Μηχανική - Ρευστομηχανική

Transcript

1 Μηχανική - Ρευστομηχανική Ενότητα 4: Οι νόμοι κίνησης του Νεύτωνα Διδάσκων: Πομόνη Αικατερίνη, Αναπλ. Καθηγήτρια Επιμέλεια: Γεωργακόπουλος Τηλέμαχος, Υπ. Διδάκτωρ Φυσικής 2015 Θετικών Επιστημών Φυσικής

2 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2

3 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Πατρών» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3

4 Σκοποί ενότητας Πρώτος Νόμος του Νεύτωνα. Δεύτερος Νόμος του Νεύτωνα Τρίτος Νόμος του Νεύτωνα. Δυνάμεις επαφής και τριβής. Δυναμική της κυκλικής κίνησης

5 Νόμοι του Νεύτωνα Παρούσα κατάσταση Αίτιο ΝΟΜΟΙ ΚΙΝΗΣΗΣ Μέλλον Παρελθόν ΤΡΟΧΙΑ 1 ος Νόμος: αν F 0. Αποτελεί τον ορισμό του αδρανειακού συστήματος αναφοράς 2 ος dp Νόμος: F και στην Κλασσική Μηχανική F m a dt 3 ος Νόμος: F12 F F12 F21

6 1 ος Νόμος του Νεύτωνα Θεωρείται ξεχωριστός νόμος (και όχι μια μερική περίπτωση του 2 ου Νόμου του Νεύτωνα) γιατί αποτελεί τον ορισμό του αδρανειακού συστήματος αναφοράς Αν έχεις βάσιμους λόγους να πιστεύεις ότι η συνισταμένη των δυνάμεων που δρουν σε ένα σώμα είναι μηδενική και παρακολουθήσεις την κίνησή του, τότε αν η ταχύτητά του παραμένει σταθερή (.), το σύστημα αναφοράς που χρησιμοποιείς είναι αδρανειακό.

7 1 ος Νόμος του Νεύτωνα συνέχεια 1 Δεν διευκρινίζεται αν τα σώματα ηρεμούν ή κινούνται ευθύγραμμα ομαλά. Ένα σώμα σε ηρεμία για κάποιο αδρανειακό σύστημα αναφοράς, μπορεί να κινείται με. ως προς κάποιο άλλο σύστημα αναφοράς που κινείται με σταθερή ταχύτητα ως προς το πρώτο. Και για τους δυο παρατηρητές η επιτάχυνσή του είναι 0. Ο 1 ος νόμος του Νεύτωνα (αν F 0. ) είναι σε αντίφαση με την καθημερινή εμπειρία όπου φαίνεται ότι απαιτείται η δράση κάποιας εξωτερικής δύναμης για τη διατήρηση της κίνησης (λόγω τριβών). Γι αυτό ο Αριστοτέλης θεωρούσε την ταχύτητα άμεσα συνδεδεμένη με τη δύναμη. Χρειάστηκε να περάσουν 2000 χρόνια μέχρις ότου ο Νεύτωνας να συνδέσει τη μεταβολή της ταχύτητας με τη δύναμη.

8 1 ος Νόμος του Νεύτωνα συνέχεια 2 Κάθε σύστημα αναφοράς που κινείται με σταθερή ταχύτητα ως προς ένα αδρανειακό σύστημα αναφοράς, είναι επίσης αδρανειακό. 1 2 V V V Αδρανειακό 0 F 0. Το 2 κινείται με σταθερή ταχύτητα ως προς το 1 Πρέπει να δειχθεί ότι αν F 0. Όμως V d d dv d d ίv. dt dt dt dt dt a a, ήa0.

