Γραμμικός Προγραμματισμός και θεωρία Παιγνίων
|
|
- Ἐπίκτητος Αλεξανδρίδης
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Σε αυτό το κεφάλαιο θα χρησιμοποιήσουμε πίνακες οι οποίοι δεν θα είναι γραμμικές εξισώσεις. Θα πρέπει λοιπόν να δούμε την γεωμετρική ερμηνεία των ανισώσεων. Μια ανίσωση διαιρεί τον n-διάστατο χώρο σε δύο ημιχώρους, έναν στον οποίο ικανοποιείται η ανίσωση και έναν στον οποίο δεν ικανοποιείται. Για παράδειγμα η ανίσωση x+2y 4. Το σύνορο των δύο ημιχώρων είναι η ευθεία 2x+y=4:Πάνω από την ευθεία ικανοποιείται, κάτω παραβιάζεται. 1
2 Το ίδιο θα συνέβαινε και στον χώρο για την x+2y+z 4, μόνο που το όριο θα είναι ένα επίπεδο (γενικός ορισμός για το όριο n-1 διαστάσεων). Ένας θεμελιώδης περιορισμός είναι και το γεγονός ότι τα x, y πρέπει να είναι πάντα μη αρνητικά. Οπότε εισάγουμε ακόμη δύο ημιχώρους, δηλαδή x 0 & y 0. Προφανώς αυτό που ενδιαφέρει είναι η συναλήθευση και των τριών ανισοτήτων (βλ. Σχήμα που περικλείεται μέσα στις έντονες γραμμές) 2
3 Ο χώρος που περικλείεται σε αυτές τις γραμμές είναι απλά αυτό που στον γραμμικό προγραμματισμό ονομάζεται εφικτό σύνολο. Όπως γίνεται εύκολα κατανοητό αποτελεί το σύνολο των λύσεων όλων των ανισώσεων. Το σύστημα Ax=B με m εξισώσεις και n αγνώστους περιγράφει την τομή m επιπέδων ένα για κάθε εξίσωση (όταν m=n τότε η λύση είναι x=a -1 B). Κατ' αναλογία η τομή m ανισώσεων Ax B περιγράφει την τομή m ημιχώρων. Αν θέσουμε και x 0, τότε προσθέτουμε άλλους n ημιχώρους. Γενικά αυξάνοντας τους περιορισμούς τόσο περιορίζουμε το εφικτό σύνολο. 3
4 Βέβαια θα πρέπει να τονίσουμε ότι μας ενδιαφέρει όχι όλο το σύνολο των εφικτών σημείων, αλλά ένα ειδικό σημείο του που ελαχιστοποιεί ή μεγιστοποιεί μια ορισμένη συνάρτηση κόστους. Στο προηγούμενο παράδειγμα προσθέτουμε τη συνάρτηση κόστους (ή αντικειμενική συνάρτηση) 2x+3y. Το πρόβλημα πλέον γίνεται: Να βρείτε το σημείο x,y που περιέχεται στο εφικτό σύνολο και ελαχιστοποιεί το κόστος. 4
5 Η γεωμετρική ερμηνεία του προβλήματος φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Η οικογένεια κόστους 2x+3y ορίζει ένα σύνολο από παράλληλες ευθείες και θέλουμε να βρούμε το ελάχιστο κόστος δηλαδή την πρώτη ευθεία που τέμνει το εφικτό σύνολο. Μία τέτοια λύση είναι το σημείο Β όπου (x*, y*)=(0,2) και το ελάχιστο κόστος είναι το 6. Αυτά τα βέλτιστα (αυτά που ελαχιστοποιούν τη συνάρτηση) θα τα συμβολίζουμε με αστερίσκο (*). 5
6 Παρατηρείτε ότι το βέλτιστο διάνυσμα βρίσκεται σε μια κορυφή του εφικτού συνόλου. Αυτό εξασφαλίζεται από τη γεωμετρία, διότι οι ευθείες που δίνουν τη συνάρτηση κόστους (ή τα επίπεδα για περισσότερες μεταβλητές) μετακινούνται συνεχώς προς τα πάνω μέχρι να τμήσουν το εφικτό σύνολο. Άρα η πρώτη επαφή πρέπει να συμβεί κατά μήκος του συνόρου. Η μέθοδος simplex παραμένει σε αυτό το σύνορο, μεταβαίνοντας από την μια κορυφή στην άλλη μέχρι να βρεί αυτή με το μικρότερο κόστος. Αντίθετα η μέθοδος του Karmarkar προσεγγίζει τη βέλτιστη λύση από το εσωτερικό του εφικτού συνόλου. 6
7 Σημείωση: Για μια διαφορετική συνάρτηση κόστους, η τομή μπορεί να μην είναι ένα μεμονωμένο σημείο: Αν πχ το κόστος ήταν x+2y, τότε όλη η ακμή ΑΒ θα έτεμνε ταυτόχρονα το εφικτό σύνολο και θα υπήρχε μια απειρία βέλτιστων διανυσμάτων. Βέβαι η τιμή θα ήταν μοναδική (x*+2y*=4). Αντίθετα το πρόβλημα μεγιστοποίησης δε θα έχει λύση. Τότε θα μπορούσαμε να αντιστρέφαμε το κόστος σε -x-2y και να ζητάμε την ελαχιστοποιήση. Τότε το ελάχιστο είναι το -. Γενικά κάθε πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού ανήκει σε μια από τις κατηγορίες: α) Το εφικτό σύνολο είναι κενό β) Η συνάρτηση κόστους είναι μη φραγμένη στο εφικτό σύνολο γ) Το κόστος έχει ένα ελάχιστο (ή μέγιστο) στο εφικτό σύνολο. Οι (α) και (β) δεν έχουν θέση (λογικά...) σε ένα οικονομικό ή τεχνικό πρόβλημα. 7
8 Υπάρχει ένας τρόπος μετατροπής του ανισοτικού περιορισμού σε εξίσωση, εισάγοντας τη χαλαρή μεταβλητή w=x+2y-4. Οπότε ο περιορισμός x+2y 4 μετατρέπεται στον w 0. Έτσι θα ξεκινήσουμε την μέθοδο simplex χρησιμοποιώντας μια βοηθητική μεταβλητή για κάθε ανίσωση, ώστε να έχουμε μόνο εξισώσεις και απλούς περιορισμούς μη αρνητικότητας. Το βασικό πρόβλημα του γραμμικού προγραμματισμού γίνεται: Ελαχιστοποίηση της cx, υπό τους περιορισμούς Ax=b και x 0. Το διάνυσμα-γραμμή c περιέχει το κάθε κόστος (πχ [2 3]). Ο άγνωστος x περιέχει τις αρχικές μεταβλητές καθώς και τις οποιεσδήποτε χαλαρές μεταβλητές. Η συνθήκη x 0 μεταφέρει το πρόβλημα στη μη αρνητική γωνία του n-διάστατου χώρου. 8
9 Ας επιστρέψουμε στο αρχικό πρόβλημα, με κόστος 2x+3y και ας το διατυπώσουμε με λόγια. Αυτό είναι το παράδειγμα του προβλήματος διαίτης στον γραμμικό προγραμματισμό ( με δύο πηγές πρωτεϊνης, λ.χ.φιλέτο και φυστικοβούτυρο. Κάθε κιλό φυστικοβούτυρου δίνει μια μονάδα πρωτεϊνης, κάθε κιλό φιλέτου δίνει δύο μονάδες, ενώ για την διαίτα απαιτούνται τουλάχιστο τέσσερεις. Συνεπώς μια διαίτα που περιέχει x Kg φυστικοβούτυρου και y Kg φιλέτου περιορίζεται από την x+2y 4, καθώς και τις x 0 και y 0. Αυτό είναι το εφικτό σύνολο και το πρόβλημα είναι να μειώσουμε το κόστος. Έαν ένα κιλό φυστικοβούτυρου κοστίζει 2 $ και ένα κιλό φιλέτο κοστίζει 3$, τότε το συνολικό κόστος είναι 2x+3y. Ευτυχώς η βέλτιστη δίαιτα είναι μόνο φιλέτο (θυμηθείτε: [x*,y*]=[0,2]. 9
