5.ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΩΤΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "5.ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΩΤΟΥ ΒΑΘΜΟΥ"

Transcript

1 5.ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΩΤΟΥ ΒΑΘΜΟΥ Για να επιλύσουμε μία παραμετρική εξίσωση ακολουθούμε τα παρακάτω βήματα: i) Βγάζω παρενθέσεις ii) Κάνω απαλοιφή παρανομαστών iii) Χωρίζω γνωστούς από αγνώστους (άγνωστος είναι μόνο το x) iv) Παραγοντοποιώ v) Διακρίνω περιπτώσεις 5.1 Για τις διάφορες τιμές της παραμέτρου λ, να λυθούν οι εξισώσεις : α) λ 2 x λ = 2 + 4χ β) λ 3 x λ 2 = 2 + λ(x+3) γ) (λ-1)χ= 2μ+4 α) λ x λ = 4x + 2 λ x 4x = λ + 2 x(λ 4) = λ + 2 x(λ 2)(λ + 2) = λ + 2 i) Αν (λ 2)(λ + 2) 0 λ 2 λ 2 (λ )(λ ) (λ )(λ ) = (λ) (λ )(λ ) x = λ ii) Αν (λ 2)(λ + 2) = 0 λ=2 λ= 2 λ = 2: x(2 2) (2+2) = 2+2 x 0 4 = 4 x 0 = 4 ΑΔΥΝΑΤΗ λ = 2: x( 2 2) ( 2+2) = 2+2 x 0 = 0 ΑΟΡΙΣΤΗ β) λ x λ = 2 + λ(x + 3) λ + 3λ + 2 = 0 λ x λ = 2 + λx + 3λ α = 1, β = 3, γ = 2, Δ = 9 8 = 1 > 0

2 λ x λx = λ λ λx(λ 1) (λ + 1) = (λ + 1) (λ + 2) λ 1 i) Αν λ(λ 1)(λ + 1) 0 λ 1 λ 0 λ(λ )(λ ) λ(λ )(λ ) = (λ)(λ) λ(λ )(λ ) x = λ λ(λ) λ=1 ii)αν λ(λ 1)(λ + 1) = 0 λ= 1 λ=0 λ, = ± = 1 2 λ = 1: 1x(1 1) (1+1) = 6 x 0 = 6 ΑΔΥΝΑΤΗ λ = 1: -1x( 1 1) ( 1+1) =0 x 0 = 0 ΑΟΡΙΣΤΗ λ= 0 : 0χ=2 ΑΔΥΝΑΤΗ γ) (λ 1)x = 2μ + 4 Π ) λ 1 0 λ 1, x = μ λ Π ) λ 1 = 0 λ = 1, 0x = 2μ + 4 α) Αν 2μ + 4 = 0 μ = 2 0x = 0 TAYTOTHTA β) Αν 2μ μ 2 0x 0 ΑΔΥΝΑΤΗ 5.2Αν η εξίσωση λ(χ-1)=4χ-μ+1 είναι ταυτότητα να δείξετε οτι η εξίσωση μ(χ+1)+(λ-9)χ=λ(λ+μ) είναι αδύνατη

3 λ(x 1) = 4x μ + 1 λx λ = 4x μ + 1 λx 4x = λ μ + 1 x(λ 4) = λ μ + 1 (1) Αφού η (1) είναι ταυτότητα πρέπει λ 4 = 0 και λ μ + 1 = 0. λ 4 = 0 λ = 4 λ μ + 1 = 0 4 μ + 1 = 0 μ = 5 μ(x+1) + (λ 9)x = λ(λ+μ) μx + μ + λx 9x = λ + λμ μx + λx 9x = μ + λ + λμ x(μ + λ 9) = μ + λ(λ + μ) Για λ = 4 και μ = 5 έχουμε 0x = 31 που είναι αδύνατη. 5.3 Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις : α) =81 η) +1=0 β) =7 θ) 2 +3=0 γ) =0 ι) =125 δ)! " =0 κ) ( +2)( +5x)=0 ε) # = 2 λ) (x+2) 3 +6=0 ζ) $ = 1 α) x ' = 81 x = ± 81 β) y * = 7 y = 7 γ) t = 0 t = 0 δ) w " = 0 w = 0 ε) λ # = 2 Αδύνατη - ζ) μ = 1 μ = 1 x = ±3 μ = 1

4 η) x +1 = 0 x = 1 x * = 1 x = 1 θ) 2x +3 = 0 2x = 3 x = Αδύνατη ι) λ = 125λ λ 125λ = 0 λ (λ 125) = 0 λ = 0 λ = 0 ή λ 125 = 0 λ * = 125 λ = 125 κ) (x +2)( x +5x) = 0 x +2 = 0 x * = 2 x = 2 ή λ = 5 x +5x = 0 x(x +5) = 0 x = 0 ή x +5 = 0 x = 5 Αδύνατη λ) (x+2) + 6 = 0 (x+2) * * = 6 x + 2 = 6 x = ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ 6.1Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις α) 2x 5 = 7 β) 3x 1 = 1 γ) δ) 3x 1 = x 3 ε) 3 x 13 = 5 = στ) 3 x + 2 x+1 = 4 α) 2x 5 = 7 2x 5 = 7 2x = x = 12 x = 6 ή 2x 5 = 7 2x = x = 2 x = 1

5 β) Η εξίσωση 3x 1 = 1 είναι αδύνατη αφού το απόλυτο είναι πάντα μη αρνητικός αριθμός. γ) = x x = x 3, ΕΚΠ = 60 Βγάζοντας κοινό παράγοντα το 2 και το 3 έχουμε: 20 2x x = x x x x 1 = 5 2x 1 = 5 2x 1 = 5 x = 3 ή 2x 1 = 5 x = 2 δ) 3x 1 = x 3 Γνωρίζουμε ότι την ίδια απόλυτη τιμή έχουν οι ίσοι ή αντίθετοι αριθμοί. Άρα: 3x 1 = x 3 ή 3x 1 = ( x 3) Άρα 3x 1 = x 3 3x x = 1 3 2x = 2 x = 1 ή 3x 1 = x + 3 3x + x = x = 4 x = 1 ε) 3 x 13 = 5 οπότε x 1 = 5 (1) ή x 1 = 5 (2) (1) x 1 = 5 x = 6 x = 6 ή x = 6 (2) x 1 = 5 x = 4 που είναι αδύνατη στ) 3 x + 2 x+1 = 4 (1) Επειδή οι παραστάσεις μέσα στα απόλυτα είναι διαφορετικές δημιουργούμε έναν πίνακα προσήμων ως εξής:

6 3 x > 0 x > 3 x < 3 x + 1 > 0 x > 1 οπότε η εξίσωση λύνεται με τρεις περιπτώσεις i) Αν x < 1 (1) 3 x + 2( x 1) = 4 3 x 2x 2 = 4 x 2x = x = 3 x = 1 που απορρίπτεται ii) Αν 1 x 3 (1) 3 x + 2(x + 1) = 4 3 x + 2x + 2 = 4 x = x = 1 Δεκτό iii) Αν x > 3 (1) 3 + x + 2(x+1) = x + 2x + 2 = 4 3x = x = 5 x = που απορρίπτεται Άρα x = Να λυθεί η εξίσωση: x 3 ψ χ+ ψ 5 = 0 Επειδή το άθροισμα δύο μη αρνητικών είναι μηδέν συμπεραίνουμε ότι: x 3y+1 = 0 και 2x+y 5 = 0 οπότε (1) x 3y+1=0 6 2x+y 5=0 6x 3y= 1 2x+y=5 6x 3y= 1 6x+3y=15 2 και από την (1) 2 3y+1=0 3y = 3 y = 1 Άρα x = 2 και y = 1 7x = 14 x =

7 6.3Για τον πραγματικό αριθμό x, να αποδείξετε ότι: 2d(x, 1) = d(x, -1) d(x, 5 3 ) = 4 3. Γνωρίζουμε ότι η απόσταση δύο αριθμών είναι το απόλυτο της διαφοράς τους. Άρα: d(x,1) = x 1, d(x 1) = x+1 και d(x, ) = 7x 7 άρα η ζητούμενη γίνεται: 2 x 1 = x+1 7x 7 = οπότε 2 x 1 = x+1 2(x 1) = x+1 2x 2 = x + 1 x = 3 ή 2(x 1) = x 1 2x 2 = x 1 x = Επίσης: 7x 7 = x = x = + x = 3 ή x = x = x =

