ÅéóáãùãÞ óôéò ÏõñÝò ÁíáìïíÞò

Transcript

1 ÅéóáãùãÞ óôéò ÏõñÝò ÁíáìïíÞò Áíôþíçò Ïéêïíüìïõ 3 Ìáñôßïõ 2008 ÂáóéêÞ ðåñéãñáöþ íá óýóôçìá åîõðçñýôçóçò Þ ïõñü áíáìïíþò (queueing system, queue) åßíáé óôçí ïõóßá Ýíá óýóôçìá åéóüäïõ - åîüäïõ óôï ïðïßï õðåéóýñ åôáé ôõ áéüôçôá. Áõôüò ï ïñéóìüò åßíáé ðïëý ãåíéêüò êáé ðåñéëáìâüíåé ðïëëýò ðñáãìáôéêýò êáôáóôüóåéò ðïõ ðáñáôçñïýìå óôçí êáèçìåñéíþ æùþ, êáèþò êáé óå ðåñßðëïêá ôå íïëïãéêü óõóôþìáôá. ÉóôïñéêÜ, ç óõãêåêñéìýíç åðéóôçìïíéêþ ðåñéï Þ Üñ éóå íá áíáðôýóóåôáé óôéò áñ Ýò ôïõ 20ïõ áéþíá, üôáí ï äáíüò A.K. Erlang äçìïóßåõóå êüðïéåò åñãáóßåò ôïõ ãéá ôç ìáèçìáôéêþ ìïíôåëïðïßçóç ôïõ óõíùóôéóìïý óå ôçëåöùíéêü äßêôõá. Ç ìåãüëç åðéôõ ßá áõôþí ôùí ìåèüäùí óôç ìåëýôç ðñáãìáôéêþí óõóôçìüôùí Ýäùóå ôåñüóôéá þèçóç óôç ðåñáéôýñù áíüðôõîç ôçò èåùñßáò ôùí ïõñþí áíáìïíþò êáèþò êáé ôùí åöáñìïãþí ôçò êáé óå Üëëá ðåäßá. Ôá âáóéêü áñáêôçñéóôéêü åíüò óõóôþìáôïò åîõðçñýôçóçò åßíáé ç äéáäéêáóßá áößîåùí (arrival process), ïé ñüíïé åîõðçñýôçóçò (service times), ï áñéèìüò ôùí ðáñï Ýùí åîõðçñýôçóçò - õðçñåôþí (number of servers), ç ùñçôéêüôçôá ôïõ óõóôþìáôïò (system capacity) êáé ç ðåéèáñ ßá ïõñüò (queue discipline). Ãéá ôï ëüãï áõôü ï âñåôáíüò ðéèáíïèåùñçôéêüò Kendall åéóþãáãå Ýíá óýóôçìá ïíïìáôïëïãßáò ãéá ôéò ðéï áðëýò ïõñýò ðïõ ðåñéãñüöåé óõíïðôéêü áõôü ôá áñáêôçñéóôéêü. Ç ïíïìáôïëïãßá ôïõ Kendall Ý åé ôç ìïñöþ A=B=c=k( ), üðïõ ôá Á,  åßíáé ãñüììáôá, ôá c, k áñéèìïß êáé ìýóá óôçí ðáñýíèåóç ãñüöåôáé ìéá áêñïóôïé ßäá ãñáììüôùí. ÊáèåìéÜ áðü ôéò 5 ðáñáìýôñïõò ôçò ïíïìáôïëïãßáò ôïõ Kendall áíáöýñåôáé óôá 5 áñáêôçñéóôéêü ðïõ ðåñéãñüøáìå ðáñáðüíù. Ç äéáäéêáóßá áößîåùí ðåñéãñüöåé ôï ðþò Ýñ ïíôáé ïé ðåëüôåò óôï óýóôçìá. Åßíáé óõíþèùò ìéá áíáíåùôéêþ äéáäéêáóßá, äçëáäþ èåùñïýìå üôé ïé ñüíïé ìåôáîý äéáäï éêþí áößîåùí ðåëáôþí åßíáé áíåîüñôçôåò êáé éóüíïìåò ôõ áßåò ìåôáâëçôýò ìå êüðïéá ãíùóôþ ãåíéêþ êáôáíïìþ. Ç äéáäéêáóßá áößîåùí áíôéóôïé åß óôï ãñüììá Á ôçò ïíïìáôïëïãßáò Kendall. Ïé ôéìýò ðïõ ðáßñíåé åßíáé GI Þ G (General independent), M (Memoryless, Markovian), D (Deterministic) êáé E r (Erlang-r) ãéá ôéò ðåñéðôþóåéò ðïõ ïé åíäéüìåóïé ñüíïé ìåôáîý ôùí áößîåùí åßíáé ãåíéêïß, åêèåôéêïß, óôáèåñïß êáé Erlang-r áíôßóôïé á. ÕðÜñ ïõí âýâáéá êáé Üëëåò ôéìýò ãéá ôï ãñüììá A ðïõ áíôéóôïé ïýí óå êáôáíïìýò ðïõ åìöáíßæïíôáé óðáíéüôåñá óôç âéâëéïãñáößá.

2 Ïé ñüíïé åîõðçñýôçóçò èåùñïýíôáé óôá êëáóéêü ìïíôýëá åðßóçò áíåîüñôçôïé êáé éóüíïìïé êáé áíôéóôïé ïýí óôï ãñüììá B ôçò ïíïìáôïëïãßáò Kendall ðïõ ðáßñíåé ôéò ßäéåò ôéìýò ìå ôï ãñüììá Á. Ïé ôéìýò GI êáé G ãéá ôï A êáé ôï B óçìáôïäïôïýí áêñéâþò ôï ßäéï, äçëáäþ áíåîüñôçôïõò éóüíïìïõò ñüíïõò ìå ãåíéêþ êáôáíïìþ. Ðáñüëá áõôü óõíçèßæåôáé åèéìéêü ç ôéìþ GI ãéá ôï A êáé ç ôéìþ G ãéá ôï B óôá ðåñéóóüôåñá âéâëßá êáé óçìåéþóåéò ðïõ êõêëïöïñïýí äéåèíþò. Èá äéáôçñþóïõìå áõôþ ôç óýìâáóç êáé óôéò ðáñïýóåò óçìåéþóåéò. Ï áñéèìüò ôùí õðçñåôþí áíáöýñåôáé óôï ðüóïé åßíáé ïé ðáñüëëçëïé õðçñýôåò ðïõ åîõðçñåôïýí ôç ñïþ ôùí ðåëáôþí ðïõ åéóýñ åôáé óôï óýóôçìá. Ìå ôçí Ýííïéá \ðáñüëëçëïé" õðçñýôåò åííïïýìå üôé õðüñ åé ìéá êïéíþ ïõñü ãéá üëïõò êáé ïé ðåëüôåò ðçãáßíïõí óôïí ðñþôï õðçñýôç ðïõ èá áäåéüóåé, áí üëïé ïé õðçñýôåò åßíáé áðáó ïëçìýíïé, Þ äéáëýãïõí óôçí ôý ç êüðïéïí áðü ôïõò Üäåéïõò õðçñýôåò, áí õðüñ ïõí åëåýèåñïé õðçñýôåò. Ï áñéèìüò