ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ: ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΚΥΜΑΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΚΑΙ ΑΚΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΘΑΛΑΣΣΑΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ: ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΚΥΜΑΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΚΑΙ ΑΚΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ και ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΟ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟ ΚΑΡΑΔΗΜΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ 9/003 Επιβλέπων : ΚΑΡΑΜΠΑΣ ΘΕΟΦΑΝΗΣ Αναπληρωτής καθηγητής Τμήματος Επιστήμης της Θάλασσας, Πανεπιστήμιο Αιγαίου ΜΥΤΙΛΗΝΗ ΙΟΥΝΙΟΣ 008

2 Ευχαριστίες Θα ήθελα να πω ένα μεγάλο ευχαριστώ στον επιβλέποντα της πτυχιακής εργασίας Δρ. Καραμπά Θεοφάνη για το χρόνο που διέθεσε και τις πολύτιμες συμβουλές και υποδείξεις του ώστε να μπορέσω να ολοκληρώσω την πτυχιακή εργασία με τον καλύτερο δυνατό τρόπο.

3 Περιεχόμενα. ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΥΜΑΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ...5. Γενικά για τους επιφανειακούς κυματισμούς...5. Γραμμικοί κυματισμοί (Stokes ης τάξης - AIRY) Σύνοψη θεμελιωδών αρχών ροής ιδεατών ρευστών Αρχή διατήρησης της μάζας Εξισώσεις κίνησης ιδεατών ρευστών Περιστροφή ρευστού στοιχείου Η δυναμική ροή.3.5 Ολοκλήρωση των εξισώσεων της κίνησης και η εξίσωση Bernolli....4 Τοποθέτηση και λύση του προβλήματος.5.4. Οριακές συνθήκες.6.4. Λύση του προβλήματος 6.5 Θεμελιώδης ιδιότητες και χαρακτηριστικά των κυμάτων Σχέσεις μεταξύ C, L και Τ 8.6 Σύνθεση 3.7 Κυματισμοί πεπερασμένου πλάτους (Μη γραμμικές θεωρίες)..5. ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗ ΤΩΝ ΚΥΜΑΤΙΣΜΩΝ ΣΤΟΝ ΧΩΡΟ ΤΩΝ ΑΚΤΩΝ...7. Γενικά...7. Διάθλαση..7.. Επίδραση της ρηχότητας και Διάθλαση Περίθλαση των κυματισμών 3.3. Πίνακας Wiegel για την περίθλαση γύρω από το άκρο 35.4 Θραύση κυματισμών Αναρρίχηση στην ακτή Κριτήριο Θραύσης Αναρρίχηση στην ακτή.4.5 Ανάκλαση κυματισμών - Στάσιμα Κύματα - Ιδιοταλαντώσεις λεκανών Ανάλυση ανεμογενών (στοχαστικών) κυματισμών Γενικά Γένεση των κυματισμών Στατιστική ανάλυση τυχαίων κυματισμών Φασματική ανάλυση κυματισμών Πρόγνωση της χωροχρονικής εξέλιξης των ανεμογενών κυματισμών Θραύση τυχαίων κυματισμών Προγράμματα Η/Υ ΜΗ-ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΚΥΜΑΤΙΣΜΩΝ Γενικές εξισώσεις Θεωρία Stokes V Θεωρία Ροϊκής συνάρτησης Λογισμικό και εφαρμογές ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΟΜΟΙΩΜΑ ΜΕΤΑΔΟΣΗΣ ΚΥΜΑΤΙΣΜΩΝ 7 4. Εξαγωγή των εξισώσεων.7 4. Αριθμητικό σχήμα επίλυσης Τυρβώδης συντελεστής ιξώδους για την προσομοίωση της μερικής ανάκλασης από κυματοθραύστες με πρανή.78 3

4 4.4 Τυρβώδης συντελεστής ιξώδους για την προσομοίωση της θραύσης τυχαίων κυματισμών Λογισμικό 8 5. ΠΑΡΑΚΤΙΑ ΚΥΜΑΤΟΓΕΝΗ ΡΕΥΜΑΤΑ Εξισώσεις κυματογενούς κυκλοφορίας Λογισμικό ΚΥΜΑΤΟΓΕΝΗΣ ΜΕΤΑΦΟΡΑ ΙΖΗΜΑΤΩΝ ΣΤΟΝ ΠΑΡΑΚΤΙΟ ΧΩΡΟ Εισαγωγή Κατώφλι κίνησης Μηχανισμοί μεταφοράς και ποσοτικές σχέσεις ειδικής στερεομεταφοράς Μορφολογικές μεταβολές Λογισμικό Παράκτια στερεομεταφορά και μορφολογία των ακτών Φυσικά στοιχεία Φυσική και ποιοτική και ποσοτική περιγραφή μηχανισμών μεταφοράς φερτών υλών Το κατώφλι κινήσεως και οι ποσοτικές σχέσεις ειδικής στερεοπαροχής Εκτίμηση ειδικών στερεοπαροχών όγκου φερτών υλών σε περιβάλλον κυματισμών και ρεύματος q bc,q sc Διαφοροποίηση διαδικασιών στερεομεταφοράς στις οριζόντιες διευθύνσεις Ισοζύγιο φερτών υλών Αλληλεπίδραση ακτών και παρακτίων έργων Μέτρα και έργα ανάταξης και προστασίας των ακτών ΚΥΜΑΤΟΓΕΝΗ ΡΕΥΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΤΕΡΕΟΜΕΤΑΦΟΡΑ ΠΑΡΑΛΛΗΛΑ ΣΤΗΝ ΑΚΤΗ Θεωρητική προσέγγιση Απλοποιημένη προσέγγιση παράκτιας στερεομεταφοράς Λογισμικό ΜΟΡΦΟΛΟΓΙΑ ΑΚΤΩΝ Εξέλιξη ακτογραμμής με συνεκτίμηση της εγκάρσιας στερεομεταφοράς Εξισώσεις Βραχυχρόνιες προβλέψεις και εγκάρσια στερεομεταφορά Μακροχρόνιες προβλέψεις Αριθμητικό σχήμα και οριακές συνθήκες Λογισμικό ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑ - ΜΟΡΦΗ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΠΑΡΑΚΤΙΩΝ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ Γενικά.4 9. Υλικά κατασκευής και σχέση με το περιβάλλον Μόλοι Ευστάθεια πρανών Βραχίονες Κυματοθραύστες Γέφυρες Κρηπιδότοιχοι 50 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ.53 Ξενόγλωσση.53 Ελληνική..54 4

5 . ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΥΜΑΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ. Γενικά για τους επιφανειακούς κυματισμούς Ως κυματισμός ορίζεται κάθε περιοδική ή μη περιοδική διαταραχή της επιφάνειας της θάλασσας. Η χρονική κλίμακα μεταβολής της στάθμης της επιφάνειας (περίοδος,τ, για τους περιοδικούς κυματισμούς) ποικίλει ανάλογα με την προέλευση γένεσης του κυματισμού, από μερικά sec σε μερικές ώρες. Παλιρροιακά κύματα (Τ=43000 sec), ανεμογενή κύματα (Τ=-5sec). Η κατανομή της ενέργειας σε κυματισμούς διαφόρων περιόδων, παγκόσμια, δίνεται στο Σχήμα.. Σχήμα. Περιεχόμενη ενέργεια σε διάφορες περιόδους 5

6 . Γραμμικοί κυματισμοί (Stokes ης τάξης - AIRY) Η γραμμική θεωρία κυματισμών βασίζεται στην παραδοχή ότι το ύψος του κύματος Η είναι πολύ μικρότερο του βάθους και του μήκους L καθώς και στην παραδοχή αστρόβιλης ροής. Σχήμα. Ορισμός παραμέτρων συστήματος γραμμικών κυματισμών Ορίζοντας τον άξονα στη στάθμη ηρεμίας ( Η στάθμη ηρεμίας ταυτίζεται με τη Μέση Στάθμη Θάλασσας μόνο στη γραμμική θεωρία κυματισμών) (Σχήμα..) η στιγμιαία ανύψωση της στάθμης της ελεύθερης επιφάνειας της θάλασσας η δίνεται από: Όπου: k: αριθμός κύματος, k=π/l L: το μήκος κύματος σ: η κυκλική συχνότητα, σ=π/τ Τ: η περίοδος του κύματος Η: το ύψος του κύματος cosk t (.).3 Σύνοψη θεμελιωδών αρχών ροής ιδεατών ρευστών Στη παράγραφο αυτή συνοψίζονται οι γενικές αρχές της δυναμικής των ιδεατών ρευστών για απειροστικό όγκο αναφοράς, καθόσον εξαιρείται μια σχετικά λεπτή ζώνη κοντά στο πυθμένα για τις περιπτώσεις των ρηχών κυμάτων, οι δυνάμεις τριβής εντός του κύριου πεδίου ροής είναι αμελητέες, σε σχέση προς τις δυνάμεις βαρύτητας και πιέσεων. 6

7 .3. Αρχή διατήρησης της μάζας Αν θεωρήσουμε τον απειροστικό όγκο αναφοράς (Δ)(Δy)(Δz) του Σχήματος.3 και την ροή ρευστού μεταβλητής πυκνότητας, ρ, μέσα σ αυτό, η αρχή διατήρησης της μάζας εκφραζόμενη ως Ροή ανά μονάδα χρόνου εντός του όγκου αναφοράς- ροή ανά μονάδα χρόνου εκτός του όγκου αναφοράς = συσσώρευση μάζας ανά μονάδα χρόνου εντός του όγκου αναφοράς δίνει: ( ) ( ( ). ( ) ( ) ( y)( z) ( y) ( )( z) ( z) y z yz t y )( = (.) Όπου, υ και είναι οι συνιστώσες της ταχύτητας κατά τις διευθύνσεις, y και z αντίστοιχα. Η παραπάνω εξίσωση απλοποιείται στην ακόλουθη μορφή: Σχήμα.3 Ροή ρευστού μέσω μικροσκοπικού όγκου αναφοράς 7

8 8 0 t z y Η οποία μετασχηματίζεται εύκολα στη μορφή: 0 z y z y t ή 0 q Dt D ή 0 q t Για ρευστά σταθερής πυκνότητας, δηλ. για ρ = σταθ. Προκύπτει ότι: 0 z y ή 0 q (.4).3. Εξισώσεις κίνησης ιδεατών ρευστών Θεωρούμε και πάλι τον στοιχειώδη όγκο (Δ)(Δy)(Δz) και τις επιφανειακές και μαζικές δυνάμεις που ασκούνται σ αυτόν.(σχήμα.4). Για ιδεατά ρευστά, δηλαδή για ρευστά με μηδενικό συντελεστή ιξώδους, οι πρώτες περιορίζονται για δυνάμεις των πιέσεων, ενώ οι δεύτερες αναφέρονται σε εντός του όγκου αναφοράς μάζα του ρευστού. Συγκεκριμένα, η βαρύτητα συνιστά τη κύρια μαζική δύναμη.

9 Σχήμα.4 Δυνάμεις που δρουν σε στοιχειώδη όγκο αναφοράς Συμβολίζοντας Χ την μαζική δύναμη, ανά μονάδα μάζας του ρευστού, κατά τη διεύθυνση και εφαρμόζοντας τον δεύτερο νόμο του Neton για το στοιχειώδη όγκο (Δ)(Δy)(Δz) κατά την διεύθυνση, έχουμε: p D pδyδz ( p ) yz yz yz (.5) Dt η οποία απλοποιείται στη μορφή: Χ p D Dt (.6) Ομοίως για τις άλλες δύο διευθύνσεις y και z, έχουμε: p Υ y D Dt Ζ p z D Dt Όπου Υ και Ζ είναι οι μαζικές δυνάμεις ανά μονάδα μάζας κατά τις διευθύνσεις y και z αντίστοιχα, ενώ, υ και είναι οι τρεις συνιστώσες της ταχύτητας κατά τις τρεις διευθύνσεις, y, z αντίστοιχα. Οι εξισώσεις αυτές είναι γνωστές ως εξισώσεις του Eler και μπορούν να γραφούν σε διανυσματική μορφή ως: 9

10 F Dq b gra p (.7) Dt Όπου q είναι το διάνυσμα της ταχύτητας.3.3 Περιστροφή ρευστού στοιχείου Για την μελέτη της κίνησης των ρευστών πρωταρχική σημασία έχει η παραμόρφωση και η περιστροφή ενός ρευστού στοιχείου αρχικά ορθογωνίου σχήματος. Ας θεωρήσουμε, χωρίς απώλεια της γενικότητας, ένα στοιχείο σε δυσδιάστατη μορφή, όπως το Σχήμα.5. Σε χρόνο t, το στοιχείο ρευστού Δ Δz, έχει το κέντρο της μάζας του στο σημείο (, y) με ταχύτητα (, ). Λόγω του μικρού μεγέθους του στοιχείου δεχόμαστε ότι για μικρά χρονικά διαστήματα Δt, δηλαδή για μικρές παραμορφώσεις των πλευρών του στοιχείου, οι τελευταίες παραμένουν ευθύγραμμοι και παράλληλοι. Οι μέσες ταχύτητες κάθε πλευράς, δηλαδή οι ταχύτητες στο κέντρο των τελευταίων, οι οποίες και μπορούν να προκαλέσουν την παραμόρφωση και την περιστροφή του όλου στοιχείου, είναι οι εξής: Σχήμα.5 Περιστροφή και παραμόρφωση ρευστού στοιχείου Παράλληλα προς τον άξονα z: και (.8) 0

11 Παράλληλα προς τον άξονα : και (.9) z z Η διαφορά ταχυτήτων αντιθέτων πλευρών θα προκαλέσει σε χρόνο Δt, την παραμόρφωση του στοιχείου όπως φαίνεται στο Σχήμα.5. Η περιστροφή του στοιχείου μπορεί να προσδιορισθεί από την μέση ταχύτητα περιστροφής των κορυφών του στοιχείου. Από τη γεωμετρία του σχήματος οι μέσες ταχύτητες των γωνιών α και β, μπορούν να εκφρασθούν ως: t t t (.0) z z t z z t t (.) όπου θετικές φορές ελήφθησαν οι φορές αντίθετα των δεικτών του ρολογιού. Η μέση γωνιακή ταχύτητα του στοιχείου Δ Δz είναι ίση με το μέσο όρο των ταχυτήτων μεταβολής των γωνιών α και β, δηλαδή και συμβολίζεται στο επίπεδο, y ως ω, δηλ: (.) z Η ποσότητα ορίζεται ως στρόβιλη (vorticity) και ισούται με το διπλάσιο της z ταχύτητας περιστροφής περί τον άξονα y. Επομένως η ύπαρξη πεπερασμένης τιμής στροβιλότητας για την ροή προϋποθέτει, περιστροφή του στοιχείου ως στερεό σώμα. Επομένως ροές με μηδενική στροβιλότητα ονομάζονται αστρόβιλες ροές. Η μαθηματική ανάλυση απλοποιείται κατά πολύ, εάν η ροή θεωρηθεί αστρόβιλη..3.4 Η δυναμική ροή Ορίζουμε ως δυναμική συνάρτηση πεδίου ταχυτήτων την γραμμική συνάρτηση Φ(, y, z, t), τέτοια ώστε: q = - gra Φ (.3) Για δυσδιάστατη ροή, όπου η μία από τις διευθύνσεις είναι η διεύθυνση της βαρύτητας, η παραπάνω εξίσωση δίνει:

12 (.4) (.5) z Ακολούθως από την ταυτότητα : = z z προκύπτει: (.6) z ή ω = 0. Δηλαδή, η ύπαρξη συνάρτησης δυναμικού ταχυτήτων συνεπάγεται αστρόβιλη ροή και αντίστροφα. Εισάγοντας τις εξισώσεις (.4) κ (.5) στη γενικότερη περίπτωση και την εξίσωση (.3) στην εξίσωση της συνέχειας 0 y z ή q 0 Εύκολα καταλήγουμε στην ακόλουθη εξίσωση του Laplace: η οποία για δυσδιάστατη ροή έχει τη μορφή: (.7) Φ = 0 (.8) όπου 0 z = z. (.9) (.0).3.5 Ολοκλήρωση των εξισώσεων της κίνησης και η εξίσωση Bernolli Επειδή η ανάλυση της μηχανικής των κυμάτων θα περιορισθεί στη παρούσα φάση σε δυσδιάστατο χώρο, η εν λόγω ολοκλήρωση θα περιορισθεί επίσης σ αυτόν το χώρο και συγκεκριμένα μία στην οριζόντια διεύθυνση και μία στη διεύθυνση της βαρύτητας z. Οι εξισώσεις:

13 3 Χ Dt D p (.) και Ζ Dt D z p (.) μπορούν να γραφούν σε αναλυτικότερη μορφή: p z t (.3) και z p Z z t (.4) Θεωρούμε ακολούθως τη βαρύτητα ως τη μόνη μαζική δύναμη, για Χ = 0 και Ζ = - g z gz και εισάγουμε την συνθήκη: z (.5) της αστρόβιλης ροής και τις εξισώσεις για τις τοπικές επιταχύνσεις: t t (.6) και t z t (.7) στις εξισώσεις (.3) και (.4), οπότε προκύπτει: t p (.8) και z z t z z p z gz (.9) οι οποίες για σταθερά πυκνότητα ρ μπορούν να γραφούν στη μορφή: 0 p t (.30) και 0 gz p t z (.3)

14 Οι δύο αυτές μορφές δίνουν κατόπιν ολοκλήρωσης τις σχέσεις: t p F z, t (.3) και t p gz F, t (.33) Οι οποίες με αφαίρεση κατά μέλη προκύπτει: gz = F (,t) F (z,t) Έπεται ότι, η F είναι συνάρτηση μόνο του χρόνου, δηλαδή: F = F (t) και F = F (t) gz, οπότε οι δύο τελευταίες εξισώσεις παίρνουν την παρακάτω μορφή: t p gz F t (.34) Για μόνιμη ροή F (t) = σταθερή και 0 t οπότε: p gz σταθ. (.35) Η τελευταία σχέση είναι η γνωστή μορφή της εξίσωσης του Bernolli. H εξίσωση αυτή μπορεί να εξαχθεί και για πραγματικά ρευστά με βάση την αρχή της διατήρησης της ενέργειας, πλην όμως η σταθερά α, έχει αυτή τη τιμή μόνο στην περίπτωση της γραμμικής ροής, ενώ για ιδεατά ρευστά είναι σταθερή σε όλο το πεδίο ροής. Για τη γενική περίπτωση μεταβαλλόμενης ροής, υπολογίζεται αρχικά η Φ για την εξίσωση της συνέχειας (.8), καθώς και για την (.34), και με γνωστές πλέον τις συνιστώσες των ταχυτήτων από την Φ υπολογίζεται η πίεση, η οποία όμως περιέχει και την άγνωστη συνάρτηση F (t). Πλην όμως, η κίνηση διέπεται από τις παραγώγους ή κλίση της πίεσης και η F (t) είναι σταθερή για οποιοδήποτε χρόνο t, σε όλο το πεδίο ροής. Επομένως η εκλογή της F (t) είναι αυθαίρετη και συνεπώς χωρίς την απώλεια της γενικότητας μπορεί να ληφθεί ίση με το μηδέν, οπότε η εξίσωση (.35) παίρνει την μορφή: t p gz 0 (.36) 4

15 η οποία είναι η ολοκληρωμένη εξίσωση της κίνησης για αστρόβιλη ροή και σταθερή πυκνότητα. Η ίδια μορφή ισχύει και για τρισδιάστατη ροή με τη διαφορά ότι προστίθεται και ο όρος ½. Προφανώς + υ + = q ή + = q όπου q το διάνυσα της ταχύτητας. Η γραμμική θεωρία των κυμάτων βασίζεται στην παραδοχή αρκούντως χαμηλού εύρους κύματος, έτσι ώστε η εξίσωση (.36) να γραμμικοποιείται. Αυτό σημαίνει ότι οι εκ των κυμάτων προκαλούμενες ταχύτητες είναι αρκετά μικρές, έτσι ώστε τα τετράγωνα τους να είναι αμελητέα σε σύγκριση με τους υπόλοιπους όρους της εξίσωσης (.36). Η τελευταία εξίσωση παίρνει τότε τη μορφή: p gz 0 t (.37) η οποία είναι και η γενική εξίσωση για την ανάπτυξη της θεωρίας κυμάτων βαρύτητας μικρού εύρους..4 Τοποθέτηση και λύση του προβλήματος Στο σχήμα.6 ορίζουμε τις ακόλουθες μεταβλητές: Σχήμα.6 Ορισμός παραμέτρων συστήματος κυματισμών μικρού εύρους = απόσταση ήρεμης θαλάσσιας στάθμης από τον πυθμένα. Σημειωτέων ότι, η στάθμη αυτή συμπίπτει με τη μέση στάθμη των κυματισμών μόνο για γραμμικά κύματα. Οι δυο στάθμες διαφέρουν στην περίπτωση μη γραμμικών κυματισμών η(,t) = στιγμιαία κατακόρυφη μετατόπιση της επιφάνειας του νερού άνωθεν της μέσης θαλάσσιας στάθμης a = εύρος κύματος Η = ύψος κύματος = a για γραμμικά κύματα L = μήκος κύματος T = περίοδος κύματος C = ταχύτητα μετάδοσης κύματος ή ταχύτητα φάσεως (phase velocity) = L/T k = αριθμός κύματος = π/τ 5

16 .4. Οριακές συνθήκες Η διαφορική εξίσωση (Laplace για δυσδιάστατη μορφή): z 0 (.38) πρέπει να ικανοποιείται για z η και - < < +. Για οριακές επιφάνειες η θεμελιώδης συνθήκη είναι ο μηδενισμός της συνιστώσας της ταχύτητας κάθετα, είτε προς τη στερεά επιφάνεια(πυθμένας, ανακλώσα επιφάνεια), είτε προς ιδεατή επιφάνεια αποτελούμενη από γραμμές ροής, ως κυματώδης ελεύθερη επιφάνεια της θάλασσας, Σ αυτή τη περίπτωση η ελεύθερη επιφάνεια όχι μόνο κινείται, αλλά το σχήμα της δεν είναι ούτε καν γνωστό, εξαρτώμενο από τη λύση του προβλήματος. Για στερεό, οριζόντιο και αδιαπέραστο πυθμένα η οριακή συνθήκη παίρνει τη μορφή: 0 για z = - (.39) z Η οριακή συνθήκη για την ελεύθερη επιφάνεια προκύπτει από τη δυναμική συνθήκη, δηλαδή από την εξίσωση του Bernolli (.37). Για z = η η πίεση είναι ατμοσφαιρική και λαμβάνεται ως μηδενική, οπότε: g t για z = η (.40) η τελευταία εξίσωση δίνει τη συνάρτηση του κύματος, η, εάν η Φ είναι γνωστή. Προς γραμμικοποίηση του σχήματος η εξίσωση (.40) πρέπει να απλοποιηθεί σύμφωνα με τη παραδοχή μικρού εύρους κυματισμών, δηλαδή για αντικατάσταση του z = η με z = 0. Τέλος οι λύσεις που αναζητούμε πρέπει να είναι περιοδικές συναρτήσεις τόσο της απόστασης, όσο και του χρόνου t..4. Λύση του προβλήματος Η διαφορική εξίσωση (.38) και οι οριακές συνθήκες (.39) και (.40) θα επιλυθούν ακολούθως με τη μέθοδο διαχωριζομένων μεταβλητών. Κατά τη μέθοδο αυτή δεχόμαστε ότι η λύση έχει τη μορφή γινομένου, έκαστος όρος του οποίου είναι συνάρτηση μίας και μόνο ανεξάρτητης μεταβλητής. Στη συγκεκριμένη περίπτωση δεχόμαστε ως λύση τη συνάρτηση: z t (.4) Φ(,z,t) = όπου,, είναι οι άγνωστες συναρτήσεις των μεταβλητών, z και t, αντιστοίχως των οποίων επιδιώκεται ο προσδιορισμός. Με αντικατάσταση της (.4) στην (.38) παίρνουμε: 6

17 '' '' 0 (.4) όπου ο τόνος συμβολίζει διαφορισμό σε σχέση με την αντίστοιχη ανεξάρτητη μεταβλητή. Όταν η εξίσωση (.4) διαιρεθεί με παίρνει τη μορφή: '' '' k (.43) όπου k είναι μια σταθερά ανεξάρτητη των και z. Το πλην στο k πάρθηκε για να έχουμε περιοδική λύση ως προς. Η εξίσωση (.43) μπορεί να γραφτεί ως σύστημα των παρακάτω εξισώσεων: '' k 0 (.44) '' k 0 (.45) Θέτοντας στην πρώτη εξίσωση = e μχ, όπου μ προσδιοριστέος συντελεστής, παίρνουμε: μ + k = 0 (.46) Από την τελευταία σχέση προκύπτει μ = ± ik. Έχουμε συνεπώς τις εξής δύο λύσεις: * = Α * (cos k + i sin k) * = B * (cos k - i sin k) Οι δύο αυτές λύσεις συνοψίζονται στη γενικότερη μορφή: = A cos k + B sin k (.47) όπου Α και Β είναι δύο αυθαίρετες σταθερές. Θέτοντας ακολούθως Ζ = e λζ, όπου και πάλι λ είναι ένας προσδιοριστέος συντελεστής, στην εξίσωση (.45), παίρνουμε λ = ±k, οπότε η γενική λύση έχει τη μορφή: = C e kz + D e -kz (.48) Η γενική λύση της εξίσωσης (.38) παίρνει τη μορφή: z 0 Φ(,z,t) = (Acos k + Bsin k)(c e kz + D e -kz ) T(t) (.49) η οποία είναι σαφώς αρμονική ως προς την απόσταση. 7

18 .5 Θεμελιώδης ιδιότητες και χαρακτηριστικά των κυμάτων.5. Σχέσεις μεταξύ C, L και Τ Οι συναρτησιακές σχέσεις μεταξύ των παραπάνω θεμελιωδών παραμέτρων μπορούν να εξαχθούν αν πάρουμε υπόψη μας ότι a/l << και τη συνεπαγόμενη μικρή κλίση των κυμάτων. Η κατακόρυφη ταχύτητα,, στην επιφάνεια δίνεται από την εξίσωση: D Dt t t για z = 0 (.50) βάση της παραπάνω παραδοχής δεν λαμβάνεται υπόψη το γινόμενο μικρού μεγέθους της κλήσης Εισάγοντας στην τελευταία εξίσωση τις σχέσεις: t λόγω του, άρα έχουμε: για z = 0 (.5) t έχουμε ότι: t z και Z 0 (.5) z για z = 0 (.53) g t z ag cosh k z Για θετικό προωθούμενο κύμα από την εξίσωση cosh k οι όροι της τελευταίας σχέσης παίρνουν τη μορφή: cos k t και cosh k z a cosk t g t cosh k agk sinh k z z cosh k cos k t (.54) (.55) Εξισώνοντας τις δύο τελευταίες εκφράσεις για z = 0, προκύπτει η θεμελιώδης σχέση της διασποράς η οποία σχετίζει τη συχνότητα σ με το βάθος και το μήκος κύματος L: gk tanh k (.56) Ορίζοντας τη φασική ταχύτητα(ή ταχύτητα διάδοσης) του κυματισμού c: 8

19 Η σχέση (.56) γράφεται: ή ή άρα c c L T k g gl tanh k tanh k L c gl tanh L g L tanh όπου k L L g L tanhk (.57) Η τελευταία σχέση (.57) χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό του μήκους κύματος L όταν είναι γνωστό το βάθος και η περίοδος Τ (σχεδόν όλα τα προβλήματα της Ακτομηχανικής και της Κυματομηχανικής απαιτούν πρώτα τη λύση της (.57) πριν οποιαδήποτε άλλο υπολογισμό). Στα βαθειά νερά(όταν /L>0.5), tanh(k) και άρα η (.57) γράφεται: L 0 g (.58) Όπου ο δείκτης ο δηλώνει μεταβλητή στα βαθειά νερά. Στα ρηχά νερά (όταν /L<0.05) προκύπτει: c g (.59) Οι ταχύτητες των μορίων του νερού και, κατά την οριζόντια και κατά την κατακόρυφο διεύθυνση αντίστοιχα προκύπτουν από την εξίσωση: ag cosh k z cosk t cosh k δίνοντας: k cosh T sinh k z cos k t (.60) (.6) z k sinh T sinh k z sin k t (.6) 9

20 Για τον υπολογισμό των τροχιών των σημείων του υγρού απαιτείται η ολοκλήρωση των εξισώσεων των ταχυτήτων κατά την οριζόντια και κατακόρυφη διεύθυνση, για χρόνο t. Κατά την ολοκλήρωση θα πρέπει να ληφθεί υπ όψη ότι, για τη γενική περίπτωση οι μεταβλητές και είναι επίσης συναρτήσεις του χρόνου και συνεπώς δεν μπορούν να θεωρηθούν ως σταθερές. Η οριζόντια μετατόπιση ξ, ενός σημείου για χρόνο t, είναι: t k z H cosh t sink t (.63) sinh k 0 ενώ η κατακόρυφη μετατόπιση ζ, ενός σημείου για χρόνο t, είναι: t k z H sinh t cosk t (.64) sinh k 0 Εικονογράφηση των πιο πάνω κατανομών των κινηματικών στοιχείων του κύματος περιέχονται στο Σχήμα..7. Σχήμα.7 Κατανομή των ταχυτήτων σε μεγάλα και ενδιάμεσα βάθη 0

