i) την ενέργεια που χάνει το σώµα από την στιγµή t=0 µέχρι την στιγ µή t=t, όπου Τ η ψευδοπερίοδος της φθίνουσας ταλάντωσης και

Transcript

1 o σώµα του σχήµατος (1) µάζας m, εκτελεί εξα ναγκασµένη αρµονική ταλάντωση πλάτους x υπό την επίδραση κα τάλληλης εξωτερικής δύναµης. Όταν κάποια στιγµή το σώµα βρίσκε ται στο ένα άκρο της ευθύγραµµης τροχιάς του καταργείται η δύνα µη, µε αποτέλεσµα η εξαναγκασµένη αρµονική ταλάντωση να µετατρέ πεται σε φθίνουσα. Εάν η σταθερά απόσβεσης είναι b και η σταθερά του ελατηρίου k, να βρείτε: i) την ενέργεια που χάνει το σώµα από την στιγµή t= µέχρι την στιγ µή t=, όπου Τ η ψευδοπερίοδος της φθίνουσας ταλάντωσης και ii) τον ρυθµό µεταβολής της µηχανικής ενέργειας του σώµατος σε µια θέση x i που η ταχύτητά του παρουσιάζει τοπικό ακρότατο (µέγιστη ή ελάχιστη τιµή). ΛYΣH: i) ην στιγµή t= που παύει να ενεργεί η εξωτερική δύναµη F το σώµα έχει µόνο δυναµική ενέργεια ίση µε kx /, διότι η ταχυτητά του είναι µηδενική ενώ η αποµάκρυνσή του την στιγµή αυτή παρουσιάζει τοπικό ακρό τατο (µέγιστο ή ελάχιστο). Το επόµενο οµοειδές ακρότατο θα εµφανιστεί την χρονική στιγµή t=τ όπου και πάλι η ταχύτητά του θα είναι µηδενική, που ση Σχήµα 1 µαίνει ότι την στιγµή αυτή το σώµα θα έχει µόνο δυναµική ενέργεια kx 1 /, όπου x 1 η αντίστοιχη τιµή της αποµάκρυνσής του που προφανώς ταυτίζεται µε την τιµή του ακρότατου. Εποµένως η απώλεια W α µηχανικής ενέργειας του σώµατος κατά τον χρότο Δt=- θα είναι: W = kx - kx 1 = k x - x 1 Όµως ισχύει και η σχέση: x / x 1 = e b/m x 1 = x e -b/m (1)

2 οπότε η (1) γράφεται: = kx () W = k x - x e -b/m 1 -e-b/m ii) Εάν x i είναι µια θέση όπου η ταχύτητα του σώµατος παρουσιάζει µέγιστη ή ελάχιστη τιµή v i, τότε στην θέση αυτή η συνισταµένη δύναµη επί του σώµατος θα είναι µηδενική, διότι η επιτάχυνση του σώµατος είναι µηδενική και εποµέ νως θα ισχύει: -kx i - bv i = v i = -kx i / b (3) Όµως σύµφωνα µε την αρχή διατήρησης της ενέργειας ο ρυθµός µεταβολής της µηχανικής ενέργειας του σώµατος θα είναι κάθε στιγµή ίσος µε τον ρυθµό αφαί ρεσης ενέργειας από το σώµα, λόγω της αντίστασης -bv που δέχεται, δηλαδή µπορουµε να γράψουµε την σχέση: de µ dt = (-bv i )v i = -bv i (3) de µ dt = -b kx i % ( $ b ' = - k x i b Ένας αρµονικός ταλαντωτής εκτελεί εξαναγκασµέ νη ταλάντωση σταθερού πλάτους, υπό την επίδραση µιας εξωτερικής περιοδικής δύναµης της µορφής: F=F ηµωt Στην διάρκεια της ταλάντωσής του δέχεται δύναµη τριβής που περιγ ράφεται από την σχέση F=-bv, όπου b η σταθερά απόσβεσης του τα λαντωτή και v η ταχύτητά του. i) Nα δείξετε ότι η εξίσωση της αποµάκρυνσης του ταλαντωτή δεν µπορεί να έχει την µορφή: x=aηµωt ii) Να δείξετε ότι, αν η κυκλική συχνότητα ω της εξωτερικής περιο δικής δύναµης γίνει ίση µε την κυκλική ιδιοσυχνότητα ω του αρµο νικού ταλαντωτή τότε το πλάτος της ταχύτητάς του γίνεται µέγιστο και ίσο µε F /b. ο ίδιο συµβαίνει και για το πλάτος της αποµάκρυ νσης του ταλαντωτή; ΛYΣH: i) Eάν D είναι η σταθερά της αντίστοιχης ελεύθερης ταλάντωσης του ταλαντωτή, τότε κάθε χρονική στιγµή t, σύµφωνα µε τον δεύτερο νόµο κίνη σης του Nεύτωνα, θα ισχύει η σχέση: F ηµωt-dx-bv=mα (1)

