 0 άρα η εξίσωση είναι αόριστη, έχει άπειρες λύσεις. III. Αν λ=1, αντικαθιστώντας στην (1) έχουµε : 0x = 2 άρα η εξίσωση είναι αδύνατη, δεν έχει καµία λύση. Θέµα 1.7 Να λυθεί η εξίσωση λ 2 x + λ(x 2) = µ 1 (1) για τις διάφορες τιµές του λ, µ R. Λύση 1.7 Για να λύσω την παραµετρική εξίσωση, ϑα πρέπει να ϕέρω την εξίσωση στη µορφή : αx = β λ 2 x + λ(x 2) = µ 1 λ 2 x + λx 2λ = µ 1 λ 2 x + λx = 2λ + µ 1 x(λ 2 + λ) = 2λ + µ 1 ιακρίνουµε τις περιπτώσεις : I. Αν λ 2 + λ 0 λ(λ + 1) 0 λ 0 και λ 1 τότε έχουµε : x = 2λ + µ 1 λ 2 µοναδική λύση. + λ Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 10

11 II. Αν λ=0, τότε η εξίσωση γίνεται : 0x = µ 1. i. Αν µ 1 0 µ 1 τότε η εξίσωση είναι αδύνατη. ii. Αν µ 1 = 0 µ = 1 τότε η εξίσωση είναι αόριστη. III. Αν λ=-1, τότε η εξίσωση γίνεται : 0x = µ 3. i. Αν µ 3 0 µ 3 τότε η εξίσωση είναι αδύνατη. ii. Αν µ 3 = 0 µ = 3 τότε η εξίσωση είναι αόριστη. Θέµα 1.8 Να προσδιοριστεί ο λ, ώστε το x = 1 να είναι λύση της εξίσωσης (λ 2 + 1)(x 1) + x = λ 2 5λ + 5 (1) Λύση 1.8 Αφού το 1 είναι λύση της εξίσωσης, ϑα πρέπει να την επαληθεύει Αντικαθιστώντας στην (1) όπου x = 1 έχω : λ = 1 1 = λ 2 5λ + 5 λ 2 5λ + 4 = 0 λ = 4 Θέµα 1.9 Να προσδιοριστεί ο λ, ώστε το x = 0 να είναι µοναδική λύση της εξίσωσης (λ + 3)x 2λ 3 = 4(x λ) + λ(λ 2) (1) Λύση 1.9 Από τη ϑεωρία γνωρίζουµε ότι η αx = β έχει µοναδική λύση όταν α 0 (1) xλ + 3x 2λ 3 = 4x 4λ + λ 2 2λ xλ + 3x 4x = 4λ + λ 2 2λ + 2λ + 3 x(λ 1) = λ 2 4λ + 3 Άρα για να έχει µοναδική λύση πρέπει λ 1 0 λ 1 και η µοναδική λύση είναι : x = λ2 4λ + 3 λ 1 επειδή η µοναδική λύση είναι η x = 0, πρέπει : Άρα έχω : 0 = λ2 4λ + 3 λ 2 4λ + 3 = 0 λ 1 λ 1 λ 1 λ = 3 λ 2 4λ + 3 = 0 λ = 1 ή λ = 3 Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 11

12 Ρ ΠΡΟΣΟΧΗ!!! Είναι λάθος να αντικαταστήσουµε από την αρχή όπου x = 0, γιατί δεν λέει ότι έχει απλά λύση το 0, αλλά ότι το 0 είναι µοναδική λύση. Θέµα 1.10 Αν η εξίσωση : λ 2 (x 1) 5(x λ) = 11x + 4 (1) είναι αδύνατη, να δείξετε ότι η εξίσωση : λ(x 7) + 4(x + 1) = 2λ 2 (2) είναι ταυτότητα. Λύση 1.10 Θα ϕέρουµε την (1) στη µορφή αx = β, και για να είναι αδύνατη ϑα πρέπει α = 0 και β 0 (1) λ 2 x λ 2 5x + 5λ) = 11x + 4 λ 2 x 5x 11x = λ 2 5λ + 4 x(λ 2 16) = λ 2 5λ + 4 Άρα για να είναι αδύνατη πρέπει : λ 2 16 = 0 λ 2 5λ λ = 4 ή λ = 4 λ 4 και λ 1 λ = 4 Αντικαθιστώντας λ = 4 στην (2), έχουµε : 4(x 7) + 4(x + 1) = 2( 4) 2 4x x + 4 = 32 Άρα η (2) είναι αόριστη. 0x = 0 Θέµα 1.11 Να λυθούν οι εξισώσεις : i. 2 x = 0 ii. 2x = 0 iii. x 1 3 x + 5 = 0 iv. x + 1 = x + 1 v. 2x 4 = 2x + 4 vi. 3x 6 = 2x 2 vii. x x 6 = 0 Λύση 1.11 i. Οταν έχω εξίσωση της µορφής f(x) = θ > 0 x = ±θ. Εποµένως εφαρµόζοντας τη συγκεκριµένη ιδιότητα των απολύτων τιµών, έχουµε : Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 12

13 2 x = 0 2 x + 1 = 6 x + 1 = 3 x + 1 = 3 x + 1 = 3 x = 2 x = 4 ii. Οταν έχω εξίσωση της µορφής f(x) = α < 0 η εξίσωση είναι αδύνατη Άρα η εξίσωση : 2x = 0 2x + 7 = 9 είναι αδύνατη. f(x) = g(x) iii. Οταν έχω εξίσωση της µορφής f(x) = g(x) f(x) = g(x) x 1 3 x + 5 = 0 x 1 = 3 x + 5 x 1 = 3(x + 5) x 1 = 3(x + 5) x 1 = 3x + 15 x 1 = 3x 15 2x = 16 4x = 14 x = 8 x = 7 2 iv. Από τη σχέση : f(x) = f(x) f(x) > 0 Οπότε από την εξίσωση x + 1 = x + 1 x + 1 > 0 x > 1 v. Από τη σχέση : f(x) = f(x) f(x) < 0 Οπότε από την εξίσωση 2x 4 = 2x + 4 2x 4 < 0 2x < 4 x < 2 vi. Οταν έχω εξισώσεις της µορφής f(x) = g(x), επειδή το f(x) 0 ϑα πρέπει και το g(x) 0 Άρα από την εξίσωση f(x) = g(x) g(x) 0 f(x) = g(x) f(x) = g(x) Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 13

14 3x 6 = 2x 2 2x 2 0 3x 6 = 2x 2 3x 6 = 2x + 2 x 1 x = 4 x = 8 5 x = 4 x = 8 5 vii. Οταν έχω εξισώσεις της µορφής f(x) + g(x) = 0 επειδή f(x) 0 και g(x) 0 πρέπει να είναι : f(x) = g(x) = 0 Άρα από την εξίσωση : x 2 4 = 0 x x 6 = 0 3x 6 = 0 x = ±2 x = 2 x = 2 Θέµα 1.12 Να λυθεί η εξίσωση : (x 3) 3 8x 3 + (x + 3) 3 = 0 (Εκτός ύλης) Λύση 1.12 Από την ταυτότητα του Euler έχουµε ότι : αν α + β + γ = 0 α 3 + β 3 + γ 3 = 3αβγ Η εξίσωση που µας δίνεται, γράφεται : (x 3) 3 (2x) 3 + (x + 3) 3 = 0 κι έχουµε : x 3 2x + x + 3 = 0 άρα από : Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 14

15 (x 3) 3 8x 3 + (x + 3) 3 = 0 (x 3) 3 (2x) 3 + (x + 3) 3 = 0 (x 3) 3 (2x) 3 + (x + 3) 3 = 0 3(x 3)(2x)(x + 3) = 0 x 3 = 0 2x = 0 x + 3 = 0 x = 3 x + 0 x = 3 Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 15

16 1.1.3 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ 1. Να λυθούν οι εξισώσεις : i. 19x = 7x 24 ii. 7x 15 = 27 iii. 4x 3(2x 1) = 7x 42 iv. 2(3x 1) 3(2x 1) = 4 v. 6(x + 4) = 4(x 1) + 8 vi. 3(x + 1) 4(2x 1) + 5x + 2 = 0 vii. 7x + 16 = 15x 4(2x 4) viii. x(x 2) 2 = x 2 4x Να λυθούν οι εξισώσεις : x i. 2 = x x + 1 ii. = x 4 iii. = 5x 2 1 4x iv. x + 1 = x v. 2x 5 x vi. vii. = x 3 (3x + 2) = 2 x 7 3 5(4x 3) x 1 2 (x + 3) = 1 6 x Να λυθούν οι εξισώσεις : 5(x 2) i. x + 2 2x 6 x + 3 = 3 2x 3 ii. 2x 4 6 = x 5 3x x + 1 iii. x 2 + x + 1 x 2 = 2x2 + 4 x 2 4 x iv. x 1 = 1 x 2 x x + 1 v. x x 2 2x + 1 = 0 1 vi. x x + 1 = 2 x vii. x x = x 4 x 2 + 2x x 2 x viii. x 2 1 = x x + 1 x 3 8 ix. x 2 = x x 1 x 1 x 1 + x 3 x. = 1 + x 1 x 1 14 x 4. Να ϐρεθούν οι κοινές λύσεις των εξισώσεων : (2x 1) (x 2 1) = 1 και 2(x 1) 3 = 2 (2x 1) 5. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις για τις διάφορες τιµές του λ R i. (λ 1)x = λ 1 ii. (λ 2)x = λ iii. λ(λ 1)x = λ 1 Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 16