21 Η κατανομή της πίεσης στο βάθος βρίσκεται από την εξίσωση του Bernolli και με αντικατάσταση της Φ προκύπτει: gz coshk z p gz cosk t (.65) cosh k H πίεση συντίθεται από δύο συνιστώσες, την υδροστατική αυξανόμενη με το βάθος και την υδροδυναμική μειούμενη και κατ ουσία μηδενιζόμενη σε απόσταση L/ από την επιφάνεια. Στο Σχήμα.8. παρουσιάζεται η διάκριση της υδροστατικής και υδροδυναμικής πίεσης κάτω από την κοιλιά και την κορυφή του κύματος. Σχήμα.8 Κατανομές υδροστατικής και υδροδυναμικής πίεσης Η περιεχόμενη μηχανική ενέργεια στους κυματισμούς υπολογίζεται από την ολοκλήρωση της δυναμικής και κινητικής ενέργειας για πλάτος m και μήκος L. Προκύπτει: L 0 L g z gl gh L gh L k z H L pg (.66) 8 Σαν πυκνότητα της ενέργειας E ορίζεται ο λόγος Ε/L που είναι ανάλογος του Η : E E g (.67) L 8

22 Ως κυματική ισχύς ορίζεται ο μέσος στην περίοδο του κύματος ρυθμός ροής ενέργειας μέσα από κατακόρυφη διατομή από την επιφάνεια ως τον βυθό πλάτους m. T T 0 0 pzt (.68) η αντικατάσταση των p, από τις μορφές που βρέθηκαν οδηγεί στην σχέση: Όπου n k n sinhk (.69) (.70) η παράμετρος n μεταβάλλεται από 0.5 στα βαθειά νερά σε στα ρηχά. Στο Σχήμα..9. παρουσιάζονται κατανομές διαφόρων κυματικών παραμέτρων ανάλογα με τον λόγο /L Σχήμα.9 Κατανομές κυματικών παραμέτρων ανάλογα με το /L

23 Βασικό στοιχείο στην λύση των προβλημάτων της κυματομηχανικής είναι ο υπολογισμός του μήκους κύματος L για ένα δεδομένο βάθος νερού όταν είναι γνωστή η περίοδος Τ του κύματος. Κατ αρχήν υπολογίζεται από την απλοποιημένη σχέση που ισχύει για τα βαθιά νερά το L 0 L 0 g Σε συνέχεια από τον λόγο /L o εκτιμάται με τη βοήθεια του νομογραφήματος του Σχήματος.9 ο λόγος /L κατά πρώτη προσέγγιση και βρίσκεται το L (). Με την προσεγγιστική αυτή τιμή στο δεξιό μέλος της σχέσης διασποράς υπολογίζεται η δεύτερη προσέγγιση L (), που συνήθως δεν διαφέρει πολύ από την L (). Καθώς L L επαρκεί η ακρίβεια αυτή,θεωρείται το ημιάθροισμα ως η ζητούμενη τιμή του L. Η διάδοση κυματισμού σε μία κατεύθυνση χωρίς απώλειες ενέργειας (στην πραγματικότητα αυτό σημαίνει σε μερικά μήκη κύματος) συνεπάγεται διατήρηση της ισχύος P,P μεταξύ των δύο θέσεων και. Λόγω της διατήρησης της περιόδου του κύματος Τ ισχύει: P P n E n E Η αντικατάσταση των Ε οδηγεί στην συσχέτιση των υψών κύματος Η,Η στις δύο θέσεις: H nl, H Hk (.7) H nl s όπου k s ο συντελεστής «ρήχωσης» (shoaling) που περιγράφει την επίδραση της μείωσης του βάθους στην αναμόρφωση του μήκους και του ύψους του κύματος. Ο k s σ ενδιάμεσα βάθη παίρνει τιμές -0.9 και σε μικρά βάθη >..6 Σύνθεση Η σύνθεση δύο ή περισσότερων απλών κυμάτων με λίγο διαφορετικές περιόδους δημιουργεί «ομάδες» κυμάτων που διακρίνονται από διακυμάνσεις του πλάτους του κύματος σε διαδοχικούς παλμούς, με εμφάνιση (όπως στη φύση) άλλοτε μεγαλύτερου πλάτους και άλλοτε μικρότερου πλάτους κυμάτων. Γραφική παράσταση ομάδας κυματισμών δίνεται στο Σχήμα.0. 3

24 Σχήμα.0 Ομαδοποιημένοι κυματισμοί και περιβάλλουσα H cos H H cosk t k cos cosk t = k k k t t (.7) Η ταχύτητα φάσης της ομάδας βρίσκεται σχέσης διασποράς βρίσκεται: c g kc k c kc k. Με εφαρμογή της k c g c sinh k c g cn (.73) 4

25 .7 Κυματισμοί πεπερασμένου πλάτους (Μη γραμμικές θεωρίες) Χρήση των εξισώσεων στη μη γραμμικοποιημένη μορφή τους. Οι συναρτήσεις η και Φ αναπτύσσονται σε σειρές όρων με αυξανόμενη συχνότητα. Διακρίνονται όροι H διαφόρων τάξεων με βάση την παράμετρο π.χ. N m m cosm k t B m (.74) Προσδιορίζονται οι συντελεστές Β m (m=,, Ν). Για Ν= (θεωρεία Stoke s ης τάξης) βρίσκεται: H H cosk cos cos k cos (.75) 3 8L sinh k Η μορφή του κύματος δεν είναι ημιτονοειδής αλλά έχει οξείες κορυφές και πεπλατυσμένες κοιλίες(σχήμα.) Σχήμα. Μορφολογική διαφορά κύματος απειροστού και πεπερασμένου πλάτους Οι τροχιές δεν είναι πλέον κλειστές και σε μία περίοδο μένει μια μετατόπιση προς την κατεύθυνση διάδοσης του κύματος. Η μέση κατά την περίοδο του κύματος ταχύτητα «παράσυρσης» των μορίων του νερού (Stoke s rift) είναι: z z H c cosh k (.76) L sinh k U 5

26 Μοναχικό κύμα(solitary ave). Δημιουργείται από την αρχική μετατόπιση πεπερασμένης μάζας νερού προς την κατεύθυνση του κυματαγωγού (κινητό όριο). Αποτέλεσμα είναι η δημιουργία υβώματος στην επιφάνεια που προωθείται με θετικές μόνο τιμές η(,t) και ταχύτητα φάσης c. Η κυματική αυτή μορφή προσεγγίζει πολύ καλά το κύμα πριν τη θραύση του στην ακτή. Βρίσκονται: 0.75H ct H sec h (.77) H c g H (.78) Θεωρητικά το κύμα έχει άπειρο κύμα. Η σχέση μεταξύ του μετατοπισμένου όγκου V και του ύψους κύματος Η (ma η) είναι: 6 V 3 H Το κύμα είναι ασταθές για Τυπική μορφή μοναχικού κύματος δίνεται στο Σχήμα.. ma 3 H (.79) Σχήμα. Μοναχικό κύμα 6

27 . ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗ ΤΩΝ ΚΥΜΑΤΙΣΜΩΝ ΣΤΟΝ ΧΩΡΟ ΤΩΝ ΑΚΤΩΝ. Γενικά Μετά την αναλυτική παρουσίαση των επίπεδων κυματισμών (με ευθύγραμμες γραμμές κορυφής διαδιδόμενους σε σταθερό βάθος) παρουσιάζονται στην πιο απλή μορφή οι διεργασίες εξέλιξης των κυματισμών στο χώρο των ακτών όπου οι παραδοχές του προηγούμενου κεφαλαίου δεν ισχύουν. Οι διεργασίες παρουσιάζονται ξεχωριστά ενώ στην πραγματικότητα συνεξελίσσονται σε πολύπλοκη μορφή.. Διάθλαση Το φαινόμενο της διάθλασης των κυματισμών μπορεί να εμφανιστεί σε βάθη < L και οφείλεται στην διαφοροποίηση του c (ταχύτητας διάδοσης) σε διαφορετικά βάθη. Αναγκαία συνθήκη για την εμφάνισή της είναι η λοξότητα της διάδοσης των κυμάτων σε σχέση με τις ισοβαθείς. Οι κυματοκορυφές(γραμμές που ενώνουν τις κορυφές) από ευθύγραμμες γίνονται καμπύλες, όπως επίσης και οι ορθογώνιες των καμάτων (οι κάθετες στις κυματοκορυφές) Η απλούστερη μαθηματική θεωρία που την περιγράφει είναι η οπτική θεωρία με εφαρμογή του νόμου του Snell. Για την περιγραφή της γίνεται η παραδοχή, σωλήνων ροής κυματικής ενέργειας μεταξύ διαδοχικών ορθογωνίων και μη μεταφορά ενέργειας από σωλήνα σε γειτονικούς. Για την ποσοτική ανάλυση γίνεται η παραδοχή αιφνίδιας μεταβολής του βάθους από σε, με επακόλουθο την αλλαγή του c από c σε c.(σχήμα...) Σχήμα. βασικοί συμβολισμοί για τη διάθλαση κατά Snell 7

28 Η διάθλαση της ορθογωνίου καμπύλης στο σκαλοπάτι του βυθού περιγράφεται από την αλλαγή της γωνίας κατεύθυνσής της ως προς την ισοβαθή: c sin sin (.) c Οι αποστάσεις μεταξύ δύο διαδοχικών ορθογωνίων εξελίσσονται σύμφωνα με τη σχέση: cos B B (.) cos και ο συντελεστής διάθλασης ορίζεται ως: B cos k R (.3) B cos Η διατήρηση της ισχύος στον σωλήνα ροής μεταξύ δύο ορθογωνίων δίνει: H Ln B E n B E n B k s k R H L n B (.4) Αν B 0 τότε εμφανίζεται καυστική και θεωρητικά H Στην πραγματικότητα παραβαίνει τη παραδοχή σωλήνα ροής ενέργειας και διαχέεται η ενέργεια πλευρικά. Η διάθλαση, με αποτέλεσμα την αύξηση ή την ελάττωση της ισαποχής των διαδοχικών ορθογωνίων, είναι υπεύθυνη της αύξησης του ύψους στις περιοχές των ακρωτηρίων και την ελάττωση του ύψους κύματος σε περιοχές κόλπων Σχήμα.. 8

29 Σχήμα. Διαμόρφωση ορθογωνίων σε περιοχή ακρωτηρίου και κόλπου Στην περίπτωση παραλλήλων ισοβαθών(σε ευθύγραμμη γεωμετρία ακτής) η διάθλαση από τα βαθιά νερά σε ένα βάθος i περιγράφεται με πολλαπλασιασμό κατά μέλη των σχέσεων Snell μεταξύ διαδοχικών ισοβαθών που οδηγεί στην σχέση: Li i sin sin o L0 (.5) Για την γραφική λύση διατίθεται το Νομογράφημα του Σχήματος.3. Σχήμα.3 Νομογράφημα για τη διάθλαση σε παράλληλες ισοβαθείς 9

30 Επίδραση των θαλασσίων ρευμάτων στην διάθλαση. Η διάβαση από περιοχή χωρίς ρεύμα σε άλλη με ρεύμα έντασης V υπό γωνία φ οδηγεί σε αλλαγή της γωνίας Σχήμα.4 sin V sin c Σχήμα.4 Διάθλαση κύματος λόγω ρεύματος Ρεύμα εγκάρσιο σε διαδιδόμενο κυματισμό προκαλεί αλλαγή της ταχύτητας φάσης και του μήκους κύματος με αποτέλεσμα την ελάττωση της καμπυλότητας όταν ρεύμα και κύμα έχουν την ίδια κατεύθυνση (+) και την αύξηση της (ως την κρίσιμη τιμή θραύσης) όταν οι κατευθύνσεις είναι αντίθετες (-). c c 0.5 V c 4 ή c c 0.5 V c 4 (.6).. Επίδραση της ρηχότητας και Διάθλαση Για τον υπολογισμό του ύψους κύματος σε ένα συγκεκριμένο βάθος, κάτω από την επίδραση των φαινόμενων της ρηχότητας, διάθλασης και θραύσης, στην περίπτωση πλάγιας πρόσπτωσης των κυματισμών σε ένα πεδίο με παράλληλες ισοβαθείς (Σχήμα.5), ακολουθείται η παρακάτω διαδικασία: 30

31 Υπολογίζεται καταρχάς το μήκος κύματος Li στο συγκεκριμένο βάθος i επιλύνοντας την εξίσωση διασποράς: L L tanh k (.7) i 0 Όπου L 0 το μήκος κύματος στα βαθειά νερά. L 0 g Η εξίσωση (.7) επιλύεται απλά με μία προσεγγιστική μέθοδο. Η πρώτη προσέγγιση είναι συνήθως το Lo, ενώ η επόμενες το αποτέλεσμα της επίλυσης της εξίσωσης. Η λύση συγκλίνει όταν δύο συνεχείς προσεγγίσεις διαφέρουν ελάχιστα μεταξύ τους (π.χ. 0.0μέτρα). Στη συνέχεια υπολογίζεται η γωνία πρόσπτωσης φi στο βάθος i από τη σχέση: L sin i sin i 0 (.8) L0 όπου φ 0 η γωνία πρόσπτωσης των κυματισμών στα βαθειά νερά. i i Σχήμα.5 Διάθλαση κυματισμών (παράλληλες ισοβαθείς) Το ύψος κύματος Hi στο βάθος υπολογίζεται, από τη σχέση: H i k s k R H o n0l0 ni L i 0.5 cos0 cos i 0.5 H 0 (.9) με το Η 0 το ύψος του κύματος στα βαθειά νερά και n 0 = 0.5 3

32 Μετά τον υπολογισμό του ύψους κύματος Hi γίνεται ο έλεγχος θραύσης (βλ. θραύση κυματισμών). Ελέγχεται δηλαδή σε κάθε σημείο i αν Ηi>γ(ο δείκτης θραύσης γ H b 0.7 υπολογίζεται από τη σχέση ). Αν ισχύει η ανισότητα τότε τίθεται b Hi=γ, αν όχι τότε η τιμή του Hi παραμένει η ίδια, όπως υπολογίστηκε από την (.9). Λόγω της μη γραμμικής φύσης των κυματισμών μπορούμε να διορθώσουμε τον γραμμικό συντελεστή k s ώστε να συμπεριληφθεί η επίδραση της μη-γραμμικής θεωρίας: k.8 H 0 s nonlinear k s L (.0) 0 L0 ο οποίος αντικαθιστά τον k s στην σχέση (.9). Η νέα τιμή του H i είναι κατά κανόνα μεγαλύτερη από αυτή της γραμμικής θεωρίας αλλά είναι πιο κοντά στην μη γραμμική θεωρία αλλά και στην πραγματικότητα. Για οποιοδήποτε άλλα πεδία της παράκτιας περιοχής όπου οι ισοβαθείς δεν είναι παράλληλοι (πολύπλοκη βυθομετρία με υφάλους, περίθλαση ανακλάσεις από κατασκευές κλπ) χρησιμοποιείται το μοντέλο WAVE-L...3 Περίθλαση των κυματισμών Η διαδικασία που συνεπάγεται διάδοση κυματισμών στη σκιά στερεών ορίων όπως τα ακρομόλια με μειούμενο ύψος και αλλαγή κατεύθυνσης. Με την περίθλαση είναι δυνατή η είσοδος κυματικής διαταραχής στο εσωτερικό των λιμενολεκανών. Σχήμα.6. Σχήμα.6 Διάδοση κυματισμών σε σκιά λόγω περίθλασης 3

33 Εφαρμογή πάλι των νόμων της οπτικής για τις κυματικές ακτίνες που γεννιούνται με πηγή το άκρο του στερεού ορίου και διαδίδονται στη σκιά του κυματισμού. Με παραδοχή σταθερού βάθους στο χώρο της περίθλασης διακρίνονται δύο πρακτικές περιπτώσεις: Περίθλαση γύρω από ένα άκρο (μόλου) και περίθλαση γύρω από τα δύο άκρα. Το ύψος κύματος σε ένα σημείο Α του πεδίου εξαρτάται από το προσπίπτον Η στο άκρο, την γωνία θ της πρόσπτωσης (γωνία μεταξύ ορθογωνίου και μόλου) και το διάνυσμα της απόστασης του Α από το ακρομόλιο(γωνία β με το μόλο και σχετική απόσταση r/l) Σχήμα.7. Σχήμα.7 Βασικοί συμβολισμοί για την περίθλαση γύρω από το ακρομόλιο Υπάρχει αναλυτική λύση που πινακοποιείται στον πίνακα Wiegel. Βρίσκεται ο συντελεστής περίθλασης k ως συνάρτηση των Η,θ,β, L r 33

34 34

35 .3. Πίνακας Wiegel για την περίθλαση γύρω από το άκρο Περίθλαση σε είσοδο λιμενολεκάνης με άνοιγμα εισόδου πλάτους Β. Από την γωνία πρόσπτωσης θ καθορίζεται το ισοδύναμο πλάτος εισόδου Β (προβολή του Β στην κατεύθυνση πρόσπτωσης) B' B cos (.) Σχήμα.8 Ισοδύναμο πλάτος εισόδου σε λοξή πρόσπτωση Από τη σχετική τιμή πλάτους L B' ανατρέχουμε στο αντίστοιχο νομογράφημα που δίνει y B τον k ανάλογα με τα θέση, του σημείου Α. Τυπικά Νομογραφήματα για L L L B και 3 περιέχονται στο Σχήμα.9. L 35

36 Σχήμα.9 Νομογραφήματα για περίθλαση σε είσοδο λεκάνης Εναλλακτικά η περίθλαση γύρω από δύο άκρα μπορεί να εκτιμηθεί με τον πίνακα Wiegel και την επαλληλία των k k από τα δύο άκρα, k k k k k cos (.) όπου φ η διαφορά φάσης των δύο κυμάτων στη θέση Α 36

37 Σχήμα.0 Περίθλαση κύματος και συμβολισμοί Για την περίπτωση ημιαπείρου κυματοθραύστη η θεωρητική λύση του φαινόμενου της περίθλασης των κυματισμών πίσω από τον κυματοθραύστη δίνεται στην εργασία των Penny και Price (944) (Παρθενιάδης, 985). Θεωρώντας γραμμικούς κυματισμούς απειροστού πλάτους που μεταδίδονται σε σταθερό βάθος, η αναλυτική λύση για την συνάρτηση δυναμικού Φ δίνεται από: όπου g cosh k z, y, t (.3) i cosh k it ye, (.4) και το εύρος της ανύψωσης της ελεύθερης επιφάνειας (συνάρτηση των και y), = γωνιακή συχνότητα, και k ο αριθμός κύματος, k ( L το μήκος του T L κύματος και Τ η περίοδός του). Η αντικατάσταση των (.3) και (.4) στην εξίσωση Laplace: η οποία για δυσδιάστατη ροή έχει τη μορφή: Φ = 0 (.5) z 0 (.6) οδηγεί στην εξίσωση Helmholtz: 37

38 k 0 (.7) Η επίλυση της (.7) οδηγεί στην παρακάτω τιμή του συντελεστή περίθλασης k (που ορίζεται ως ο λόγος του ύψους του κύματος που περιθλάται προς το προσπίπτον): K I e I e 4kr ikr cos 4kr ikr sin cos sin (.8) όπου Θ η γωνία πρόσπτωσης, Β η γωνία που σχηματίζεται από τον κυματοθραύστη και την ακτίνα από το άκρο του έως το σημείο Α στο οποίο υπολογίζεται το ύψος του κύματος από περίθλαση, r η απόσταση του σημείου Α από το άκρο του κυματοθραύστη (Σχήμα.0) και: I i e Η συνάρτηση Ι(λ) γράφεται με τη χρήση των ολοκληρωμάτων Fresnel C(λ) και S(λ): I S C S (.9) C i (.0) όπου: C 0 cos sin S 0 38

39 .4 Θραύση κυματισμών Αναρρίχηση στην ακτή.4. Κριτήριο Θραύσης Η θραύση οφείλεται είτε στην αύξηση της καμπυλότητας Η/L πέρα από ένα επιτρεπόμενο όριο (θραύση στην ανοιχτή θάλασσα, hitecaping), είτε στην επίδραση της ρηχότητας που επίσης οδηγεί τον κυματισμό (με μορφή περίπου συρμού μοναχικών κυμάτων που η κορυφή τους διαδίδεται με μεγαλύτερη ταχύτητα από την κοιλιά τους) σε κατάσταση υδροδυναμικής αστάθειας. Θραύση λόγω καμπυλότητας: H tanhk (.) L 7 ma Στα ρηχά νερά σε μια περιοχή όπου ο κυματισμός έχει μορφολογικά προσεγγίσει μια σειρά μοναχικών κυμάτων, από τη θεωρία του μοναχικού κύματος υπάρχει ένα όριο πέρα από το οποίο η υπέρβαση οδηγεί σε θραύση: H b b ma 0.78 (.) ο δείκτης (b) υποδηλώνει τη θραύση. Το ύψος του κύματος στο σημείο θραύσης Ηb υπολογίζεται από τη σχέση: H b (.3) H ' 0 H ' L0 όπου H ' O H 0k R Μετά τη θραύση ο κυματισμός μεταδίδεται ακολουθώντας προσεγγιστικά τη σχέση Η=γ(+ζ), όπου ζ η ανύψωση της μέσης στάθμης θάλασσας. Στα ρηχά νερά, κατά τη μετάδοσή του προς την ακτή, ο κυματισμός αυξάνει το ύψος του λόγω της επίδρασης της ρηχότητας (η μείωση του μήκους του οδηγεί στην αύξηση του ύψους του ώστε να διατηρηθεί η ισχύς σταθερή). Όταν όμως ο λόγος του ύψους Η προς το βάθος ξεπεράσει μία οριακή τιμή ο κυματισμός θραύεται. Το κριτήριο θραύσης γράφεται: b (.4) b όπου Ηb είναι το ύψος του κύματος στο σημείο θραύσης (που αποτελεί και τη μέγιστη δυνατή τιμή του) b το βάθος του νερού στο σημείο θραύσης και ξ η παράμετρος Irribaren: 39

40 tan (.5) H 0 L 0 όπου tanθ η κλίση του πυθμένα και Ηο και Lo το ύψος και το μήκος κύματος στα βαθειά νερά. Διακρίνονται 3 μορφές θραύσεως ανάλογα με το ξ.(σχήμα. α. υπερχειλίσεως, β. καταδύσεως, γ. εφορμήσεως) Σχήμα. Διάφορες μορφές θραύσης ανάλογα με το ξ Η χρήση της εμπειρικής σχέσης (.3) για την εκτίμηση του ύψους θραύσης H b απαιτεί τον υπολογισμό του ύψους κύματος H o =H o k R. O συντελεστής διάθλασης k R όμως, δεν μπορεί να υπολογιστεί αν δεν είναι γνωστό το βάθος θραύσης b. Για το σκοπό αυτό ακολουθούμε την παρακάτω προσεγγιστική διαδικασία: Υποθέσουμε ότι H o =H o (δηλαδή k R =). Κατόπιν υπολογίζουμε το ύψος θραύσης Hb από τη σχέση (.3) και το βάθος H b θραύσης b, από τη σχέση b (όπου γ ο δείκτης θραύσης). Σε αυτό το βάθος υπολογίζουμε το νέο συντελεστή διάθλασης k R που οδηγεί σε νέο ύψος θραύσης H b. Η διαδικασία επαναλαμβάνεται μέχρι να συμπέσουν οι τιμές δύο διαδοχικών συντελεστών k R. Στο βάθος αυτό εύκολα υπολογίζεται και η γωνία πρόσπτωσης φ b από την: L sin i sin i 0 (.6) L0 Η πειραματικά διαπιστωμένη επίδραση της κλήσεως του πυθμένα στην διαμόρφωση του b και H b συνιστά αντί της εφαρμογής των (.) και (.3) την εφαρμογή των 40

41 νομογραφημάτων Goa Σχήμα.. Από το πρώτο νομογράφημα και για τις γνωστές H ' τιμές 0 gt και κλίσεως πυθμένα tanθ = m βρίσκεται το H b και από το δεύτερο για τις H τιμές b gt και m βρίσκεται το b. Σχήμα. Νομογραφήματα Goa για την θραύση στις ακτές Παράκτιο ρεύμα παράλληλο στην ακτή μέσα στη ζώνη θραύσης από λοξά θραυόμενους κυματισμούς. Η εγκάρσια προς την ακτή ορμή του κυματισμού 4

42 απορροφάται από την θραύση ενώ η περίσσεια ορμής παράλληλα προς την ακτή διαμορφώνει το παράκτιο ρεύμα Σχήμα.3. Σχήμα.3 Διαμόρφωση του παράκτιου ρεύματος στη ζώνη θραύσης Μέση ταχύτητα v 0.7 mgh b sinb όπου m η κλίση πυθμένα και b η γωνία θραύσεως..4. Αναρρίχηση στην ακτή Σχήμα.4 Επίδραση της ρηχότητας, θραύση κυματισμών και αναρρίχηση στην ακτή 4

43 Το μέγιστο ύψος R (Σχήμα.4) πάνω από τη στάθμη ηρεμίας της θάλασσας που αναρριχάται ένας κυματισμός δίνεται από την απλή σχέση του Hnt: R H b για ξ <.3 (.7) R. 3H b για ξ. 3 (.8) Στην παραπάνω τιμή συμπεριλαμβάνεται και η μέγιστη ανύψωση της Μέσης Στάθμης Θάλασσας ζma στη ζώνη αναρρίχησης (Σχήμα.4). Η Μέση Στάθμη της Θάλασσας ζ μεταβάλλεται σύμφωνα με: H b 8 (.9) 3 8 με ελάχιστη τιμή ζ min = (γh b ) κοντά στο σημείο θραύσης και μέγιστη ζ ma =0.35 (γh b ) στη ζώνη αναρρίχησης. 43

44 .5 Ανάκλαση κυματισμών - Στάσιμα Κύματα - Ιδιοταλαντώσεις λεκανών Παράμετρος ξ Ποσοστό ανακλώμενης ενέργειας Από ξ>4 πλήρης ανάκλαση της ενέργειας και δημιουργία στάσιμου κύματος: kcost cos (.30) με πλάτη που μεταβάλλονται χωρικά παίρνοντας τιμές από 0 έως Η (Σχήμα.5). Σχήμα.5 Διαμόρφωση στάσιμου κύματος Η πίεση αντίστοιχα βρίσκεται: coshk z p gz g cos k cost (.3) cosh k Η διέγερση λεκανών κλειστών ή ημίκλειστων με καταναγκασμούς που έχουν περίοδο την ιδιοπερίοδο ταλάντωσης της λεκάνης έχει ως συνέπεια την δημιουργία στάσιμου κύματος με μήκος που είναι υπό-πολλαπλάσιο του μήκους της λεκάνης. Η συνέχιση της διέγερσης με ή χωρίς απώλειες ενέργειας οδηγεί το σύστημα της λεκάνης σε συντονισμό (στην περίπτωση μηδενικών απωλειών τα πλάτη ταλάντωσης απειρίζονται) Σχήμα.6. 44

45 Σχήμα.6 Ιδιονταλαντώσεις κλειστών και ανοιχτών λεκανών L Για κλειστή λεκάνη βρίσκονται οι ιδιοπερίοδοι: T i i g 4L Για ανοικτή λεκάνη οι ιδιοπερίοδοι είναι: T i i g Στην περίπτωση των στάσιμων κυμάτων μηδενίζονται οι οριζόντιες ταχύτητες στις κορυφές και οι κατακόρυφες ταχύτητες στους κόμβους. Ο συντελεστής ανάκλασης σε H r κεκλιμένη ακτή (ανακλώμενο ύψος προς προσπίπτον) είναι συνάρτηση του ξ H i και της τραχύτητας της επιφάνειας του πρανούς. Οι τιμές του εκτιμώνται από το διάγραμμα του Σχήματος.7. 45

46 Σχήμα.7 Διάγραμμα τιμών του συντελεστή ανάκλασης Αν το πρανές έχει κλίση μικρότερης μιας κρίσιμης που δίνεται από τη σχέση: H L 0 tan 5. 0 ή (ξ ~.5) (.3) τότε το κύμα θραύεται στο πρανές και η αναρρίχηση του σ αυτό περιγράφεται από τη σχέση: R k tan k =.3 (.33) H i 8 H i T g 46

47 Η τιμή αυτή μειώνεται ανάλογα με την τραχύτητα του πρανούς. Ο πολλαπλασιαστικός συντελεστής κυμαίνεται ανάλογα το υλικό: υλικό % πλάκες μπετόν 0.9 πλάκες φυσικές στρογγυλές πέτρες λιθορριπή στρώσεων Πειραματική συσχέτιση της αδιάστατης αναρρίχησης με την παράμετρο ξ σε πρανές από λιθορριπή περιέχεται στο Σχήμα.8. Σχήμα.8 Αναρρίχηση σε πρανές από λιθορριπή 47

48 Σε ακτές με μικρή κλίση πυθμένα όπου γίνεται πλήρης θραύση των κυματισμών και σχεδόν μηδενική ανάκλαση, η έννοια της αναρρίχησης ταυτίζεται με την υπερύψωση της μέσης στάθμης της θάλασσας, που διαμορφώνεται μέσα στη ζώνη θραύσης για να διατηρήσει το υποβρύχιο ρεύμα επιστροφής των μαζών του νερού που μεταφέρονται προς την ακτή από τα θραυόμενα κύματα (nerto). Η μέγιστη τιμή της είναι: 8 3 Η σχηματοποίηση γίνεται στο Σχήμα.9 b Σχήμα.9 Διαμόρφωση της μέσης στάθμης επιφάνειας κοντά στην ακτή 48

