1. Παραγωγή ηλεκτρικών ταλαντώσεων σε κύκλωµα L-C

Transcript

1

2 1. Παραγωγή ηλεκτρικών ταλαντώσεων σε κύκλωµα L-C Θεωρούµε πυκνωτή χωρητικότητας C που φέρει ηλεκτρικό φορτίο q, του οποίου οι οπλισµοί συνδέονται µε ιδανικό πηνίο συντελεστού αυτεπαγωγής L, µέσω ενός διακόπτη. Όταν κλείσουµε τον διακόπτη ο πυκνωτής αρχίζει να εκφορτίζεται διά µέσου του πηνίου, µε αποτέλεσµα στο πηνίο να κυκλο φορεί ρεύµα, που η έντασή του σε πρώτο στάδιο αυξάνεται µε το χρόνο. Kατά το στάδιο αυτό αναπτύσσεται στις σπείρες του πηνίου αυτεπαγωγική H.E.Δ., της οποίας η πολικότητα είναι τέτοια ώστε, να αντιστέκεται στην αύξηση της έντασης του ρεύµατος (κανόνας του Lenz), δηλαδή προκαλεί µείωση του ρυθµού αύξησης της έντασης του ρεύµατος. Eξάλλου κατά το στάδιο αυτό η ενέργεια του ηλεκτρικού πεδίου του πυκνωτή συνεχώς µειώνεται, µετατρεποµένη σε ενέργεια µαγνητικού πεδίου του πηνίου, κά ποια δε στιγµή η µετατροπή αυτή θα ολοκληρωθεί και η ένταση του ρεύµα τος στο πηνίο θα λάβει τη µεγαλύτερή της τιµή i, για την οποία ισχύει η σχέση: Li = q C i = q LC (1) Tη στιγµή αυτή παύει η αύξηση της έντασης του ρεύµατος, δηλαδή η ταχύτητα µεταβολής της di/dt µηδενίζεται, που σηµαίνει ότι τη στιγµή αυτή η αυτεπαγωγική H.E.Δ. στις σπείρες του πηνίου είναι µηδενική (σχήµα 3). Όµως τη στιγµή αυτή µηδενική θα είναι και η τάση στους οπλισµούς του

3 πυκνωτή, αφού αυτός θα έχει εκφοριστεί πλήρως, δηλαδή στο κύκλωµα δεν υπάρχει καµιά ηλεκτρεγερτική δύναµη. Έτσι η ένταση του ρεύµατος αρχίζει να ελαττώνεται προς την τιµή µηδέν µε αποτέλεσµα να παράγεται πάλι στις σπείρες του πηνίου αυτεπαγωγική H.E.Δ. τέτοιας πολικότητας, ώστε να αντιστέκεται στη µείωση της έντασης του ρεύµατος (σχήµα 4), δηλαδή διατηρεί το ρεύµα στο πηνίο, µε αποτέλεσµα ο πυκνωτής ν αρχίζει τώρα να φορτίζεται µε πολικότητα αντίθετη της προηγούµενης. Kατά το στάδιο αυτό η ένταση του ρεύµατος µειώνεται, µε αποτέλεσµα η ενέργεια του µαγνητι κού πεδίου του πηνίου να ελαττώνεται µετατρεπόµενη σε ενέργεια ηλεκτ ρικού πεδίου του πυκνωτή. Kάποια στιγµή η µετατροπή αυτή θα ολοκλη ρωθεί και τότε η ένταση του ρεύµατος στο πηνίο θα µηδενιστεί, ο δε πυκνω τής θα έχει ηλεκτρικό φορτίο q µε πολικότητα όµως αντίθετη της αρχικής (σχήµα 5). Έτσι τη στιγµή αυτή θ αρχίσει πάλι η εκφόρτισή του διά µέσου του πηνίου, οπότε αυτό θα διαρρέεται µε ρεύµα αντίθετης όµως συµβατικής φοράς απ ότι στα δύο προηγούµενα στάδια, η δε δηµιουργούµενη στις σπείρες του πηνίου αυτεπαγωγική H.E.Δ. θα αντιστέκεται στην κυκλοφορία αυτού του ρεύµατος, µειώνοντας απολύτως το ρυθµό µεταβολής της έντασής του. Kατά το στάδιο αυτό η ενέργεια του ηλεκτρικού πεδίου του πυκνωτή θα µειώνεται µετατρεπόµενη πάλι σε ενέργεια µαγνητικού πεδίου του πηνίου και τη στιγµή που θα ολοκληρωθεί η µετατροπή αυτή η ένταση του ρεύµατος στο πηνίο θα έχει τιµή -i, δηλαδή απολύτως θα είναι µέγιστη. Έτσι τη στιγµή αυτή η ταχύτητα µεταβολής di/dt της έντασης του ρεύµατος θα γίνει µηδέν, ο πυκνωτής θα έχει εκφορτιστεί πλήρως, οπότε στο κύκλω µα δεν θα υπάρχει καµιά ηλεκτρεγερτική δύναµη και η ένταση του ρεύµατος θ αρχίσει να ελαττώνεται κατ απόλυτη τιµή (σχήµα 7). Mε τον τρόπο αυτό θ αναπτύσσεται πάλι αυτεπαγωγική H.E.Δ. στο πηνίο που θα διατηρεί το ρεύµα, οπότε ο πυκνωτής θα φορτίζεται αποκτώντας την αρχική του πολικότητα. Έτσι κατά το στάδιο αυτό θα µετατρέπεται η ενέργεια του ηλεκτρικού πεδίου του πυκνωτή σε ενέργεια µαγνητικού πεδίου του πηνίου, ενώ η ένταση του ρεύµατος θα µειώνεται κατ απόλυτη τιµή µέχρις ότου µηδενιστεί, οπότε ο πυκνωτής θα αποκτήσει το φορτίο και την πολικό τητα που είχε τη στιγµή t=, που έκλεισε ο διακόπτης (σχήµα 1). Στη συνέχεια το φαινόµενο θα επαναλαµβάνεται εξ αρχής κατά τον ίδιο ακριβώς τρόπο που περιγράψαµε προηγούµενα. Συµπεραίνουµε λοιπόν ότι, όταν κλείσει ο διακόπτης το πηνίο διαρρέεται από εναλλασσόµενο ρεύµα, που η ένταση του µεταβάλλεται περιοδικά µε το χρόνο, ταυτόχρονα δε συµβαίνει περιοδική µετατροπή της ενέργειας του ηλεκτρικού πεδίου του πυκνωτή σε ενέργεια του µαγνητικού πεδίου του πηνίου. Tο φαινόµενο αυτό είναι γνω στό ως ηλεκτρική ταλάντωση του κυκλώµατος L-C. Στη συνέχεια θα δείξουµε ότι, κατά την εξέλιξη της ηλεκτρικής ταλάντωσης το ρεύµα που κυκλοφορεί στο πηνίο είναι ηµιτονοειδές, δηλαδή αρµονικά εναλλασσόµενο. Σηµαντική παρατήρηση Εάν επικεντρόσουµε την προσοχή µας σε ένα από τους δύο οπλισµούς του πυκνωτή, λογουχάρη στον αριστερό οπλισµό α και τον ονοµάσουµε οπλισ µό αναφοράς (σχήµα 1), σύµφωνα µε τα προηγούµενα το ηλεκτρικό φορτίο του οπλισµού αυτού αλλάζει τιµή και πρόσηµο, που σηµαίνει ότι το ρεύµα άλλοτε προσάγεται στον οπλισµό αυτόν και άλλοτε απάγεται εκ του οπλισ µού. Συµβατικά θα θεωρούµε θετική την ένταση i του ρεύµατος όταν αυτό προσάγεται στον οπλισµό αναφοράς, δηλαδή όταν το φορτίο του οπλισµού αυτού αυξάνεται και αρνητική στην αντίθετη περίπτωση. Ακόµη θα δεχθού µε ότι το φορτίο που φέρει κάθε στιγµή ο οπλισµός αναφοράς αποτελεί το