17 iv. λ(λ 1)x = λ 2 + λ v. x(λ 2 + 1) + 3 = 4(λ x) λ 2 x x + λ vi. x + λ = 1 λ 3 x + 1 vii. x λ x 1 2(λ + 1)2 = x + λ x 2 λ 2 x + α viii. x α = x2 x 2 α 2 6. Να λυθούν οι εξισώσεις για τις διάφορες τιµές των λ, µ R i. λx + λ = µx + µ ii. λ(3x + λ) + 7 2λ = λ 2 + 3(1 + µx) iii. (λ µ)x = λ 2 (λ + µ)x iv. (x + λ) 2 (x µ) 2 = 2λ(λ + µ) Αν λ + µ 0 v. (λx 1)(x + 1) + µ(x 1) λ(x 2 + 1) = 0 x λ vi. = x µ µ λ λx vii. µ µx 1 = 1 λ µ 7. Να προσδιορίσετε το λ R ώστε η εξίσωση (λ 2)x = λ 2 λ 2: i Να είναι αδύνατη ii Να είναι αόριστη iii Να έχει µοναδική λύση 8. Να προσδιορίσετε το λ R ώστε η εξίσωση (λ 2 + 3)(x 10) = λ 2 11λ + 18 να έχει λύση το x = Να προσδιορίσετε το λ R ώστε η εξίσωση λ(x + 2) 15 = 3(x λ) + λ(λ 3) να έχει µοναδική λύση το x = Αν η εξίσωση (3λ 1)x + 9x 2 = 1 έχει δυο λύσεις, να προσδιοριστεί το λ. 11. Να προσδιορίσετε το λ R ώστε η εξίσωση (λ 2 +5λ+6)x = λ+3 να έχει τουλάχιστον 2 λύσεις. 12. Αν (λ 3)κ 2 + 3λ = 2(λ 1) 5κ 2, να δείξετε ότι η εξίσωση κ(λ + 2)x = λ(λ + x) + 2(x 1), είναι αδύνατη. 13. Να ϐρείτε τα α, β R, ώστε η εξίσωση (α 2 9)x = α + 3 να είναι αόριστη και η εξίσωση (4 β 2 )x = β + 2 να είναι αδύνατη. 14. Να ϐρείτε τα λ, µ R, ώστε η εξίσωση (2λ 4)x = µ 2 9 να είναι αόριστη και η εξίσωση (λ 2)x = λ + µ + 1 να είναι αδύνατη. 15. Αν η εξίσωση (λ + 2)(x 1) = 3(x + 1) 2(2λ + 1), είναι ταυτότητα, να δείξετε ότι, η εξίσωση λ(x 1) 3(x + 1) = λ 2 + 4(λ + 1 x) 3 είναι αδύνατη. 16. Αν η εξίσωση λ(1 x) = µ 4x + 1 είναι ταυτότητα, να δείξετε ότι η εξίσωση µ(x + 1) + (λ 7)x = λ(λ + µ) είναι αδύνατη. 17. Αν ϱ η µικρότερη ϱίζα της εξίσωσης (x 2) 3 + (x + 3) 3 (2x + 1) 3 = 0, να λυθεί η εξίσωση ρ(ρx + 2λ 2 ) ρ 3 = λ 2 (x + ρ). 18. Ποιοι περιορισµοί πρέπει να ισχύουν για τα α, β R ώστε η εξίσωση x α x = 1 να έχει λύση ; β 19. Να λυθούν οι εξισώσεις : i. 2x 3 = 5 ii. 2x 4 = x 1 iii. x 2 = 2x 1 iv. 2x 1 = x 2 v. x x = 2 3 Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 17

18 2 x + 1 vi. x 1 = vii. 3 x 3 + x = 4 viii. x 1 x 2 = x 1 ix. 2 x 1 = 3 x. x 2 2x + 1 = 3x Να λυθούν οι εξισώσεις : x x i. = 3 15 ii. x 2 2 x 15 = 0 iii. x x 2 2 x = Να λυθούν οι εξισώσεις : i. 2 x + 3 = λ + 4 ii. x 2 4 = λ 2 + 2λ Να λυθούν οι εξισώσεις : ι. x x = 0 ι. x 2 x + x 2 3x ι. x y y 2 = 0 x Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 18

19 1.2 Η ΕΞΙΣΩΣΗ x ν = α ΘΕΩΡΙΑ Ερώτηση 1.4 Να λύσετε την εξίσωση x ν = α, α R, ν N Απάντηση I. Για α > 0 και ν περιττό, η λύση της εξίσωσης είναι x = ν α II. Για α > 0 και ν άρτιο, η λύση της εξίσωσης είναι x = ± ν α III. Για α < 0 και ν περιττό, η λύση της εξίσωσης είναι x = ν α IV. Για α < 0 και ν άρτιο, η εξίσωση είναι αδύνατη Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 19

20 1.2.2 ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ Θέµα 1.13 Να λυθούν οι εξισώσεις i. x 2 = 4 ii. x 4 = 34 iii. x 3 = 8 iv. x 3 = 125 v. x 20 = 0 Λύση 1.13 i. x 2 = 4 x = ± 4 = ±2 ii. x 4 = 34 η εξίσωση είναι αδύνατη. iii. x 3 = 8 x = 3 8 = 2 iv. x 3 = 125 x = = 5 v. x 20 = 0 x = 0 Θέµα 1.14 Να λυθούν οι εξισώσεις i. x 4 + 8x = 0 ii. x 5 = 16x iii. x 6 = 32x iv. (2x + 6) 3 = 8 Λύση 1.14 i. x 4 + 8x = 0 x(x = 0) x = 0 x 3 = 8 x = 0 x = 3 8 x = 0 x = 2 ii. x 5 = 16x x 5 16x = 0 x(x 4 16) = 0 x = 0 x 4 = 16 x = 0 x = 4 16 x = 0 x = ±2 Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 20

21 iii. iv. x 6 = 32x x x = 0 x(x ) = 0 x = 0 x 5 = 32 x = 0 x = 5 32 x = 0 x = 2 (2x + 6) 3 = 8 2x + 6 = 3 8 2x + 6 = 2 2x = 4 x = 2 Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 21

22 1.2.3 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ 1. Να λυθούν οι εξισώσεις : i. x = 0 ii. x = 0 iii. x 7 1 = 0 iv. x = 0 v. x = 0 vi. x = 0 vii. x 2 64 = 0 viii. x 4 81 = 0 ix. x 6 64 = 0 x. x 5 8x 2 = 0 xi. x 4 + x = 0 xii. x x = 0 2. i. (x + 1) 3 = 64 ii x 3 = 0 iii. (x 1) 4 27(x 1) = 0 iv. (x 2 1) 5 = 81(x 2 1) v. x 9 = x 6 vi. (x 3 29) = 0 Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 22

23 1.3 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ΘΕΩΡΙΑ Ερώτηση 1.5 Ποια εξίσωση ονοµάζουµε 2ου ϐαθµού ; Απάντηση Κάθε εξίσωση της µορφής αx 2 + βx + γ = 0, µε α 0. Ερώτηση 1.6 Πως λύνουµε µια εξίσωση 2ου ϐαθµού ; Απάντηση Υπολογίζουµε τη διακρίνουσα = β 2 4 α γ. Αν > 0, τότε η εξίσωση έχει δύο λύσεις τις x 1,2 = β ± 2 α Αν = 0, τότε η εξίσωση έχει µία διπλή λύση την x = β 2 α Αν = 0, τότε η εξίσωση δεν έχει πραγµατική λύση (αδύνατη). Ερώτηση 1.7 Να γράψετε τους τύπους του Vietta και να τους αποδείξετε. Απάντηση Οταν έχουµε την εξίσωση αx 2 + βx + γ = 0, µε α 0 και > 0, η οποία έχει δυο λύσεις x 1, x 2 τότε ισχύει : S = x 1 + x 2 = β α και P = x 1 x 2 = γ α Απόδειξη : Είναι : x 1 = β +, x 2 = β 2α 2α S = x 1 + x 2 = β + 2α + β 2α = β + β 2α = 2β 2α = β α P = x 1 x 2 = β + 2α = ( β)2 2 4α 2 = β2 (β 2 4αγ) 4α 2 = β2 β 2 + 4αγ 4α 2 = 4αγ 4α 2 = γ α β 2α Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 23

24 Ερώτηση 1.8 Πως µετασχηµατίζεται η εξίσωση αx 2 + βx + γ = 0, µε α 0 και > 0, µε τη ϐοήθεια των τύπων του Vietta; Απάντηση Είναι : αx 2 + βx + γ = 0 x 2 + β α x + γ α = 0 x 2 (x 1 + x 2 )x + x 1 x 2 = 0 x 2 Sx + P = 0 Ερώτηση 1.9 Ποιες εξισώσεις ονοµάζονται διτετράγωνες ; Απάντηση Είναι οι εξισώσεις τις µορφής αx 2ν + βx ν + γ = 0 και λύνονται µε αντικατάσταση, ϑέτοντας ω = x ν Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 24

25 1.3.2 ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ Θέµα 1.15 Να λύσετε τις εξισώσεις : i. x 2 + 2x = 0 ii. 2x 2 + 6x = 0 iii. x 2 4 = 0 iv. 3x = 0 v. 2x 2 5x + 3 = 0 vi. x 2 6x + 9 = 0 vii. 3x 2 + 4x + 2 = 0 Λύση 1.15 i. x 2 + 2x = 0 x(x + 2) = 0 x = 0 x + 2 = 0 x = 0 x = 2 ii. 2x 2 + 6x = 0 2x(x + 3) = 0 x = 0 x + 3 = 0 x = 0 x = 3 iii. x 2 4 = 0 x 2 = 4 iv. x = ±2 3x = 0 3x 2 = 16 αδύνατη v. 2x 2 5x + 3 = 0 είναι της µορφής αx 2 + βx + γ = 0 µε α = 2, β = 5, γ = 3, τότε η = β 2 4αγ = ( 5) = 1 > 0 άρα η εξίσωση έχει δυο λύσεις τις x 1,2 = β ± 2 α x 1,2 = ( 5) ± 1 = 5 ± 1 x 1 = x 1 = 6 4 x 1 = 3 = = = x 2 = 5 1 x 2 = 4 x 2 = vi. Η εξίσωση x 2 6x + 9 = 0 έχει = β 2 4αγ = ( 6) = 0 άρα έχει διπλή ϱίζα την x = 6 2 = 3 vii. Η εξίσωση 3x 2 + 4x + 2 = 0 έχει = β 2 4αγ = ( = 8 < 0 άρα η εξίσωση είναι αδύνατη. Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 25

26 Θέµα 1.16 Να λυθούν οι εξισώσεις : i. x 2 7 x + 12 = 0 ii. (x 1) x 1 5 = 0 iii. ( x + 1 x) 2 5 ( x + 1 x ) + 6 = 0 iv. 4x x 2 3 = 0 2 v. x + 2x 3 x x2 x 2 2x = 0 Λύση 1.16 i. x 2 7 x + 12 = 0 x 2 7 x + 12 = 0 ϑέτω x = ω ω 2 7ω + 12 = 0 ω 1 = 4 = 1 άρα έχει δυο λύσεις ω 2 = 3 ω 1 = 4 x = 4 x =ω == ω 2 = 3 x = 3 x = ±4 x = ±3 ii. (x 1) x 1 5 = 0 x x 1 5 = 0 ϑέτω x 1 = ω κι έχω : ω 2 + 4ω 5 = 0, = 36, άρα : ω 1 = 5 x 1 = 5 αδύνατη iii. x 1 =ω ==== ω 2 = 1 x 1 = 1 x = 0 εποµένως, x 1 = 1 x 1 = ±1 x = 2 ( x + x) 1 2 ( 5 x + 1 ) + 6 = 0, x 0 ϑέτω x ( x + 1 x ) = ω Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 26