ôùí õðçñåôþí áíôéóôïé åß óôïí áñéèìü c ôçò ïíïìáôïëïãßáò Kendall. Ç ùñçôéêüôçôá ôïõ óõóôþìáôïò åêöñüæåé ôï ìýãéóôï ðëþèïò ðåëáôþí ðïõ ìðïñåß íá ùñýóåé ôï óýóôçìá, óõìðåñéëáìâáíïìýíùí ôüóï áõôþí ðïõ ðåñéìýíïõí íá åîõðçñåôçèïýí üóï êáé áõôþí ðïõ âñßóêïíôáé óå äéáäéêáóßá åîõðçñýôçóçò. Áí Ýíá óýóôçìá Ý åé öôüóåé óôï ìýãéóôï ôçò ùñçôéêüôçôüò ôïõ êáé áöé èåß Ýíáò ðåëüôçò ôüôå óôï êëáóéêü ìïíôýëï ôùí ïõñþí áíáìïíþò ï ðåëüôçò áðïññßðôåôáé êáé èåùñåßôáé áìýíïò ãéá ðüíôá. ÖõóéêÜ õðüñ ïõí êáé ìïíôýëá óôá ïðïßá ïé ðåëüôåò ðïõ áðï ùñïýí ëüãù ôçò ðåñéïñéóìýíçò ùñçôéêüôçôáò åðáíýñ ïíôáé áñãüôåñá ìå ôçí åëðßäá íá õðüñ åé äéáèýóéìç èýóç óôï óýóôçìá. Óôçí ðåñßðôùóç áõôþ ìéëüìå ãéá ìïíôýëá ìå åðáíáðñïóðüèåéåò Þ åðáíáäïêéìýò (retrials). Óå ôýôïéá ìïíôýëá åßíáé áðáñáßôçôï íá áðïóáöçíéóèåß ç äéáäéêáóßá ìå ôçí ïðïßá ïé ðåëüôåò åðáíýñ ïíôáé óôï óýóôçìá êáé Ýôóé ôá ìïíôýëá áõôü äåí ðåñéãñüöïíôáé óôï ðëáßóéï ôçò ïíïìáôïëïãßáò Kendall. Ðñïò ôï ðáñüí, åðïìýíùò, ìýíïõìå óôï ðëáßóéï ôùí ìïíôýëùí ùñßò åðáíáðñïóðüèåéåò, üðïõ ç ùñçôéêüôçôá ôïõ óõóôþìáôïò áíôéóôïé åß óôïí áñéèìü k ôçò ïíïìáôïëïãßáò ôïõ Kendall. Ç ðåéèáñ ßá ïõñüò åßíáé ï ôñüðïò ìå ôïí ïðïßï ôï óýóôçìá äéáëýãåé ðïéüí ðåëüôç èá åîõðçñåôþóåé, ìüëéò âñåèåß êüðïéïò äéáèýóéìïò õðçñýôçò. Ç ðëýïí êëáóéêþ ðåéèáñ ßá ïõñüò åßíáé ç FCFS (First- Come-First-Served) êáôü ôçí ïðïßá ïé ðåëüôåò åîõðçñåôïýíôáé óýìöùíá ìå ôç óåéñü ôçò ÜöéîÞò ôïõò. ôóé, ìüëéò áäåéüóåé Ýíáò õðçñýôçò, åðéëýãåôáé ãéá åîõðçñýôçóç ï ðåëüôçò ðïõ Ý åé áöé èåß ðñþôïò áðü üëïõò ðïõ ðåñéìýíïõí. Ç ðåéèáñ ßá áõôþ ìïéüæåé ç ðéï äßêáéç ìå ðñþôç ìáôéü êáé ñçóéìïðïéåßôáé ðåñéóóüôåñï áðü ïðïéáäþðïôå Üëëç óôçí ðåñßðôùóç ðïõ ïé ðåëüôåò åßíáé Üíèñùðïé êáé ìüëéóôá Ý ïõí ïðôéêþ åðáöþ ìå ôï ôß óõìâáßíåé óôï óýóôçìá (êáé åðïìýíùò ìðïñïýí êáé âëýðïõí ðüôå öèüíïõí ïé Üëëïé ðåëüôåò). Óå äéüöïñåò åöáñìïãýò, ðüíôùò, ñçóéìïðïéïýíôáé êáé Üëëåò ðåéèáñ ßåò ïõñüò, üðùò ç LCFS (Last-Come-First-Served) êáôü ôçí ïðïßá ïé ðåëüôåò åîõðçñåôïýíôáé áíôßóôñïöá áðü ôç óåéñü áöéîþò ôïõò, ç SIRO (Service-In-Random-Order) üðïõ ïé ðåëüôåò åîõðçñåôïýíôáé ôõ áßá, ùñßò íá ëáìâüíåôáé õðüøéí ç óåéñü áöéîþò ôïõò, ç SSTF (Shortest-Service-Time-First) üðïõ åðéëýãåôáé ðñïò åîõðçñýôçóç ï ðåëüôçò ðïõ Ý åé ôï ìéêñüôåñï ñüíï åîõðçñýôçóçò ê.á. ÕðÜñ ïõí åðßóçò ðåéèáñ ßåò ïõñüò ãéá ôçí ðåñßðôùóç ðïõ õðüñ ïõí äéüöïñá åßäç ðåëáôþí êáé ôï óýóôçìá ôïõò áíôéìåôùðßæåé äéáöïñåôéêü. Óôçí 2

3 ðåñßðôùóç áõôþ åßíáé äõíáôüí êüðïéá åßäç ðåëáôþí íá Ý ïõí ðñïôåñáéüôçôá Ýíáíôé êüðïéùí Üëëùí, ïðüôå ìéëüìå ãéá ðåéèáñ ßåò ïõñþí ìå ðñïôåñáéüôçôåò. ÃåíéêÜ, áí óêåöèïýìå ðñáêôéêýò åöáñìïãýò ôùí ïõñþí áíáìïíþò èá óõíåéäçôïðïéþóïõìå üôé õðüñ åé ìåãüëç ðïéêéëßá óôéò ðåéèáñ ßåò ïõñüò ðïõ ñçóéìïðïéïýíôáé (óêåöôåßôå ôá ôáìåßá ãéá ðåëüôåò ìå ìý ñé 0 ðñïúüíôá óôá supermarket, ôá ôáìåßá ãéá åðé åéñçìáôéêýò óõíáëëáãýò óôéò ôñüðåæåò, ôéò êñáôþóåéò èýóåùí óå åóôéáôüñéá êëð.). Ç ùñçôéêüôçôá ôïõ óõóôþìáôïò k êáé/þ ðåéèáñ ßá ïõñüò ìðïñåß íá ðáñáëåßðïíôáé óôçí ïíïìáôïëïãßá Kendall, áõôü óõìâáßíåé óôçí ðåñßðôùóç ðïõ Ý ïõìå áðåñéüñéóôç ùñçôéêüôçôá (k = ) Þ ðåéèáñ ßá FCFS áíôßóôïé á. ÐáñÜäåéãìá : Ç M=M= ïõñü åßíáé Ýíá óýóôçìá åîõðçñýôçóçò ìå Poisson äéáäéêáóßá áößîåùí (áíåîüñôçôïõò åêèåôéêïýò åíäéüìåóïõò ñüíïõò áößîåùí), åêèåôéêïýò ñüíïõò åîõðçñýôçóçò