3 όπου x η αποµάκρυνση, v η ταχύτητα, α η επιτάχυνση του ταλαντωτή κατά την θεωρούµενη χρονική στιγµή και m η µάζα του. Όµως εάν η αποµάκρτνση του ταλαντωτή έχει την µορφή x=aηµωt, τότε οι αντίστοιχες χρονικές εκφράσεις της ταχύτητας και της επιτάχυνσής του θα έχουν την µορφή: v=aω συνωt και α=-aω ηµωt. Έτσι η σχέση (1) γράφεται: F ηµωt-daηµωt-baω συνωt=-maω ηµωt baωσυνωt+(maω -DA+F )ηµωt = () Eπειδή η σχέση () ισχύει για κάθε t πρέπει να ισχύουν αναγκαστικά οι σχέ σεις: baω= και maω b-daω+f = δήλαδή πρέπει η απόσβεση b να είναι µηδενική, πράγµα που δεν ισχύει. ii) Aς δεχθούµε ότι η αποµάκρυνση του εξαναγκασµένου ταλαντωτη έχει την µορφή x=aηµ(ωt-φ) στην περίπτωση που ισχύει ω=ω. Τότε για τα µεγέθη v και α θα έχουµε τις σχέσεις: v = A$(t - %) ( ) = -A 'µ(t - %)* v = v ($t - %) ( ) = -v $'µ($t - %)* (3) όπου v η µέγιστή τιµή της ταχύτητας (πλάτος) του ταλαντωτή. Συνδυάζοντας την σχέση (3) µε την (1) παίρνουµε: F µt - DAµ (t - ) - bv $%(t - ) = -mv µ(t - ) F µt - (Dv /)µ(t - ) - bv $%(t - ) + mv µ (t - ) = F µt - Dv µ(t - ) - bv $%(t - ) + mv µ(t - ) = (4) Η (4) ισχύει για κάθε τιµή του χρόνου, οπότε και για t=, οπότε δίνει: - Dv µ(-) - bv $%(-) + mv µ (-) = Dµ - b$% - m µ = m µ -b$% - m µ = µ ( m - m )m =b$% µ $% = b m - b$ = m $ - $ (5) από την οποία προκύπτει ότι για ω ω είναι φ=π/. Eξάλλου η σχέση (4) για

4 t=φ/ω δίνει: F µ - - bv - = F µ = bv v = F µ / b v (max) = F / b (6) Όµως είναι γνωστό ότι το πλάτος της εξαναγκασµένης ταλάντωσης του αρµο νικού ταλαντωτη αποβαίνει µέγιστο για µια τιµή της ω που είναι κατά τι µικρότερη της ω, δηλαδή η µεγιστοποίηση της v δεν συµπορεύεται µε την µεγιστοποίση του πλάτους Α της αποµάκρυνσης. Στο κύκλωµα του σχήµατος () ο διακόπτης (δ) φέρεται αρχικά σε επαφή µε τον ακροδέκτη Α και ύστερα από χρόνο t * µεταφέρεται στον ακροδέκτη Β. Να εκφράσετε σε συνάρτηση µε τον χρόνο το ηλεκτρικό φορτίο του πυκνωτή και το ρεύµα που κυκλο φορεί στο ιδανικό πηνίο. Δίνεται ο συντελεστής αυτεπαγωγής L του πηνίου, η χωρητικότητα C του πυκνωτή και η ηλεκτρεγερτική δύνα µη Ε της γεννήτριας συνεχούς ρεύµατος, η οποία έχει αµελητέα εσω τερική αντίσταση. ΛΥΣΗ: i) Όταν ο διακόπτης (δ) είναι σε επαφή µε τον ακροδέκτη Α ο πυκνωτής είναι εκτός κυκλώµατος, ενώ στο κλειστό κύκλωµα της γεννήτριας και του πηνίου κυκλοφορεί ρεύµα i που καθορίζεται από την ηλεκτρεγερτική δύναµη Ε της γεννήτριας και από την αυτεπαγωγική ηλεκτρεγερτική δύναµη E αυτ που αναπτύσσεται στις σπείρες του πηνίου. Οι δύο αυτές ηλεκτρεγερτικές δυνάµεις συνδέονται µε την σχέση: E + E = E - Ldi/dt = di/dt = E / L (1) όπου di/dt η ταχύτητα µεταβολής του ρευµατος i. Από την σχέση (1) προκύπτει ότι το ρεύµα i µεταβάλλεται µε σταθερό ρυθµό που σηµαίνει ότι ύστερα από χρόνο t * η τιµή του θα είναι: i * = Et * / L () Σχήµα Από την στιγµή t * και µετά η γεννήτρια τίθεται εκτός κυκλώµατος και οι άκρες του πηνίου συνδέονται µε τις άκρες του πυκνωτη, δηλαδή προκύπτει