27 κι έχω : ω 2 5ω + 6 = 0 x+ 1 x =ω ==== ω 1 = 2 ω 2 = 3 x + 1 x = 2 x + 1 x = 3 x 2 2x + 1 = 0 x 2 3x + 1 = 0 x = 1 x = x = iv. 4x x 2 3 = 0, ϑέτω x 2 = ω 4ω ω 3 = 0 ω 1 = 3 ω 2 = 1 4 x 2 = 3 αδυνατη x 2 = 1 4 x = 1 2 x = 1 2 v. Εχω την εξίσωση : 2 x + 2x 3 x x2 x 2 = 0 µε x 0 και x 2 2x 2 x + 2x 3 x x2 x 2 2x = 0 2 x + 2x 3 x x2 x(x 2) = 0 x(x 2) 2 x + x(x 2)2x 3 x 2 2(x 2) + x(2x 3) + 2 x 2 = 0 2x 4 + 2x 2 3x + 2 x 2 = 0 x 2 x 2 = 0, = 9 x 1 = 2 απορρίπτεται x 2 = 1 + x(x 2) 2 x2 x(x 2) = 0 Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 27

28 Θέµα 1.17 Να προσδιοριστεί το λ R ώστε να είναι 2ου ϐαθµού η εξίσωση (λ 2 3λ + 2)x 2 λx + 1 = 0 Λύση 1.17 Για να είναι 2ου ϐαθµού ϑα πρέπει : λ 2 3λ ηλαδή λ 1,2 = 3 ± λ 1,2 2, 1 2 Θέµα 1.18 Να προσδιοριστεί το λ R ώστε η εξίσωση : (λ 2 3λ + 2)x 2 + x (λ 1)(λ 2) = 0 να έχει δυο πραγµατικές και άνισες λύσεις. Λύση 1.18 Για να έχει η εξίσωση δυο πραγµατικές και άνισες λύσεις ϑα πρέπει : 1. Να είναι 2ου ϐαθµού, δηλαδή,ο συντελεστής του x 2 ο λ 2 3λ λ 1 και λ 2 2. Και η διακρίνουσα, > (λ 2 3λ + 2)(λ 1)(λ 2) > (λ 2 3λ + 2) 2 > 0 το οποίο ισχύει για κάθε λ R. Άρα η εξίσωση έχει δυο πραγµατικές και άνισες λύσεις για κάθε λ R {1, 2} Θέµα 1.19 Να λύσετε την εξίσωση : x 2 + α 2 = β 2 2αx, α.β R Λύση 1.19 x 2 + α 2 = β 2 2αx x 2 + 2αx + α 2 β 2 = 0 = (2α) 2 4(α 2 β 2 ) = 4α 2 4α 2 + 4β 2 = 4β 2 1. Αν = 4β 2 = 0 β = 0 τότε x = 2α 2. Αν β 0 τότε x 1,2 = 2α ± 4β 2 2 2α + 2β 2 = +2α + 2β = 2 α + β α β Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 28

29 Θέµα 1.20 ίνεται η εξίσωση α 2 x 2 2α 3 x + α 4 1 = 0, α 0. i. Να ϐρείτε τη διακρίνουσα. ii. Να λύσετε την εξίσωση. Λύση 1.20 i. = β 2 4αγ = ( 2α 3 ) 2 4α 2 (α 4 1) = 4α 6 4α 6 + 4α 2 = 4α 2 ii. Επειδή η διακρίνουσα είναι ϑετική η εξίσωση ϑα έχει δύο πραγµατικές λύσεις. x 1,2 = β ± 2α Άρα x 1 = α2 + 1 α = 2α3 ± 4α 2 2α 2 και x 2 = α2 1 α = 2α3 ± 2α 2α 2 Μεθοδολογία 1.2 Οταν έχω παραµετρικές εξισώσεις της µορφής αx 2 + βx + γ = 0, ϑα πρέπει να λάβω υπόψιν µου τα παρακάτω. Εχει πραγµατικές ϱίζες α 0, 0 εν έχει πραγµατικές ϱίζες α 0, < 0 Εχει µια διπλή πραγµατική ϱίζα α 0, = 0 Εχει 2 πραγµατικές και άνισες ϱίζες α 0, > 0 Οι ϱίζες είναι αντίθετες α 0, 0, S = 0 Οι ϱίζες είναι αντίστροφες α 0, 0, P = 1 Οι ϱίζες είναι οµόσηµες α 0, > 0, P > 0 Οι ϱίζες είναι ετερόσηµες α 0, > 0, P < 0 Οι ϱίζες είναι ϑετικές α 0, > 0, P > 0, S > 0 Οι ϱίζες είναι αρνητικές α 0, > 0, P > 0, S < 0 Θέµα 1.21 Να αποδείξετε ότι οι παρακάτω εξισώσεις έχουν πραγµατικές ϱίζες : i. λx 2 + 2x (λ 2) = 0, λ 0 ii. αx 2 + (α + β)x + β = 0, α 0 Λύση 1.21 i. λx 2 + 2x (λ 2) = 0 Για να έχει η εξίσωση 2 πραγµατικές ϱίζες Θα πρέπει λ 0, 0 Άρα έχω : λ 0 το οποίο δίνεται και λ[ (λ 2)] λ 2 + 8λ 0 (2 + 2λ) 2 0 το οποίο ισχύει. Άρα η εξίσωση έχει 2 πραγµατικές ϱίζες. ii. αx 2 + (α + β)x + β = 0, α 0 Για να έχει η εξίσωση 2 πραγµατικές ϱίζες, ϑα πρέπει α 0, 0 Άρα έχω : α 0 το οποίο δίνεται και Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 29

30 0 (α + β) 2 4αβ 0 α 2 + 2αβ + β 2 4αβ 0 α 2 2αβ + β 2 0 (α β) 2 0 το οποίο ισχύει. Άρα η εξίσωση έχει 2 πραγµατικές ϱίζες. Θέµα 1.22 Να ϐρείτε τις τιµές του µ R, για τις οποίες η εξίσωση µx 2 + 2x + µ = 0, µ 0 έχει διπλή ϱίζα. Λύση 1.22 Για να έχει η εξίσωση µx 2 + 2x + µ = 0 διπλή ϱίζα, ϑα πρέπει µ 0, = 0 Άρα έχω : µ 0 το οποίο δίνεται και = µ 2 = 0 µ 2 = 1 µ = ±1 Θέµα 1.23 Αν α β, να δείξετε ότι η εξίσωση (α 2 + β 2 )x 2 + 2(α + β)x + 2 = 0 είναι αδύνατη. Να εξετάσετε τι γίνεται στην περίπτωση που α = β. Λύση 1.23 Για να είναι η εξίσωση (α 2 + β 2 )x 2 + 2(α + β)x + 2 = 0 αδύνατη, ϑα πρέπει < 0 < 0 4(α + β) 2 8(α 2 + β 2 ) < 0 4α 2 + 4β 2 + 8αβ 8α 2 8β 2 < 0 (4α 2 + 4β 2 8αβ) < 0 (2α 2β) 2 < 0 το οποίο ισχύει. Οταν α = β τότε = 0 και η εξίσωση έχει µια διπλή ϱίζα. Θέµα 1.24 Να ϐρείτε τις τιµές του α R, για τις οποίες η εξίσωση 2x 2 + (α 9)x + α 2 + 3α + 4 = 0 έχει διπλή ϱίζα. Λύση 1.24 Για να έχει διπλή ϱίζα ϑα πρέπει : = 0 (α 9) (α α + 4) = 0 α 2 18α α 2 24α 32 = 0 7α 2 42α + 49 = 0 α 2 + 6α 7 = 0 Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 30

31 άρα α 1,2 = 6 ± 64 2 άρα α = 1 ή α = 7 = 6 ± 8 2 Θέµα 1.25 Αν η εξίσωση x 2 8x + λ 2 = 0 έχει ϱίζες πραγµατικές, τότε η µεγαλύτερη ακέραια τιµή του λ R είναι το 18. Λύση 1.25 Για να έχει πραγµατικές ϱίζες ϑα πρέπει : 0 ( 8) (λ 2) λ λ λ 18 Άρα η µεγαλύτερη ακέραια τιµή του λ είναι το 18. Θέµα 1.26 Αν η εξίσωση x 2 2κx + (α + β) 2 = 0, α β (1), έχει ακριβώς µια λύση, τότε να δειχθεί ότι η εξίσωση x 2 κx + αβ = 0 (2) έχει ϱίζες πραγµατικές και άνισες. Λύση 1.26 Για να έχει η (1) ακριβώς µια ϱίζα ϑα πρέπει : = 0 ( 2κ) (α + β) 2 = 0 4κ 2 = 4(α + β) 2 κ 2 = (α + β) 2 (3) Αντικαθιστώντας στην διακρίνουσα της εξίσωσης (2) έχουµε : = κ 2 4αβ = (α + β) 2 4αβ = (α β) 2 > 0 Αφού α β Θέµα 1.27 Να ϐρείτε την εξίσωση που έχει ϱίζες τους αριθµούς και Λύση 1.27 Η εξίσωση ϑα είναι της µορφής : x 2 Sx + P = 0 µε S = x 1 + x 2, P = x 1 x 2. S = x 1 + x 2 = = 10 και P = x 1 x 2 = (5 2 6)( ) = 5 2 (2 6) 2 = 1 Άρα η εξίσωση είναι η : x 2 10x + 1 = 0 Θέµα 1.28 Να λύσετε την εξίσωση : x 2 ( 5 + 3)x + 15 = 0 Λύση 1.28 Η εξίσωση ϑα είναι της µορφής : x 2 Sx + P = 0 µε S = x 1 + x 2 = 5 + 3, P = x 1 x 2 = 15 = 3 5. Άρα x 1 = 5, x 2 = 3 Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 31