10 Κάθε γραμμικό πρόβλημα έχει ένα δυικό. Εάν το αρχικό είναι ελαχιστοποίησης, τότε το δυικό είναι μεγιστοποίησης. Αντίστοιχα το ελάχιστο του αρχικού είναι το μέγιστο του δυικού. Ας το εξηγήσουμε: Αντί για αγοραστή, που διαλέγει μεταξύ x & y, ώστε να πάρει πρωτεϊνη με ελάχιστο κόστος, το δυικό πρόβλημα αντιμετωπίζεται από τον έμπορο, ο οποίος πουλά συνθετική πρωτεϊνη και συναγωνίζεται τα x, y. Άρα αυτός θέλει να μεγιστοποιήσει την τιμή p, η οποία υπόκειται σε γραμμικούς περιορισμούς. Η συνθετική πρωτεϊνη δεν πρέπει να κοστίζει περισσότερο από τα x, y, ενώ είναι προφανές ότι δεν μπορεί να έχει αρνητική τιμή. Αφού η δίαιτα απαιτεί 4 μονάδες πρωτεϊνης τότε ο έμπορος θα εισπράτει 4p, και το δυικό πρόβλημα είναι: Να μεγιστοποιηθεί το 4p υπό τους περιορισμούς p 2 & 2p 3 & p 0. Στο συγκεκριμένο παράδειγμα το δυϊκό έχει έναν μόνο άγνωστο και λύνεται πιο εύκολα από το αρχικό. Επειδή 2p 3 p=1.5$ και η μέγιστη είσπραξη είναι 6 $. Το ίδιο ποσό ήταν το κόστος του αρχικού προβλήματος. Αυτό, λοιπόν, είναι το νόημα του θεωρήματος του δυϊσμού: Το ελάχιστο ισούται με το μέγιστο. 10
11 Τυπικές εφαρμογές 1) Σχεδιασμός παραγωγής: Υποθέστε ότι η GM κερδίζει 100 $ για κάθε Chevrolet, 200 $ για κάθε Buick και 400 $ για κάθε Cadillac. Τα αυτοκίνητα καταναλώνουν ένα λίτρο βενζίνης σε 20, 17 και 14 μίλια, ενώ το η αρμόδια επιτροπή επιμένει ότι η μέση απόδοση πρέπει να είναι 18. Το εργοστάσιο μπορεί να συναρμολογήσει μια Chev/min, B/2min και Cadil/3min. Ποιό είναι το μέγιστο κέρδος σε μια ημέρα 8 ωρών; Το πρόβλημα ελαχιστοποιήστε το 100x+200y+400z υπό τους περιορισμούς 20x+17y+14z 18(x+y+z), x+2y+3z 480, και x,y,z 0 2) Κατανομή επενδύσεων: Έστω ότι διατίθενται μετοχές τριών τύπων α)κρατικές με τόκο 5% κατηγορίας Α, δημοτικές με τόκο 6% κατηγορίας Β, και μιας εταιρείας ουρανίου με τόκο 9%, κατηγορίας Γ. Μπορούμε να αγοράσουμε ποσά x, y, και z που δεν ξεπερνούν το σύνολο των $. Το πρόβλημα είναι η μεγιστοποίηση των τόκων, υπό τους περιορισμούς (i) για ουράνιο δεν επιτρέπεται να επενδυθούν περισσότερα από $ (ii) η μέση κατηγορία της κατανομής πρέπει να είναι τουλάχιστον Β. Το πρόβλημα Ελαχιστοποιήστε την 5x+6y+9z υπό τους περιορισμούς x+y+z , z , z x και x,y,z 0 11
12 Θα μελετήσουμε το πρόβλημα για n μεταβλητές και m περιορισμούς. Στην προηγούμενη παράγραφο είχαμε n=2 και m=1. Στην γενικότερη περίπτωση η λύση είναι σχετικά πιο δύσκολη και για αυτό θα χρησιμοποιήσουμε πίνακες: α) Ένας πίνακας A mxn β) ένα διάνυσμα στήλη b με m συνιστώσες γ) ένα διάνυσμα γραμμή c με n συνιστώσες. Για να είναι το διάνυσμα x εφικτό πρέπει να ικανοποιεί τις x 0 & Ax b. Η βέλτιστη λύση είναι το εφικτό διάνυσμα ελαχίστου κόστους, όπου το κόστος είναι cx=c 1 x 1 +c 2 x c n x n Πρόβλημα ελαχιστοποίησης: Ελαχιστοποιήστε την cx υπό τους περιορισμούςx 0 & Ax b. Η πρώτη συνθήκη περιορίζει το διάνυσμα στο θετικό μέρος του n-διάστατου χώρου (δλδ ¼ του R 2, 1/8 του R 3 ). Ένα τυχαίο διάνυσμα έχει 2 n πιθανότητες να μην είναι αρνητικό. Οι υπόλοιποι m περιορισμοί ορίζουν m πρόσθετους ημιχώρουςκαιτα εφικτά διανύσματα ικανοποιούν τους m+n περιορισμούς γιατί ισχύει για αυτά: x 0 & Ax. Το εφικτό σύνολο είναι η τομή τους. 12
13 Η συνάρτηση κόστους cx εισάγει στο πρόβλημα μια ολόκληρη οικογένεια παράλληλων επιπέδων, από αυτά το μόνο που διέρχεται από την αρχή είναι το cx=0. Όταν το x ικανοποιεί αυτή την εξίσωση είναι διάνυσμα μηδενικού κόστους. Για όλα τα άλλα πέρνουμε όλες τις δυνατές τιμές κόστους. Καθώς μεταβάλλεται το κόστος τα επίπεδα σαρώνουν τον n-διάστατο χώρο και όταν συναντήσουν το εφικτό σύνολο τότε βρίσκουμε το βέλτιστο διάνυσμα x*. Πώς υπολογίζουμε το x*;θα μπορούσαμε να βρούμε όλες τις κορυφές και στη συνέχεια το κόστος κάθε μιας. Πρακτικά αυτό είναι αδύνατο σε προβλήματα πολλών διαστάσεων. Για τον λόγο χρησιμοποιούμε την μέθοδο simplex, μια μέθοδος που προτάθηκε από τον Dantzig. 13
14 Το πρώτο βήμα της μεθόδου εντοπίζει μια κορυφή του εφικτού συνόλου. Αυτή είναι η φάση I που υποθέτουμε ότι έχει ολοκληρωθεί. Στο κύριο μέρος της μεθόδου έχουμε επίσκεψη από κορυφή σε κορυφή κατά μήκος των ακμών του εφικτού συνόλου. Από κάθε τυπική κορυφή μπορούμε να διαλέξουμε n ακμές, κάποιες απομακρύνουν από την βέλτιστη και κάποιες οδηγούν βαθμιαία σε αυτήν. Ο Dantzig διάλεξε την πορεία που με βεβαιότητα μείωνε το κόστος. Πηγαίνουμε συνεχώς σε κορυφή μικρότερου κόστους χωρίς πιθανότητα να πάμε σε κάτι δαπανηρότερο. Τελικά φτάνουμε σε μια κορυφή από όπου όλες οι άλλες ακμές οδηγούν σε υψηλότερο κόστος. Στην κορυφή αυτή είναι το βέλτιστο διάνυσμα x*. Το ζήτημα είναι πως γίνεται αυτό γραμμική άλγεβρα. Πρώτα πρέπει να ορίσουμε τις λέξεις κορυφή και ακμή σε n διαστάσεις. Κορυφή είναι το σημείο τομής n διαφορετικών επιπέδων, καθένα από τα οποία περιγράφεται από μια εξίσωση (π.χ πάτωμα και δύο πλευρικοί τοίχοι). Θυμηθείτε ότι έχουμε m ανισώσεις Ax b και n ανισώσεις x 0. Μια κορυφή σχηματίζεται από επίλυση n ανισώσεων και προσδιορισμό της τομής τους. Μια λύση είναι x 1 =0, x 2 =0,..., x n =0 από ειδική επιλογή των ανισώσεων. 14
