Εισαγωγή σε προχωρημένες μεθόδους υπολογισμού στην Επιστήμη των Υλικών

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Εισαγωγή σε προχωρημένες μεθόδους υπολογισμού στην Επιστήμη των Υλικών Βασικά σημεία της κβαντομηχανικής Διδάσκων : Επίκουρη Καθηγήτρια Χριστίνα Λέκκα

2 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Ceative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς.

3 Εργαστήριο Υπολογιστικής Επιστήμης Υλικών - XΛ. Βασικά σημεία της κβαντομηχανικής Εισαγωγή σε προχωρημένες μεθόδους στην επιστήμη των υλικών Χ.Ε. Λέκκα Εργαστήριο Υπολογιστικής Επιστήμης Υλικών Τμήμα Επιστήμης και Τεχνολογίας Υλικών

4 Εργαστήριο Υπολογιστικής Επιστήμης Υλικών - XΛ Βασικά σημεία της κβαντομηχανικής. Η χρονο-εξαρτώμενη εξίσωση του Schödinge. Η στάσιμη εξίσωση του Schödinge 3. Τετραγωνικό πηγάδι δυναμικού 4. Το άτομο του υδρογόνου 5. Ο φορμαλισμός ba και ket 6. Το πρόβλημα των ιδιοτιμών

5 Η χρόνο-εξαρτώμενη εξίσωση του Schödinge Κλασσική μηχανική Η ολική ενέργεια Ε ενός κλασσικού συστήματος είναι: E V ( ) p m Κβαντική μηχανική Αντικαθιστούμε την ενέργεια και την ορμή σύμφωνα με τους μετασχηματισμούς της κβαντικής με τελεστές οι οποίοι δρουν στην κυματοσυνάρτηση Ψ: E i, p i, t x x y y z z Καταλήγουμε στην χρόνο-εξαρτώμενη εξίσωση του Schödinge για την κυματοσυνάρτηση Ψ(x,y,z,t) ενός σωματιδίου σε δυναμικό V() όπου H i H t m V ( ) Χαμιλτονιανή Εργαστήριο Υπολογιστικής Επιστήμης Υλικών - XΛ 3

6 Η χρόνο-εξαρτώμενη εξίσωση του Schödinge Εργαστήριο Υπολογιστικής Επιστήμης Υλικών - XΛ 4 Ο Boh πρότεινε το 96 μια φυσική ερμηνεία για τη σύνδεση μεταξύ του τετραγώνου της κυματοσυνάρτησης και της θέσης του σωματιδίου: Η Ψ(x,y,z,t) είναι η πυκνότητα πιθανότητας να βρεθεί ένα σωματίδιο με μάζα m σε ένα μικρό σημείο του χώρου με συντεταγμένες θέσης x,y,z τη χρονική στιγμή t υπό την επιρροή του δυναμικού V(). Έτσι μπορούμε λύνοντας την χρονοεξαρτώμενη εξίσωση να περιγράψουμε τη χρονική εξέλιξη της συμπεριφοράς του σωματιδίου. Υποδεικνύεται ταυτόχρονα ότι η κυματοσυνάρτηση είναι κανονικοποιημένη για κάθε χρονική στιγμή: ( x, y, z, t) dxdydz

7 Η στάσιμη εξίσωση του Schödinge Η χρόνο-ανεξάρτητη εξίσωση του Schödinge είναι: x, y, z E x, y z H, εξίσωση ιδιοτιμών οι τιμές των Ε και ψ της εξίσωσης ιδιοτιμών εξαρτώνται από το ατομικό σύστημα και ιδιαίτερα από την επιλογή του δυναμικού V(x,y,z) Το τελικό ζητούμενο είναι η εύρεση των ιδιοτιμών Ε και ιδιοσυναρτήσεων ψ της Χαμιλτονιανής Η H m V ( ) Εργαστήριο Υπολογιστικής Επιστήμης Υλικών - XΛ 5