49 .6 Ανάλυση ανεμογενών (στοχαστικών) κυματισμών.6. Γενικά Οι κυματισμοί που δημιουργεί η επίδραση του ανέμου στην επιφάνεια της θάλασσας, δεν είναι «μονοχρωματικοί». Η επιφάνεια της θάλασσας μπορεί να προσεγγιστεί με σύνθεση περισσοτέρων κανονικών κυματισμών, ή να αναλυθεί σαν στοχαστικό μέγεθος. Η ανάλυση που ακολουθεί διερευνά την συσχέτιση των γενεσιουργών αιτίων (ανέμου και περιοχής γένεσης) με το αποτέλεσμα (χαρακτηριστικές τιμές Η,Τ) και την στατιστική ανάλυση των ανεμογενών κυματισμών..6. Γένεση των κυματισμών Σήμερα επικρατεί η συνθετική άποψη ότι η ενέργεια αρχικά περνά από την ατμόσφαιρα στην θάλασσα με την διάτμηση και σε συνέχεια με την αναδιαμόρφωση του πεδίου των πιέσεων πάνω από τις κορυφές και τις κοιλιές του κύματος. Τα στοιχεία του κυματισμού Η, Τ, είναι συναρτήσεις των: t D = διάρκειας της πνοής του ανέμου U 0 = ταχύτητας του ανέμου (π.χ. μετρημένης σε 0m πάνω από την επιφάνεια) F eff = αποτελεσματικό μήκος ανάπτυξης των κυματισμών (από το σημείο όπου υπολογίζονται ως την απέναντι ακτή κατά μήκος της κατεύθυνσης πνοής του ανέμου και 45 0 εκατέρωθεν αυτής. Για το μέγεθος αυτό ισχύει: F eff i F i i cos a cos a όπου Fi το γραμμικό μήκος ανάπτυξης κατά την κατεύθυνση κατεύθυνση του ανέμου) Σχήμα.0. i i (.34) a i (ως προς την Σχήμα.0 Η εκτίμηση του αποτελεσματικού μήκους ανάπτυξης F eff 49

50 Η επιφανειακή ταχύτητα σχετίζεται με την τοπική βαροβαθμίδα U 60 o U U g p όπου 0 o g f n με κατεύθυνση παράλληλη προς τις ισοβαρείς, όπου η πυκνότητα του αέρα(.3kg/m 3 ), f sin ο συντελεστής Coriolis με το φ το γεωγραφικό πλάτος και Ω τη γωνιακή p ταχύτητα περιστροφής της γης και η βαροβαθμίδα (mb = 00Pa/m ). H U 0 έχει n κατεύθυνση στραμμένη προς το βαρομετρικό χαμηλό κατά Διακρίνονται 3 περιπτώσεις: α. ανάπτυξη με περιορισμό χρόνου (τα Η,Τ εξαρτώνται από τα t D, U 0, F eff ) β. ανάπτυξη με περιορισμό μήκους ανάπτυξης (τα Η,Τ, εξαρτώνται από τα F eff,u 0 ) γ. πλήρη ανάπτυξη (FDS), χωρίς περιορισμό μήκους και διάρκειας (τα Η,Τ, εξαρτώνται μόνο από το U 0 ). Μετρητές, καταγραφείς κυματισμών. Καταγραφές διάρκειας 0min κάθε 6hrs, αναλογικές ή ψηφιακές. Διατάξεις βασιζόμενες στη μεταβολή της αγωγιμότητα κυκλώματος, στην αίσθηση της υδροδυναμικής πίεσης και στην κατακόρυφη επιτάχυνση της επιφάνειας της θάλασσας(wave riing boys)..6.3 Στατιστική ανάλυση τυχαίων κυματισμών Γίνεται με ψηφιοποίηση της τοπικής μέτρησης των τιμών της στάθμης της επιφάνειας η(t) με βήμα χρόνου Δt (<<sec) και τη παραδοχή «εργοδικής» διαδικασίας (η χρονοσειρά μετρήσεων σε μία θέση έχει τις ίδιες στατιστικές ιδιότητες με την κατανομή του η() στο χώρο σε μία χρονική στιγμή). Η εφαρμογή των μεθόδων της στατιστικής κατέδειξε ότι: α. Οι τιμές της η(t) είναι στοχαστικό μέγεθος που ακολουθεί κατανομή Gass. β. Σε δείγμα καταγεγραμμένων τιμών του η κατά τη διάρκεια κυματικού επεισοδίου, τα στοχαστικά ύψη κύματος ορίζονται ως οι διαφορές ανάμεσα σε διαδοχικές μέγιστες και ελάχιστες τιμές του η που μπορούν να καθοριστούν με την μέθοδο της «μηδενικής προς τα άνω διαβάσεως» (zero pcrossing metho) Σχήμα.. Σχήμα. Αποδελτίωση τιμών Η i σε δείγμα καταγραφής τιμών η(t) 50

51 Τα ύψη H i που αποδελτιώνονται με αυτό τον τρόπο σε μία καταγραμμένη χρονοσειρά ακολουθούν την μονοπαραμετρική κατανομή Rayleigh. Η πιθανότητα υπέρβασης Ρ μιας τιμή Η είναι: H Hrms e (.35) όπου η μέση τετραγωνική τιμή εύρους Η rms των καταγραμμένων υψών κύματος υπολογίζεται από την: i rms (.36) N όπου Ν το πλήθος των τιμών του δείγματος.(π.χ κατά τη διάρκεια μιας θαλασσοταραχής καταγράφονται Ν κυματισμοί ύψους H i, τότε υπολογίζεται το μέσο τετραγωνικό ύψος Η rms ) Η πυκνότητα πιθανότητας αντίστοιχα δίνεται από την σχέση: H H H rms e rms p H (.37) H Μορφολογικά η κατανομή Rayleigh δίνεται στο Σχήμα.. Σχήμα. Πυκνότητα πιθανότητας και πιθανότητα μη υπέρβασης στην κατανομή Rayleigh 5

52 Η μέση τιμή εύρους Η 00 δηλαδή η μέση τιμή του ανώτερου 00% των Η i σχετίζεται με το Η rms : 00 rms (.38) Το σημαντικό ύψος κύματος Η S ή Η 33 ορίζεται ως η μέση τιμή του ανωτέρω 33% των υψών κύματος που καταγράφονται και σχετίζεται με το Hrms: S 33 rms (.39) Η τιμή Η S (σημαντικό ύψος κύματος) χρησιμοποιείται συχνά γιατί συμπίπτει με την τιμή ύψους κύματος που δίνει ένας ναυτικός από την οπτική παρατήρηση της θάλασσας. Η μέση τιμή ύψους Η/00 του ανώτερου 0% των Ηi και η μέση τιμή ύψους Η% του ανώτερου % δίνεται από: /0. 7/ 3. 4 % S Ως μέγιστη πιθανή τιμή H ma (σε δείγμα Ν τιμών Η, πρόκειται για το Η με πιθανότητα υπέρβασης N ) βρίσκεται από την κατανομή Rayleigh ma rms lnn (.40) TL όπου (T L διάρκεια καταγραφής και T Z η μέση περίοδος κύματος) TZ Συσχετίζονται οι πληροφορίες από καταγραφές κυματισμών είτε με τη μορφή διαδοχικών τιμών Η, είτε διαδοχικών τιμών η. Ισχύει για την τυπική απόκλιση: i (.4) N Η δυναμική ενέργεια του κυματισμού (μισό της μηχανικής ενέργειας) δίνεται από τη σχέση: T L P g t g (.4) TL Άρα η μηχανική ενέργεια είναι: g (.43) Η ενέργεια υπολογίζεται και από τη σχέση: g i / N rms S g g όπου από το συνδυασμό των (.43) και (.44) προκύπτει η ισότητα: (.44) 5

53 S 4 (.45) Οι ακραίες τιμές ύψους κύματος π.χ. τα σημαντικά ύψη,από μια σειρά Μ καταγραφών κυματισμών H S, H S,...Η SM κατά τη διάρκεια μιας μακράς περιόδου αποτελούν στοχαστική μεταβλητή που ακολουθεί κατανομή Weibl με γενική μορφή: S S c a b e (.46) για c=0, b= η σχέση για τη πιθανότητα υπέρβασης γίνεται: ln a (.47) S S (ευθεία γραμμή σε ημιλογαριθμική κλίμακα). Η κλίση μπορεί να υπολογιστεί γραφικά από την παράσταση ζευγών τιμών H S, a ln(p) ή με τη μέθοδο ελαχίστων τετραγώνων (Σχήμα.3). Σχήμα.3 Γραφική εκτίμηση του a και ακραίας τιμής H S για μικρό Ρ Με τη μέθοδο αυτή μπορεί να εκτιμηθούν τιμές Η S με μικρή πιθανότητα υπέρβασης (μεγάλη περίοδο επανεμφάνισης 0,00 έτη κλπ). Βέβαια η ρεαλιστικότητα των τιμών αυτών πρέπει να ελέγχεται με βάση τις φυσικές συνθήκες (ακραίες τιμές ανέμου, βάθη νερού κλπ) 53

54 .6.4 Φασματική ανάλυση κυματισμών Με την παραδοχή γραμμικής επαλληλίας, η τιμή της στάθμης ελεύθερης επιφάνειας «η» μπορεί να προσεγγιστεί με σειρά ημιτονοειδών συνιστωσών: ai cos ki it i (.48) (Για τα ki, i ισχύει i gki ) Η πυκνότητα ενέργειας κάθε συνιστώσας είναι: E E g a i (.49) όπου Ε(ω) η συνάρτηση ενεργειακής πυκνότητας (διαστάσεις της E g m sec Ενεργειακά φάσματα, ορίζονται ως οι αναλυτικές σχέσεις που περιγράφουν την κατανομή της Ε(ω), δηλαδή πως είναι κατανεμημένη η περιεχόμενη μηχανική ενέργεια στις διάφορες συχνότητες που περιέχονται σε ένα σύνθετο κυματισμό.. JONSWAP (κυματισμοί υπό περιορισμό μήκους ανάπτυξης) gf 4. Pierson-Moskovitz (κυματισμοί πλήρως αναπτυγμένοι), ισχύει για.3 0 U και περιγράφεται από την εξίσωση: όπου E f a g 4 f 5 e 5 4 f p (κυκλική συχνότητα στο μέγιστο της φασματικής πυκνότητας): f P f 4 ) (.50) 0.796g f p (.5) U0 Η μορφή αυτών των ενεργειακών φασμάτων δίνεται στο Σχήμα.4. Σχήμα.4 Μορφολογία ενεργειακών φασμάτων JONSWAP και P-M 54

55 Η εξέλιξη ενός ενεργειακού φάσματος με την συνεχιζόμενη πνοή ανέμου μορφολογικά περιγράφεται στο Σχήμα.5. όπου φαίνεται η μεταφορά ενέργειας από τις ψηλότερες συχνότητες στις χαμηλότερες με τον χρόνο(αύξηση του ύψους κύματος και της περιόδου). Σχήμα.5 Εξέλιξη του ενεργειακού φάσματος με το χρόνο.6.5 Πρόγνωση της χωροχρονικής εξέλιξης των ανεμογενών κυματισμών Η πρόγνωση των κυματισμών (ave forecasting) αποτελεί σημαντικό επιχειρησιακό πρόβλημα της σύγχρονης ναυτιλίας, που προσπαθεί να εξασφαλίσει τις καλύτερες συνθήκες ασφαλείας, εργασίας ή αναψυχής στους ναυτιλομένους, αλλά επίσης, και σημαντικό πρόβλημα της θαλάσσιας τεχνικής, διότι σπάνια διατίθενται μακροχρόνιες καταγραφές κυματισμών στις θέσεις της ακτής ή της ανοιχτής θάλασσας όπου πρόκειται να κατασκευαστούν τεχνικά έργα. Υπάρχουν πολλές μέθοδοι συσχέτισης των φυσικών συνθηκών(ταχύτητα ανέμου, μήκος ανάπτυξης, διάρκεια πνοής) με τα στοιχεία κύματος (Συσχέτιση των H S, T με τα F, t D, U 0 ). Από τα πιο εμπειρικά μοντέλα αποτελούν τα SMB(Sverrp-Mnk-Bretschneier), Darbyshive-Draper, PNJ(Pierson-Nemann-James), JONSWAP(Carter) κ.λ.π. Μέθοδος JONSWAP Με τη μέθοδο αυτή και με δεδομένα το μήκος αναπτύγματος F και την ρυθμισμένη ταχύτητα του ανέμου U A μπορούμε να υπολογίσουμε το σημαντικό ύψος του ανεμογενούς κυματισμού H S στα βαθειά νερά. Κατά την εφαρμογή της μεθόδου JONSWAP ελέγχουμε καταρχάς εάν ισχύει η ανισότητα: gf (.5) U A 55

56 Εάν ισχύει η (.5) τότε οι κυματισμοί έχουν πλήρη ανάπτυξη και εφαρμόζονται οι σχέσεις: S g 0.43 (.53) U A Tp g 8.3 (.54) U A όπου H S το σημαντικό ύψος κύματος και Tp η περίοδος κορυφής του φάσματος. Στην περίπτωση που δεν ισχύει η (.5) ελέγχουμε εάν ισχύει η ανισότητα: gt U D A gf 68.8 U A 0.66 (.55) αν ΙΣΧΥΕΙ η (.55) έχουμε περιορισμό μήκους και θέτουμε: F Κατόπιν εφαρμόζονται οι παρακάτω σχέσεις για τον υπολογισμό των Η S T P : S g g U A U A T g U p A g 0.86 U A (.56) Εάν ΔΕΝ ΙΣΧΥΕΙ η (.55) (περιορισμός διάρκειας) τότε επιλύεται η (.55) σαν ισότητα για τον υπολογισμό νέου F:.5 U A gt D 68.8 F (.57) g U A κατόπιν θέτουμε =F (από την.57) και εφαρμόζουμε πάλι τις σχέσεις (.56). Μέθοδος SMB Με τη μέθοδο SMB υπολογίζεται η τιμή: gf eff (.58) U 56

57 gt D από το διάγραμμα Φ, του Σχήματος.6 βρίσκεται αν το σημείο είναι πάνω από U A την καμπύλη. Αλλιώς για το Φ λαμβάνεται η τιμή του διαγράμματος. Με την τιμή του Φ που επιλέχθηκε υπολογίζονται τα H S, T S : S g 0.83 tanh U A T g S U tanh (.59) Σχήμα.6 Διάγραμμα εκτίμησης της παραμέτρου Φ Μέθοδος Darbyshive-Draper Στο Σχήμα.7 περιέχονται τα νομογραφήματα υπολογισμού των H S και T P σύμφωνα με τη μέθοδο Darbyshire-Draper για τη γένεση κυματισμών σε ρηχά νερά (50m) 57

58 Σχήμα.7 Νομογραφήματα της μεθόδου Darbyshire-Darper Η εφαρμογή της εξίσωσης διατήρησης της ενέργειας στο χώρο και το χρόνο δίνει για την κατευθυντική φασματική πυκνότητα F(,y,f,θ,t): F t C g F F cos C g sin Sin S nl S s (.60) y Οι όροι του δεξιού μέλους περιγράφουν πηγές και απώλειες ενέργειας. S in = α+βf ο όρος γραμμικής και εκθετικές αναπτύξεως του κυματισμού, S nl = o όρος που περιγράφει την ανακατανομή ενέργειας μέσα στο φάσμα, λόγω των μη γραμμικών αλληλεπιδράσεων, S s = ο όρος απωλειών ενέργειας, κυρίως λόγω θραύσεως των κυματισμών μεγάλης καμπυλότητας. Με την διάδοση των κυματισμών σε μεγάλες αποστάσεις (της τάξης των ΝΜ) προκαλείται μείωση του ύψους τους και αύξηση της μέσης περιόδου τους (μεταφορά ενέργειας από τις ψηλές στις χαμηλές συχνότητες). Ποσοτική εκτίμηση αυτών των μεταβολών γίνεται με τη βοήθεια του νομογραφήματος του Σχήματος.8. 58

59 Σχήμα.8 Νομογράφημα για την αλλοίωση των Η,Τ σε μεγάλες αποστάσεις διάδοσης.6.6 Θραύση τυχαίων κυματισμών Αν και ο συντελεστής γ της σχέσης: b (.6) b χρησιμοποιείται πολύ για τον υπολογισμό του σημείου θραύσης και του μέγιστου ύψους κύματος στην ακτή, εντούτοις δεν αντιπροσωπεύει την πραγματική κατάσταση στη ζώνη θραύσης εφόσον οι κυματισμοί είναι τυχαίοι και άρα διαφορετικού ύψους. Σε ένα συγκεκριμένο βάθος όταν διέλθει ένας μεγάλος κυματισμός υπάρχει πιθανότητα να θραυτεί ενώ αν διέλθει ένας μικρότερος μπορεί να μη θραυτεί. Στην περίπτωση αυτή ορίζουμε ως Q b το ποσοστό των θραυόμενων κυματισμών σε ένα συγκεκριμένο σημείο. Μετά την παραδοχή κατανομής Rayleigh, ο συντελεστής Qb δίνεται από τη λύση της παρακάτω εξίσωσης: Qb rms ln (.6) Qb m όπου H rms είναι το μέσο τετραγωνικό ύψος και Η m το μέγιστο δυνατό ύψος στο συγκεκριμένο βάθος που δίνεται από τη σχέση h, με r μία σταθερά, r 0.6. m r 59

60 Είναι φανερό ότι, όταν H rms <<H m, τότε Q b << (μη θραυόμενοι κυματισμοί). Η προσομοίωση της μετάδοσης τυχαίων κυματισμών που προσπίπτουν υπό γωνία σε μία ακτή με παράλληλες ισοβαθείς βασίζεται στην αριθμητική επίλυση της εξίσωσης της ενέργειας(η εξίσωση προκύπτει από τη θεώρηση της αρχή διατήρησης της ισχύος από τη n σχέση ): Ec D g όπου E η πυκνότητα της κυματικής ενέργειας( cos (.67) E 0.5 g rms ), c g η ταχύτητα ομάδας των κυματισμών, φ η γωνία πρόσπτωσης και D η απώλεια της ενέργειας λόγω της θραύσης των κυματισμών: D Qb f g m (.68) 4 Με f (όπου Τ Ρ η περίοδος κορυφής του φάσματος). T P 60

61 .7 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΑ Η/Υ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΠΕΔΙΟΥ ΤΑΧΥΤΗΤΩΝ: CALVEL.FOR Με δεδομένα: -το βάθος -την περίοδο Τ και -το ύψος Η του κύματος το πρόγραμμα CALVEL.FOR υπολογίζει το πεδίο ταχυτήτων του γραμμικού κυματισμού, δηλ. σε διάφορες θέσεις L υπολογίζονται οι κατανομές των ταχυτήτων (z) και (z). ΔΙΑΘΛΑΣΗ ΚΑΙ ΘΡΑΥΣΗ ΚΥΜΑΤΙΣΜΩΝ: REFRACT.FOR Το πρόγραμμα REFRACT.FOR με δεδομένα: - την περίοδο Τ - το ύψος κύματος στα βαθειά νερά H ο - τη γωνία πρόσπτωσης στα βαθειά νερά φ ο - την κλίση του πυθμένα υπολογίζει το ύψος κύματος σε ένα συγκεκριμένο βάθος, κάτω από την επίδραση των φαινόμενων της ρηχότητας, διάθλασης και θραύσης στην περίπτωση πλάγιας πρόσπτωσης των κυματισμών σε ένα πεδίο με παράλληλες ισοβαθείς. Ακολουθείται η διαδικασία που περιγράφεται στο κεφ. για τη διαμόρφωση κυματισμών στο παράκτιο χώρο, συμπεριλαμβανομένου και του έλεγχο θραύσης, που οδηγεί στην εκτίμηση του κυματικού πεδίου μέσα και έξω από τη ζώνη θραύσης. ΠΕΡΙΘΛΑΣΗ ΚΥΜΑΤΙΣΜΩΝ: DIFFRACTION.F90 Η παραπάνω αναλυτική λύση περίθλασης που περιγράφεται στο κεφ. για τη διαμόρφωση κυματισμών στο παράκτιο χώρο προγραμματίστηκε με τη βοήθεια της γλώσσας προγραμματισμού FORTRAN90 που δέχεται μιγαδικές μεταβλητές. Το πρόγραμμα DIFFRACTION.F90 υπολογίζει την τιμή του K. Η δυσκολία του υπολογισμού των ολοκληρωμάτων Fresnel C(λ) και S(λ) ξεπεράστηκε με τη χρήση της υπορουτίνας frenel από τη βιβλιοθήκη της γλώσσας προγραμματισμού. Τα δεδομένα του προγράμματος είναι: - η περίοδος του κύματος Τ - το βάθος - η γωνία Θ - η γωνία Β και το αποτέλεσμα ο συντελεστής Κ 6

62 ΠΡΟΓΝΩΣΗ ΚΥΜΑΤΙΣΜΩΝ: JONSWAP.FOR, SMB.FOR Μέθοδος JONSWAP Με δεδομένα το γραμμικό μήκος αναπτύγματος F, τη ρυθμισμένη ταχύτητα ανέμου UA, τη διάρκεια πνοής του ανέμου t D Mε δεδομένα: - το γραμμικό μήκος αναπτύγματος F - τη ρυθμισμένη ταχύτητα ανέμου UA - τη διάρκεια πνοής του ανέμου td και την εφαρμογή της μεθόδου JONSWAP (παράγραφος.6.5), υπολογίζεται το ύψος σημαντικό κύματος Hs και η περίοδος μέγιστης ενεργειακής πυκνότητας Tp. Μέθοδος SMB Το πρόγραμμα SMB.FOR υπολογίζει το σημαντικό ύψος Hs και την περίοδο T s εφαρμόζοντας τη μέθοδο SMB. Η μέθοδος βασίζεται στις αναλυτικές σχέσεις (Κουτίτας-994, 5.34, 5.35, και 5.36). Αντί της γραφικής μεθόδου εφαρμόζεται μία αναλυτική έκφραση αντικαθιστώντας το σχήμα (Κουτίτας-994, 5.). Με δεδομένα: - το γραμμικό μήκος αναπτύγματος F - τη ρυθμισμένη ταχύτητα ανέμου U A - τη διάρκεια πνοής του ανέμου t D υπολογίζεται η τιμή της Φ από την (Κουτίτας-994, 5.36) και ανάλογα με την θέση της σε σχέση με την ευθεία του σχήματος (Κουτίτας-994, 5.) έχουμε περιορισμό μήκους (πάνω από την ευθεία) ή περιορισμό διάρκειας (κάτω από την ευθεία). Στην τελευταία περίπτωση δεν εφαρμόζεται η αρχική τιμή της Φ αλλά η τιμή Φ της γραμμής. ΠΑΡΑΚΤΙΑ ΣΤΕΡΕΟΜΕΤΑΦΟΡΑ: CERC.FOR Το πρόγραμμα CERC.FOR με δεδομένα: - το ύψος κύματος στα βαθειά νερά H s - την περίοδο T p - τη γωνία πρόσπτωσης στα βαθειά νερά φ ο - την κλίση πυθμένα εφαρμόζει την διαδικασία που περιγράφεται στην παράγραφο (.4) για τον υπολογισμό του σημαντικού ύψους κύματος H sb στο σημείο θραύσης (από τη σχέση.3), καθώς και το βάθος και τη γωνία πρόσπτωσης b και φ b στο ίδιο σημείο. 6

63 Κατόπιν με τη χρήση της (7.6 κεφ.7.) υπολογίζει τη συνολική στερεοπαροχή Q t σε m 3 /sec. ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕ ΤΗ ΒΟΗΘΕΙΑ Η/Υ Άσκηση. Βρείτε την κατανομή ως προς το βάθος z των ταχυτήτων σε βαθειά, ενδιαμέσου βάθους και σε ρηχά νερά. Παρατηρήστε τη διαφορά φάσης ανάμεσα στην κατακόρυφη και την οριζόντια ταχύτητα, την εκθετική μορφή της οριζόντιας ταχύτητας στα βαθειά νερά καθώς και την σχεδόν ομοιόμορφη κατανομή της στα ρηχά. Άσκηση. Με δεδομένο ένα ύψος κύματος στα βαθειά νερά Η ο και μια γωνία πρόσπτωσης φ ο υπολογίστε το ύψος κύματος στο σημείο θραύσης H b με δυο τρόπους: α. Με τη βοήθεια του προγράμματος REFRACT.FOR θέτοντας διάφορες τιμές στο βάθος έως ότου επιτευχθεί μια οριακή τιμή του λόγου β. Με τη βοήθεια του προγράμματος CERC.FOR Συγκρίνετε τα δύο αποτελέσματα. b b Άσκηση 3. Δίνοντας διάφορες τιμές στο γραμμικό μήκος αναπτύγματος F, τη ρυθμισμένη ταχύτητα ανέμου U A και τη διάρκεια πνοής του ανέμου t D μπορούμε να δημιουργήσουμε τις τρεις συνθήκες της παραγράφου (.6.5): πλήρους ανάπτυξης, περιορισμού μήκους και περιορισμού διάρκειας. Παρατηρήστε τις συνθήκες που προκύπτουν από τις εφαρμογές για οριακές τιμές των παραπάνω μεταβλητών, δηλ. μικρή διάρκεια με μεγάλο μήκος αναπτύγματος και μικρή ταχύτητα ή μεγάλη διάρκεια με μικρό μήκος αναπτύγματος και μεγάλη ταχύτητα κ.ο.κ Παρατηρήστε επίσης και τα αντίστοιχα ύψη και περιόδους που προκύπτουν. Μπορούν να εξαχθούν κάποια συμπεράσματα για τις ελληνικές θάλασσες (Αιγαίο, Ιόνιο,... ); Άσκηση 4. Με συνεχείς εφαρμογές του προγράμματος DIFFRACTION.FOR βρείτε τη σχετική επίδραση της περιόδου Τ, της απόστασης r και των γωνιών Β και Θ, στην περίθλαση ενός κυματισμού. 63

64 3. ΜΗ-ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΚΥΜΑΤΙΣΜΩΝ 3. Γενικές εξισώσεις Οι εξισώσεις διατήρησης της ορμής και η εξίσωση της συνέχειας, στη δυσδιάστατη ροή για ένα ασυμπίεστο τέλειο ρευστό, χωρίς την επίδραση εξωτερικών δυνάμεων, εκτός της βαρύτητας, γράφονται: p t z p g t z z 0 z (3.) με την οριζόντια ταχύτητα κατά, τη κατακόρυφη ταχύτητα κατά z και p την πίεση. Στις παραπάνω εξισώσεις θα πρέπει να προστεθεί και η συνθήκη αστρόβιλης ροής: 0 (3.) z Αντί των παραπάνω μεταβλητών, και p, πολλές φορές χρησιμοποιείται η συνάρτηση δυναμικού Φ(, z, t) των ταχυτήτων (μετά την παραδοχή αστρόβιλης ροής ασυμπίεστου ρευστού) που ορίζεται: (3.3) z Αντικαθιστώντας την (3.3) στην εξίσωση της συνέχειας (3.) η τελευταία γράφεται: που είναι γνωστή σαν εξίσωση Laplace. z 0 (3.4) Η ολοκλήρωση της εξίσωσης ορμής (3.) κατά μήκος μίας γραμμής ροής δίνει την εξίσωση Bernolli: t p gz B t (3.5) Από το γεγονός ότι το νερό δεν διέρχεται μέσω της ελεύθερης επιφάνειας, προκύπτει η κινηματική οριακή συνθήκη: 64

65 t για z = ζ(,,t) (3.6) όπου ζ είναι η στιγμιαία ανύψωση της ελεύθερης επιφάνειας πάνω από τον πυθμένα(η μεταβλητή ζ στο κεφάλαιο αυτό και μόνο δηλώνει την στιγμιαία ανύψωση πάνω από τη στάθμη του πυθμένα). Η Μέση Στάθμη Θάλασσας Μ.Σ.Θ. βρίσκεται σε απόσταση από τον πυθμένα (Σχήμα 3.). Σχήμα 3. Κυματισμός μη γραμμικής θεωρίας και συμβολισμοί Υποθέτοντας ότι η Β(t) ενσωματώνεται στην Φ και εφαρμόζοντας τις (3.6) στην ελεύθερη επιφάνεια καταλήγουμε στη δυναμική συνθήκη ελεύθερης επιφάνειας: t g 0 για z = ζ(,,t) (3.7) (θεωρώντας ότι για z = ζ(, t) η ατμοσφαιρική πίεση στην επιφάνεια είναι μηδενική). Το μαθηματικό ομοίωμα συμπληρώνεται με την συνθήκη για αδιαπέρατο και οριζόντιο πυθμένα: 0 για z 0 (3.8) Η συνάρτηση δυναμικού Φ, πολλές φορές αντικαθίσταται από την ροϊκή συνάρτηση Ψ, που ορίζεται, σε δύο διαστάσεις, z: z (3.9) Αντικαθιστώντας την (3.9) στην (3.) η τελευταία γράφεται: 65

66 0 (3.0) Η οριακή συνθήκη στον πυθμένα και η κινηματική οριακή συνθήκη στην επιφάνεια γράφονται:, 0 0 για z = 0 (3.), για z = ζ Q όπου Q η μέση ειδική παροχή κάτω από τον κυματισμό για σύστημα αναφοράς με ταχύτητα c. Η δυναμική συνθήκη ελεύθερης επιφάνειας (εξίσωση Bernolli) γράφεται: z g R (3.) όπου R μια θετική σταθερά. 3. Θεωρία Stokes V Η πιο κλασσική μέθοδος για την εύρεση μίας προσεγγιστικής λύσης ενός μη γραμμικού προβλήματος είναι η μέθοδος των μικρών διαταραχών (pertrbation metho). Σύμφωνα με την μέθοδο αυτή, κάθε εξαρτημένη μεταβλητή εκφράζεται σε μία πεπερασμένη σειρά δυνάμεων μίας μικρής αδιάστατης παραμέτρου, η οποία, στην περίπτωση των κυματισμών, σχετίζεται με το εύρος Η και το μήκος L. Οι όροι της σειράς υπολογίζονται από την λύση του συστήματος των εξισώσεων, που προέρχονται από την ικανοποίηση των οριακών συνθηκών στην ελεύθερη επιφάνεια. Η πιο πρόσφατη θεωρία Stokes είναι η Stokes V που προτείνεται από τον Fenton, η οποία είναι πιο ακριβής από τις υπάρχουσες της ίδιας τάξης. Σαν αδιάστατη παράμετρος λαμβάνεται η καμπυλότητα του κύματος k, όπου k o αριθμός κύματος k L (L= το μήκος κύματος). Η λύση, σε ένα σύστημα αναφοράς κινούμενο με την ταχύτητα προώθησης c, (steay ave profil) δίνεται από (Fenton, 985): 5 i g 0 ij cos jkz sin k i j i, z c 3 k, z k 5 i i j i cos jk ij jk 66