êáé õðçñýôç ðïõ Ý åé Üðåéñç ùñçôéêüôçôá êáé ëåéôïõñãåß õðü ôçí ðåéèáñ ßá ïõñüò FCFS. ÐáñÜäåéãìá 2: Ç GI=E 2 ==5(SIRO) ïõñü åßíáé Ýíá óýóôçìá åîõðçñýôçóçò ìå áíáíåùôéêþ äéáäéêáóßá áößîåùí (áíåîüñôçôïõò êáé éóüíïìïõò åíäéüìåóïõò ñüíïõò áößîåùí), Erlang-2 ñüíïõò åîõðçñýôçóçò êáé õðçñýôç ðïõ Ý åé ùñçôéêüôçôá ãéá 5 ðåëüôåò êáé ëåéôïõñãåß õðü ôçí ðåéèáñ ßá ïõñüò SIRO. ÐïëëÝò öïñýò ç äéáäéêáóßá áößîåùí êáé/ç êáôáíïìþ ôùí ñüíùí åîõðçñýôçóçò äåí åßíáé áêñéâþò ãíùóôþ. Óôçí ðåñßðôùóç áõôþ ìðïñåß íá äßíåôáé êüðïéá áäñþ ðëçñïöïñßá ãéá ôï ðþò Ýñ ïíôáé êáé ðþò åîõðçñåôïýíôáé ïé ðåëüôåò. Ð.. ìðïñåß íá äßíåôáé ï ìýóïò åíäéüìåóïò ñüíïò a ìåôáîý äõï äéáäï éêþí áößîåùí êáé ï ìýóïò ñüíïò åîõðçñýôçóçò b. Éóïäýíáìá, ìðïñåß íá äßíåôáé ï ñõèìüò áößîåùí = =a êáé ï ñõèìüò åîõðçñýôçóçò = =b. Ôá a êáé b Ý ïõí ôç öõóéêþ Ýííïéá ôçò ðåñéüäïõ ôùí äéáäéêáóéþí ôùí áößîåùí êáé ôùí åîõðçñåôþóåùí áíôßóôïé á, åíþ ôá êáé áíôéóôïé ïýí óôç öõóéêþ Ýííïéá ôçò óõ íüôçôáò. Ìå ôüóï åëëåéðþ ðëçñïöïñßá, âåâáßùò, ôá áðïôåëýóìáôá ðïõ èá ðñïêýøïõí áðü ôç ìáèçìáôéêþ áíüëõóç ìðïñåß íá åßíáé ôåëåßùò áíáîéüðéóôá. Ãéá ôçí åîáãùãþ áóöáëþí óõìðåñáóìüôùí ñåéüæåôáé íá åßíáé ãíùóôþ ç êáôáíïìþ ôùí áíôßóôïé ùí ñüíùí Þ ôïõëü éóôïí êüðïéåò ñïðýò áíþôåñçò ôüîçò. ÌåôÜ ôç ìýóç ôéìþ, ç äéáóðïñü ôùí ñüíùí ìåôáîý ôùí áößîåùí êáé/þ ôùí ñüíùí åîõðçñýôçóçò åðçñåüæåé óçìáíôéêü ôçí áðüäïóç åíüò óõóôþìáôïò. 2 ÌÝôñá áðüäïóçò óõóôþìáôïò Áöïý ðåñéãñáöåß Ýíá óýóôçìá, ôï ðñüâëçìá ðïõ ôßèåôáé åßíáé íá ðñïâëýøïõìå ðþò èá óõìðåñéöýñåôáé. ÔõðéêÜ åñùôþìáôá ðïõ áðáó ïëïýí ôç èåùñßá ôùí ïõñþí áíáìïíþò åßíáé:. Ðüóoé ðåëüôåò èá âñßóêïíôáé óôï óýóôçìá êáôü ìýóï üñï ìéá ôõ ïýóá ñïíéêþ óôéãìþ; 2. Ðüóï ñüíï èá ðåñüóåé óôï óýóôçìá êáôü ìýóï üñï Ýíáò ðåëüôçò; 3. Ðïéü ðïóïóôü ôïõ ñüíïõ ôïõ èá âñßóêåôáé áðáó ïëçìýíïò Ýíáò õðçñýôçò ðïõ äïõëåýåé óôï óõãêåêñéìýíï óýóôçìá; 3

4 ¼ðùò âëýðïõìå õðüñ ïõí åñùôþìáôá ðïõ áðáó ïëïýí ôï äéá åéñéóôþ ôïõ óõóôþìáôïò, ðïõ âëýðåé ôï óýóôçìá óõíïëéêü, óáí åîùôåñéêüò ðáñáôçñçôþò (åñþôçìá ), åñùôþìáôá ðïõ áðáó ïëïýí ôïõò ðåëüôåò, ðïõ åðéäñïýí óôï óýóôçìá ìüíï ðáñïäéêü êáé êáôüðéí öåýãïõí (åñþôçìá 2) êáé åñùôþìáôá ðïõ áðáó ïëïýí ôïõò õðçñýôåò, ðïõ åðéäñïýí äéáñêþò óôï óýóôçìá (åñþôçìá 3). Åßíáé óçìáíôéêü íá êáôáíïçèåß üôé áõôïß ïé ðáñüãïíôåò ôïõ óõóôþìáôïò (äéá åéñéóôþò, ðåëüôåò êáé õðçñýôåò) Ý ïõí äéáöïñåôéêýò ïðôéêýò êáé ãéá ôï ëüãï áõôü õðüñ ïõí ìýôñá áðüäïóçò ôïõ óõóôþìáôïò ðïõ ó åôßæïíôáé ìå ôçí ïðôéêþ ôïõ êáèåíüò. Ãéá ôï äéá åéñéóôþ ôïõ óõóôþìáôïò ç ðéï óçìáíôéêþ ðëçñïöïñßá åßíáé ï áñéèìüò ôùí ðåëáôþí ðïõ âñßóêïíôáé óôï óýóôçìá ìéá ôõ áßá ñïíéêþ óôéãìþ. ôóé ïñßæïõìå Q(t) ôïí áñéèìü ôùí ðåëáôþí óôï óýóôçìá ôç óôéãìþ t, Q q (t) ôïí áñéèìü ôùí ðåëáôþí óôï þñï áíáìïíþò ôç óôéãìþ t (ï äåßêôçò q ìðáßíåé ãéá íá èõìßæåé üôé áíáöåñüìáóôå óôï ðëþèïò ôùí ðåëáôþí óôçí ïõñü - queue), Q s (t) ôïí áñéèìü ôùí ðåëáôþí óôï þñï åîõðçñýôçóçò ôç óôéãìþ t (ï äåßêôçò s ìðáßíåé ãéá íá èõìßæåé üôé áíáöåñüìáóôå óôï ðëþèïò ôùí ðåëáôþí õðü åîõðçñýôçóç - service). Ðáñáôçñïýìå üôé Q(t) = Q q (t) + Q s (t): Åíäéáöåñüìáóôå ãéá ôï ôß óõìâáßíåé óôï óýóôçìá óå êáôüóôáóç éóïññïðßáò, äçëáäþ êáèþò t êáé ãéá ôï ëüãï áõôü ìáò åíäéáöýñïõí ïé ïñéáêýò ðéèáíüôçôåò p j = lim t Pr[Q(t) = j]; j = 0; ; : : : : () Ç p j åßíáé ç ïñéáêþ ðéèáíüôçôá óå óõíå Þ ñüíï