8 Εργαστήριο Υπολογιστικής Επιστήμης Υλικών - XΛ 6 Τετραγωνικό πηγάδι δυναμικού Ας λύσουμε την εξίσωση του Schödinge για τη περίπτωση ενός τετραγωνικού πηγαδιού δυναμικού. Το πρόβλημα αυτό είναι μονοδιάστατο και το δυναμικό είναι μια τμηματικά σταθερή συνάρτηση: V(x) E>0 -α E<0 α x -V ο Vo, a x a V ( x) { 0, x a, x a Τετραγωνικό πηγάδι δυναμικού

9 Τετραγωνικό πηγάδι δυναμικού Εργαστήριο Υπολογιστικής Επιστήμης Υλικών - XΛ 7 Οι ιδιοτιμές της ενέργειας για τις δέσμιες καταστάσεις είναι: E i V o i ma, i 0,,,... όπου n n, n 0,,,..., γραφική λύση cos n και mv o a Από την cos n βρίσκουμε τον αριθμό των δέσμιων καταστάσεων Ν: όπου [β/π] ακέραιο μέρος ενώ το β N a mv o σχετίζεται με το δυναμικό V o N Η λύση της κυματοσυνάρτησης: x C n n ( x) για n άρτιο άρτια (συμμετρική) λύση και για n περιττό n περιττή (αντισυμμετρική) λύση. Όσο «ρηχό» και να είναι το πηγάδι δυναμικού πάντα παγιδεύεται ένα σωματίδιο και έχω άρτια λύση. Καμιά δέσμια κατάσταση δεν παρουσιάζει εκφυλισμό (δύο διαφορετικές καταστάσεις έχουν την ίδια ενέργεια). Άρτιες και περιττές κυματοσυναρτήσεις εναλλάσσονται καθώς αυξάνει η ενέργεια.

10 Εργαστήριο Υπολογιστικής Επιστήμης Υλικών - XΛ 8 Το άτομο του υδρογόνου Για άτομα και μόρια (ή ιόντα) με ένα ηλεκτρόνιο οι ψ των τροχιακών είναι ίδιες με τις ολικές Ψ των ηλεκτρονίων Μ, e + Για τέτοια συστήματα η εξίσωση του Schödinge λύνεται ακριβώς m, e -

11 Εργαστήριο Υπολογιστικής Επιστήμης Υλικών - XΛ 9 Η μελέτη του προβλήματος της σχετικής κίνησης ενός ηλεκτρονίου (μάζας m και φορτίου e - ) και ενός πυρήνα (μάζας Μ και φορτίου Ze) μετατρέπεται στη μελέτη της κίνησης ενός σωματιδίου μάζας σε ένα πεδίο Coulomb. M m mm Δυναμικό ατόμου του υδρογόνου Ze 0 Ze E L Σε σφαιρικές συντεταγμένες ισχύει η ταυτότητα: H εξίσωση του Schödinge σε σφαιρικές συντεταγμένες για το σύστημα αυτό έχει τη μορφή: Οπότε η εξίσωση του Schödinge σε σφαιρικές συντεταγμένες, θ, φ παίρνει τη μορφή: 0 sin sin sin Ze E h () Το άτομο του υδρογόνου

12 Το άτομο του υδρογόνου Εργαστήριο Υπολογιστικής Επιστήμης Υλικών - XΛ 0 Κατά τη κίνηση ενός σωματιδίου σε ένα κεντρικό συμμετρικό πεδίο η στροφορμή διατηρείται, έτσι μεταξύ των στάσιμων καταστάσεων (πυκνότητα πιθανότητας σταθερή) υπάρχουν εκείνες που χαρακτηρίζονται από μια καθορισμένη τιμή του τετραγώνου τροχιακής στροφορμής L και των προβολών της L x, L y, L z. Οι κυματοσυναρτήσεις Ψ των στάσιμων καταστάσεων είναι ιδιοσυναρτήσεις των τελεστών L και L : z L ( ) m L z όπου l=0,,, και m=0,+,+,. Σε σφαιρικές συντεταγμένες και στην αναπαράσταση θέσης οι εξισώσεις αυτές έχουν τη μορφή: sin sin sin i m 0 0 ()