67 3 5 k i Q D i (3.3) g i όπου είναι η μέση οριζόντια ταχύτητα (mean horizontal fli spee), που ορίζεται: k g c 0 c 4 c 4 (3.4) και A ij, B ij, c i, D i είναι αδιάστατοι συντελεστές συναρτήσει του k, (Fenton, 985). Η ταχύτητα προώθησης c δίνεται από: L Q c CE C S (3.5) T όπου C E είναι η μέση ως προς τον χρόνο ταχύτητα του ρευστού (Elerian time-mean fli velocity) C S η μέση ως προς το βάθος ταχύτητα μεταφοράς μάζας (epth average Stokes mass transport velocity) και Q η μέση ειδική παροχή κάτω από τον κυματισμό για σύστημα αναφοράς με ταχύτητα c (mean fli spee nerneath the steay ave profil). Η είναι ίση με την c σε ένα σύστημα αναφοράς ως προς το οποίο η ταχύτητα του ρεύματος είναι Q μηδέν, και άρα για τους γραμμικούς κυματισμούς Από τα προηγούμενα είναι φανερό ότι για τον προσδιορισμό της ταχύτητας προώθησης c θα πρέπει να είναι γνωστή η τιμή της C S ή της C E. Συνήθως όμως οι τιμές αυτές είναι άγνωστες και γι αυτό στις πρακτικές εφαρμογές κάνουμε την παραδοχή ότι C S = 0. Η θεωρία αυτή έχει επιβεβαιωθεί σαν θεωρητικά ορθή, για ακρίβεια 5ης τάξης της δυναμικής οριακής συνθήκης στην επιφάνεια (Fenton, 985), ενώ ταυτόχρονα βρίσκεται σε ικανοποιητική συμφωνία με πειραματικά δεδομένα. Στα βαθειά νερά η παράμετρος ε παίρνει σχετικά μικρές τιμές, με μέγιστη τιμή την 0.4π, όπου το σφάλμα της θεωρίας είναι ασήμαντο. Αντίθετα στα ρηχότερα νερά ουσιαστικό ρόλο παίζει η αδιάστατη παράμετρος Ursell: L U r (3.6) 3 8 η οποία παίρνει τιμές μεγαλύτερες της μονάδας για μακρούς κυματισμούς, και βέβαια η λύση δεν είναι αποδεκτή. Το πεδίο ισχύος της θεωρίας Stokes V είναι η περιοχή όπου U r <0.5. Για μακρύτερους κυματισμούς θα πρέπει να χρησιμοποιηθεί η Θεωρία Ροϊκής Συνάρτησης που περιγράφεται παρακάτω. Ακόμα όμως και εντός του πεδίου εφαρμογής της θεωρίας Stokes V, στην περίπτωση μεγάλων κυματισμών η λύση παρουσιάζει στην κοιλιά του 67

68 κυματισμού δευτερεύουσες κορυφές. Η λύση παραμένει ορθή από μαθηματική άποψη όχι όμως και από φυσική. Οι Karambas an Kotitas (997) πρότειναν μία προσεγγιστική μέθοδο που διορθώνει την μη αποδεκτή λύση. 3.3 Θεωρία Ροϊκής συνάρτησης Η έλλειψη μεγάλης ακρίβειας της θεωρίας Stokes V, σε οριακές καταστάσεις, αλλά κυρίως η μη ενιαία ισχύς της σε ένα μεγάλο πεδίο εφαρμογής, οδήγησαν στην ανάπτυξη της νέας αυτής θεωρίας. Η θεωρία αυτή, ή μάλλον μέθοδος, βασίζεται στην ανάπτυξη σε σειρές Forier της ροϊκής συνάρτησης Ψ, και γι αυτό ονομάζεται και Θεωρία Ροϊκής Συνάρτησης (Stream Fnction Theory). Σε ένα κινούμενο σύστημα αναφοράς, με ταχύτητα c (Σχήμα.), ώστε να σταθεροποιείται ο κυματισμός (μόνιμη ροή), η Ψ μπορεί να προσεγγιστεί: N z cz, a sin jkz cos jk (3.7) j όπου το Ν δηλώνει την τάξη της θεωρίας. Η (3.7) ικανοποιεί ακριβώς την εξίσωση Laplace (3.0) και την οριακή συνθήκη πυθμένα (3.), όχι όμως και την δυναμική συνθήκη στην ελεύθερη επιφάνεια (3.). Μετά την αντικατάσταση της (3.7) στην (3.), με ταυτόχρονη διακριτοποίηση της L ελεύθερης επιφάνειας από =0 έως (Σχήμα.), το πρόβλημα ανάγεται στον υπολογισμό της Ψ για z = ζ, του R και των συντελεστών a a a N. j Σχήμα 3. Διακριτοποίηση κυματισμού στη θεωρία ροϊκής συνάρτησης 68

69 Η ελεύθερη επιφάνεια διακριτοποιείται σε M + ίσα μέρη (Σχήμα.), από την κορυφή ως την σκάφη, και έτσι οι εξισώσεις () και () γίνονται: Q m, για m = 0,,,,Μ m z,, g R m m m m m (3.8) ενώ από τον ορισμό του ύψους Η και του μέσου βάθους προκύπτουν οι: 0 m (3.9) M M 0 m M (3.0) m όπου m L και m m M Οι σχέσεις (3.8) μαζί με τις (3.9), (3.0) και τη (3.5) αποτελούν ένα μη γραμμικό σύστημα από M+ εξισώσεις με M + N + 6 αγνώστους: k,, c, Q, R M + τιμές της στάθμης ελεύθερης επιφάνειας ζ και Ν συντελεστές a a a N. Η επίλυση του μη-γραμμικού συστήματος των εξισώσεων γίνεται με την προσεγγιστική μέθοδο Neton. Η πρώτη προσέγγιση είναι συνήθως το γραμμικό ημιτονοειδές κύμα. Η εκλογή της τάξης της θεωρίας εξαρτάται από την περιοχή εφαρμογής της. Μικρές τιμές του N (N = 5) μπορεί να δημιουργήσουν στα ρηχά νερά μη ρεαλιστικά μικρού μήκους παρασιτικά κύματα, τα οποία όμως δεν εμφανίζονται για μεγαλύτερες τιμές (N = 8). Οι παραπάνω λύσεις αναφέρονται προφανώς σε συμμετρικά προφίλ ελεύθερης επιφάνειας, πράγμα πού βέβαια δεν ισχύει στη φύση κυρίως στα ρηχά νερά και λίγο πριν την θραύση, όπου η ασυμμετρία, ως προς την κατακόρυφο είναι πολύ σημαντική. Σε αυτήν την περίπτωση ένα αριθμητικό μοντέλο μη-γραμμικών κυματισμών (τύπου Bossinesq) μπορεί να δώσει ορθά αποτελέσματα. 69

70 3.4 ΛΟΓΙΣΜΙΚΟ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Με δεδομένα την περίοδο T, το ύψος κύματος H, και το βάθος το πρόγραμμα STOKESV.FOR, εφαρμόζοντας τη θεωρία Stokes V της παραγράφου 3. και υπολογίζει την ανύψωση της ελεύθερης επιφάνειας ζ (αρχείο elevs5.at). Η Θεωρία Ροϊκής Συνάρτησης μπορεί να εφαρμοστεί χρησιμοποιώντας το πρόγραμμα STREAM.FOR. Με δεδομένα: την περίοδο T, το ύψος κύματος H, το βάθος, την τάξη της θεωρίας (από Ν=5 έως Ν=0) ένα συντελεστή απόσβεσης (amping factor=0.3) και τον αριθμό των σημείων διακριτοποίησης Μ (Μ=3) υπολογίζεται: α. η ανύψωση της ελεύθερης επιφάνειας (αρχείο elevstr.at, που αποτελείται από δύο στήλες, ) β. και η κατανομή των ταχυτήτων (z), (z): (αρχείο velstr.at, που αποτελείται από πέντε στήλες z, (z),, (z), ). t t Στα σχήματα (3.3) και (3.4) παρουσιάζονται τα αποτελέσματα από την εφαρμογή του προγράμματος STREAM.FOR σε συνθήκες ρηχών και ενδιάμεσων νερών. Σχήμα 3.3 Υπολογισμός της κατανομής οριζόντιας ταχύτητας (z) και της ανύψωσης ζ και με τη θεωρία Ροϊκής Συνάρτησης: ύψος κύματος H=5 m, βάθος =50 m, περίοδος T=8 s. 70

71 Σχήμα 3.4 Υπολογισμός της κατανομής οριζόντιας ταχύτητας (z) και της ανύψωσης ζ και με τη θεωρία της Ροϊκής Συνάρτησης: Η= 4m, βάθος = 5m, περίοδος Τ= 8s. Άσκηση Εφαρμόζοντας το πρόγραμμα STREAM.FOR συγκρίνετε τις κατανομές των ταχυτήτων και το προφίλ ελεύθερης επιφάνειας της μη γραμμικής θεωρίας Ροϊκής Συνάρτησης με εκείνες της γραμμικής θεωρίας (CALVEL.FOR). Εντοπίστε τις μεγάλες διαφορές των θεωριών για ένα τυπικό κυματισμό (Η= m και T=8 s) στα ρηχά νερά (π.χ. =3 m) και τις μικρές στα βαθειά (π.χ. =50 m). 7

72 4. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΟΜΟΙΩΜΑ ΜΕΤΑΔΟΣΗΣ ΚΥΜΑΤΙΣΜΩΝ Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζεται ένα μοντέλο μετάδοσης κυματισμών στον παράκτιο χώρο και στο εσωτερικό των λιμενικών έργων. Το μαθηματικό ομοίωμα βασίζεται στην αριθμητική επίλυση των εξισώσεων ήπιας κλίσης (mil slope eqations) υπερβολικής μορφής (Copelan, 985α, Watanabe & Maryama, 986, Karambas, 999) και μπορεί να περιγράψει τα φαινόμενα της διάθλασης, περίθλασης, επίδρασης της ρηχότητας και της ανάκλασης από τα κατακόρυφα μέτωπα και τους κυματοθραύστες με πρανή (ολική και μερική ανάκλαση). Μαζί με τα προγράμματα πρόγνωσης και διάδοσης κυματισμών στο παράκτιο χώρο που παρουσιάστηκαν στο κεφάλαιο, αποτελούν ένα πακέτο επιχειρησιακής χρήσης, για την επίλυση προβλημάτων σχεδιασμού Λιμενικών Έργων. Σχήμα 4. Σύστημα συντεταγμένων και μεταβλητές 4. Εξαγωγή των εξισώσεων Οι εξισώσεις που διέπουν την κίνηση στο νερό (που θεωρείται ασυμπίεστο ρευστό) είναι η εξίσωση συνέχειας και οι εξισώσεις ορμής (Eler). Οι γραμμικοποιημένες μορφές των εξισώσεων (δηλ. χωρίς τους μη γραμμικούς όρους) γράφονται: v 0 y z (4.) t p (4.) v t p y (4.3) p g t z (4.4) 7

73 όπου, v και είναι οι ταχύτητες του ρευστού κατά, y και z αντίστοιχα (Σχήμα 4.), ρ η πυκνότητα του νερού και p η πίεση. Οι (γραμμικοποιημένες) οριακές συνθήκες στην ελεύθερη επιφάνεια και στον πυθμένα γράφονται: t (z = ή z 0) (4.5) v (z = -) (4.6) y όπου είναι η ανύψωση της ελεύθερης επιφάνειας της θάλασσας λόγω του κυματισμού. Η ολοκλήρωση της (4.) ως προς z από τον πυθμένα (z= ) έως την επιφάνεια (z= ή z 0), σε συνδυασμό με τις (4.5) και (4.6), δίνει την ολοκληρωμένη ως προς το βάθος εξίσωση της συνέχειας : t U V W W y 0 (4.7) όπου U και V είναι οι μέσες ως προς το βάθος οριζόντιες ταχύτητες κατά και y που 0 0 ορίζονται από τις σχέσεις: U W z και V W vz Η σχέση (4.4) γράφεται: p z o gz z (4.8) t Υιοθετώντας την κατανομή της γραμμικής θεωρίας κυματισμών (Κουτίτας, 994, σχέση.0) για την πίεση p, έχουμε: όπου p η δυναμική πίεση: p p z z z gz p (4.9) k z cosh g (4.0) cosh k Σημειώνεται σ αυτό το σημείο ότι η πλήρης μη γραμμική εξίσωση της συνέχειας γράφεται U W V W 0, η οποία προκύπτει από την ολοκλήρωση της (4.) t y χρησιμοποιώντας την μη γραμμική οριακή συνθήκη v, στην ελεύθερη επιφάνεια t y (z = ), και τον κανόνα του Leibnitz 73

74 74 H ολοκλήρωση ως προς το βάθος των εξισώσεων της ορμής (4.) και (4.3) δίνει: 0 z pz p t U (4.) 0 y z pz y p t V (4.) Αντικαθιστώντας την (4.9) στις (4.) και (4.) καταλήγουμε στις παρακάτω, ολοκληρωμένες ως προς το βάθος, εξισώσεις ορμής: 0 cosh k g c t U (4.3) 0 cosh y k g y c t V (4.4) όπου k ο αριθμός κύματος και c η ταχύτητα διάδοσης του κυματισμού, T L c Η απώλεια της ενέργειας λόγω θραύσης των κυματισμών στην ακτή ή πάνω στους κυματοθραύστες εισάγεται στο μοντέλο μέσω της προσομοίωσης των τάσεων Reynols με τη θεώρηση τυρβώδη συντελεστή ιξώδους. Στο β μέρος των εξισώσεων της ορμής προστίθενται οι όροι: y U v U v h h (4.5) y V v V v h h όπου h v ένας τεχνητός τυρβώδης συντελεστής ιξώδους. Η απώλεια της ενέργειας λόγω τριβής πυθμένα προσομοιώνεται με τους γραμμικοποιημένους όρους στο β μέρος των εξισώσεων της ορμής: b U f (4.6) b V f

75 75 όπου σ η γωνιακή συχνότητα, b f είναι ο γραμμικοποιημένος συντελεστής τριβής που συνδέεται με τον συντελεστή τριβής (κύματος) f του επόμενου κεφαλαίου με τη σχέση: V U f f b (4.7) Ανακεφαλαιώνοντας, οι τελικές εξισώσεις του μοντέλου κυματισμών είναι οι εξής: 0 y V U t b h h U f y U v U v k g c t U cosh b h h V f y y V v V v y k g y c t V cosh (4.8) 4. Αριθμητικό σχήμα επίλυσης Στο σημείο iδ και στο χρόνο nδt (όπου Δ και Δt το χρονικό και χωρικό βήμα διακριτοποίησης) οι μερικές παράγωγοι των εξισώσεων (4.8) προσεγγίζονται, σε έναν έκκεντρο κάναβο όπου στο κέντρο του κανάβου υπολογίζεται η ανύψωση η ενώ οι ταχύτητες U και V στην άκρη (Σχήμα 4.), ως εξής: 0,,., y V V U U t n j i n j i n j i n j i n i n i k g c c t U U j i j i j i j i n j i j i n j i n j i i n j i n j i,,,,,,,,,, cosh _ n j i b n j i n j i n j i h n j i n j i n j i h U f U U U v U U U v,,,,,,,

76 76 k g c c t V V j i j i j i j i n j i j i n j i n j i i n j i n j i,,,,,,,,,, cosh _ n j i b n j i n j i n j i h n j i n j i n j i h V f V V V v V V V v,,,,,,, (4.9) Σχήμα 4. Διακριτοποίηση των μεταβλητών Οι οριακές συνθήκες που εφαρμόστηκαν πλευρικά ήταν συνθήκες σπογγώδους ζώνης (τεχνική απορρόφησης των κυματισμών -sponge layer- των Larsen an Dancy, 983). Η τεχνική αυτή εφαρμόζεται σε ένα διάστημα μήκους s από το όριο και προς τα έξω (Σχήμα 4.3). Στο εσωτερικό του διαστήματος αυτού οι μεταβλητές η, U και V διαιρούνται, σε κάθε χρονικό βήμα, με έναν συντελεστή μ() που ορίζεται: ln ep s (4.0) όπου β είναι μία σταθερά η οποία εξαρτάται από τον αριθμό των σημείων του διαστήματος s δηλαδή το s/δ. Ο αριθμός αυτός μπορεί να καθορίσει και τον συντελεστή της (μερικής) ανάκλασης. Το σύστημα διεγείρεται από μία χρονοσειρά ζi*(t) ανύψωσης της ελεύθερης επιφάνειας που εφαρμόζεται σε μία γραμμή του εσωτερικού της λιμενολεκάνης παράλληλα σε ένα όριο (Σχήμα 4.3) και σε απόσταση 0 από αυτό (Larsen an Dancy, 983, Lee an Sh, 998). Η χρονοσειρά διέγερσης είναι ημιτονοειδής: t c t t f i cos sin * (4.)

77 με t f sin c όπου Η είναι το ύψος του κύματος στην είσοδο του λιμενικού έργου, c η ταχύτητα μετάδοσης, Δt και Δ το χρονικό και το χωρικό βήμα, σ συχνότητα και φ η γωνία πρόσπτωσης. * Η ανύψωση t προστίθεται στην υπολογισμένη ανύψωση στο εσωτερικό του i πεδίου, δηλ. η τελική τιμή του η είναι το άθροισμα του προσπίπτοντος κυματισμού και του αποτελέσματος από το εσωτερικό του πεδίου. Στα πρώτα 0 (s/δ=0) σημεία επιβάλλεται η συνθήκη ορίου απορρόφησης (sponge layer) ώστε να απορροφώνται οι ανακλώμενοι κυματισμοί από το εσωτερικό του υπολογιστικού πεδίου. Τα όρια πλήρους ανάκλασης εφαρμόζονται οι οριακές συνθήκες: U=0 ή V=0 (και, όπου s ο άξονας κάθετα στο όριο). Η ανάκλαση περιγράφεται αυτόματα στο s πρόγραμμα ορίζοντας το κατακόρυφο μέτωπο με το χαρακτηριστικό βάθος -. * i t Σχήμα 4.3 Υπολογιστικό πεδίο 77

78 4.3 Τυρβώδης συντελεστής ιξώδους για την προσομοίωση της μερικής ανάκλασης από κυματοθραύστες με πρανή Όταν ο κυματισμός προσπίπτει σε έναν κυματοθραύστη με πρανή από λιθορριπή ή σε βραχώδη ακτή δεν ανακλάται αλλά και ούτε απορροφάται πλήρως. Ένα μέρος της ενέργειας καταναλώνεται πάνω στον κυματοθραύστη ή τη βραχώδη ακτή ενώ το υπόλοιπο ανακλάται προς την ανοικτή θάλασσα δημιουργώντας στάσιμο κυματισμό που επηρεάζει το κυματικό πεδίο στον λιμένα. Ιδιαίτερη σημασία έχει η ανάκλαση κοντά στην είσοδο του έργου που επηρεάζει την προσέγγιση των πλοίων. Η περιγραφή του φαινόμενου αυτού γίνεται με την εισαγωγή ενός τεχνητού τυρβώδους συντελεστή ιξώδους γ (Σχήμα 4.4). Οι εξισώσεις (4.8), στη μονοδιάστατη τους μορφή, γράφονται: U t 0 U t c v U 0 (4.) Σχήμα 4.4 Κυματοθραύστης με πρανή και ενεργειακά ισοδύναμη προσομοίωση Ας υποθέσουμε ότι για ένα μήκος S το βάθος του νερού μπροστά από τον κυματοθραύστη είναι σταθερό. Η περιοχή εφαρμογής του συντελεστή γ βρίσκεται ανάμεσα 0 S με πλήρη ανάκλαση στο σημείο =S. Για προσπίπτοντα κυματισμό εύρους a i και ανακλώμενο εύρους a r, έξω από την περιοχή εφαρμογής του συντελεστή γ (γ=0) ισχύει η αναλυτική έκφραση: it k it k a e a e (4.3) i r με gk tan k και k L 78

79 Μέσα στην περιοχή εφαρμογής του συντελεστή γ έχουμε: όπου Κ είναι τώρα μιγαδικός και ικανοποιεί τη σχέση: it k it k a e a e (4.4) i v ik c K (4.5) Εκφράζοντας για την U παρόμοιες με τις (4.3) και (4.4) σχέσεις και χρησιμοποιώντας τις οριακές συνθήκες (συνέχεια στις συναρτήσεις η και U για =0 και U=0 για =S) μετά από αντικατάσταση στις (4.) έχουμε την αναλυτική λύση για ai τον συντελεστή ανάκλασης RS : a R S r 4iKSW 4iKSW e e K k K (4.6) 4iKSW 4iKSW e e k Όταν ο συντελεστής ανάκλασης RS είναι γνωστός, το παραπάνω σύστημα των εξισώσεων (4.5) και (4.6) λύνεται εύκολα με τη μέθοδο των προσεγγίσεων και έτσι υπολογίζεται ο συντελεστής. Ο συντελεστής RS για τους κυματοθραύστες με πρανή από λιθορριπή μπορεί να εκτιμηθεί από εμπειρικές σχέσεις όπως αυτή που προτείνεται από τον Brn: όπου R S e BIr (4.7) g T Α=.3508, Β=-0.70, Ir tan a με Η το ύψος του προσπίπτοντος κύματος και tan a την κλίση του πρανούς. H εισαγωγή της μερικής ανάκλασης από τους κυματοθραύστες σε μοντέλα κυματισμών παρουσιάζεται αναλυτικότερα στην εργασία Karambas an Boers (996). 4.4 Τυρβώδης συντελεστής ιξώδους για την προσομοίωση της θραύσης τυχαίων κυματισμών Όταν οι κυματισμοί πλησιάζουν την ακτή, λόγω της επίδρασης της ρηχότητας και τη μείωση του μήκους τους, αυξάνεται το ύψος και η ταχύτητά τους ώστε να διατηρηθεί η ενέργειά τους. Η ροή όμως τότε φτάνει σε οριακή κατάσταση με το ύψος Η να πλησιάζει το βάθος και την οριζόντια ταχύτητα στην επιφάνεια να πλησιάζει την ταχύτητα μετάδοσης c. Ο κυματισμός τότε θραύεται και μεταδίδεται θραυόμενος μέχρι την αναρρίχησή του στην ακτή (Σχήμα 4.5). 79

80 Σχήμα 4.5 Επίδραση της ρηχότητας, θραύσης κυματισμών και αναρρίχηση στην ακτή Το φαινόμενο αυτό περιγράφεται με την εισαγωγή ενός συντελεστή τυρβώδους ιξώδους v h στη ζώνη θραύσης (Karambas an Kotitas, 99). Ο συντελεστής τυρβώδους ιξώδους υπολογίζεται από (Battjes, 975): 3 D v h h (4.8) όπου D η απώλεια της ενέργειας λόγω της θραύσης τυχαίων κυματισμών: D Qb f g m (4.9) 4 με f (Tp η περίοδος κορυφής του φάσματος), Hm το μέγιστο δυνατό ύψος κύματος p ( r h, με r μία σταθερά, r 0.6) καιq b είναι το ποσοστό των θραυόμενων κυματισμών σε ένα συγκεκριμένο σημείο. Μετά την παραδοχή κατανομής Rayleigh, ο συντελεστής Qb δίνεται από τη λύση της εξίσωσης(βλ. κεφ... Θραύση τυχαίων κυματισμών): Qb rms ln (4.30) Qb m 80

81 Η παραπάνω εξίσωση της απώλειας (4.9) μπορεί να περιγράψει την απώλεια τυχαίων κυματισμών σε πολύπλοκη βυθομετρία. Λόγω της πεπλεγμένης μορφής της εξίσωσης (4.30) μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την παρακάτω ρητή έκφραση: 0 E D ep f E r E ref (4.3) E όπου E είναι η πυκνότητα της ενέργειας (βλ. κεφ..5. E pg ) και E ref είναι L 8 η μέγιστη δυνατή κυματική ενέργεια σε ένα συγκεκριμένο βάθος: E ref pg (4.3) 8 Στην παραπάνω σχέση (4.3) η ποσότητα μέσα στην καμπύλη εκφράζει την πιθανότητα να είναι ένας κυματισμός θραυόμενος. 4.5 ΛΟΓΙΣΜΙΚΟ Η παραπάνω θεωρητική ανάλυση εφαρμόζεται στο μοντέλο WAVE-L. Το πρόγραμμα WAVE.FOR δέχεται δεδομένα το ύψος κύματος H O την περίοδο Τ (per), το χρονικό βήμα Δt(=t), το χωρικό Δt(=), τη γωνία πρόσπτωσης fin και το συνολικό χρόνο εφαρμογής του μοντέλου ten. Το πεδίο διακριτοποιείται σε (im jm) σημεία (με μέγιστη τιμή των και y, -ma= im, y-ma=jm ). Ο άξονας αντιστοιχεί στα σημεία i ενώ ο y στα σημεία j. Πριν από τη διακριτοποίηση βέβαια έχει καθοριστεί το χωρικό βήμα της τάξεως του: : 0 L (L το μήκος κύματος) και το χρονικό t μικρότερο από: t< 0.5 c (c η ταχύτητα μετάδοσης) Η διακριτοποίηση του πεδίου γίνεται με τέτοιο τρόπο ώστε η είσοδος του λιμενικού έργου να βρίσκεται στη Νότια πλευρά του καννάβου όπου βρίσκεται και η γραμμή (κατά ) εισόδου του κύματος (inpt). Στα 0 πρώτα σημεία εφαρμόζεται η οριακή συνθήκη απορρόφησης. Για το λόγο αυτό το λιμενικό έργο περιγράφεται στα σημεία (i, j>0). Το αρχείο δεδομένων DEPTH.DAT δημιουργείται ως εξής: 8

82 Γράφουμε στην πρώτη σειρά τις μέγιστες τιμές im και jm. Για κάθε μία τιμή του j (αρχίζοντας από j=) γράφουμε για όλα τα i τα βάθη. Στην θέση των κατασκευών (ολική ανάκλαση από κυματοθραύστες με κατακόρυφα μέτωπα) γράφουμε την τιμή του βάθους-. Το πρόγραμμα αυτόματα θα μηδενίσει τις μεταβλητές στα σημεία αυτά και θα ικανοποιήσει οι οριακές συνθήκες ανάκλασης. Πριν από κάθε ομάδα im σημείων αρχή γράφεται και η τιμή του j που αντιστοιχεί σε αυτά. Στο Παράρτημα παρουσιάζεται ένα παράδειγμα αρχείου epth.at σε ένα κάνναβο im jm=7070. Το αρχείο EDDY.DAT έχει την ίδια μορφή με το αρχείο DEPTH.DAT. Τα αποτελέσματα του μοντέλου (ύψος κύματος H σε όλα τα σημεία του πεδίου) γράφονται στο παρακάτω αρχείο: height.at με FORMAT:, y, H(,y) Με παρόμοιο τρόπο γράφονται και τα υπόλοιπα αποτελέσματα, όπως π.χ. οι μέγιστες οριζόντιες ταχύτητες U-ma(,y), V-ma(,y), η ανύψωση η, οι τάσεις ακτινοβολίας Sij (που θα παρουσιαστούν στο επόμενο κεφάλαιο). Πιθανά λάθη στη είσοδο δεδομένων:. Μη αντιστοιχία στον αριθμό των σημείων i και j που δόθηκαν με εκείνα του αρχείου epth.at με αποτέλεσμα οι αριθμοί των j που εμφανίζονται στην οθόνη να μην αρχίζουν από και να τελειώνουν σε jm. Το λάθος στο compilation που θα εμφανιστεί θα έχει προφανώς σχέση με το αρχείο epth.at.. Η μεγάλη τιμή του t θα δημιουργήσει αριθμητική αστάθεια. Η τιμή θα πρέπει να μειωθεί. 3. Λάθος τιμές στο αρχείο epth.at. Ο έλεγχος μπορεί να γίνει με τη χρήση του πακέτου srfer όπου θα φανεί καθαρά η βυθομετρία και η κατασκευή. 8

83 Σχήμα 4.6 Ανύψωση της στάθμης θάλασσας και ύψος κύματος για την περιοχή του λιμένα της Πάργας: Η=5.5 m, Τ=0.9 s, κατεύθυνση Δυτική 83