8 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 7.ΕΠΙ ΚΑΙ ΠΛΗΘΟΣ ΡΙΖΩΝ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ 7.1 Να λυθούν οι εξισώσεις: α) 9x 2 3(1+ 2) x+ 2 = 0 β) χ 2 -α(α+β)χ+α 3 β=0 α,β>0 γ) x ( 5 + 3)x + 15 = 0 α) 9x 3(1+ 2)x + 2 = 0 α = 9, β = 3 3 2, γ = 2 Δ = (9 2) = ( ) 36 2 = = = = x, = ( )±;( )< # = = = # # # = # = β) x α(α+β)x+α β=0 (α, β > 0) α = 1, β = α αβ, γ = α β Δ = ( α αβ) 4α β = +(α + 2α β + α β ) 4α β = + α + 2α β + α β 4α β = + α 2α β + α β = + α (α 2αβ + β ) = α (α β) x, = (α< αβ)±>α < (αβ) < = = γ)α = 1, β = 5 3, γ = 15 α < αβα < αβ α < αβα < αβ = α< = α = αβ = αβ Δ = ( 5 3) 4 15 = ( 5+ 3) 4 15 = = = ( 5 3) > 0

9 ±;( )< x, = = x = ( ) = ( ) x = = = = 5 = = Να βρεθεί το πλήθος των ριζών της εξίσωσης 2 6 2x + 2 3x+ 1= 2χ? + 2 3x + 1 = 0? α = 2, β = 2 3, γ = 1? Δ = * * 4 2 = = 4( 3 2) > 0 * 3 0 * > 2 3 > 2 9 > 8 Άρα Δ > 0 και άρα έχει δύο άνισες ρίζες (πραγματικές). 7.3 Για ποιές τιμές του λ η εξίσωση λχ 2 (λ 1)χ+ 2λ 2 = 0 έχει μια διπλή ρίζα; λx (λ 1)x + 2λ 2 = 0 α = λ, β = λ+1, γ = 2λ 2, Δ = 0 Δ = ( λ+1) 4[λ(2λ 2)] = λ 2λ + 1 4(2λ 2λ) = λ 2λ + 1 8λ + 8λ = λ + 6λ + 1 8λ = 7λ + 6λ + 1 = 0 Οπότε: Δ=36+28=64 και λ= ±# δηλαδή λ=1 η λ=- " 7.4 Να προσδιορίσετε το μ ώστε η εξίσωση: (2μ-1)χ 2 +(μ-1)χ+μ-1=0 να έχει δύο ίσες ριζες.

10 (2μ 1) x + (μ 1)x + μ 1 = 0 α = 2μ 1, β = μ 1, γ = μ 1 Δ = 8μ 19 4[(2μ 1)( μ 1)] = 0 μ 2μ + 1 4(2μ 2μ μ + 1) = 0 μ 2μ + 1 8μ + 8μ + 4μ 4 = 0 7μ + 10μ 3 = 0 α = 7, β = 10, γ = 3 Δ = 100 4(+21) = 16 > 0 μ, = = = " =1 7.5Να αποδείξετε οτι η εξίσωση 3μχ 2 -(2μ+3ν)χ+2ν=0 έχει πάντοτε ρίζες. 3μx (2μ + 3ν)x + 2v = 0 (1) α = 3μ, β = 2μ 3ν, γ = 2ν Δ = ( 2μ 3ν) 24μν = 4μ + 12μν + 9ν 24μν = 4μ 12μν + 9ν = (2μ 3ν) 0 Άρα η εξίσωση (1) έχει πάντοτε πραγματικές ρίζες. 7.6 Για ποιές τιμές των κ, λ η εξίσωση 5χ 2 + (2κ-1)χ+ λ+ 4 =0 έχει μοναδική λύση το 0; 5x + (2κ 1)x + λ + 4 = 0

11 Εφόσον το x = 0 είναι ρίζα της εξίσωσης αντικαθιστώντας όπου x το 0 έχουμε λ + 4 = 0 λ = 4 Αφού το 0 είναι η μοναδική λύση πρέπει Δ = 0 οπότε: Δ = (2κ 1) 4[5(λ +4)] = 0 4κ 4κ + 1 4(5λ +20) = 0 4κ 4κ λ 80 = 0 4κ 4κ = 0 4κ 4κ + 1 = 0 α = 4, β = 4, γ = 1 Δ = = 0 κ = # = = 7.7Να δειχθεί ότι: αν η εξίσωση (2α-β) x 2 4αx + 4β = 0 έχει διπλή ρίζα, τότε η εξίσωση (α 2 + β 2 ) x 2 2x + 3(α β) = 0 έχει δύο ρίζες άνισες. (2α β) x 4αx + 4β = 0 α = 2α β, β = 4α, γ = 4β Αφού το τριώνυμο έχει διπλή ρίζα, άρα πρέπει Δ =0. Δ = 16α 4[(2α β)4β] = 0 16α 4(8αβ 4β ) = 0 16α 32αβ + 16β = 0 : α 2αβ + β = 0 (α β) = 0

12 α β = 0 α = β Για να έχει το τριώνυμο δύο άνισες ρίζες πρέπει να δείξω ότι Δ > 0. (α + β )x 2x + 3(α β) = 0 α = α + β, β = 2, γ = 3α 3β Δ = 4 4[(α + β )( 3α 3β)] = 4 4(3α 3α β + 3αβ 3β ) = 4 12α + 12α β 12αβ + 12β = Άρα Δ > Να λυθούν οι εξισώσεις : α) χ 4 13χ = 0 β) 4x 2 17 x + 4= 0 γ) x6-9x3 + 8 = 0 α) x 13x + 36 = 0 (1) Θέτω x = y οπότε η (1) γίνεται y 13y + 36 = 0 Δ = ( 13) = = 25 y, = ± y = 9, y = 4 Οπότε x = 9 ή x = 4 x = ±3 ή x = ±2 β) 4x 17 x + 4 = 0 (1) Επειδή γνωρίζουμε ότι x = x η (1) γίνεται 4 x 17 x + 4 = 0 και θέτοντας y = x έχουμε 4y 17y + 4 = 0 Δ = ( 17) = = 225 Άρα y, = "± # y = 4, y = Άρα x = 4 ή x = x = ±2 ή x = ± γ) x 9x + 8 = 0 (1)

13 θέτω x = y οπότε η (1) γίνεται: y 9y + 8 = 0 Δ = = = 49 Άρα y, = C±" y = 8, y = 1 Άρα x = 8 ή x = 1 x = 2 ή x = 1 8.ΤΥΠΟΙ VIETA x, x. Αν 2 Δίνεται η εξίσωση αx + βx+ γ=0, α 0, με ρίζες 1 2 S = x1 + x2 είναι το άθροισμα των ριζών και P= x1 x2 είναι το γινόμενο των ριζών, τότε H εξίσωση έχει δύο άνισες ρίζες > 0 H εξίσωση έχει δύο ίσες ρίζες = 0 H εξίσωση είναι αδύνατη < 0 H εξίσωση έχει ρίζες 0 H εξίσωση έχει ρίζες ετερόσημες Δ>0 P<0 H εξίσωση έχει ρίζες θετικές ( 0, P>0, S>0) H εξίσωση έχει ρίζες αρνητικές ( 0, P>0, S<0) H εξίσωση έχει ρίζες αντίθετες ( 0, S=0) H εξίσωση έχει ρίζες αντίστροφες ( 0, P=1) 8.1 Αν, οι ρίζες της εξίσωσης x 2 6x + 4 = 0 αντιστοιχείστε τα στοιχεία της στήλης Α με τα ίσα τους στη στήλη Β. Στήλη Α Στήλη Β 1) + α) 2) β) 96 3) + γ) 4 4) + D E D < δ) 6 5) + ε) 7

14 6) D E D < + D < D E στ) 4 7) ( ) 2 ζ) 20 8) η) 28 1) x + x = 6 2) x x = 4 θ) 144 3) x + x = x + 2x x + x 2x x = (x + x ) 2x x = =6 2 4=36 8=28 4) G< GE EH EH + = E < < E < + E E < = E < E < = 5) x + x = (x + x )( x x x + x ) = 6 (28 4) = 6 24 = 144 6) GE G< GE I G< + I = E < < = # = 7 < E E < 7) (x x ) = x 2x x + x = = 28 8 = 20 8) 4x x + 4x x = 4x x (x + x ) = = Άν χ 1 και χ 2 ρίζες της εξίσωσης χ 2-3χ+γ=0,να βρεθεί το γ ώστε να ισχύει: 5 x 3 x + 5x 3 x 4x 2 x 4x 2 x = 2γ x 3x + γ = 0 x + x = β x α + x = +3 x x = γ x α x = γ x + x = (x + x + 2x x ) 2x x = (x + x ) 2x x = 9 2γ