13 Το άτομο του υδρογόνου Εργαστήριο Υπολογιστικής Επιστήμης Υλικών - XΛ ()+()=> Ze 0 E (3) h Η λύση της εξίσωσης αυτής είναι της μορφής : Ακτινικό μέρος Γωνιακό μέρος Σφαιρικές αρμονικές (,, ) R ( ) Y (, ) n m n m n : κύριος κβαντικός αριθμός, n=,, 3, περιγράφει την ενεργειακή κατάσταση του e - l : κβαντικός αριθμός γωνιακής στροφορμής, l=0,,,, n-, περιγράφει πόσο γρήγορα κινείται το e - στο τροχιακό του (angula momentum) και σχετίζεται με το σχήμα του τροχιακού. m: μαγνητικός κβαντικός αριθμός, m=0, +, +,, περιγράφει την κατεύθυνση του στο χώρο Περιοριστική συνθήκη κβαντικών αριθμών: m < l < n- Οι καταστάσεις που αντιστοιχούν στις τιμές l=0,,,3, συμβολίζονται με s, p, d,.

14 Εργαστήριο Υπολογιστικής Επιστήμης Υλικών - XΛ Το άτομο του υδρογόνου (,, ) R ( ) Y (, ) n m n m Οι σφαιρικές αρμονικές συναρτήσεις δίδουν τον ανισοτροπικό χαρακτήρα της Ψ(,θ,φ) (εφόσον η R() είναι σφαιρικά συμμετρική), περιγράφουν τη γωνιακή συμπεριφορά της Ψ(,θ,φ), είναι κανονικοποιημένες και μπορούμε να πούμε ότι καθορίζουν το σχήμα των τροχιακών. Μερικές από τις πρώτες σφαιρικές αρμονικές : Y0,0 l,m 4 Y,0 Η Υ 00 που αντιστοιχεί στα s τροχιακά (n=, l=0 και m=0) είναι σφαιρικά συμμετρική και σταθερή Tα p τροχιακά (n=, l= και m=0,+) περιγράφονται με γραμμικό συνδυασμό τους π.χ. p x (~Y, +Y,- )~sinθcosφ~x/ Σφαιρικές πολικές συντεταγμένες x=sinθcosφ, y=sinθsinφ, z=cosθ 3 cos 4 Y, e 3 i 8 sin z y z y s + x x p x

15 Το άτομο του υδρογόνου Εργαστήριο Υπολογιστικής Επιστήμης Υλικών - XΛ 3 Ατομικά τροχιακά Πυκνότητα πιθανότητας εύρεσης e - Μικρή πιθανότητα Μεγάλη πιθανότητα

16 Το άτομο του υδρογόνου (,, ) R ( ) Y (, ) n m n m E h Ze 0 (3) Από τις απαιτήσεις των οριακών συνθηκών και της ασυμπτωτικής συμπεριφοράς των λύσεων έχει βρεθεί ότι για Ε>0 η (3) έχει ένα πεπερασμένο και συνεχές σύνολο λύσεων για οποιαδήποτε τιμή της Ε. Ενώ για Ε<0 υπάρχουν πεπερασμένες και συνεχείς λύσεις μόνο για ορισμένες τιμές της Ε. Στη περίπτωση αυτή οι διακριτές τιμές της ενέργειας δίδονται από τη σχέση : E Z n e όπως παρατηρούμε η ενέργεια του ατόμου του υδρογόνου στην κατάσταση nlm εξαρτάται από μόνο από n τον κβαντικό αριθμό n και όχι από τους l και m. Δηλαδή για κάθε τιμή του n υπάρχουν n εκφυλισμένες 0 ιδιοσυναρτήσεις οι οποίες διαφέρουν στους κβαντικούς αριθμούς l και m. Z E n m m M me θέτω Ry me E RyZ n n=, θεμελιώδες επίπεδο E 3.6 Για τον ιονισμό του ατόμου (την απομάκρυνση του ηλεκτρονίου στο άπειρο) απαιτείται να δοθεί στο άτομο 4 ενέργεια ίση με: me E E 3. 6eV ενέργεια ιονισμού Εργαστήριο Υπολογιστικής Επιστήμης Υλικών - XΛ 4 n ev