84 Στο σχήμα 4.6 παρουσιάζονται τα αποτελέσματα του μοντέλου (ανύψωση κύματος η και ύψος Η) για τη περίπτωση της περιοχής του Λιμένα της Πάργας όπου προσπίπτουν κυματισμοί ύψους Η=5.5 m και περιόδου Τ=0.9 sec. Η διάθλαση, η θραύση αλλά και οι μερικές ανακλάσεις από τους κυματοθραύστες φαίνονται στα διαγράμματα. Η εισαγωγή της πολύπλοκης βυθομετρίας (50000 σημείων) έγινε με τη βοήθεια του προγράμματος MakeGri.for. Το πρόγραμμα MakeGri χρησιμοποιείται για την δημιουργία του αρχείου βαθών συμπεριλαμβανομένης και της περιγραφής στερεών όγκων που περιέχονται σε μία θαλάσσια έκταση (π.χ. νησιά, κυματοθραύστες). Η λειτουργία του βασίζεται στη παρακάτω διαδικασία:. Με τη χρήση igitizer εισάγεται η περιγραφή των βυθομετρικών δεδομένων της παράκτιας περιοχής που προσομοιώνεται.. Στη συνέχεια με τη βοήθεια του προγράμματος srfer το αρχείο μετατρέπεται σε ένα μητρώο βαθών im jm με βάση τον κάνναβο που επιλέχθηκε. 3. Κατόπιν περιγράφουμε τις στερεές κατασκευές (τεχνητά έργα ή ακτές) δίνοντας τις συντεταγμένες των κορυφών. Κάθε στερεός όγκος θεωρείται ως ένα κλειστό πολύγωνο και έτσι γίνεται εύκολα η αναγνώριση των εσωτερικών σημείων των πολυγώνων. Σε αυτά τα σημεία δίδεται τιμή αρνητικού βάθους ώστε να αναγνωριστεί από την αριθμητική επίλυση. Το μέγεθος του αρχείου βαθών που μπορεί να δημιουργηθεί είναι της τάξεως εκατομμυρίων σημείων (!), που θα ήταν αδύνατο να εισαχθούν χωρίς τη βοήθεια παρόμοιων προγραμμάτων. Η ίδια διαδικασία χρησιμοποιείται και για να δημιουργηθούν άλλα αρχεία που θα δώσουν τις τιμές των συντελεστών τριβής fb και του συντελεστή τυρβώδους ιξώδους ν γ. 84

85 Παράρτημα Ένα απλό παράδειγμα αρχείου epth.at σε ένα κάνναβο imjm=7070 είναι: file: "epth.at" 70,70 5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,4.5,4.5,4.5, 4.,4.,4.,4.,4.,4.,4.,4.,4.,4.,4.,4.,4.,4.,4.,4.,4.,4.,4.5,4.5,4.5,4.5,4.5, 5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5., 5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5. 5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5., 4.5,4.5,4.5,4.5,4.,4.,4.,4.,4.,4.,4.,4.,4.,4.,4.,4.,4.,4.,4.,4.,4.,4.,4., 5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5., 5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5., ,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,4.5,4.5,4.5, 4.,5.,4.,4.,4.,4.,4.,4.,4.,4.,4.,4.,4.,4.,4.,4.,4.,4.,-.,-.,-.,-.,-., 5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5., 5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5. 5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,4.5,4.5,4.5, 4.,4.,4.,4.,4.,4.,4.,4.,4.,4.,4.,4.,4.,4.,4.,4.,4.,4.,-.,-.,-.,-.,-., 5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5., 5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5... κοκ μέχρι τη μέγιστη τιμή π.χ. j= ,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5., 4.5,4.5,4.5,4.5,4.,4.,4.,4.,4.,4.,4.,4.,4.,4.,4.,4.,4.,4.,4.,4.,4.,4.,4., 5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5., 5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5.,5. (από το σημείο j=0 άρχισε (με βάθος -) η εισαγωγή του τεχνικού έργου) 85

86 5. ΠΑΡΑΚΤΙΑ ΚΥΜΑΤΟΓΕΝΗ ΡΕΥΜΑΤΑ 5. Εξισώσεις κυματογενούς κυκλοφορίας Εξαγωγή εξισώσεων Η απώλεια της ενέργειας των κυματισμών, κυρίως λόγω της θραύσης τους, σε συνδυασμό με την επίδραση των φαινόμενων της διάθλασης και περίθλασης, οδηγεί στην δημιουργία παράκτιων κυματογενών ρευμάτων. Στα ρεύματα αυτά ένα υλικό σημείο εκτελεί ταυτόχρονα και την παλινδρομική κυματική κίνηση αλλά και μετακίνηση λόγω του ρεύματος (Σχήμα 5.). Σχήμα 5. Σχηματοποιημένη αναπαράσταση παράκτιου κυματογενούς ρεύματος. 86

87 Η αιτία της δημιουργίας αυτών των ρευμάτων είναι οι μεταβολές κατά την οριζόντια έκταση των μέσων ροών ποσότητας κίνησης που συνεπάγονται οι κυματισμοί. Τα μεγέθη αυτά των μέσων κατά το βάθος ροών ποσοτήτων κίνησης του νερού λόγω των κυματισμών ονομάζονται τάσεις ακτινοβολίας και είναι συναρτήσεις των στοιχείων του κυματισμού σε κάθε θέση. Οι τάσεις ακτινοβολίας ορίζονται σαν την περίσσια μεταφορά ορμής λόγω της παρουσίας κυματισμών. Παρακάτω θα δοθεί η μαθηματική περιγραφή (και η εξήγηση) του φαινόμενου. Οι μη γραμμικές εξισώσεις ορμής κατά και y γράφονται: v t y z v v v v v t y z p p y (5.) (5.) p v g t y z z (5.3) Σχήμα 5. Σχηματική αναπαράσταση ανάλυσης της ταχύτητας ενός σημείου στη ζώνη θραύσης των κυματισμών. Εφόσον ένα σημείο εκτελεί συνδυασμένη κίνηση κύματος και ρεύματος, δεχόμενοι την περίπτωση τυρβώδους ροής, μπορούμε να αναλύσουμε την ταχύτητά του (, v, ) σε ένα άθροισμα μίας (μέσης) συνιστώσας ρεύματος (c, vc, c), μίας καθαρά περιοδικής κυματικής συνιστώσας (, v, ) και μίας τυρβώδους διακύμανσης (, v, ) (Σχήμα 5.): Οι ταχύτητες, v και ταυτίζονται με τις ταχύτητες του κύματος, v και αντίστοιχα των προηγουμένων κεφαλαίων. 87

88 88 ' c ' v v v v c ' c (5.4) Εξ ορισμού οι μεταβλητές στις εξισώσεις (5.4) ικανοποιούν τις παρακάτω σχέσεις: 0 ' ' ' v 0 v (5.5) όπου το σύμβολο δηλώνει ολοκλήρωση ως προς τη χρονική κλίμακα τυρβώδους και τα σύμβολα < > ολοκλήρωση ως προς τη περίοδο του κύματος: T t t 0 Είναι αυτονόητο ότι κατά την καθαρά κυματική συνιστώσα (,v, ) της κίνησης, το υλικό σημείο εκτελεί μια περιοδική κίνηση (π.χ. ημιτονοειδή) με μέση τιμή μηδενική. Βλ. κεφ..5. σχέσεις: t k k z k T cos sinh cosh t k k z k T sin sinh sinh Αντικαθιστώντας τις (5.4) στις εξίσωση συνέχειας (4.) έχουμε: 0 z y v c c c 0 z y v 0 ' ' ' z y v (5.6) Η ολοκλήρωση ως προς το βάθος της πρώτης εξίσωσης των (5.6), από z=- έως την επιφάνεια z=ζ

89 89 0 y V U t (5.7) όπου ζ η ανύψωση της μέσης στάθμης θάλασσας και U και V είναι οι μέσες ως προς το βάθος οριζόντιες ταχύτητες του ρεύματος κατά και y που ορίζονται από τις σχέσεις: c z U και c z v V Αντικαθιστώντας τις (5.4) στις εξισώσεις ισορροπίας (5.) και (5.) και ολοκληρώνοντας πρώτα ως προς την χρονική κλίμακα τυρβώδους και κατόπιν ως προς την περίοδο του κύματος, έχουμε: y v t c c c c c z y v p ' ' ' ' ' ' z y v (5.8) y v v v t v c c c c c z v y v v v y p ' ' ' ' ' ' z v y v v (5.9) Κατά την εξαγωγή των (5.8) και (5.9) έχουμε θεωρήσει ότι το ρεύμα μεταβάλλεται ήπια μόνο κατά την οριζόντια διεύθυνση (δηλ. δεν υπάρχει κατακόρυφο ρεύμα, C =0).Επίσης χρησιμοποιήθηκαν και οι σχέσεις (5.6). Παρόμοια, αντικαθιστώντας τις (5.4) στην εξίσωση ισορροπίας (5.3), απαλείφοντας πάλι την ταχύτητα C και, ολοκληρώνοντας ως προς την χρονική κλίμακα τυρβώδους και μετά ως προς την περίοδο του κύματος, έχουμε: g z p z (5.0) Για την εξαγωγή της (5.0) χρησιμοποιήσαμε και πάλι τις σχέσεις (5.6).

90 90 Σχήμα 5.3 Μέση στάθμη θάλασσας ζ και κυματική ανύψωση η Η κατανομή της πίεσης που προκύπτει από την (5.0) είναι: z g p (5.) Η παραπάνω διαδικασία είναι η ίδια με αυτή που ακολουθείται για την εξαγωγή των εξισώσεων Reynols, έχοντας όμως επιπλέον αναλύσει την ταχύτητα σε μία κυματική συνιστώσα και μία συνιστώσα ρεύματος. Αντικαθιστώντας την (5.) στις (5.8) και (5.9) και ολοκληρώνοντας ως προς το βάθος, από z=- έως z=ζ+η (Σχήμα 5.3), κάνοντας την παραδοχή ότι η κατανομή της οριζόντιας ταχύτητας (c, vc) είναι (σχεδόν) ομοιόμορφη ως προς το βάθος (c(z) U, vc(z) V) έχουμε (DeVrie an Stive, 987): z y v h z h g y U V U U t U ' ' ' ' h h z z ' ' ' ' z y v h g z h (5.)

91 9 z v h z y v v h g y V V V U t V ' ' ' ' h v h v z z ' ' ' ' z v h y g z y v v h (5.3) όπου h είναι το συνολικό μέσο βάθος, h=+<ζ+η>= +ζ Κατά την εξαγωγή των παραπάνω εξισώσεων οι όροι <> και <v> στην επιφάνεια (z=ζ+η) και στον πυθμένα (z=-) θεωρήθηκαν μηδενικοί, παραδοχή ορθή εάν υποθέσουμε ότι ισχύει η γραμμική θεωρία κυματισμών (σε οριζόντιο πυθμένα) όπου οι ταχύτητες και έχουν διαφορά φάσης Ορίζοντας τις διατμητικές τάσεις στην επιφάνεια τ s, τ sy και τον πυθμένα τ b, τ by : z s ' ' z b ' ' (5.4) z sy v ' ' z by v ' ' και υιοθετώντας την προσέγγιση Bossinesq για τις τάσεις Reynols ) ) (,, ( ' ' ' ' ' ' v v v y v v v v v h h h καταλήγουμε: y U h v h U h v h g y U V U U t U h h h h b s z y v h g z h (5.5) y V h v h V h v h y g y V V V U t V h h h h by sy z v h y g z y v v h (5.6)

92 9 όπου v h ο τυρβώδης συντελεστής ιξώδους. Κατά την εξαγωγή των παραπάνω εξισώσεων, μετά την ολοκλήρωση ως προς την περίοδο του κύματος (ώστε να έχουμε μέσες χρονικά τιμές χωρίς την κυματική κίνηση) οι γραμμικοί όροι των κυματικών ταχυτήτων και v μηδενίστηκαν, επειδή εξ ορισμού <>=<v>=0. Στις εξισώσεις όμως παραμένουν μη γραμμικοί όροι (οι τελευταίοι στο β μέρος των εξισώσεων) που είναι συναρτήσεις των μεταβλητών της κυματικής κίνησης και είναι μη μηδενικοί μετά από την ολοκλήρωση ως προς την περίοδο του κύματος. Οι επιπλέον αυτοί όροι αυτοί καλούνται τάσεις ακτινοβολίας και είναι το γενεσιουργό αίτιο της κυματογενούς κυκλοφορίας. Οι τάσεις ορίζονται ως: g z S g z v v S yy z v S y (5.7) και οι εξισώσεις συνέχειας και ισορροπίας, για το υπολογισμό του κυματογενούς ρεύματος, γράφονται: 0 y Vh Uh t g y U V U U t U h h y U h v y h U h v h y S S h b s h h y Y g y V V V U t V h h y V h v y h V h v h y S S h by sy h h yy y (5.8)

93 93 Αντικαθιστώντας στις σχέσεις (5.7) τις κατανομές ως προς το βάθος των ταχυτήτων (, v, ) από τη γραμμική θεωρία κυματισμών (κεφάλαιο ) καταλήγουμε σε μία μορφή των τάσεων ακτινοβολίας που είναι συναρτήσεις των U, V και η. Η εξαγωγή των σχέσεων αναπτύσσεται στο εργασία του Copelan (985β) και καταλήγει στις: r r r D y V U U B y V U A U S g D y V U V y r r r r yy D y V U V y B y V U A V S g D y V U U r r y A V U S (5.9) όπου k k k k A r sinh 4sinh k k k k B r sinh sinh 4 k k k k D r cosh sinh 4sinh Στο μοντέλο WAVE-L οι τάσεις ακτινοβολίας υπολογίζονται με τη χρήση των (5.9). Οι εκφράσεις αυτές είναι γενικές, χωρίς την παραδοχή απλά προωθούμενων κυματισμών (μια παραδοχή που γίνεται πολύ συχνά). Έτσι μπορούν να χρησιμοποιηθούν σε πολύπλοκα πεδία του παράκτιου χώρου όπου συνυπάρχουν τα φαινόμενα της διάθλασης, θραύσης, περίθλασης και (μερικής ή ολικής) ανάκλασης των κυματισμών. Κάνοντας όμως την παραδοχή απλά προωθούμενων κυματισμών έχουμε τις παρακάτω (πιο κλασσικές αλλά απλοποιημένες) σχέσεις: cos n n S

94 S y nsin S yy n sin (5.0) όπου η πυκνότητα κυματικής ενέργειας ( g / 8, με Η το ύψος του κύματος), φ k η γωνία πρόσπτωσης του κυματισμού και n. sinh k Οι σχέσεις (5.0) δεν ισχύουν όταν υπάρχουν φαινόμενα ανακλάσεων στο πεδίο που μελετάται ενώ θα πρέπει να χρησιμοποιούνται προσεκτικά σε περιπτώσεις που δεν είναι σαφώς καθορισμένη η γωνία πρόσπτωσης φ, δηλ.. όταν σε ένα σημείο συμβάλουν κυματισμοί από διαφορετικές κατευθύνσεις (περίθλαση από δύο άκρα κυματοθραύστη, ύφαλοι...). Η επίλυση των (5.8) οδηγεί στο υπολογισμό των μέσων ως προς το βάθος ταχυτήτων του ρεύματος (U, V) που ονομάζεται πρωτογενές. Στις περιοχές όπου δεν παρατηρείται απώλεια της ενέργειας αλλά απλή μετάδοση των κυματισμών τότε οι επιπλέον όροι των βαθμιδών των τάσεων ακτινοβολίας δεν είναι δυνατόν να προκαλέσουν κυκλοφορία. Αντίθετα σε περιοχές όπου λαμβάνει χώρα απώλεια ενέργειας, όπως π.χ. στη ζώνη θραύσης, η κυματογενής κυκλοφορία είναι πολύ σημαντική (σχέση 4.9). Η επίλυση βασίζεται σε ένα αριθμητικό σχήμα πεπερασμένων διαφορών ίδιο με αυτό που παρουσιάστηκε στη προηγούμενη παράγραφο. Θεωρώντας τs, τη διατμητική τάση στην επιφάνεια λόγω της επίδρασης του ανέμου, μπορούμε να συμπεριλάβουμε και την ανεμογενή κυκλοφορία. Είναι επίσης προφανές ότι χωρίς τους επιπλέον όρους των τάσεων ακτινοβολίας οι παραπάνω εξισώσεις ταυτίζονται με αυτές της ανεμογενούς κυκλοφορίας (Κουτίτας, 994). Τραχύτητα πυθμένα Οι διατμητικές τάσεις τ b και τ by στις εξισώσεις ορμής των σχέσεων (5.8) προσομοιώνουν την απώλεια της ενέργειας λόγω τριβής στον πυθμένα. Ο ρόλος τους είναι σημαντικός στην εκτίμηση των κυματογενών ρευμάτων και απαιτεί ιδιαίτερο χειρισμό. Πριν όμως προχωρήσουμε στις εκφράσεις των διατμητικών τάσεων θα αναφερθούμε πρώτα στην τραχύτητα του θαλάσσιου αμμώδους πυθμένα ks στον παράκτιο χώρο κάτω από τη δράση των κυματισμών. Στην πραγματικότητα, ακόμα και έξω από τη ζώνη θραύσης, όταν οι κυματισμοί ταξιδεύουν κατά ομάδες, λόγω των τάσεων αυτών δημιουργούνται κυματισμοί μεγάλου μήκους που ταξιδεύουν μαζί με τους βραχείς. Επίσης, στην περίπτωση των στάσιμων κυματισμών, λόγω πάλι των τάσεων αυτών δημιουργούνται και μεταβολές της Μέσης Στάθμης Θάλασσας (ταπείνωση στους δεσμούς και υπερύψωση στις κοιλιές). 94

95 Ο πυθμένας της θάλασσας σπάνια είναι επίπεδος. Συνήθως σχηματίζονται στον πυθμένα αμμοκυμάτια που οφείλονται στη δράση κυρίως των κυμάτων. Τα αμμοκυμάτια δεν επιδρούν άμεσα στη μετάδοση των κυματισμών αλλά όμως επιδρούν σημαντικά στο σχηματισμό της οριακής στοιβάδας και την ένταση της τύρβης κοντά στον πυθμένα. Συνεπώς επηρεάζουν την κατανομή του κυματογενούς ρεύματος αλλά και τη μεταφορά φερτών στον πυθμένα. Τα γεωμετρικά χαρακτηριστικά τους, το ύψος ηr και το μήκος λ, συνδέονται με τα χαρακτηριστικά του κυματισμού και της άμμου. Το ύψος ηr των αμμοκυματίων σε περιβάλλον τυχαίων κυματισμών δίνεται σαν συνάρτηση του αριθμού κινητικότητας Ψ: r.85 για Ψ>0 με U 0 (5.) s g50 όπου Uo είναι το πλάτος (μέγιστη τιμή) της οριζόντιας κυματική ταχύτητα στον πυθμένα (για z=-) που υπολογίζεται από σχέση U o, s s (όπου s η πυκνότητα sinhkh του ιζήματος και η πυκνότητα του νερού, s.65), 50 η μέση διάμετρος των κόκκων και Ξ το πλάτος τροχιάς των μορίων κοντά στον πυθμένα λόγω του κυματισμού, U o. Η ταχύτητα Uo και η περίοδος Τ σχετίζονται με το σημαντικό ύψος κύματος. Η σχέση που συνδέει το ηr με το μήκος των αμμοκυματίων λ είναι: r (5.) όπου θ.5 η παράμετρος Shiels που αντιστοιχεί σε επίπεδο πυθμένα με τραχύτητα.5 50 : f.5v0 (5.3).5 s g 50 με f.5 τον συντελεστή τριβής για τραχύτητα.5 50 : f.5 ep (5.4.) Όταν επικρατούν έντονες κυματικές συνθήκες και η τιμή της παραμέτρου Ψ πάρει μεγάλες τιμές, Ψ>40, τότε τα αμμοκυμάτια εξαφανίζονται και ο πυθμένας είναι πλέον επίπεδος. Σε ιδιαίτερα ήπιες συνθήκες για Ψ<0 δεν σχηματίζονται αμμοκυμάτια. Μετά τον υπολογισμό του ύψους ηr και του μήκους λ των αμμοκυματίων, η τραχύτητα του αμμώδους πυθμένα ks υπολογίζεται από: 95

96 k s r (5.5) Διατμητικές τάσεις Για τον υπολογισμό των διατμητικών τάσεων των σχέσεων (5.8) θεωρούνται οι συνολικές ταχύτητες στον πυθμένα και όχι μόνο οι ταχύτητες του ρεύματος ή του κύματος. Όπως αναφέρθηκε στην κυματογενή κυκλοφορία ένα υλικό σημείο εκτελεί συνδυασμένη κίνηση: κυματική παλινδρομική και κίνηση ρεύματος. Οι συνολικές ταχύτητες κοντά στον πυθμένα b και v b δίνονται από: b t U b t v b t V v b όπου b, v b οι ταχύτητες του κύματος κοντά στον πυθμένα. Οι διατμητικές τάσεις δίνονται από τις σχέσεις: b by f f c c v b b b b t v v όπου f c είναι ο συνολικός συντελεστής τριβής κύματος-ρεύματος. b b (5.6) (5.7) Η ύπαρξη των κυματισμών στη συνδυασμένη αυτή κίνηση κύματος-ρεύματος επιδρά στην κατακόρυφη κατανομή της οριζόντιας ταχύτητας του ρεύματος αυξάνοντας την τύρβη κοντά στον πυθμένα. Άρα ο συντελεστής fc θα πρέπει να είναι συνάρτηση των συντελεστών τριβής ρεύματος f c και κύματος f. Μία απλοποιημένη έκφραση είναι ένας γραμμικός συνδυασμός των fc και f : f c c c c f a f a (5.8) όπου ο συντελεστής a c κατά δίνεται από τη σχέση: a U c, ενώ κατά y U U o V από: ac y V Vo Ο συντελεστής τριβής λόγω ρεύματος fc είναι συνάρτηση του συντελεστή τριβής Chezy cc : g f c c c 96

97 c c h 8log 0 k s (5.9) Ο συντελεστής τριβής λόγω κυματισμών δίνεται από τη σχέση: 0.9 k s f ep (5.30) Συντελεστής οριζόντιας διάχυσης Ο συντελεστής οριζόντιας διάχυσης v h υπολογίζεται από τη σχέση: v 0. 5U o (5.3) h Η παραπάνω τιμή του συντελεστή v h δε συμβιβάζεται με τις πειραματικές μετρήσεις του τυρβώδους συντελεστή ιξώδους. Από τις μετρήσεις φαίνεται ότι ο συντελεστής v h έχει τιμή τουλάχιστον μία τάξη μεγέθους μεγαλύτερη. Η διαφορά οφείλεται στο γεγονός ότι ο συντελεστής οριζόντιας διάχυσης προσομοιώνει την ανάμιξη στη ζώνη θραύσης όπου η επίδραση της οριζόντιας διασποράς είναι ιδιαίτερα σημαντική σε σχέση με την τυρβώδη διάχυση. Δευτερογενή ρεύματα κοντά στον πυθμένα Οι παραπάνω εξισώσεις (5.8) οδηγούν στο υπολογισμό των μέσων ως προς το βάθος ταχυτήτων του ρεύματος που ονομάζεται πρωτογενές. Ωστόσο πολλά προβλήματα της ακτομηχανικής απαιτούν την συνεκτίμηση του δευτερογενούς ρεύματος (Σχήμα 5.4) κυρίως κοντά στον πυθμένα όπου πραγματοποιείται το μεγαλύτερο μέρος της μεταφοράς φερτών. Το δευτερογενές αυτό ρεύμα σχετίζεται άμεσα με την μετάδοση των κυματισμών και περιλαμβάνει: Το τρισδιάστατο ρεύμα επαναφοράς εγκάρσια στην ακτή (nerto) που δημιουργείται κάτω από την κοιλιά των κυματισμών για να εξισορροπήσει τη ροή μάζας πάνω από την κοιλιά. Η γραμμική θεωρία κυματισμών προβλέπει ότι η ροή μάζας (ρεύμα) που δημιουργείται πάνω από το επίπεδο κοιλιάς των κυματισμών προς την κατεύθυνση μετάδοσης του κυματισμού είναι ίση με, όπου Μ η ροή μάζας c E πάνω από την κοιλιά, η πυκνότητα της ενέργειας ( E g ), c η ταχύτητα L 8 μετάδοσης και ρ η πυκνότητα του νερού. Συνεπώς το ρεύμα επαναφοράς θα έχει 97

98 κατεύθυνση προς τα ανοιχτά και συνολική παροχή ίση με γωνία πρόσπτωσης των κυματισμών. cos, όπου φ η c Το ρεύμα που παράγεται λόγω της ροής μάζας κοντά στον πυθμένα εξαιτίας των μηχανισμών του κυματικού οριακού στρώματος. Το ρεύμα αυτό έχει την ίδια κατεύθυνση με την κατεύθυνση μετάδοσης του κυματισμού και έχει μέγιστη τιμή στον πυθμένα 0.75 U o c Σχήμα 5.4 Τρισδιάστατο δευτερογενές κυματογενές ρεύμα εγκάρσια στην ακτή Μία απλοποιημένη προσέγγιση του ιδιαίτερα πολύπλοκου παραπάνω προβλήματος δίνεται από τον Leont yev (999), ο οποίος εκτίμησε τις ταχύτητες του δευτερογενούς ρεύματος κοντά στον πυθμένα Ub, Vb: U V b b D D D D D U c o D V c o cos sin (5.3) όπου φ η γωνία πρόσπτωσης των κυματισμών, c η ταχύτητα μετάδοσης των κυματισμών, D η απώλεια της κυματικής ενέργειας (σχέση 4.9) και D c g c (5.33) 98

99 όπου c g η φασική ταχύτητα ομάδας (κεφ..6 σχέση c g cn ) και lc το μήκος της ζώνης θραύσης (για κυματισμό που έχει ύψος ίσο με το μέσο όρο του ανώτερου % των υψών). Είναι φανερό ότι εκτός της ζώνης θραύσης η φορά των ταχυτήτων του δευτερογενούς ρεύματος έχει φορά προς την ακτή ενώ μέσα στη ζώνη θραύσης έχει κατεύθυνση προς τα ανοιχτά. Οι συνολικές οριζόντιες ταχύτητες του ρεύματος Ubt, Vbt στον πυθμένα προκύπτουν από τη απλή άθροιση των επιμέρους ταχυτήτων του πρωτογενούς και του δευτερογενούς ρεύματος: U U V bt U b V bt V b (5.34) 5.. ΛΟΓΙΣΜΙΚΟ Η παραπάνω θεωρητική ανάλυση εφαρμόζεται στο μοντέλο WICIR (Wave Ince CIRclation). Το πρόγραμμα WICIR.FOR δέχεται δεδομένα από το μοντέλο WAVE.FOR με τη μορφή που εξάγονται. Επιπλέον θα πρέπει να εισαχθούν και τα παρακάτω δεδομένα: - μέση διάμετρο κόκκων 50 - χωρικό βήμα - περίοδο κύματος per - χρονικό βήμα t του μοντέλου εξέλιξης βυθομετρίας. Τα αποτελέσματα του μοντέλου είναι το πεδίο των πρωτογενών ταχυτήτων (U, V) και γράφονται στο αρχείο: vel.at με FORMAT:, y, U(,y), V(,y) Στο Σχήμα 5.5. παρουσιάζονται τα αποτελέσματα της εφαρμογής του μοντέλου στη περιοχή Λιμενάρια της Θάσου. Η περιοχή που προσομοιώνεται βρίσκεται Δυτικά του λιμένα όπου κατασκευάζονται και δύο κυματοθραύστες παράλληλα στην ακτή για την προστασία της. Κυματισμοί ύψους Η=m και περιόδου Τ=6 sec προσπίπτουν πλάγια στην ακτή (από τα Νότιο-Δυτικά). Δημιουργείται ένα κυματογενές ρεύμα παράλληλα στην ακτή που είναι έντονο στα δυτικά. Στην περιοχή όμως των κυματοθραυστών μειώνεται η έντασή του. Η παρουσία του βραχίονα εκτρέπει το ρεύμα προς το Νότο, δημιουργώντας ένα ρεύμα επαναφορά γνωστό σαν rip-crrent. 99

100 Σχήμα 5.5 Ανύψωση της στάθμης θάλασσας και κυματογενές ρεύμα στην περιοχή Λιμενάρια της Θάσου. 00

101 6. ΚΥΜΑΤΟΓΕΝΗΣ ΜΕΤΑΦΟΡΑ ΙΖΗΜΑΤΩΝ ΣΤΟΝ ΠΑΡΑΚΤΙΟ ΧΩΡΟ 6. Εισαγωγή Στο παράκτιο χώρο, όπου κυριαρχεί η συνδυασμένη δράση κυματισμών και ρευμάτων, η παροχή του φορτίου φερτών υλών είναι ιδιαίτερα σημαντική με αποτέλεσμα τη συνεχή μεταβολή της βυθομετρίας. Το πλέον δραστήριο μέρος του παράκτιου χώρου είναι η ζώνη θραύσης και η ζώνη αναρρίχησης των κυματισμών. Στην περιοχή αυτή η μορφολογία του πυθμένα μεταβάλλεται τόσο σε μικρή χρονική κλίμακα (της τάξεως μερικών ωρών στη διάρκεια μίας θύελλας) όσο και σε μεγάλη (της τάξεως μερικών ετών) σαν αθροιστικό αποτέλεσμα διαφόρων εποχικών κυματικών καταστάσεων. Η εκτίμηση της παράκτιας στερεομεταφοράς είναι απαραίτητη προϋπόθεση για τον ορθό σχεδιασμό των λιμενικών έργων και των έργων προστασίας ακτών, καθώς και την εκτίμηση των περιβαλλοντικών επιπτώσεων από την κατασκευή παράκτιων τεχνικών έργων. Η συνολική παροχή q t του φορτίου φερτών υλών είναι το άθροισμα της παροχής δύο επιμέρους φορτίων, του φορτίου πυθμένα q b και του φορτίου σε αιώρηση q s : q t q q (6.) b s Όταν, η κίνηση των κόκκων γίνεται με κύλιση στον πυθμένα ή διαδοχικά άλματα που συνεπάγονται περιοδική επαφή με τον πυθμένα τότε η μεταφορά φερτών χαρακτηρίζεται σαν φορτίο πυθμένα (Σχήμα 6.). Όταν οι κόκκοι των ιζημάτων βρίσκονται σχεδόν συνέχεια σε αιώρηση στη στήλη του νερού λόγω της τύρβης τότε η μεταφορά φερτών χαρακτηρίζεται σαν φορτίο σε αιώρηση (Σχήμα 6.). Ανάλογα με τα χαρακτηριστικά των κόκκων, των κυματισμών και των κυματογενών ρευμάτων κυριαρχεί το ένα ή το άλλο φορτίο. Προφανώς όσο πιο μεγάλη είναι η διάμετρος των κόκκων τόσο πιο σημαντικό είναι το φορτίο πυθμένα. Πριν όμως προχωρήσουμε στις ποσοτικές σχέσεις των επιμέρους φορτίων θα αναφερθούμε στο κατώφλι κίνησης των κόκκων, δηλαδή στην ελάχιστη τιμή της διατμητικής τάσης πυθμένα πέραν της οποίας ο κόκκος των ιζημάτων τίθεται σε κίνηση. 6. Κατώφλι κίνησης Η υδροδυναμική κατάσταση κοντά στον πυθμένα της θάλασσας όπου συνυπάρχουν κυματισμοί και παράκτια ρεύματα αποτελεί τον ουσιαστικό παράγοντα αποσταθεροποίησης των κόκκων των ιζημάτων. Η αποκόλληση αυτή των κόκκων πραγματοποιείται όταν η διατμητική τάση στον πυθμένα, λόγω κυματισμού και ρεύματος, υπερβεί μία οριακή κρίσιμη τιμή. Το κατώφλι της κίνησης υπολογίζεται χρησιμοποιώντας την παράμετρο θ c του Shiels, που είναι συνάρτηση του αδιάστατου μεγέθους κόκκων D * : 3 g D D50 (6.) 0

