Μηχανική - Ρευστομηχανική

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Μηχανική - Ρευστομηχανική"

Ἰούδας Μοσχοβάκης
7 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Μηχανική - Ρευστομηχανική Ενότητα 2: Εισαγωγικές έννοιες Διδάσκων: Πομόνη Αικατερίνη, Αναπλ. Καθηγήτρια Επιμέλεια: Γεωργακόπουλος Τηλέμαχος, Υπ. Διδάκτωρ Φυσικής 2015 Θετικών Επιστημών Φυσικής

2 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2

3 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Πατρών» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3

4 Σκοποί ενότητας Εισαγωγή εσωτερικού γινομένου και φυσική σημασία του. Εισαγωγή εξωτερικού γινομένου και φυσική σημασία του. Συστήματα μονάδων.

5 Εσωτερικό γινόμενο 1 Πρόκειται για μια μαθηματική πράξη μεταξύ δυο διανυσματικών μεγεθών, το αποτέλεσμα της οποίας δίνει μονόμετρο μέγεθος θ θ Βcosθ θ Acosθ B b A B = ABcos (1) θ: η γωνία μεταξύ των και Α, Β τα μέτρα των, Πότε χρησιμοποιείται στη φυσική; A B = ABcos = ABcos = A Bcos = B Acos (2) Έστω ˆb το μοναδιαίο διάνυσμα στη διεύθυνση του το ˆb 1cos Επομένως το ˆb ισούται με την προβολή του διανύσματος κατά την διεύθυνση του. (2) [ ή ά ύ ] [ ή ά ύ ] Όταν η συνιστώσα κάποιου διανυσματικού μεγέθους είναι αυτή που ουσιαστικά συμβάλλει στην παραγωγή ή δημιουργία κάπου άλλου μεγέθους

6 Εσωτερικό γινόμενο 2 Κινητό διαγράφει τροχιά υπό την επίδραση δύναμης F. Το στοιχειώδες έργο κατά την μετατόπιση του κινητού κατά ds ορίζεται από τη σχέση: dw F ds Fdscos ds( Fcos) Β Fcosθ ds θ Α F W A B F ds B A Μόνο η συνιστώσα της F η συγγραμική του ds παράγει έργο γιατί μόνο αυτή προκαλεί μεταβολή του μέτρου της ταχύτητας του κινητού 1 1 W A B = mub- mu A

7 Εσωτερικό γινόμενο 3 Ιδιότητες εσωτερικού γινομένου ( C) C 3. p pa A p p, p μονόμετρο μέγεθος 4. Αν i, j και k τα μοναδιαία διανύσματα κατά τους άξονες x, y και z αντίστοιχα ενός τρισορθογώνιου συστήματος αναφοράς i i = j j = k k =1 i j = j k = k i = 0 5. Αν A A και xi Ay j Azk B Bxi By j Bzk A B AxBx AyBy AzBz 6. A B 0 A, B 0 A B 7. Αν 0 A B A B Αν A B A B Αν A B 0 A B 2 z k y j i x

8 Εξωτερικό γινόμενο 1 AB C : Πρόκειται για μια μαθηματική πράξη μεταξύ δυο διανυσματικών μεγεθών, της οποίας το αποτέλεσμα είναι ένα νέο διανυσματικό μέγεθος C Το νέο διάνυσμα C έχει διεύθυνση κάθετη C στο επίπεδο των διανυσμάτων A και με μέτρο C AB ABsin θ θ: η γωνία μεταξύ των και και Α, Β τα μέτρα τους αντίστοιχα. Η φορά του προκύπτει από τον κανόνα της δεξιάς χειρός Πότε χρησιμοποιείται στη φυσική; Όταν από το χώρο των δυο διαστάσεων που ορίζουν τα δυο διανύσματα χρειάζεται η μετάβαση στο χώρο των τριών διαστάσεων (ο φυσικός μας κόσμος είναι τρισδιάστατος).