15 5x x + 5x x 4x x 4x x = 2γ + 3 5x x (x + x ) 4x x (x + x ) = 2γ + 3 5γ(9 2γ) 12γ = 2γ γ 10γ 12γ 2γ 3 = 0 10γ + 31γ 3 = 0 α = 10, β = 31, γ = 3 Δ = = 841 γ, = 3 = J1K Για ποιες τιμές του λ το άθροισμα των τετραγώνων των ριζών της 2χ 2 4λχ + 2λ -1 = 0 είναι 1; x + x = 1 2x 4λx + 2λ 1 = 0 S = x + x = λ = 2λ Ρ = x x = λ x + x = 1 x + 2x x + x 2x x = 1 (x + x ) 2x x = 1 4λ (2λ 1) = 1 4λ 2λ + 1 = 1 2λ(2λ 1) = 0

16 2λ = 0 λ = 0 ή 2λ 1 = 0 2λ = 1 λ = 8.4 Αν μία ρίζα της αχ 2 +βχ +γ =0είναι διπλάσια της άλλης, να δείξετε ότι 9αγ = 2β 2. Εφόσον η μία ρίζα είναι διπλάσια της άλλης έστω x = 2x. S = x + x = β α 2x + x = β α 3x = β α (1) Ρ = x x = γ α 2x x = γ α 2x = γ α (2) Από (1): x = β α * E x = β α Από (2): 2( β α ) = γ α 2 β< Cα < = γ α β< Cα < = γ α 9α γ = 2β α 8.5Να βρεθούν οι τιμές του λ є R για να είναι οι ρίζες της εξίσωσης 3x 2 2x + 3(λ 7) = 0 α) θετικές β) ετερόσημες γ) ίσες

17 Δ = (λ 7) = 4 36λ = λ α) θετικές ρίζες S > 0, P > 0 Δ > λ > 0 λ < =7,11 S =, P = (λ") = λ 7 Άρα λ 7 > 0 λ > 7 7< λ < =7,11 β)αντίστροφες ρίζες Ρ < 0 Δ > λ > 0 λ < = 7,11 λ 7 < 0 λ < 7 Άρα λ < 7 γ) ίσες ρίζες Δ = 0 Δ = λ = 0 λ = λ = C 8.6Να βρεθούν οι τιμές του λ έτσι ώστε οι ρίζες της εξίσωσης χ 2 -(λ-1)χ+λ-2=0 να είναι : α)αντίθετες β)αντίστροφες γ)η μία διπλάσια της άλλης Δ = 8λ 19 4(λ 2) = λ 2λ + 1 4λ + 8 = λ 6λ + 9 = = 8λ 39 0 α) αντίθετες ρίζες S = 0, P < 0 S = λ 1 = 0 λ = 1 Ρ = λ 2 < 0 λ < 2 β) αντίστροφες ρίζες Ρ = 1 S = λ 1 Ρ = λ 2 = 1 λ = 3 Άρα S = 3 1 = 2 γ) μία διπλάσια της άλλης S = 3x, P = 2x S = λ 1 = 3x λ = 3x +1 (1) Ρ = λ 2 = 2x () 3x +1 2 = 2x 3x 1 2x = 0 () LMN 2x 3x + 1 = 0 Δ = 9 8 = 1 > 0 x, = ± = 1 2

18 8.7 Αν x, x ρίζες της εξίσωσης x 3x + 1 = 0 φτιάξτε την εξίσωση που έχει σαν ρίζες τα: i) x,x ii) E, < iii) x +, x + < E x + x = 3, x x = 1 i) x,x S = x + x = (x + x ) 2x x = 9 2 = 7 P = x x = (x x ) = 1 = 1 x 7x + 1 = 0 ii) E, < S = E + < = E < E < = 3 P = E < = x 3x + 1 = 0 E < = 1 iii) x + <, x + E S = x + < + x + E = 3 + E < E < = 6 P = (x + < ) (x + E ) = x x x 6x + 4 = 0 E < = 4

3.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

3.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΑΠΛΗ ΜΟΡΦΗ Κάθε εξίσωση που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή : α+β=0 ή α=-β () λέγεται εξίσωση ου βαθμού (ή πρωτοβάθμια εξίσωση), με άγνωστο το, ενώ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ.3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ Α. Επίλυση εξισώσεων δευτέρου βαθμού με ανάλυση σε γινόμενο παραγόντων 1. ΕΡΩΤΗΣΗ Ποια εξίσωση λέγεται εξίσωση ου βαθμού

Διαβάστε περισσότερα

4.2 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 2 ου ΒΑΘΜΟΥ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 112 114

4.2 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 2 ου ΒΑΘΜΟΥ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 112 114 1. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 11 11 A Ομάδας 1. Να μετατρέψετε σε γινόμενα παραγόντων τα τριώνυμα: x 3x + x 3x Δ ( 3). 1. 9 8 1 > 0 Ρίζες: x Άρα ( 3) 1.1 3 1 3 1 ή 31 x 3x +

Διαβάστε περισσότερα

Εξισώσεις πρώτου βαθμού

Εξισώσεις πρώτου βαθμού Εξίσωση ου βαθμού με ένα άγνωστο 0ρισμός Εξισώσεις πρώτου βαθμού Κάθε εξίσωση που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή αχ=β λέγεται εξίσωση ου βαθμού με ένα άγνωστο. Σε μια εξίσωση η μεταβλητή λέγεται άγνωστος.οι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3.1 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 1

Κεφάλαιο 3.1 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 1 Κεφάλαιο 3.1 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 1 Εξίσωση πρώτου βαθμού ή πρωτοβάθμια εξίσωση με άγνωστο x ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ Τι ονομάζουμε εξίσωση ου βαθμού; o Εξίσωση ου βαθμού με ένα άγνωστο ονομάζουμε κάθε εξίσωση που γράφεται ή μπορεί να γραφεί στη μορφή με α π.χ 5 6 Τι ονομάζουμε εξίσωση ου βαθμού ελλιπούς

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 3ο κεφάλαιο: Εξισώσεις ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ) Copyright 2014 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoo.com άδεια χρήσης 3η Εκδοση, Αύγουστος 2014 Περιεχόµενα 1

Διαβάστε περισσότερα

β=0 Η εξίσωση (λ-2)χ=2λ-4 για λ=2 είναι αδύνατη. Σ Λ Αν η εξίσωση αχ+β=0 έχει δύο διαφορετικές λύσεις τότε είναι αόριστη. Σ Λ

β=0 Η εξίσωση (λ-2)χ=2λ-4 για λ=2 είναι αδύνατη. Σ Λ Αν η εξίσωση αχ+β=0 έχει δύο διαφορετικές λύσεις τότε είναι αόριστη. Σ Λ 3. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ 3. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ α 0 Η εξίσωση έχει μία μοναδική λύση την x= - αx+β=0 α=0 β 0 β=0 Η εξίσωση είναι αδύνατη, δηλαδή δεν έχει λύση. Η εξίσωση είναι αόριστη ή ταυτότητα, δηλαδή επαληθεύεται

Διαβάστε περισσότερα

( ) = 2. f x α(x x )(x x ) f x α(x ρ) x1,2. 1, x

( ) = 2. f x α(x x )(x x ) f x α(x ρ) x1,2. 1, x ΜΟΡΦΕΣ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Β ΒΑΘΜΟΥ Τριώνυµο λέγεται ένα πολυώνυµο της µορφής : f x = αx + βx+ γ, όπου α, β, γ R µε α. ( ) ιακρίνουσα και ρίζες του τριωνύµου f( x) = αx + βx+ γ λέγεται η διακρίνουσα και

Διαβάστε περισσότερα

) = 0. Λύσεις/Ρίζες της εξίσωσης. Ακριβώς δύο άνισες πραγματικές λύσεις, τις: Η εξίσωση δεν έχει πραγματικές λύσεις

