Μάθημα 5 α) Αλληλεπίδραση νουκλεονίου-νουκλεονίου πυρηνική δύναμη και δυναμικό β) Πυρηνικό μοντέλο των φλοιών

Transcript

1 Στοιχεία Πυρηνικής Φυσικής και Στοιχειωδών Σωματιδίων (5ου εξαμήνου, χειμερινό ) Τμήμα T3: Κ. Κορδάς & Χ. Πετρίδου Μάθημα 5 α) Αλληλεπίδραση νουκλεονίου-νουκλεονίου πυρηνική δύναμη και δυναμικό β) Πυρηνικό μοντέλο των φλοιών Κώστας Κορδάς Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Πυρηνική & Στοιχειώδη Ι, Αριστοτέλειο Παν. Θ/νίκης, 30 Οκτωβρίου 014

2 Σήμερα Πυρηνικό δυναμικό δυναμικό Ykawa, σύστημα δευτερίου Βιβλίο C&G, Κεφ. 1 όλο, Παραγρ..4, Κεφ. 3 όλο, Παράρτημα Γ (κυρίως Γ.,3,4). Σημειώσεις Πυρηνικής, Κεφ. 6 Πυρηνικό μοντέλο των φλοιών εκτίμηση βάθους δυναμικού, ενεργειακών σταθμών και μαγικών αριθμών Βιβλίο C&G, Παράρτημα Β, Κεφ. 5, Σημειώσεις Πυρηνικής, Κεφ. 8 Χαρακτηριστικά πυρήνων πέρα από το μέγεθος και τη μάζα: σπιν (spin), ομοτιμία (parity), μαγνητική ροπή, ηλεκτρική τετραπολική ροπή Βιβλίο C&G, Παράρτημα Γ, παρ. 1.3, Κεφ. 5, παρ Σημειώσεις Πυρηνικής, Κεφ. 1, σελ. 4-5 (μαγνητική ροπή) Ιστοσελίδα:

3 1. Αναλογία με ένα πρότυπο δέσμιου συστήματος: το άτομο (όπου ξέρουμε ότι έχουμε ηλεκτρομαγνητική δύναμη μεταξύ πυρήνα και ηλεκτρονίων δυναμικό Coulomb) 3

4 1α. Εξίσωση Schroedinger, κυματοσυναρτήσεις, στροφορμή, σπίν και παριτυ 4

5 Το σωματίδιο ως κύμα - κυματοσυνάρτηση De Broglie: E E=h f E =ℏ ω ω= ℏ h p p= p=ℏ k k= ℏ λ Ένα κύμα μπορεί να γραφεί σαν άθροισμα επίπεδων κυμάτων σαν κι αυτό: i kx ωt i px Et / ℏ ψ x,t =e ψ ie = ψ i ℏ ψ=e ψ ℏ t t ψ ip = ψ i ℏ ψ= p ψ x ℏ x =e Τελεστής ενέργειας = μια πράξη πάνω στην κυματοσυνάρτηση ψ, που δίνει πάλι την ψ, αλλά πολλαπλασιασμένη με την ενέργεια Ε. Η Ε είναι μια ιδιοτιμή της ενέργειας, και η ψ είναι μια ιδιο-συνάρτηση του τελεστή της ενέργειας. Τελεστής ορμής 5

6 Περιγραφή ενός συστήματος με κυματοσυναρτήσεις Έστω ψ μια κυματοσυμάρτηση που περιγράφει ένα σύστημα. Α ψ=αψ Τελεστής = μια πράξη πάνω στην κυματοσυνάρτηση ψ που αν δίνει πάλι την ψ, αλλά πολλαπλασιασμένη με μια σταθερά α, τότε λέμε ότι Το α είναι μια ιδιοτιμή του τελεστή Α, και η ψ είναι μια ιδιοσυνάρτηση του τελεστή Α Παράδειγμα: Τελεστής ενέργειας i ℏ ψ=e ψ t Η Ε είναι μια ιδιοτιμή του τελεστή ενέργειας, και η ψ είναι μια ιδιοσυνάρτηση του τελεστή της ενέργειας. i ℏ ψ= p ψ x Τελεστής ορμής 6