5 ένα κύκλωµα αµείωτων ηλεκτρικών ταλαντώσεων που η παραγωγή τους οφείλεται στο ρεύµα i * που τεινοντας να µεταβληθεί φορτίζει τον πυκνωτή και µε τον τρόπο αυτό συντηρούνται οι ηλεκτρικές ταλαντώσεις. Έτσι το πηνίο διαρρέεται µε αρµονικά εναλλασσόµενο ρεύµα i L το δε ηλεκτρικό φορτίο q του πυκνωτή µεταβάλλεται αρµονικά µε τον χρόνο, δηλαδή οι χρονικές εκφράσεις των µεγεθών i L και q έχουν την µορφή: q = q µ t + i = i $% t + ') ( *) όπου οι σταθερές ποσότητες q, i, φ θα προκύψουν από τις αρχικές τιµές των µεγεθών i L και q. Όµως κατά την έναρξή των ηλεκτρικών ταλαντώσεων (t=) είναι q()= και i L ()=i * µε την προυπόθεση να δεχθούµε συµβατικά τον κάτω οπλισµό του πυκνώτη ως οπλισµό αναφορας. Τότε ο οπλισµός αυτός αµέσως µετά την στιγµή t= φορτίζεται θετικά αφού το ρεύµα στο πηνίο κατευθύνεται προς τον οπλισµο αυτόν και εποµένως το ρεύµα i L () είναι θετικό. Οι εξίσώσεις (3) για t= δίνουν: (3) = q µ i L () = i $% ' ( µ = ' Et * /L = i $% ( = Et * /L = i $ οπότε οι σχέσεις (3) γράφονται: q = q µt ' i L = (Et/L)$%t( q = (Et * /L)µt ' i L = (Et * /L)$%t( µε = 1/ LC Δίνεται κύκλωµα αποτελούµενο από ιδανικό πυκ νωτή, ιδανικό πηνίο και αντιστάτη που συνδέονται στην σειρά και το οποίο τροφοδοτείται µε αρµονικά εναλλασσόµενη τάση της µορφής: U = U µ (t + /4) όπου U το πλάτος της τάσεως και ω η κυκλική της συχνότητα. Στο κύκλωµα συµβαίνει εξαναγκασµένη ηλεκτρική ταλάντωση, δηλαδή στο πηνίο και στον αντιστάτη κυκλοφορεί αρµονικά εναλλασσόµενο ρεύµα κυκλικής συχνότητας ω. Εάν το ρεύµα αυτό περιγράφεται από την εξίσωση I=I ηµωt, όπου Ι το πλάτος του ρεύµατος, να δείξετε τα εξής: i) Η ενέργεια W Τ που παρέχει η γεννήτρια στο κύκλωµα σε κάθε περίοδο Τ του ρεύµατος υπολογίζεται από την σχέση: W = RI / όπου R η ηλεκτρική αντίσταση του αντιστάτη.

6 ii) H κυκλική συχνότητα ω του ρεύµατος είναι µεγαλύτερη της κυκ λικής ιδιοσυχνότητας ω του κυκλώµατος. ΛΥΣΗ: i) Η ηλεκτρική ενέργεια W που παρέχει η γεννήτρια στο κύκλωµα σε µια περίοδο Τ του εναλλασσόµενου ρεύµατος, αναπληρώνει την αντίστοιχη απώ λεια ενέργειας προς το περιβάλλον του κυκλώµατος λόγω φαινοµένου Joule στον αντιστάτη και µε τον τρόπο αυτόν διατηρείται αµείωτο το πάτος του ρεύµατος. Αυτό σηµαίνει ότι η ενέργεια W είναι ίση µε την θερµότητα Joule Q, που ελευθερώνει ο αντιστάτης σε µια περίοδο. Όµως η θερµότητα Joule Q είναι ίση µε το αλγεβρικό άθροισµα των στοι χειωδών θερµοτήτων Joule dq, Σχήµα 3 που ελευθερώνει ο αντιστάτης στα στοιχειώδη χρονικά διαστήµατα dt, που καλύπτουν µια περίοδο, δηλαδή ισχύει: W = Q = (dq) = (i R dt) = R (i dt) W = R I µ 1 - $%t% t dt = RI $ ' dt W = RI % (dt) - ($t dt) $ ' = RI - RI ($tdt) (1) Για τον υπολογισµό του αθροίσµατος ($t dt) την συνάρτηση f(t)=συνωt µε tε[,τ], η οποία είναι περιοδική µε περίοδο Τ/, η δε γραφική της παράσταση είναι η συνηµιτονοειδής καµπύλη του σχήµατος (3). ο σκιασµένο εµβαδόν που περικλείει η καµπύλη αυτή και ο άξονας των χρόνων εκφράζει το άθροισµα ($t dt), που όµως είναι ίσο µε µηδέν, λόγω της συµµετρίας που παρου σιάζει η συνηµιτονοειδής καµπύλη ως προς τον άξονα των χρόνων, οπότε η σχέ ση (1) γράφεται: W = RI / () ii) Εάν U L, U R, U C είναι η τάση στις άκρες του πηνίου, του αντιστατη και του πυκνωτή αντιστοίχως, κατα µια τυχαία στιγµή t, θα ισχύει η σχέση:

7 $ U = U L + U R + U C U µ t + ' ) = L di % 4( dt + ir + q C (3) όπου i το ρεύµα στο κύκλωµα κατά την στιγµή t, di/dt η αντίστοιχη ταχύτητα µεταβολής του ρεύµατος και q το αντίστοιχο ηλεκτρικό φορτίο του πυκνωτή. Όµως είναι δεδοµένο ότι το ρεύµα i είναι της µορφής i=i ηµωt, οπότε για το φορτίο q και για την ταχύτητα µεταβολής di/dt θα ισχύoυν oι σχέσεις: q = q µ t - / di/dt = -q µ t - / και η (3) γράφεται: $ U µ t + ' % 4( ) = -q L µ $ t - ' % ) + RI µ t ( $ U µ t + ' ) = - I % 4( L $ µ t - ' ) + RI % µ t ( $ U µ t + ' % 4( ) = -LI µ $ t - ' % ) + RI µ t ( H (4) για t= δίνει: U µ % $ 4' ( = -LI )µ - % $ ( + RI µ )t ' $ % ' + I + q + I + I C µ $ t - ' ) % ( C µ $ t - ' ) % ( C µ $ t - ' ) (4) % ( C) µ - % ( $ ' U / = I L + - I / C U / = I ( L - 1/ C ) L - 1/ C > L > 1/ C LC > 1 / > 1 > Στο κύκλωµα του σχήµατος (4) ο διακόπτης (δ) είναι αρχικά σε επαφή µε τον ακροδέκτη Α και ύστερα από αρκετό χρόνο µεταφέρεται στον ακροδέκτη Β. Να εκφράσετε σε συνάρτηση µε τον χρόνο το ηλεκτρικό φορτίο του πυκνωτή και το ρεύµα που κυκλοφορεί στο ιδανικό πηνίο. Δίνεται ο συντελεστής αυτεπαγωγής L=1-3 Η του πηνίου, η χωρητικότητα C=1-3 F του πυκνωτή, η ηλεκτρική αντίσταση R=1 Ω του αντιστάτη και η ηλεκτρεγερτική δύ ναµη Ε=1 V της γεννήτριας συνεχούς ρεύµατος, η οποία γεννήτρια θεωρείται µε αµελητέα εσωτερική αντίσταση.

8 ΛΥΣΗ: Όταν ο διακόπτης (δ) είναι σε επαφή µε τον ακροδέκτη Α επί αρκετά µεγάλο χρόνο, τοτε στον αντιστάτη και στο πηνίο θα έχει αποκατασταθεί σταθε ρό ρεύµα i, που υπολογίζεται από την σχέση: i = E R = 1 V 1 = 1 A (1) Στον ίδιο χρόνο ο πυκνωτης θα λάβει ηλεκτρικό φορτιο q που δίνεται από την σχέση: q = CE = 1-3 F1 V = 1 - Cb Σχήµα 4 Όταν ο διακόπτης (δ) µεταφερθεί στον ακροδέκτη Β η µεν γεννήτρια τίθεται εκτός κυκλώµατος ο δε αντιστάτης βραχυκυκλώνεται, που σηµαίνει ότι και αυτός εξέρχεται του κυκλώµατος. Με τον τρόπο αυτόν προκύπτει ένα ιδανικό κύκλωµα παραγωγής ηλεκτρικών ταλαντώσεων L-C στο οποίο κυκλοφορεί αρµονικά εναλλασσόµενο ρεύµα i, το δε ηλεκτρικό φορτίο q του πυκνωτή θα µε ταβάλλεται αρµονικά µε τον χρόνο. Κατά την έναρξη των ταλαντώσεων αυτών (t=) ο κάτω οπλισµός του πυκνωτή φέρει θετικό φορτιο q η δε φορά του ρεύ µατος στο πηνίο αντιστοιχεί σε εκφόρτιση του πυκνωτή (σχ. 4). Αν λοιπόν θεω ρήσουµε τον κάτω οπλισµό του πυκωτή ως οπλισµό αναφοράς, τοτε το αρχικό φορτίο του πυκνωτή θα είναι ίσο µε q το δε αρχικό ρεύµα i. Εξάλλου οι χρονι κές εξισώσεις των µεγεθών i και q θα έχουν την µορφή: q = Aµ (t + ) ' ( i = A$%(t + )) µε = 1/ LC () όπου Α και φ σταθερές ποσότητες που θα προδδιορισθούν από τις αρχικές τιµές των i και q. Oι σχέσεις () για t= δίνουν: q = Aµ ' ( -i = A$% ) (:) q = -i $ = q $ q = - -i i LC 1 - Cb = - 1A 1-6 s = -1 = (3) Άρα θα είναι:

9 q = Aµ (3 / 4) = A / A = q oπότε οι σχέσεις () γράφονται: q = q µ (t + 3 / 4) ') ( i = q $%(t + 3 / 4) *) q = 1 - µ 1 3 t + 3 / 4 i = t + 3 / 4 ( t/ LC + 3 / 4) q = q µ t/ LC + 3 / 4 i = q / LC % $ (S.I.) % % $ % Δύο ακίνητες ηχητικές πηγές Π 1 και Π παράγουν ήχους αντιστοίχων συχνοτήτων f 1 και f µε f 1 >f. Ένας παρατηρητής που κινείται πάνω στην ευθεία Π 1 Π µε σταθερή ταχύτητα και µε φορά από Π σε Π 1 νοµίζει ότι ο λόγος των συχνοτήτων των δύο ήχων που αντιλαµβάνεται είναι 3/, ενώ όταν κινείται από Π 1 σε Π µε ταχύτητα του ίδιου µέτρου νοµίζει ότι ακούει δύο ήχους µε λόγο συχ νοτήτων 5/4. Να βρεθούν: i) o λόγος f 1 /f και ii) η ταχύτητα του παρατηρητή. Δίνεται η ταχύτητα διαδόσεως C του ήχου στον αέρα. ΛYΣH: i) Eάν f 1, f είναι οι συχνότητες των δύο ήχων που ακούει ο παρατη ρητής όταν κινείται µε σταθερή ταχύτητα από την πηγή Π προς την πηγή Π 1, τότε για τις συχνότητες αυτές σύµφωνα µε τον τύπο Doppler θα έχουµε τις σχέσεις: f' 1 = f 1 (C + v)/c f' = f (C - v)/c (:) f' 1 f' = f 1 f C + v$ 3 C - v% = f 1 C + v$ (1) C - v% f Σχήµα 5 Εξάλλου εάν f 1, f είναι οι συχνότητες των δύο ήχων που ακούει ο παρατηρη

10 τής στην περίπτωση που κίνειται µε ταχύτητα του ίδιου µέτρου µε φορά από την πηγή Π 1 στην πηγή Π θα έχουµε τις σχέσεις: f'' 1 = f 1 (C - v)/c f'' = f (C + v)/c (:) f'' 1 f'' = f 1 f C - v$ 5 C + v% 4 = f 1 C - v$ () C + v% f Με πολαπλασιασµό κατά µέλη των (1) και () παίρνουµε την σχέση: 15 8 = f 1 f f 1 = f 15 8 = 1,37 ii) Eάν διαιρέσουµε κατά µέλη τις σχέσεις (1) και () παίρνουµε την σχέση: 1 1 = f 1 f f 1 f C - v$ C + v% 5 6 = C - v C + v 5C + 5v = 6C - 6v ( 5 + 6) v = ( 6-5) C v = 6-5 $ % C = ( 6 - ( 6-5) C v = ( 6-5 ) C Δύο ατµοµηχανές κινούνται αντίρροπα πλησιάζον τας µεταξύ τους µε ταχύτητες του ίδιου µέτρου v=9 Km/h. H σειρή να της µιάς ατµοµηχανής παράγει ηχητικό κύµα διάρκειας Δt=17 s. Zητείται να βρεθεί επί πόσο χρόνο ένας παρατηρητής που βρίσκεται στην άλλη ατµοµηχανή θα ακούει ήχο, εάν η απόσταση των δύο ατµο µηχανών κατά την στιγµή της έναρξης εκποµπής του ηχητικού κύµα τος είναι S=1 m ή S=5 m. Δίνεται η ταχύτητα διάδοσης του ήχου στον αέρα C=34 m/s. ΛYΣH: α) H αποσταση των δύο ατµοµηχανών είναι S=1 m. Στην περίπτωση αυτή εάν t * είναι ο χρόνος διασταύρωσης των δύο ατµοµηχα νών, θα ισχύει t * v+t * v=s t * =S/v=1/5 s= s Παρατηρούµε ότι t * >Δt, που σηµαίνει ότι την στιγµή που θα πάψει να εκπέµπει η σειρήνα ηχητικά κύµατα, δεν θα έχουν διασταυρωθεί ακόµη οι δύο ατµοµη χανές. Έστω Δt' ο χρόνος λήψης των n ηχητικών κυµάτων που εκπέµπει η σειρήνα στον χρόνο Δt. ότε θα έχουµε: n = ft = f't' t'= ft/f' (1)