17 Ο φορμαλισμός ba και ket - τελεστές Τρισδιάστατο σύστημα e, e Μπορούμε να ορίσουμε ένα σύστημα συντεταγμένων που καθορίζεται από τρία διανύσματα βάσης. Έτσι μπορούμε να ορίσουμε ένα διάνυσμα : e, 3 n-διάστατος χώρος Hilbet v c e ce c3e3 Μια κυματοσυνάρτηση Ψ η οποία είναι αναπαράσταση μιας κβαντικής κατάστασης στον ορθό χώρο, αντιστοιχεί σε ένα διάνυσμα (ακολουθώντας τον Diac το ονομάζουμε ket και το παριστάνουμε Ψ>) το οποίο μπορεί να γραφεί σε ένα n-διάστατο χώρο (χώρος Hilbet) ως γραμμικός συνδυασμός των διανυσμάτων βάσης φ i >: n i Τα «ket» αποτελούν ένα διανυσματικό ή γραμμικό χώρο. Κάθε γραμμικός χώρος είναι σε ένα προς ένα αντιστοιχία με τον λεγόμενο δυϊκό του χώρο. Τα στοιχεία του δυϊκού χώρου ονομάζονται «ba» και παριστάνονται με <Ψ. Η σχέση ba και ket είναι αντιγραμμική, δηλαδή αν : Ψ>=c φ > + c φ > ket Τότε το αντίστοιχο ba είναι: <Ψ =c* <φ + c* <φ ba c i v i συμβολισμός διανύσματος Εργαστήριο Υπολογιστικής Επιστήμης Υλικών - XΛ 5

18 Ο φορμαλισμός ba και ket - τελεστές Εργαστήριο Υπολογιστικής Επιστήμης Υλικών - XΛ 6 Στο χώρο των ket μπορούμε να ορίσουμε γραμμικούς τελεστές: Κάθε αντικείμενο Α, το οποίο δρα σε κάποιο διάνυσμα φ> του χώρου και μας δίνει ένα διάνυσμα θ> είναι ένας τελεστής. Γράφουμε : φ>= θ> Ένας τελεστής Α ονομάζεται γραμμικός, αν για κάθε ζεύγος ket φ > και φ > με λ και λ μιγαδικούς ισχύει: (λ φ >+λ φ >)=λ Α φ >+λ Α φ > Η σημαντικότερη διαφορά των γραμμικών τελεστών από τους κοινούς αριθμούς είναι ότι το γινόμενο των τελεστών δεν είναι μεταθετικό, δηλαδή, ο μεταθέτης τελεστών [Α,Β]=ΑΒ-ΒΑ δεν είναι μηδενικός εν γένει. Ο συζυγής τελεστής Α + ορίζεται ως <φ Α + =<θ

19 Ο φορμαλισμός ba και ket - τελεστές Εργαστήριο Υπολογιστικής Επιστήμης Υλικών - XΛ 7 Αναπαράσταση ανυσμάτων και τελεστών με πίνακες Ας θεωρήσουμε το χώρο Hilbet με κάποια βάση n>. Η βάση μπορεί να είναι το σύνολο των ιδιοανυσμάτων ενός πλήρους συνόλου από μετατιθέμενα φυσικά μεγέθη. Υποθέτουμε ότι υπάρχει κάποιο φυσικό μέγεθος Q για το οποίο Q n>=q n n>. Για τα ανύσματα της βάσης ισχύει <n m>=δnm (σχέση ορθοκανονικότητας) Σ m><m = (σχέση πληρότητας) m δnm=, n=m 0, n=m Κάθε διάνυσμα ket u> μπορεί να αναπτυχθεί στη βάση n> σύμφωνα με το ανάπτυγμα: u>=σ n><n u>. Τα στοιχεία u n =<n u> μπορούν να θεωρηθούν σα στοιχεία ενός πίνακα με μια στήλη. Η στήλη αυτή προσδιορίζει το u> απόλυτα στη δεδομένη βάση u u u N Ανάλογα για ένα ba <κ έχουμε <κ =Σ<κ n><n, τα στοιχεία κn* =<n κ>* αντιστοιχούν σε πίνακα γραμμή: [κ *, κ *,, κ Ν *]