15 Γενικά υπάρχουν (n+m)!/(n!m!) δυνατές δομές εξαιτίας του αριθμού των δυνατών επιλογών n επιπέδων από n+m υποψήφια. Όσον αφορά στην ακμή: Υποθέστε ότι παραλείπουμε ένα από τα n τεμνόμενα επίπεδα, οπότε μένουν n-1 εξισώσεις και 1 βαθμός ελευθερίας. Τα σημεία που ικανοποιούν αυτές τις εξισώσεις αποτελούν μια ακμή, που περνάει από την εν λόγω κορυφή. Θα πρέπει να παραμείνουμε στο εφικτό σύνολο, δίχως δυνατότητα επιλογής κατευθύνσεως επί της ακμής (πάντα προς το μικρότερο κόστος). Μπορούμε όμως να διαλέξουμε ανάμεσα σε n διαφορετικές ακμές, κάτι που ορίζεται από τη Φάση ΙΙ. Για να περιγράψουμε αυτή τη φάση, ξαναγράφουμε την Ax b, κατά τρόπο τελείως ανάλογο των n απλών περιορισμών x 1 0, x 2 0,...x n 0. Να που χρειάζονται οι χαλαρές μεταβλητές: w=ax-b, οπότε και w 1 0, w 2 0,...w n 0 για κάθε γραμμή του Α. Και η εξίσωση w=ax-b ή Ax-w=b γράφεται στην μορφή: 15
16 Το εφικτό σύνολο καθορίζεται από τις m αυτές εξισώσεις καθώς και τις n+m απλές ανισότητες x, w 0 και τώρα έχουμε περιορισμούς με ισότητες και μη αρνητικότητα. Για να ολοκληρώσουμε τις αλλαγές, θέλουμε να εξαλείψουμε τις όποιες διαφορές μεταξύ του αρχικού x και του w. Η μέθοδος simplex δεν βλέπει διαφορά και θα ήταν άσκοπο να συνεχίσουμε με τους συμβολισμούς Έτσι συμβολίζουμε τον μεγάλο πίνακα Α και το διάνυσμα με τις περισσότερες μεταβλητές ως x, οπότε οι περιορισμοί γράφονται στην μορφή Ax=b και οι n+m απλές ανισότητες γράφονται x 0 (στην οικονομία και στην μηχανική μπορούμε να ξεκινάμε από ισότητες). Το αρχικό διάνυσμα κόστους c χρειάζεται επέκταση με m συνιστώσες που είναι μηδέν. Οπότε το cx είναι το ίδιο. Τα μόνα ίχνη που αφήνει η w είναι οι διαστάσεις m x (m+n) του νέου Α και οι m+n συντεταγμένες του x. Το πρόβλημα τώρα είναι: Ελαχιστοποιήστε το cx υπό τους περιορισμούς x 0, Ax=b. 16
17 Παράδειγμα: Στο πρόβλημα με περιορισμούς x+2y 6, 2x+y 6 και το κόστος x+y (βλ. Σχήμα) το νέο σύστημα έχει: 17
18 Παράδειγμα: Ξεκινώντας την μέθοδο simplex λέμε ότι η Φάση Ι έχει προσδιορίσει μια κορυφή του εφικτού συνόλου και n από τις αρχικές ανισώσεις μετατρέπονται σε εξισώσεις. Η κορυφή είναι ένα σημείο, στο οποίο n συνιστώσες του νέου x (δλδ το παλιό x+w) είναι μηδέν. Στην Ax=b αυτές παίζουν τον ρόλο ελευθέρων μεταβλητών ενώ οι απομένουσες m μεταβλητές είναι οι βασικές μεταβλητές. Εξισώνοντας τις n μεταβλητές με μηδέν, προσδιορίζουμε τις τιμές m βασικών μεταβλητών από τις m εξισώσεις Ax=b. Για το παραπάνω σχήμα το σημείο P βρίσκεται στην τομή ης x=0 & 2x+y-6=0.Δύο συνιστώσες του x είναι μηδέν και δύο συνιστώσες του είναι ίσες με 6. Έτσι το x είναι και βασικό και εφικτό. 18
19 Πρέπει όμως να πάρουμε μια απόφαση: προς ποια κορυφή να προχωρήσουμε; Βρήκαμε μια κορυφή όπου m=2 συνιστώσες του x είναι θετικές και οι υπόλοιπες μηδέν, και θέλουμε να προχωρήσουμε κατά μήκος μιας ακμής σε μια γειτονική κορυφή. Το γεγονός ότι είναι γειτονικές, σημαίνει ότι από τις m βασικές παραμένουν βασικές μόνο οι m-1 και γίνεται ελεύθερη (δλδ μηδέν) μόνο μία. Ταυτόχρονα μια από τις μεταβλητές που ήταν ελεύθερη γίνεται βασική, η τιμή της ανεβαίνει πάνω από το μηδέν, ενώ οι m-1 μεταβάλλονται (πάντα όμως >0). Η ουσιαστική απόφαση αφορά στο πια μεταβλητή πρέπει να αφαιρεθεί από τη βάση και ποια να προστεθεί. 19
20 Παράδειγμα μια εισερχόμενης και μιας απερχόμενης μεταβλητής: Ελαχιστοποιείστε την 7x 3 -x 4-3x 5 υπό τους περιορισμούς x 1 +x 3 +6x 4 +2x 5 =8 και x 2 ++x 3 +3x 5 =9. Ξεκινάμε από την κορυφή x 1 =8 καιx 2 =9 (βασικές μεταβλητές) και όλα τα άλλα x i =0 (i=3,4,5). Οι περιορισμοί ικανοποιούνται, αλλά το κόστος μπορεί να μην ελαχιστοποιείται. Πράγματι, η συνάρτηση κόστους καθορίζει ποια ελεύθερη μεταβλητή πρέπει να εισαχθεί στην βάση. Θα ήταν παράλογο να κάνουμε το x 3 θετικό, όταν ο συντελεστής του είναι Λογικές φαίνονται οι x 4 και x 5 και διαλέγουμε την δεύτερη (γιατί έχει πιο αρνητικό συντελεστή). Έτσι η εισερχόμενη μεταβλητή είναι η x 5. Για να εισέλθει αυτή θα πρέπει να φύγει μία από τις x 1 ή x 2. Στην πρώτη εξίσωση αυξάνουμε το x 5 και ελαττώνουμε το x 1 διατηρώντας x 1 +x 5 =8. Όταν το x 5 φτάσει το 4 τότε το x 1 θα γίνει μηδέν. Στη δεύτερη εξίσωση κρατάμε σταθερό το x 2 +3x 5 =9 και το x 5 μπορεί να φτάσει το 3 τότε το x 2 θα γίνει μηδέν. Αυτό εντοπίζει τη νέα κορυφή στο x 5 =3 και x 3 =0 και από την πρώτη παίρνουμε x 1 =2. Η απερχόμενη μεταβλητή είναι η x 2 και το κόστος μειώνεται στο