11 όπου f η πραγµατική συχνότητα των ηχητικών κυµάτων και f' η καταγραφό µενη από τον παρατηρητή. Όµως ισχύει και η σχέση Doppler: Σχήµα 6 f' = f C + v C - v $ % f f' = C - v C + v () Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και () παίνουµε: C - v % 34-5% t' = t $ ' t'= 17 $ ' C + v s = 14, 67 s β) H απόσταση των δύο ατµοµηχανών είναι S=5 m Στην περίπτωση αυτή θα είναι t * =1 s <Δt που σηµαίνει ότι, όταν πάψει να εκπέµπει η πηγή ηχητικά κύµατα οι δυο ατµοµηχανές θα έχουν διασταυρωθεί και εποµένως κατά το χρόνο Δt' που θα συλαµβάνει ο παρατηρητής ηχητικά κύµατα άλλοτε θα πλησιάζει προς την σειρήνα και άλλοτε θα αποµακρύνεται από αυτήν. Έτσι, εάν επι χρόνο Δt 1 συλλαµβάνει ηχητικά κύµατα πλησιάζοντας προς την σειρήνα και επί χρόνο Δt αποµακρυνόµενος από αυτήν, θα έχουµε Δt'=Δt 1 +Δt =t * +Δt (3) Σχήµα 7 Όµως, εάν f 1, f είναι οι συχνότητες που αντιλαµβάνεται ο παρατηρητής για τα ηχητικά κύµατα πριν από την διασταύρωση και µετά την διασταύρωση των ατµοµηχανών αντι στοίχως, θα ισχύει: ft = f 1 t 1 + f t ft = t * f C + v $ + t C - v f C - v $ % C + v%

12 C + v$ C - v$ C - v$ C + v$ t = t * + t C - v t % C + v = t - t % C + v * % C - v% t = t C + v $ C + v$ - t C - v * % C - v% t = $ s $ 315% 315% s = 6,8 s Άρα Δt'=16,96 s Διαπασών κινείται µε σταθερή ταχύτητα κατά µή κος ενός άξονα x x. Όταν αυτό βρίσκεται σε δύο θέσεις Δ 1 και Δ εκπέµπει ήχο βραχείας διάρκειας ο οποίος καταγράφεται από ακί νητο δέκτη Α που βρίσκεται σε τέτοια θέση, ώστε το τρίγωνο Δ 1 Δ Α να είναι ισόπλευρο. Εάν ο λόγος των συχνοτήτων που καταγράφει ο δέκ της είναι f 1 /f =, να βρεθεί ο χρόνος κινήσεως του διαπασών από Δ 1 σε Δ. Ποια συχνότητα θα κατέγραφε ο δέκτης αν το διαπασών εξέπεµ πε ήχο βραχείας διάρκειας στην θέση Ο που είναι αντικρυστή του δέκτη; Δίνεται η απόσταση d του δέκτη από τον άξονα x x και η ταχύ τητα διαδόσεως C του ήχου στον αέρα. ΛYΣH: α βραχείας διάρκειας ηχητικά κύµατα που εκπέµπει το διαπασών στις θέσεις Δ 1 και Δ της ευθύγραµµης τροχιάς του x x φθάνουν στον ακίνητο δέκτη Α ακολου θώντας τις διαδροµές Δ 1 Α και Δ Α αντιστοίχως και εποµένως οι συχνότητες f 1, f που καταγράφει ο δέκτης για τα κύµατα αυτά εξαρτώνται από τις συνιστώσες v 1 και v της ταχύτητας v του διαπασών κατά τις διευθύνσεις αυτές. Σύµφωνα λοιπόν µε τον τύπο Doppler για τις συχνότητες f 1, f θα ισχύουν οι σχέσεις: Σχήµα 8 f 1 C/(C - v 1 ) f C/(C + v ) f 1 C/(C - v$) % f C/(C + v$) '

13 f 1 C/(C - v$/3) % f C/(C + v$/3) ' f 1 = C + v/ f C - v/ = C + v C - v f = f 1 SC/(C - v/) f C/(C + v/) = C + v C - v (:) 4C - v = C + v v = C/3 (1) όπου f S η συχνότητα του ηχητικού κύµατος που παράγει το διαπασών. Όµως είναι δεδοµένο ότι το τρίγωνο Δ 1 Δ Α είναι ισόπλευρο και εποµένως το ύψος του ΑΟ είναι ίσο µε 3 (Δ 1 Δ )/, δηλαδή θα έχουµε: d = 3 ( 1 ) = 3 vt * t * = d 3v (1) t * = 3d 3C = 3d C όπου t * ο ζητούµενος χρόνος κίνησης του διαπασών από Δ 1 σε Δ. Eάν τώρα το διαπα σών εξέπεµπε ήχο βραχείας διάρκειας στην θέση Ο που είναι αντικρυστή προς τον δέκτη, τότε ο ήχος αυτός θα έφθανε στον δέκτη ακολουθώντας την διαδροµή ΟΔ κατά την διευθυνση της οποίας η ταχύτητα του διαπασών την στιγµή της εκποµπής του ήχου είναι µηδενική και σύµφωνα µε τον τύπο Doppler ο δέκτης θα κατέγραφε συχνότητα ίση µε f S. Ένα σώµα, στο οποίο έχει στερεωθεί διαπασών, ταλαντεύεται επί λείου οριζόντιου επιπέδου µε την βοήθεια ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k, όπως φαίνεται στο σχήµα (9). Σε αρκετή από σταση d από το κέντρο ταλάντωσης Ο του σώµατος βρίσκεται ακίνη τος παρατηρητής που δέχεται το ηχητικό κύµα που εκπέµπει το δια πασών και διαπιστώνει ότι ακούει ήχο µεταβλητής συχνότητας και µάλιστα κάποιες στιγµές η συχνότητα αυτή παρουσιάζει µέγιστη τιµή και κάποιες άλλες στιγµές παρουσιάζει ελάχιστη τιµή. i) Aν ο λόγος της µέγιστης προς την ελάχιστη συχνότητα είναι ίσος µε, να βρεθεί το πλάτος ταλάντωσης του σώµατος. ii) Να βρείτε τις θέσεις του σώµατος κατά τις χρονικές στιγµές που ο παρατηρητής αντιλαµβάνεται ήχο µέγιστης και ελάχιστης συχνότητας. Δίνεται η µάζα m του σώµατος και η ταχύτητα διαδόσεως C του ήχου στον αέρα. ΛYΣH: i) H µέγιστη συχνότητα που καταγράφει ο παρατηρητής αντιστοιχεί στο ηχητικό κύµα που εκπέµπει το διαπασών την στιγµή που πλησιάζει το παρατηρητή µε την µεγαλύτερη ταχύτητα, δηλαδη την στιγµή που βρίσκεται στο κέντρο Ο της ταλάντωσης κατευθυνόµενο προς τον παρατηρητή. Αντίστοι χα ο παρατηρητής αντιλαµβανεται την µικρότερη συχνότητα για το ηχητικό κύµα που εκπέµπεται, όταν το διαπασών βρίσκεται στο Ο αποµακρυνόµενο από τον παρατηρητή. Σύµφωνα µε τον τύπο Doppler για τις δύο αυτές συχνότητες θα έχουµε τις σχέσεις:

14 f max C/(C - v max ) f min C/(C + v max ) f = f C/(C - x ) max S f min C/(C + x ) $ (:) f max = C + x f min C - x = C + x C - x C - x = C + x x = C/3 (1) Σχήµα 9 όπου x το πλάτος ταλάντωσης του σώµατος. Όµως η γωνιακή συχνότητα ω του σώµατος δίνεται από την σχέση = k/m, οπότε η (1) γράφεται: x = C 3 k/m = C 3 m k () ii) Aς λάβουµε ως αρχή µέτρησης του χρόνου την στιγµή που το σώµα βρίσκε ται στο κέντρο ταλάντωσής του κινούµενο προς τον παρατηρητή και ως θετική φορά από το σώµα προς τον παρατηρητή. Τότε η εξίσωση κινήσεως του σώµατος θα έχει την µορφή: x = x µt (3) Το ηχητικό κύµα που εκπέµπει η πηγή την χρονική στιγµή t= θα καταγραφεί από τον παρατηρητή την χρονική στιγµή d/c υπό συχνότητα f max και εποµένως η απόσταση x 1 του σώµατος από τον παρατηρητή την στιγµή αυτή θα είναι: () x 1 = d - x µ (d / C) x 1 = d - C 3 m k µ $ d C k % m ' (4) Eξάλλου αν λάβουµε ως αρχή µέτρησης του χρόνου την στιγµή που το σώµα βρίσκεται στο κέντρο ταλάντωσής του αποµακρυνόµενο από τον παρατηρητή και ως θετική φορά από τον παρατηρητή προς το σώµα προς, τότε πάλι η εξίσω ση κινήσεως του σώµατος θα είναι η (3), αλλά η απόστασή του x από τον παρα τηρητή την στιγµή που αυτός θα δέχεται ηχητικό κύµα συχνότητος f min θα εί ναι:

15 () x = d + x µ (d / C) x = d + C 3 m k µ $ d C k % m ' Ένας δροµέας κινoύµενος ισοταχώς σε κυκλικό στίβο ακτίνας R, δέχεται το ηχητικό κύµα που εκπέµπει ηχητική πη γή, η οποία βρίσκεται σε απόσταση R από το κέντρο του στίβου και στο ύψος της κεφαλής του δροµέα. Ο δροµέας διαπιστώνει ότι σε δύο θέσεις Δ 1 και Δ της κυκλικής του τροχιάς ο ήχος που δέχεται παρου σιάζει την ελάχιστη αντιστοίχως την µέγιστη συχνότητα και µε κατάλ ληλο όργανο που διαθέτει καταγράφει ότι ο λόγος των δύο αυτών συχ νοτήτων είναι 1/. i) Nα βρεθεί ο χρόνος κίνησης του δροµέα από την θέση Δ 1 στην Δ. ii) Eάν η συχνότητα του ήχου της ηχητικής πηγής είναι f S και η µικ ρότερη συχνότητα που µπορεί να ακούσει ο δροµέας είναι λίγο µεγαλύτερη της f S, τότε σε µια θέση της τροχιάς του καταγράφει την µεγαλύτερη συχνότητα ίση µε 1f S /99. Nα βρεθεί επί πόσο χρόνο δεν θα ακούει ήχο ο δροµέας, όταν έχει ολοκληρώσει µία περιστροφή. Δίνεται η ταχύτητα διαδόσεως C του ήχου στον αέρα. ΛYΣH: i) Θεωρούµε τον δροµέα σε µια τυχαία θέση Δ της κυκλικής τροχιάς που διαγράφει και ονοµάζουµε φ τη γωνία που σχηµατίζει η γραµµική του ταχύτητα v µε την επιβατική ακτίνα που καθορίζει κάθε στιγµή την κα τεύθυνση από την ακίνητη ηχητική πηγή προς τον δροµέα (σχ. 1). ο ηχητικό κύµα που δέχεται ο δροµέας στην θέση Δ είναι αυτό που ακολουθεί την κατεύ θυνση και θα γίνει αντιληπτό µε συχνότητα f, η οποία υπολογίζεται από τον τύπο Doppler: f = f C - v' S C = f C - v $ S C (1) Σχήµα 1 Σχήµα 11 όπου v ' η προβολή της ταχύτητας v στην κατεύθυνση και f S η συχνότητα του εκπεµπόµενου ηχητικού κύµατος.