20 Εργαστήριο Υπολογιστικής Επιστήμης Υλικών - XΛ 8 Ένας τελεστής Α μπορεί να παρασταθεί μονοσήμαντα μ ένα πίνακα βάση n>: =Σ n><n Σ m><m =Σ n> nm <m n m n,m Ο φορμαλισμός ba και ket - τελεστές Αναπαράσταση ανυσμάτων και τελεστών με πίνακες O τετραγωνικός πίνακας Α nm =<n m> παριστάνει τον τελεστή Α O Ερμιτιανός συζυγής του τελεστή Α παριστάνεται με τον Ερμιτιανό συζυγή πίνακα (Α + ) nm =<n + m>=<m n>*= mn * Όλες οι αλγεβρικές πράξεις μεταξύ ket, ba και τελεστών μεταφράζονται σε πράξεις μεταξύ στηλών, γραμμών και πινάκων, π.χ. N NN N N N N N k k k u u u k u

21 Εργαστήριο Υπολογιστικής Επιστήμης Υλικών - XΛ 9 Το πρόβλημα των ιδιοτιμών Η στάσιμη εξίσωση του Schödinge ΗΨ=ΕΨ αντιστοιχεί σε πρόβλημα ιδιοτιμών. Ας θεωρήσουμε ένα τετραγωνικό πίνακα Α. Ένα μη μηδενικό διάνυσμα C καλείται ιδιοδιάνυσμα (eigenvecto) του Α μόνο αν υπάρχει ένας πραγματικός ή μιγαδικός αριθμός λ τέτοιος ώστε : ΑC= λc ιδιοτιμή ιδιοδιάνυσμα Αν ο αριθμός λ υπάρχει τότε καλείται ιδιοτιμή του Α. Το διάνυσμα C καλείται ιδιοδιάνυσμα που σχετίζεται με την ιδιοτιμή λ

22 Εργαστήριο Υπολογιστικής Επιστήμης Υλικών - XΛ 0 Λόγω ορθοκανονικότητας ισχύει : <+ +>=<- ->= και <+ ->=0 Άρα <+ +>=(x* < -ix* < ) (x >+ix >)= x -i x ==> x = => x =/ Παράδειγμα εύρεσης ιδιοτιμών τελεστή Α Το πρόβλημα των ιδιοτιμών Θεωρούμε μια ορθοκανονική βάση με καταστάσεις > και >. Στη βάση αυτή ο τελεστής Α ορίζεται από τις σχέσεις Na βρεθούν οι ιδιοτιμές λ και τα ιδιοδιανύσματα του Α Α > = i > Α >=-i > Λύση Ο πίνακας που αναπαριστάνεται ο τελεστής Α είναι: 0 0 i i Εύρεση των ιδιοτιμών του Α: η ορίζουσα του Α (det) να μηδενίζεται: det i i I ιδιοτιμές του Α Εύρεση των ιδιοδιανυσμάτων του Α: 0 0 ix x ix x x x i i 0 0 ix x ix x x x i i ιδιοδιανύσματα του Α ix x Τα ιδιοδιανύσματα του Α στη βάση >, > ix x και για για i i και στη βάση >, >

23 Τέλος Ενότητας

24 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

25 Σημειώματα

26 Σημείωμα Ιστορικού Εκδόσεων Έργου Το παρόν έργο αποτελεί την έκδοση.0. Έχουν προηγηθεί οι κάτωθι εκδόσεις: Έκδοση.0 διαθέσιμη εδώ.

27 Σημείωμα Αναφοράς Copyight Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων, Διδάσκων : Επίκουρη Καθηγήτρια Χριστίνα Λέκκα. «Εισαγωγή σε προχωρημένες μεθόδους υπολογισμού στην Επιστήμη των Υλικών. Βασικά σημεία της κβαντομηχανικής». Έκδοση:.0. Ιωάννινα 04. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση:

28 Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Ceative Commons Αναφορά Δημιουργού - Παρόμοια Διανομή, Διεθνής Έκδοση 4.0 [] ή μεταγενέστερη. []