9 2 ος Νόμος του Νεύτωνα Ο ρυθμός μεταβολής της ορμής ενός σώματος είναι ανάλογος της δύναμης που δρα σ αυτό. dp d dm d F, P m F ( m ) m dt dt dt dt dm Αν 0, δηλαδή η μάζα δεν μεταβάλλεται με το χρόνο, dt γεγονός που ισχύει για ταχύτητες υ<<c d F m ma dt Για ταχύτητες συγκρίσιμες με την ταχύτητα του φωτός m 1 m o 2 2 c c

10 3 ος Νόμος του Νεύτωνα Όταν ένα σώμα 1 αλληλεπιδρά με σώμα 2 (δράση), απαραίτητα και το σώμα 2 αλληλεπιδρά με το σώμα 1(αντίδραση) Δράση Αντίδραση: ποτέ στο ίδιο σώμα F F (1) Η άσκηση της Η άσκηση της F 12 F 21 1 F m 1 m 2 στο σώμα 1 προκαλεί την επιτάχυνσή του στο σώμα 2 προκαλεί την επιτάχυνσή του F F m a m a m a m a d1 d2 m1 m2 0 dt dt d m 11 m m 11 m 2 2. (2) dt F F F m a m a

11 3 ος Νόμος του Νεύτωνα συνέχεια Δηλαδή το άθροισμα των ποσοτήτων m1 1 και m2 2 παραμένει σταθερό. Οι ποσότητες αυτές ονομάζονται ορμές και η (2) αποτελεί την Αρχή Διατήρησης της Ορμής Ο νόμος δράσης - αντίδρασης F 12 F21 και επομένως η αρχή διατήρησης της ορμής προκύπτουν από την ομοιογένεια του χώρου που με τη σειρά της απορρέει από τη συμμετρία της φύσης Αν ένα πείραμα πραγματοποιηθεί υπό τις ίδιες ακριβώς συνθήκες σε δυο διαφορετικούς τόπους, θα προκύψουν τα ίδια ακριβώς αποτελέσματα

12 Παραδείγματα στους νόμους του Νεύτωνα 1 1. Άνθρωπος σε ζυγό με ελατήριο πρέπει να παραμείνει ακίνητος προκειμένου να βρει το πραγματικό του βάρος W F ελ F ελ Ακίνητος: F ελ =W (1) Η αντίδραση της F ελ που ασκεί το ελατήριο στον άνθρωπο είναι η F ελ που ασκείται στο ζυγό και αποτελεί την ένδειξη του ζυγού. F ελ = F ελ (2) Από τις (1) και (2) προκύπτει F ελ =W. α W F ελ α) Αν ο άνθρωπος κινηθεί προς τα κάτω, κάμπτοντας τα γόνατά του, με επιτάχυνση α W F ma F W ma F F W maw θα διαβάσει μικρότερη τιμή από το βάρος του F ελ

13 α Παραδείγματα στους νόμους του F ελ Νεύτωνα 2 β)αν ο άνθρωπος από τη θέση αυτή κινηθεί προς τα πάνω, τεντώνοντας τα γόνατά του W F ελ F W ma F W ma F F W ma W, θα διαβάσει μεγαλύτερη από το βάρος του τιμή. 2. Σώμα ηρεμεί πάνω σε οριζόντιο επίπεδο. Οι δυνάμεις που δρουν στο σώμα είναι το βάρος του W από τη Γη. Η αντίδραση του βάρους είναι το W και εξασκείται στο κέντρο της Γης. Εκτός από το βάρος στο σώμα δρα και η δύναμη Ν από το επίπεδο λόγω της επαφής τους. Η αντίδραση της Ν είναι η Ν και δρα στο επίπεδο W Γή Η αντίδραση του βάρους δεν είναι η Ν Ν W Ν Επειδή το σώμα ηρεμεί η συνισταμένη των δυνάμεων που δρουν σ αυτό είναι μηδενική, δηλαδή W=Ν

14 Παραδείγματα στους νόμους του Νεύτωνα 3 N 2 W Δρομέας N N 1 3. O δρομέας προκειμένου να κερδίσει μεγάλη προς τα εμπρός ώθηση, κατά την εκκίνηση ακουμπάει το πόδι του σε βατήρα με κλίση. Η δύναμη Ν που δέχεται απ αυτόν, κάθετη στην επιφάνεια επαφής τους, έχει μια μικρή κατακόρυφη συνιστώσα Ν 2 και μια μεγάλη οριζόντια συνιστώσα Ν 1 που τον επιταχύνει προς τα εμπρός.