) = 0. Λύσεις/Ρίζες της εξίσωσης. Ακριβώς δύο άνισες πραγματικές λύσεις, τις: Η εξίσωση δεν έχει πραγματικές λύσεις 4. Εξισώσεις 2ου βαθμού αx 2 + βx + γ = 0, α 0 α, β, γ παράμετροι και x η μεταβλητή Αν ρ ρίζα/λύση της εξίσωσης, τότε αρ 2 + βρ + γ = 0 Αν ρ 1, ρ 2 ρίζες/λύσεις της εξίσωσης, τότε το τριώνυμο γράφεται

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού

3.1 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού 1 3.1 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού 1. Να διερευνήσετε την εξίσωση. Ισχύει: Διακρίνουμε τώρα τις περιπτώσεις: Αν τότε: ΘΕΩΡΙΑ Απάντηση Επομένως, αν η εξίσωση έχει ακριβώς μία λύση, την. Αν, τότε η εξίσωση γίνεται,

Διαβάστε περισσότερα

12. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ. είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής x πού παίρνει τιμές στο

12. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ. είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής x πού παίρνει τιμές στο ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ Έστω f σύνολο Α, g Α ΒΑΘΜΟΥ είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής πού παίρνει τιμές στο Ανίσωση με έναν άγνωστο λέγεται κάθε σχέση της μορφής f f g g ή, η οποία αληθεύει για ορισμένες

Διαβάστε περισσότερα

7. α) Να λύσετε την ανίσωση x 5 <4. β) Αν κάποιος αριθμός α επαληθεύει την παραπάνω ανίσωση, να αποδείξετε ότι

7. α) Να λύσετε την ανίσωση x 5 <4. β) Αν κάποιος αριθμός α επαληθεύει την παραπάνω ανίσωση, να αποδείξετε ότι ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1. α) Να λύσετε τις ανισώσεις: x 5 3 και x x 1 0. β) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων του ερωτήματος (α). x 1. Δίνονται οι ανισώσεις: 3x 1

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΪΟΣ ΙΟΥΝΙΟΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΪΟΣ ΙΟΥΝΙΟΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΪΟΣ ΙΟΥΝΙΟΣ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: A ΑΛΓΕΒΡΑ ΘΕΜΑ A Α1. Να αποδείξετε ότι: αβ α β (Μονάδες 15) A. Χαρακτηρίστε ως Σωστό (Σ) ή Λάθος (Λ) τις ακόλουθες προτάσεις: 1. Η εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή x. αντικ σταση στο που = α. [ ο αριθµ ός πουτο µηδεν ίζει

( ) ( ) Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή x. αντικ σταση στο που = α. [ ο αριθµ ός πουτο µηδεν ίζει μέρος πρώτο v v 1 v 1 Γενική μορφή πολυωνύμου: ( ) 1 1 Όροι του ( ) v v v P = a v + av 1 + av +... + a + a 1 + a, ν Ν, α ν R Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή. P : a, a, a,...,

Διαβάστε περισσότερα

α έχει μοναδική λύση την x α

α έχει μοναδική λύση την x α ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Να εξετάσετε ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές και ποιες είναι λάθος.. H εξίσωση ( α)( β) ( β)( γ) έχει τις ίδιες λύσεις με την εξίσωση α γ για οποιεσδήποτε τιμές των

Διαβάστε περισσότερα

4.1 ΕΝΝΟΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ -ΒΑΘΜΟΣ-ΙΣΟΤΗΤΑ-ΡΙΖΕΣ. ΛΥΣΗ 1 2 =κ κ κ 1+43κ κ = =0

4.1 ΕΝΝΟΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ -ΒΑΘΜΟΣ-ΙΣΟΤΗΤΑ-ΡΙΖΕΣ. ΛΥΣΗ 1 2 =κ κ κ 1+43κ κ = =0 4.1 ΕΝΝΟΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ -ΒΑΘΜΟΣ-ΙΣΟΤΗΤΑ-ΡΙΖΕΣ 4.1.1 Να δειχθεί ότι για κάθε κ R το πολυώνυμο P (x) = (κ - 1) x 5 + (3κ 2 + 2) x 3 + κx δεν έχει ρίζα το 1. 2 1 2 =κ 11 2 +3κ + 2 1 + 2 1 2 =0 κ 1+43κ + 2+16κ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ - 2 ου ΒΑΘΜΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 9). Να λυθούν οι εξισώσεις :

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ - 2 ου ΒΑΘΜΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 9). Να λυθούν οι εξισώσεις : ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ - ου ΒΑΘΜΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ). Να λυθούν οι εξισώσεις: α). + ( 3 ) 6 = 0 β). 4 ( 3 ) + 3 = 0 γ). + ( ) = 0 δ). 5 + 5 = 0 ε). 4( 3) + 5 + 6 6 = 0 στ).( + 3 ) ( 3 + ) ( 3 ) = 0 η). + (3 ) + (4 3 ) = 0

Διαβάστε περισσότερα

Θα ξέρεις τι λέγεται γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους. Λέγεται κάθε εξίσωση της μορφής αχ +βψ =γ. Θα ξέρεις τι είναι το σύστημα εξισώσεων

Θα ξέρεις τι λέγεται γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους. Λέγεται κάθε εξίσωση της μορφής αχ +βψ =γ. Θα ξέρεις τι είναι το σύστημα εξισώσεων 1. Θα ξέρεις τι λέγεται γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους. Λέγεται κάθε εξίσωση της μορφής αχ +βψ =γ. Θα ξέρεις τι είναι το σύστημα εξισώσεων Είναι ομάδα από δύο ή περισσότερες εξισώσεις των οποίων ζητάμε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ Τι ονομάζουμε εξίσωση ου βαθμού; o Εξίσωση ου βαθμού με ένα άγνωστο ονομάζουμε κάθε εξίσωση που γράφεται ή μπορεί να γραφεί στη μορφή με α π.χ 5 6 Τι ονομάζουμε εξίσωση ου βαθμού ελλιπούς

Διαβάστε περισσότερα

2018 Φάση 2 ιαγωνίσµατα Επανάληψης ΑΛΓΕΒΡΑ. Α' Γενικού Λυκείου. Σάββατο 21 Απριλίου 2018 ιάρκεια Εξέτασης:3 ώρες ΘΕΜΑΤΑ

2018 Φάση 2 ιαγωνίσµατα Επανάληψης ΑΛΓΕΒΡΑ. Α' Γενικού Λυκείου. Σάββατο 21 Απριλίου 2018 ιάρκεια Εξέτασης:3 ώρες ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ A ΑΛΓΕΒΡΑ Α' Γενικού Λυκείου Σάββατο 1 Απριλίου 018 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΘΕΜΑΤΑ Πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f (x) από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β ονομάζουμε το σύνολο Α, στο οποίο φαίνονται οι

Διαβάστε περισσότερα

1. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις : α. 3

1. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις : α. 3 . Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις : α. 0 6 β. ( + ) + ( ) = ( + ) γ. ( + ) 4 = ( ) δ. ( 7) + = ε. ( ) + ( + 4)( 4) + 8 = ( + ) στ. ( 7) + = ζ. ( ) = ( )( 4) + 9. Ομοίως : α. ( + 5) (9 5) + 6 + 0 = 0 β.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΠΡΑΞΕΙΣ

ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΠΡΑΞΕΙΣ Να δείξετε ότι (x 2) 3 + (3x 4) 3 + (6 4x) 3 = 3(x 2)(3x 4)(6 4x). Λύση Στο 1 0 μέλος βλέπουμε άθροισμα κύβων 3 αριθμών, εξετάζουμε αν έχουν άθροισμα 0, (x 2) + (3x 4) + (6

Διαβάστε περισσότερα

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» Email : stvrentzou@gmail.com www.ma8eno.gr

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» Email : stvrentzou@gmail.com www.ma8eno.gr 1 Πρόσημο τριωνύμου - λύση ανίσωσης ου βαθμού Έστω το τριώνυμο f(x) = x - 4x - 1. Θέλουμε να εξετάσουμε για ποιες τιμές της μεταβλητής x το τριώνυμο f(x) γίνεται θετικό, για ποιες τιμές του x γίνεται αρνητικό,

Διαβάστε περισσότερα

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Κεφάλαιο Πραγματικοί αριθμοί. Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή

Διαβάστε περισσότερα

4.1 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

4.1 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 4.1 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 1 : ΑΠΛΗ ΜΟΡΦΗ Για να λύσω μια ανίσωση της μορφής : 0 ή 0 1 ος τρόπος : Λειτουργώ όπως και στις εξισώσεις πρώτου βαθμού, δηλαδή χωρίζω γνωστούς από αγνώστους, και