32 Θέµα 1.29 Αν x 1, x 2 είναι οι λύσεις της εξίσωσης x 2 + 9x 5 = 0(1), να σχηµατίσετε την εξίσωση 2ου ϐαθµού που έχει ϱίζες του αριθµούς, ρ 1 = x 1 + 2x 2 και ρ 2 = x 2 + 2x 1. Λύση 1.29 Αφού οι x 1, x 2 είναι οι λύσεις της εξίσωσης (1) τότε x 1 + x 2 = 9 και x 1 x 2 = 5 Η εξίσωση που έχει ϱίζες τις ρ 1 = x 1 + 2x 2 και ρ 2 = x 2 + 2x 1 ϑα είναι της µορφής x 2 Sx + P = 0 µε : S = ρ 1 + ρ 2 = x 1 + 2x 2 + x 2 + 2x 1 = 3(x 1 + x 2 ) = 3( 9) = 27 P = ρ 1 ρ 2 = (x 1 + 2x 2 )(x 2 + 2x 1 ) = 5x 1 x 2 + 2(x x 2 2) = 5x 1 x 2 + 2[(x 1 + x 2 ) 2 2x 1 x 2 = 157 Άρα η εξίσωση είναι η : x x = 0 Θέµα 1.30 Αν x 1, x 2 οι λύσεις της εξίσωσης x 2 + x 12 = 0, να υπολογιστούν οι παραστάσεις : i. x 1 + x 2 ii. x 1 x 2 iii. x x2 2 iv. x x3 2 v. (x 1 x 2 ) 2 vi. x 1 x 2 x 2 1 vii. + x2 2 x 2 x 1 Λύση 1.30 Στην εξίσωση x 2 + x 10 = 0, είναι α = 1, β = 1, γ = 12 άρα : i. S = x 1 + x 2 = β γ = 1 ii. P = x 1 x 2 = γ α = 12 iii. x x2 2 = (x 1 + x 2 ) 2 2x 1 x 2 = ( 1) 2 2 ( 12) = = 25 iv. x x3 2 = (x 1 + x 2 )(x 2 1 x 1x 2 + x 2 2 ) = 1( ) = 37 v. (x 1 x 2 ) 2 = x 2 1 2x 1x 2 + x 2 2 = 25 2 ( 12) = 49 vi. x 1 x 2 = (x 1 x 2 ) 2 = 49 = 7 x 2 1 vii. + x2 2 = x3 1 + x3 2 = 37 x 2 x 1 x 1 x 2 12 = Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 32

33 Θέµα 1.31 ίνεται η εξίσωση x 2 + 2λx 8 = 0 i. Να δείξετε ότι η εξίσωση έχει πραγµατικές ϱίζες για κάθε λ πραγµατικό. ii. Αν η µια ϱίζα της εξίσωσης είναι ίση µε το τετράγωνο της άλλης, τότε να ϐρεθούν οι ϱίζες και το λ. Λύση 1.31 Στην εξίσωση x 2 + 2λx 8 = 0 α = 1, β = 2λ, γ = 8 i. = β 2 4αγ = 4λ > 0 Άρα η εξίσωση έχει δυο πραγµατικές και άνισες λύσεις ρ 1, ρ 2. ii. Επειδή η µια ϱίζα είναι ίση µε το τετράγωνο της άλλης, ϑεωρούµε ρ 1 = ρ και ρ 2 = ρ 2 Από τους τύπους του Vietta είναι : ρ 1 + ρ 2 = 2λ ρ + ρ 2 = 2λ(1) ρ 1 ρ 2 = 8 ρ ρ 2 = 8 ρ 3 = 8 ρ = 2 Άρα : ρ 1 = 2 ρ 2 = 4 (1) = 2λ λ = 1 Θέµα 1.32 Να προσδιορίσετε το λ R ώστε η εξίσωση 3x 2 + (x + 1)λ xλ 2 = 2(1 10x) να έχει δυο ϱίζες αντίθετες. Λύση 1.32 Θα πρέπει να ϕέρω την εξίσωση στη µορφή αx 2 + βx + γ = 0. Κάνοντας τις πράξεις έχω : 3x 2 + ( λ 2 + λ + 20)x + λ 2 = 0 µε α = 3, β = λ 2 + λ + 20, γ = λ 2 για να έχει δυο ϱίζες αντίθετες ϑα πρέπει : > 0 (1) και S = x 1 + x 2 = 0 (2) Επειδή το (1) είναι δύσκολο να το εξετάσω, ξεκινάω από το (2) S = 0 λ2 + λ + 20 λ 1 = 4 = 0 λ 2 + λ + 20 = 0 = 3 λ 2 = 5 και ϑα δω µε αντικατάσταση ποια από τις δυο ϱίζες επαληθεύει την (1). i. Για λ = 4 έχω = ( λ 2 + λ + 20) (λ 2) = [ ( 4) 2 + ( 4) + 20] [( 4) 2] = 72 > 0 Άρα λ = 4 δεκτή. ii. Για λ = 5 έχω = ( λ 2 + λ + 20) (λ 2) = ( ) (5 2) = 36 < 0 Άρα λ = 5 απορρίπτεται. Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 33

34 1.3.3 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ 1. Να λυθούν οι εξισώσεις : i. 2x 2 18 = 0 ii. x 2 2x 80 = 0 iii. 2x 2 3x + 6 = 0 iv. (x + 1) 2 (x 1)(x + 2 = 2x(3 x)) v. (2x 1) 2 3(2x 1) = 0 vi. 2x(x 3) = (x + 1) 2 (x 1)(x + 2) vii. (1 2)x 2 2(1 + 2)x = viii. 3x 2 (1 + 3)x + 1 = 0 ix. x 2 + ( 2 1)x 2 = 0 2. Να ϐρεθεί το λ R, ώστε η εξίσωση x 2 2x + λ 1 = 0 να έχει : i Ρίζες πραγµατικές και άνισες. ii Ρίζες πραγµατικές. iii Μια διπλή ϱίζα. iv Καµιά πραγµατική ϱίζα. 3. Να ϐρεθεί το λ R ώστε η εξίσωση x 2 2λx + λ 2 = 0 να έχει ϱίζα το 2. Μετά να δειχθεί ότι, αυτή η ϱίζα, είναι διπλή. 4. Αν η εξίσωση αx 2 + βx + γ = 0 έχει ϱίζα το 1, να δειχθεί ότι : α 3 + β 3 + γ 3 = 3αβγ 5. Να εξετάσετε αν έχουν ϱίζες και πόσες, οι παρακάτω εξισώσεις : i. αx 2 + (2α 3)x α = 0, α 0 ii. x 2 2(α + 2)x α 2 = 0, α R iii. x 2 2αx + α 2 + β 2 + γ 2 = 0, β 0 iv. x 2 αx β 2 = 0 6. Να λυθούν οι εξισώσεις : i. x 2 9λx + 14λ 2 = 0 ii. x 2 (2α β)x 2αβ = 0 iii. x 2 2αx + α 2 β 2 = 0 iv. (x + α)(x α) = 2α + 1 v. 4x 2 4αx + α 2 β 2 = 0 vi. (x + κ)(x λ) = 2(x λ) 2 + κλ 7. Αν η εξίσωση x 2 + 6x + κ = 0 έχει ϱίζες πραγµατικές και άνισες, να ϐρεθεί η µεγαλύτερη ακέραια τιµή του κ. 8. Αν οι εξισώσεις x 2 (λ + 1)x + 2 = 0 και x 2 + x λ = 0, λ 2, έχουν κοινή ϱίζα, να ϐρεθεί η κοινή ϱίζα και το λ. 9. Εστω f(x) = αx 2 + βx + γ, α 0. Αν f(0) = 1, f(1) = 7, f(2) = 21, να δειχθεί ότι η εξίσωση f(x) = 0 έχει ϱίζες πραγµατικές και άνισες. 10. ίνεται η εξίσωση x 2 (5 2)x = 0 i. Να δείξετε ότι η διακρίνουσα της εξίσωσης είναι τέλειο τετράγωνο. ii. Να λύσετε την εξίσωση. 11. Αν ο αριθµός ρ είναι ϱίζα της εξίσωσης αx 2 + βx + γ = 0 µε αγ 0, να δείξετε ότι, ο αριθµός 1 ρ είναι ϱίζα της εξίσωσης γx2 + βx + α = Να προσδιοριστεί η εξίσωση που έχει ϱίζες : i. 1, 0 1 ii. 4, 8 iii. 4, 1 2 Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 34

35 iv. 4, 4 v , 1 3 vi. 4, Να προσδιοριστεί η εξίσωση που έχει ϱίζες : i. λ, λ 1 κ + λ ii. λ, λ + κ κ iii. 2α 3β, 2α + 3β α iv. β, β γ 14. Αν x 1, x 2 είναι οι ϱίζες της εξίσωσης 2x 2 x 8 = 0, να υπολογιστούν οι παραστάσεις : i. x 1 + x 2 ii. x 1 x 2 iii. x x2 2 x 1 iv. + x 2 x 2 x 1 1 v. x x 2 2 vi. x 1 x x 2x ίνεται η εξίσωση x 2 + λx 1 = 0, λ R i. Να δειχθεί ότι η εξίσωση έχει δυο ϱίζες πραγµατικές και άνισες. ii. Αν x 1, x 2 είναι οι ϱίζες της εξίσωσης, να υπολογιστούν οι παραστάσεις, συναρτήσει του λ i. x 1 + x 2 ii. x 1 x 2 iii. x x2 2 x 1 iv. + x 2 x 2 x 1 1 v. x x 2 2 vi. x 1 x x 2x Αν η εξίσωση x 2 + αx + β = 0 έχει ϱίζες δυο διαδοχικούς ακεραίους, να αποδειχθεί ότι α 2 4β = Αν x 1, x 2 είναι οι ϱίζες της εξίσωσης x 2 λx + 3 = 0, να λυθεί η ανίσωση : (x 1 + x 2 )x (λ 1)x < x 1 x ίνεται η εξίσωση (λ 1)x 2 2λx + λ 1 = 0, να ϐρείτε το λ, αν υπάρχει, ώστε η εξίσωση να έχει : i. ϱίζες πραγµατικές ii. µια ϱίζα το 0 iii. ϱίζες αντίστροφες iv. ϱίζες αντίθετες. 19. Εστω f(x) = αx 2 + βx + γ και ρ 1, ρ 2 ϱίζες της f(x) = 0. Να αποδειχθεί ότι : f ( ) ( ) S S 2 + κ = f 2 κ για κάθε κ, R 20. Να ϐρεθεί το λ R ώστε οι ϱίζες ρ 1, ρ 2 της εξίσωσης x 2 +x λ+1 = 0 να επαληθεύουν τη σχέση ρ ρ 1 + ρ 2 + 2ρ 1 ρ 2 = Αν η εξίσωση αx 2 + βx + γ = 0, α 0, έχει δυο ϱίζες x 1, x 2 άνισες, να αποδειχθεί ότι : Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 35

36 x 1 x 2 = α Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 36

37 Βιβλία Ιστοσελίδες 2. Βιβλιογραφία 2.1 Βιβλία Μπαραλός Αλγεβρα Κυριακόπουλος Αλγεβρα Μαυρογιάννης Αλγεβρα Παπακωνσταντίνου Αλγεβρα Σχολικό ΟΕ Β Αλγεβρα Μπάρλας Αλγεβρα Λουκόπουλος Αλγεβρα Μιχαηλιδης Αλγεβρα Ιστοσελίδες

38

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 6ο κεφάλαιο: Συναρτήσεις ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ) Copyright 2014 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoo.com άδεια χρήσης 3η Εκδοση, Αύγουστος 2014 Περιεχόµενα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 5ο κεφάλαιο: Πρόοδοι ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ) Copyright 014 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge004@yahoo.com άδεια χρήσης 3η Εκδοση, Αύγουστος 014 Περιεχόµενα 1 ΠΡΟΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ) Copyright 2015 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoo.com Αδεια χρήσης 3η Εκδοση, Ιωάννινα, Σεπτέµβριος 2015 Περιεχόµενα 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ....................................................