15 P Παραδείγματα στους νόμους του Νεύτωνα 4 Το κατακόρυφο σώμα βάρους W ηρεμεί πάνω σε κεκλιμένο επίπεδο με γωνία κλίσης θ και παραμένει σε ισορροπία μεταξύ δυο σωμάτων οδηγών G και G, με τη βοήθεια μιας οριζόντιας δύναμης P που ασκείται στο κεκλιμένο επίπεδο. Όλες οι επιφάνειες είναι λείες α) Να βρεθεί η οριζόντια δύναμη P σαν συνάρτηση των W και θ. β) Τι εμποδίζει το κεκλιμένο επίπεδο να επιταχυνθεί προς τα δεξιά; γ) Τι εμποδίζει το κατακόρυφο σώμα να επιταχυνθεί προς τα δεξιά; G G θ

16 Παραδείγματα στους νόμους του Νεύτωνα 4 συνέχεια P G Ν x F Ν y θ W Ν F Ν x G N 1 α) Σώμα: Ασκούνται W, N, F και F N y =Ncosθ W=N y =Ncosθ (1) N x =Nsinθ N F F Κεκλιμένο επίπεδο: Ν Ν y W 1 θ Ασκούνται P, N, W 1, N 1 P=N x=n x =Nsinθ (2) x Nsinθ P P ( 1),( 2) tanθ P Wtanθ Ncosθ W W β) Η F F εμποδίζει την κίνηση του σώματος προς τα δεξιά γ) Η αντίδραση N x εμποδίζει την προς τα δεξιά κίνηση του κεκλιμένου επιπέδου.

17 Τριβή 1 Κατά την επαφή δυο σωμάτων αναπτύσσονται δυνάμεις που αντιτίθενται σε κάθε προσπάθεια σχετικής τους κίνησης αν τα σώματα ηρεμούν, ή επιβραδύνουν την κίνησή τους αν κινούνται το ένα σε σχέση με το άλλο Σε μικροσκοπική κλίμακα, ακόμη και οι επιφάνειες που θεωρούνται λείες και καθαρές έχουν εσοχές και προεξοχές. Όταν τα σώματα έλθουν σε επαφή, η πραγματική επιφάνεια επαφής αποτελεί ένα πολύ μικρό μέρος της ολικής μακροσκοπικής επιφάνειας επαφής. Υπό την πίεση του βάρους, οι προεξοχές παραμορφώνονται και αναπτύσσονται δυνάμεις ηλεκτρομαγνητικής φύσης μεταξύ των μορίων των δυο επιφανειών.

18 Τριβή 2 Η εικόνα που ακολουθεί αποτελεί, σε απλουστευμένο επίπεδο, μια προσπάθεια κατανόησης της δράσης αυτών των δυνάμεων Σώμα 1 N F F F F1 F2 F 2 Y F F 1y F 2y 1 2 F F F F 1x 2x 0 1y 2y y 0, y F F F F N F F 1x Όταν εφαρμόζεται εξωτερική δύναμη F, το μέτρο των F 1 αυξάνεται ενώ το μέτρο των F 2 μειώνεται. F 1 Ts Σώμα 1 F 1 F 2 Σώμα 2 Σώμα 2 N F 1 F 2 F 2 F 1 F 1x F 2x F 1y F 2y Y F 2 F 2x F 0, F X, F T F 0, F Y, F N X x x x s y y y

