Επιχειρησιακή Έρευνα Θεωρητική Θεμελίωση της Μεθόδου Simplex

Transcript

1 Επιχειρησιακή Έρευνα Θεωρητική Θεμελίωση της Μεθόδου Simplex Νίκος Τσάντας ιατμηματικό Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών Τμήμ. Μαθηματικών Μαθηματικά των Υπολογιστών και των Αποφάσεων Ακαδημαϊκό έτος Η μέθοδος Simplex Η μέθοδος Simplex (G. Dantzig, 1947) αποτελεί, μέχρι σήμερα, την πιο διαδεδομένη διαδικασία προσδιορισμού της βέλτιστης λύσης οποιουδήποτε π.γ.π. Υλοποιείται μέσω του ομώνυμου αλγορίθμου ο οποίος βασίζεται στο γεγονός ότι η βέλτιστη λύση του προβλήματος είναι κάποια από τις κορυφές του υπερπολυέδρου F πουορίζειτοσύνολοτωνεφικτώντουλύσεων. Ο αλγόριθμος Simplex πραγματώνει μια αλγεβρική διαδικασία ελέγχου στις κορυφές του F με τρόπο ώστε σε κάθε βήμα εκτέλεσής του να εντοπίζει μια κορυφή η οποία αντιστοιχεί σε καλύτερη λύση από την υπάρχουσα. Ύστερα από ένα πεπερασμένο αριθμό βημάτων, συνήθως μεταξύ m και 3m για ένα π.γ.π. με m περιορισμούς, η βέλτιστη λύση εντοπίζεται ή αποδεικνύεται ότι δεν υπάρχει λύση. Στην επιστήμη των μαθηματικών με τον όρο simplex Ο αλγόριθμος Simplex έχει εκθετική πολυπλοκότητα. Υπάρχουν πολυωνυμικοί αλγόριθμοι όπως ο ελλειψοειδής αλγόριθμος του L. Khachian (1979) ο αλγόριθμος εσωτερικών σημείων του N. Karmarkar (1984). Η ΜΕΘΟΔΟΣ SIMPLEX 1/11

2 Η τυποποιημένη μορφή του π.γ.π. Ένα π.γ.π. είναι σε τυποποιημένη μορφή (standard form) όταν (i) είναι πρόβλημα μεγιστοποίησης, (ii) όλοι οι περιορισμοί είναι εξισώσεις με μη αρνητικούς τους σταθερούς όρους και (iii) όλες οι μεταβλητές είναι μη αρνητικές. Από τη γενική μορφή του γραμμικού μοντέλου μπορούμε πάντοτε, με τη βοήθεια στοιχειωδών μετασχηματισμών, να μεταβούμε στην τυποποιημένη Ελαχιστοποίηση. Αρνητικός σταθερός όρος. Περιορισμός κάτω φράγματος. Περιορισμός πρόσημου. Ανισοεξισώσεις στους περιορισμούς περιθώριες μεταβλητές (χαλαρή μεταβλητή, μεταβλητές πλεονασμού). Η ΜΕΘΟΔΟΣ SIMPLEX 2/11

3 Βασική λύση π.γ.π. Η ΜΕΘΟΔΟΣ SIMPLEX 3/11

4 Περί των βασικών λύσεων Ο αριθμός των βασικών λύσεων ενός π.γ.π. (σε τυποποιημένη μορφή) είναι πεπερασμένος. Κορυφή Η έννοια της «κορυφής» εισάγεται στο γραμμικό προγραμματισμό μέσω των κυρτών συνόλων. Κορυφή (ή ακρότατο σημείο) ενός κυρτού συνόλου S είναι κάθε σημείο x S για το οποίο δεν υπάρχουν x 1, x 2 S με x 1 x 2 τέτοια ώστε x = λx 1 + (1 λ)x 2, 0 < λ < 1. Το σύνολο των εφικτών λύσεων F ενός π.γ.π. σε τυποποιημένη μορφή είναι κυρτό. Η ΜΕΘΟΔΟΣ SIMPLEX 4/11