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο: ΕΚΘΕΤΙΚΗ-ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο: ΕΚΘΕΤΙΚΗ-ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο: ΕΚΘΕΤΙΚΗ-ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ) Copyright 2015 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoo.com Αδεια χρήσης η Εκδοση, Ιωάννινα, Σεπτέµβριος 2015 Περιεχόµενα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3.1 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 1

Κεφάλαιο 3.1 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 1 Κεφάλαιο 3.1 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 1 Εξίσωση πρώτου βαθμού ή πρωτοβάθμια εξίσωση με άγνωστο x ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ) Copyright 2015 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoocom Αδεια χρήσης 3η Εκδοση, Ιωάννινα, Σεπτέµβριος 2015 Περιεχόµενα 1 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

3.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

3.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΑΠΛΗ ΜΟΡΦΗ Κάθε εξίσωση που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή : α+β=0 ή α=-β () λέγεται εξίσωση ου βαθμού (ή πρωτοβάθμια εξίσωση), με άγνωστο το, ενώ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΪΟΣ ΙΟΥΝΙΟΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΪΟΣ ΙΟΥΝΙΟΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΪΟΣ ΙΟΥΝΙΟΣ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: A ΑΛΓΕΒΡΑ ΘΕΜΑ A Α1. Να αποδείξετε ότι: αβ α β (Μονάδες 15) A. Χαρακτηρίστε ως Σωστό (Σ) ή Λάθος (Λ) τις ακόλουθες προτάσεις: 1. Η εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

( ) = 2. f x α(x x )(x x ) f x α(x ρ) x1,2. 1, x

( ) = 2. f x α(x x )(x x ) f x α(x ρ) x1,2. 1, x ΜΟΡΦΕΣ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Β ΒΑΘΜΟΥ Τριώνυµο λέγεται ένα πολυώνυµο της µορφής : f x = αx + βx+ γ, όπου α, β, γ R µε α. ( ) ιακρίνουσα και ρίζες του τριωνύµου f( x) = αx + βx+ γ λέγεται η διακρίνουσα και

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ) Copyright 2015 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoocom Αδεια χρήσης 3η Εκδοση, Ιωάννινα, Σεπτέµβριος 2015 Περιεχόµενα 1 Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

2018 Φάση 2 ιαγωνίσµατα Επανάληψης ΑΛΓΕΒΡΑ. Α' Γενικού Λυκείου. Σάββατο 21 Απριλίου 2018 ιάρκεια Εξέτασης:3 ώρες ΘΕΜΑΤΑ

2018 Φάση 2 ιαγωνίσµατα Επανάληψης ΑΛΓΕΒΡΑ. Α' Γενικού Λυκείου. Σάββατο 21 Απριλίου 2018 ιάρκεια Εξέτασης:3 ώρες ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ A ΑΛΓΕΒΡΑ Α' Γενικού Λυκείου Σάββατο 1 Απριλίου 018 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΘΕΜΑΤΑ Πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f (x) από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β ονομάζουμε το σύνολο Α, στο οποίο φαίνονται οι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 15

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 15 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 04 Θ ΕΩΡΙA 5 ΘΕΜΑ A Α Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές. αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα βοήθημα στην ύλη της Άλγεβρας Α Λυκείου, που είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

5.ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΩΤΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

5.ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΩΤΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 5.ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΩΤΟΥ ΒΑΘΜΟΥ Για να επιλύσουμε μία παραμετρική εξίσωση ακολουθούμε τα παρακάτω βήματα: i) Βγάζω παρενθέσεις ii) Κάνω απαλοιφή παρανομαστών iii) Χωρίζω γνωστούς από αγνώστους (άγνωστος είναι

Διαβάστε περισσότερα

Μάθηµα 1. Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα. γ R παριστάνει ευθεία και καλείται γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους.

Μάθηµα 1. Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα. γ R παριστάνει ευθεία και καλείται γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους. Μάθηµα 1 Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα Θεµατικές Ενότητες: A. Συστήµατα Γραµµικών Εξισώσεων B. Συστήµατα 3x3 Α. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Ορισµοί Κάθε εξίσωση της µορφής α x+β =γ, µε α, β, γ R παριστάνει

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 7 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ.

Διαβάστε περισσότερα

4.3 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ & ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ

4.3 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ & ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 4.3 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ & ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ. Πολυωνυµική εξίσωση Λέγεται κάθε εξίσωση της µορφής Ρ(x) = 0, όπου Ρ(x) πολυώνυµο.. Ρίζα πολυωνυµικής εξίσωσης Λέγεται κάθε ρίζα του αντίστοιχου πολυωνύµου.

Διαβάστε περισσότερα

2 είναι λύσεις της ανίσωσης 2x2 3x+1<0.

2 είναι λύσεις της ανίσωσης 2x2 3x+1<0. ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. α) Να βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης x +0x=. x + 0x β) Να λύσετε την εξίσωση x. ίνεται η εξίσωση: x λx+(λ +λ )=0 (), λ R. α) Να προσδιορίσετε τον πραγµατικό αριθµό λ, ώστε η

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 10

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 10 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 04 Θ ΕΩΡΙA 0 ΘΕΜΑ A Α Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη

Διαβάστε περισσότερα

) = 0. Λύσεις/Ρίζες της εξίσωσης. Ακριβώς δύο άνισες πραγματικές λύσεις, τις: Η εξίσωση δεν έχει πραγματικές λύσεις

) = 0. Λύσεις/Ρίζες της εξίσωσης. Ακριβώς δύο άνισες πραγματικές λύσεις, τις: Η εξίσωση δεν έχει πραγματικές λύσεις 4. Εξισώσεις 2ου βαθμού αx 2 + βx + γ = 0, α 0 α, β, γ παράμετροι και x η μεταβλητή Αν ρ ρίζα/λύση της εξίσωσης, τότε αρ 2 + βρ + γ = 0 Αν ρ 1, ρ 2 ρίζες/λύσεις της εξίσωσης, τότε το τριώνυμο γράφεται

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Έννοια του πολυωνύμου. Ας υποθέσουμε ότι έχουμε μια μεταβλητή x που μπορεί να πάρει κάθε πραγματική τιμή. Μονώνυμο του x, είναι κάθε παράσταση της μορφής : x όπου α είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ο κεφάλαιο: Πραγματικοί αριθμοί ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ) Copyright 014 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge004@yahoo.com άδεια χρήσης 3η Εκδοση, Αύγουστος 014 Περιεχόµενα

Διαβάστε περισσότερα

Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 2ο κεφάλαιο: Ευθείες Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ) Μαθηµατικά Προσανατολισµού Β Λυκείου Αποστόλου Γιώργος Μαθηµατικός Copyright 2015 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΧΡΟΝΙΑΔΗΣ ΝΙΚΟΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ

ΠΟΛΥΧΡΟΝΙΑΔΗΣ ΝΙΚΟΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΘΕΩΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ). (α + β) = α +αβ + β ). (α β) = α αβ + β. 3). (α + β) 3 = α 3 + 3α β +3αβ + β 3 ). (α β) 3 = α 3 3α β +3αβ β 3. 5). α β = (α β)(α + β) 6). α + β = (α + β) αβ. 6). α 3 β 3

Διαβάστε περισσότερα

7. α) Να λύσετε την ανίσωση x 5 <4. β) Αν κάποιος αριθμός α επαληθεύει την παραπάνω ανίσωση, να αποδείξετε ότι

7. α) Να λύσετε την ανίσωση x 5 <4. β) Αν κάποιος αριθμός α επαληθεύει την παραπάνω ανίσωση, να αποδείξετε ότι ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1. α) Να λύσετε τις ανισώσεις: x 5 3 και x x 1 0. β) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων του ερωτήματος (α). x 1. Δίνονται οι ανισώσεις: 3x 1

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ

ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ Κάθε εξίσωση της µορφής α + β = γ όπου α + β 0 ( α, β όχι συγχρόνως 0) παριστάνει ευθεία. (Η εξίσωση λέγεται : ΓΡΑΜΜΙΚΗ) ΕΙ ΙΚΑ γ Αν α = 0 και β 0έχουµε =. ηλαδή µορφή = c.

Διαβάστε περισσότερα

4.2 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 2 ου ΒΑΘΜΟΥ

4.2 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 2 ου ΒΑΘΜΟΥ 1 4. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ ΘΕΩΡΙΑ 1. Η γενική µορφή του τριωνύµου µε µεταβλητή x R i) α x + βx + γ, α 0 ii) β α x + α 4α, α 0. Ειδικές µορφές του τριωνύµου Όταν > 0 τότε α x + βx + γ α(x x 1 )(x x ), όπου

Διαβάστε περισσότερα

12. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ. είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής x πού παίρνει τιμές στο

12. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ. είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής x πού παίρνει τιμές στο ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ Έστω f σύνολο Α, g Α ΒΑΘΜΟΥ είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής πού παίρνει τιμές στο Ανίσωση με έναν άγνωστο λέγεται κάθε σχέση της μορφής f f g g ή, η οποία αληθεύει για ορισμένες

Διαβάστε περισσότερα

1. Συµπλήρωσε τον πίνακα µε την κατάλληλη µαθηµατική έκφραση:

1. Συµπλήρωσε τον πίνακα µε την κατάλληλη µαθηµατική έκφραση: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ Ερωτήσεις συµπλήρωσης 1. Συµπλήρωσε τον πίνακα µε την κατάλληλη µαθηµατική έκφραση: Φυσική γλώσσα Μαθηµατική γλώσσα ύο αριθµοί x, y διαφέρουν κατά και έχουν γινόµενο x (x

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Πολυώνυμα. 1. Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι πολυώνυμα; 3 2 ii. x iii. 3 iv. vi.