íá âñßóêïíôáé j ðåëüôåò óôï óýóôçìá. Ìéá ðñþôç ôçò åñìçíåßá åðïìýíùò åßíáé üôé åêöñüæåé ôçí ðéèáíüôçôá íá âñßóêïíôáé j ðåëüôåò óôï óýóôçìá, áí ôï êïéôüîïõìå óå êüðïéá ñïíéêþ óôéãìþ ðïõ Ý åé ðáñýëèåé ðïëýò ñüíïò áðü ôçí Ýíáñîç ëåéôïõñãßáò ôïõ óõóôþìáôïò êáé åðïìýíùò ç åðßäñáóç ôçò áñ éêþò êáôüóôáóçò ôïõ óõóôþìáôïò (áñéèìüò ðåëáôþí óå áõôü êáôü ôçí Ýíáñîç ôçò ëåéôïõñãßáò ôïõ) Ý åé áèåß. Åßíáé üìùò óçìáíôéêüôåñï íá ôçí áíôéëáìâáíüìáóôå ùò ôï ìáêñïðñüèåóìï ðïóïóôü ôïõ ñüíïõ ðïõ âñßóêïíôáé j ðåëüôåò óôï óýóôçìá, äçëáäþ óáí ôï üñéï (ìå ðéèáíüôçôá ) ñüíïò óôï [0,t] ðïõ âñßóêïíôáé j ðåëüôåò óôï óýóôçìá p j = lim = lim t t t t 0 {Q(u) = j}du ; (2) t üðïõ ìå {Q(u) = j} óõìâïëßæïõìå ôç äåßêôñéá ôõ áßá ìåôáâëçôþ ôïõ åíäå ïìýíïõ {Q(u) = j} ðïõ ðáßñíåé ôçí ôéìþ üôáí Q(u) = j êáé ôçí ôéìþ 0 äéáöïñåôéêü. Åßíáé üìùò ïé åêöñüóåéò - ïñéóìïß () êáé (2) éóïäýíáìåò; Ç áðüíôçóç åßíáé üôé \íáß, åßíáé éóïäýíáìåò" êüôù áðü ðïëý ãåíéêýò óõíèþêåò, óõãêåêñéìýíá üôáí ç óôï áóôéêþ äéáäéêáóßá {Q(t)} åßíáé 4

5 áíáãåííçôéêþ äéáäéêáóßá (regenerative process). ÐñáêôéêÜ áõôü óçìáßíåé üôé ðñýðåé íá õðüñ ïõí ñïíéêü óçìåßá óôçí åîýëéîç ôçò {Q(t)} óôá ïðïßá ç äéáäéêáóßá óõìðåñéöýñåôáé óáí íá îåêéíüåé áðü ôçí áñ Þ. Óôéò ïõñýò áíáìïíþò êáôü êáíüíá áõôü éó ýåé êáé ìüëéóôá ôá óçìåßá áõôü åßíáé ïé ñïíéêýò óôéãìýò ðïõ óôï óýóôçìá öèüíåé Ýíáò ðåëüôçò ðïõ ôï âñßóêåé êåíü. Ãéá ìéá áõóôçñþ óõæþôçóç ðüíù óôï èýìá ôùí áíáãåííçôéêþí äéáäéêáóéþí ìðïñåß êáíåßò íá áíáôñýîåé óôá âéâëßá ôùí Öáêßíïõ (2003) êáé Wol (989). ¼ëá ôá óõóôþìáôá ðïõ èá ìåëåôþóïõìå åßíáé áíáãåííçôéêü êáé êáôü óõíýðåéá ïé ïñéáêýò ðéèáíüôçôåò éóïýíôáé ìå ðïóïóôü, üðùò åßäáìå óôçí ðåñßðôùóç ôùí () êáé (2) ðáñáðüíù. Ãéá ôï ëüãï áõôü óå ü,ôé áêïëïõèåß èá ðáñáèýôïõìå åíéáßá ôéò äõï åêöñüóåéò, ùñßò ðåñáéôýñù ìíåßá. Óõìâïëßæïíôáò ìå Q ôçí ïñéáêþ ôõ áßá ìåôáâëçôþ ðïõ Ý åé ôçí êáôáíïìþ (p j : j = 0; ; : : :) ïñßæïõìå Q íá åßíáé ôï ïñéáêü ìýóï ðëþèïò ðåëáôþí óôï óýóôçìá (éóïäýíáìá ôï ìáêñïðñüèåóìï ìýóï ðëþèïò ðåëáôþí óôï óýóôçìá) ðïõ äßíåôáé ùò Q = E[Q] = lim t t t 0 Q(u)du: (3) Áí Ý ïõìå ðñïóäéïñßóåé ôçí (p j : n = 0; ; : : :) (ðñüãìá ðïõ äåí åßíáé ðüíôá åýêïëï) ôüôå ìðïñïýìå íá õðïëïãßóïõìå ôï Q áðü ôç ó Ýóç E[Q] = j=0 jp j. Óå êüðïéåò ðåñéðôþóåéò ôï Q ìðïñåß íá õðïëïãéóôåß êáé áðåõèåßáò ìå ðéèáíïèåùñçôéêü åðé åéñþìáôá, ñçóéìïðïéþíôáò êüðïéá âáóéêü áðïôåëýóìáôá ðïõ èá ðáñïõóéáóôïýí ðáñáêüôù. Ïìïßùò ìå ôï Q ïñßæïíôáé ôá Q q êáé Q s. Ãéá ôïõò ðåëüôåò ôï ðéï óçìáíôéêü ìýôñï áðüäïóçò åßíáé ï ñüíïò ðïõ ðáñáìýíïõí óôï óýóôçìá. ôóé ïñßæïõìå S n ôï ñüíï ðáñáìïíþò óôï óýóôçìá ôïõ n-ïóôïý ðåëüôç, W n ôï ñüíï áíáìïíþò óôçí ïõñü (ìý ñé íá áñ ßóåé ç åîõðçñýôçóç) ôïõ n-ïóôïý ðåëüôç, X n ôï ñüíï åîõðçñýôçóçò ôïõ n-ïóôïý ðåëüôç. Ðáñáôçñïýìå üôé S n = W n + X n : Åíäéáöåñüìáóôå êáé ðüëé ãéá ôï ôß óõìâáßíåé óå êáôüóôáóç éóïññïðßáò êáé ãé áõôü åíäéáöåñüìáóôå ãéá ôçí ïñéáêþ êáôáíïìþ ôïõ ñüíïõ ðáñáìïíþò F S (x) = lim n Pr[S n x] = lim n = lim n n ÐëÞèïò ðåëáôþí ðïõ ðáñáìýíïõí ãéá ñüíï x ìåôáîý ôùí ðñþôùí n n n {S k x}; x 0; k= üðïõ ìå {S k x} óõìâïëßæïõìå ôç äåßêôñéá óõíüñôçóç ôïõ åíäå ïìýíïõ {S k x} (ï k-ïóôüò ðåëüôçò íá ðáñáìåßíåé óôï óýóôçìá ôï ðïëý ãéá ñüíï x) ðïõ ðáßñíåé ôçí ôéìþ üôáí S k x êáé ôçí ôéìþ 0 äéáöïñåôéêü. 5