19 Τριβή 3 Όσο αυξάνεται η F αυξάνεται και η δύναμη της στατικής τριβής Τ s μέχρι κάποια οριακή τιμή Τ sορ. Εάν F>Τ sορ, αρχίζει η ολίσθηση. Τότε οι ανωμαλίες στις επιφάνειες των δυο σωμάτων παύουν να έχουν την ίδια δυνατότητα να διεισδύσουν σε βάθος και οι δυνάμεις αλληλεπίδρασης των μορίων τους είναι λιγότερο ισχυρές. Επομένως η απαιτούμενη για την ολίσθηση εξωτερική δύναμη είναι μικρότερη. Η δύναμη τριβής δεν εξαρτάται από την μακροσκοπική επιφάνεια επαφής. Όταν η μακροσκοπική επιφάνεια επαφής είναι μικρή, η πίεση είναι μεγαλύτερη κι επομένως οι παραμορφώσεις των προεξοχών είναι μεγαλύτερες. Όταν η μακροσκοπική επιφάνεια επαφής είναι μεγάλη, η πίεση είναι μικρότερη κι επομένως οι παραμορφώσεις των προεξοχών είναι μικρότερες, όπως φαίνεται στο σχήμα

20 Τριβή 4 Η ειδική φύση των επιφανειών που έρχονται σε επαφή καθορίζει πόσο μεγάλη είναι η Τ sορ. Η τριβή εξαρτάται και από την συνισταμένη Ν των καθέτων στην επιφάνεια επαφής συνιστωσών των δυνάμεων αλληλεπίδρασης. Όταν η εξωτερικά εφαρμοζόμενη δύναμη είναι το σώμα ηρεμεί και Τ s =F (Τ s =στατική τριβή). Τ sορ =μ s Ν, όπου μ s ο συντελεστής στατικής τριβής. FT s Όταν F>Τ sορ, τότε η τριβή είναι τριβή ολίσθησης Τ κ και Τ κ =μ κ Ν, όπου μ κ ο συντελεστής τριβής ολίσθησης

21 Στατική Τριβή παράδειγμα 1 Η στατική τριβή Τ s εμποδίζει το ποτήρι να γλιστρήσει T s T s T s : στατική τριβή γιατί το όχημα δεν γλιστρά και ασκείται στους τροχούς του οχήματος. Η αντίδρασή της Τ s : ασκείται στο οδόστρωμα. W T s T s

22 Στατική Τριβή παράδειγμα 2 N, T s (στατική τριβή γιατί το πέλμα δεν γλιστρά) : ασκούνται από το πέλμα στο έδαφος. Ts, Ν: ασκούνται από το έδαφος στο πέλμα. Η T s ωθεί τον άνθρωπο να κινηθεί. T s N T s N

23 Στατική Τριβή παράδειγμα 2 συνέχεια Στον πάγο ο συντελεστής στατικής τριβής μ s είναι μικρός. Για δεδομένο Ν, η Τ sορ =μ s Ν είναι μικρή. Απαιτούνται μικρά βήματα ώστε να εξασφαλιστεί T s < Τ sορ. Στην άμμο, σε κάθε βήμα, τα σωματίδια της άμμου υπό την επίδραση της Τ κ γλιστρούν το ένα ως προς το άλλο και επομένως η Τ κ είναι τριβή ολίσθησης, όπως και η αντίδρασή της Τ κ.

24 Κώνος Τριβής Σώμα P που βρίσκεται σε επίπεδο ηρεμεί υπό την επίδραση δύναμης που μπορεί να έχει διάφορες διευθύνσεις παράλληλες στο επίπεδο Ν P θ max R Τ sορ Για δεδομένο Ν, 0 T s Τ sορ. Επομένως η συνισταμένη δύναμη από το έδαφος R σχηματίζει γωνία θ. T T s s tan s tan N max Κατά συνέπεια για όλες τις πιθανές διευθύνσεις της δύναμης, οι R θα βρίσκονται μέσα σε ένα κώνο με κορυφή το P και γωνία θ max = tan -1 μ s.