2.1 Πολυώνυμα. 1. Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι πολυώνυμα; 3 2 ii. x iii. 3 iv. vi. .1 Πολυώνυμα 1. Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι πολυώνυμα; i. 1 x + x ii. x + 7 x iii. 5 x + 7x x iv. 1 x + x v. 1 4 4 x + x + 4x vi. 1 x + 5x. Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι πολυώνυμα

Διαβάστε περισσότερα

β=0 Η εξίσωση (λ-2)χ=2λ-4 για λ=2 είναι αδύνατη. Σ Λ Αν η εξίσωση αχ+β=0 έχει δύο διαφορετικές λύσεις τότε είναι αόριστη. Σ Λ

β=0 Η εξίσωση (λ-2)χ=2λ-4 για λ=2 είναι αδύνατη. Σ Λ Αν η εξίσωση αχ+β=0 έχει δύο διαφορετικές λύσεις τότε είναι αόριστη. Σ Λ 3. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ 3. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ α 0 Η εξίσωση έχει μία μοναδική λύση την x= - αx+β=0 α=0 β 0 β=0 Η εξίσωση είναι αδύνατη, δηλαδή δεν έχει λύση. Η εξίσωση είναι αόριστη ή ταυτότητα, δηλαδή επαληθεύεται

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ . ΣΥΝΟΛΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τα σύνολα των αριθμών είναι τα εξής : i. Φυσικοί αριθμοί : 0,,,,......,,,,0,,,,...

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ Λ. ΑΙΔΗΨΟΥ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ Λ. ΑΙΔΗΨΟΥ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ Λ. ΑΙΔΗΨΟΥ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ 01-013 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα 1 ο Α. Έστω a ένας πραγματικός αριθμός. Να δώσετε τον ορισμό της απόλυτης

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη A Μάθημα: Άλγεβρα

Τάξη A Μάθημα: Άλγεβρα Τάξη A Μάθημα: Άλγεβρα Ερωτήσεις Θεωρίας Θέματα Εξετάσεων Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Περιεχόμενα Α. Θεωρία - Αποδείξεις.. Σελ. Β. Θεωρία-Ορισμοί. Σελ.16 Γ. Ερωτήσεις Σωστού Λάθους...

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Άλγεβρας Α Λυκείου 2 oυ και 3 oυ Κεφαλαίου 1

Ασκήσεις Άλγεβρας Α Λυκείου 2 oυ και 3 oυ Κεφαλαίου 1 Ασκήσεις Άλγεβρας Α Λυκείου oυ και 3 oυ Κεφαλαίου έµης Απόστολος, Ζάχος Ιωάννης, Κατσαργύρης Βασίλειος, Κόσυβας Γεώργιος, Λυγάτσικας Ζήνων Πειραµατικό Γενικό Λύκειο Βαρβακείου Σχολής Οκτώβριος 004 Νοεµβρίου

Διαβάστε περισσότερα

1) Μέθοδος επίλυσης οποιασδήποτε εξίσωσης Β Βαθμού. Έστω η δευτεροβάθμια εξίσωση : = 0 1. Μεταφέρουμε το σταθερό όρο στο δεύτερο μέλος δηλ.

1) Μέθοδος επίλυσης οποιασδήποτε εξίσωσης Β Βαθμού. Έστω η δευτεροβάθμια εξίσωση : = 0 1. Μεταφέρουμε το σταθερό όρο στο δεύτερο μέλος δηλ. 1 Εξισώσεις Β Βαθμού Εξίσωση 2 ου βαθμού μ έναν άγνωστο, είναι η εξίσωση με μορφή : αx²+βx+γ=0 με α, β, γ R και α 0. 1) Μέθοδος επίλυσης οποιασδήποτε εξίσωσης Β Βαθμού Έστω η δευτεροβάθμια εξίσωση : =

Διαβάστε περισσότερα

2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ -4 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Κεφάλαιο Πραγματικοί αριθμοί. Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή

Διαβάστε περισσότερα

Ανισώσεις. Κώστας Γλυκός. Τράπεζα θεμάτων ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. εκδόσεις / 1 0 /

Ανισώσεις. Κώστας Γλυκός. Τράπεζα θεμάτων ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. εκδόσεις / 1 0 / Ανισώσεις Κώστας Γλυκός Τράπεζα θεμάτων ΙΙ Ι δδ ιι ι αα ίί ί ττ εε ρρ αα μμ αα θθ ήή μμ αα ττ αα 6 9 7. 3 0 0. 8 8. 8 8 Kgllykos..gr 5 / 1 0 / 0 1 6 εκδόσεις τηλ. Οικίας : 10-610.178 κινητό : 697-300.88.88

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Γεώργιος Α. Κόλλιας - μαθηματικός. 150 ασκήσεις επανάληψης. και. Θέματα εξετάσεων

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Γεώργιος Α. Κόλλιας - μαθηματικός. 150 ασκήσεις επανάληψης. και. Θέματα εξετάσεων Γεώργιος Α. Κόλλιας - μαθηματικός Περιέχονται 50 συνδυαστικές ασκήσεις επανάληψης και θέματα εξετάσεων. Δεν συμπεριλαμβάνεται το κεφάλαιο των πιθανοτήτων, της γεωμετρικής προόδου, της μονοτονίας συνάρτησης,

Διαβάστε περισσότερα

Σας εύχομαι καλή μελέτη και επιτυχία.

Σας εύχομαι καλή μελέτη και επιτυχία. ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το βιβλίο αυτό αποτελεί συνέχεια του Α τεύχους και απευθύνεται κυρίως στους μαθητές της Α Λυκείου, αλλά και στους καθηγητές που διδάσκουν το μάθημα «Άλγεβρα και στοιχεία πιθανοτήτων» της Α Λυκείου.

Διαβάστε περισσότερα

Εξισώσεις πρώτου βαθμού

Εξισώσεις πρώτου βαθμού Εξίσωση ου βαθμού με ένα άγνωστο 0ρισμός Εξισώσεις πρώτου βαθμού Κάθε εξίσωση που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή αχ=β λέγεται εξίσωση ου βαθμού με ένα άγνωστο. Σε μια εξίσωση η μεταβλητή λέγεται άγνωστος.οι

Διαβάστε περισσότερα

Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν α 1 x+α 0 =0,με α 0,α 1,...

Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν α 1 x+α 0 =0,με α 0,α 1,... 3 0 ΛΥΚΕΙΟ ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Λ. ΒΟΥΛΓΑΡΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν-1 +...+α

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ A ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ A ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ A ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pitetragono.gr Σελίδα. ΔΥΝΑΜΕΙΣ : Ισχύουν οι

Διαβάστε περισσότερα

τα βιβλία των επιτυχιών

τα βιβλία των επιτυχιών Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από

Διαβάστε περισσότερα

β) Αν κάποιος αριθµός α επαληθεύει την παραπάνω ανίσωση, να αποδείξετε ότι 1 1 1 9 < α

β) Αν κάποιος αριθµός α επαληθεύει την παραπάνω ανίσωση, να αποδείξετε ότι 1 1 1 9 < α ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1. α) Να λύσετε τις ανισώσεις: x 5 3 και x x 1 0. β) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων του ερωτήµατος (α). x 1. ίνονται οι ανισώσεις: 3x 1

Διαβάστε περισσότερα

Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας µε τη βοήθεια και του ερωτήµατος α). ii) Να αποδείξετε ότι ισχύει η ανισότητα 1+α < 1+ α. α+α

Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας µε τη βοήθεια και του ερωτήµατος α). ii) Να αποδείξετε ότι ισχύει η ανισότητα 1+α < 1+ α. α+α ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1. α) Να λύσετε τις ανισώσεις: x 5 3 και x x 1 0. β) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων του ερωτήµατος (α). x 1. ίνονται οι ανισώσεις: 3x 1

Διαβάστε περισσότερα

4.1 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

4.1 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 4.1 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 1 : ΑΠΛΗ ΜΟΡΦΗ Για να λύσω μια ανίσωση της μορφής : 0 ή 0 1 ος τρόπος : Λειτουργώ όπως και στις εξισώσεις πρώτου βαθμού, δηλαδή χωρίζω γνωστούς από αγνώστους, και

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 4 Θέμα 2. Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός

Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 4 Θέμα 2. Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 4 Θέμα 2 Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός Θεωρία ως και την 4.1 Ασκήσεις: 1-12 Θεωρία ως και την 4.2 Ασκήσεις: 13-25 Άσκηση 1 α) Να λύσετε την ανίσωση

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στα ΣΥΝΟΛΑ. Ε.1 Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Α), αν είναι αληθείς ή με (Ψ), αν είναι ψευδής

Εισαγωγή στα ΣΥΝΟΛΑ. Ε.1 Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Α), αν είναι αληθείς ή με (Ψ), αν είναι ψευδής Εισαγωγή στα ΣΥΝΟΛΑ Ε. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Α), αν είναι αληθείς ή με (Ψ), αν είναι ψευδής i) Αν Α= {0,5,8,3,89}, τότε το Α. ii) Αν Α = {, {,5}, 8, 0}, τότε το Α. iii) Τα σύνολα

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 3 Θέμα 2. Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός

Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 3 Θέμα 2. Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 3 Θέμα Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός Θεωρία ως και την 3. Ασκήσεις: -5 Θεωρία ως και την 3.3 Ασκήσεις: 6-8 Άσκηση Δίνεται η παράσταση: A= 3 5 +

Διαβάστε περισσότερα

6. α) Να λύσετε την εξίσωση 2x 1 =3. β) Αν α, β με α< β είναι οι ρίζες της εξίσωσης του ερωτήματος (α), τότε να λύσετε την εξίσωση αx 2 +βx+3=0.