7 Eξισώσεις Schroedinger Schroedinger: ψάχνει κυματική εξίσωση που ικανοποιεί: p όπου p = p x p y p z Ε= m Χρονοεξαρτώμενη p ℏ Εξίσωση Schroedinger. Ε ψ= ψ i ℏ ψ= ψ την εφαρμόζουμε σε m t m οποιαδήποτε συνάρτηση ψ Όπου: ο Λαπλασιανός τελεστής = η Λαπλασιανή x y z ψ = πυκνότητα πιθανότητας = πιθανότητα ανά μονάδα όγκου να βρούμε το σωματίδιο σε μιά περιοχή του χώρου * Για να βρούμε την ενέργεια Ε, δεν βαζουμε τον τελεστη της ενέργειας, κι έτσι λύνουμε τη χρονοανεξάρτητη εξίσωση Schroendinger: p m ℏ E= +V ( r ) Ε ψ =[ + V ( r )] ψ ψ + (E V ( r )) ψ =0 ℏ m m ℏ H ψ= E ψ, όπου : H V r ο Χαμιλτονιανός τελεστής η Χαμιλτονιανή m Η T V = κινητική δυναμική ενέργεια 7

8 Ιδιοσυναρτήσεις και ιδιοτιμές ενέργειας από την εξίσωση Schroedinger Λύνουμε πρώτα τη χρονοανεξάρτητη εξίσωση του Schroedinger, και βρίσκουμε τις ιδιοτιμές ενέργειας Εi και τις ιδιοσυναρτήσεις ψi (x) του συστήματος: p m ℏ E= V r Ε ψ=[ V r ]ψ ψ E V r ψ=0 ℏ m m Κατόπιν βάζουμε και τη χρονική εξάρτηση κάθε ιδιοσυνάρτησης ως εξής: i E i t / ℏ ψ i (x, t)=ψ i (x )e Μετά, οποιαδήποτε κυματοσυνάρτηση ψ που περιγράφει το σύστημά μας, μπορούμε να τη γράφουμε σαν γραμμικό συνδυασμό των ιδιοσυναρτήσεων ψi ψ =c 1 ψ 1 + c ψ + c 3 ψ

9 Εξίσωση Schroedinger για κεντρικά δυναμικά m ψ E V r ψ=0 ℏ Η εξίσωση Schroedinger με κεντρικό δυναμικό V ( r )=V (r ) [π.χ., το δυναμικό Coulomb -e/r], όπου χωρίζουμε ακτινικό και γωνιακό μέρος κυματοσυνάρτησης: ψ r =R r Y θ, φ, και y=r R r γίνεται: y m E V r y=0 l ℏ r Οπότε έχουμε να λύσουμε την πιό πάνω μονοδιάστατη εξίσωση του Schroedinger, όπου το ενεργό δυναμικό είναι ίσο με το άθροισμα του κεντρικού δυναμικού κι ενός όρου στροφορμής V l (r )=V (r )+ ℏ l (l+ 1) mer 9

10 Άτομο υδρογόνου με εξ. Schroedinger Λύση της εξίσωσης Schroedinger ψ m E V r ψ=0 ℏ q1 q e e r =V r = =e = με το δυναμικό Coulomb: V r r r και ψ ναμικού υ δ r =R r Y θ, φ ύ ο ικ ρ τ ν θ, φ ειγμα κε η α πό Παράδ σ η τ ρ ά ξ ε ι ε πάρχ Όπου ΔΕΝ υ Δίνει: συναρτήσεις R(r) και Υ(θ,φ), όπου ψ = R(r) Υ(θ,φ) είναι ιδιοσυναρτήσεις 1 1 a m c n β) του τελεστή L της τροχιακής στροφορμής με ιδιοτιμές: α) της Χαμιλτονιανής, με ιδιοτιμές ενέργειας L = r x p= r x i ℏ E= L Y lm = l l 1 ℏ Y lm, όπου : l=0,1,..., n 1 όπου: x y z x y z γ) του τελεστή Lz, προβολής της L σ'έναν άξονα, με ιδιοτιμές: λύσεις για m ι α κ l,, l Ίδιες Y lm δυναμικά ά ικ ρ τ ν ε κ α ΟΛΑ τ L z Y lm =ml ℏ Y lm, όπου : ml = l,..., 0,... l 10