25 Στατική Τριβή παράδειγμα 3 Για ποιες τιμές της επιτάχυνσης a της πλατφόρμας το σώμα μάζας m ηρεμεί ως προς αυτήν; N m T s a O w Για τον παρατηρητή Ο η μάζα m κινείται μαζί με την πλατφόρμα με επιτάχυνση a. Επομένως Τ s =ma. Η τριβή Τ s είναι στατική γιατί το σώμα δεν κινείται ως προς τη πλατφόρμα. Τ s Τ sορ = μ s N= μ s mg ma μ s mg, επομένως a μ s g

26 Εύρεση των συντελεστών μ s, μ κ A. Σώμα μάζας m ισορροπεί πάνω σε κεκλιμένο επίπεδο με μεταβλητή γωνία κλίσης θ T s Wcosθ C. Περαιτέρω αύξηση της γωνίας θ έστω σε θ 2, προκαλεί ολίσθηση του σώματος το οποίο αποκτά επιτάχυνση. Wsinθ 2 Τ κ =mα, Τ κ =μ κ N, Ν=Wcosθ 2 και επομένως tanθ 1 >μ κ T κ W Ν Ν Wsinθ Wsinθ 2 θ B. Αυξάνουμε σταδιακά τη γωνία μέχρις ότου να επίκειται ολίσθηση έστω για θ=θ 1 Wsinθ 1 =Τ sορ =μ s N, Ν=Wcosθ 1, tanθ 1 =μ s T sορ Wcosθ 1 D. Aν στη συνέχεια μειωθεί η γωνία, έστω στην τιμή θ 3, ώστε το σώμα να κινηθεί με σταθερή ταχύτητα Wsinθ 3 =Τ κ Τ κ =μ κ N=μ κ Wcosθ 3 και επομένως tanθ 3 =μ κ. T κ Ν Wsinθ 1 W θ 1 Ν Wsinθ 3 Wcosθ 2 W θ 2 Wcosθ 3 W θ 3

27 Εύρεση των συντελεστών μ s, μ κ Προς αντλία Οι τιμές των συντελεστών μ s, μ κ είναι συνήθως μικρότερες του 1. Ένας τρόπος να αυξηθούν σε τεράστιες τιμές είναι το σύστημα των σωμάτων που είναι σε επαφή να τεθεί σε χώρο που μπορεί να αντληθεί. Όταν τα σώματα βρίσκονται στον αέρα, στις επιφάνειές τους αναπτύσσονται υμένια οξειδίων τα οποία εμποδίζουν την μεταξύ των μορίων τους αλληλεπίδραση. Η άντληση μειώνει σημαντικά τη δημιουργία οξειδίων, η αλληλεπίδραση καθίσταται ισχυρή και οι μ s, μ κ λαμβάνουν πολύ υψηλές τιμές.

28 Στατική Τριβή παράδειγμα 4 Σώμα μάζας m=15kg βρίσκεται σε επαφή με κατακόρυφο τοίχο. Στο σώμα ασκείται δύναμη F όπως στο σχήμα. Να βρείτε τις περιοχές τιμών που πρέπει να παίρνει η δύναμη F ώστε να μην επίκειται ολίσθηση του σώματος στον κατακόρυφο τοίχο, όταν φ=30 ο α) ούτε προς τα επάνω, β) ούτε προς τα κάτω. Δίνονται οι συντελεστές στατικής τριβής και τριβής ολίσθησης μεταξύ τοίχου και σώματος, μ s =0.5, μ k =0.3 αντίστοιχα, και g=10m/s 2 Y α) Όταν επίκειται ολίσθηση προς τα πάνω N m F y φ T s w F x F x F x =N, F y =W+T s, T s T sορ =μ s N =μ s F x F y -W=T s μ s F x, Fcosφ- μ s Fsinφ W, F mg cos s sin