5 ΗεφικτήπεριοχήF ενός π.γ.π. με δύο μεταβλητές είναι ένα κυρτό πολύγωνο τα σημεία του οποίου επαληθεύουν ταυτόχρονα όλους τους περιορισμούς. Το σημείο της εφικτής περιοχής που είναι τομή δύο εκ των περιοριστικών ευθειών του προβλήματος ονομάζεται κορυφή. Δύοκορυφέςμεκοινήτημίαεκτωνδύοπεριοριστικών ευθειών που τις ορίζουν ονομάζονται γειτονικές, αλλιώς καλούνται μη γειτονικές. Δύο κορυφές που έχουν χαρακτηριστεί ως γειτονικές, συνδέονται μεταξύ τους μ ένα ευθύγραμμο τμήμα, την ακμή. Ανάλογα, σ ένα π.γ.π. με n μεταβλητές, η εφικτή περιοχή είναι ένα κυρτό υπερπολύεδρο ενώ οι περιορισμοί υπερεπίπεδα. Σ αυτή την περίπτωση, η κορυφή ορίζεται ως η τομή n (γραμμικά ανεξάρτητων) εκ των ανωτέρω υπερεπιπέδων. Η ακμή προκύπτει ως το ευθύγραμμο τμήμα που ορίζει η τομή n-1 (γραμμικά ανεξάρτητων) υπερεπιπέδων με τα άκρα της να είναι κορυφές του υπερπολύεδρου (βρίσκονται δηλαδή σε κάποιο άλλο υπερεπίπεδο). Δύο κορυφές χαρακτηρίζονται ως γειτονικές όταν το ευθύγραμμο τμήμα που τις ενώνει είναι ακμή. Από κάθε κορυφή ξεκινούν n ακμές οι οποίες καταλήγουν σε ισάριθμες γειτονικές κορυφές. Υπάρχει μια αμφιμονοσήμαντη απεικόνιση μεταξύ των βασικών εφικτών λύσεων ενός π.γ.π. και των κορυφών του κυρτού πολυέδρου που ορίζεται από το σύνολο των εφικτών του λύσεων F = {x: Ax = b, x 0}. Η ΜΕΘΟΔΟΣ SIMPLEX 5/11

6 Η ΜΕΘΟΔΟΣ SIMPLEX 6/11

7 Γραφικός προσδιορισμός βασικών και μη βασικών συνιστωσών της κάθε κορυφής κοιτάξτε τις περιθώριες μεταβλητές των αντίστοιχων περιορισμών. Η διαδικασία βελτιστοποίησης Στην απόδειξη της διαδικασίας βελτιστοποίησης υπεισέρχονται τρία άμεσα συσχετιζόμενα θεωρήματα Αρχικά αποδεικνύεται ότι η εφικτή περιοχή ενός π.γ.π. (: σύνολο των εφικτών λύσεων) είναι ένα κυρτ με πεπερασμένο αριθμό κορυφών, και στη συνέχεια ότι ηβέλτιστηλύσητουείναιμίακορυφήτης εφικτής περιοχής. Τέλος, δίνεται η ισοδυναμία της αλγεβρικής έννοιας βασική εφικτή λύση με τη γεωμετρική έννοια κορυφή της εφικτής περιοχής. Κατά συνέπεια, η βέλτιστηλύσηενόςπ.γ.π. μπορεί να βρεθεί ύστερα από απαρίθμηση όλων των κορυφών (βασικών εφικτών λύσεων), πλήθους το πολύ με ταυτόχρονο έλεγχο της τιμής που δίνουν στην αντικειμενική συνάρτηση. Όμως, ακόμη και για μικρά π.γ.π. ο ανωτέρω αριθμός είναι ιδιαίτερα μεγάλος. Π.χ. ένα π.γ.π. (στην τυποποιημένη μορφή) με n = 20 μεταβλητές και m = 10 περιορισμούς μπορεί να έχει μέχρι και 184,756 βασικές εφικτές λύσεις. Η μέθοδος Simplex αποτελεί μια βελτίωση της παραπάνω ιδέας: ο έλεγχος των κορυφών γίνεται σε τρόπο ώστε σε κάθε βήμα εκτέλεσής της να εντοπίζεται μια κορυφή η οποία αντιστοιχεί σε καλύτερη λύση (μεγαλύτερη τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης) από την υπάρχουσα. Με τον τρόπο αυτό ελέγχονται πολύ λιγότερες κορυφές μέχρι τον εντοπισμό της βέλτιστης λύσης-κορυφής. n, m Η ΜΕΘΟΔΟΣ SIMPLEX 7/11