11 Κβάντωση στροφορμής L= l l 1 ℏ, όπου : l=0,1,..., n 1 Άθροισμα στροφορμών: l z (1+ )=l z (1) + l z () και l 1 l l 1 + l 1 +l 11

12 Υδρογόνο: Ακτινικές ιδιοσυναρτήσεις Rn l(r) 1

13 Yδρογόνο: Γωνιακές ιδιοσυναρτήσεις Υ(θ,φ) 13

14 Άτομο υδρογόνου με ενέργεια και στροφορμή Ε, L, Lz είναι τελεστές που αντιμετίθονται με τη Χαμιλτονιανή, άρα τα αντίστοιχα φυσικά μεγέθη διατηρούνται, άρα οι αριθμοί n, l, ml χαρακτηρίζουν την κατάσταση του συστήματος είναι καλοί κβαντικοί αριθμοί L= l (l+1)ℏ, όπου l=0,1,..., n 1 Συμβολισμός καταστάσεων: ns, np, nd, nf,... Π.χ,p : n=, l=1 s :l=0 ; p :l=1 ; d :l= ; f :l=3,... Διαφορετικές καταστάσεις {n, l, ml } με ίδια ενέργεια: εκφυλισμένες καταστάσεις Κάτω όμως από κάποιες συνθήκες, μπορώ να αποκαλύψω ότι έχουμε διαφορετικές καταστάσεις; (και έτσι να διαπιστώσω ότι δεν είναι απλά μιά μαθηματική υπόθεση;) 14

15 Τροχ. Στροφορμή: διαχωρισμός εκφυλισμένων ενεργειακών σταθμών Η σε μαγνητικό πεδίο Ενέργεια λόγω αλληλεπίδρασης του ηλεκτρονίου (της τροχιακής μαγνητικής ροπής του, μ) με το μαγνητικό πεδίο Β: =B z B U = μ B Το ηλεκτρόνιο συμπεριφέρεται σαν μαγνήτης με διπολική μαγνητική ροπή: μ= q e L= L mec mec e ℏ l l 1 mec eℏ μ Μαγνητόνη του Bohr, μβ : Β mec μ= μ B l l 1 μ z= μ B m l μ=! Από τον προκαλούμενο διαχωρισμό των ενεργειακών επιπέδων, μπορούμε π.χ να μετρήσουμε το μαγνητικό πεδίο ενός αστεριού U=ml μ B Β 15

16 Η ανάδυση του σπιν: μια εσωτερική στροφορμή, ιδιοστροφορμή 16

17 Μαγνητική ροπή λόγω ιδιοστροφορμής (spin) και συνεισφορά στην ενέργεια όταν σε =B z μαγνητικό πεδίο B Στην προηγούμενη σελίδα είδαμε τη μαγνητική ροπή που έχει το ηλεκτρόνιο λόγω περιστροφής γύρω από τον πυρήνα (λόγω τροχιακής στροφορμής, l ). Το ηλεκτρόνιο έχει όμως και μια εσωτερική στροφορμή, μια ιδιοστροφορμή (= spin = σπίν) ανεξάρτητα από το αν κινείται ή όχι. Το σπίν είναι μια ιδιότητα του ηλεκτρονίου, όπως το φορτίο που έχει S= s s 1 ℏ, όπου : s=1/ S z =ms ℏ, όπου : ms = 1/, 1/ Λόγω του σπίν, το υδρογόνο έχει μια μαγνητική ροπή μs: q e S Το ηλεκτρόνιο είναι μ s=g e S =g e S = g e μ B στοιχειώδες ge= ℏ mec mec μβ eℏ mec μ s = g e μ B s s 1 μ s, z = g e μ B m s B Δυναμική ενέργεια λόγω σπιν: U s = μ s U s =± μ B Β, για m s= 1/ 17