4 αντίστοιχο φορτίο q του πυκνωτή, το δε πηλίκο q/c αποτελεί την τάση U C του πυκνωτή ή ορθότερα την τάση στον κλάδο του πυκνωτή από α σε β, δηλαδή κατά σύµβαση ισχύει: U C = U, = q/c () Eπειδή στο κύκωµα δεν υπάρχουν απώλειες ενέργειας, η ισχύς P C του πυκ νωτή (ρυθµός µεταβολής της ενέργειας του ηλεκτρικού του πεδίου) και η ισχύς P L του πηνίου (ρυθµός µεταβολής της ενέργειας του µαγνητικού του πεδίου), είναι κάθε στιγµή αντίθετες µεταξύ τους, δηλαδή ισχύει η σχέση: P L = -P C = -iu C (3) όπου i η ένταση του ρεύµατος στο κύκλωµα κατά τη στιγµή που το εξετά ζουµε. Eάν στο πηνίο αντιστοιχίσουµε µια τάση U L από το ένα προς το άλλο άκρο του, τότε η σχέση (3) γράφεται: iu L = -iu C U L = -U C (4) δηλαδή κατά την εξέλιξη της ηλεκτρικής ταλάντωσης στο κύκλωµα L-C τάση του πηνίου είναι αντίθετη της τάσεως του πυκνωτή. Συνδυάζοντας την σχέση (4) µε την (3) παίρνουµε: U L = -U, = U, δηλαδή αν ως τάση του πηνίου ορισθεί η τάση στον κλάδο του από β σε α, τότε δεν προκύπτει καµιά ασυµβατότητα, αφού ο ορισµός αυτός υποστηρίζε ται από την αρχή διατήρησης της ενέργειας.. Διαφορική εξίσωση της ηλεκτρικής ταλάντωσης σε κύκλωµα L-C Σύµφωνα µε την αρχή διατήρησης της ενέργειας το άθροισµα της ενέργειας του ηλεκτρικού πεδίου του πυκνωτή και της ενέργειας του µαγνητικού πεδίου του πηνίου κάθε στιγµή είναι σταθερό και ίσο µε την αρχική ενέρ γεια q /C του πυκνωτή, δηλαδη ισχύει η σχέση: q C + Li = q C (1) όπου q, i το ηλεκτρικό φορτίο του πυκνωτή και i η ένταση του ρεύµατος στο πηνίο αντιστοίχως την τυχαία στιγµή που εξετάζουµε το κύκλωµα L-C. Διαφορίζοντας τη σχέση (1) παίρνουµε: q dq C dq$ + Li di = q & + LCi di $ & = dt% dt% Όµως ισχύει i=dq/dt oπότε η προηγούµενη σχέση γράφεται:

5 di$ qi + LCi & dt% = q + LC di $ & = dt% q + LC d dq$ & dt dt% = q + LC d q dt = d q + q = µε = 1 dt LC () H () αποτελεί µια οµογενή διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξεως µε σταθε ρούς συντελεστές, και δέχεται λύση της µορφής: q = C 1 µt + C $%t (3) όπου οι σταθερές C 1 και C θα υπολογιστούν από τις αρχικές συνθήκες του κυκλώµατος. Παραγωγίζοντας την (3) ως προς τον χρόνο t παίρνουµε: dq dt = C 1 $t - C %µt i = C 1$t - C %µt i = - dq dt (3) i = - d ( dt C µt + C $%t 1 ) i = - C 1 $t +C %µt (4) Επειδή τη στιγµή t= είναι q=q και i=, η (3) δίνει q =C και η (4) C 1 =. Έτσι η σχέση (3) παίρνει τη µορφή: q = q $t q = q µ(t +/) (5) ενώ η σχέση (4) γράφεται: i = - q µt i = q µ(t +) (6) Aπό την (6) προκύπτει ότι το ρεύµα που κυκλοφορεί στο πηνίο είναι αρµονι κά εναλλασσόµενο κυκλικής συχνότητας = 1/ LC, πλάτους i =q ω και αρχικής φάσεως π. Παρατηρήσεις: i) Κατά την επεξεργασία της σχέσεως (1) φθάσαµε στην ενδιάµεση σχέση: q + LC di $ & = dt% η οποία µπορεί να πάρει τη µορφή:

6 q C + L di $ & dt% = U C + L di $ & = dt% -U L + L di $ & dt% = U L = L di $ & (6) dt% H (6) µας επιτρέπει να εκφράσουµε την τάση του πηνίου άρα και την τάση του πυκωτή, µε απλή παραγώγιση της (5). ii) H διαφορική εξίσωση () παρουσιαζει τυπική οµοιότητα µε τη διαφορική εξίσωση της κίνησης ενός µονοδιάστατου αρµονικού ταλαντωτή, η οποία έχει τη µορφή: d x + x = µε ω dt = D/m όπου m η µάζα του ταλαντωτη και D η σταθερά ταλάτωσής του. H λύση της εξίσωσης αυτής µε αρχικές συνθήκες κίνησης του αρµονικού ταλαντωτή (x=x και v=), είναι : x = x µ(t +/) Eξάλλου η εξίσωση της ταχύτητας του αρµονικού ταλαντωτή έχει τη µορφή: v = x µ(t + ) Mπορούµε λοιπόν να αντιστοιχίσουµε στην ηλεκτρική ταλάντωση ενός κυκλώµατος L-C την απλή αρµονική ταλάντωση ενός αρµονικού ταλαντωτή, όπου στην αποµάκρυνση του x αντιστοιχεί το ηλεκτρικό φορτίο q του πυκνωτή και στην ταχύτητά του v η στιγµιαία ενταση i του ρεύµατος που κυκλοφορεί στο κύκλωµα.. H περίοδος T του ρεύµατος είναι: T = π/ω T = LC (7) H σχέση (7) παρουσιάζει τυπική οµοιότητα µε τη σχέση: T = m/d που δίνει την περίοδο της ταλάντωσης του αρµονικού ταλαντωτη. Eπίσης η σύγκριση των σχέσεων ω =D/m και ω =1/LC µας επιτρέπει να αντιστοι χίσουµε στη µάζα m του αρµονικού ταλαντωτη το συνελεστή αυτεπαγωγής L του πηνίου και στη σταθερά ταλάντωσης D την ποσότητα 1/C. Yπάρχει όµως και ενεργειακή αντιστοιχία µεταξύ µιας α.α.τ. και µιας ηλεκτρικής ταλάντωσης, Έτσι στη δυναµική ενέργεια ταλάντωσης Dx / του αρµονικού ταλαντωτη αντιστοιχεί η ενέργεια ηλεκτρικού πεδίου q /C του πυκνωτή και στην κινητική του ενέργεια mv / η ενέργεια Li / του µαγνητικού πεδίου του πηνίου, ισχύει δε και στις δύο περιπτώσεις η αρχή διατήρησης της ενέργειας, δηλαδή µπορούµε να γράφουµε κάθε στιγµή τις σχέσεις: Dx + mv = Dx για την α.α.τ.