6 Óõìâïëßæïíôáò ìå S ôçí ïñéáêþ ôõ áßá ìåôáâëçôþ ðïõ Ý åé ôçí êáôáíïìþ (F S (x) : x 0) ïñßæïõìå S íá åßíáé o ïñéáêüò ìýóïò ñüíïò ðáñáìïíþò åíüò ðåëüôç óôï óýóôçìá (éóïäýíáìá ï ìáêñïðñüèåóìïò ìýóïò ñüíïò ðáñáìïíþò óôï óýóôçìá) ðïõ äßíåôáé ùò S = E[S] = lim n n n S k : Ï õðïëïãéóìüò ôïõ S åßíáé åýêïëïò áí Ý ïõìå õðïëïãßóåé ôçí êáôáíïìþ (F S (x) : x 0) Þ ôçí áíôßóôïé ç óõíüñôçóç ðõêíüôçôáò ðéèáíüôçôáò (f S (x) : x 0). ÐñÜãìáôé ñåéüæåôáé íá ñçóéìïðïéþóïõìå ôç ó Ýóç E[S] = 0 xf S (x)dx = 0 ( F S(x))dx êáé åðïìýíùò ðñüêåéôáé ãéá Ýíáí õðïëïãéóìü ñïõôßíáò (ï ïðïßïò ìðïñåß ðüíôùò íá Ý åé áñêåôýò ðñüîåéò). Óå êüðïéåò ðåñéðôþóåéò üìùò, ôï S ìðïñåß íá õðïëïãéóôåß êáé áðåõèåßáò ôáõôü ñïíá ìå ôï Q ìå ðéèáíïèåùñçôéêü åðé åéñþìáôá. Ïìïßùò ìå ôï S ïñßæïíôáé ôá W êáé X. Ùò êýêëïò áðáó üëçóçò ôïõ óõóôþìáôïò ïñßæåôáé ôï äéüóôçìá áðü ôçí áíá þñçóç åíüò ðåëüôç ðïõ áöþíåé ôï óýóôçìá êåíü, ìý ñé ôçí åðüìåíç áíá þñçóç ðåëüôç ðïõ èá áöþóåé ôï óýóôçìá êåíü. ÊÜèå ôýôïéïò êýêëïò áñ ßæåé ìå Ýíá ñïíéêü äéüóôçìá ðïõ ôï óýóôçìá ðáñáìýíåé êåíü ìý ñé íá åìöáíéóôåß ï ðñþôïò ðåëüôçò. Ôï äéüóôçìá áõôü áíáöýñåôáé ùò ìéá ðåñßïäïò áñãßáò ôïõ óõóôþìáôïò. Áðü ôç óôéãìþ ðïõ èá áöé èåß ï ðñþôïò ðåëüôçò ôï óýóôçìá èá åßíáé óõíå þò áðáó ïëçìýíï ìý ñé íá ôåëåéþóåé ï êýêëïò áðáó üëçóçò. Ôï äéüóôçìá áõôü áíáöýñåôáé ùò ìéá ðåñßïäïò óõíå ïýò ëåéôïõñãßáò ôïõ óõóôþìáôïò. Ïé äéüñêåéåò ôùí ðåñéüäùí áñãßáò I, ôùí ðåñéüäùí óõíå ïýò ëåéôïõñãßáò Y êáé ôùí êýêëùí áðáó üëçóçò Z ìáò åíäéáöýñïõí êõñßùò áðü ôçí ïðôéêþ óêïðéü ôùí õðçñåôþí êáé ôïõ äéá åéñéóôþ ôïõ óõóôþìáôïò áöïý ôá ìýôñá áõôü åßíáé óçìáíôéêü ãéá íá ëçöèïýí áðïöüóåéò ó åôéêü ìå ôç óõíôþñçóç ôïõ óõóôþìáôïò Þ ìå äéáêïðýò-äéáëåßìáôá ôùí õðçñåôþí. Éó ýåé üôé Z = I +Y. Ãéá ôï ëüãï áõôü åíäéáöåñüìáóôå ãéá ôç ìåëýôç ôùí áíôßóôïé ùí ïñéáêþí êáôáíïìþí F I (x), F Y (x) êáé F Z (x), Þ ôïõëü éóôïí ôùí áíôßóôïé ùí ìýóùí ôéìþí ôïõò I, Y êáé Z. k= 3 ÅìöõôåõìÝíåò äéáäéêáóßåò óå óôéãìýò áößîåùí êáé áíá ùñþóåùí ¼ðùò åßðáìå ðáñáðüíù ï äéá åéñéóôþò ôïõ óõóôþìáôïò, ðïõ ìðïñåß íá èåùñçèåß ùò Ýíáò åîùôåñéêüò ðáñáôçñçôþò ôïõ óõóôþìáôïò, Ý åé ìéá äéáöïñåôéêþ áíôßëçøç áðü ôïõò ðåëüôåò ôïõ óõóôþìáôïò. Ãéá ôï ëüãï áõôü ïñßóáìå êáé ôá äéüöïñá ìýôñá áðüäïóçò. Ãéá íá ãßíåé ðåñéóóüôåñï êáôáíïçôþ ç äéáöïñü ôùí äõï ïðôéêþí, äéá åéñéóôþ-åîùôåñéêïý ðáñáôçñçôþ êáé ðåëáôþí áò öáíôáóôïýìå üôé Ý ïõìå Ýíá D=D= óýóôçìá êáé áò åîåôüóïõìå ôß áíôéëáìâüíåôáé ï äéá åéñéóôþò êáé ôß ïé ðåëüôåò. Óå Ýíá ðñþôï óåíüñéï, áò õðïèýóïõìå üôé Ý ïõìå áößîåéò óå óôáèåñü ñïíéêü äéáóôþìáôá, êüèå 0 ëåðôü êáé üôé ïé ñüíïé åîõðçôýôçóçò åßíáé åðßóçò óôáèåñïß êáé ßóïé ìå 9 ëåðôü. Ôüôå ï äéá åéñéóôþò âëýðåé ôï óýóôçìá ðïëý áðáó ïëçìýíï, ãéá ôçí áêñßâåéá âëýðåé üôé ôï 90% ôïõ ñüíïõ óôï óýóôçìá õðüñ åé ðåëüôçò åíþ ìüíï Ýíá 0% ôïõ ñüíïõ ôï óýóôçìá åßíáé Üäåéï. Áðü ôçí Üëëç ìåñéü êüèå 6