29 Στατική Τριβή παράδειγμα 4 συνέχεια Προφανώς θα πρέπει tanφ < μ -1 s. Με φ=30 ο mg 2mg 300N 300N F 243.9N s s 2 2 β) Όταν επίκειται ολίσθηση προς τα κάτω Ν Y F y m w F x =N, F y +T s =W, T s T sορ =μ s N =μ s F x, W-F y =T s μ s F x W- Fcosφ μ s Fsinφ T φ s F x W W F cos s sin 3 1 s 2 2 2mg 300N 134.4N s

30 Στατική Τριβή παράδειγμα 5 Σώμα Α, m=400g, τοποθετείται πάνω σε σώμα Β μάζας Μ=2Kg, όπως στο σχήμα Οι συντελεστές στατικής τριβής και τριβής ολίσθησης μεταξύ των σωμάτων Α και Β είναι μ s1 =0.6 και μ κ1 =0.55 αντίστοιχα, ενώ οι αντίστοιχοι συντελεστές μεταξύ του σώματος Β και του δαπέδου είναι μ s2 =0.5 και μ κ2 =0.4. Στο σώμα Β Ασκείται οριζόντια δύναμη που μεταβάλλεται με το χρόνο t, που εκφράζεται σε δευτερόλεπτα, έτσι ώστε F=0.3t (N) α) Να υπολογιστεί μέχρι ποια χρονική στιγμή το όλο σύστημα θα ηρεμεί β) Όταν το σώμα Β αρχίσει να κινείται ενώ το σώμα Α συνεχίζει να ακινητεί ως προς το Β, να σημειωθούν οι δυνάμεις που ασκούνται σε κάθε σώμα χωριστά και να αναφερθεί ποιος τις ασκεί γ) Όταν το σώμα Β κινείται, να βρεθεί μέχρι ποια χρονική στιγμή το σώμα Α ακινητεί ως προς το Β. Ποια είναι τότε η τιμή της επιτάχυνσης του συστήματος; (g=10m/s 2 )

31 T s B Στατική Τριβή παράδειγμα 5 A N F συνέχεια 1 α) Θεωρώντας τα σώματα Α και Β σαν ένα σύστημα, το σύστημα αυτό θα ηρεμεί για όσο χρόνο F T sορ με T sορ =μ s2 Ν Σώμα Α B w w 1 2 N 1 A w 1 T s1 Ν=w 1 +w 2 F =0.3t T sορ =μ s2 Ν = μ s2 (w 1 +w 2 ), t 40 s β) Όταν το σώμα Β επιταχύνεται ενώ το σώμα Α ηρεμεί, στο Α ασκούνται οι δυνάμεις: το βάρος του w 1 από τη Γη, η δύναμη Ν 1 από το σώμα Β και η στατική τριβή Τ s1 από το σώμα B λόγω επαφής τους. O (Για τον παρατηρητή Ο το Α κινείται μαζί με το σώμα Β και επομένως επιταχύνεται)

32 Στατική Τριβή παράδειγμα 5 συνέχεια 2 Σώμα Β Tk2 O B A T s1 N 2 w 2 N 1 F Στο Β ασκούνται οι δυνάμεις: το βάρος του w 2 από τη Γη, η δύναμη Ν 2 από το δάπεδο, η τριβή ολίσθησης Τ k2 από το δάπεδο, η δύναμη Ν 1 από το σώμα Α (αντίδραση της Ν 1 ), η δύναμη Τ s1 από το σώμα Α (αντίδραση της Τ s1 ) και η εξωτερική δύναμη F γ) F-T k2 =( M+m)a, T k2 =μ k2 N=μ k2 (M+m)g, T s1 =ma, ma =T s1 T s1ορ =μ s1 N 1 =μ s1 mg Επομένως a μ s1 g και κατά συνέπεια πρέπει F-T k2 μ s1 (m+m)g 0.3t- μ k2 (M+m)g μ s1 (m+m)g t 80 s και a μ s1 mg=6 m/s 2