18 Ολική στροφορμή (J) = τροχιακή (L) + σπίν (S) = το σπίν του συστήματος (π.χ., του ατόμου) Κάθε ιδιοκατάσταση της ενέργειας, στροφορμής κ' σπιν στο άτομο χαρακτηρίζεται από 5 κβαντικούς αριθμούς {n, l, s, ml, ms } Για κάθε συγκεκριμένο l, υπάρχουν (l + 1)*(s + 1) ανεξάρτητες καταστάσεις, Υlm Ολική στροφορμή J ενός σωματιδίου: άθροισμα τροχιακής στροφορμής και σπίν J = L + S, και J z= Lz +S z, όπου : J max z =l+s J και Jz μπορούν να έχουν ιδιοκαταστάσεις ίδιες με L και S, οπότε να χαρακτηρίζω μιά κατάσταση από τους κβαντικούς αριθμούς: {n, l, s, j, mj } J Y lm = j ( j +1) ℏ Y lm, όπου: j =l±1 / J z Y lm =m j ℏ Y lm, όπου : m j= j,..., 0,... j 18

19 Eνέργεια: εξάρτηση κι από τροχιακή στροφορμή κι από σπίν Κάθε ιδιοκατάσταση της ενέργειας, στροφορμής κ' σπιν στο άτομο χαρακτηρίζεται από κβαντικούς αριθμούς {n, l, s, j, mj } Ολική στροφορμή ατόμου: άθροισμα τροχιακής στροφορμής και σπίν Διπλή κίτρινη γραμμή του Νατρίου (θυμάστε στο εργαστήριο ατομικής;) Αποτέλεσμα της σύζευξης σπίν. τροχιάς (Spin-orbit coupling = L S coupling): σύζευξη του σπιν του ηλεκτρονίου με το μαγνητικό πεδίο που δημιουργεί το πρωτόνιο, το οποίο θεωρούμε σαν περιστρεφόμενο γύρω από το ηλεκτρόνιο, όταν βρίσκόμαστε πάνω στο ηλεκτρόνιο) Συμβολισμός καταστάσεων: ns J, np J, nd J, nf J,... Π.χ, p1 / : n=, l=1, j=1/ Ενέργεια σύνδεσης για Na (ev) π.χ, για s=1/: J = L+ S, j=l±1/ Για l=1 j=1±1/=3 / ή 1 / Νάτριο : Ενεργειακές στάθμες με n=3, l=0 (s) και l=1 (p) έχουν ~ ev διαφορά (κίτρινη γραμμή Na στο εργαστήριο ατομικής) 19

20 Ακόμα ένας κβαντικός αριθμός: Ομοτιμία (parity) Είδαμε ότι κάθε ιδιοκατάσταση της ενέργειας, στροφορμής και σπιν στο άτομο χαρακτηρίζεται από κβαντικούς αριθμούς {n, l, s, ml, ms }. Ο τρόπος που συμπεριφέρεται η αντίστοιχη κυματοσυνάρτηση σε αναστροφή του χώρου (που είναι το αποτέλεσμα της εφαρμογής του τελεστή της ομοτιμίας/partiy, P, πάνω της) μπορεί να ορίσει κι άλλον έναν κβαντικό αριθμό: την ομοτιμία ή parity P ψ r =ψ r =ψ r : άρτια συνάρτιση Parity = 1 P r = r P ψ r =ψ r = ψ r : περιττή συνάρτιση Parity= 1 Κι έτσι γράφουμε το σπίν και την ομοτιμία ως Jπ 3 π.χ., κατάσταση + r =R r Y θ, φ, Σημείωση: για κεντρικά δυναμικά, όπου ψ η πάριτυ της ψ οφείλεται μόνο στις σφαιρικές συναρτήσεις Yl m : r r : P Y θ, φ =Y π θ, π φ = 1 l Y θ, φ, οπότε : Parity= 1 l 0