7 ðåëüôçò âëýðåé ôï óýóôçìá Üäåéï ôç óôéãìþ ðïõ öèüíåé óå áõôü (áöïý ï ðñïçãïýìåíïò ðåëüôçò Ý åé öýãåé ðñéí ëåðôü). Q(t) Óå Ýíá äåýôåñï óåíüñéï, áò õðïèýóïõìå üôé ïé ñüíïé ìåôáîý ôùí áößîåùí åßíáé êáé ðüëé óôáèåñïß êáé ßóïé ìå 0 ëåðôü, áëëü ôþñá èåùñïýìå üôé ïé ñüíïé åîõðçñýôçóçò äéáñêïýí ëåðôü ãéá êüèå ðåëüôç. Ôþñá ï äéá åéñéóôþò âëýðåé ôï óýóôçìá ðïëý ëßãï áðáó ïëçìýíï, áöïý ôï 0% ìüëéò ôïõ ñüíïõ õðüñ åé ðåëüôçò åíþ ôï 90% ôïõ ñüíïõ ôï óýóôçìá åßíáé Üäåéï. Áðü ôçí Üëëç ìåñéü ç åíôýðùóç ðïõ áðïêïìßæåé êüèå ðåëüôçò öèüíïíôáò óôï óýóôçìá äåí äéáöýñåé áðü ôçí åíôýðùóç ðïõ Ý ïõí ïé ðåëüôåò óôï ðñþôï óåíüñéï: Êáé ðüëé êüèå ðåëüôçò âëýðåé ôï óýóôçìá Üäåéï ôç óôéãìþ ðïõ åéóýñ åôáé óå áõôü. t Q(t) 2 3 Ôï óõìðýñáóìá åßíáé üôé ïé ïðôéêýò ôïõ åîùôåñéêïý ðáñáôçñçôþ êáé ôïõ ðåëüôç ìðïñåß íá äßíïõí ðïëý äéáöïñåôéêýò åéêüíåò ãéá ôï ßäéï óýóôçìá. Åðßóçò äõï óõóôþìáôá ìðïñåß íá ìïéüæïõí ðáñüìïéá õðü ôç ìßá ïðôéêþ (üðùò ôá äõï óåíüñéá õðü ôçí ïðôéêþ ôùí ðåëáôþí) êáé íá åßíáé ðïëý äéáöïñåôéêü õðü ôçí Üëëç ïðôéêþ (üðùò ôá äõï óåíüñéá õðü ôçí ïðôéêþ ôïõ äéá åéñéóôþ). Áí óêåöôïýìå üôé ïé ðåëüôåò äåí åßíáé ðáèçôéêýò ïíôüôçôåò áëëü ìðïñåß íá áðïöáóßæïõí ôé èá êüíïõí óå ó Ýóç ìå ôï óýóôçìá (ð.. íá ìðïõí óå áõôü Þ íá öýãïõí) Ý åé ìåãüëç óçìáóßá íá ðïóïôéêïðïéþóïõìå ìå êüðïéï ôñüðï ôï ðþò áíôéëáìâüíïíôáé ôï óõíùóôéóìü ôïõ óõóôþìáôïò ïé ðåëüôåò êáôü ôçí ÜöéîÞ ôïõò Þ ôçí áíá þñçóþ ôïõò. Ðñïò ôï óêïðü áõôü Ýóôù t < t 2 < t 3 < : : : ïé äéáäï éêýò óôéãìýò áößîåùí êáé < 2 < 3 < : : : ïé äéáäï éêýò óôéãìýò áíá ùñþóåùí ôùí ðåëáôþí. Îåêéíþíôáò áðü ôç óôï áóôéêþ äéáäéêáóßá {Q(t)} ðïõ ðåñéãñüöåé ôïí áñéèìü ôùí ðåëáôþí óôï óýóôçìá óå óõíå Þ ñüíï, ïñßæïõìå ôéò åìöõôåõìýíåò äéáäéêáóßåò {Q n } êáé {Q + n } óå óôéãìýò áößîåùí êáé áíá ùñþóåùí ðåëáôþí áíôßóôïé á. ôóé ïñßæïõìå Q n = Q(t n ) ôïí áñéèìü ôùí ðåëáôþí áìýóùò ðñéí ôçí n-ïóôþ Üöéîç ðåëüôç (äçëáäþ ôùí áñéèìü ôùí ðáñüíôùí ðåëáôþí ðïõ âëýðåé ï n-ïóôüò ðåëüôçò êáèþò åéóýñ åôáé óôï óýóôçìá), t 7

8 Q + n = Q( n + ) ôïí áñéèìü ôùí ðåëáôþí áìýóùò ìåôü ôçí n-ïóôþ áíá þñçóç ðåëüôç (äçëáäþ ôùí áñéèìü ôùí ðåëáôþí ðïõ áöþíåé ðßóù ôïõ êáôü ôçí Ýîïäï ôïõ ï n-ïóôüò ðåëüôçò ðïõ öåýãåé áðü ôï óýóôçìá). Åíäéáöåñüìáóôå ãéá ôéò áíôßóôïé åò ïñéáêýò êáôáíïìýò ðïõ ðåñéãñüöïõí ôçí åíôýðùóç ðïõ äéáìïñöþíåé Ýíáò ðåëüôçò ôç óôéãìþ ðïõ åéóýñ åôáé óôï óýóôçìá êáé ôç óôéãìþ ðïõ áíá ùñåß áðü áõôü, åöüóïí ôï óýóôçìá âñßóêåôáé óå êáôüóôáóç éóïññïðßáò. ÓõãêåêñéìÝíá ïñßæïõìå: êáé r j = lim n Pr[Q n = j] ÐëÞèïò áößîåùí ðïõ âñßóêïõí j ðåëüôåò óôï óýóôçìá ìåôáîý ôùí ðñþôùí n = lim n n n = lim {Q n n k = j}; j = 0; ; : : : k= d j = lim n Pr[Q+ n = j] ÐëÞèïò áíá ùñþóåùí ðïõ áöþíïõí j ðåëüôåò óôï óýóôçìá ìåôáîý ôùí ðñþôùí n = lim n n n = lim {Q + n n k = j}; j = 0; ; : : : : k= Ïé r j êáé d j åßíáé ïé ïñéáêýò ðéèáíüôçôåò íá âñßóêïíôáé j ðåëüôåò óôï óýóôçìá óå óôéãìýò áößîåùí êáé áíá ùñþóåùí áíôßóôïé á, åíþ ç p j åßíáé ç ïñéáêþ ðéèáíüôçôá óå óõíå Þ ñüíï. ¼ðùò êáé ç p j, Ýôóé êáé ïé r j êáé d j Ý ïõí åñìçíåßåò ùò ðïóïóôü. ÓõãêåêñéìÝíá ç r j åêöñüæåé ôï ìáêñïðñüèåóìï ðïóïóôü ôùí áößîåùí ðïõ âñßóêïõí j ðåëüôåò óôï óýóôçìá, åíþ ç d j åêöñüæåé ôï ìáêñïðñüèåóìï ðïóïóôü ôùí áíá ùñþóåùí ðïõ áöþíïõí j ðåëüôåò óôï óýóôçìá. Äåí õðüñ åé êüðïéïò ëüãïò ïé ïñéáêýò êáôáíïìýò (p j ), (r j ) êáé (d j ) íá óõìðßðôïõí êáé ãåíéêü áõôü äåí éó ýåé. ÐñÜãìáôé, ðáñáôçñåßóôå üôé óôá äõï óåíüñéá ãéá ôçí D=D= ïõñü ðïõ ðåñéãñüøáìå ðáñáðüíù åß áìå r 0 = êáé r j = 0; j, åíþ óôï ðñþôï óåíüñéï åß áìå p 0 = 0:, p = 0:9, p j = 0; j 2 êáé óôï äåýôåñï åß áìå p 0 = 0:9, p = 0:, p j = 0; j 2. 4 Ñõèìüò óõíùóôéóìïý - ÅõóôÜèåéá Ôï ìýóï ðïóü åñãáóßáò ðïõ åéóýñ åôáé ðñïò äéåêðåñáßùóç óôï óýóôçìá áíü ñïíéêþ ìïíüäá áíáöýñåôáé ùò ï ñõèìüò óõíùóôéóìïý êáé éóïýôáé ìå ôï ãéíüìåíï ôïõ ñõèìïý áößîåùí åðß ôï ìýóï ñüíï åîõðçñýôçóçò b: = b: Ôï ðïóü ôçò åñãáóßáò ðïõ ìðïñåß íá äéåêðåñáéþóåé ôï óýóôçìá áíü ñïíéêþ ìïíüäá åßíáé ßóï ìå ôï ðëþèïò ôùí õðçñåôþí c áöïý êüèå õðçñýôçò ìðïñåß íá äéåêðåñáéþóåé ìéá ìïíüäá åñãáóßáò áíü ñïíéêþ 8