6. α) Να λύσετε την εξίσωση 2x 1 =3. β) Αν α, β με α< β είναι οι ρίζες της εξίσωσης του ερωτήματος (α), τότε να λύσετε την εξίσωση αx 2 +βx+3=0. ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. Δίνεται η εξίσωση λx=x+λ, με λr. α) Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση γράφεται ισοδύναμα (λ )x=(λ )(λ+), λr. β) Να βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες η παραπάνω εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

α έχει μοναδική λύση την x α

α έχει μοναδική λύση την x α ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Να εξετάσετε ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές και ποιες είναι λάθος.. H εξίσωση ( α)( β) ( β)( γ) έχει τις ίδιες λύσεις με την εξίσωση α γ για οποιεσδήποτε τιμές των

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ.3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ Α. Επίλυση εξισώσεων δευτέρου βαθμού με ανάλυση σε γινόμενο παραγόντων 1. ΕΡΩΤΗΣΗ Ποια εξίσωση λέγεται εξίσωση ου βαθμού

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Α Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Α Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Α Λυκείου Θέμα Α. Αν x, x οι ρίζες της δευτεροβάθμιας εξίσωσης αx +βx+γ=, α να αποδείξετε ότι S P. (6 μονάδες) Β. Ελέγξατε αν κάθε μία από τις παρακάτω σχέσεις είναι σωστή

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7,

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό όρο της. (Μονάδες 15) β) Να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

2.2 ιαίρεση Πολυωνύμων

2.2 ιαίρεση Πολυωνύμων ιαίρεση Πολυωνύμων 1 Να γίνουν οι διαιρέσεις: α) (x 5 - x + x - 9) : (x - 1) β) (x 4-7x + x - 15) : (x + 5) γ) (x - 4αx + α ) : (x - α) δ) [7x - (9α + 7α ) x + 9α ] : (x - α) Με τη βοήθεια του σχήματος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α 1

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α 1 Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Θ έ μ α Α Α. α. Πότε η εξίσωση αx + βx + γ = 0, α 0 έχει διπλή ρίζα; Ποια είναι η διπλή ρίζα της; 4 μονάδες β. Ποια μορφή παίρνει το τριώνυμο αx + βx + γ, α 0, όταν Δ = 0; 3 μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ Άσκηση 1 Δίνονται οι ανισώσεις: 3x και 2 x α) Να βρείτε τις λύσεις τους (Μονάδες 10) β) Να βρείτε το σύνολο των κοινών τους λύσεων (Μονάδες 15) α) Έχουμε 3x 2x x 2

Διαβάστε περισσότερα

τα βιβλία των επιτυχιών

τα βιβλία των επιτυχιών Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο

ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Γ Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον

Διαβάστε περισσότερα

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες Με τον διεθνή όρο φράκταλ (fractal, ελλ. μορφόκλασμα ή μορφοκλασματικό σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες ονομάζεται ένα γεωμετρικό σχήμα που επαναλαμβάνεται αυτούσιο σε άπειρο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2016 Β ΦΑΣΗ. Ηµεροµηνία: Κυριακή 17 Απριλίου 2016 ιάρκεια Εξέτασης: 2 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2016 Β ΦΑΣΗ. Ηµεροµηνία: Κυριακή 17 Απριλίου 2016 ιάρκεια Εξέτασης: 2 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 016 ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: A ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 016 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α1. Να αποδείξετε ότι για οποιουσδήποτε πραγµατικούς αριθµούς

Διαβάστε περισσότερα

3. Να δειχτει οτι α α. Ποτε ισχυει το ισον; 2. Aν α, β θετικοι, να συγκρινεται τους αριθμους Α = βα + β, Β = α β + αβ

3. Να δειχτει οτι α α. Ποτε ισχυει το ισον; 2. Aν α, β θετικοι, να συγκρινεται τους αριθμους Α = βα + β, Β = α β + αβ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 Α ν ι σ ω σ η 1 ο υ β α θ μ ο υ 3. Να δειχτει οτι α + 110 0α. Ποτε ισχυει το ισον; Μορφη: αx + β > 0 με α,β. Aν α, β θετικοι, να συγκρινεται τους αριθμους Α = βα + β, Β = α β + αβ Αν α > 0

Διαβάστε περισσότερα

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» Email : stvrentzou@gmail.com www.ma8eno.gr

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» Email : stvrentzou@gmail.com www.ma8eno.gr 1 Πρόσημο τριωνύμου - λύση ανίσωσης ου βαθμού Έστω το τριώνυμο f(x) = x - 4x - 1. Θέλουμε να εξετάσουμε για ποιες τιμές της μεταβλητής x το τριώνυμο f(x) γίνεται θετικό, για ποιες τιμές του x γίνεται αρνητικό,

Διαβάστε περισσότερα

Εξισώσεις. Κώστας Γλυκός. Τράπεζα θεμάτων ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. εκδόσεις / 1 0 /

Εξισώσεις. Κώστας Γλυκός. Τράπεζα θεμάτων ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. εκδόσεις / 1 0 / Εξισώσεις Κώστας Γλυκός Τράπεζα θεμάτων ΙΙ Ι δδ ιι ι αα ίί ί ττ εε ρρ αα μμ αα θθ ήή μμ αα ττ αα 6 9 7. 3 0 0. 8 8. 8 8 Kgllykos..gr 5 / 0 / 0 6 εκδόσεις Ασκήσεις Πιθανότητες Τράπεζα θεμάτων. Δίνεται η

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ - 2 ου ΒΑΘΜΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 9). Να λυθούν οι εξισώσεις :

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ - 2 ου ΒΑΘΜΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 9). Να λυθούν οι εξισώσεις : ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ - ου ΒΑΘΜΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ). Να λυθούν οι εξισώσεις: α). + ( 3 ) 6 = 0 β). 4 ( 3 ) + 3 = 0 γ). + ( ) = 0 δ). 5 + 5 = 0 ε). 4( 3) + 5 + 6 6 = 0 στ).( + 3 ) ( 3 + ) ( 3 ) = 0 η). + (3 ) + (4 3 ) = 0

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Άσκηση 1 Από τους µαθητές ενός Λυκείου, το 25% συµµετέχει στη οµάδα, το 30% συµµετέχει στη θεατρική οµάδα ποδοσφαίρου και το 15% των µαθητών

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ. Κεφάλαιο 2ο: Ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος

ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ. Κεφάλαιο 2ο: Ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος Κεφάλαιο ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ Ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος 1. * Οι πραγματικοί αριθμοί είναι σταθερά πολυώνυμα. Σ Λ. * Το σταθερό πολυώνυμο 0 λέγεται μηδενικό πολυώνυμο. Σ Λ 3. * Κάθε σταθερό και μη μηδενικό

Διαβάστε περισσότερα

Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις

Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις Ορισµός πολυωνύµου Ονοµάζoυµε ΠΟΛΥΩΝΥΜΟ του κάθε παράσταση της µορφής α ν ν +α ν- ν- + +α +α 0, ν ΙΝ και α 0, α,, α ν-, α ν ΙR. Παρατηρήσεις α. Τα α ν ν, α

Διαβάστε περισσότερα

Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές

Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές 0 Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Για να λύσουμε μια πολυωνυμική εξίσωση P(x) 0 (ή μια πολυωνυμική ανίσωση P(x)

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Ε.1 I. 1. α 2 = 9 α = 3 ψ p: α 2 = 9, q: α = 3 Σύνολο αλήθειας της p: Α = {-3,3}, Σύνολο αλήθειας της q: B = {3} A B 2. α 2 = α α = 1 ψ p: α 2 = α, q: α = 1 Σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 2. ίνεται το Ρ(x) αν το ρ είναι ρίζα Ρ(2x) 2x τότε το ρ είναι ρίζα του Ρ( Ρ(2x)) 2x.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 2. ίνεται το Ρ(x) αν το ρ είναι ρίζα Ρ(2x) 2x τότε το ρ είναι ρίζα του Ρ( Ρ(2x)) 2x. ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ίνονται τα πολυώνυµα Ρ (x), Ρ (x), Ρ (x) αν τα πολυώνυµα Ρ (x) και Ρ (x) δεν έχουν κοινή ρίζα και ισχύει : ( Ρ (x)) + (Ρ (x)) = (Ρ (x)) για κάθε x R να δείξετε ότι το Ρ (x) δεν έχει πραγµατική

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ (ΜΕΡΟΣ Β)

Α. ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ (ΜΕΡΟΣ Β) ΜΑΘΗΜΑ 5 Κεφάλαιο o : Αλγεβρικές Παραστάσεις Υποενότητα.: Κλασµατικές Εξισώσεις Θεµατικές Ενότητες:. Κλασµατικές Εξισώσεις (Μέρος Β). Α. ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ (ΜΕΡΟΣ Β) ΟΡΙΣΜΟΙ Κλασµατική εξίσωση λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ Τι ονομάζουμε εξίσωση ου βαθμού; o Εξίσωση ου βαθμού με ένα άγνωστο ονομάζουμε κάθε εξίσωση που γράφεται ή μπορεί να γραφεί στη μορφή με α π.χ 5 6 Τι ονομάζουμε εξίσωση ου βαθμού ελλιπούς

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ (ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΤΙΜΗ,ΠΡΑΞΕΙΣ,ΙΣΟΤΗΤΑ) P( x) ( 4) x ( 8) x ( 5 6) x 16 είναι το μηδενικό πολυώνυμο.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ (ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΤΙΜΗ,ΠΡΑΞΕΙΣ,ΙΣΟΤΗΤΑ) P( x) ( 4) x ( 8) x ( 5 6) x 16 είναι το μηδενικό πολυώνυμο. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ (ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΤΙΜΗ,ΠΡΑΞΕΙΣ,ΙΣΟΤΗΤΑ) 1. Δίνονται τα πολυώνυμα: P ( x) x x, Q( x) x x 1. Να βρεθούν: a) P( x) Q( x) ) P( x) Q( x) ) P( x) Q( x). Να βρεθεί η τιμή του λ R για την οποία

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Άλγεβρας Α Λυκείου 2 oυ και 3 oυ Κεφαλαίου 1

Ασκήσεις Άλγεβρας Α Λυκείου 2 oυ και 3 oυ Κεφαλαίου 1 Ασκήσεις Άλγεβρας Α Λυκείου oυ και 3 oυ Κεφαλαίου έµης Απόστολος, Ζάχος Ιωάννης, Κατσαργύρης Βασίλειος, Κόσυβας Γεώργιος, Λυγάτσικας Ζήνων Πειραµατικό Γενικό Λύκειο Βαρβακείου Σχολής Οκτώβριος 004 4 εκεµβρίου

Διαβάστε περισσότερα

A N A B P Y T A ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ. 1 (α + β + γ) [(α-β) 2 +(α-γ) 2 +(β-γ) 2 ] και τις υποθέσεις

A N A B P Y T A ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ. 1 (α + β + γ) [(α-β) 2 +(α-γ) 2 +(β-γ) 2 ] και τις υποθέσεις ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ ΑΣΚΗΣΗ η Αν α +β +γ = αβγ και α + β + γ, να δείξετε ότι το πολυώνυμο P()=(α β) +(β γ) + γ α είναι το μηδενικό πολυώνυμο. Από την ταυτότητα του Euler α +β +γ -αβγ = (α + β + γ)[(α-β)

Διαβάστε περισσότερα

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150)

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150) Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα ο (150) -- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

4.1 ΕΝΝΟΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ -ΒΑΘΜΟΣ-ΙΣΟΤΗΤΑ-ΡΙΖΕΣ. ΛΥΣΗ 1 2 =κ κ κ 1+43κ κ = =0