7 q C + Li = q C για την η.α.τ. iii) Oι γραφικές παραστάσεις των σχέσεων (5) και (6) είναι οι ηµιτονοειδείς καµπύλες του σχήµατος (α), αντιστοιχούν δε στην περίπτωση που κατά την έναρξη της ηλεκτρικής ταλάντωσης ο πυκνωτής έχει φορτίο q. iii) Kατά την εξέλιξη µιάς ηλεκτρικής ταλάντωσης σε κύκλωµα L-C η έντα ση του α.ε.ρ. στο πηνίο µεταβάλλεται µεταξύ των τιµών -i και +i, οπότε η ενέργεια του µαγνητικού πεδίου του πηνίου µεταβάλλεται σε συνάρτηση µε την ένταση i του ρεύµατος, σύµφωνα µε τη σχέση: W L = Li / µε -i i +i (8) Eξάλλου, η ενέργεια W C του ηλεκτρικού πεδίου του πυκνωτή µεταβάλλεται µε την ένταση i του ρεύµατος σύµφωνα µε τη σχέση: Σχήµα α W C = W ολ - W L W C = Li - Li Σχήµα β µε - i i +i (9) Oι γραφικές παραστάσεις των σχέσεων (8) και (9), θεωρούµενες στο ίδιο ορθογώνιο σύστηµα αξόνων, έχουν την µορφή που φαίνεται στο σχήµα (β). Tέλος στο σχήµα (γ) φαίνεται η αντιστοιχία που υπάρχει µεταξύ της α.α.τ. που εκτελεί ένα σφαιρίδιο µε τη βοήθεια κατακόρυφου ελατηρίου και της ηλεκτρικής ταλάντωσης ένος ιδανικού κυκλώµατος L-C.

8 Σχήµα γ 3. Φθίνουσα ηλεκτρική ταλάντωση σε κύκλωµα R-L-C Θεωρούµε κύκλωµα σειράς αποτελούµενο από ιδανικό πηνίο, συντελεστού αυτεπαγωγής L και αντιστάτη, ωµικής αντίστασης R, το οποίο συνδέεται µέσω ενός διακόπτη Δ µε πυκνωτή χωρητικότητας C, που φέρει ηλεκτρικό φορτίο q. Όταν κλείσει ο διακόπτης ο πυκνωτής θ αρχίσει να εκφορτίζεται διαµέσου του συστήµατος R-L, µε αποτέλεσµα να κυκλοφορεί σ αυτό ηλεκ τρικό ρεύµα. Έτσι κάθε στιγµή στο πηνίο θα είναι αποθηκευµένη ενέργεια Li / στο δε πυκνωτή ενέργεια q /C, όπου i η ένταση του ρεύµατος τη στιγµή αυτή και q το αντίστοιχο ηλεκτρικό φορτίο* του πυκνωτή. Όµως, λόγω φαινοµένου Joule στην ωµική αντίσταση το άθροισµα W των δύο ενεργειών που αναφέρθηκαν πιο πάνω, συνεχώς µειώνεται µε το χρόνο, ο δε Σχήµα 1 ρυθµός µεταβολής του dw/dt είναι ίσος µε -i R. Έτσι κάθε στιγµή µπορούµε να γράφουµε τη σχέση: d Li dt + q $ & C% = -i R Li di $ & + q dq$ & = - i R dt% C dt % * Λέγοντας φορτίο του πυκνωτή εννοούµε το φορτίο που φέρει κάθε στιγµή ο οπλισµός αναφοράς αυτού, που ορίζεται αυθαίρετα (Βλέπε βασική παρατήρηση στην παράγραφο 1)

9 Li di $ & + q dt% C i + i R = L di $ & + q dt% C + ir = L. d q$ dt & % + q C + R dq $ & = d q dt% dt + R L dq dt + q CL = (1) H σχέση (1) αποτελεί µια γραµµική διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξεως µε σταθερους συντελεστές, της οποίας η λύση εξαρτάται από τις αρχικές συνθή κες στις οποίες βρίσκεται το κύκλωµα και από τις τιµές των στοιχείων του R, L, C. Διακρίνουµε τις εξής περιπτώσεις: i) Tα στοιχεία του κυκλώµατος ικανοποιούν τη σχέση: 1/LC - (R/L) > Στην περίπτωση αυτή το χαρακτηριστικό πολυώνυµο που αντιστοιχεί στην διαφορική εξίσωση (1) έχει µιγαδικές ρίζες και η λύση της έχει τη µορφή: q = Ae -Rt/L ($t + %) µε = 1/LC - ( R/L) () όπου A, φ σταθερές ολοκλήρωσης, οι οποίες θα καθορισθούν από τις αρχικές συνθήκες στις οποίες βρίσκεται το κύκλωµα. Aς δεχθούµε ότι τη χρονική στιγµή t= που κλείνει ο διακόπτης ισχύει q=q και i=. H () εφαρµοζόµενη για t= δίνει: q = A συνφ (3) Eξάλλου παραγωγίζοντας την () ως προς το χρόνο t παίρνουµε την ένταση i του ρεύµατος, οπότε θα έχουµε: i = dq dt = - AR L e - Rt / L ($t + %) - $Ae - Rt / L &µ($t + %) R $ i = - Ae - Rt/L ($t + %) +$ &µ($t + %) L % & (4) H (4) εφαρµοζόµενη τη χρονική στιγµή t= δίνει: = -A R$ L + % &µ$ $ & % R$ L + % &µ$ = R$ L + % 1 - $ = (3) R q L A q = A R $ & L% A = 1 - q $ A & % q R $ & L% q A + q A =

10 q A ' R $ ) & ) ( L% + 1 LC - R $ & L% *,, + = q A = A = q (5) όπου ω η κυκλική ιδιοσυχνότητα του κυκλώµατος, ίση µε 1/ LC. Έτσι η σχέση () γράφεται: q = q e-rt/ L $(t + %) (6) µε συνφ = q /A = q ω/q ω = ω/ω Λεπτοµερής µελέτη της συνάρτησης (6) οδηγεί στο συµπέρασµα ότι, αυτή παρουσιάζει τοπικά µέγιστα και ελάχιστα και µάλιστα τα ακρότατα αυτά εµφανίζονται κατά περιοδικό τρόπο, µε περίοδο T που δίνεται από τη σχέση: T = = 1/LC - (R/L) (7) Oι χρονικές στιγµές που το φόρτιο του πυκνωτή γίνεται µέγιστο προκύ πτουν ως λύσεις της εξίσωσης dq/dt=, κάθε δε µέγιστη τιµή είναι µικρό τερη της προηγουµένης της, δηλαδη παρουσιάζεται µία περιοδική µείωση των µέγιστων τιµών του φορτίου του πυκνωτή, που ουσιαστικά οφείλεται στη µείωση του εκθετικού όρου e -Rt /L, καθόσον η τιµή του συν(ωt+φ) σε όλα τα µέγιστα έχει την ίδια τιµή. H περιοδική αυτή µείωση των µέγιστων τιµών του φορτίου του πυκνωτή συνιστά µια φθίνουσα ηλεκτρική ταλάν τωση, η οποία εκδηλώνεται µε την κυκλοφορία ηλεκτρικού ρεύµατος στο πηνίο και τον αντιστάτη, που όµως η έντασή του παίρνει διαδοχικά µέγιστες τιµές οι οποίες φθίνουν περιοδικά µε περίοδο T, που ονοµάζεται ψευδοπε ρίοδος* της φθίνουσας ηλεκτρικής ταλάντωσης. Eξάλλου, αν θεωρήσουµε δύο διαδοχικές µέγιστες τιµές q n-1 και q n του ηλεκτρικού φορτίου του πυκ νωτή, εκ των οποίων η q n αντιστοιχεί τη χρονική στιγµή t n τότε η q n-1 θα ανιστοιχεί τη χρονική στιγµή t n -T θα ισχύουν δε οι σχέσεις: [ ] q n-1 =Ae -R(t n -T)/L $(t n - T) + % q n =Ae -Rt n /L ($t n + %) (:) q n-1 q n = e-rtn/l e RT/L e -Rt n /L = e RT/L (8) δηλαδή ο λόγος δύο διαδοχικών µέγιστων τιµών του φορτίου του πυκνωτή είναι σταθερός, εξαρτάται δε η τιµή του από τα στοιχεία R και L του κυκλώµα τος. Έτσι, εάν q 1, q,... q n είναι oι µέγιστες τιµές (πλάτη) του φoρ τίου του πυκνωτή θα ισχύουν οι σχέσεις: * Χρησιµοποιείται ο όρος ψευδοπερίοδος για να δηλωθεί ότι η φθίνουσα ηλεκ τρική ταλάντωση δεν αποτελεί περιοδικό φαινόµενο, αφού η συνάρτηση που την περιγράφει είναι µη περιοδική.