21 1β. Αντίστοιχοι κβαντικοί αριθμοί ορίζονται και στο δέσμιο σύστημα που μας απασχολεί τους πυρήνες 1

22 Spin και πάριτυ ενός πυρήνα (J και πάριτυ: Jp) Σπιν πυρήνα, J = ολικό τροχιακό σπίν των νουκλεονίων + το άθροισμα των σπιν τους. S = J πυρήνα L L S νουκλεόνια νουκλεόνια νουκλεόνια Parity = +1 ή -1 Οπότε για κάθε πυρήνα δίνουμε σπιν (J) και parity (π): Jπ π.χ., +

23 1γ. Είδαμε ότι η ενέργεια ενός συστήματος εξαρτάται και από το σπιν του: ΟΚ. Ερώτηση: Η ομοτιμία / πάριτυ / parity επηρεάζει κάτι μετρήσιμο/παρατηρίσιμο; Βεβαίως και ναι. 3

24 Parity: η αναστροφή του χώρου και η Αρχή του Pauli (1) Όλα τα σωματίδια με ακέραιο σπιν (s=0, 1,, ) - τα αποκαλούμενα μποζόνια περιγράφονται από συμμετρικές κυματοσυναρτήσεις (Parity = +1), ενώ όλα τα σωματίδια με ημι-ακέραιο σπιν (s=1/, 3/, ) - τα αποκαλούμενα φερμιόνια περιγράφονται από αντισυμμετρικές κυματοσυναρτήσεις (Parity = -1) ως προς την εναλλαγή των μεταβλητών τους (=αναστροφή του χώρου) 4

25 Parity: η αναστροφή του χώρου και η Αρχή του Pauli () 5

26 Parity: η αναστροφή του χώρου και η Απαγορευτική Αρχή του Pauli Παρατηρίσιμο; Μα, έτσι ακριβώς εξηγούμε τη δομή των ατόμων!!! 6

27 . Για τα άτομα είδαμε ότι περιγράφουμε τις καταστάσεις τους με την εξίσωση Schroedinger και το δυναμικό Coulomb Για τους πυρήνες, τι δυναμικό να χρησιμοποιήσουμε; 7

28 Χαρακτηριστικά της πυρηνικής δύναμης Ελκτική Μικρής εμβέλεια Περίπου 1 fm, από σκεδάσεις σωματδίων α Δεν αισθάνεται κάθε νουκελόνιο όλα τα άλλα, αλλιώς η ενέρεια σύνδεσης θα αυξάνοταν με Α(Α-1). Όμως αυξάνεται με Α (θυμηθείτε: B/A ~ 8 MeV) Aνεξάρτητη του φορτίου γιατί ξέρουμε ότι έχουμε τέλεια συμφωνία μόνο με Coulomb στα ατομικά φαινόμενα Κορεσμένη και μάλιστα υπερνικάει τις απωστικές δυνάμεις Coulomb των πρωτονίων στους πυρήνες Η πυρηνική δύναμη είναι ίδια για τις αλληλεπιδράσεις pp, nn, np Σε πολύ μικρές αποστάσεις γίνει απώθητική (repulsive core) 8

