. Μονάδες 3 β) Τα διανύσματα και. τότε x1x2 y1y2. είναι κάθετα αν και μόνο αν 0 Μονάδες 3 γ) Το διάνυσμα,

Transcript

1 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΕΡΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ 8 ΜΑΙΟΥ 008 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Θέμα Α Τι ονομάζουμε έλλειψη με εστίες τα σημεία Ε και E Μονάδες 0 Β Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση α) Αν x, y και x,y τότε xx yy β) Τα διανύσματα και είναι κάθετα αν και μόνο αν 0 γ) Το διάνυσμα, είναι κάθετο στην ευθεία x By 0 δ) Η εξίσωση x y x By 0 είναι εξίσωση κύκλου για κάθε τιμή των πραγματικών αριθμών Α, Β, Γ ε) Η ευθεία x y 5 0 διέρχεται από το σημείο A, Θέμα Δίνονται τα διανύσματα και του επιπέδου με, και τα διανύσματα u και v α) Να αποδείξετε ότι τα διανύσματα u και v είναι μη μηδενικά Αν ισχύει ακόμα τότε β) Να υπολογίσετε τα εσωτερικά γινόμενα και u v γ) Να υπολογίσετε τα μέτρα των διανυσμάτων u και v δ) Να υπολογίσετε τη γωνία των διανυσμάτων u και v

2 Μονάδες 7 Θέμα Δίνονται η ευθείες : x 5y 0 και : x y 7 0 με α πραγματικό αριθμό Δίνεται ακόμη ότι η διέρχεται από το σημείο Α(,) α) Να δείξετε ότι α = β) Να βρείτε το σημείο τομής των ευθειών και γ) Να βρείτε το συντελεστή διεύθυνσης της ευθείας : x y 0 δ) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ( ) που διέρχεται από το σημείο τομής των, και είναι κάθετη στην ε) Να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου που σχηματίζει η με τους άξονες Θέμα Δίνεται ο κύκλος C : x y x 0 α) Να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα του κύκλου C Μονάδες 0 β) Να δείξετε ότι τα κέντρα των κύκλων C που εφάπτονται στον C εξωτερικά και διέρχονται από το σημείο Α(-,0) ανήκουν σε κλάδο υπερβολής της οποίας να βρείτε την εξίσωση ΟΔΗΓΙΕΣ Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφων, αμέσως μόλις σας παραδοθούν Καμιά άλλη σημείωση δεν επιτρέπεται να γράψετε Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα Διάρκεια εξέτασης: δύο () ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ Ο Διευθυντής Οι Εισηγητές

3 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΕΡΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ 8 ΜΑΙΟΥ 008 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Θέμα Α Ονομάζουμε έλλειψη με εστίες τα σημεία Ε και E το γεωμετρικό τόπο των σημείων του επιπέδου των οποίων το άθροισμα των αποστάσεων από τα Ε και E είναι σταθερό και μεγαλύτερο του ΕE Β Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση α) Σωστή β) Σωστή γ) Λάθος δ) Λάθος ε) Σωστή Θέμα Δίνονται τα μη μηδενικά διανύσματα και του επιπέδου με, και τα διανύσματα u και v α) Αν u 0 0 άτοπο γιατί διανύσματα και του δεν είναι παράλληλα αφού, β) Είναι, ( ) Και u v u 6 6 γ) Είναι

4 6 6 Άρα u Και v Άρα v δ) Είναι u v u,v άρα u,v u v 6 Θέμα α) Το Α(,) είναι σημείο της άρα την επαληθεύει Οπότε 5 0 β) Για να βρούμε το σημείο τομής των ευθειών λύνομε το σύστημά τους : x 5y 0 : x 5y 0 : x y 7 0 : x 6y 0 Οπότε προσθέτοντας κατά μέλη έχουμε y 7 και x Άρα οι ευθείες, 7 τέμνονται στο σημείο γ) Είναι : x y 0 y x Άρα ο συντελεστής διεύθυνσης της είναι ε) Είναι άρα Οπότε η εξίσωση της είναι : y 7 x Δίνονται η ευθείες : x 5y 0 και : x y 7 0 με α πραγματικό αριθμό Δίνεται ακόμη ότι η διέρχεται από το σημείο Α(,) ε) Για x 0 η εξίσωση της δίνει y Άρα η τέμνει τον άξονα y y στο και για y 0 δίνει x Άρα τέμνει τον άξονα x x στο Οπότε το 9 εμβαδόν του τριγώνου είναι E 8

5 Θέμα α) Η εξίσωση του κύκλου γίνεται C : x y x 0 x y άρα ο κύκλος έχει κέντρο το σημείο Κ(, 0) και ακτίνα Είναι Άρα τα σημεία Μ βρίσκονται σε υπερβολή για την οποία είναι και Οπότε Επομένως το Μ είναι σημείο του αριστερού σκέλους της υπερβολής y x γιατί