33 Στατική Τριβή παράδειγμα 6 F ορ Σώμα μάζας Μ=2Kg που βρίσκεται σε οριζόντιο τραπέζι συνδέεται με αβαρές και μη εκτατό νήμα μέσω αβαρούς τροχαλίας με σώμα μάζας m=400g. α) Αν οι συντελεστές στατικής τριβής και τριβής ολίσθησης μεταξύ του σώματος μάζας Μ και του τραπεζιού είναι μ s =0.25 και μ κ =0.17 αντίστοιχα, να εξετάσετε αν θα κινηθεί το σώμα. β) Αν μ s =0.15 και μ κ =0.1 να εξετάσετε αν θα κινηθεί το σώμα και να υπολογίσετε την επιτάχυνσή του(g=10m/s 2 ) N M Mg Τ Τ m Τ Τ mg α) Για να κινηθεί σαν σύστημα πρέπει: T F ό mg T F Mg m M το οποίο δεν ισχύει. Άρα δεν θα κινηθεί. β) Για μ s =0.15 η συνθήκη m>μ s M ισχύει, το σύστημα θα κινηθεί, η τριβή είναι τώρα τριβή ολίσθησης F κ. mg T ma, T F Ma, mg Fk M ma mg Mg 2 a 0.83 m / s m M s s

34 Δυναμική της κυκλικής κίνησης Η δύναμη που ασκείται σε ένα σωματίδιο που εκτελεί ομαλή κυκλική κίνηση παίζει το ρόλο της κεντρομόλου δύναμης, δηλαδή μια δύναμης που κατευθύνεται πάντα προς το κέντρο της κυκλικής τροχιάς και το μέτρο της παραμένει σταθερό 2 F m, F m, όπου R η ακτίνα της τροχιάς και υ το μέτρο της ταχύτητας του R σωματιδίου Π.χ. η δύναμη που ασκεί το χέρι μας F σε μια σφαίρα δεμένη στο άκρο ενός νήματος που περιστρέφεται με σταθερή γωνιακή ταχύτητα, παίζει το ρόλο της κεντρομόλου

35 Δυναμική της κυκλικής κίνησης Κίνηση σε κατακόρυφο κύκλο υ Το κάθισμα διατηρείται σε όρθια θέση σε όλη την κίνηση Θέση Α N: την ασκεί το κάθισμα στον επιβάτη και είναι αυτή που νοιώθει ο επιβάτης 2 w -N=m,N=m(g- ) <mg και ο επιβάτης νοιώθει ελαφρύτερος Ν R R A 2 Αν Ν=0, g, ο επιβάτης είναι έτοιμος R w να βρεθεί εν πτήσει 2 Αν g, Ν<0, δηλ. με φορά προς τα κάτω και R R Ν ο επιβάτης δεν μπορεί να παραμείνει στο κάθισμα αν B δεν φορά ζώνη ασφαλείας Θέση Β w 2 2 N w m, N w m mg R R και ο επιβάτης νοιώθει βαρύτερος

36 Δυναμική της κυκλικής κίνησης Κίνηση οχήματος σε οριζόντια στροφή Στροφή χωρίς κλίση N R T s Δίνονται τα μ s, R Το τόξο της στροφής ανήκει σε κυκλική τροχιά ακτίνας R. H R καλείται ακτίνα καμπυλότητας. Η στατική τριβή μεταξύ ελαστικών και οδοστρώματος δρα σαν κεντρομόλος. Η τριβή είναι στατική γιατί δεν συμβαίνει ολίσθηση των τροχών. 2 2 T s T s sn smg T s m m smg R R srg max srg Η μέγιστη ταχύτητα που μπορεί να αναπτύξει το όχημα ώστε να μην εκτραπεί του οδοστρώματος είναι Rg max s. Όσο μικρότερο είναι το μ s τόσο μικρότερη η υ max W