4.1 ΕΝΝΟΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ -ΒΑΘΜΟΣ-ΙΣΟΤΗΤΑ-ΡΙΖΕΣ. ΛΥΣΗ 1 2 =κ κ κ 1+43κ κ = =0 4.1 ΕΝΝΟΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ -ΒΑΘΜΟΣ-ΙΣΟΤΗΤΑ-ΡΙΖΕΣ 4.1.1 Να δειχθεί ότι για κάθε κ R το πολυώνυμο P (x) = (κ - 1) x 5 + (3κ 2 + 2) x 3 + κx δεν έχει ρίζα το 1. 2 1 2 =κ 11 2 +3κ + 2 1 + 2 1 2 =0 κ 1+43κ + 2+16κ

Διαβάστε περισσότερα

1. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις : α. 3

1. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις : α. 3 . Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις : α. 0 6 β. ( + ) + ( ) = ( + ) γ. ( + ) 4 = ( ) δ. ( 7) + = ε. ( ) + ( + 4)( 4) + 8 = ( + ) στ. ( 7) + = ζ. ( ) = ( )( 4) + 9. Ομοίως : α. ( + 5) (9 5) + 6 + 0 = 0 β.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7,

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό όρο της. (Μονάδες 15) β) Να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

3. Να δειχτει οτι α α. Ποτε ισχυει το ισον;

3. Να δειχτει οτι α α. Ποτε ισχυει το ισον; EΞΙΣΩΣΕΙΣ Ε ξ ι σ ω σ η ο υ β α θ μ ο υ 3. Να δειχτει οτι α + 0 0α. Ποτε ισχυει το ισον; Εστω η εξισωση: α+β=0 () Λυση η ριζα. της Aν εξισωσης α, β θετικοι λεγεται, να συγκρινεται κάθε τιμη τους του πραγματικου

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ. Κεφάλαιο 2ο: Ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος

ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ. Κεφάλαιο 2ο: Ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος Κεφάλαιο 2ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ Ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος 1. * Οι πραγματικοί αριθμοί είναι σταθερά πολυώνυμα. Σ Λ 2. * Το σταθερό πολυώνυμο 0 λέγεται μηδενικό πολυώνυμο. Σ Λ 3. * Κάθε σταθερό και μη μηδενικό

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012. Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012. Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_3.ΜλΑ(ε) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α A.. Α.. Α.3. ΘΕΜΑ Β Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Ηµεροµηνία: Κυριακή Απριλίου

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2. βρείτε. (Μονάδες 15) με διαφορά ω.

ΘΕΜΑ 2. βρείτε. (Μονάδες 15) με διαφορά ω. ΘΕΜΑ ΘΕΜΑ Έστω α, β πραγµατικοί αριθµοί για τους οποίους ισχύουν: α β = 4 και αβ + αβ = 0 α) Να αποδείξετε ότι: α + β = 5. (Μονάδες 0) β) Να κατασκευάσετε εξίσωση ου βαθµού µε ρίζες τους αριθµούς α, β

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Α Λυκείου. Αξίζει να τονίσω ότι οι περισσότερες από τις ασκήσεις αυτές προήλθαν από διάφορα εξωσχολικά βιβλία και ιστοσελίδες συναδέλφων.

Άλγεβρα Α Λυκείου. Αξίζει να τονίσω ότι οι περισσότερες από τις ασκήσεις αυτές προήλθαν από διάφορα εξωσχολικά βιβλία και ιστοσελίδες συναδέλφων. Άλγεβρα Α Λυκείου Το υλικό αυτό αποτελείται από μικρές θεωρητικές υποδείξεις και ασκήσεις και προβλήματα που έχω αξιοποιήσει στην τάξη μου για τη διδασκαλία της Άλγεβρας της Α Λυκείου (Ημερήσιο Γενικό

Διαβάστε περισσότερα

ςεδς ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 3 0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Β ΒΑΘΜΟΥ ΔΙΩΝΥΜΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός

ςεδς ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 3 0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Β ΒΑΘΜΟΥ ΔΙΩΝΥΜΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός 014 ςεδς ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ ΔΙΩΝΥΜΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Β ΒΑΘΜΟΥ Βαγγέλης ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός ΣΗΜΕΙΩΜΑ Το παρόν φυλλάδιο είναι ένα τμήμα μιας προσωπικής

Διαβάστε περισσότερα

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 1) Δίνεται η εξίσωση x 2-2(λ + 2) χ + 2λ 2-17 = 0. Να βρείτε το λ ώστε η εξίσωση να έχει μία ρίζα διπλή. Υπολογίστε τη ρίζα. Aσκήσεις στις εξισώσεις Β βαθμού Για να έχει η εξίσωση μία ρίζα διπλή πρέπει:

Διαβάστε περισσότερα

x y z xy yz zx, να αποδείξετε ότι x=y=z.

x y z xy yz zx, να αποδείξετε ότι x=y=z. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦ. ο A. Ταυτότητες, ιδιότητες δυνάμεων, διάταξη.1 Να παραγοντοποιήσετε τις παρακάτω παραστάσεις: 1. 15a x 15a y 5a x 5a y. a x a x a x a x 3 3 4 3 3 3 3. x 4xy 16 4 y

Διαβάστε περισσότερα

4. Δίνεται το πολυώνυμο P(x) = x 3 2x 2 + x 12 α) Να αιτιολογήσετε γιατί το διώνυμο x 3 είναι παράγοντας του P(x) β) Να λύσετε την εξίσωση P(x) = 0

4. Δίνεται το πολυώνυμο P(x) = x 3 2x 2 + x 12 α) Να αιτιολογήσετε γιατί το διώνυμο x 3 είναι παράγοντας του P(x) β) Να λύσετε την εξίσωση P(x) = 0 1. α) Να βρείτε το υπόλοιπο και το πηλίκο της διαίρεσης (x 3 6x 2 +11x 2) : (x 3) β) Αν P(x) = x 3 6x 2 +11x + λ να βρείτε το λ R ώστε η διαίρεση P(x) : (x 3) να έχει υπόλοιπο 0. 2. Δίνονται τα πολυώνυμα:

Διαβάστε περισσότερα

x x και µε P το γινόµενο x1 x2 2α 2α α

x x και µε P το γινόµενο x1 x2 2α 2α α o ΛΥΚΕΙΟ ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗΣ ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΡΙΖΩΝ ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΡΙΖΩΝ I ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΡΙΖΩΝ Θεώρηµα (Τύποι του Vieta) Έστω ότι η εξίσωση αx + βx+ γ=, α έχει πραγµατικές ρίζες x Αν συµβολίσουµε µε S

Διαβάστε περισσότερα

1. Nα λυθούν οι ανισώσεις. 2. Nα λυθούν οι ανισώσεις. 3. Nα βρεθούν οι κοινές λύσεις των ανισώσεων: 4. Nα βρεθούν οι κοινές λύσεις των ανισώσεων:

1. Nα λυθούν οι ανισώσεις. 2. Nα λυθούν οι ανισώσεις. 3. Nα βρεθούν οι κοινές λύσεις των ανισώσεων: 4. Nα βρεθούν οι κοινές λύσεις των ανισώσεων: ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ. Nα λυθούν οι ανισώσεις α) 4 β) 4. Nα λυθούν οι ανισώσεις ( )( ) α) + > - (+) β). Nα βρεθούν οι κοινές λύσεις των ανισώσεων: ( ) ( ) 8 4 8 και

Διαβάστε περισσότερα

Θα ξέρεις τι λέγεται γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους. Λέγεται κάθε εξίσωση της μορφής αχ +βψ =γ. Θα ξέρεις τι είναι το σύστημα εξισώσεων

Θα ξέρεις τι λέγεται γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους. Λέγεται κάθε εξίσωση της μορφής αχ +βψ =γ. Θα ξέρεις τι είναι το σύστημα εξισώσεων 1. Θα ξέρεις τι λέγεται γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους. Λέγεται κάθε εξίσωση της μορφής αχ +βψ =γ. Θα ξέρεις τι είναι το σύστημα εξισώσεων Είναι ομάδα από δύο ή περισσότερες εξισώσεις των οποίων ζητάμε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ- ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ- ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ- ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κατηγορίες ασκήσεων στα απόλυτα ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ : Εξισώσεις που περιέχουν απόλυτο μιας παράστασης και όχι παράταση του x έξω από το απόλυτο. α) Λύνουμε ως προς το απόλυτο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Λυγάτσικας Ζήνων Πειραµατικό Γενικό Λύκειο Βαρβακείου Σχολής 6 Ιανουαρίου 013 1 Ασκήσεις 1.1 Ασκήσεις Επανάληψης 1. είξτε ότι : ηµ x + 3συν y 5.. Να αποδείξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ

ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ Αν έχω τριώνυμο της μορφής :,. Υπολογίζω την Διακρίνουσα 4 Αν Δ> τότε η εξίσωση έχει άνισες ρίζες έστω Ομόσημο του α Ετερόσημο του α, τότε: Ομόσημο του α Αν Δ= τότε η εξίσωση έχει διπλή

Διαβάστε περισσότερα

( ) x 3 + ( λ 3 1) x 2 + λ 1

( ) x 3 + ( λ 3 1) x 2 + λ 1 Επαναληπτικό Διαγώνισµα Άλγεβρα Β Λυκείου Θέµα Α Α1. Έστω η πολυωνυµική εξίσωσης α ν χ ν + α ν 1 χ ν 1 +... + α 1 χ + α 0 = 0, µε ακέραιους συντελεστές. Να αποδείξετε ότι αν ο ακέραιος ρ 0 είναι ρίζα της

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο. Πίνακας διερεύνησης της εξίσωσης Εξίσωση: αx 2 +βx+γ=0 (α 0) (Ε) Έχει ΥΟ ρίζες άνισες που δίνονται από τους τύπους x 1,2 =

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο. Πίνακας διερεύνησης της εξίσωσης Εξίσωση: αx 2 +βx+γ=0 (α 0) (Ε) Έχει ΥΟ ρίζες άνισες που δίνονται από τους τύπους x 1,2 = ΕΞΙΩΕΙ-ΑΝΙΩΕΙ ου ΒΑΘΜΟΥ - 38 - ΚΕΦΑΑΙΟ 4 ΚΕΦΑΑΙΟ 4 ο Εξισώσεις - Ανισώσεις β βαθµού 5.1. Μορφή και διερεύνηση της εξίσωσης β βαθµού Άθροισµα και γινόµενο των ριζών της Κάθε εξίσωση β βαθµού πριν τη λύσουµε,

Διαβάστε περισσότερα