21 Παράδειγμα μια εισερχόμενης και μιας απερχόμενης μεταβλητής: Ελαχιστοποιείστε την 7x 3 -x 4-3x 5 υπό τους περιορισμούς x 1 +x 3 +6x 4 +2x 5 =8 και x 2 ++x 3 +3x 5 =9. Από αυτό το βήμα προκύπτει x 1 =2, x 2 =x 3 =x 4 =0, x 5 =3. Το επόμενο βήμα όμως θα ήταν εύκολο, μόνο να οι εξισώσεις συνεχίσουν να έχουν βολική μορφή. Για τον λόγο αυτό οδηγούμε την 2η ως προς την x 5 και αντικαθιστώντας το αποτέλεσμα στη συνάρτηση κόστους και την 1η εξίσωση είναι: 3x 5 =9-x 2 -x 3. Έτσι Ελαχιστοποίηση της 7x 3 -x 4 -(9-x 2 -x 3 ) υπό τους περιορισμούς x 1 -(2/3)x 2 -(1/3)x 3 +6x 4 =2 και (1/3)x 2 +(1/3)x 3 +x 5 =3. Το επόμενο βήμα είναι εύκολο. Ο μοναδικός αρνητικός συντελεστής στο κόστος σημαίνει ότι το x 4 πρέπει να είναι η εισερχόμενη μεταβλητή. Τα πηλία 2/6 και 3/0 δείχνουν ότι το x 1 πρέπει να είναι η απερχόμενη μεταβλητή. Η νέα κορυφή x 2 =x 3 =x 1 =0, x 4 =1/3, x 5 =3 και το νέο κόστος είναι που είναι βέλτιστο. 21
Γραμμικός Προγραμματισμός και θεωρία Παιγνίων
Σε αυτό το κεφάλαιο θα χρησιμοποιήσουμε πίνακες οι οποίοι δεν θα είναι γραμμικές εξισώσεις. Θα πρέπει λοιπόν να δούμε την γεωμετρική ερμηνεία των ανισώσεων. Μια ανίσωση διαιρεί τον n-διάστατο χώρο σε δύο
Διαβάστε περισσότεραΣυνδυαστική Βελτιστοποίηση Εισαγωγή στον γραμμικό προγραμματισμό (ΓΠ)
Εικονικές Παράμετροι Μέχρι στιγμής είδαμε την εφαρμογή της μεθόδου Simplex σε προβλήματα όπου το δεξιό μέλος ήταν θετικό. Δηλαδή όλοι οι περιορισμοί ήταν της μορφής: όπου Η παραδοχή ότι b 0 μας δίδει τη
Διαβάστε περισσότεραΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX
ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX Θεμελιώδης αλγόριθμος επίλυσης προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού που κάνει χρήση της θεωρίας της Γραμμικής Άλγεβρας Προτάθηκε από το Dantzig (1947) και πλέον
Διαβάστε περισσότεραΓραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Πρότυπη Μορφή ΓΠ 2. Πινακοποίηση
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΣ SIMPLEX, διαλ. 3. Ανωτάτη Σχολή Παιδαγωγικής και Τεχνολογικής Εκπαίδευσης 29/4/2017
ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΣ SIMPLEX, διαλ. 3 Ανωτάτη Σχολή Παιδαγωγικής και Τεχνολογικής Εκπαίδευσης 29/4/2017 ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Bέλτιστος σχεδιασμός με αντικειμενική συνάρτηση και περιορισμούς
Διαβάστε περισσότεραΓραφική Λύση & Πρότυπη Μορφή Μαθηματικού Μοντέλου
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Γραφική Λύση & Πρότυπη Μορφή Μαθηματικού Μοντέλου Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Προϋποθέσεις Εφαρμογής
Διαβάστε περισσότεραΕπιχειρησιακή Έρευνα I
Επιχειρησιακή Έρευνα I Κωστής Μαμάσης Παρασκευή 09:00 12:00 Σημειώσεις των Α. Platis, K. Mamasis Περιεχόμενα 1. Εισαγωγή 2. Γραμμικός Προγραμματισμός 1. Μοντελοποίηση 2. Μέθοδος Simplex (C) Copyright Α.
Διαβάστε περισσότεραΕπιχειρησιακή Έρευνα
Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα 7: Επίλυση με τη μέθοδο Simplex (1 ο μέρος) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων (Δ.Ε.Α.Π.Τ.)
Διαβάστε περισσότεραz = c 1 x 1 + c 2 x c n x n
Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ιδρυμα Κεντρικής Μακεδονίας - Σέρρες Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Γραμμικός Προγραμματισμός & Βελτιστοποίηση Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Καθηγητής Εφαρμογών Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Μάρτιος
Διαβάστε περισσότερα3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex
3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex Παράδειγμα 1ο (Παράδειγμα 1ο - Κεφάλαιο 2ο - σελ. 10): Το πρόβλημα εκφράζεται από το μαθηματικό μοντέλο: max z = 600x T + 250x K + 750x Γ + 450x B 5x T + x K + 9x Γ + 12x
Διαβάστε περισσότεραΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΑΚ. ΕΤΟΣ ΔΙΑΛΕΞΗ 6 η -Η ΔΥΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΣ SIMPLEX
ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2013-2014 ΔΙΑΛΕΞΗ 6 η -Η ΔΥΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΣ SIMPLEX ΔΥΙΚΟΤΗΤΑ Κάθε πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού συνδέεται με εάν άλλο πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού
Διαβάστε περισσότεραΒασική Εφικτή Λύση. Βασική Εφικτή Λύση
Αλγεβρική Μορφή Γενική Μορφή Γραµµικού Προγραµµατισµού n µεταβλητών και m περιορισµών Εστω πραγµατικοί αριθµοί a ij, b j, c i R µε 1 i m, 1 j n Αλγεβρική Μορφή Γενική Μορφή Γραµµικού Προγραµµατισµού n
Διαβάστε περισσότεραΤμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων
Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Ενότητα 2: Γραφική επίλυση προβληµάτων γραµµικού προγραµµατισµού(γ.π.) ιδάσκων: Βασίλειος Ισµυρλής Τηλ:6979948174, e-mail: vasismir@gmail.com
Διαβάστε περισσότεραΒασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D.
Βασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D. Γραμμικός προγραμματισμός: μέθοδος simplex Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Σχολή Θετικών Επιστημών ΤμήμαΠληροφορικής Διάλεξη 4 η /2017 Η γεωμετρία των προβλημάτων γραμμικού
Διαβάστε περισσότεραΔιαχείριση Εφοδιαστικής Αλυσίδας ΙΙ
Διαχείριση Εφοδιαστικής Αλυσίδας ΙΙ 1 η Διάλεξη: Αναδρομή στον Μαθηματικό Προγραμματισμό 2019, Πολυτεχνική Σχολή Εργαστήριο Συστημάτων Σχεδιασμού, Παραγωγής και Λειτουργιών Περιεχόμενα 1. Γραμμικός Προγραμματισμός
Διαβάστε περισσότεραΤμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Δυϊκότητα. Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα. τελευταία ενημέρωση: 1/12/2016
Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ 2016-2017 Δυϊκότητα Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα τελευταία ενημέρωση: 1/12/2016 1 Το δυϊκό πρόβλημα Για κάθε πρόβλημα Γραμμικού Προγραμματισμού υπάρχει
Διαβάστε περισσότεραΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ
ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ Ελαχιστοποίηση κόστους διατροφής Ηεπιχείρηση ζωοτροφών ΒΙΟΤΡΟΦΕΣ εξασφάλισε µια ειδική παραγγελίααπό έναν πελάτη της για την παρασκευή 1.000 κιλών ζωοτροφής, η οποία θα πρέπει
Διαβάστε περισσότεραΓραμμικός Προγραμματισμός
Γραμμικός Προγραμματισμός Εισαγωγή Το πρόβλημα του Σχεδιασμού στη Χημική Τεχνολογία και Βιομηχανία. Το συνολικό πρόβλημα του Σχεδιασμού, από μαθηματική άποψη ανάγεται σε ένα πρόβλημα επίλυσης συστήματος
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 3ο: Γραμμικός Προγραμματισμός
Κεφάλαιο 3ο: Γραμμικός Προγραμματισμός 3.1 Εισαγωγή Πολλοί πιστεύουν ότι η ανάπτυξη του γραμμικού προγραμματισμού είναι μια από τις πιο σπουδαίες επιστημονικές ανακαλύψεις στα μέσα του εικοστού αιώνα.
Διαβάστε περισσότερα2. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ
. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ. Εισαγωγή Οι κλασσικές μέθοδοι αριστοποίησης βασίζονται κατά κύριο λόγο στο διαφορικό λογισμό. Ο Μαθηματικός Προγραμματισμός ο οποίος περιλαμβάνει τον Γραμμικό Προγραμματισμό
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό. Χειμερινό Εξάμηνο
Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό Χειμερινό Εξάμηνο 2016-2017 Εισαγωγή Ασχολείται με το πρόβλημα της άριστης κατανομής των περιορισμένων πόρων μεταξύ ανταγωνιζόμενων δραστηριοτήτων μιας επιχείρησης
Διαβάστε περισσότερα1. ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ
Η επιχειρησιακή έρευνα επικεντρώνεται στη λήψη αποφάσεων από επιχειρήσεις οργανισμούς, κράτη κτλ. Στα πλαίσια της επιχειρησιακής έρευνας εξετάζονται οι ακόλουθες περιπτώσεις : Γραμμικός προγραμματισμός
Διαβάστε περισσότεραΤμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Η μέθοδος Simplex. Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα. τελευταία ενημέρωση: 19/01/2017
Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ 2016-2017 Η μέθοδος Simplex Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα τελευταία ενημέρωση: 19/01/2017 1 Πλεονεκτήματα Η μέθοδος Simplex Η μέθοδος Simplex είναι μια
Διαβάστε περισσότεραΣυνδυαστική Βελτιστοποίηση Εισαγωγή στον γραμμικό προγραμματισμό (ΓΠ)
Ανάλυση Ευαισθησίας. Έχοντας λύσει ένας πρόβλημα ΓΠ θα πρέπει να αναρωτηθούμε αν η λύση έχει φυσική σημασία. Είναι επίσης πολύ πιθανό να έχουμε χρησιμοποιήσει δεδομένα για τα οποία δεν είμαστε σίγουροι
Διαβάστε περισσότεραΕπιχειρησιακή Έρευνα I
Επιχειρησιακή Έρευνα I Κωστής Μαμάσης Παρασκευή 09:00 12:00 Σημειώσεις των Α. Platis, K. Mamasis Περιεχόμενα 1. Εισαγωγή 2. Γραμμικός Προγραμματισμός 1. Μοντελοποίηση 2. Μέθοδος Simplex 1. Αλγόριθμός Simplex
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένη Βελτιστοποίηση
Εφαρμοσμένη Βελτιστοποίηση Ενότητα 4: Αναλυτικές μέθοδοι βελτιστοποίησης για συναρτήσεις πολλών μεταβλητών Καθηγητής Αντώνιος Αλεξανδρίδης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας
Διαβάστε περισσότεραΕΝΑΣ ΔΙΚΡΙΤΗΡΙΟΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ SIMPLEX
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΝΑΣ ΔΙΚΡΙΤΗΡΙΟΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ SIMPLEX 3.1 Εισαγωγή Ο αλγόριθμος Simplex θεωρείται πλέον ως ένας κλασικός αλγόριθμος για την επίλυση γραμμικών προβλημάτων. Η πρακτική αποτελεσματικότητά του έχει
Διαβάστε περισσότεραΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ Έβδομο Εξάμηνο
ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ Έβδομο Εξάμηνο Διδάσκων: Ι. Κολέτσος Κανονική Εξέταση 2007 ΘΕΜΑ 1 Διαιτολόγος προετοιμάζει ένα μενού
Διαβάστε περισσότεραΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Επιστήμη των Αποφάσεων, Διοικητική Επιστήμη
ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Επιστήμη των Αποφάσεων, Διοικητική Επιστήμη 5 ο Εξάμηνο 4 ο ΜΑΘΗΜΑ Δημήτρης Λέκκας Επίκουρος Καθηγητής dlekkas@env.aegean.gr Τμήμα Στατιστικής & Αναλογιστικών-Χρηματοοικονομικών Μαθηματικών
Διαβάστε περισσότεραΗ μέθοδος Simplex. Γεωργία Φουτσιτζή-Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ
Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ 2017-2018 Η μέθοδος Simplex Γεωργία Φουτσιτζή-Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα τελευταία ενημέρωση: 19/01/2017 1 Πλεονεκτήματα Η μέθοδος Simplex Η μέθοδος
Διαβάστε περισσότεραΓραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex
Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Η πλέον γνωστή και περισσότερο χρησιµοποιηµένη µέθοδος για την επίλυση ενός γενικού προβλήµατος γραµµικού προγραµµατισµού, είναι η µέθοδος Simplex η οποία αναπτύχθηκε
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό. Χειμερινό Εξάμηνο
Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό Χειμερινό Εξάμηνο 2016-2017 Δεσμευτικοί περιορισμοί Πρόβλημα Βιομηχανική επιχείρηση γαλακτοκομικών προϊόντων Συνολικό μοντέλο Maximize z = 150x 1 + 200x 2 (αντικειμενική
Διαβάστε περισσότεραΤμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής
Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ 8 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΣΑΜΑΡΑΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ, ΕΠ. ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Δυϊκή Θεωρία (1) Θεώρημα : Το δυϊκό πρόβλημα του γραμμικού προβλήματος 0 0 1 1 2 2 0 0 T