9 ìïíüäá. ôóé ãéá íá åßíáé ôï óýóôçìá åõóôáèýò êáé íá íá ìçí áðåéñßæåôáé ç ïõñü áíáìýíïõìå äéáéóèçôéêü üôé èá ðñýðåé ôï ìýóï ðïóü åñãáóßáò ðïõ åéóýñ åôáé áíü ñïíéêþ ìïíüäá íá åßíáé ìéêñüôåñï áðü ôç ìýãéóôç äõíáôüôçôá äéåêðåñáßùóçò ôïõ óõóôþìáôïò áíü ñïíéêþ ìïíüäá. ÐñÜãìáôé, áðïäåéêíýåôáé üôé Èåþñçìá - ÅõóôÜèåéá: Óôï GI=G=c óýóôçìá ìå óõíå Þ êáôáíïìþ ãéá ôïõò åíäéüìåóïõò ñüíïõò ìåôáîý ôùí áößîåùí êáé/þ ôïõò ñüíïõò åîõðçñýôçóçò éó ýåé Ýíá áêñéâþò áðü ôá ðáñáêüôù:. < c ïðüôå ôï óýóôçìá åßíáé åõóôáèýò, äçëáäþ õðüñ ïõí ïé êáôáíïìýò (p j ), (r j ) êáé (d j ) êáé åßíáé p j > 0; j 0 êáé j=0 p j = (êáé üìïéá ãéá ôéò (r j ) êáé (d j )). 2. c ïðüôå ôï óýóôçìá åßíáé áóôáèýò, äçëáäþ ôï ðëþèïò ôùí ðåëáôþí áðåéñßæåôáé êáèþò t êáé p j = r j = d j = 0; j 0. Ç áðüäåéîç ôïõ áðïôåëýóìáôïò áõôïý åßíáé éäéáßôåñá ðåñßðëïêç. Ï åíäéáöåñüìåíïò áíáãíþóôçò ðáñáðýìðåôáé óôï âéâëßï ôùí Baccelli and Bremaud (994) üðïõ áðïäåéêíýïíôáé èåùñþìáôá åõóôüèåéáò êáé Üëëá èåùñçôéêü áðïôåëýóìáôá êüôù áðü ãåíéêýò óõíèþêåò. 5 Éäéüôçôá ìåìïíùìýíùí ìåôáâüóåùí êáé éäéüôçôá PASTA ¼ðùò åßðáìå ïé ïñéáêýò êáôáíïìýò (p j ), (r j ) êáé (d j ) ãåíéêü äåí óõìðßðôïõí. ÕðÜñ ïõí üìùò äõï ðåñéðôþóåéò óôéò ïðïßåò êüðïéåò áðü áõôýò óõìðßðôïõí. ÓõãêåêñéìÝíá Ý ïõìå ôá áêüëïõèá áðïôåëýóìáôá. Èåþñçìá 2 - Éäéüôçôá ìåìïíùìýíùí ìåôáâüóåùí: Óå óõóôþìáôá åîõðçñýôçóçò óôá ïðïßá ïé ðåëüôåò Ýñ ïíôáé êáé áíá ùñïýí ìåìïíùìýíá, äçëáäþ äåí õðüñ ïõí ïìáäéêýò áößîåéò ïýôå ïìáäéêýò áíá ùñþóåéò ïé ïñéáêýò êáôáíïìýò óå óôéãìýò áößîåùí êáé óå óôéãìýò áíá ùñþóåùí óõìðßðôïõí: (r j ) = (d j ). Èåþñçìá 3 - Éäéüôçôá Poisson Arrivals See Time Averages (PASTA): Óå óõóôþìáôá åîõðçñýôçóçò óôá ïðïßá ïé ðåëüôåò Ýñ ïíôáé óýìöùíá ìå ìéá äéáäéêáóßá Poisson (äçëáäþ ïé åíäéüìåóïé ñüíïé ìåôáîý ôùí áößîåùí åßíáé áíåîüñôçôïé êáé éóüíïìïé ìå åêèåôéêþ êáôáíïìþ) ïé ïñéáêýò êáôáíïìýò óå óôéãìýò áößîåùí êáé óå óõíå Þ ñüíï óõìðßðôïõí: (r j ) = (p j ). Ç äéáéóèçôéêþ áéôéïëüãçóç ôçò éäéüôçôá PASTA åßíáé üôé ç äéáäéêáóßá Poisson ìïíôåëïðïéåß ôçí éäýá ôùí åíôåëþò ôõ áßùí áößîåùí óôï ñüíï êáé åðïìýíùò ç ðáñáôþñçóç ôïõ áñéèìïý ôùí ðåëáôþí êáôü ôç óôéãìþ ôçò Üöéîç åíüò ðåëüôç óôï óýóôçìá éóïäõíáìåß ìå ôçí ðáñáôþñçóç ôïõ áñéèìïý ôùí ðåëáôþí óå ìéá ôõ áßá ñïíéêþ óôéãìþ (óå óõíå Þ ñüíï). Ç áõóôçñþ áðüäåéîç áõôþí ôùí áðïôåëåóìüôùí êüôù áðü ôüóï ãåíéêýò óõíèþêåò åßíáé áñêåôü áðáéôçôéêþ. Ï åíäéáöåñüìåíïò áíáãíþóôçò ðáñáðýìðåôáé óôï âéâëßï ôùí Baccelli and Bremaud (994), üðïõ õðüñ ïõí êáé Üëëá óõíáöþ áðïôåëýóìáôá. Óôï âéâëßï ôïõ Öáêßíïõ (2003) õðüñ åé ìéá ðåñéãñáöþ áõôþí ôùí áðïäåéêôéêþí éäåþí. 9