9 Εξωτερικό γινόμενο 2 Η περιστροφή ενός τροχού γύρω από το γεωμετρικό του άξονα είναι πρόβλημα τριών διαστάσεων παρόλο που ο τροχός ορίζεται σε ένα επίπεδο Ιδιότητες εξωτερικού γινομένου AB 5. Αν A Axi Ay j Azk B Bxi By j Bzk i j k και AB A A A i A B B A j A B B A k A B B A 6. Αν C A B A C p A B pa B A pb A B p i i j j k k 0 i j k, j k i, k i j y x y x y x y z z y z x z x z B B B x y z AB 0 A B

10 Εξωτερικό γινόμενο 3 x Η ταχύτητα ενός σωματιδίου Ρ που διαγράφει κυκλική τροχιά ακτίνας r μπορεί να δοθεί διανυσματικά από τη σχέση r : η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του σωματιδίου Ρ r : το διάνυσμα θέσης του σωματιδίου ως προς σύστημα αναφοράς με αρχή το κέντρο της κυκλικής τροχιάς. r rsin r z θ r P Η γωνία θ στο συγκεκριμένο παράδειγμα είναι θ=90 ο y Τα και r έστω ότι ορίζουν το επίπεδο xy. Επομένως η θα είναι ένα διάνυσμα κάθετο στο επίπεδο yz, δηλαδή κατά τον άξονα x. Η φορά της θα είναι κατά τον x.

11 Εξωτερικό γινόμενο 4 Ένα άλλο διανυσματικό μέγεθος που σχετίζεται με περιστροφή είναι η ροπή ως προς την αρχή Ο αδρανειακού συστήματος αναφοράς Αυτή μπορεί να δοθεί διανυσματικά από τη σχέση rf r : το διάνυσμα θέσης του σωματιδίου Ρ F : x η δύναμη που ασκείται σ αυτό. z Έστω ότι τα r και F ορίζουν το επίπεδο xy Με βάση τη σχέση το είναι ένα rf O r y διάνυσμα με μέτρο, έχει d r F rfsin θ P θ F διεύθυνση κάθετη στο επίπεδο xy, δηλαδή είναι κατά τον άξονα +z Επειδή, rfsin rsin F df df

12 Παράδειγμα 1 Δίνονται οι δυνάμεις F 2 i j k ( N), F 1 2 i 2j 2 k ( N), F3 3i 4 j 2 k ( N) Να βρεθεί η προβολή του αθροίσματος F1 F3κατά την διεύθυνση της F 2 Λύση F1 F3 5i 3j 3k Αν ˆb είναι το μοναδιαίο διάνυσμα κατά την διεύθυνση της F 2 τότε η προβολή σε αυτή τη διεύθυνση θα είναι ( F F ) bˆ ˆ F F F b i j k F ˆ F F b i j k i j k

13 Παράδειγμα 2 Τα διανύσματα, B, C με μέτρα 4, 3, 5 αντίστοιχα έχουν άθροισμα μηδέν. Να υπολογίσετε: 1. το 2. τη γωνία φ μεταξύ των, B 3. το BC 4. το BC Λύση 1. B C 0 B C B C A B 2 A B C 2 2 AB C A B

14 Παράδειγμα 2 (συνέχεια) z 2. Επειδή το 0, BC BCsin BCsin' C y C A θ θ B A C x BC BC: 4 35 =12 5 sin ' C 4 5 κάθετο στο επίπεδο (xy) των B, C διεύθυνση του άξονα z και φορά και τον +z. Άρα BC 12k 4. BC 4i 12k 48i k 48k i 48 j