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Μεθόδου Simplex
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Επιχειρησιακή Έρευνα Ι Διδάσκων: Δρ. Σταύρος Τ. Πόνης Θεωρία Μεθόδου Simplex Άδεια Χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΕπιχειρησιακή Έρευνα Θεωρητική Θεμελίωση της Μεθόδου Simplex
Επιχειρησιακή Έρευνα Θεωρητική Θεμελίωση της Μεθόδου Simplex Νίκος Τσάντας ιατμηματικό Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών Τμήμ. Μαθηματικών Μαθηματικά των Υπολογιστών και των Αποφάσεων Ακαδημαϊκό έτος 2006-07
Διαβάστε περισσότεραΓραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα
Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Ενότητα: Διανυσματικοί Χώροι και Υπόχωροι: Βάσεις και Διάσταση Ανδριανός Ε Τσεκρέκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής
Διαβάστε περισσότεραΛύσεις θεμάτων Επιχειρησιακής Έρευνας (17/09/2014)
Λύσεις θεμάτων Επιχειρησιακής Έρευνας (17/09/2014) Θέμα 1 Μια επιχείρηση χρησιμοποιεί 3 πρώτες ύλες Α, Β, Γ για να παράγει 2 προϊόντα Π1 και Π2. Για την παραγωγή μιας μονάδας προϊόντος Α απαιτούνται 1
Διαβάστε περισσότεραείναι πρόβλημα μεγιστοποίησης όλοι οι περιορισμοί είναι εξισώσεις με μη αρνητικούς του σταθερούς όρους όλες οι μεταβλητές είναι μη αρνητικές
Ένα τυχαίο π.γ.π. maximize/minimize z=c x Αx = b x 0 Τυπική μορφή του π.γ.π. maximize z=c x Αx = b x 0 b 0 είναι πρόβλημα μεγιστοποίησης όλοι οι περιορισμοί είναι εξισώσεις με μη αρνητικούς του σταθερούς
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ
ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 9: Γεωμετρία του Χώρου των Μεταβλητών, Υπολογισμός Αντιστρόφου Μήτρας Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8
ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,
Διαβάστε περισσότεραΒ. Βασιλειάδης. Επιχειρησιακή Έρευνα Διάλεξη 5 η -Αλγόριθμος Simplex
Β. Βασιλειάδης Επιχειρησιακή Έρευνα Διάλεξη 5 η -Αλγόριθμος Simplex Περιεχόμενα Ο αλγόριθμος Simplex Βασικά Βήματα Παραδείγματα Συμπεράσματα 1o Bήμα: εξάλειψη των ανισοτήτων Στη μαθηματική διατύπωση του
Διαβάστε περισσότερα12/10/2015 LINEAR_PROGRAMMING_EBOOK ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Γραμμικός Προγραμματισμός είναι η διαδικασία εύρεσης μιας βέλτιστης λύσης μιας γραμμικής συνάρτησης, η οποία να είναι συμβατή με ένα πεπερασμένο σύνολο γραμμικών ανισοτήτων, δηλαδή,
Διαβάστε περισσότεραΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ
ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΑΠΟ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ομόσημοι Ετερόσημοι αριθμοί Αντίθετοι Αντίστροφοι αριθμοί Πρόσθεση ομόσημων και ετερόσημων ρητών αριθμών Απαλοιφή παρενθέσεων Πολλαπλασιασμός και Διαίρεση ρητών αριθμών
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΜΕΡΟΣ 5: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΥΠΟΧΩΡΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΒΑΣΕΙΣ & ΔΙΑΣΤΑΣΗ Δ.Χ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ
ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 19: Επίλυση Γενικών Γραμμικών Προβλημάτων Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραmin f(x) x R n b j - g j (x) = s j - b j = 0 g j (x) + s j = 0 - b j ) min L(x, s, λ) x R n λ, s R m L x i = 1, 2,, n (1) m L(x, s, λ) = f(x) +
KΕΦΑΛΑΙΟ 4 Κλασσικές Μέθοδοι Βελτιστοποίησης Με Περιορισµούς Ανισότητες 4. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΥΣ ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ Ζητούνται οι τιµές των µεταβλητών απόφασης που ελαχιστοποιούν την αντικειµενική συνάρτηση
Διαβάστε περισσότεραΒασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D.
Βασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D. Γραμμικός προγραμματισμός: Εισαγωγή Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Σχολή Θετικών Επιστημών ΤμήμαΠληροφορικής Διάλεξη 3 η /2017 Γραμμικός προγραμματισμός Είναι μια μεθοδολογία
Διαβάστε περισσότεραΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ
1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..
Διαβάστε περισσότεραΔιαδικασία μετατροπής σε τυπική μορφή
ΤΕΙ Δυτικής Μακεδονίας -Τμήμα Διοίκησης επιχειρήσεων- Μάθημα: Ποσοτικές μέθοδοι στη διοίκηση επιχειρήσεων- ΣΤ Εξάμηνο Ημερομηνία: Τρίτη 25 ΑΠΡ 2017, 1 η γραπτή Πρόοδος Εκπαιδευτής: Βασίλειος Ισμυρλής,
Διαβάστε περισσότεραΣυνδυαστική Βελτιστοποίηση Εισαγωγή στον γραμμικό προγραμματισμό (ΓΠ)
Δυϊκότητα Θα δείξουμε πώς μπορούμε να αντιστοιχίσουμε ένα πρόβλημα ελαχιστοποίησης με ένα πρόβλημα ΓΠ στην συνήθη του μορφή. Ένα πρόβλημα στην συνήθη του μορφή μπορεί να είναι ένα κατασκευαστικό πρόβλημα,
Διαβάστε περισσότεραΤο Πρόβλημα Μεταφοράς
Το Πρόβλημα Μεταφοράς Αφορά τη μεταφορά ενός προϊόντος από διάφορους σταθμούς παραγωγής σε διάφορες θέσεις κατανάλωσης με το ελάχιστο δυνατό κόστος. Πρόκειται για το πιο σπουδαίο πρότυπο προβλήματος γραμμικού
Διαβάστε περισσότεραΓραμμικός Προγραμματισμός
Γραμμικός Προγραμματισμός Δημήτρης Φωτάκης Προσθήκες (λίγες): Άρης Παγουρτζής Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Γραμμικός Προγραμματισμός Ελαχιστοποίηση
Διαβάστε περισσότερα1. ΣΤΑΤΙΚΗ ΑΡΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ
. ΣΤΑΤΙΚΗ ΑΡΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ. Μέγιστα και Ελάχιστα Συναρτήσεων Χωρίς Περιορισμούς Συναρτήσεις μιας Μεταβλητής Εστω f ( x) είναι συνάρτηση μιας μόνο μεταβλητής. Εστω επίσης ότι x είναι ένα σημείο στο πεδίο ορισμού
Διαβάστε περισσότεραΑναζητάμε το εβδομαδιαίο πρόγραμμα παραγωγής που θα μεγιστοποιήσει 1/20
Μια από τις εταιρείες γάλακτος στην προσπάθειά της να διεισδύσει στην αγορά του παγωτού πολυτελείας επενδύει σε μια μικρή πιλοτική γραμμή παραγωγής δύο προϊόντων της κατηγορίας αυτής. Πρόκειται για οικογενειακές
Διαβάστε περισσότεραm 1 min f = x ij 0 (8.4) b j (8.5) a i = 1
KΕΦΑΛΑΙΟ 8 Προβλήµατα Μεταφοράς και Ανάθεσης 8. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Μια ειδική κατηγορία προβληµάτων γραµµικού προγραµµατισµού είναι τα προβλήµατα µεταφοράς (Π.Μ.), στα οποία επιζητείται η ελαχιστοποίηση του κόστους
Διαβάστε περισσότερα2 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 5.
Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 5. Εξίσωση γραμμής Συντελεστής διεύθυνσης ευθείας Συνθήκες καθετότητας και παραλληλίας ευθειών Εξίσωση ευθείας ειδικές περιπτώσεις Το σημείο είναι ο θεμελιώδης λίθος της Γεωμετρίας.