11 q 1 q = q q 3 =... = q n-1 q n = e RT/L (9) Σχήµα. που σηµαίνει ότι τα πλάτη αυτά αποτελούν τους όρους µιάς φθίνουσας γεωµετρικής προόδου µε λόγο e RT/L. Στο σχήµα () φαίνεται η γραφική παρά σταση της συνάρτησης q=f(t). Παρατηρήσεις: α) Eάν δεν υπάρχει ο αντιστάτης (R=), τότε R/L=, συνφ=1 = = 1/LC και A=q, οπότε η σχέση (6) παίρνει τη µορφή: q = q συνωt (1) η οποία εκφράζει µια αµείωτη αρµονική ηλεκτρική ταλάντωση. β) H αντίσταση R έχει αρκετά µικρή τιµή, ώστε να ισχύει: 1/LC >> (R/L) Tότε θα είναι ω ω µε αποτέλεσµα να προκύπτει συνφ 1, δηδαδή φ και επι πλέον A q οπότε η σχέση (6) γράφεται: q = q e -Rt/L $ t (11) και περιγράφει µια ηλεκτρική ταλάντωση, που φθίνει µε πολύ αργό ρυθµό. ii) Tα στοιχεία του κυκλώµατος ικανοποιούν τη σχέση: 1/LC - (R/L) < Tότε η λύση της διαφορικής εξίσωσης (1) είναι της µορφής: q = e -Rt/L (C 1 e t + C e -t ) µε = (R/L) - 1/LC (1) όπου C 1, C σταθερές ολοκληρώσεως, οι οποίες καθορίζονται από τις αρχικές

12 συνθήκες του κυκλώµατος. Στην περίπτωση αυτή το φορτίο q του πυκνωτή δεν αλλάζει πρόσηµο και η ηλεκτρική ταλάντωση χαρακτηρίζεται ως απερι Σχήµα 3 Σχήµα 4 οδική. Aυτό σηµαίνει ότι, η ηλεκτρική αντίσταση R έχει τόσο µεγάλη τιµή, ώστε, όταν κλείσει ο διακόπτης ο πυκνωτης θα εκφορτισθεί χωρίς να επα ναφορτισθεί. Στο σχήµα (3) φαίνεται η γραφική παράσταση της σχέσεως (1). iii) Tα στοιχεία του κυκλώµατος ικανοποιούν τη σχέση: 1/LC - (R/L) = Στην περίπτωση αυτή η λύση της διαφορικής εξίσωσης (1) είναι της µορφής: q = e -Rt/L (C 1 + C t) (13) όπου C 1, C σταθερές ολοκλήρωσης*, που καθορίζονται από τις αρχικές συνθήκες του κυκλώµατος. H σχέση (13) περιγράφει τη λεγόµενη ηλεκτρική ταλάντωση µε κρίσιµη απόσβεση κατα την εξέλιξη της οποίας ο πυκνω τής εκφορτίζεται διά µέσου της αντίστασης R και του πηνίου χωρίς να επαναφορτίζεται, που σηµαίνει ότι το ρεύµα στο κύκλωµα είναι συνεχές µε διαρκώς µειούµενη ένταση, η οποία ασυµπτωτικά τείνει στο µηδέν. Στο σχήµα (4) φαίνεται το διάγραµµα της (13). 4. Eξαναγκασµένη ηλεκτρική ταλάντωση σε κύκλωµα σειράς R-L-C Όταν σε κύκλωµα σειράς R-L-C εφαρµόζεται α.ε.τ. της µορφής U=V ηµωt, τότε αυτή επιβάλλει στα στοιχεία R, L του κυκλώµατος ρεύµα µεταβλητής έντασης, ενώ στις άκρες του πυκνωτή επικρατεί µεταβλητή τάση. Kαθώς εξελίσσεται η κυκλοφορία του ρεύµατος µεταβάλλεται η ενέργεια του µαγνητικού πεδίου του πηνίου και η ενέργεια του ηλεκτρικού πεδίου του πυκνωτή, ενώ η ωµική αντίσταση R ελευθερώνει θερµότητα Joule, η δε γεννήτρια που διεγείρει το κύκλωµα συµµετέχει στις παραπάνω διαδικασίες ανταλλάσοντας ενέργεια µε το σύστηµα R-L-C. Σύµφωνα µε την αρχή διατήρησης της ενέργειας κάθε στιγµή ο ρυθµός µεταβολής της ενέργειας του συστήµατος L-C είναι ίσος µε το άθροισµα του ρυθµού εκποµπής θερµό τητας Joule από την ωµική αντίσταση R και του ρυθµού ανταλλαγής ηλεκτ * Eάν δεχθούµε ότι τη χρονική στιγµή t= που κλείνει ο διακόπτης ισχύει q=q και i=, τότε οι τιµές των σταθερών C 1 και C είναι C 1 =q και C =Rq /L.

13 ρικής ενέργειας της γεννήτριας µε όλο το σύστηµα. Έτσι, εάν κάποια στιγµή η ένταση του ρεύµατος στο κύκλωµα είναι i και το αντίστοιχο ηλεκτρικό φορτίο του πυκνωτή q, θα ισχύει η σχέση: Σχήµα 5 d Li dt + q $ C & % = -i R + Ui Li di dt + q dq C dt = -i R + iv µt Li di dt + q C i = -i R + iv µt L di dt + q C + ir = V µt (1) Παραγωγίζοντας ως προς το χρόνο την (1) παίρνουµε: L d i dt + 1 dq C dt + R di dt = V $t d i dt + R L di dt + i LC = V $t () L H () είναι µια γραµµική και µη οµογενής διαφορική εξίσωση δεύτερης τά ξεως, η οποία περιγράφει το ρεύµα που επιβάλλει στο κύκλωµα η α.ε.τ. H γενική λύση της () είναι άθροισµα µιας µερικής λύσεως αυτής και της λύσε ως της αντίστοιχης οµογενούς εξίσωσης. Όµως η λύση της οµογενούς εκφρά ζει ένα ρεύµα που η έντασή του αργά ή γρήγορα θα µηδενιστεί, διότι το ρεύµα αυτό αντιστοιχεί σε φθίνουσα ηλεκτρική ταλάντωση ή σε απεριοδική ηλεκτρική ταλάτωση, δηλαδή το ρεύµα αυτό είναι παροδικό και στην πράξη από κάποια στιγµή και µετά εξαφανίζεται. Tο γεγονός αυτό µας επιτρέπει να παραλείψουµε τη λύση της οµογενούς εξίσωσης και να περιορισθούµε µόνο στην µερική λύση της (), η οποία περιγράφει την µόνιµη ηλεκτρική κατά σταση του συστήµατος. Eίναι λογικό να δεχθούµε ότι στην µόνιµη κατά σταση η τάση U επιβάλλει στο σύστηµα α.ε.ρ. κυκλικής συχνότητας ω, της µορφής: i = I µ(t - ) (3) όπου I, φ σταθερές ποσότητες που απαιτούν προσδιορισµό. Παραγωγίζοντας ως προς το χρόνο την (3) δύο φορές, παίρνουµε τις σχέσεις:

14 di/dt = I $(t - %) d i/dt = -I &µ (t - %) (4) H σχέση () συνδυαζόµενη µε τις σχέσεις (3) και (4) δίνει: -I µ(t-) + RI L $%&(t-) + I LC µ(t-)=v $%&t (5) L H (5) εφαρµοζόµενη για t=π/ω δίνει: -I $ % + RI L &µ% + I $% = LC $(% LC - 1) = RC%&µ$ µ $% = & LC - 1 RC& = L- 1/C R (6) Eξάλλου για t=φ/ω η (5) δίνει: -I µ + RI L $% + I LC µ = V L $%& RI = V $ I = V R $ I = V R (6) I = V R (L- 1/C) / R I = V R + (L- 1/C) (7) Oι ποσότητες I και φ αποτελούν τη µέγιστη τιµή (πλάτος) του ρεύµατος και την διαφορά φάσεώς του ως προς την τάση τροφοδοσίας του κυκλώµατος αντιστοίχως, εξαρτώνται δε από την κυκλική συχνότητα ω. 5. Kαµπύλη συντονισµού Oνοµάζουµε καµπύλη συντονισµού του κυκλώµατος σειράς R-L-C, τη γρα φική παράσταση του πλάτους I της έντασης του α.ε.ρ. που το διαρρέει, σε συ νάρτηση µε την κυκλική συχνότητα ω της α.ε.τ. που το τροφοδοτεί. H γραφι κή αυτή παράσταση αντιστοιχεί στη συνάρτηση: I = V R + (L- 1/C) µε < < + (1) Για την συνάρτηση αυτή παρατηρούµε τα εξής: i) Για ω ισχύει I, δηλαδή η καµπύλη συντονισµού τείνει στην αρχή των αξόνων

15 ii) Για = 1 LC ισχύει I =V /R=max, που σηµαίνει ότι η καµπύλη συντονισµού παρουσιάζει τοπικό µέγιστο. Σχήµα 6 iii) Για ω + ισχύει I, δηλαδη η καµπύλη συντονισµού ασυµπτωτικά τείνει στον άξονα ω. Στο σχήµα (6) φαίνεται η καµπύλη συντονισµού για δύο διαφορετικές τιµές R 1, R, της R, µε R 1 >R. Xαρακτηριστικό στοιχείο της καµπύλης συντονισµού είναι το εύρος Δω της περιοχής συχνοτήτων, για τις οποίες το πλάτος της έντασης του ρεύµατος δεν υπολείπεται (είναι µεγα λύτερο ή ίσο) της τιµής I max /. Για τον καθορισµό των ακραίων τιµών της περιοχής αυτής θα αναζητήσουµε τις κυκλικές συχνότητες που ικανοποι ούν τη σχέση: I = I max V R + (L - 1/C) = V R R + (L- 1/C) = R L- 1/C = ± R LC +RC - 1= LC -RC - 1= () Oι σχέσεις () αποτελούν δύο αλγεβρικές εξισώσεις δευτέρου βαθµού ως προς ω, οι οποίες έχουν ρίζες πραγµατικές και ετερόσηµες, Eάν ω 1, ω είναι οι θετικές ρίζες της πρώτης και της δέυτερης εξίσωσης αντιστοίχως, θα ισχύ ουν οι σχέσεις: 1 = -RC LC + = RC LC + R C + 4LC LC R C + 4LC LC $ 1 = -R L + R C + 4LC LC = R L + R C + 4LC LC $ (3) Παρατηρούµε ότι οι ρίζες ω 1, ω αποτελούν τις ακραίες τιµές του εύρους Δω της περιοχής συχνοτήτων, δηλαδή ισχύει: (4) = - 1 =R /L (4)

16 Aπό την (4) προκύπτει ότι όσο πιο µικρή είναι η ωµική αντίσταση R του κυκλώµατος, τόσο µικρότερο είναι το εύρος Δω, δηλαδή η καµπύλη συντο νισµού θα παρουσιάζει στένωση γύρω από την κυκλική ιδιοσυχνότητα ω. Eπιπλέον πιο µικρή τιµή της R εγγυάται µεγαλύτερη τιµή του µέγιστου πλάτους V /R της έντασης του ρεύµατος, οπότε η καµπύλη συντονισµού θα Σχήµα 7 παρουσιάζεται οξύτερη. Oι δύο παραπάνω ιδιότητες µπορούν να εκφρασθούν µε τον λεγόµενο συντελεστή ποιότητας Q του κυκλώµατος, ο οποίος ορίζε ται µέσω της σχέσεως: Q = L/R από την οποία παίρνουµε: R /L = /Q (6) = /Q = 1/Q LC (6) Eξάλλου ισχύει η σχέση: I max = V R = V L/ Q = V Q L I max = V Q LC L = Q V C L (7) Aπό τις σχέσεις (6) και (7) προκύπτει ότι, όσο µεγαλύτερος είναι ο συντε λεστής ποιότητας του κυκλώµατος, τόσο πιο αυξηµένο θα είναι το µέγιστο πλάτος της έντασης του ρεύµατος και πιο ελαττωµένο το εύρος της περιοχής συχνοτήτων, δηλαδή µεγάλες τιµές του συντελεστή ποιότητας του κυκλώµα τος εγγυώνται οξύτερη καµπύλη συντονισµού. Tέλος για τη γραφική παρά σταση της συνάρτησης: %L- 1/%C$ = $ & µε < < + (8) R % παρατηρούµε τα εξής: i) Όταν R και στην κατάσταση συντονισµού η διαφορά φάσεως φ είναι ακαθόριστη διότι η συνάρτηση φ=f(ω) παίρνει την απροσδιόριστη µορφή /.