8 Έστω F = {x: Ax = b, x 0} το σύνολο των εφικτών λύσεων ενός π.γ.π. σε τυποποιημένη μορφή. Ένα μη μηδενικό διάνυσμα d αποτελεί μια εφικτή κατεύθυνση για κάποιο σημείο x 0 του F εάν υπάρχει ε > 0 τέτοιο ώστε τα σημεία (ακτίνα) x 0 + cd F c [0, ε]. Στην περίπτωση που για οποιοδήποτε x 0 F, η ακτίναx 0 + cd F c 0, η εφικτήπεριοχή είναι μη φραγμένη και το d ονομάζεται μια χωρίς φραγή κατεύθυνση. Ένα μη μηδενικό διάνυσμα d αποτελεί μια χωρίς φραγή κατεύθυνση εάν και μόνον εάν Πρόκειται για αναγκαία και ικανή συνθήκη. Αd = 0, d 0. Έστω η εφικτή περιοχή F = {(x 1, x 2 ) -4x 1 + 2x 2 4, 2x 1 6, -2x 1 + 2x 2 6, x 1 0, x 2 0}. Η ΜΕΘΟΔΟΣ SIMPLEX 8/11

9 A = F = {(x 1, x 2 ) -4x 1 + 2x 2 4, 2x 1 6, -2x 1 + 2x 2 6, x 1 0, x 2 0}. b = Έστω το εσωτερικό σημείο Κ(2, 1) Διερευνούμε το διάνυσμα d(1, 1) ως εφικτή κατεύθυνση στο Κ Το Κ αντιστοιχεί στο σημείο x = (2, 1, 10, 2, 8) Ανάλογα η κατεύθυνση d μετασχηματίζεται στην d p d A = p = 0 1 p p 2 0 οπότε p 1 = 2, p 2 = -2 και p 3 = 0. p 3 για c = 1 είναι x 4 = 0, δηλ. το x + d είναι το Η(3, 2) το x - d είναι το Θ(1, 0). Έστω η εφικτή περιοχή F = {(x 1, x 2 ) -4x 1 + 2x 2 4, -2x 1 + 2x 2 3, x 1 0, x 2 0}. μη φραγμένη εφικτή περιοχή d χωρίς φραγή κατεύθυνση ( c 0 το σημείο x + cd F) Η ΜΕΘΟΔΟΣ SIMPLEX 9/11

10 REPRESENTATION THEOREM Κάθε σημείο της εφικτής περιοχής F = {x: Ax = b, x 0} οποιουδήποτε π.γ.π. μπορεί να εκφραστείωςάθροισμαμιαςχωρίςφραγήςκατεύθυνσηςd (εάν υπάρχει) και ενός κυρτού συνδυασμού των κορυφών του: = + i= k λ 1 i i x d u όπου U = { u1, u2, uk} το σύνολο των κορυφών της F και k λi = 1, λi 0 i = 1 k λ 1 i i x d u = + i= 1 1 x = u1 + u u = u + u u = 2 u + 1 u x= u + u + u Η ΜΕΘΟΔΟΣ SIMPLEX 10/11

11 = + i= k λ 1 i i x d u F = {(x 1, x 2 ) -4x 1 + 2x 2 4, -2x 1 + 2x 2 6, x 1 0, x 2 0}. τώρα το Κ αντιστοιχεί στο σημείο x = (2, 1, 10, 8) d(1, 1) χωρίς φραγή κατεύθυνση ( c 0 το σημείο x + cd F), ενώ (d, p) = (1, 1, 2, 0) Στη συνέχεια, η μελέτη του γραμμικού μοντέλου μετατοπίζεται από τους περιορισμούς στην αντικειμενική συνάρτηση. Στο επόμενο θεώρημα αποδεικνύεται ότι, αν υπάρχει βέλτιστη λύση, αυτή είναι μία από τις βασικές εφικτές λύσεις (ή ισοδύναμα μία εκ των κορυφών της εφικτής περιοχής ). Έστω το π.γ.π. σε τυποποιημένη μορφή: max c x όταν Ax=b, x 0. Αν το πρόβλημα έχει πεπερασμένη βέλτιστη λύση, τότε έχει μία βέλτιστη βασική εφικτή λύση. Η ΜΕΘΟΔΟΣ SIMPLEX 11/11