37 Δυναμική της κυκλικής κίνησης Κίνηση οχήματος σε στροφή με κλίση Θα επικεντρωθούμε στην περίπτωση χωρίς Τριβή Ny W Ncos mg (1) Η Ν x δρα σαν κεντρομόλος R N N x θ θ N y w 2 2 Nx m, Nsin m (2) R R Από τις (1),(2) προκύπτει Άρα για δεδομένα R και θ, 2 tan Rg Αν το όχημα αναπτύξει αυτήν την ταχύτητα μπορεί να κινηθεί με ασφάλεια σε στροφή λείου οδοστρώματος (π.χ. σε παγετό). Σε Rgtan εθνικές οδούς η κλίση που δίνεται στο οδόστρωμα καθορίζεται από τη μέση επιθυμητή ταχύτητα των οχημάτων

38 Δυναμική της κυκλικής κίνησης Παράδειγμα 1 Ποια η ελάχιστη ταχύτητα υ min του κοίλου κυλίνδρου ο οποίος περιστρέφεται γύρω από τον γεωμετρικό του άξονα ώστε άνθρωπος με την πλάτη του στηριγμένη στο τοίχωμα του κυλίνδρου να μην πέφτει; Z T mg, T T N s s s s T s N m mg N m R R s s Rg s N Άρα η ελάχιστη ταχύτητα min Rg s R w

39 Δυναμική της κυκλικής κίνησης Παράδειγμα 2 R ω N θ w T s h N N x θ T sy N y Y w T s T sx X Μικρό σώμα μάζας m βρίσκεται σε επαφή με την εσωτερική επιφάνεια ενός ανεστραμμένου κοίλου κώνου που περιστρέφεται με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω γύρω από το γεωμετρικό του άξονα. Τα τοιχώματα του κώνου σχηματίζουν γωνία θ με την κατακόρυφο. Ο συντελεστής στατικής τριβής μεταξύ σώματος και κώνου είναι μ s. Ποια η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή της ω ώστε το σώμα να παραμένει σε σταθερό ύψος h κατά την περιστροφή

40 Δυναμική της κυκλικής κίνησης Παράδειγμα 2 συνέχεια 1 Αν το σώμα δεν πρόκειται να ολισθήσει προς τα κάτω 2 2 Nx Tsx m Ncos Ts sin m R R Ny Tsy mg Nsin Ts cos mg 2 Όταν Ts Ts sn, Tsx max m min min min 2 R min Ncos snsin m cos R ssin min minr 2 R min sin s cos Rg Rg g Nsin sncos mg 2 g cos ssin αλλά R=htanθ min R sin s cos g cos ssin min htan sin s cos

41 Δυναμική της κυκλικής κίνησης Παράδειγμα 2 συνέχεια 2 Αν το σώμα δεν πρόκειται να ολισθήσει προς τα πάνω ω Y 2 N T m, N mg T R x sx y sy N T s θ w N N x θ N y T sx T Tsy s w X Όταν Ts Ts sn, και τελικά max max max g cos ssin htan sin s cos

42 Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων Φυσική Halliday-Resnick-Krane 4 η έκδοση Τόμος 1 Φυσική για επιστήμονες και μηχανικούς Serway: απόδοση στα ελληνικά Λεωνίδα Κ. Ρεσβάνη, τόμος I Μηχανική 3 η έκδοση Θεμελιώδης Πανεπιστημιακή Φυσική, Μηχανική και Θερμοδυναμική, Alonso/Finn 2 η έκδοση Τόμος 1 Πανεπιστημιακή Φυσική, Μηχανική- Θερμοδυναμική, H. D. Young Τόμος Α Physics, Foundations and Applications" Robert M. Eisberg, Lawrence S. Lerner, combined volume, McGraw-Hill, Inc. Φυσική τόμος 1 Μηχανική, Berkeley

43 Σημείωμα Αναφοράς Copyright Πανεπιστήμιο Πατρών, Αικατερίνη Πομόνη. «Μηχανική- Ρευστομηχανική. Ενότητα 4». Έκδοση: 1.0. Πάτρα Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση:

44 Τέλος Ενότητας