Διαβάστε περισσότερα

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει 8 7y = 4 y + y ( 8 7y) = ( 4 y + y) ( y) + 4 y y 4 y = 4 y y 8 7y = 4 y + ( 4 y) = ( 4 y y) ( 4 y) = 4( 4 y)( y) ( 4 y) 4( 4 y)( y) = 0 ( 4 y) [ 4 y 4( y) ] = 4 ( 4 y)( y + 4) = 0 y = ή y = 4) 0 4 H y

Διαβάστε περισσότερα

Εξισώσεις 2 ου βαθμού

Εξισώσεις 2 ου βαθμού Εξισώσεις 2 ου βαθμού Εξισώσεις 2 ου βαθμού Η εξίσωση της μορφής αχ 2 + βχ + γ = 0, α 0 λύνεται σύμφωνα με τον παρακάτω πίνακα. Δ = β 2 4αγ Η εξίσωση αχ 2 + βχ + γ = 0, α 0 αν Δ>0 αν Δ=0 αν Δ

Διαβάστε περισσότερα

Ανισώσεις. Κώστας Γλυκός. Τράπεζα θεμάτων ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. εκδόσεις / 1 0 /

Ανισώσεις. Κώστας Γλυκός. Τράπεζα θεμάτων ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. εκδόσεις / 1 0 / Ανισώσεις Κώστας Γλυκός Τράπεζα θεμάτων ΙΙ Ι δδ ιι ι αα ίί ί ττ εε ρρ αα μμ αα θθ ήή μμ αα ττ αα 6 9 7. 3 0 0. 8 8. 8 8 Kgllykos..gr 5 / 1 0 / 0 1 6 εκδόσεις τηλ. Οικίας : 10-610.178 κινητό : 697-300.88.88

Διαβάστε περισσότερα

Εξίσωση 1 η 1 ο μέλος 2 ο μέλος

Εξίσωση 1 η 1 ο μέλος 2 ο μέλος 1 Παραδείγματα (επανάληψη) Συντελεστής του αγνώστου x. Εξίσωση 1 η 1 ο μέλος 2 ο μέλος Ε ξ ι σ ώ σ εις 1 ο υ β α θ μ ο ύ 2x + 2 = x - 1 Άγνωστος x Γνωστός Eπίλυση 1 ος τρόπος Μπορούμε να γράψουμε την εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

τριώνυμο Η εξίσωση δευτέρου βαθμού στην πλήρη της μορφή ονομάζεται τριώνυμο, γιατί αποτελείται από τρία μονώνυμα. Η γενική μορφή της είναι:

τριώνυμο Η εξίσωση δευτέρου βαθμού στην πλήρη της μορφή ονομάζεται τριώνυμο, γιατί αποτελείται από τρία μονώνυμα. Η γενική μορφή της είναι: κεφάλαιο 4 Α τριώνυμο επίλυση της εξίσωσης δευτέρου βαθμού Η εξίσωση δευτέρου βαθμού στην πλήρη της μορφή ονομάζεται τριώνυμο, γιατί αποτελείται από τρία μονώνυμα. Η γενική μορφή της είναι: αx + βx + γ

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 3 Θέμα 2. Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός

Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 3 Θέμα 2. Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 3 Θέμα Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός Θεωρία ως και την 3. Ασκήσεις: -5 Θεωρία ως και την 3.3 Ασκήσεις: 6-8 Άσκηση Δίνεται η παράσταση: A= 3 5 +

Διαβάστε περισσότερα

Δ.Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ. Τελευταία ενημέρωση 16 Μαρτίου w w w. c o m m o n m a t h s. w e e b l y. c o m

Δ.Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ. Τελευταία ενημέρωση 16 Μαρτίου w w w. c o m m o n m a t h s. w e e b l y. c o m Δ.Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου Τελευταία ενημέρωση 16 Μαρτίου 2016 ΒΑΘΜΟΥ w w w. c o m m o n m a t h s. w e e b l y. c o m A. Αρχικά θα ασχοληθούμε με τα τριώνυμα 2 ου βαθμού. Η γενική μορφή τους είναι

Διαβάστε περισσότερα

4.2 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 2 ου ΒΑΘΜΟΥ

4.2 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 2 ου ΒΑΘΜΟΥ 1 4. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ ΘΕΩΡΙΑ 1. Η γενική µορφή του τριωνύµου µε µεταβλητή x R i) α x + βx + γ, α 0 ii) β α x + α 4α, α 0. Ειδικές µορφές του τριωνύµου Όταν > 0 τότε α x + βx + γ α(x x 1 )(x x ), όπου

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ . ΣΥΝΟΛΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τα σύνολα των αριθμών είναι τα εξής : i. Φυσικοί αριθμοί : 0,,,,......,,,,0,,,,...

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 10

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 10 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 04 Θ ΕΩΡΙA 0 ΘΕΜΑ A Α Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη

Διαβάστε περισσότερα

3. Να δειχτει οτι α α. Ποτε ισχυει το ισον; 2. Aν α, β θετικοι, να συγκρινεται τους αριθμους Α = βα + β, Β = α β + αβ

3. Να δειχτει οτι α α. Ποτε ισχυει το ισον; 2. Aν α, β θετικοι, να συγκρινεται τους αριθμους Α = βα + β, Β = α β + αβ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 Α ν ι σ ω σ η 1 ο υ β α θ μ ο υ 3. Να δειχτει οτι α + 110 0α. Ποτε ισχυει το ισον; Μορφη: αx + β > 0 με α,β. Aν α, β θετικοι, να συγκρινεται τους αριθμους Α = βα + β, Β = α β + αβ Αν α > 0

Διαβάστε περισσότερα

2 είναι λύσεις της ανίσωσης 2x2 3x+1<0.

2 είναι λύσεις της ανίσωσης 2x2 3x+1<0. ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. α) Να βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης x +0x=. x + 0x β) Να λύσετε την εξίσωση x. ίνεται η εξίσωση: x λx+(λ +λ )=0 (), λ R. α) Να προσδιορίσετε τον πραγµατικό αριθµό λ, ώστε η

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ - ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ - ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ - ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1 Ο Δίνεται η συνάρτηση f ( x) x ( 1) x 3 με 0 Γ1. Να λυθεί η εξίσωση f ( x) 0 για λ = -1 Γ. Για λ=3, να λυθεί η ανίσωση f ( x) 0 Γ3. Να αποδείξετε ότι στην

Διαβάστε περισσότερα

β) Αν κάποιος αριθµός α επαληθεύει την παραπάνω ανίσωση, να αποδείξετε ότι 1 1 1 9 < α

β) Αν κάποιος αριθµός α επαληθεύει την παραπάνω ανίσωση, να αποδείξετε ότι 1 1 1 9 < α ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1. α) Να λύσετε τις ανισώσεις: x 5 3 και x x 1 0. β) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων του ερωτήµατος (α). x 1. ίνονται οι ανισώσεις: 3x 1

Διαβάστε περισσότερα

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες Με τον διεθνή όρο φράκταλ (fractal, ελλ. μορφόκλασμα ή μορφοκλασματικό σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες ονομάζεται ένα γεωμετρικό σχήμα που επαναλαμβάνεται αυτούσιο σε άπειρο

Διαβάστε περισσότερα

a = f( x ) =. (Μονάδες 8) 2 = =,από όπου προκύπτει ( υψώνοντας στο τετράγωνο ), x =, επομένως x = 0 x = ή Άσκηση 4679 Δίνεται η συνάρτηση:

a = f( x ) =. (Μονάδες 8) 2 = =,από όπου προκύπτει ( υψώνοντας στο τετράγωνο ), x =, επομένως x = 0 x = ή Άσκηση 4679 Δίνεται η συνάρτηση: Άσκηση 4679 Δίνεται η συνάρτηση: a = + 4 f( x) x x α) Να βρείτε τις τιμές του πραγματικού αριθμού α, ώστε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f να είναι το σύνολο. (Μονάδες 0) β) Αν είναι γνωστό ότι η γραφική

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία που πρέπει να θυμάσαι!!!... b a

Η Θεωρία που πρέπει να θυμάσαι!!!... b a Κεφ. εξισώσεις ανισώσεις εξάσκησηεπανάληψη Τhe Ds that make a champion: Devotion, Desire, Discipline Η Θεωρία που πρέπει να θυμάσαι!!!... Μορφές Εξισώσεων Λύση ή ρίζα εξίσωσης Εξίσωση ου βαθμού ax + b

Διαβάστε περισσότερα

4.3 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ & ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ

4.3 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ & ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 4.3 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ & ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ. Πολυωνυµική εξίσωση Λέγεται κάθε εξίσωση της µορφής Ρ(x) = 0, όπου Ρ(x) πολυώνυµο.. Ρίζα πολυωνυµικής εξίσωσης Λέγεται κάθε ρίζα του αντίστοιχου πολυωνύµου.