Διαβάστε περισσότερα2.1. ΑΠΛΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ
. ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ. ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ( Linear Programming ) Ο Γραμμικός Προγραμματισμός είναι μια τεχνική που επιτρέπει την κατανομή των περιορισμένων πόρων μιας επιχείρησης με τον πιο
Διαβάστε περισσότεραΗ γραφική μέθοδος επίλυσης προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού
Η γραφική μέθοδος επίλυσης προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού Γεωργία Φουτσιτζή-Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ 2017-2018 τελευταία ενημέρωση: 21/10/2016
Διαβάστε περισσότεραΔΕΙΓΜΑ ΠΡΙΝ ΤΙΣ ΔΙΟΡΘΩΣΕΙΣ - ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΚΡΙΤΙΚΗ
Συναρτήσεις Προεπισκόπηση Κεφαλαίου Τα μαθηματικά είναι μια γλώσσα με ένα συγκεκριμένο λεξιλόγιο και πολλούς κανόνες. Πριν ξεκινήσετε το ταξίδι σας στον Απειροστικό Λογισμό, θα πρέπει να έχετε εξοικειωθεί
Διαβάστε περισσότεραΣυνδυαστική Βελτιστοποίηση Εισαγωγή στον γραμμικό προγραμματισμό (ΓΠ)
Σχέσεις μεταξύ του πρωτεύοντος και του δυϊκού του. Για να χρησιμοποιήσουμε τη θεωρία δυϊκότητας αλλάζουμε την μορφή του πίνακα της μεθόδου simplex, προσθέτοντας μια σειρά και μια στήλη. Η σειρά προστίθεται
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 1 Συστήματα γραμμικών εξισώσεων
Κεφάλαιο Συστήματα γραμμικών εξισώσεων Παραδείγματα από εφαρμογές Γραμμική Άλγεβρα Παράδειγμα : Σε ένα δίκτυο (αγωγών ή σωλήνων ή δρόμων) ισχύει ο κανόνας των κόμβων όπου το άθροισμα των εισερχόμενων ροών
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ Ενότητα 10
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ Ενότητα 10: Επαναληπτική Βελτίωση Ιωάννης Μανωλόπουλος, Καθηγητής Αναστάσιος Γούναρης, Επίκουρος Καθηγητής Άδειες Χρήσης Το
Διαβάστε περισσότεραΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ
(Transportation Problems) Βασίλης Κώστογλου E-mail: vkostogl@it.teithe.gr URL: www.it.teithe.gr/~vkostogl Περιγραφή Ένα πρόβλημα μεταφοράς ασχολείται με το πρόβλημα του προσδιορισμού του καλύτερου δυνατού
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΤΥΠΟΥ SIMPLEX. 2.1 Βασικές έννοιες - Ορισμοί
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΤΥΠΟΥ SIMPLEX 2.1 Βασικές έννοιες - Ορισμοί Ο αλγόριθμος Simplex για τα προβλήματα γραμμικού προγραμματισμού, βλέπε Dntzig (1963), αποδίδει αρκετά καλά στην πράξη, ιδιαίτερα σε προβλήματα
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό. Χειμερινό Εξάμηνο
Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό Χειμερινό Εξάμηνο 2016-2017 Παράδειγμα προβλήματος ελαχιστοποίησης Μια κατασκευαστική εταιρία κατασκευάζει εξοχικές κατοικίες κοντά σε γνωστά θέρετρα της Εύβοιας Η
Διαβάστε περισσότεραAX=B (S) A A X=A B I X=A B X=A B I X=A B X=A B X=A B X X
. Επίλυση γραμμικού συστήματος με χρήση αντιστρόφου Πρόταση Θεωρούμε ένα τετραγωνικό γραμμικό σύστημα (δηλαδή ο αριθμός των εξισώσεων είναι ίσος με τον αριθμό των αγνώστων) AX=B (S). Αν ο πίνακας Α είναι
Διαβάστε περισσότεραΣυστήματα Παραγωγής ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ
Συστήματα Παραγωγής ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ Περιεχόμενα 1 Γενικά στοιχεία γραμμικού προγραμματισμού 2 Παράδειγμα γραμμικού προγραμματισμού και γραφικής επίλυσης του 3 Γραμμικός προγραμματισμός
Διαβάστε περισσότεραΕπιχειρησιακή Έρευνα I
Επιχειρησιακή Έρευνα I Operations/Operational Research (OR) Κωστής Μαμάσης Παρασκευή 09:00 12:00 Σημειώσεις των Α. Platis, K. Mamasis Περιεχόμενα EE 1&2 Εισαγωγή Μαθηματικός Προγραμματισμός - Γραμμικός
Διαβάστε περισσότερα1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ
1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Μέθοδοι επίλυσης γραμμικού συστήματος χ Γραφική επίλυση Σχεδιάζουμε τις ευθείες που αντιπροσωπεύουν οι εξισώσεις του συστήματος. Αν: - οι δύο ευθείες τέμνονται, τότε το σύστημα έχει
Διαβάστε περισσότεραΆσκηση 1 Ένα κεντρικό βιβλιοπωλείο ειδικεύεται στα λογοτεχνικά βιβλία και τα βιβλία τέχνης. Προκειμένου να προωθήσει μια νέα συλλογή λογοτεχνικών βιβλίων και βιβλίων τέχνης, η διεύθυνση του βιβλιοπωλείου
Διαβάστε περισσότερα7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει
8 7y = 4 y + y ( 8 7y) = ( 4 y + y) ( y) + 4 y y 4 y = 4 y y 8 7y = 4 y + ( 4 y) = ( 4 y y) ( 4 y) = 4( 4 y)( y) ( 4 y) 4( 4 y)( y) = 0 ( 4 y) [ 4 y 4( y) ] = 4 ( 4 y)( y + 4) = 0 y = ή y = 4) 0 4 H y
Διαβάστε περισσότεραΔΕΟ13(ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΛΙΟΥ )
ΔΕΟ13(ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΛΙΟΥ ) ΑΣΚΗΣΗ 1 Μια εταιρεία ταχυμεταφορών διατηρεί μια αποθήκη εισερχομένων. Τα δέματα φθάνουν με βάση τη διαδικασία Poion με μέσο ρυθμό 40 δέματα ανά ώρα. Ένας υπάλληλος
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Αλγόριθμοι Γραμμικής Βελτιστοποίησης 28/3/2012. Lecture07 1
Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ 8 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΣΑΜΑΡΑΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ, ΕΠ. ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Χαρακτηριστικά αλγορίθμων τύπου simplex (5) Αν το βασικό σημείο ικανοποιεί ακριβώς n-m ανισότητες
Διαβάστε περισσότεραΠοσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος
Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Χιωτίδης Γεώργιος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ Ερώτηση θεωρίας 1 ΘΕΜΑ Α Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση
Διαβάστε περισσότεραΑ ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους
Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ
ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Κεφάλαιο 3 3.1 Γενικά Τις τελευταίες δεκαετίες ένας μεγάλος αριθμός μεθόδων βελτιστοποίησης έχει αναπτυχθεί με βάση τη θεωρία του μαθηματικού λογισμού. Οι διάφοροι μαθηματικοί
Διαβάστε περισσότερασει κανένα modem των 128Κ. Θα κατασκευάσει συνολικά = 320,000 τεμάχια των 64Κ και το κέρδος της θα γίνει το μέγιστο δυνατό, ύψους 6,400,000.