102 Όπου D 50 η μέση διάμετρος των κόκκων, ν το κινηματικό ιξώδες, Δ η σχετική s πυκνότητα,, s η πυκνότητα της άμμου και η πυκνότητα του νερού. Η τιμή της παραμέτρου θ c δίνεται από: bcr c 0.4D * * 4 D s gd 50 όπου τ bcr η κρίσιμη διατμητική τάση στον πυθμένα. 0.4D 4 D * * * 0.9 * 0.04D 0 D * D 0 * D * 50 (6.3) Σχήμα 6. Φορτίο πυθμένα Σχήμα 6. Φορτίο σε αιώρηση 0

103 Όταν η συνολική διατμητική τάση τ b στον πυθμένα ξεπεράσει την παραπάνω κρίσιμη τιμή τ bcr, τ b >τ bcr, τότε πραγματοποιείται η αποκόλληση των κόκκων του αμμώδους εδάφους που μεταφέρονται τόσο κοντά στον πυθμένα όσο και σε αιώρηση. Σχήμα 6.3 Επίδραση της ασυμμετρίας του κυματισμού στη μέση στερεοπαροχή q q q b Σχήμα 6.4 Δευτερογενές ρεύμα εγκάρσια στην ακτή και μεταφορά φερτών 03

104 6.3 Μηχανισμοί μεταφοράς και ποσοτικές σχέσεις ειδικής στερεομεταφοράς Μηχανισμοί μεταφοράς Οι βασικοί μηχανισμοί μεταφοράς φερτών είναι:. Μεταφορά λόγω πρωτογενών κυματογενών ρευμάτων στη ζώνη θραύσης: η κυματική κίνηση των θραυόμενων και μη θραυόμενων κυματισμών, αυξάνοντας την διατμητική τάση πυθμένα, θέτει σε κίνηση τους κόκκους των ιζημάτων. Αφού πραγματοποιηθεί η αποκόλληση των κόκκων, αυτοί μεταφέρονται προς την κατεύθυνση του ρεύματος (Σχήματα 6.. και 6..).. Μεταφορά λόγω κυματικής ασυμμετρίας: λόγω της μη γραμμικής φύσης των κυματισμών η κίνηση των φερτών είναι και αυτή ασύμμετρη. Έτσι, κάτω από την κορυφή του κύματος, όπου η ταχύτητα είναι μεγάλη και έχει κατεύθυνση προς την ακτή, πραγματοποιείται μεγαλύτερη μεταφορά φερτών, με κατεύθυνση προς την ακτή, ενώ κάτω από την κοιλιά, όπου η ταχύτητα είναι μικρότερη και έχει φορά προς τα ανοιχτά, πραγματοποιείται μικρότερη στερεομεταφορά με κατεύθυνση προς τα ανοιχτά. Σαν συνολικό αποτέλεσμα έχουμε τη μεταφορά φερτών στη διεύθυνση μετάδοσης των κυματισμών (Σχήμα 6.3). 3. Μεταφορά λόγω δευτερογενών κυματογενών ρευμάτων (Σχήμα 6.4): -του τρισδιάστατου ρεύματος επαναφοράς (nerto) με κατεύθυνση προς τα ανοιχτά -του ρεύματος κοντά στον πυθμένα, στο οριακό στρώμα του κυματισμού με κατεύθυνση την κατεύθυνση μετάδοσης του κυματισμού Ο μηχανισμός μεταφοράς είναι ίδιος με την περίπτωση εφόσον τα ρεύματα αυτά συνυπάρχουν με το πρωτογενές κυματογενές ρεύμα. Φορτίο πυθμένα Όταν, μετά την αποσταθεροποίηση των κόκκων, η κίνησή τους γίνεται με κύλιση στον πυθμένα ή διαδοχικά άλματα που συνεπάγονται περιοδική επαφή με τον πυθμένα τότε η μεταφορά φερτών χαρακτηρίζεται σαν φορτίο πυθμένα (Σχήμα 6.). Στην ίδια κατηγορία επίσης ανήκει και η μεταφορά φερτών στο λεπτό στρώμα (sheet flo) του πυθμένα πάχους 0 έως 00 διαμέτρους κόκκου με μεγάλη συγκέντρωση άμμου. Αυτό το στρώμα του πυθμένα ρευστοποιείται κάτω από την επίδραση της κυματικής κίνησης και πραγματοποιείται σημαντική μεταφορά φερτών ιδιαίτερα στη διάρκεια θύελλας σε συνθήκες μεγάλων κυματισμών όταν έχουν εξαφανιστεί τα αμμοκυμάτια και πυθμένας είναι πλέον επίπεδος (όπου η τιμή του αριθμού κινητικότητας Ψ, της σχέσης 5., παίρνει τιμές μεγαλύτερες του 40, Ψ> 40). Ένας από τους πλέον ευρύτερα χρησιμοποιημένους τύπους για την εκτίμηση του φορτίου πυθμένα είναι η τροποποιημένη σχέση των Meyer-Peter και Müller που βασίζεται στη θεώρηση της διατμητικής τάσης στον πυθμένα. Σε ένα περιβάλλον κυματισμών ρευμάτων το φορτίο πυθμένα q b (ειδική παροχή όγκου φερτών) ως προς τις διευθύνσεις και y δίνεται από: 04

105 qb. 65 c 3 gd50 qby. 65 c 3 gd50 y (6.4) όπου τα σύμβολα < > δηλώνουν την ολοκλήρωση ως προς την περίοδο του κύματος ενώ η παράμετρος Shiels θ υπολογίζεται από: b s gd50 y by s gd50 y (6.5) Οι διατμητικές τάσεις πυθμένα τ b και τ by, στις διευθύνσεις και y, δίνονται από τις σχέσεις (5.7). Η διαφορά (θ-θ c ) είναι η ενεργός παράμετρος Shiels που αντιπροσωπεύει το μέρος της διατμητικής τάσης πυθμένα που χρησιμοποιείται για τη μεταφορά φερτών. Το υπόλοιπο μέρος θ c χρησιμοποιείται για να τεθούν σε κίνηση οι κόκκοι. Φορτίο σε αιώρηση Όταν οι κόκκοι των ιζημάτων βρίσκονται σχεδόν συνέχεια σε αιώρηση στη στήλη του νερού λόγω της τύρβης τότε το φορτίο χαρακτηρίζεται σαν φορτίο σε αιώρηση (Σχήμα 6.). Η τύρβη, που συμβάλλει στην κατακόρυφη διάχυση των φερτών σε αιώρηση, σε περιβάλλον κυματισμών-ρευμάτων, παράγεται κοντά στον πυθμένα λόγω της τριβής ή κοντά στην επιφάνεια λόγω της θραύσης των κυματισμών. Η μεταφορά φερτών σε αιώρηση q s (ειδική παροχή όγκου φερτών) ως προς τις διευθύνσεις και y, υπολογίζεται από τη μέση ως προς τη περίοδο του κύματος τιμή του γινομένου της συνολικής ταχύτητας κυματισμού και ρεύματος (t,z), v(t,z) και της στιγμιαίας συγκέντρωσης c (t,z): ' z, tc z t q, s ' z, tc z t q v, sy z z (6.6) Σε πρακτικές εφαρμογές η σχέση (6.6) μπορεί να απλοποιηθεί σε: 05

106 q q s sy v c c zcz zcz z z (6.7) όπου c η μέση ως προς τη περίοδο συγκέντρωση και c (z), v c (z) κατανομή ως προς το βάθος των ταχυτήτων του ρεύματος. Για τη συγκέντρωση c(z) υιοθετείται συνήθως η αναλυτική λύση της εξίσωσης διάχυσης (Κουτίτας, 994, σχέση 7.8): c z f z c a ep (6.8) D όπου f είναι η ταχύτητα καθίζησης (σχέση Κ0.), D v ο τυρβώδης συντελεστής διάχυσης και c a η συγκέντρωση στον πυθμένα: c 0.49 a.77 D50 f f Ο τυρβώδης συντελεστής διάχυσης D v προσομοιώνει την τύρβη που παράγεται στον πυθμένα λόγω της τριβής και στην επιφάνεια λόγω της θραύσης και υπολογίζεται με βάση τα χαρακτηριστικά του θραυόμενου κυματισμού και του ρεύματος (DeVrie an Stive, 987):.77 3 b D Dv (6.9) όπου τ b η συνολική διατμητική τάση στον πυθμένα (σχέση 5.7) και D η απώλεια της ενέργειας λόγω της θραύσης των κυματισμών (σχέση 4.9). Ο πρώτος όρος στο δεξιό μέλος της σχέσης (6.9) αναφέρεται στην τύρβη που παράγεται στον πυθμένα λόγω της τριβής ενώ ο δεύτερος λόγω της θραύσης του κυματισμού. Η χρήση των σχέσεων (6.7) για την εκτίμηση της στερεοπαροχής απαιτεί τον υπολογισμό της κατανομής του κυματογενούς ρεύματος, γεγονός που κάνει δύσκολη την εφαρμογή τους σε τρισδιάστατα πεδία. Σε πρακτικές εφαρμογές χρησιμοποιείται η ενεργητική προσέγγιση που περιγράφεται παρακάτω. 06

107 07 Ενεργητική εκτίμηση φορτίου πυθμένα και φορτίου σε αιώρηση Η ενεργητική προσέγγιση βασίζεται στην ιδέα του Bagnol που συνέδεσε τη στερεοπαροχή με την απώλεια της ενέργειας των κυματισμών. Οι συνολικές στερεοπαροχές q t, q yt, κατά και y δίνονται από το άθροισμα της παροχής των δύο επιμέρους φορτίων, των φορτίων πυθμένα q b, q by και των φορτίων σε αιώρηση q s, q sy : s b t q q q sy by yt q q q b bt b b s b g q tan tan t f bt s bt b f bt s s s g q b y bt b b s by v g q tan tan t f bt y s bt b f bt s s sy v g q (6.0) όπου Φ είναι η γωνία εσωτερικής τριβής, tanφ=0.6, ε b, ε s συντελεστές απόδοσης φορτίου πυθμένα και αιώρησης (ε b =0., ε s =0.0),, y οι κλίσεις του πυθμένα ως προς και y, b = b (t), v b =v b (t) οι συνολικές οριζόντιες ταχύτητες κύματος και ρεύματος κοντά στον πυθμένα κατά και y (σχέση 5.0), b b bt v ω b η απώλεια της ενέργειας λόγω της τριβής πυθμένα και ω t η συνολική απώλεια της ενέργειας λόγω της τριβής πυθμένα και της θραύσης των κυματισμών: 3 bt c b f H h b t De 3 (6.) όπου H είναι το μέσο τετραγωνικό ύψος του κύματος (H=Hrms) και D η απώλεια της ενέργειας λόγω της θραύσης των κυματισμών που υπολογίζεται από τη σχέση (4.9). Οι παραπάνω σχέσεις (6.0) και (6.), όπως και οι λεπτομερειακές (6.4), (6.7) περιλαμβάνουν την προσομοίωση και των τριών μηχανισμών μεταφοράς φερτών που περιγράφηκαν στην εισαγωγή. Οι παράμετροι που σχετίζονται με τον κυματισμό (π.χ. D,

108 f, που αντιπροσωπεύουν την τύρβη λόγω θραύσης και τριβής πυθμένα) είναι υπεύθυνοι να θέσουν σε κίνηση τους κόκκους οι οποίοι μεταφέρονται κυρίως από το ρεύμα (ταχύτητες U και V). Η μεταφορά λόγω της ασυμμετρίας του κυματισμού σχετίζεται με την (ασύμμετρη) κυματική ταχύτητα και την ολοκλήρωση ως προς την περίοδο του κύματος. Τέλος το ρεύμα στο οριακό στρώμα προσομοιώνεται μέσω των δευτερογενών ταχυτήτων που δίνονται στις σχέσεις (5.3). O Leont yev απλοποίησε τις παραπάνω εκφράσεις (6.0) και (6.) αγνοώντας τους όρους κλίσης πυθμένα και κάνοντας τις παραδοχές ότι οι κυματισμοί είναι γραμμικοί και ότι οι ταχύτητες του ρεύματος U και V είναι μικρότερες από την μέγιστη ταχύτητα του κύματος Uo. Έτσι οι σχέσεις (6.0) και (6.) τροποποιούνται στις: q t qb qs q yt qby qsy q b 9 8 b U s g tan U bt o b q s U bt s t s g f q by 9 8 b V s g tan U bt o b q sy V bt s t s g f b 3 f U 3 o 4 De t b 3 h H (6.) όπου q t, q yt οι συνολικές στερεοπαροχές, q t =q b +q s, q yt =q by +q sy, Ubt, Vbt οι συνολικές ταχύτητες του κυματογενούς ρεύματος στον πυθμένα, Ubt=U+Ub,Vbt=V+Vb, όπου U και V οι πρωτογενείς ταχύτητες του κυματογενούς ρεύματος (εξισώσεις 5.8), Ub και Vb οι δευτερογενείς ταχύτητες του κυματογενούς ρεύματος (σχέσεις 5.3) και Uo το H πλάτος της οριζόντιας ταχύτητας στον πυθμένα από τη σχέση 5.3, U o. sinhk Οι σχέσεις (6.) μπορούν να χρησιμοποιηθούν εύκολα καθώς απαιτούν μόνο τον υπολογισμό των ταχυτήτων του κυματογενούς ρεύματος (ταχύτητες Ubt, Vbt και το συνολικό βάθος h) και των χαρακτηριστικών του κυματισμού (ύψος H και μήκος L) χωρίς την ανάγκη της διαδικασίας ολοκλήρωσης ως προς την περίοδο του κύματος. 6.4 Μορφολογικές μεταβολές Οι μορφολογικές μεταβολές (ρυθμός μεταβολής της στάθμης του πυθμένα, Σχήμα 6.5) στον παράκτιο χώρο υπολογίζονται επιλύνοντας την εξίσωση διατήρησης του όγκου των φερτών: t q q p y t yt (6.3) 08

109 όπου είναι το βάθος του νερού, p το πορώδες της άμμου (p 0.4) και q t, q ty είναι οι συνολικές στερεοπαροχές παράλληλα (άξονας ) και κάθετα (άξονας y) στην ακτή. Σχήμα 6.5 Μεταβολή στάθμης πυθμένα Η παραπάνω εξίσωση (6.3) προσομοιώνει τις μεταβολές του πυθμένα σε τρισδιάστατο πεδίο. Χρησιμοποιείται τόσο για την εκτίμηση βραχυχρόνιων μεταβολών (της τάξεως μερικών ωρών έως μερικών ημερών) όσο και των μακροχρόνιων (της τάξεως μερικών ετών). Στην πράξη ανάλογα με την περίπτωση χρησιμοποιούνται διαφορετικές μορφές των (6.). Στην περίπτωση των βραχυχρόνιων μεταβολών στη διάρκεια ενός ή και περισσοτέρων κυματικών επεισοδίων εφαρμόζεται η πλήρης μορφή των εξισώσεων (6.) χρησιμοποιώντας τις συνολικές ταχύτητες του κυματογενούς ρεύματος στον πυθμένα Ubt, Vbt (άθροισμα πρωτογενών και δευτερογενών ταχυτήτων Utb=U+Ub,Vtb=V+Vb). Αντίθετα για την εκτίμηση μακροχρόνιων μεταβολών χρησιμοποιείται η απλοποιημένη μορφή των (6.) χρησιμοποιώντας μόνο τις ταχύτητες του πρωτογενούς ρεύματος, Utb=U, Vtb=V. 6.5 ΛΟΓΙΣΜΙΚΟ Η παραπάνω θεωρητική ανάλυση εφαρμόζεται στο μοντέλο SEDTR (SEDiment TRansport). Το πρόγραμμα SEDTR.FOR δέχεται τα παρακάτω δεδομένα: - μέση διάμετρο κόκκων 50 - χωρικό βήμα - περίοδο κύματος per - χρονικό βήμα t του μοντέλου εξέλιξης βυθομετρίας - το πλήθος των χρονικών βημάτων ien (τελικός χρόνος= t ien) Το πρόγραμμα δέχεται τα υπόλοιπα δεδομένα από το μοντέλο WICIR.FOR με τη μορφή που εξάγονται. 09

110 Τα αποτελέσματα του μοντέλου είναι το πεδίο των ειδικών στερεοπαροχών (q t, q ty ) και γράφονται στο αρχείο: q.at με FORMAT:, y, q t (,y),q ty (,y) Το μοντέλο SEDTR υπολογίζει τη στερεομεταφορά με τη χρήση των εξισώσεων (6.4) και (6.7). Εναλλακτικά μπορεί να χρησιμοποιηθούν και η ενεργητική προσέγγιση (εξισώσεις 5.) στο μοντέλο SEDTR-EN. Η μεταβολή του βάθους του πεδίου υπολογίζεται από την αριθμητική επίλυση της εξίσωσης συνέχειας φερτών (6.3) και γράφονται στο αρχείο nebe.at. Στα Σχήματα 6.6, 6.7 και 6.8 παρουσιάζεται μια εφαρμογή των μοντέλων WAVE-L, WICIR και SEDTR. Η εφαρμογή αναφέρεται στην προσομοίωση των κυματογενών διεργασιών στην περιοχή ενός κυματοθραύστη που κατασκευάζεται παράλληλα στην ακτή με σκοπό την προστασίας της. Η κλίση του πυθμένα είναι /30, το ύψος κύματος που προσπίπτει κάθετα στην ακτή είναι Η= m με περίοδο Τ=8 sec. Το μήκος του κυματοθραύστη είναι 50m ενώ ο πόδας του βρίσκεται σε βάθος 5m. Η μεταβολή του βάθους του πεδίου υπολογίζεται από την αριθμητική επίλυση της εξίσωσης συνέχειας φερτών (6.3). Στο Σχήμα (6.6) παρουσιάζεται το πεδίο των υψών του κύματος Η (WAVE-L) και η ανύψωση της μέσης στάθμης θάλασσας ζ (WICIR). Είναι προφανής η επίδραση της περίθλασης αλλά και τη θραύσης στο κυματικό πεδίο. Επίσης (όπως θα εξηγηθεί και παρακάτω) η διαφορά στο επίπεδο της ελεύθερης στάθμης της θάλασσας θα οδηγήσει στην παραγωγή του κυματογενούς ρεύματος (Σχήμα 6.7). Οι διαφορές των ειδικών στερεοπαροχών στο πεδίο οδηγούν με τη σειρά τους στην μεταβολή της αρχικής βυθομετρίας με τη βοήθεια της εξίσωσης συνέχειας φερτών (6.3). Έτσι δημιουργείται η προεξοχή (πρόσχωση) με ταυτόχρονη όμως διάβρωση πλευρικά. Η εφαρμογή βοηθά και στην κατανόηση της αιτίας δημιουργίας των κυματογενών ρευμάτων: Οι κυματισμοί στα άκρα του πεδίου θραύονται σε μεγαλύτερο βάθος από ότι αυτοί πίσω από τον κυματοθραύστη γιατί οι τελευταίοι υφίστανται την επίδραση της περίθλασης με αποτέλεσμα τη σημαντική μείωση του ύψους τους (Σχήμα 6.6). Σύμφωνα 5 3 H b με τη σχέση (βλ. κεφ ) (και το Σχήμα.4) η ανύψωση της 3 8 μέσης στάθμης θάλασσας εξαρτάται από το ύψος του κύματος και το βάθος στο σημείο θραύσης. Οι κυματισμοί με μεγαλύτερο ύψος θραύονται βαθύτερα και η αντίστοιχη ανύψωση της μέσης στάθμης θάλασσας αρχίζει να αυξάνεται πιο βαθειά ενώ είναι μεγαλύτερη από αυτή των μικρότερου ύψους κυματισμών (Σχήμα 6.6). Με το τρόπο αυτό δημιουργούνται διαφορές στη στάθμη της θάλασσας κατά μήκος της ακτής που οδηγεί στην δημιουργία του κυματογενούς ρεύματος (Σχήμα 6.7). Το ρεύμα αυτό μεταφέρει την άμμο (που έχει αποσταθεροποιηθεί από τους κυματισμούς) από τα άκρα του πεδίου προς το κέντρο (Σχήμα 6.7) μεταβάλλοντας την αρχική βυθομετρία και δημιουργώντας μια προεξοχή στη σκιά του κυματοθραύστη (Σχήμα 6.8). 0

111 Σχήμα 6.6 Ύψος κύματος Η (πρόγραμμα WAVE-L) και ανύψωση της μέσης στάθμης θάλασσας ζ (πρόγραμμα WICIR). Περίπτωση κυματοθραύστη παράλληλα στην ακτή και πρόσπτωσης κυματισμού κάθετα στην ακτή.

112 Σχήμα 6.7 Κυματογενής κυκλοφορία (πρόγραμμα WICIR) και ειδικές στερεοπαροχές της εφαρμογής (πρόγραμμα SEDTR).

113 Σχήμα 6.8 Μεταβολή της βυθομετρίας στην περιοχή της εφαρμογής. 3

114 6.6 Παράκτια στερεομεταφορά και μορφολογία των ακτών Γενικά Τεράστιες ποσότητες κοκκώδους υλικού του πυθμένα κινούνται στον χώρο των ακτών κάτω από την αποσταθεροποιητική δράση των κυματισμών και την μεταφορική ικανότητα των ρευμάτων. Τα παράκτια τεχνικά έργα διαταράσσουν την προϋπάρχουσα δυναμική φυσική ισορροπία. Στόχος μας είναι η φυσική κατανόηση και η ποσοτική περιγραφή της επίδρασης των έργων στην μορφολογία των ακτών (στο πλαίσιο των περιβαλλοντικών επιπτώσεων των έργων) Φυσικά στοιχεία Οι κοκκώδεις ακτές συντίθεται από ανόργανα υλικά που χαρακτηρίζονται από διάφορες φυσικές ιδιότητες, καθοριστικές για τις φυσικές διεργασίες στερεομεταφοράς. Τα φυσικά χαρακτηριστικά του υλικού των ακτών αποτελούν το ειδικό βάρος υλικού των κόκκων, όπου ε το πορώδες. s και το ειδικό βάρος φερτών (με τα κενά) s Το βυθισμένο ειδικό βάρος των φερτών υλών είναι s όπου το ειδικό βάρος του νερού. Το κύριο φυσικό χαρακτηριστικό είναι το μέγεθος των κόκκων που βρίσκεται με κοκκομετρική ανάλυση στο εργαστήριο, με πρότυπα κόσκινα ή πειράματα καθιζήσεως. Με βάση τη χαρακτηριστική διάμετρο κόκκων (π.χ. το D 50 ) χωρίζονται σε διάφορες κατηγορίες. Ανάλογο με το ειδικό βάρος και το μέγεθος των κόκκων, σημαντικό φυσικό χαρακτηριστικό είναι και η ταχύτητα καθιζήσεως, που για φυσικούς (μη σφαιρικούς αλλά γωνιώδεις) κόκκους δίνεται από την ακόλουθη σχέση: 0.7. s D f g για 6 3 s gd (6.4) 6.6. Φυσική και ποιοτική και ποσοτική περιγραφή μηχανισμών μεταφοράς φερτών υλών Σε περιβάλλον που δεν υπάρχουν κυματισμοί και ρεύματα δε συμβαίνει μεταφορά κοκκώδους υλικού του πυθμένα. Η υδροδυναμική κατάσταση κοντά στον πυθμένα, όταν υπάρχουν κυματισμοί ή ρεύματα ή και τα δύο, αποτελεί τον ουσιαστικό παράγοντα αποσταθεροποιήσεως των κόκκων των ιζημάτων. Οι δυνάμεις που επιδρούν στον κόκκο (χονδρόκοκκο υλικό, μη συνεκτικό όπως τα χαλίκια και η άμμος) και η επίδραση στερεοποίησης στην περίπτωση λεπτόκοκκων υλικών (συνεκτικών όπως η ιλύς και η άργιλος) παρουσιάζονται στο Σχήμα

115 Σχήμα 6.9 Δυνάμεις που επιδρούν στον κόκκο μη συνεκτικού υλικού Μετά την αποσταθεροποίηση των κόκκων η κίνηση τους γίνεται με δύο τρόπους: ή με κύλιση στον πυθμένα και διαδοχικά άλματα ύψους έως 0D, που συνεπάγονται περιοδική επαφή με τον πυθμένα ή χωρίς επαφή με το πυθμένα, σε αιώρηση μέσα στην υδάτινη στήλη. Η ανά μονάδα όγκου αιωρήματος, ποσότητα όγκου ή βάρους (η συγκέντρωση c δηλαδή) των κόκκων, μεταβάλλεται ομαλά, μειούμενη από τον πυθμένα προς την επιφάνεια κατά έναν περίπου εκθετικό τρόπο. Παρά τη συνέχεια αυτή, είναι πλέον παγιωμένη η τεχνητή διάκριση του φορτίου φερτών υλών σε δύο διακεκριμένους τρόπους μεταφοράς, το φορτίο πυθμένα και το φορτίο σε αιώρηση, που σαν ειδικές παροχές όγκου ή βυθισμένου βάρους φερτών υλών συμβολίζονται με q b (m 3 /m/sec) σε πάχος ζώνης z a και q s. Το ειδικό φορτίο αιωρουμένων δίνεται από το ολοκλήρωμα q cz από μία στάθμη αναφοράς z a σε απόσταση από s z a τον πυθμένα ως την επιφάνεια του γινομένου c όπου c η συγκέντρωση όγκου φερτών σε αιώρηση. Η εξέλιξη της μορφολογίας του πυθμένα ή ακριβέστερα ο ρυθμός μεταβολής της στάθμης z b του πυθμένα, κάτω από δεδομένες υδροδυναμικές συνθήκες, δίνεται από την εξίσωση που προκύπτει από την αρχή διατήρησης της μάζας ή του όγκου των φερτών υλών: zb qb qs q by qsy 0 (6.5) t y Αν ληφθεί υπ όψη η οριακή συνθήκη πυθμένα για το φορτίο σε αιώρηση με την εισαγωγή των παραμέτρων Ε (διάβρωση) και D (εναπόθεση) τότε η (6.5) γίνεται: b b by (6.6) t y z q q D E 5

116 Η διάκριση των δύο περιοχών μεταφοράς φερτών σε αιώρηση και παραπυθμένια παρουσιάζεται στο Σχήμα 6.0. Σχήμα 6.0 Διάκριση τρόπων μεταφοράς φερτών υλών Από τις θεωρίες σχετικά με φυσικό μηχανισμό στερεομεταφοράς στις ακτές υπερέχει η θεωρία του Bagnol (964), ο οποίος τεκμηρίωσε το γεγονός ότι μέρος της κυματικής ενέργειας αναλίσκεται για την αποσταθεροποίηση των κόκκων (υπέρβαση της κρίσιμης διατμητικής τάσης στον πυθμένα) και το υπόλοιπο για την μετακίνηση των κόκκων στην κατεύθυνση του κυματογενούς ρεύματος (και των υπολοίπων ρευματικών συνιστωσών, παλίρροιας κλπ) Το κατώφλι κινήσεως και οι ποσοτικές σχέσεις ειδικής στερεοπαροχής Η κρίσιμη διατμητική τάση πυθμένα τ bcr για την αποκόλληση κυρίως αμμωδών (μη συνεκτικών) εδαφών, μελετήθηκε με στόχο τις ποτάμιες στερεοπαροχές και συνετέθη πειραματικά η καμπύλη του Shiels (Σχήμα 6.) που συσχετίζει την κρίσιμη ταχύτητα τριβής bcr s cr με το σχετικό ειδικό βάρος και τη διάμετρο των κόκκων D. Η ταχύτητα τριβής συνδέεται με τη μέση ταχύτητα του ρεύματος U c με τη σχέση: bc f g c U c U c U c (6.7) 8 c όπου f c ο συντελεστής τριβών Darcy και c c o συντελεστής Chezy(m / /sec). Οι δύο συντελεστές συνδέονται με το μέγεθος της τραχύτητας πυθμένα λόγω ρεύματος: c 6

117 f c log k s c c 8log 0 (6.8) k s έτσι για τον υπολογισμό κρίσιμων συνθηκών, έναρξης της κίνησης των κόκκων, χρήση b του διαγράμματος του Shiels (συσχέτιση της ανηγμένης διατμητικής τάσης D U D με τον αριθμό Reynols Re, D = η διάμετρος των κόκκων) Σχήμα 6.. Σχήμα 6. Διάγραμμα του Shiels Αντίστοιχη προς το διάγραμμα Shiels είναι και η σχέση των Sart και Flemming για τον υπολογισμό του κρίσιμου *cr : a 0.09 U cr R R 0 a D