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ A ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ A ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ A ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pitetragono.gr Σελίδα. ΔΥΝΑΜΕΙΣ : Ισχύουν οι

Διαβάστε περισσότερα

Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές

Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές 0 Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Για να λύσουμε μια πολυωνυμική εξίσωση P(x) 0 (ή μια πολυωνυμική ανίσωση P(x)

Διαβάστε περισσότερα

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 1) Δίνεται η εξίσωση x 2-2(λ + 2) χ + 2λ 2-17 = 0. Να βρείτε το λ ώστε η εξίσωση να έχει μία ρίζα διπλή. Υπολογίστε τη ρίζα. Aσκήσεις στις εξισώσεις Β βαθμού Για να έχει η εξίσωση μία ρίζα διπλή πρέπει:

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση εξισώσεων δευτέρου βαθμού με ανάλυση σε γινόμενο παραγόντων

Επίλυση εξισώσεων δευτέρου βαθμού με ανάλυση σε γινόμενο παραγόντων ΜΕΡΟΣ Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 69. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ Ορισμός Ονομάζουμε εξίσωση ου βαθμού με έναν άγνωστο κάθε ισότητα που έχει την μορφή α +β+ γ = 0 με α 0 (ο είναι ο άγνωστος της εξίσωσης,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ Δ.Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ Τελευταία ενημέρωση: 21 Φεβρουαρίου 2015 w w w. c o m m o n m a t h s. w e e b l y. c o m A. Αρχικά θα ασχοληθούμε με τα τριώνυμα 2 ου βαθμού. Η γενική μορφή τους

Διαβάστε περισσότερα

1) Μέθοδος επίλυσης οποιασδήποτε εξίσωσης Β Βαθμού. Έστω η δευτεροβάθμια εξίσωση : = 0 1. Μεταφέρουμε το σταθερό όρο στο δεύτερο μέλος δηλ.

1) Μέθοδος επίλυσης οποιασδήποτε εξίσωσης Β Βαθμού. Έστω η δευτεροβάθμια εξίσωση : = 0 1. Μεταφέρουμε το σταθερό όρο στο δεύτερο μέλος δηλ. 1 Εξισώσεις Β Βαθμού Εξίσωση 2 ου βαθμού μ έναν άγνωστο, είναι η εξίσωση με μορφή : αx²+βx+γ=0 με α, β, γ R και α 0. 1) Μέθοδος επίλυσης οποιασδήποτε εξίσωσης Β Βαθμού Έστω η δευτεροβάθμια εξίσωση : =

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

Α. ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΜΕΡΟΣ Α.5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ 9. 5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ- ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ Α. ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ Εάν έχουμε δύο πραγματικούς αριθμούς α και β τότε λέμε ότι ο α είναι μεγαλύτερος

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές. αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα βοήθημα στην ύλη της Άλγεβρας Α Λυκείου, που είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο. Πίνακας διερεύνησης της εξίσωσης Εξίσωση: αx 2 +βx+γ=0 (α 0) (Ε) Έχει ΥΟ ρίζες άνισες που δίνονται από τους τύπους x 1,2 =

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο. Πίνακας διερεύνησης της εξίσωσης Εξίσωση: αx 2 +βx+γ=0 (α 0) (Ε) Έχει ΥΟ ρίζες άνισες που δίνονται από τους τύπους x 1,2 = ΕΞΙΩΕΙ-ΑΝΙΩΕΙ ου ΒΑΘΜΟΥ - 38 - ΚΕΦΑΑΙΟ 4 ΚΕΦΑΑΙΟ 4 ο Εξισώσεις - Ανισώσεις β βαθµού 5.1. Μορφή και διερεύνηση της εξίσωσης β βαθµού Άθροισµα και γινόµενο των ριζών της Κάθε εξίσωση β βαθµού πριν τη λύσουµε,

Διαβάστε περισσότερα

4. Ανισώσεις. 4.1 Ανισώσεις 1 ου Βαθμού

4. Ανισώσεις. 4.1 Ανισώσεις 1 ου Βαθμού Ανισώσεις ου Βαθμού Ανισώσεις. Πρωτοάθμιες Ανισώσεις Επιλύονται όπως οι εξισώσεις με την διαφορά ότι, όταν πολλαπλασιάζω ή διαιρώ με αρνητικό αριθμό αλλάζει φορά η ανίσωση.. Υπενθύμιση α) χ χ, ή χ, ) χ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ) Copyright 2015 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoo.com Αδεια χρήσης 3η Εκδοση, Ιωάννινα, Σεπτέµβριος 2015 Περιεχόµενα 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ....................................................

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΣΗΜΟ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ ΕΠΙΛΥΣΗ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ 2 ου ΒΑΜΟΥ

ΠΡΟΣΗΜΟ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ ΕΠΙΛΥΣΗ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ 2 ου ΒΑΜΟΥ 5 ΠΡΟΣΗΜΟ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ ΕΠΙ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ ου ΒΑΜΟΥ ΠΡΟΣΗΜΟ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ Για να βρούμε το πρόσημο του τριωνύμου αχ +βχ+γ βρίκουμε την διακρίνουσα Δ=β - 4αγ και αν: Δ>0,το τριώνυμο έχει δυο ρίζες χ 1,χ και το προσημό

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΧΡΟΝΙΑΔΗΣ ΝΙΚΟΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ

ΠΟΛΥΧΡΟΝΙΑΔΗΣ ΝΙΚΟΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΘΕΩΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ). (α + β) = α +αβ + β ). (α β) = α αβ + β. 3). (α + β) 3 = α 3 + 3α β +3αβ + β 3 ). (α β) 3 = α 3 3α β +3αβ β 3. 5). α β = (α β)(α + β) 6). α + β = (α + β) αβ. 6). α 3 β 3

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 15

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 15 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 04 Θ ΕΩΡΙA 5 ΘΕΜΑ A Α Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη

Διαβάστε περισσότερα

ii) Να ποια τιμή του ώστε η εξίσωση (1) έχει μία διπλή πραγματική ρίζα; Έπειτα να βρεθεί η ρίζα αυτή. Ασκήσεις Άλγεβρας

ii) Να ποια τιμή του ώστε η εξίσωση (1) έχει μία διπλή πραγματική ρίζα; Έπειτα να βρεθεί η ρίζα αυτή. Ασκήσεις Άλγεβρας . Δίνεται η εξίσωση, (). i) Να βρεθεί ο αριθμός ώστε η εξίσωση () να έχει μία τουλάχιστον πραγματική ρίζα. ii) Να βρεθεί ο αριθμός ώστε η εξίσωση () να έχει δύο ίσες πραγματικές ρίζες. iii) Να βρεθεί ο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Έννοια του πολυωνύμου. Ας υποθέσουμε ότι έχουμε μια μεταβλητή x που μπορεί να πάρει κάθε πραγματική τιμή. Μονώνυμο του x, είναι κάθε παράσταση της μορφής : x όπου α είναι

Διαβάστε περισσότερα

2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ -4 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας µε τη βοήθεια και του ερωτήµατος α). ii) Να αποδείξετε ότι ισχύει η ανισότητα 1+α < 1+ α. α+α

Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας µε τη βοήθεια και του ερωτήµατος α). ii) Να αποδείξετε ότι ισχύει η ανισότητα 1+α < 1+ α. α+α ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1. α) Να λύσετε τις ανισώσεις: x 5 3 και x x 1 0. β) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων του ερωτήµατος (α). x 1. ίνονται οι ανισώσεις: 3x 1

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012. Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012. Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_3.ΜλΑ(ε) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α A.. Α.. Α.3. ΘΕΜΑ Β Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Ηµεροµηνία: Κυριακή Απριλίου

Διαβάστε περισσότερα

3. Να δειχτει οτι α α. Ποτε ισχυει το ισον;

3. Να δειχτει οτι α α. Ποτε ισχυει το ισον; EΞΙΣΩΣΕΙΣ Ε ξ ι σ ω σ η ο υ β α θ μ ο υ 3. Να δειχτει οτι α + 0 0α. Ποτε ισχυει το ισον; Εστω η εξισωση: α+β=0 () Λυση η ριζα. της Aν εξισωσης α, β θετικοι λεγεται, να συγκρινεται κάθε τιμη τους του πραγματικου

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Πολυώνυμα. 1. Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι πολυώνυμα; 3 2 ii. x iii. 3 iv. vi.