16 Aπό τη σχέση (1) προκύπτει ότι, η ελάχιστη τιµή f min της f αντιστοιχεί στην περίπτωση που η ποσότητα C-vσυνφ λαµβάνει την ελάχιστη τιµή της, δηλαδή όταν συνφ=1, δηλαδή όταν ο δροµέας βρίσκεται στην θέση Δ 1, που συµπίπτει µε το ένα από τα δύο σηµεία επαφής των εφαπτοµένων που φέρονται από την πηγή προς την περιφέρεια που διαγράφει το αυτί του δροµέα (σχ. 11). Eξάλλου η µέγιστη τιµή f max της f αντιστοιχεί στην περίπτωση που η ποσότητα C-vσυνφ λαµβάνει την µέγιστη τιµή της, δηλαδή όταν συνφ=-1, δηλαδή όταν ο δροµέας βρίσκεται στο δεύτερο σηµείο επαφής Δ. Σύµφωνα µε τα παραπάνω για την µέγιστη και την ελάχιστη τιµή της f θα ισχύουν οι σχέσεις: f min (C - v)/ C f max (C + v)/ C (:) f min f max = C - v C + v 1 = C - v C + v C + v = (C - v) v = C/3 () Εξάλλου για το µήκος του τόξου Δ 1 ΑΔ που διαγράφει ο δροµέας κινούµενος από την θέση Δ 1 στην Δ ισχύει: 1 =R-$R=R(-$) (3) Όµως για την γωνία θ έχουµε: $ = R/R = 1/ = /3 οπότε η σχέση (3) γράφεται: 1 =R(-/3)=4R/3 (4) Eάν t Δ είναι ο χρόνος κίνησης του δροµέα από την θέση Δ 1 στην θέση Δ θα έχου µε: (4) 1 =vt 4R/3 = vt () t = 4R/3v t = 4R/C (5) ii) Συµφωνα µε την σχέση (1) όταν ο δροµέας βρεθεί στην θέση Β (φ=π/) θα ακούει ήχο συχνότητας f=f S, o οποίος δεν θα είναι ακουστός, αφου η συχνότητα f S είναι κατά τι µικρότερη της απαιτούµενης για να διεγείρει το αισθητήριο της ακοής του. Στην συνέχεια καθώς ο δροµέας θα κινείται προς την θέση Δ 1 η γωνία φ θα µικραίνει, οπότε η (1) εγγυάται ότι η f επίσης θα µικραίνει και στην θέση Δ 1 θα παίρνει την ελάχιστη τιµή της. Άρα κατά την κίνηση του από Β σε Δ 1 ο δροµέας δεν θα ακούει ήχο. Συνεχίζοντας την κίνησή του ο δροµέας από την θέση Δ 1 προς την θέση Α η γωνία φ θα µεγαλώνει για να γίνη ίση µε π/ όταν φθάσει στην θέση Α και σύµφωνα µε την σχέση (1) η συχνότητα του ήχου που δέχεται θα αυξάνεται από f min σε f S και επόµένως ο δροµέας πάλι δεν θα ακούει ήχο. Από την θέση Α προς την θέση Δ η συχνότητα του ήχου που φθάνει στον δροµέα θα αυξάνεται από f S σε f max και επόµένως θα ακούει ήχο, κατά δε την κίνηση του από Δ σε Β η συχνότητα f θα µειώνεται από f max σε f S και εποµένως πάλι θα ακούει ήχο. Από την όλη ανάλυση προκύπτει ότι ο

17 δροµέας θα ακούει ήχο µόνο στην διαδροµή του Α Δ Β ο δε αντίστοιχος χρόνος κινησής του θά είναι: t' = R/v' (6) όπου v ' η αντίστοιχη ταχύτητα του δροµέα για την οποία συµβαίνουν όλα τα παραπάνω. Όµως είναι δεδοµένο ότι f max =1f S /99, οπότε θα έχουµε: 1f S 99 (C + v') C 1C = 99C + 99v' v'= C/99 και η (6) δίνει: t' = 99R/C