Σ ένα εργοστάσιο ειδών υγιεινής η κατασκευή των πορσελάνινων μπανιέρων έχει διαμορφωθεί σε τρία διαδοχικά στάδια : καλούπωμα, λείανση και βάψιμο. Στον πίνακα που ακολουθεί καταγράφονται τα ωριαία δεδομένα
Διαβάστε περισσότεραΕπιχειρησιακή Έρευνα
Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα 1: Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό (1 ο μέρος) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων
Διαβάστε περισσότεραΠεριληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής:
Αυτό που πρέπει να θυμόμαστε, για να μη στεναχωριόμαστε, είναι πως τόσο στις εξισώσεις, όσο και στις ανισώσεις 1ου βαθμού, που θέλουμε να λύσουμε, ακολουθούμε ακριβώς τα ίδια βήματα! Εκεί που πρεπει να
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ μέθοδοι των εσωτερικών σημείων
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Γραμμικός Προγραμματισμός είναι η διαδικασία εύρεσης μιας βέλτιστης λύσης μιας γραμμικής συνάρτησης, η οποία να είναι συμβατή με ένα πεπερασμένο σύνολο γραμμικών ανισοτήτων, δηλαδή, ο
Διαβάστε περισσότεραΠληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης. Εισαγωγή στον Γραμμικό Προγραμματισμό
Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης Εισαγωγή στον Γραμμικό Προγραμματισμό Τι είναι ο Γραμμικός Προγραμματισμός; Είναι το σημαντικότερο μοντέλο στη Λήψη Αποφάσεων Αντικείμενό του η «άριστη» κατανομή περιορισμένων
Διαβάστε περισσότεραΠροβλήματα Μεταφορών (Transportation)
Προβλήματα Μεταφορών (Transportation) Παραδείγματα Διατύπωση Γραμμικού Προγραμματισμού Δικτυακή Διατύπωση Λύση Γενική Μέθοδος Simplex Μέθοδος Simplex για Προβλήματα Μεταφοράς Παράδειγμα: P&T Co ΗεταιρείαP&T
Διαβάστε περισσότεραx 3 = 0 x 6 = 0 x 4 = 0 x 5 = 0 x 2 = 0 x 1 = 0 aff(p )
Διάλεξη 5: 22.10.2014 Θεωρία Γραμμικού Προγραμματισμού Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος Γραφείς: Ζακυνθινού Λυδία & Τζιώτης Ισίδωρος 5.1 Εκφυλισμένες βασικές λύσεις Ορισμός 5.1 Εστω πολύεδρο P = {x Ax b}
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο 3.2 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η. (Σ) όπου α, β, α, β, είναι οι
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η ΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΟΥ. Ποια είναι η μορφή ενός συστήματος δύο γραμμικών εξισώσεων, δύο αγνώστων; Να δοθεί παράδειγμα.
Διαβάστε περισσότεραΕπιχειρησιακά Μαθηματικά (1)
Τηλ:10.93.4.450 ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΔΕΟ 13 ΤΟΜΟΣ Α Επιχειρησιακά Μαθηματικά (1) ΑΘΗΝΑ ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ 01 Τηλ:10.93.4.450 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο Συνάρτηση μιας πραγματικής μεταβλητής Ορισμός : Συνάρτηση f μιας πραγματικής
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ. Ένα σημείο Μ(x,y) ανήκει σε μια γραμμή C αν και μόνο αν επαληθεύει την εξίσωσή της. Π.χ. :
Διαβάστε περισσότεραΑ) δηλώνουν τις ποσότητες που, ανάλογα με το πρόβλημα, θα παραχθούν, επενδυθούν, αγοραστούν, κατασκευαστούν κ.λπ.
1. 0 γραμμικός προγραμματισμός μπορεί να εφαρμοστεί στη διαχείριση αγροτικής παραγωγής για τη βέλτιστη κατανομή πόρων όπως., με τρόπο που να οδηγεί στη μεγιστοποίηση των κερδών. Α) διαθέσιμης προς καλλιέργειας
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. Ακέραια Πολύεδρα
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ακέραια Πολύεδρα 1 Ορισμός 4.1 (Convex Hull) Έστω ένα σύνολο S C R n. Ένα σημείο x του R n είναι κυρτός συνδυασμός (convex combination) σημείων του S, αν υπάρχει ένα πεπερασμένο σύνολο σημείων
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά ΜΕΡΟΣ 3 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ
Μαθηματικά ΜΕΡΟΣ 3 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Ι. Δημοτίκαλης, Επίκουρος Καθηγητής 1 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Αν έχουμε m εξισώσεις (ισότητες) που περιγράφουν μαθηματικά
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγικές έννοιες. Κατηγορίες προβλημάτων (σε μια διάσταση) Προβλήματα εύρεσης μεγίστου. Συμβολισμοί
Κατηγορίες προβλημάτων (σε μια διάσταση) Εισαγωγικές έννοιες Δ. Γ. Παπαγεωργίου Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων dpapageo@cc.uoi.gr http://pc164.materials.uoi.gr/dpapageo Το πρόβλημα
Διαβάστε περισσότεραΣυστήματα συντεταγμένων
Συστήματα συντεταγμένων Χρησιμοποιούνται για την περιγραφή της θέσης ενός σημείου στον χώρο. Κοινά συστήματα συντεταγμένων: Καρτεσιανό (x, y, z) Πολικό (r, θ) Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων Οι άξονες
Διαβάστε περισσότερα1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμός : αν λ πραγματικός αριθμός με 0 και μη μηδενικό διάνυσμα τότε σαν γινόμενο του λ με το ορίζουμε ένα διάνυσμα
Διαβάστε περισσότεραΒ. Τυπική μορφή (κανόνες μετατροπής, προβλήματα μετατροπής) - Λυμένο πρόβλημα 2, Ασκήσεις 2,3,4,5.
Άλυτες Ασκήσεις ΓΠ Α. Μέρη ενός προβλήματος ΓΠ - Λυμένο πρόβλημα 1, Άσκηση 1. Β. Τυπική μορφή (κανόνες μετατροπής, προβλήματα μετατροπής) - Λυμένο πρόβλημα 2, Ασκήσεις 2,3,4,5. Γ. Διατύπωση μαθηματικού
Διαβάστε περισσότεραΑπό το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46
ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................
Διαβάστε περισσότεραμε Τέλος πάντων, έστω ότι ξεκινάει ένα άλλο υποθετικό σενάριο που απλά δεν διευκρινίζεται. Για το i) θα έχουμε , 2
Άσκηση 75 Σε έναν οργανισμό, αρχικά υπάρχουν 04800 βακτήρια. Μετά από 1 ώρα υπάρχουν 10400 βακτήρια, μετά από ώρες 5100 βακτήρια, και γενικά ο αριθμός των βακτηρίων υποδιπλασιάζεται κάθε μια ώρα. α) Πόσα
Διαβάστε περισσότερα2 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 5.
Ευθεία Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 5. Εξίσωση γραμμής Συντελεστής διεύθυνσης ευθείας Συνθήκες καθετότητας και παραλληλίας ευθειών Εξίσωση ευθείας ειδικές περιπτώσεις Σχόλιο Το σημείο είναι ο θεμελιώδης λίθος της
Διαβάστε περισσότεραΝα επιλύουμε και να διερευνούμε την εξίσωση αx + β = 0, βάση τη γραφική παράσταση της ευθείας y = ax + β.
Ενότητα 1 Εξισώσεις Ανισώσεις α βαθμού Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να επιλύουμε και να διερευνούμε την εξίσωση αx + β = 0, με βάση τη γραφική παράσταση της ευθείας y = ax + β. Να επιλύουμε την ανίσωση
Διαβάστε περισσότεραx R, να δείξετε ότι: i)
ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο R για την οποία ισχύουν: f ( ), f ( ) για κάθε R και f ( ) f ( ) α) Να βρείτε τον τύπο της f για κάθε R g( ) β) Αν g είναι
Διαβάστε περισσότεραΔυαδικό Πρόβλημα Εισαγωγή στην Ανάλυση Ευαισθησίας
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Επιχειρησιακή Έρευνα Ι Διδάσκων: Δρ. Σταύρος Τ. Πόνης Δυαδικό Πρόβλημα Εισαγωγή στην Ανάλυση
Διαβάστε περισσότερα