29 Δυναμικά με τη σωστή συμπεριφορά Το δυναμικό, V (=δυναμική ενέργεια), δύο νουκλεονίων πρέπει να περιγράφει τις βασικές ιδιότητες του πυρήνα: κορεσμό, μικρή εμβέλεια V F= r Διαλλέγουμε ένα εύλογο δυναμικό V το χρησιμοποιούμε στην Χαμιλτονιανή και λύνουμε την εξίσωση Schroedinger για δύο νουκλεόνια προσαρμόζουμε τη λύση στα πειραματικά δεδομένα (υπολογίζουμε τις παραμέτρους της λύσης) Πειραματικά δεδομένα από σκεδάσεις pn και np (σκεδάσεις nn: δύσκολες πειραματικά) τη μελέτη των ιδιοτήτων του δευτερίου Δοκιμάζουμε διάφορα Δυναμικά: Στατικά Δυναμικά: Coulomb, Yukawa (διαφέρουν ως προς τη συνάρτηση) Αλληλεπιδράσεις Νουκλεονίου-Νουκλεονίου: Δυναμικό Παρισιού 9

30 Κεντρικά δυναμικά εξάρτηση μόνο από απόσταση, όχι διεύθυνση Πέφτει πολύ πιό γρήγορα από το απλό 1/r 30

31 Δυναμικό Yukawa Αλληλεπίδραση μεταξύ των νουκελονίων με την ανταλλαγή ενός σωματιδίου-διαδότη με σχετικά μεγάλη μάζα, m Πεπερασμένη ακτίνα δράσης Εκπομπή και απορρόφηση του σωματιδίου διαδότη με παραβίαση της ενέργειας που δεν μπορεί να διαρκέσει πάνω από ΔΕ Δt ℏ m c Δt ℏ Εμβέλεια=R=c Δt = ℏ mc Χρησιμοποιώντας την εμβέλεια (~1.4 fm) υπολογίζεις m ~ 140 MeV (~ μάζα πιονίου: οπότε αρχικά υποθέσαμε ότι ο διαδότης των πυρηνικών δυνάμεων μεταξύ νουκλεονίων ήταν το πιόνιο) 31

32 Όχι αρκετό βάθος για δέσμιο σύστημα Αλληλεπίδραση νουκελονίουνουκλεονίου δυναμικό Παρισιού Απωστικό κέντρο Δυναμικό = άθροισμα διαφόρων όρων: (S=0: αντισυμμετρικές) (S=1: συμμετρικές) Έχει αρκετό βάθος για δέσμιο σύστημα σύζευξη σπιν-σπίν (οι 3 παραπάνω με S=1 και το VSO) 3

33 Γιατί ο μικρότερος πυρήνας είναι το δευτέριο (πρωτόνιο-νετρόνιο) και όχι άλλος; Η βασική κατάσταση συστήματος δύο νουκλεονίων έχει l=0 μεταξύ των νουκελονίων: συμμετρική κυμματοσυνάρτηση ως προς την εναλλαγή των νουκελονίων (1 ή r -r). υτέριο ο δε Τ, 4. μα Γ η τ ρ ά Παρ Αν S=0, το μόνο δυναμικό είναι το κεντρικό VCO (Σχήμα προηγούμενη σελ.): δεν έχει αρκετό βάθος για δέσμιο σύστημα. Οπότε μένει η S=1 σαν επιλογή. Οι κυμματοσυναρτήσεις S=1 είναι συμμετρικές ως προς την εναλλαγή των νουκελονίων οπότε, ΔΕΝ γίνεται να έχουμε δύο ταυτόσημα φερμιόνια σ' αυτή την κατάσταση, δηλ, δεν γίνεται να έχουμε πρωτόνιο-πρωτόνιο ή νετρόνιο-νετρόνιο. κι έτσι μένει το πρωτόνιο-νετρόνιο μόνη επιλογή! 33

34 Παρένθεση: γιατί η S=1 είναι συμμετρική Παράρτημα Γ.4, Το δευτέριο ΟΛΕΣ οι καταστάσεις με το ίδιο S έχουν την ίδια συμμετρία ως προς την εναλλαγή 1. Π.χ., οι S=1 είναι ΌΛΕΣ συμμετρικές, αφου η S=1, Sz=+1> είναι συμμετρική 34

35 Δευτέριο (1) Πυρηνική Μαγνητόνη μν 35

36 Δευτέριο () Column 1 Column Column Row 1 Row Row 3 Row 4 36