118 0 log D g D 3 D 50 (6.9) Στην περίπτωση περιβάλλοντος κυματισμών (δείκτης ) η τριβή πυθμένα περιγράφεται από τις σχέσεις: U o f U o sinh k f ep 5. k s o U o (6.0) με συντελεστή τριβών f και Ξ το πλάτος της τροχιάς των μορίων κοντά στον πυθμένα. Η κρίσιμη ταχύτητα για την μετακίνηση υλικού από τους κυματισμούς δίνεται από: U ocr 8 gd (6.) Στην περίπτωση συνύπαρξης κυματισμών και ρευμάτων μπορεί να θεωρηθεί ότι η διατμητική τάση στον πυθμένα είναι επαλληλία των διατμητικών τάσεων από τους κυματισμούς και τα ρεύματα. Σε περίπτωση ρεύματος και κυματισμού ίδιας κατεύθυνσης ισχύει: f c 0.8 bc bcc b c, (6.) ' f c D όπου το f c αναφέρεται στο D 50 και το ' f c στο k s. Γενικά, η τριβή πυθμένα στην περίπτωση συνυπάρξεως ρεύματος και κυματισμού αυξάνεται σαν να επενεργεί μια αυξημένη τραχύτητα αντιτιθέμενη στην ανάπτυξη του ρεύματος. Μια απλή προσέγγιση γίνεται με την εισαγωγή ισοδύναμης τραχύτητας πυθμένα: k k sc sc e U o U (6.3) 8

119 όπου U o και U αντίστοιχα η ταχύτητα κυματισμού κοντά στον πυθμένα και η μέση ταχύτητα ρεύματος και Ο(γ)=0.75-., ανάλογα με την γωνία ρεύματος κύματος Εκτίμηση ειδικών στερεοπαροχών όγκου φερτών υλών σε περιβάλλον κυματισμών και ρεύματος q bc,q sc Ένας ευρύτατα χρησιμοποιημένος τύπος είναι των Kalinski-Frijlink, ο οποίος για συνδυασμό ρεύματος U και κυματισμών(οπότε η ταχύτητα τριβής πυθμένα είναι η επαλληλία της κυματικής και ρευματικής) γράφεται: όπου q bc 0.7 g D 5D 50U g c * c e (m c 3 /m/sec) (6.4) 50 U g f * 4 c U o (6.5) cc Με βάση αυτή την τιμή στερεοπαροχής πυθμένα υπολογίζεται η τιμή της ισοδύναμης συγκέντρωσης c a μέσα στη ζώνη παραπυθμένιας μεταφοράς πάχους z a : z a k s O, q c b a 6.5k U (6.6) s * Tο φορτίο σε αιώρηση(ειδική στρεοπαροχή όγκου q s ) μπορεί να εκτιμηθεί από το ca qs z με το νομογράφημα του Einstein που δίνει το λόγο συναρτήσει των παραμέτρων a qb f και z Σχήμα U * 9

120 Σχήμα 6. Διάγραμμα Einstein για την εκτίμηση της στερεοπαροχής σε αιώρηση Εναλλακτικά είναι δυνατή η εφαρμογή των διαθέσιμων σχέσεων ολικού φορτίου q s, q b ή του αθροίσματος q t =q s +q b. Ευρεία εφαρμογή και απλότητα έχει η σχέση των Engeln- Hansen: q tc 0.05 U c 5 g c D 4 * c 50 (6.7) Πιο σύγχρονη είναι η προσέγγιση του Baillar που διαχωρίζοντας τις δύο συνιστώσες στερεοπαροχής εισάγει παραμέτρους όπως η ασυμμετρία του κύματος και η κλίση του πυθμένα για τις μέσες κατά την περίοδο του κύματος στερεοπαροχές. 0

121 6.6.5 Διαφοροποίηση διαδικασιών στερεομεταφοράς στις οριζόντιες διευθύνσεις. Τεχνητή διαφοροποίηση της ενιαίας διδιάστατης διαδικασίας στερεομεταφοράς σε δύο κατευθύνσεις α) την εγκάρσια και β) την παράλληλη προς την ακτή. α) Μεταφορά φερτών υλών εγκάρσια στις ακτές. Η εγκάρσια μεταφορά φερτών υλών αποτελεί τη μία συνιστώσα που συμβάλει στη διαμόρφωση του προφίλ της ακτής. Η κατεύθυνση είναι προς την ακτή, έξω από τη ζώνη θραύσης και προς την ανοιχτή θάλασσα, μέσα στη ζώνη θραύσεως (λόγω του υποβρυχίου ρεύματος επιστροφής, nerto) Σχήμα 6.3. Η εγκάρσια μεταφορά βασίζεται στην αποσταθεροποιητική δράση των κυματισμών και τα δευτερογενή ρεύματα εγκάρσια στην ακτή. Ενώ η μέση κατά το βάθος τιμή του ρεύματος είναι μηδέν, αναπτύσσονται προφίλ ταχύτητας, που σχηματικά παρουσιάζονται στο σχήμα 6.3. Σχήμα 6.3 Κατευθύνσεις εγκάρσιας στερεομεταφοράς λόγω κυματισμών έξω και μέσα στη ζώνη θραύσης Η γραμμή θραύσεως του υφάλου διαμορφώνεται παράλληλα στην ακτή, με υλικό διάβρωσης της ακτής, που αποτελεί προφυλακή της ακτής για την διακοπή της πιο πέρα διάβρωσης. Αποτέλεσμα της δράσης κυματισμών και κυματογενών ρευμάτων εγκάρσια στην ακτή, είναι η διαμόρφωση δύο διακεκριμένων προφίλ, του χειμερινού και του θερινού, πρβλ. Σχήμα 6.4.

122 Σχήμα 6.4 Διάκριση χειμερινού και θερινού προφίλ ακτής ανάλογα με την καμπυλότητα του κύματος (τον χειμώνα το θέρος) Η σύγχρονη πειραματική και υπολογιστική τεχνική έχει κατορθώσει να προσομοιώσει και να περιγράψει ποσοτικά τις διεργασίες διάβρωσης/εναπόθεσης. Απλουστευμένη προσέγγιση αποτελούν οι σχέσεις Dean και Snamra-Horikaa για την αποτίμηση των συνθηκών διάβρωσης/εναπόθεσης, συναρτήσει των κυματικών συνθηκών και της κοκκομετρίας: α. Σχέση Dean. Ανάλογα με την τιμή του μονωνύμου o F o (6.8) f

123 διακρίνονται δύο περιπτώσεις: Για F 0 > λαμβάνει χώρα διάβρωσης και για F 0 < λαμβάνει χώρα εναπόθεσης υλικού. β. Σχέση Snamra-Horikaa. Ανάλογα με την τιμή του μονωνύμου G D 0.67 o o tan L L (6.9) o 0 διακρίνονται δύο περιπτώσεις: Για G 0 >8 συμβαίνει διάβρωση, ενώ για G 0 <9 συμβαίνει εναπόθεση υλικού στην ακτή. β) Μεταφορά φερτών υλών παράλληλα στην ακτή Η παράκτια συνιστώσα της μεταφοράς φερτών υλών εκτείνεται σε όλο το πλάτος της ζώνης επιδράσεως των κυματισμών στο υλικό της ακτής, αλλά μεγιστοποιείται στη ζώνη θραύσεως, όπου και η τύρβη του νερού αποκτά τους μέγιστους ρυθμούς γενέσεως και αποσβέσεως, συνεπαγόμενη πέρα από το φορτίο πυθμένα και μεγάλο φορτίο σε αιώρηση, άλλα και όπου διαμορφώνεται το παράκτιο ρεύμα λόγω λοξής θραύσεως. Πειραματική συσχέτιση παράκτιας ροής κυματικής ενέργειας λόγω της λοξής θραύσης των κυματισμών με την ολική (παραπυθμένια και σε αιώρηση) στερεοπαροχή, έδειξε ότι η ροή ενέργειας κατά μήκος της ακτής, στο σύνολο της ζώνης θραύσεως, δίνεται από τη σχέση: g ls sbcgb sin ab J/m/sec (6.30) 6 Gls 90 m 3 /year (6.3) ls Η τιμή του G ls πρέπει να πολλαπλασιαστεί με την μέση ετήσια συχνότητα f% εμφανίσεως της συγκεκριμένης κατάστασης κυματισμών ώστε να δίνει την πραγματική ετήσια παράκτια στερεοπαροχή Ισοζύγιο φερτών υλών Η παράκτια και η εγκάρσια μεταφορά φερτών υλών σε μικρό πλάτος της παράκτιας θαλάσσιας ζώνης, είναι σημαντική με σοβαρά μορφολογικά επακόλουθα για τις ακτές. Αποτελεί σοβαρό τεχνικό πρόβλημα η εκτίμηση του ετήσιου ισοζυγίου φερτών υλών σε ένα τμήμα της ακτής, που είτε εκ φύσεως προβληματικό είτε κινδυνεύει από τις αντιδράσεις της φύσεως πάνω σε σχεδιαζόμενο τεχνικό έργο. Ορίζεται σαν παράκτια φυσιογραφική μονάδα ένα τμήμα της ακτής, το οποίο εξελίσσεται λόγω στερεομεταφορών ανεξάρτητα από την υπόλοιπη ακτή. Στο τμήμα αυτό είναι δυνατό να περιέχονται πολλές πηγές (sorces) και πολλές παγίδες (sinks) φερτών υλών. 3

124 α. Πηγές φερτών υλών αποτελούν: τα υδατορρεύματα, η διάβρωση γαιωδών παρακτίων πρανών, η μεταφορά από τον άνεμο, η βιογενής απόθεση, η τεχνητή τροφοδοσία με άμμο. β. Παγίδες φερτών υλών αποτελούν: τα παλιρροιακά στόμια, η μεταφορά από τον άνεμο προς την ακτή, τα υποβρύχια φαράγγια, η λείανση από την τριβή, οι αμμοληψίες, τα άστοχα παράκτια έργα. Με βάση τη σχέση παράκτιας στερεοπαροχής ( ) είναι δυνατό να γίνει ποσοτική ανάλυση του ισοζυγίου φερτών υλών, κατά τη διάρκεια του έτους κατά μήκος μιας ακτής. Ξεκινώντας από ένα όριο της φυσιογραφικής μονάδας, χωρίζεται η ακτή σε τμήματα και υπολογίζεται το αλγεβρικό άθροισμα των όγκων φερτών που μεταφέρονται προς τη μία και την άλλη κατεύθυνση. Με αυτόν τον τρόπο, είναι δυνατό διακριβωθεί αν το ισοζύγιο ισορροπεί ή παρουσιάζεται έλλειμμα ή περίσσευμα φερτών υλών κατά τη διάρκεια του έτους. Η ανάλυση μπορεί να είναι με βάση ένα ιστόγραμμα συχνοτήτων εμφανίσεως των διαφόρων κυματολογικών συνθηκών και τον υπολογισμό του αθροίσματος: N i Q f (6.3) i όπου i=, Ν οι διάφορες διακεκριμένες καταστάσεις, ε i πρόσημο ανάλογα με τη φορά της κινήσεως, Q i ο αντίστοιχος ετήσιος όγκος φερτών και f i η συχνότητα εμφανίσεως της καταστάσεως. Σύμφωνα με την παραδοχή παράλληλης μετατοπίσεως του επιπέδου του πυθμένα, για τμήμα ακτής μήκους Δl, μέσο βάθος νερού όπου εκτείνεται η δράση των κυματισμών και ΔΩ η διαφορά της πλευρικά εισερχόμενης και εξερχόμενης ποσότητας φερτών υλών σε ετήσια βάση, η ετήσια μεταβολή της ακτογραμμής είναι ίση με: i i y (6.33) l Πάνω στη λογική αυτή, στηρίζεται και η διαφορική εξίσωση μεταβολής της ακτογραμμής ανάντη και κατάντη μίας παγίδας φερτών υλών (π.χ. ενός εγκάρσιου μόλου ή βραχίονα), μοντέλο Pelnar-Consiere (θεωρία μίας γραμμής). Σε ακτή με βάθος επίδρασης των κυματισμών h (συνήθως h = -3 b ) βρίσκεται η ετήσια μεταβολή της τεταγμένης y της ακτογραμμής από την εξίσωση συνεχείας: y Q h t 0 (6.34) y Με αρχικές συνθήκες t=0 y=0 και οριακές συνθήκες =0 Q=0, =αo (εμπόδιο y που διακόπτει την παράκτια στερεοπαροχή), = Q=Q o, =0, y=0, όπου αo η γωνία προσπτώσεως των κυματισμών και Q o η φυσική στερεοπαροχή, η λύση της (6.34) είναι: 4

125 όπου και Q ot y a e o (6.35) aoh aoh Qot (6.36) e 0 (6.37) Για =0 ο ρυθμός προσχώσεως της ακτογραμμής είναι: y Qot ao 0 h (6.38) Επίσης, η ανάντη επίδραση της προσαμμώσεως εκτείνεται ως ένα μήκος: 3 y 0 (6.39) a o Σχήμα 6.5 Ευθύγραμμη ακτή με εγκάρσιο βραχίονα που διακόπτει την στερεοπαροχή στο = Αλληλεπίδραση ακτών και παρακτίων έργων H παρουσία των παράκτιων έργων στο φυσικό χώρο, όπου κατά το πλείστο των περιπτώσεων είχε είδη αποκατασταθεί μια δυναμική ισορροπία με ισορροπημένο ισοζύγιο φερτών υλών ή με συστηματικές διαβρώσεις ή προσαμμώσεις με ήπιους 5

126 ρυθμούς, κυριολεκτικά αναστατώνουν το φυσικό περιβάλλον, καθώς αναμορφώνουν τα κυματολογικά δεδομένα με την προκαλούμενη ανάκλαση, περίθλαση ή και θραύση, σε περιοχές όπου δεν συνέβαινε πριν, αλλά και καθώς παρεμβαίνουν μέσα στη ζώνη θραύσεως στην παράκτια στερεομεταφορά, συγκεκριμένα: Έργα που εισέρχονται στη ζώνη θραύσης των κυματισμών και διακόπτουν την παράκτια στερεοπαροχή συνεπάγονται προσάμμωση ανάντη του έργου και διάβρωση της ακτής στα κατάντη. Μεταξύ ενός παράλληλου προς την ακτή έργου και της ακτής (στη σκιά των περιθλώμενων κυματισμών) προκαλείται προσάμμωση (tombolo). Στρόβιλοι αδρανειακής προέλευσης που αποκολλώνται από τα άκρα μόλων δημιουργούν στο κέντρο τους προσαμμώσεις (μειώσεις του βάθους). Είσοδοι λιμένων που αντιμετωπίζουν κυματισμούς δέχονται και παγιδεύουν στο εσωτερικό της λιμενολεκάνης φερτές ύλες (μείωση βαθών στην γειτονική περιοχή της λεκάνης). Παράκτιοι τοίχοι μέσα στη ζώνη αναρρίχησης των ισχυρών κυματισμών (χειμερινών) προκαλούν ανάκλαση της κυματικής ενέργειας και συνεπάγονται διάβρωση του ποδός τους και υποσκαφή τους (πρέπει να θεμελιώνονται σε βάθος μεγαλύτερο από την προβλεπόμενη διάβρωση). Όλα τα παραπάνω, παρουσιάζονται μορφολογικά στο Σχήμα 6.6. Σχήμα 6.6 Επίδραση παρακτίων έργων στην μορφολογία της ακτής Μέτρα και έργα ανάταξης και προστασίας των ακτών Για την αποφυγή των ανεπιθύμητων μεταβολών της μορφής των ακτών απαιτείται κατά πρώτο, σωστή πρόβλεψη των γεωμορφολογικών περιβαλλοντικών επιπτώσεων που συνεπάγονται τα παράκτια τεχνικά έργα, που γίνεται με τη βοήθεια φυσικών και υπολογιστικών μοντέλων, και σε συνέχεια λήψη τεχνικών μέτρων, όπως: 6

127 Τεχνητή παράκαμψη των εγκαρσίων έργων με μεταφορά της άμμου από τα ανάντη στα κατάντη του έργου. Αύξηση της απόστασης των κυματοθραυστών από την ακτή και τμηματική κατασκευή τους με μεταξύ κενά για την μείωση του πλάτους του tombolo Βέλτιστος προσανατολισμός εισόδων λιμένων για την μείωση της παγίδευσης φερτών (αναπόφευκτη η περιοδική βυθοκόρηση) Περιοδικός εμπλουτισμός διαβρουμένων ακτών με υλικό κατάλληλα διαβαθμισμένο και κατάλληλο καθορισμό του συντελεστή «υπερπλήρωσης». Το αναγκαίο ποσοστό υπερπλήρωσης R A ανάλογα με τις κοκκομετρικές ιδιότητες του φυσικού υλικού (δείκτης n) και του δανείου (δείκτης b) δίνεται στο διάγραμμα του Σχήματος 6.7. Σχήμα 6.7 Ποσοστό υπερπλήρωσης ανάλογα με τις κοκκομετρικούς παραμέτρους Μ,σ 7

128 7. ΚΥΜΑΤΟΓΕΝΗ ΡΕΥΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΤΕΡΕΟΜΕΤΑΦΟΡΑ ΠΑΡΑΛΛΗΛΑ ΣΤΗΝ ΑΚΤΗ 7. Θεωρητική προσέγγιση Στο κεφάλαιο αυτό θα παρουσιαστεί η εκτίμηση του κυματογενούς ρεύματος και της στερεομεταφοράς, στην περίπτωση μίας ακτής με παράλληλες ισοβαθείς και θεωρητικά άπειρο μήκος. Οι κυματισμοί προσπίπτουν πλάγια στην ακτή και θραύονται σχηματίζοντας γωνία ως προς αυτή. Το κυματογενές ρεύμα που δημιουργείται είναι παράλληλο προς στην ακτογραμμή. Η περίπτωση αυτή, αν και απλοποιημένη, είναι ιδιαίτερα ενδιαφέρουσα όχι τόσο από υδροδυναμική άποψη αλλά κυρίως λόγω της σημαντικής στερεομεταφοράς που παράγεται παράλληλα στην ακτή. Η ορθή εκτίμηση της στερεομεταφοράς αποτελεί τη βάση για το σχεδιασμό των έργων προστασίας των ακτών αλλά και της επίπτωσης των παράκτιων κατασκευών στη μορφολογία της περιοχής. Κυματικό πεδίο Η προσομοίωση της μετάδοσης τυχαίων κυματισμών που προσπίπτουν υπό γωνία σε μία ακτή με παράλληλες ισοβαθείς βασίζεται στην αριθμητική επίλυση της εξίσωσης της ενέργειας (βλπ. κεφ..6.6): Ec g cos D (7.) όπου η πυκνότητα της κυματικής ενέργειας ( =0.5ρgH ), c g η ταχύτητα ομάδας των κυματισμών, a η γωνία πρόσπτωσης και D η απώλεια της ενέργειας λόγω της θραύσης των κυματισμών. Η απώλεια D συνδέεται με τη διαφορά της πυκνότητας της ενέργειας σε ένα σημείο και της πυκνότητας της ενέργειας ενός ευσταθούς κυματισμού H st σε βάθος όπου ο κυματισμός δεν είναι πλέον θραυόμενος αλλά αναμορφώθηκε και μεταδίδεται πλέον σαν μη θραυόμενο. H απώλεια D μπορεί να υπολογιστεί από τη σχέση(βλπ. Κεφ..6.6): D Qb f g 4 Ωστόσο, κυρίως για μονοχρωματικούς κυματισμούς σε πολύπλοκες βυθομετρίες χρησιμοποιείται η παρακάτω σχέση: m D 0. 5 c g stcg h (7.) όπου h το συνολικό βάθος h=+ζ ( είναι το βάθος ηρεμίας και ζ η ανύψωση της μέσης στάθμης), st είναι η πυκνότητα της ενέργειας ενός ευσταθούς κυματισμού H st =0.4h: 8

129 st g0.4h (7.3) 8 Οι παραπάνω εξισώσεις (7.), (7.) και (7.3) μπορούν να εφαρμοστούν και σε ακτές με υφάλους κατά μήκος τους, όπου οι κυματισμοί θραύονται πάνω στους υφάλους, μεταδίδονται σαν θραυόμενοι για κάποιο μήκος και κατόπιν αναμορφώνονται και μεταδίδονται σαν μη θραυόμενοι έως ότου θραυστούν ξανά πλησιάζοντας την ακτή. Κυματογενές ρεύμα Υποθέτοντας ότι το κυματογενές ρεύμα έχει σταθεροποιηθεί κατά μήκος της ακτής, δηλ. δεν μεταβάλλεται κατά την διεύθυνση παράλληλα στην ακτή, οι εξισώσεις (5.8) της ορμής κατά (κάθετα στην ακτή) και y (παράλληλα στην ακτή) γράφονται: S g h 0 S h y by v h h V 0 (7.4) όπου οι παράγωγοι ως προς το χρόνο και ως προς y μηδενίζονται, οι μη γραμμικοί όροι θεωρούνται αμελητέοι και S y, S οι συνιστώσες του τανυστή της τάσης ακτινοβολίας (σχέσεις 5.0), ζ η ανύψωση της μέσης στάθμης του νερού, τ by ο όρος της τριβής πυθμένα που υπολογίζεται από τη σχέση (5.7), ν h ο συντελεστής οριζόντιας διάχυσης (σχέση 5.3) και V=V(y) η ταχύτητα του ρεύματος παράλληλα στην ακτή. Παράκτια στερεομεταφορά κατά μήκος της ακτής Η συνολική στερεοπαροχή της ζώνης θραύσης Qt δίνεται από: Q t b 0 q ty (7.5) όπου X b το μήκος της ζώνης θραύσης και q ty η στερεοπαροχή κατά μήκος της ακτής που υπολογίζεται από τη σχέση (6.). 7. Απλοποιημένη προσέγγιση παράκτιας στερεομεταφοράς Για την εκτίμηση της στερεοπαροχής των φερτών υλών κατά μήκος των ακτών λόγω της ύπαρξης των κυματογενών ρευμάτων στη ζώνη θραύσης των κυματισμών χρησιμοποιείται πολύ συχνά η ημιεμπειρική σχέση που προτείνεται από το Shore Protection Manal (US Army Corps of Engineers, CERC): 9

130 Q t g 3 90 sbcgb sin b m / yr 6 (7.6) όπου Q t η συνολική στερεοπαροχή στη ζώνη θραύσης, H sb το σημαντικό ύψος, c gb η ταχύτητα ομάδας και φ b η γωνία πρόσπτωσης στο σημείο θραύσης. Η εφαρμογή της (7.6) είναι μία απλή αντικατάσταση των κυματικών χαρακτηριστικών στο σημείο θραύσης. Ωστόσο, συνήθως, είναι γνωστές μόνο οι τιμές του σημαντικού ύψους H s στα βαθειά νερά (H s =H o ) και της περιόδου κορυφής του φάσματος T P. Με αυτά τα στοιχεία θα πρέπει να υπολογιστεί το ύψος H sb στο σημείο θραύσης, το βάθος θραύσης b και η γωνία πρόσπτωσης φ b. (Η μεθοδολογία περιγράφεται στο κεφ. παρ. θραύση κυματισμών-αναρρίχηση στην ακτή, θέτοντας H b = H sb ). 7.3 Λογισμικό Το λογισμικό που παράγεται από την παραπάνω θεωρητική προσέγγιση βασίζεται στην αριθμητική επίλυση με τη μέθοδο των πεπερασμένων διαφορών των εξισώσεων (7.4) στο πρόγραμμα LOGS.FOR και με βάση τα αποτελέσματά του γίνεται απλή εφαρμογή των σχέσεων (6.) και (7.5) στο πρόγραμμα SEDTR-LS.FOR. Πρόγραμμα κυματογενούς ρεύματος LOGS.FOR Δεδομένα: Ύψος κύματος (Ηο) Περίοδος κύματος (per) Αρχικό βάθος (0) Χωρικό και χρονικό βήμα διακριτοποίησης,,t Πλήθος κόμβων διακριτοποίησης πεδίου, im Κλίση πυθμένα slope (slope=/tanθ) Γωνία πρόσπτωσης φ, a Μέση διάμετρος κόκκων ( 50 ) Αποτελέσματα: (στο αρχείο LSVEL.DAT) Στην πρώτη σειρά του αρχείου: Πλήθος κόμβων διακριτοποίησης πεδίου im, γωνιακή συχνότητα σ, σημείο θραύσης, χωρικό βήμα διακριτοποίησης, μέση διάμετρος κόκκων 50 και κατόπιν σε 6 στήλες: Απόσταση Κατανομή ταχύτητας V() Συνολικό βάθος h() Ύψος κύματος H() Πλάτος ταχύτητας στον πυθμένα Uo() 30

131 Γωνία πρόσπτωσης a() Στο σχήμα 7. παρουσιάζονται οι κατανομές Η=Η(y) και V=V(y) σε μία ακτή με κλίση tanθ=/5, όπου οι κυματισμοί με ύψος H o = m και περίοδο T= 6 sec προσπίπτουν με γωνία φ=a=45 0. Η μέση διάμετρος των κόκκων είναι 50 =0.5 mm. Πρόγραμμα συνολικής στερεοπαροχής SEDTRLS.FOR Στο πρόγραμμα δίνεται η δυνατότητα να χρησιμοποιηθούν και οι δύο τύποι του φορτίου πυθμένα των σχέσεων q by (6.4) και (6.) ενώ για το φορτίο σε αιώρηση q sy εφαρμόζεται μόνο η σχέση (6.) Δεδομένα: Τα αποτελέσματα του προγράμματος LOGS.FOR (αρχείο LSVEL.DAT) Αποτελέσματα: Συνολική στερεοπαροχή Qt (φορτίο πυθμένα και φορτίο σε αιώρηση και άθροισμα) Κατανομή της qty (, qty) στο αρχείο Q.DAT 3

132 Σχήμα 7. Κατανομή ύψους κύματος Η και ταχύτητας κυματογενούς ρεύματος V(y). Δεδομένα εφαρμογής: Ho= m, T= 6 sec, φ=45 0, 50 =0.5 mm, tanθ=/5 (y=0, η ακτογραμμή). 3

133 8. ΜΟΡΦΟΛΟΓΙΑ ΑΚΤΩΝ 8. Εξέλιξη ακτογραμμής με συνεκτίμηση της εγκάρσιας στερεομεταφοράς 8.. Εξισώσεις Η δυσδιάστατη εξίσωση (6.3) μπορεί, κάτω από παραδοχές, να μετατραπεί σε μονοδιάστατη μορφή. Η νέα αυτή μορφή, που είναι γνωστή σαν μοντέλο μίας γραμμής, είναι πολύ πιο απλή στη εφαρμογή της και χρησιμοποιείται σε πολλά προβλήματα της πράξης για την εκτίμηση της εξέλιξης της ακτογραμμής μετά την κατασκευή παράκτιων τεχνικών έργων. Ας ορίσουμε τη συνολική στερεοπαροχή της παράκτιας ζώνης Qt (παράλληλα στην ακτή) και το μέσο βάθος από: Q t s 0 q ty s s 0 (8.) όπου ο άξονας θεωρείται κάθετα στην ακτή και ο y παράλληλα σε αυτή (Σχήμα 8.), s είναι το πλάτος της παράκτιας ζώνης (βαθύτερα της οποίας δεν πραγματοποιείται μεταφορά φερτών τόσο εγκάρσια όσο και παράλληλα στην ακτή) και q ty η στερεοπαροχή παράλληλα στην ακτή. Ολοκληρώνοντας τη σχέση (8.) ως προς το πλάτος της παράκτιας ζώνης από το εξωτερικό της όριο (=0) έως την ακτογραμμή (= s ), χρησιμοποιώντας τον κανόνα του Leibnitz καταλήγουμε στην: s t Qt q p y ty s q s y t s (8.) όπου υποθέσαμε ότι ισχύουν οι παρακάτω συνθήκες: =0 στην ακτογραμμή (= s ) και οι στερεοπαροχές στο εξωτερικό όριο είναι μηδενικές, q t (=0)=0, q ty (=0)=0. Η πλέον εύχρηστη μορφή της σχέσης (8.) προκύπτει από την περαιτέρω απλοποίηση ότι και οι στερεοπαροχές στην ακτογραμμή είναι μηδενικές, q t (= s )=0, q ty (= s )=0. Ο τελευταίος όρος της (8.) αντιπροσωπεύει την εγκάρσια στην ακτή στερεομεταφορά, στο σημείο της ακτογραμμής. Ωστόσο μπορεί να χρησιμοποιηθεί και για την προσομοίωση της επίδρασης της στερεομεταφοράς που εισέρχεται στην ακτή από ποτάμια και χείμαρρους, αλλά και την προσομοίωση του όγκου της άμμου που προστίθεται σε μία ακτή, π.χ. όταν γίνεται η τεχνητή ανάπλασή της. Περιλαμβάνοντας μόνο αυτόν το όρο η σχέση (8.) μπορεί να απλοποιηθεί σε: s t Qt q p y t s (8.3) 33