2.1 Πολυώνυμα. 1. Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι πολυώνυμα; 3 2 ii. x iii. 3 iv. vi. .1 Πολυώνυμα 1. Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι πολυώνυμα; i. 1 x + x ii. x + 7 x iii. 5 x + 7x x iv. 1 x + x v. 1 4 4 x + x + 4x vi. 1 x + 5x. Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι πολυώνυμα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Β ΒΑΘΜΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Β ΒΑΘΜΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Β ΒΑΘΜΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Η ΕΞΙΣΩΣΗ αχ +βχ+γ=0, α ¹ 0 ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ v Εξίσωση δευτέρου βαθμού καλείται η εξίσωση της μορφής : αχ + βχ + γ = 0, α ¹ 0 () v Για την επίλυση της εξίσωσης

Διαβάστε περισσότερα

1. Συµπλήρωσε τον πίνακα µε την κατάλληλη µαθηµατική έκφραση:

1. Συµπλήρωσε τον πίνακα µε την κατάλληλη µαθηµατική έκφραση: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ Ερωτήσεις συµπλήρωσης 1. Συµπλήρωσε τον πίνακα µε την κατάλληλη µαθηµατική έκφραση: Φυσική γλώσσα Μαθηµατική γλώσσα ύο αριθµοί x, y διαφέρουν κατά και έχουν γινόµενο x (x

Διαβάστε περισσότερα

6. α) Να λύσετε την εξίσωση 2x 1 =3. β) Αν α, β με α< β είναι οι ρίζες της εξίσωσης του ερωτήματος (α), τότε να λύσετε την εξίσωση αx 2 +βx+3=0.

6. α) Να λύσετε την εξίσωση 2x 1 =3. β) Αν α, β με α< β είναι οι ρίζες της εξίσωσης του ερωτήματος (α), τότε να λύσετε την εξίσωση αx 2 +βx+3=0. ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. Δίνεται η εξίσωση λx=x+λ, με λr. α) Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση γράφεται ισοδύναμα (λ )x=(λ )(λ+), λr. β) Να βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες η παραπάνω εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Α Λυκείου. Αξίζει να τονίσω ότι οι περισσότερες από τις ασκήσεις αυτές προήλθαν από διάφορα εξωσχολικά βιβλία και ιστοσελίδες συναδέλφων.

Άλγεβρα Α Λυκείου. Αξίζει να τονίσω ότι οι περισσότερες από τις ασκήσεις αυτές προήλθαν από διάφορα εξωσχολικά βιβλία και ιστοσελίδες συναδέλφων. Άλγεβρα Α Λυκείου Το υλικό αυτό αποτελείται από μικρές θεωρητικές υποδείξεις και ασκήσεις και προβλήματα που έχω αξιοποιήσει στην τάξη μου για τη διδασκαλία της Άλγεβρας της Α Λυκείου (Ημερήσιο Γενικό

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 7 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α 1

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α 1 Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Θ έ μ α Α Α. α. Πότε η εξίσωση αx + βx + γ = 0, α 0 έχει διπλή ρίζα; Ποια είναι η διπλή ρίζα της; 4 μονάδες β. Ποια μορφή παίρνει το τριώνυμο αx + βx + γ, α 0, όταν Δ = 0; 3 μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη A Μάθημα: Άλγεβρα

Τάξη A Μάθημα: Άλγεβρα Τάξη A Μάθημα: Άλγεβρα Ερωτήσεις Θεωρίας Θέματα Εξετάσεων Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Περιεχόμενα Α. Θεωρία - Αποδείξεις.. Σελ. Β. Θεωρία-Ορισμοί. Σελ.16 Γ. Ερωτήσεις Σωστού Λάθους...

Διαβάστε περισσότερα

4.4 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ & ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ

4.4 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ & ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ 4.4 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ & ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Για να λύσω μια κλασματική εξίσωση, δηλ. μια εξίσωση που έχει άγνωστο στον παρανομαστή, Βήμα : παραγοντοποιώ

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ Λ. ΑΙΔΗΨΟΥ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ Λ. ΑΙΔΗΨΟΥ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ Λ. ΑΙΔΗΨΟΥ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ 01-013 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα 1 ο Α. Έστω a ένας πραγματικός αριθμός. Να δώσετε τον ορισμό της απόλυτης

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Α Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Α Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Α Λυκείου Θέμα Α. Αν x, x οι ρίζες της δευτεροβάθμιας εξίσωσης αx +βx+γ=, α να αποδείξετε ότι S P. (6 μονάδες) Β. Ελέγξατε αν κάθε μία από τις παρακάτω σχέσεις είναι σωστή

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στα ΣΥΝΟΛΑ. Ε.1 Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Α), αν είναι αληθείς ή με (Ψ), αν είναι ψευδής

Εισαγωγή στα ΣΥΝΟΛΑ. Ε.1 Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Α), αν είναι αληθείς ή με (Ψ), αν είναι ψευδής Εισαγωγή στα ΣΥΝΟΛΑ Ε. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Α), αν είναι αληθείς ή με (Ψ), αν είναι ψευδής i) Αν Α= {0,5,8,3,89}, τότε το Α. ii) Αν Α = {, {,5}, 8, 0}, τότε το Α. iii) Τα σύνολα

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

x y z xy yz zx, να αποδείξετε ότι x=y=z.

x y z xy yz zx, να αποδείξετε ότι x=y=z. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦ. ο A. Ταυτότητες, ιδιότητες δυνάμεων, διάταξη.1 Να παραγοντοποιήσετε τις παρακάτω παραστάσεις: 1. 15a x 15a y 5a x 5a y. a x a x a x a x 3 3 4 3 3 3 3. x 4xy 16 4 y

Διαβάστε περισσότερα

Ανισώσεις Α Βαθμού -Εφαρμογές στις Ανισώσεις

Ανισώσεις Α Βαθμού -Εφαρμογές στις Ανισώσεις 1 Ανισώσεις Α Βαθμού -Εφαρμογές στις Ανισώσεις Ανίσωση με έναν άγνωστο ονομάζουμε κάθε ανισότητα που περιέχει μια μεταβλητή και η οποία αληθεύει για ορισμένες τιμές της μεταβλητής. Πχ: Οι x + > 7, 2(y

Διαβάστε περισσότερα

A N A B P Y T A ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ. 1 (α + β + γ) [(α-β) 2 +(α-γ) 2 +(β-γ) 2 ] και τις υποθέσεις

A N A B P Y T A ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ. 1 (α + β + γ) [(α-β) 2 +(α-γ) 2 +(β-γ) 2 ] και τις υποθέσεις ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ ΑΣΚΗΣΗ η Αν α +β +γ = αβγ και α + β + γ, να δείξετε ότι το πολυώνυμο P()=(α β) +(β γ) + γ α είναι το μηδενικό πολυώνυμο. Από την ταυτότητα του Euler α +β +γ -αβγ = (α + β + γ)[(α-β)

Διαβάστε περισσότερα

Εξισώσεις. Κώστας Γλυκός. Τράπεζα θεμάτων ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. εκδόσεις / 1 0 /

Εξισώσεις. Κώστας Γλυκός. Τράπεζα θεμάτων ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. εκδόσεις / 1 0 / Εξισώσεις Κώστας Γλυκός Τράπεζα θεμάτων ΙΙ Ι δδ ιι ι αα ίί ί ττ εε ρρ αα μμ αα θθ ήή μμ αα ττ αα 6 9 7. 3 0 0. 8 8. 8 8 Kgllykos..gr 5 / 0 / 0 6 εκδόσεις Ασκήσεις Πιθανότητες Τράπεζα θεμάτων. Δίνεται η

Διαβάστε περισσότερα

1. Nα λυθούν οι ανισώσεις. 2. Nα λυθούν οι ανισώσεις. 3. Nα βρεθούν οι κοινές λύσεις των ανισώσεων: 4. Nα βρεθούν οι κοινές λύσεις των ανισώσεων:

1. Nα λυθούν οι ανισώσεις. 2. Nα λυθούν οι ανισώσεις. 3. Nα βρεθούν οι κοινές λύσεις των ανισώσεων: 4. Nα βρεθούν οι κοινές λύσεις των ανισώσεων: ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ. Nα λυθούν οι ανισώσεις α) 4 β) 4. Nα λυθούν οι ανισώσεις ( )( ) α) + > - (+) β). Nα βρεθούν οι κοινές λύσεις των ανισώσεων: ( ) ( ) 8 4 8 και

Διαβάστε περισσότερα

Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν α 1 x+α 0 =0,με α 0,α 1,...

Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν α 1 x+α 0 =0,με α 0,α 1,... 3 0 ΛΥΚΕΙΟ ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Λ. ΒΟΥΛΓΑΡΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν-1 +...+α

Διαβάστε περισσότερα

2.3 Πολυωνυμικές Εξισώσεις

2.3 Πολυωνυμικές Εξισώσεις . Πολυωνυμικές Εξισώσεις η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις που μας ζητούν να λύσουμε μια πολυωνυμική εξίσωση.. Να λυθούν οι εξισώσεις: i. + + + 6 = 0 ii. 7 = iii. ( + ) + 7 = 0 iv. 8 + 56 = 0 i. + + + 6 = 0 (

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα. Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω, ισχύει P(A-B)=P(A)-P( A B) (10 μονάδες)

Θέματα. Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω, ισχύει P(A-B)=P(A)-P( A B) (10 μονάδες) Θέματα Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω, ισχύει P(A-B)=P(A)-P( A B) (10 μονάδες) Β. Είναι Σωστή ή Λάθος καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις ; Θέμα α. Αν x

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ A)ΠΡΩΤΟΒΑΘΜΙΕΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΕΣ

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ A)ΠΡΩΤΟΒΑΘΜΙΕΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΕΣ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ A)ΠΡΩΤΟΒΑΘΜΙΕΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΕΣ )Να λύσετε τις εξισώσεις : α) χ+= β) 3-χ=4 γ) χ=-6 δ) 4-χ=8 ε) χ- 3 =0 στ) χ- 5 =- )α) Να λυθεί η εξίσωση : (λ-)χ=λ () Ι)Αν λ- 0 λ η () έχει λύση

Διαβάστε περισσότερα

4. Να βρείτε τον βαθμό των πολυωνύμων ως προς χ, ως προς ψ και ως προς χ και ψ μαζί

4. Να βρείτε τον βαθμό των πολυωνύμων ως προς χ, ως προς ψ και ως προς χ και ψ μαζί 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να εκτελέσετε τις προσθέσεις, όπου αυτό είναι δυνατόν α) χ 3 +5ψ 3 β) χ 3 +6χ 3 γ) 4χ 5 ω-7ωχ 5 δ) 3χ 5 +4χ ε) χ 4 +3χ 4 ζ) χ -χ η) χ +χ θ) χ +χ ι) χ+χ 3 κ) χ -χ λ) 3χ 4-4χ 4 μ) 3χ-3χ 3.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ. Λυμένα Παραδείγματα

ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ. Λυμένα Παραδείγματα ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ Λυμένα Παραδείγματα. Να βρεθούν οι τιμές του λ R για τις οποίες το πολυώνυμο Ρ () = (4λ -9) +(λ -λ-) +λ- είναι το μηδενικό. Το Ρ () θα είναι το μηδενικό πολυώνυμο, για εκείνες τις τιμές του λ

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 4 Θέμα 2. Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός

Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 4 Θέμα 2. Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 4 Θέμα 2 Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός Θεωρία ως και την 4.1 Ασκήσεις: 1-12 Θεωρία ως και την 4.2 Ασκήσεις: 13-25 Άσκηση 1 α) Να λύσετε την ανίσωση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Β ΒΑΘΜΟΥ. i) x 1

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Β ΒΑΘΜΟΥ. i) x 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Β ΒΑΘΜΟΥ. Δίνεται το τριώνυμο : 3.Να βρείτε το πρόσημο των τιμών του τριωνύμου για : 3 4 i) 3 i 4 3. Να βρεθεί το πρόσημο των τριωνύμων : i) f ( ) 5 3 g( ) i h( ) 3. Να βρεθεί το

Διαβάστε περισσότερα

Σας εύχομαι καλή μελέτη και επιτυχία.

Σας εύχομαι καλή μελέτη και επιτυχία. ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το βιβλίο αυτό αποτελεί συνέχεια του Α τεύχους και απευθύνεται κυρίως στους μαθητές της Α Λυκείου, αλλά και στους καθηγητές που διδάσκουν το μάθημα «Άλγεβρα και στοιχεία πιθανοτήτων» της Α Λυκείου.

Διαβάστε περισσότερα

Το βιβλίο αυτό είναι γραμμένο με βάση την αναμορφωμένη έκδοση του σχολικού

Το βιβλίο αυτό είναι γραμμένο με βάση την αναμορφωμένη έκδοση του σχολικού www.ziti.gr Πρόλογος Το βιβλίο αυτό είναι γραμμένο με βάση την αναμορφωμένη έκδοση του σχολικού βιβλίου Άλγεβρας της Αʹ τάξης του Γενικού Λυκείου, που θα διδάσκεται από το σχολικό έτος 00-0. Είναι ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ. 3.1 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΑΘΜΟΥ. Οι ανισώσεις: αx + β > 0 και αx + β < 0

ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ. 3.1 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΑΘΜΟΥ. Οι ανισώσεις: αx + β > 0 και αx + β < 0 3 ΝΙΣΩΣΕΙΣ 31 ΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΘΜΟΥ Οι ανισώσεις: α + β > 0 και α + β < 0 Γνωρίσαμε στο Γυμνάσιο τη διαδικασία επίλυσης μιας ανίσωσης της μορφής α β 0 ή της μορφής α β 0, με α και β συγκεκριμένους αριθμούς

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή Το σύνολο αναφοράς και οι περιορισμοί

Εισαγωγή Το σύνολο αναφοράς και οι περιορισμοί ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΠΟΛΥΟΝΥΜΙΚΕΣ Εισαγωγή Το σύνολο αναφοράς και οι περιορισμοί Όταν έχουμε μία εξίσωση που περιέχει παρονομαστές ή ρίζες, πρέπει να βάζουμε περιορισμούς. Το νόημα

Διαβάστε περισσότερα

4. Ανισώσεις. 4.1 Ανισώσεις 1 ου Βαθμού

4. Ανισώσεις. 4.1 Ανισώσεις 1 ου Βαθμού 1 Ανισώσεις 1 ου Βαθμού Ανισώσεις 1. Πρωτοάθμιες Ανισώσεις Επιλύονται όπως οι εξισώσεις με την διαφορά ότι, όταν πολλαπλασιάζω ή διαιρώ με αρνητικό αριθμό αλλάζει φορά η ανίσωση.. Υπενθύμιση α), ή, ) ή,

Διαβάστε περισσότερα

x x και µε P το γινόµενο x1 x2 2α 2α α

x x και µε P το γινόµενο x1 x2 2α 2α α o ΛΥΚΕΙΟ ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗΣ ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΡΙΖΩΝ ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΡΙΖΩΝ I ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΡΙΖΩΝ Θεώρηµα (Τύποι του Vieta) Έστω ότι η εξίσωση αx + βx+ γ=, α έχει πραγµατικές ρίζες x Αν συµβολίσουµε µε S

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού 97 98 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ 1. Να λυθεί η εξίσωση: 1 1 1 ( x+ )(x ) = x 3 3 9. Αν η εξίσωση (x - 3) λ + 3 = λ x έχει ρίζα τον αριθμό, να υπολογιστεί

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ

ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ Αν έχω τριώνυμο της μορφής :,. Υπολογίζω την Διακρίνουσα 4 Αν Δ> τότε η εξίσωση έχει άνισες ρίζες έστω Ομόσημο του α Ετερόσημο του α, τότε: Ομόσημο του α Αν Δ= τότε η εξίσωση έχει διπλή

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 10 ΕΠΑΝΑΛΗΨΕΙΣ ΑΠΟ ΠΡΟΗΓΟΥΜΕΝΕΣ ΤΑΞΕΙΣ α ) Ταυτότητες 1. (a-β)(a+β)=a - b. (a ± b ) = a ± ab + b 3 3 3 3. (a ± b ) = a ± 3a b + 3ab

Διαβάστε περισσότερα