15 Παράδειγμα 3 Δυο δυνάμεις F 1 και F 2 δρουν κατά μήκος των δυο πλευρών ισοπλεύρου τριγώνου, όπως στο σχήμα. Να βρεθεί μια τρίτη δύναμη F 3 που πρέπει να ασκηθεί κατά μήκος της BC, τέτοια ώστε: F F C F 0 (1) Α θ 1 F 1 B θ 3 θ 3 O F 3 C θ Αν η F 3 δεν ασκηθεί στο Β, αλλά σε τυχαίο σημείο κατά μήκος της ΒC, παύει να ισχύει η (1); F 2 Λύση Έστω z ο άξονας ο κάθετος στο επίπεδο του τριγώνου που περνά από το Ο. F 1 : κάθετο στο επίπεδο του τριγώνου με φορά προς τα έξω. F ( ) F sin 1 1 1

16 Παράδειγμα 3 (συνέχεια 1) F 3 : κάθετο στο επίπεδο του τριγώνου με φορά προς τα μέσα F ( ) F sin CF 2 κάθετο στο επίπεδο του τριγώνου με φορά προς τα έξω. C F ( C) F sin Η σχέση (1) γράφεται: F1 sin 1k F3 sin 3k C F2 sin 2k A OB OC sin sin sin και επομένως η (2) γράφεται (2) F k F k F k 0 F F F

17 Παράδειγμα 3 (συνέχεια 2) Αν η F 3 ασκηθεί σε τυχαίο σημείο της BC έστω στο Ε, το F 3 θα είναι ένα διάνυσμα κάθετο στο επίπεδο του τριγώνου με φορά προς τα μέσα θ 1 Α ( ) F F sin F sin F sin F OD B θ 3 Ε θ 3 θ 4 D θ 4 O F 3 C θ 2 F 2 Αλλά και η σχέση ( ) BF3 B F3 sin 3 F3 sin 3 F3 OD Επομένως η σχέση (1) εξακολουθεί να ισχύει F 1

18 Συστήματα μονάδων S.I Θεμελιώδη Μεγέθη C.G.S. Θεμελιώδη Μεγέθη Τεχνικό Σύστημα Μονάδων Θεμελιώδη Μεγέθη L (m) L (cm) L (m) m (g) F (Kp) m (Kg) t (s) t (s) t (s) π.χ. F=mα π.χ. F F ma m a π.χ. F=mα, 1Ν=1Κg. m/s 2 1dyn=1g. cm/s 2 1τεχν. μονάδα μάζας = 2 Kp Kp s m / s m

19 Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων Φυσική Halliday-Resnick-Krane 4 η έκδοση Τόμος 1 Φυσική για επιστήμονες και μηχανικούς Serway: απόδοση στα ελληνικά Λεωνίδα Κ. Ρεσβάνη, τόμος I Μηχανική 3 η έκδοση Θεμελιώδης Πανεπιστημιακή Φυσική, Μηχανική και Θερμοδυναμική, Alonso/Finn 2 η έκδοση Τόμος 1 Πανεπιστημιακή Φυσική, Μηχανική- Θερμοδυναμική, H. D. Young Τόμος Α Physics, Foundations and Applications" Robert M. Eisberg, Lawrence S. Lerner, combined volume, McGraw-Hill, Inc. Φυσική τόμος 1 Μηχανική, Berkeley

20 Σημείωμα Αναφοράς Copyright Πανεπιστήμιο Πατρών, Αικατερίνη Πομόνη. «Μηχανική- Ρευστομηχανική. Ενότητα 2». Έκδοση: 1.0. Πάτρα Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση:

21 Τέλος Ενότητας

Σχετικά έγγραφα

Μηχανική - Ρευστομηχανική

Μηχανική - Ρευστομηχανική Ενότητα 1: Φυσική-Ιστορική αναδρομή Διδάσκων: Πομόνη Αικατερίνη, Αναπλ. Καθηγήτρια Επιμέλεια: Γεωργακόπουλος Τηλέμαχος, Υπ. Διδάκτωρ Φυσικής 2015 Θετικών Επιστημών Φυσικής Άδειες