10 ÖõóéêÜ ìðïñïýìå íá óõíäõüóïõìå ôá äõï áõôü áðïôåëýóìáôá êáé ôüôå Ý ïõìå üôé óå óõóôþìáôá ðïõ ïé ðåëüôåò Ýñ ïíôáé óýìöùíá ìå ìéá äéáäéêáóßá Poisson êáé Ý ïõìå ìåìïíùìýíåò ìåôáâüóåéò (áößîåéò, áíá ùñþóåéò) üëåò ïé ïñéáêýò êáôáíïìýò óõìðßðôïõí: (p j ) = (r j ) = (d j ). 6 Ï íüìïò ôïõ Little Ï íüìïò ôïõ Little åßíáé Ýíá ðïëý ãåíéêü áðïôýëåóìá ðïõ óõíäýåé ôï ìýóï ðëþèïò ðåëáôþí óôï óýóôçìá E[Q], ôï ñõèìü áößîåùí êáé ôï ìýóï ñüíï ðáñáìïíþò åíüò ðåëüôç E[S] óå áõôü. ÓõãêåêñéìÝíá Ý ïõìå Èåþñçìá 4 - Íüìïò ôïõ Little: óôù Ýíá óýóôçìá åîõðçñýôçóçò ìå ìýóï ðëþèïò ðåëáôþí E[Q], ñõèìü áößîåùí êáé ìýóï ñüíï ðáñáìïíþò ðåëüôç E[S]. Ôüôå E[Q] = E[S]: ÄéáéóèçôéêÜ, ôï áðïôýëåóìá ôïõ Little ìðïñåß íá ãßíåé êáôáíïçôü èåùñþíôáò üôé êüèå ðåëüôçò ðëçñþíåé ñçìáôéêþ ìïíüäá áíü ñïíéêþ ìïíüäá ðáñáìïíþò ôïõ óôï óýóôçìá. Ôüôå ï äéá åéñéóôþò ôïõ óõóôþìáôïò ëáìâüíåé E[Q] ñçìáôéêýò ìïíüäåò óôç ìïíüäá ôïõ ñüíïõ, áí õðïèýóïõìå üôé ç ðëçñùìþ ãßíåôáé êáôü ôñüðï \óõíå Þ". Áðü ôçí Üëëç ìåñéü ç ìýóç åßóðñáîç ôïõ äéá åéñéóôþ óôç ìïíüäá ôïõ ñüíïõ èá ðñýðåé íá åßíáé ç ßäéá áí ïé ðåëüôåò ðëçñþíïõí \ðñïêáôáâïëéêü", äçëáäþ áí ìå ôçí åßóïäü ôïõò óôï óýóôçìá äßíïõí üëï ôï ðïóü ãéá ôçí ðáñáìïíþ ôïõò. ÁëëÜ ôüôå èá Ý ïõìå êáôü ìýóï üñï ðåëüôåò áíü ñïíéêþ ìïíüäá êáé ï êáèýíáò èá ðëçñþíåé E[S] ñçìáôéêýò ìïíüäåò, ïðüôå ç óõíïëéêþ åßóðñáîç ôïõ äéá åéñéóôþ èá åßíáé E[S] ñçìáôéêýò ìïíüäåò óôç ìïíüäá ôïõ ñüíïõ. Áöïý ôá äõï ðïóü ðñýðåé íá åßíáé ßóá (óõíå Þò åßóðáñáîç - ðñïêáôáâïëéêþ åßóðñáîç) Ý ïõìå ôç ó Ýóç E[Q] = E[S]. ÁõóôçñÝò áðïäåßîåéò ôïõ èåùñþìáôïò Little Ý ïõí ãßíåé êüôù áðü ðïëý ãåíéêýò óõíèþêåò. Ï åíäéáöåñüìåíïò áíáãíþóôçò ðáñáðýìðåôáé óôéò åñãáóßåò ôùí Little (96) êáé Stidham (974). Óôï âéâëßï ôïõ Öáêßíïõ (2003) õðüñ åé Ýíá óêáñßöçìá áõôþí ôùí áðïäåéêôéêþí éäåþí. Ôï áðïôýëåóìá ôïõ Little ìðïñåß íá åöáñìïóôåß êáé óå õðïóõóôþìáôá åíüò óõóôþìáôïò, äßíïíôáò åíäéáöýñïíôáé áðïôåëýóìáôá. Óôçí ðåñßðôùóç áõôþ ôï E[Q] èá áíáöýñåôáé óôï ìýóï ðëþèïò ðåëáôþí óôï óõãêåêñéìýíï õðïóýóôçìá, ôï óôï ñõèìü Üöéîçò óôï óõãêåêñéìýíï õðïóýóôçìá êáé ôï E[S] óôï ñüíï ðáñáìïíþò åíüò ðåëüôç óôï óõãêåêñéìýíï õðïóýóôçìá. Èåùñþíôáò ùò õðïóýóôçìá ôï þñï áíáìïíþò åíüò óõóôþìáôïò (äçëáäþ ôçí ïõñü) ðáßñíïõìå ôç ó Ýóç E[Q q ] = E[W ]; äçëáäþ ï ìýóïò áñéèìüò ðåëáôþí óôçí ïõñü éóïýôáé ìå ôï ñõèìü áößîåùí åðß ôï ìýóï ñüíï áíáìïíþò åíüò ðåëüôç ìý ñé íá áñ ßóåé ç åîõðçñýôçóþ ôïõ. 0

11 Èåùñþíôáò ùò õðïóýóôçìá ôï þñï åîõðçñýôçóçò åíüò óõóôþìáôïò ðáßñíïõìå ôç ó Ýóç E[Q s ] = E[X] = b = ; äçëáäþ ï ìýóïò áñéèìüò ðåëáôþí óôï þñï åîõðçñýôçóçò ðïõ ðñïöáíþò ôáõôßæåôáé ìå ôïí ìýóï áñéèìü áðáó ïëçìýíùí õðçñåôþí éóïýôáé ìå ôï ñõèìü óõíùóôéóìïý ôïõ óõóôþìáôïò. ôóé Ý ïõìå ìéá äåýôåñç åñìçíåßá ôïõ ñõèìïý óõíùóôéóìïý. ¼ é ìüíï åßíáé ôï ìýóï ðïóü åñãáóßáò ðïõ åéóýñ åôáé óôï óýóôçìá áíü ñïíéêþ ìïíüäá áëëü åðéðëýïí åêöñüæåé êáé ôï ìýóï áñéèìü áðáó ïëçìýíùí õðçñåôþí ìéá ôõ ïýóá ñïíéêþ óôéãìþ. ÅðåéäÞ ï ìýóïò áñéèìüò áðáó ïëçìýíùí õðçñåôþí éóïýôáé ìå ôï ðëþèïò c ôùí õðçñåôþí åðß ôçí ðéèáíüôçôá Ýíáò õðçñýôçò íá åßíáé áðáó ïëçìýíïò óõìðåñáßíïõìå üôé Ðéèáíüôçôá áðáó ïëçìýíïõ õðçñýôç=ðïóïóôü ôïõ ñüíïõ áðáó üëçóçò õðçñýôç = c : ÅéäéêÜ ãéá ôçí GI=G= ïõñü Ý ïõìå = E[Q s ] = 0 Pr[Q s = 0] + Pr[Q s = ] = Pr[Q s = ] = Pr[Q ] = p 0 ; åðïìýíùò óôçí ðåñßðôùóç áõôþ Ý ïõìå p 0 = Ðéèáíüôçôá êåíïý óõóôþìáôïò = : Ç éäéüôçôá PASTA óå óõíäõáóìü ìå ôï èåþñçìá Little ìðïñïýí íá ñçóéìïðïéçèïýí ãéá íá õðïëïãßóïõìå ìå ðéèáíïèåùñçôéêïýò óõëëïãéóìïýò êáé åëü éóôïõò õðïëïãéóìïýò ôá ìýôñá áðüäïóçò E[Q] êáé E[S] ãéá áñêåôü óõóôþìáôá, ùñßò íá ñåéáóôåß íá õðïëïãßóïõìå ôéò áíôßóôïé åò êáôáíïìýò. Ç áíüëõóç áõôþ áíáöýñåôáé óõ íü ùò áíüëõóç ìýóçò ôéìþò (Mean Value Analysis - MVA) êáé åßíáé Ýíá éäéáßôåñá éó õñü åñãáëåßï.