134 Το μέσο βάθος λαμβάνεται συνήθως σταθερό, της τάξεως του.5 b, όπου b το βάθος του νερού στο σημείο θραύσης. Η σχέση (8.3) μπορεί να εξαχθεί και πιο απλά, θεωρώντας το Σχήμα 8., η διαφορά των στερεοπαροχών Qt ανάμεσα σε δύο τομές κάθετες στην ακτή, συνεπάγεται τη χρονική μεταβολή της ακτογραμμής. Αν δηλαδή, στον όγκο ελέγχου (ανάμεσα στις τομές i και i+) εισέρχεται μεγαλύτερη ποσότητα φερτών υλών από ότι εξέρχεται (Qti>Qti+), τότε η ποσότητα ΔQ=Qti-Qti+ (διαφορά των στερεοπαροχών) θα παραμείνει στον όγκο ελέγχου αυξάνοντας το πλάτος της ακτής. Επιπλέον θα πρέπει να προστεθεί και η ποσότητα qt που δηλώνει την εγκάρσια είσοδο/έξοδο στερεοπαροχής. Η συνολική στερεοπαροχή στη ζώνη θραύσης Qt δίνεται από: Q t s Qt ma sin b (8.4) y όπου φ b είναι η γωνία στο σημείο θραύσης και Q tma είναι η μέγιστη τιμή της συνολικής στερεοπαροχής που υπολογίζεται από την σχέση 7.6(βλπ. Κεφ.7.): Q t ma g 90 bcgb (m 3 /yr) (8.5) 6 όπου H b το σημαντικό ύψος και c gb η ταχύτητα ομάδας στο σημείο θραύσης. Σχήμα 8. Συνολική στερεοπαροχή παράλληλα στην ακτή και εξέλιξη ακτογραμμής. Είναι φανερό ότι όταν η κλίση της ακτογραμμής πλησιάζει την τιμή της γωνίας θραύσης φ b τότε η στερεοπαροχή Qt τείνει στο μηδέν και η ακτή βρίσκεται σε μία κατάσταση ισορροπίας, έχοντας προσανατολιστεί κάθετα στην κατεύθυνση μετάδοσης των κυματισμών. 34

135 8.. Βραχυχρόνιες προβλέψεις και εγκάρσια στερεομεταφορά Στην περίπτωση που επιθυμούμε βραχυχρόνιες προβλέψεις για την προσομοίωση της μεταβολής της ακτογραμμής στη διάρκεια ενός έτους όπου το χειμώνα στις έντονες κυματικές συνθήκες παρατηρείται διάβρωση και στις ήπιες καλοκαιρινές πρόσχωση, εφαρμόζεται η σχέση (8.3). Ο τελευταίος όρος της σχέσης, q t (= s ), προσομοιώνει τις μικρής κλίμακας μεταβολές εγκάρσια στην ακτή. Η εγκάρσια στην ακτή στερεομεταφορά στο σημείο της ακτογραμμής q t (= s ) υπολογίζεται από την σχέση του Snamra: όπου U r είναι η παράμετρος Ursell, q t 0. s U r 0.3U r f 50 (8.6) U r g sl h / sl, όπου H sl είναι το ύψος του sl h sl 50, όπου Δ η σχετική πυκνότητα των φερτών, Δ=(ρ s -ρ)/ρ, 50 είναι η μέση διάμετρος των κόκκων και f η ταχύτητα καθίζησης. Το συνολικό βάθος h sl και το ύψος του κύματος H sl κοντά στην ακτογραμμή δίνονται από: κύματος και h sl το συνολικό βάθος κοντά στην ακτογραμμή, / hsl.63 tan 0. b sl.4tan 0. hsl 048 όπου tanθ η κλίση του πυθμένα. Ο συντελεστής Κ υπολογίζεται από την εμπειρική σχέση: (8.7) e Bt / T o tan (8.8) όπου t είναι ο χρόνος, Τ η περίοδος του κυματισμού, Ho το ύψος κύματος στα βαθειά νερά και tanθ η κλίση του πυθμένα. Η παράμετρος Φ αντιπροσωπεύει την ένταση της κυματικής κίνησης που σχετίζεται άμεσα με τον τρόπο μεταφοράς φερτών (φορτίο πυθμένα, φορτίο σε αιώρηση). Η παράμετρος Ursell (U r ) αποτελεί ένδειξη της μη γραμμικότητας των κυματισμών που σχετίζεται με την ασυμμετρία τους. Οι δύο αυτοί παράμετροι καθορίζουν και τη φορά της εγκάρσιας στερεομεταφοράς στην ακτογραμμή ενώ βρίσκονται και σε συμφωνία με τη σχέση Snamra-Horikaa (Κουτίτας 994, σχέση 0.9). Όταν Φ<0.3U r η στερεομεταφορά έχει κατεύθυνση προς την ακτή και συνεπάγεται πρόσχωση ακτής κατά s (Σχήμα 8.) ενώ όταν Φ>0.3U r η χρονικά μέση εγκάρσια στερεομεταφορά q t (= s ) έχει κατεύθυνση προς τα ανοιχτά και συνεπάγεται διάβρωση της ακτής κατά s (Σχήμα 8.3). Στην πραγματικότητα η εγκάρσια στερεομεταφορά κατά τη διάρκεια ενός 35

136 κυματικού επεισοδίου μεταβάλει την βυθομετρία, άρα και την υφιστάμενη κλίση πυθμένα tanθ, ώστε η τελευταία να τείνει σε μία κλίση ισορροπίας tanθ eq που εξαρτάται από τα χαρακτηριστικά του υλικού του πυθμένα και του κυματισμού και είναι χαρακτηριστική κάθε κυματικού επεισοδίου. Για να επέλθει αυτή η ισορροπία συντελείται ανάλογα με την περίπτωση διάβρωση ή πρόσχωση έως ότου tanθ =tanθ eq (Σχήματα 8. και 8.3). Σχήμα 8. Θερινό προφίλ πρόσχωση (κυματισμοί μικρής καμπυλότητας). Σχήμα 8.3 Χειμερινό προφίλ διάβρωση (κυματισμοί μεγάλης καμπυλότητας). 36

137 Τα παραπάνω σχετίζονται γενικά με τις μεταβολές της θέσης της ακτογραμμής στη διάρκεια ενός έτους ως εξής: στη διάρκεια του χειμώνα επικρατούν έντονοι κυματισμοί με μεγάλα ύψη κύματος και μικρές περιόδους που διαβρώνουν την ακτή, ενώ αντίθετα κατά τη διάρκεια του καλοκαιριού οι ήπιες κυματικές συνθήκες οδηγούν σε πρόσχωση της ακτής (Σχήμα 8.4.). Το μέσο αποτέλεσμα στη διάρκεια ενός έτους είναι η επαλληλία των δύο αυτών καταστάσεων. Ωστόσο η παραπάνω προσομοίωση της εξέλιξης της ακτογραμμής απαιτεί τη γνώση της χρονοσειράς των υψών Η b κατά τη διάρκεια ενός έτους. Σχήμα 8.4 Βραχυχρόνια και μέση ετήσια μεταβολή ακτογραμμής Μακροχρόνιες προβλέψεις Σε πολλές περιπτώσεις η μέση ετήσια μεταβολή (δηλ. η επαλληλία της πρόσχωσης και της διάβρωσης) λόγω της εγκάρσιας στερεομεταφοράς είναι αμελητέα και για αυτό μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε για μακροχρόνιες προβλέψεις την εξίσωση (8.3) χωρίς τον όρο της εγκάρσιας στερεομεταφοράς. Εξαίρεση αποτελούν δύο περιπτώσεις:. Η περίπτωση επέμβασης του ανθρώπου με την τεχνητή τροφοδότηση της ακτής, διαμορφώνοντας μία κλίση πυθμένα tanθ που μπορεί να είναι διαφορετική από την κλίση ισορροπίας tanθ eq οπότε οι κυματισμοί επαναφέρουν την ισορροπία διαβρώνοντας ή προσχώνοντας ανάλογα.. Η περίπτωση να καταλήγει κάποιο υδατόρεμα που μεταφέρει ιζήματα που επηρεάζουν την εξέλιξη της ακτογραμμής. Η μεθοδολογία που ακολουθείται για την μακροχρόνια πρόβλεψη της εξέλιξης της ακτογραμμής (της τάξεως του έτους και μεγαλύτερη) είναι η ακόλουθη: Για κάθε γωνία πρόσπτωσης των διαφόρων κυματικών καταστάσεων (για μέτριους, ισχυρούς και ορμητικούς ανέμους) που επικρατούν στην περιοχή υπολογίζεται η ισοδύναμη τιμή του ύψους H e στα βαθειά νερά από τη σχέση: 37

138 i i f i e f i (8.9) όπου ο δείκτης i δηλώνει την κυματική κατάσταση (μέτριος, ισχυρός και ορμητικός άνεμος), Τ είναι η ισοδύναμη περίοδος που επιλέχθηκε και i, f i είναι το ύψος θραύσης και η συχνότητα εμφάνισης κάθε κατάστασης. Για παράδειγμα έστω ότι σε μία ακτή με προσανατολισμό Ανατολή-Δύση επικρατούν Νότιοι (Ν), Νότιο-Ανατολικοί (ΝΑ) και Νότιο-Δυτικοί (ΝΔ) άνεμοι. Κατά τη διεύθυνση Ν οι μέτριοι άνεμοι είναι συχνότητας 5%, οι ισχυροί 8% και οι ορμητικοί 5% με αντίστοιχα ύψη κύματος H i, 0.3, 0.6 και.0 m και περιόδους T i,., 3, 3.3 sec. Εφαρμόζοντας τη σχέση (9.9) και υιοθετώντας σαν ισοδύναμη περίοδο την Τ=3 sec, καταλήγουμε στο ισοδύναμο ύψος κύματος H e =για τη Νότια διεύθυνση, e και e 0. 58m Η ίδια διαδικασία συνεχίζεται και για τις δύο άλλες διευθύνσεις, τη ΝΑ και τη ΝΔ. Κατόπιν υπολογίζονται τα ύψη κύματος στο σημείο θραύσης H b καθώς και οι γωνίες πρόσπτωσης a b για τις τρεις διευθύνσεις και εφαρμόζεται η εξίσωση (8.3) και για τις τρεις διευθύνσεις για χρονική διάρκεια ανάλογη με τη συχνότητα εμφάνισής τους (π.χ. 8% του έτους για τη Νότια διεύθυνση). Η τελική ακτογραμμή θα είναι η επαλληλία των ακτογραμμών των τριών καταστάσεων Αριθμητικό σχήμα και οριακές συνθήκες Στο σημείο iδ και στο χρόνο nδt (όπου Δ και Δt το χρονικό και χωρικό βήμα διακριτοποίησης) οι μερικές παράγωγοι της εξίσωσης (8.3) προσεγγίζονται ως εξής (Σχήμα 8.): n n n n si si Qti Qti t p i y q t n s i (8.0) Για την προσομοίωση της επίδρασης των παράκτιων τεχνικών έργων στην εξέλιξη της ακτογραμμής αλλά και των γειτονικών ακτών, συνήθως εισάγουμε τις παρακάτω τρεις οριακές συνθήκες: α. Ύπαρξη αδιαπέραστου προβόλου (groin ή βραχίονας λιμένα). Στην περίπτωση αυτή θεωρούμε ότι η κατασκευή κάθετα σε μια ακτή δεν επιτρέπει την μεταφορά άμμου κατάντι αυτής και άρα: Q 0 (8.) t 38

139 β. Διαπερατός πρόβολος (βυθισμένος ή μικρού μήκος) Όταν ένα μόνο μέρος της στερεομεταφοράς διέρχεται κατάντι του προβόλου τότε: Q t Q (8.) a t0 όπου Q t0 η στερεομεταφορά που υπολογίστηκε αγνοώντας την παρουσία του προβόλου και γ α ένας συντελεστής (0<γ α <) που ορίζει το ποσοστό της στερεομεταφοράς που διέρχεται. γ. Ακτή σε ισορροπία Εάν διαπιστωθεί ότι η ακτογραμμή της περιοχής που μελετάται δεν μεταβάλλεται σημαντικά σε ένα σχετικά μακρύ χρονικό διάστημα, τότε μπορούμε να υποθέσουμε ότι βρίσκεται σε κατάσταση ισορροπίας, δηλαδή από τα όρια του υπολογιστικού πεδίου εισέρχεται (ή/και εξέρχεται) συγκεκριμένη στερεοπαροχή: Q (8.3) bt Q b όπου Q bt και Q bt± είναι οι στερεοπαροχές στο όριο και στο γειτονικό του σημείο του υπολογιστικού σημείου. 8. ΛΟΓΙΣΜΙΚΟ Το πρόγραμμα LINE.FOR υπολογίζει την εξέλιξη της ακτογραμμής βασιζόμενο στην αριθμητική επίλυση της εξίσωσης (8.3) με τη μέθοδο των πεπερασμένων διαφορών. Η συνολική στερεοπαροχή εκτιμάται από την σχέση (8.5). Πρόγραμμα εξέλιξης ακτογραμμής LINE.FOR Δεδομένα: Χωρικό και χρονικό βήμα διακριτοποίησης,,t Πλήθος κόμβων διακριτοποίησης πεδίου, im Συνολικός χρόνος ten Συντελεστής a (σταθερά της σχέσης 8.5) Μέσο βάθος hh ( ) Δείκτης θραύσης gamma (γ) (αρχείο ILDATA.DAT) Το αρχείο ILDATA.DAT είναι ένα μητρώο με διαστάσεις 5ΙΜ. ΙΜ=πλήθος κόμβων διακριτοποίησης του πεδίου Σε κάθε σειρά γράφονται για κάθε σημείο του πεδίου: Η αρχική θέση ακτογραμμής s, το ύψος θραύσης H b, η γωνία θραύσης a b και η εγκάρσια στην ακτή στερεομεταφορά στο σημείο της ακτογραμμής q t ( s ) 39

140 Αποτελέσματα: (στο αρχείο LINE.DAT) Απόσταση y, τελική θέση ακτογραμμής s Ένα παράδειγμα εφαρμογής του μοντέλου αποτελούν τα δεδομένα που ήδη υπάρχουν στο πρόγραμμα LINE.FOR: t=000 sec, =00m im=38, ten=40000 secs, a=0.05, hh= = 4m, gamma= γ=0.8, istr= Τα κυματικά χαρακτηριστικά βρίσκονται στο αρχείο ΙLDATA.DAT (Παράρτημα). Τα αποτελέσματα παρουσιάζονται στο Σχήμα 8.5. Σχήμα 8.5 Εξέλιξη ακτογραμμής μετά από επίδραση των κυματισμών για χρονικό διάστημα ten=40000 secs. 40

141 Παράρτημα Αρχείο δεδομένων ILDATA.DAT s H b φ b q( s )

142 9. ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑ - ΜΟΡΦΗ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΠΑΡΑΚΤΙΩΝ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ 9. Γενικά Η αρχική αποστολή των τεχνικών έργων των ακτών ήταν η προστασία και η διευκόλυνση της εξυπηρέτησης σκαφών (λιμενικά έργα). Πρόσφατα με την ανάγκη ανάπτυξης (οικιστικής-τουριστικής) και προστασίας των παράκτιων ζωνών, εμφανίστηκαν και αναπτύχθηκαν τεχνολογικά έργα με επιπλέον αποστολές, όπως: αντιδιαβρωτική προστασία των ακτών υποβρύχια διάθεση υγρών λυμάτων και αποβλήτων υποβρύχια δικτύωση μεταξύ ξηράς και νήσων (μεταφορά νερού, καυσίμων, ρεύματος, τηλεπικοινωνίας κ.λ.π) εντατική (ιχθυοκλωβοί) και εκτατική (τεχνητοί ύφαλοι) ιχθυοκαλλιέργεια. Τα στοιχεία των λιμενικών έργων και των έργων προστασίας και διευθετήσεων ακτών διακρίνονται σε δύο βασικές κατηγορίες ανάλογα με τη διάταξή τους ανεξάρτητα της αποστολής, τα εγκάρσια προς την ακτή (μόλοι, βραχίονες, γέφυρες) και τα παράλληλα προς την ακτή (κυματοθραύστες, κρηπιδότοιχοι). Σχηματική παρουσίαση των μορφών τους δίνεται στο Σχήμα 9.. 4

143 Σχήμα 9. Μορφολογία στοιχείων παρακτίων τεχνικών έργων 9. Υλικά κατασκευής και σχέση με το περιβάλλον Τα υλικά της κατασκευής τους καθορίζονται από την δυνατότητα επιβίωσης τους στο εχθρικό περιβάλλον της θάλασσας. Φυσικοί λίθοι, προερχόμενοι από γειτονικά λατομεία κατάλληλης κοκκομετρικής διαβαθμίσεως και βάρους, εφόσον υπάρχουν, είναι τα πιο φθηνά υλικά και πλέον προσαρμόσιμα στο φυσικό περιβάλλον. Άοπλο και οπλισμένο σκυρόδεμα (με τα αδρανή και την άμμο, επίσης προεχόμενα από κοντινές και οικονομικά σκόπιμες πηγές προελεύσεως) είναι επίσης ένα παραδοσιακό υλικό. Η επί τόπου έγχυση του σκυροδέματος με προσοχή σε αδιατάρακτα νερά, η δόνηση και τα προσθετικά μάζας ώστε να είναι αδιαπέραστο από το θαλασσινό νερό προς προστασία των οπλισμών, γαλβανισμένοι οπλισμοί ή καλυμμένοι με ειδικές ουσίες και σε απόσταση από την επιφάνεια του σκυροδέματος μεγαλύτερη των 5 cm είναι απαραίτητες προφυλάξεις. Έχει αποδειχθεί ότι σε καλής ποιότητας θαλασσινό περιβάλλον, το σκυρόδεμα συμπεριφέρεται ικανοποιητικά. Μεταλλικές πασσαλοσανίδες, βαμμένες ή προστατευμένες με ανοδική προστασία από τη διάβρωση (corrosion), που προκαλεί το νερό της θάλασσας, με τους ηλεκτρολύτες που περιέχει, είναι υλικό που εφαρμόζεται σε χαλυβοπαραγωγικές χώρες. 43

144 Γεωυφάσματα και γεωμεμβράνες χρησιμοποιούνται για την ενίσχυση των εδαφών θεμελιώσεως και την προστασία πρανών από τη δράση των κυματισμών και τέλος, διογκωμένη πολυστερίνη, GRP, και άλλα πλαστικά υλικά χρησιμοποιούνται επιτυχώς για την κατασκευή πλωτών στοιχείων λιμενικών έργων. Τα υλικά αυτά είναι γενικά φιλικά προς το περιβάλλον της θάλασσας και μερικά από αυτά βοηθούν στην τοπική ανάπτυξη θαλάσσιας χλωρίδας και πανίδας και την οικολογική ανάκαμψη της περιοχής που συνήθως διαταράζεται κατά την κατασκευή του έργου. 9.3 Μόλοι Είναι επιμήκη έργα, με την αφετηρία τους στην ακτή. Η κύρια μορφή έργων για την προστασία από κυματισμούς και τη δημιουργία λεκανών ελλιμενισμού σκαφών (λιμενολεκανών), σε επαφή με την ακτή είναι οι μόλοι. Ανάλογα με την επικρατούσα κατεύθυνση ανέμου (και προέλευση κυματισμών), διακρίνονται σε προσήνεμους και υπήνεμους. Οι δεύτεροι έχουν στόχο την προστασία από τις δευτερεύουσες κατευθύνσεις και τη μορφοποίηση εισόδου λιμένα και λεκάνης. Σχήμα 9. Διαμόρφωση λιμενολεκάνης με προσήνεμο και υπήνεμο μόλο. Ανάλογα με την ποιότητα του εδάφους θεμελιώσεως, τα βάθη του νερού και την απαίτηση ή όχι εξυπηρετήσεως σκαφών στο εσωτερικό μέτωπό τους, κατασκευάζονται με κατακόρυφα μέτωπα, με κεκλιμένα πρανή ή με μικτές κατά βάθος και πλάτος διατομές, πρβλ. Σχήμα

145 Σχήμα 9.3 Δυνατές διατομές μόλων Τα κατακόρυφα μέτωπα διαμορφώνονται από συμπαγείς ή κυψελωτούς ογκόλιθους, άοπλου σκυροδέματος ή κιβώτια οπλισμένου σκυροδέματος, πρβλ. Σχήμα 9.3, και τα κεκλιμένα πρανή διαμορφώνονται από λιθορριπές με συνεχώς αυξανόμενη διάμετρο (και βάρη) λίθων, από τον πυρήνα προς την επιφάνεια. Τα κεκλιμένα πρανή, διαμορφώνονται από λιθορριπές διαβαθμισμένες από το εσωτερικό προς το εξωτερικό της διατομής, με απαραίτητη θωράκιση της επιφάνειας του πρανούς με φυσικούς ή τεχνητούς ογκολίθους (για θωρακίσεις βάρους πάνω από 0 τον). Η στέψη τους είτε μένει αδιαμόρφωτη, είτε δημιουργείται μια πλάκα σκυροδέματος (οριζόντια ή σχήματος L) με αποτέλεσμα να γίνεται βατή σε οχήματα. Η θεμελίωσή τους ειδικά για τα έργα με κατακόρυφα μέτωπα, απαιτεί εξυγίανση του βυθού με βυθοκορήσεις και αντικατάσταση της κακής ποιότητας υλικού με λιθορριπές και άμμο. Τα άκρα τους επισημαίνονται με έγχρωμους φανούς (πράσινο δεξιά κόκκινο αριστερά στα εισερχόμενα σκάφη). 45

146 9.3. Ευστάθεια πρανών Πρανή από λιθορριπές, θωρακισμένα επιφανειακά με ογκόλιθους θωρακίσεως συναντώνται σε πολλά παράκτια έργα, όπως μόλοι και κυματοθραύστες. Ο τύπος των πρανών αυτών, πρωτοδοκιμάστηκε στις μεγάλες λίμνες με αδιαβάθμιτες αρχικά λιθορριπές. Αποτέλεσμα ήταν η αυτόματη αναδιάταξη των λίθων μετά τις τρικυμίες σε berm (κυματοθραύστης με υφαλοπρανές). Η λύση δόθηκε με τη θωράκιση των εξωτερικών στρώσεων με φυσικούς ή τεχνητούς ογκόλιθους βάρους ανάλογου του Η και αντιστρόφως ανάλογου της κλίσης του πρανούς θ, πρβλ. Σχήμα 9.4. Σχήμα 9.4 Κυματοθραύστης με πρανές (θωρακισμένο) Για να παρουσιάζουν αδιαφάνεια στους κυματισμούς απαιτείται ο πυρήνας τους να είναι από λεπτόκοκκο υλικό (άμμος, χαλίκια). Για να εξασφαλίζεται όμως και η σταθερότητα έναντι κινδύνου αποπλύσεως του υλικού μιας στρώσεως μέσα από τα κενά της επόμενης στρώσεως από χονδρόκοκκο υλικό, είναι απαραίτητη η σωστή κοκκομετρική διαβάθμιση των στρώσεων (αρχές κατασκευής φίλτρων). Για τους πιο πάνω λόγους, το κύριο μέλημα στη διαμόρφωση των διατομών τους είναι η σωστή στρωμάτωση και η εξασφάλιση της επιφανειακής στρώσεως θωρακίσεως (από δύο τουλάχιστον στρώσεις ογκολίθων) από τη δράση των κυματισμών. Θεωρητικές και πειραματικές έρευνες στο εργαστήριο, οδήγησαν σε σχέση, γνωστή σαν τύπο Irribaren και μετεξελικτικά τύπο Hson, για τον υπολογισμό του απαραίτητου βάρους W των ογκόλιθων θωρακίσεως: 46

147 3 s W (9.) 3 s k cot D όπου γ, γ s τα ειδικά βάρη νερού και υλικού λίθων θ η γωνία του πρανούς ως προς την οριζόντια και k D συντελεστής ευστάθειας υπολογισμένος πειραματικά. Ο k D παίρνει τιμές ανάλογα με τη μορφή των ογκολίθων, με το αν θραύεται ή όχι ο κυματισμός πάνω στο πρανές (/L<.5) και με το αν επιτρέπεται ή όχι ποσοστό αστοχιών. Τιμές του k D δίνονται στον πίνακα Ι στο Σχήμα 9.5. Σχήμα 9.5 Μορφές τεχνητών ογκόλιθων και ο πίνακας τιμών k D για διάφορες περιπτώσεις 47

148 Το πάχος μιας στρώσεως ορίζεται από τη σχέση: W n k s 3 (9.) όπου n το πλήθος των επαλλήλων λίθων και ο συντελεστής k= (ανάλογα με τον τύπο του ογκόλιθου). Το πλάτος της στέψεως καθορίζεται για n 3. Η εξασφάλιση της καλής λειτουργίας του υδραυλικού φίλτρου πετυχαίνεται, εφόσον ικανοποιείται μεταξύ διαδοχικών στρώσεων η ανισότητα: D 5 άνω στρώσεως < 5 D 85 κατώτερης στρώσεως (9.3) Οι στρώσεις θωρακίσεως πρέπει να έχουν ομοιόμορφους ογκόλιθους με αποκλίσεις από την τιμή W μικρότερες του 5%, ενώ για τις υποστρώσεις επιτρέπεται ευρύτερη κοκκομετρική διαβάθμιση, 70% D Βραχίονες Έχουν αποστολή την προστασία των ακτών από τη διάβρωση και την ενίσχυση των αμμωδών ακτών, καθώς και την προστασία στομίων εκβολών ποταμών και χειμάρρων. Δεν έχουν το μέγεθος των μόλων (βατές στέψεις κλπ) και μπορεί να είναι και χαμηλής στέψης (βυθισμένοι βραχίονες). Τοποθετούνται ανά αποστάσεις (-3 φορές το μήκος L του επικρατούντος κυματισμού) και είτε εκτείνονται σε όλο το εύρος της ζώνης θραύσης είτε σε μέρος αυτής. Αποτέλεσμα είναι η αναδιαμόρφωση της ακτής στα φατνώματα μεταξύ διαδοχικών βραχιόνων πρβλ Σχήμα 9.6. Σχήμα 9.6 Διάταξη αμμοκρατών (βραχιόνων) 48

149 Το υλικό κατασκευής τους και η διατομή τους ποικίλουν. Αποτελούνται συνήθως από λίθους, σανίδες και κορμοί, σωλήνες γεωυφάσματος πληρωμένοι με άμμο ή ισχνό σκυρόδεμα, ογκόλιθοι άοπλου σκυροδέματος πρβλ Σχήμα 9.7. Σχήμα 9.7 Διατομές και υλικά βραχιόνων 9.5 Κυματοθραύστες Είναι έργα παράλληλα προς την ακτή χωρίς σημείο επαφής με αυτή. Η αποστολή τους είναι η κυματοπροστασία για την φύλαξη σκαφών. Στην τεχνική αντιδιαβρωτικής προστασίας των ακτών, χρησιμοποιούνται για την δημιουργία «σκιάς» κυματισμών με αποτέλεσμα την παγίδευση άμμου στη πλευρά μεταξύ αυτών και της ακτής καθώς και την δημιουργία ελεγχόμενης προσάμμωσης (tombolo). Ανάλογα με την σχέση του μήκους τους L και της απόστασής τους από την ακτή, η προσάμμωση πίσω τους μπορεί να τους συνδέσει με την ακτή (<L) ή όχι (>L). Συνήθως κατασκευάζονται τμηματικοί κυματοθραύστες με μεταξύ τους απόσταση της τάξης των -3L (μήκη κύματος) πρβλ Σχήμα 9.8. Σχήμα 9.8 Παράλληλο προς την ακτή τμηματικοί κυματοθραύστες για αντιδιαβρωτική προστασία 49

150 Η στέψη τους κατασκευάζεται σε στάθμη που ρυθμίζεται ανάλογα με το επιτρεπόμενο ποσοστό υπερπήδησης από τους κυματισμούς. Μπορεί να επιλεγεί και η χαμηλή στέψη (στην ΜΣΗ ή και χαμηλότερα) όταν επιτρέπεται η μερική προστασία. Τότε η μείωση των κυματισμών που συνεπάγονται (για μακρούς κυματισμούς) περιγράφεται από τη σχέση: T i 4 C C C C (9.4) όπου H T είναι το διαδιδόμενο ύψος, H i είναι το προσπίπτον ύψος και C,C οι ταχύτητες διάδοσης πριν και πάνω από τον κυματοθραύστη. Μερική κυματοπροστασία προσφέρουν και οι πλωτοί κυματοθραύστες με τη μορφή κιβωτίων οπλισμένου σκυροδέματος που περικλείουν όγκο διογκωμένης πολυστερίνης εργοστασιακής κατασκευής και ειδικής τεχνολογίας. Είναι χρήσιμοι για ημιφυλαγμένες περιοχές (με επιχειρησιακό ύψος κύματος της τάξης του m και περίοδο Τ<4sec). 9.6 Γέφυρες Πρόκειται για κατασκευές που στηρίζονται σε πασσάλους, υποστυλώματα με πέλματα έδρασης στο βυθό ή σε πυλώνες, το κατάστρωμα τους αποτελείται από πλάκα σκυροδέματος ή μεταλλική εσχάρα. Επιτρέπουν την πρόσβαση σε μεγάλες αποστάσεις από την ακτή (όταν τα βάθη είναι μικρά), κατασκευάζονται σε φυλαγμένες περιοχές (στο εσωτερικό των λιμενολεκανών) και για την εξυπηρέτηση των πλοίων πρέπει να προστατεύονται από πλευρικές κρούσεις με προσκρουστήρες. 9.7 Κρηπιδότοιχοι Οι κρηπιδότοιχοι στοχεύουν στην δημιουργία κατακόρυφου μετώπου με επαρκή βάθη μπροστά του για την «πρυμνοδέτηση» ή «πλαγιοδέτηση» των προς εξυπηρέτηση σκαφών. Δημιουργούν πίσω τους επιφάνειες εργασίας, τα κρηπιδώματα. Πρόκειται για τοίχους αντιστήριξης γαιωδών μαζών με την μία πλευρά τους βυθισμένη. Σχήμα 9.9 Δυνάμεις που επιδρούν στην ευστάθεια των κρηπιδοτοίχων 50