17 Σχήµα 8 ii) Όταν R η διαφορά φάσεως φ για ω + τείνει προς την τιµή π/, ενώ για ω τείνει στην τιµή -π/. Στο σχήµα (8) φαίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης (8), για R, R=R 1 και R=R. 6. Eξαναγκασµένη ηλεκτρική ταλάντωση χωρίς απόσβεση Θωρούµε σύστηµα αποτελούµενο από ιδανικό πηνίο συντελεστού αυτεπαγω γής L, το οποίο συνδέεται σε σειρά µε αφόρτιστο ιδανικό πυκνωτή χωρητι κότητας C. Μέσω ενός διακόπτη Δ οι άκρες του συστήµατος συνδέονται µε τους πόλους γεννήτριας, η οποία παρέχει αρµονικά εναλλασσόµενη τάση της µορφής U=V συνωt. Η γεννήτρια επιβάλλει στο πηνίο του κυκλώµατος ρεύµα µεταβλητής έντασης, µε αποτέλεσµα να µεταβάλλεται το ηλεκτρικό φορτίο του πυκνωτή και η τάση στις άκρες του. Kαθώς εξελίσσεται η κυκ λοφορία του ρεύµατος µεταβάλλεται η ενέργεια του µαγνητικού πεδίου του πηνίου και η ενέργεια του ηλεκτρικού πεδίου του πυκνωτή, η δε γεννήτρια Σχήµα 9 που διεγείρει το κύκλωµα συµµετέχει στην παραπάνω διαδικασία ανταλ λάσοντας ενέργεια µε το σύστηµα L-C. Σύµφωνα µε την αρχή διατήρησης της ενέργειας κάθε στιγµή ο ρυθµός µεταβολής της ενέργειας του συστή µατος L-C είναι ίσος µε τον ρυθµό ανταλλαγής ηλεκτρικής ενέργειας της γεννήτριας µε το σύστηµα (ηλεκτρική ισχύς της γεννήτριας). Έτσι, εάν κάποια στιγµή η ένταση του ρεύµατος στο κύκλωµα είναι i και το αντίστοι χο ηλεκτρικό φορτίο του πυκνωτή q, θα ισχύει η σχέση:

18 d Li dt + q $ C & % = Ui Li di dt + q dq C dt = iv $t Όµως το διαφόρικό πηλίκο dq/dt απότελεί την ένταση i του ρεύµατος στο κύκλωµα κατά τη στιγµή που το εξετάζουµε, οπότε η πιο πάνω σχέση γρά φεται: Li di dt + q C i = iv di $t L dt + q C = V $t L d q dt + q C = V $t d q dt + q LC = V L $t d q dt + q = V L $t µε = 1 LC (1) όπου ω η κυκλική ιδιοσυχνότητα του κυκλώµατος σειράς L-C. H (1) είναι µια γραµµική και µη οµογενής διαφορική εξίσωση δευτέρας τάξεως, η οποία περιγράφει το ηλεκτρικό φορτίο που επιβάλλει στον πυκνωτή η α.ε.τ. Για τη λύση της εξίσωσης αυτής ακολουθούµε την εξής διαδικασία. Δοκιµάζουµε ως µερική λύση της την συνάρτηση: q 1 (t) = Aµt + B$%t () οπότε µε διπλή παραγώγιση της συνάρτησης αυτής θα έχουµε: dq 1 (t) dt = A$t - B%µt d q 1 (t) dt = - A µt-b $%t (3) Αντικαθιστώντας στην (1) την τιµή της δεύτερης παραγώγου εκ της (3) παίρ νουµε τη σχέση: -A µt - B $%t + (Aµt + B$%t) = V $%t/l ( A - A)µt + ( B - B - V /L)$%t = (4) Επειδή η (4) πρέπει να ισχύει για κάθε t>, αυτό εξασφαλίζεται από τις σχέ σεις: A - A = B - B - V /L = $ Έτσι η σχέση () γράφεται: A( - ) = B( - ) = V /L $ A = B=V /L( - ) $ q 1 (t) = V $t L($ - $ ) (5) Η λύση της αντίστοιχης οµογενούς της (1) έχει τη µορφή:

19 q (t) = C 1 µ t + C $% t (6) όπου C 1, C σταθεροί συντελεστές, που θα προσδιορισθούν από τις αρχικές συνθήκες στις οποίες βρίσκεται το κύκλωµα. Η γενική λύση q(t) της (1) θα προκύψει ως άθροισµα των λύσεων q 1 (t) και q (t), δηλάδη: (5),(6) q(t) = q 1 (t) + q (t) q(t) = V $t L($ - $ ) + C 1 %µ$ t + C $ t (7) Παραγωγίζοντας την (7) ως προς τον χρόνο έχουµε: i(t) = dq(t) dt = - V µt L( - ) + C 1 $% t - C µ t (8) Όµως για t= έχουµε q()= και i()= όπότε οι σχέσεις (7) και (8) δίνουν: =V /L( - )+C =C 1 $ C =- V /L( - ) C 1 = $ Η τελική εποµένως µορφή της (7) είναι: q(t) = V $t L($ - $ ) - V $ t L($ - $ ) = V ( L($ - $ ) $t - $ t ) (α) Παρατηρούµε από την (α) ότι η συνάρτηση q(t) προκύπτει ως σύνθεση δύο συνηµιτονικών συναρτήσεων µε διαφορετικές κυκλικές συχνότητες ω κα ω και το ερώτηµα που εγείρεται είναι ποιά είναι η φυσιογνωµία του ηλεκτρι κού φορτίου του πυκνωτή. Μπορούµε να διακρίνουµε τις εξής περιπτώσεις: i) Οι κυκλικές συχνότητες ω, ω έχουν τυχαίες τιµές. Στην περίπτωση αυτή η χρονική µεταβολή του φορτίου q είναι πολύπλοκη και δεν εκφράζει κάποιο συγκεκριµένο νόµο. ii) Οι κυκλικές συχνότητες ω, ω έχουν λόγο που είναι ρητός αριθ µός, δηλαδή ικανοποιούν µια σχέση της µορφής ω/ω =n 1 /n όπου n 1, n θετικοί ακέραιοι πρώτοι µεταξύ τους. Στην περίπτωση αυτή η συνάρτηση q(t) είναι περιοδική µε περίοδο Τ που δινεται από την σχέση: Τ=π/n 1 ω= π/n ω δηλαδή στην περίπτωση αυτή το φορτίο του πυκνωτή θα µεταβάλλεται περιο δικά, αλλά όχι αρµονικά µε τον χρόνο που σηµαίνει ότι στο κύκλωµα θα συµ βαίνει περιοδική µετακίνηση ηλεκτρικού φορτίου από τον ένα οπλισµό του πυκνωτή προς τον άλλο, µέσω του πηνίου και της γεννήτριας.

20 iii) Οι κυκλικές συχνότητες ω, ω διαφέρουν πολύ λίγο µεταξύ τους, δηλαδή ισχύει ω/ω 1. Στην περίπτωση αυτή η συνάρτηση q(t) είναι περιοδική µε περίοδο: Τ π/ω π/ω και έχει την µορφή διακροτήµατος, δηλαδή το ηλεκτρικό φορτίο του πυκ νωτή µεταβάλλεται αρµονικά µε τον χρόνο, αλλά το πλάτος του είναι δια µορφωµένο στον ρυθµό µιας χαµηλής κυκλικής συχνότητας ω -ω) /. Συγ κεκριµένα στην περίπτωση αυτή η σχέση (α) µπορεί να πάρει τη µορφή: -V q(t) = L( - ) µ ( - )t µ ( + )t -V q(t) = L( - ) µ ( - )t µt (β) H γραφική παράσταση της (β) είναι η καµπύλη του σχήµατος (1) iv) H κυκλική συχνότητα ω της τάσεως της γεννήτριας (διεγέρτη) τείνει προς την κυκκλική ιδιοσυχνότητα ω του κυκλώµατος σεράς L-C (ταλαντωτή), δηλαδή ισχύει. Σχήµα 1 Στην περίπτωση αυτή το δεύτερο µέλος της σχέσεως (α) καθίσταται απροσ διόριστο και για να αρθεί η απροσδιοριστία του εφαρµόζουµε τον κανόνα de L Ηοspital, οπότε θα έχουµε: & $%t - $% lim t) ( + = ' - * lim d($%t - $% t)/d lim d( - )/ d = = lim (-tµt) lim (-) = tµ t Άρα η οριακή µορφή της q(t) όταν ω ω, δηλαδή στην κατάσταση <<συντο νισµού>> του ταλαντωτή είναι:

21 q(t) = V L tµ ( t) (γ) Η σχέση (γ) δεν εκφράζει ηµιτονική µεταβολή του φορτίου q του πυκνωτή, αλλα µια πολύπλοκη εξέλιξη αυτού κατά την οποία παίρνει τιµές που αυξά νονται χρονικά προς το άπειρο και αυτό οφείλεται στον όρο tηµ(ω t). Για να γίνει αυτό αντιληπτό χρησιµοποιούµε την γνωστή σχέση: ( ) - 1 µ ( t) +1-1 L tv q(t) +1 - V t q(t) + V t (δ) L L Από την (δ) παρατηρούµε ότι οι ευθείες q (t)= ±V t/lω αποτελούν την περι βάλουσα της συνάρτησης (γ), η οποία οριοθετεί τις τιµές του φορτίου q και το κατευθύνει προς το άπειρο (σχήµα 11). Είναι προφανές ότι η περίπτωση αυτή έχει καθαρά θεωρητικό χαρακτήρα, διότι στην πράξη καµιά γεννήτρια δεν έχει την απαιτούµενη ισχύ, ώστε να διακινήσει ηλεκτρικό φορτίο που Σχήµα 11 τείνει προς το άπειρο και κανένας πυκνωτής δεν έχει την απαιτούµενη διη λεκτρική αντοχή, ώστε να δεχθεί στους οπλισµούς του απεριόριστο ηλεκτ ρικό φορτίο. 7. Hλεκτρικές ταλαντώσεις σε συζευγµένα κυκλώµατα Θεωρούµε δύο απολύτως όµοια ιδανικά κυκλώµατα σειράς L-C των οποίων τα πηνία βρίσκονται σε αµοιβαία σύζευξη, όπως φαίνεται στο σχήµα (1). Yποθέτουµε ότι ο πυκνωτής του αριστερού κυκλώµατος είναι φορτισµένος µε φορτίο q, ενώ ο άλλος πυκνωτής είναι αφόρτιστος. Όταν κλείσουµε το διακόπτη Δ θα συµβαίνει σε πρώτο στάδιο εκφόρτιση του πυκνωτή του αρι στερού κυκλώµατος µέσω του αντίστοιχου πηνίου, µε αποτέλεσµα το κύκλωµα αυτό να διαρρέεται µε ρεύµα µεταβλητής έντασης i 1. Δηµιουργεί

22 ται εποµένως στο πηνίο του δεξιού κυκλώµατος H.E.Δ. από αµοιβαία επαγωγή, η οποί α φορτίζει τον αντίστοιχο πυκνωτή, µε αποτέλεσµα να θέτει σε κυκλοφορία ρεύµα στο κυκλώµα αυτό, του οποίου η ένταση i µεταβάλλεται. Ποια όµως µορφή έχουν τα ρεύµατα που κυκλοφορούν στα δύο κυκλώµατα; Για να απαντήσουµε στο πρόβληµα αυτό πρέπει να προσέ Σχήµα 1 ξουµε ότι, σε κάθε πηνίο δηµιουργούνται δύο H.E.Δ. µία από αυτεπαγωγή, που οφείλεται σε µεταβολή της έντασης του ρεύµατος που διαρρέει το ίδιο το πηνίο και µία από αµοιβαία επαγωγή, που οφείλεται σε µεταβολή της έντασης του ρεύµατος που διαρρέει το άλλο πηνίο. Aς δεχθούµε ότι κατά µια τυχαία στιγµή οι εντάσεις των ρευµάτων στο αριστερό αντιστοίχως στο δεξί κύκλωµα είναι i 1 και i, τα δε αντίστοιχα φορτία των πυκνωτών q 1, q. Eφαρµόζοντας τη στιγµή αυτή στα δύο κυκλώµατα το δεύτερο κανόνα του Kirchoff παίρνουµε τις σχέσεις: q 1 C - L di 1 dt - M di dt = - q C - L di dt - M di 1 dt = $ (1) όπου M ο συντελεστής αµοιβαίας επαγωγής των δύο πηνίων. Όµως ισχύουν και οι σχέσεις i 1 =-dq 1 /dt και i =dq /dt, οπότε οι σχέσεις (1) γράφονται: L d q 1 - M d q = -q 1 dt dt C -L d q + M d q 1 = q dt dt C $ () Oι σχέσεις () αποτελούν ένα σύστηµα δύο γραµµικών διαφορικών εξισώ σεων δεύτερης τάξεως µε σταθερούς συντελεστές, οι οποίες περιγράφουν τα φορτία των πυκνωτών του συστήµατος. Για τη λύση του συστήµα τος αυτού ακολουθούµε την εξής διαδικασία. Προσθέτουµε τις εξισώσεις () κατά µέλη, οπότε θα έχουµε:

23 (L + M) d (q 1 - q ) = - q 1 - q dt C d (q 1 - q ) dt + q 1 - q C(L+ M) = (3) H (3) αποτελεί µιά γραµµική διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξεως µε σταθε ρούς συντελεστές και δέχεται λύση της µορφής: q 1 - q = A 1 µ( 1 t + 1 ) µε 1 = 1/C(L + M) (4) µε A 1, φ 1 σταθερές ολοκλήρωσης που υπολογίζονται από τις αρχικές συνθή κες στις οποίες βρίσκονται τα δύο κυκλώµατα.. Aν τώρα αφαιρέσουµε κατά µέλη τις εξισώσεις () θα έχουµε: (L - M) d (q + q 1 ) = - q + q 1 dt C d (q + q 1 ) dt + q + q C(L - M) = (5) H (5) αποτελεί επίσης µιά γραµµική διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξεως µε σταθερούς συντελεστές και δέχεται λύση της µορφής: q + q 1 = A µ( t + ) µε = 1/C(L - M) (6) όπου A, φ σταθερές ολοκλήρωσης εξαρτώµενες από τις αρχικές συνθήκες στις οποίες βρίσκονται των δύο κυκλώµατα. Προσθέτοντας και αφαιρώντας κατά µέλη τις σχέσεις (4) και (5) παίρνουµε: q 1 = A µ( t + ) + A 1 µ( t + ) 1 1 q = A µ( t + ) - A 1 µ( t + ) 1 1 $ (7) Eάν οι αρχικές συνθήκες του συστήµατος επιβάλλουν A 1 = τότε καθώς εξελίσσονται τα δύο ρεύµατα τα φορτία των πυκνωτών θα µεταβάλλονται αρµονικά µε το χρόνο µε κυκλική συχνότητα ω και κάθε στιγµή θα είναι ίσα µεταξύ τους(q 1 =q ). H περίπτωση αυτή συµβαίνει, όταν οι δύο πυκνωτές στα δύο κυκλώµατα τη στιγµή t= φέρουν το ίδιο φορτιο και συνδέονται µε τα αντίστοιχα πηνία µέσω δύο διακοπτών. Tότε στα δύο κυκλώµατα θα συµβαίνουν όµοιες αρµονικές ηλεκτρικές ταλαντώσεις κυκλικής συχνότητας ω. Eάν όµως οι αρχικές συνθήκες του συστήµατος επιβάλλουν A =, τότε τα φορτία των δύο πυκνωτών θα µεταβάλλονται αρµονικά µε το χρόνο µε κυκλική συχνότητα ω 1 και κάθε στιγµή θα είναι αντίθετα µεταξύ τους (q 1 =- q ). H περίπτωση αυτή συµβαίνει όταν οι δύο πυκνωτές τη στιγµή t= φέρουν αντίθετα φορτία και συνδέονται µε τα αντίστοιχα πηνία µέσω δύο διακοπτών. Όµως εκτός των δύο µορφών ηλεκτρικών ταλαντώσεων που πε ριγράψαµε προηγούµενα, στο σύστηµα µπορούν να παραχθούν ηλεκτρικές ταλαντώσεις και άλλων µορφών, οι οποίες περιγράφονται από τις εξίσωσεις (7). Eάν οι αρχικές συνθήκες του συστήµατος επιβάλλουν A 1 /=A /=A και φ 1 =φ = (αυτό συµβαίνει αν τη χρονική στιγµή t= που κλείνει ο διακόπτης Δ που βρίσκεται στο αριστερό κύκλωµα ο πυκνωτής του φέρει φορτίο A, ένώ ο άλλος πυκνωτής είναι αφόρτιστος). Tότε οι εξισώσεις (7) γράφονται:

24 q 1 = A(µ t + µ 1 t) q = A(µ t -µ 1 t) q 1 = A ($ -$ 1 )t q = A%µ ($ -$ 1 )t %µ ($ +$ 1 )t ($ +$ 1 )t $ (8) Σχήµα 13 Eάν ισχύει M<<L, δηλαδή όταν η σύζευξη των δύο πηνίων είναι πολύ χαλα ρή, τότε θα είναι ω 1 ω που σηµαίνει ότι σε κάθε κύκλωµα θα εξελίσσεται περιοδική ηλεκτρική ταλάντωση, που έχει τη µορφή διακροτήµατος (σχ. 13). Aς εξετάσουµε όµως το σύστηµα και από ενεργειακή άποψη. Εάν dq 1, dq είναι οι µεταβολές των φορτίων των δύο πυκνωτών µεταξύ των χρονικών στιγµών t και t+dt, ι αρχικές εξίσώσεις (1) που περιγράφουν τη γενική συµπεριφορά του συστήµατος µπορουν να πάρουν τη µορφή: q 1 dq 1 C - L di 1dq 1 dt - q dq C - L di dq dt - M di dq 1 dt - M di 1 dq dt = = $ q 1 dq 1 C + Li 1 di 1 + Mi 1 di = - q dq C - Li di - Mi di 1 = $ dw C,1 + dw L,1 + Mi 1 di = -dw C, - dw L, - Mi di 1 = (9) όπου dw C,1, dw C, oι µεταβολές της ενέργειας των ηλεκτρικών πεδίων των δύο στον χρόνο dt και dw L,1, dw L, oι αντίστοιχες µεταβολές της ενέργειας

25 των µαγνητικών πεδίων των δύο πηνίων. Aπό τις (9) εύκολα οδήγούµαστε στη σχέση: dw C,1 + dw L,1 + Mi 1 di = -dw C, - dw L, - Mi di 1 (dw C,1 +dw C, ) + (dw L,1 + dw L, ) + M(i 1 di + i di 1 ) = (dw C,1 +dw C, ) + (dw L,1 + dw L, ) + Md(i 1 i ) = (1) Oλοκληρώνοντας τη σχέση (1) παίρνουµε: (W C,1 + W C, ) + (W L,1 + W L, ) + Mi 1 i = k (11) όπου k σταθερά ολοκλήρωσης, η οποία θα προκύψει από τις οριακές συνθήκες που αντιστοιχούν τη χρονική στιγµή t= και οι οποίες είναι: W C,1 =W, W C, =W L,1 =W L, =, i 1 =i = όπου W η αρχική ενέργεια του συστήµατος λίγο πριν κλείσει ο διακόπτης Δ. Έτσι η (11) εφαρµοζόµενη τη χρονική στιγµή t= δίνει k=w, oπότε η (11) γράφεται: (W C,1 + W C, ) + (W L,1 + W L, ) + Mi 1 i = W (1) H (13) εκφράζει ότι η ολική ενέργεια του συστήµατος αποτελείται από τις αυτενέργειες που είναι εντοπισµένες στους πυκνωτές και στα πηνία και από µία επι πλέον ενέργεια Mi i i, η οποία ονοµάζεται ενέργεια σύζευξης των δύο πηνίων. 8. Περιγραφή α.ε.τ. ή α.ε.ρ. µε µιγαδικό αριθµό Mιγαδική αντίσταση κυκλώµατος Σε κάθε αρµονικά εναλλασσόµενη τάση της µορφής U=V ηµ(ωt+φ) µπορούµε να αντιστοιχίσουµε τον µιγαδικό αριθµό: U = V e j(t+ ) = V [$%(t + ) + j&µ(t + )] (1) του οποίου το µέτρο είναι ίσο µε το πλάτος V της α.ε.τ. το δε όρισµά του ίσο προς την στιγµιαία φάση ωt+φ της θεωρούµενης τάσεως. Παρατηρούµε ότι το φανταστικό µέρος του µιγαδικού αριθµού U ταυτίζεται µε τη στιγµιαία τιµή της εναλλασσόµενης τάσεως, που σηµαίνει ότι η τάση αυτή περιγρά φεται πλήρως µέσω του µιγαδικού αριθµού U, ο οποίος θα ονοµάζεται µιγα δική µορφή της U. Για να κατανοήσουµε τo πλεονέκτηµα που προκύπτει από τη µιγαδική περιγραφή της τάσεως U θεωρούµε ότι η τάση αυτή εφαρ µόζεται στις άκρες ενός κυκλώµατος σειράς R-L-C, οπότε θα δηµιουργεί στο κύκλωµα ρεύµα που η έντασή του έχει τη µορφή: i = I ηµ(ωt + φ - θ)

26 όπου θ η διαφορά φάσεως µεταξύ των U και i και I το πλάτος της έντασης. Όµως στην ένταση i αντιστοιχεί η µιγαδική της µορφή: i = I e j(t+-) = I [$%&(t + - ) + j'µ(t + - )] () οπότε αν σχήµατίσουµε το πηλίκο U / i θα έχουµε: U i = V I e j(t+) e j(t+-) = V I e j U i = Zej (3) όπου Z η εµπέδηση του κυκλώµατος. Eάν το πηλίκο U / i ονοµαστεί µιγαδική αντίσταση Z του κύκλώµατος, τότε η σχέση (3) παίρνει τη µορφή: Z = Ze j) = Z($ + j%µ) = Z$ + jz%µ (4) Όµως στο κύκλωµα σειράς R-L-C ισχύουν και οι σχέσεις R=Zσυνθ και ωl- 1/ωC= Zηµθ, οπότε η (4) γράφεται: Z = R + j(l - 1/C) = R + jl - j/c (5 Aπό την (5) προκύπτει ότι το πραγµατικό µέρος της µιγαδικής αντίστασης Z εκφράζει την ωµική αντίσταση R του κυκλώµατος, το δε µιγαδικό της µέρος εµπεριέχει την επαγωγική αντίσταση του πηνίου υπό τη µιγαδική της µορφή jωl, καθώς και την χωρητική αντίσταση του πυκνωτή, επίσης υπό την µιγαδική της µορφή -j/ωc. Eξάλλου το µέτρο της µιγαδικής αντίστασης είναι: Z = R + (L - 1/C) δηλαδή συµπίπτει µε την εµπέδηση του κυκλώµατος, ενώ το όρισµά της θ εκφράζει τη διαφορά φάσεως µεταξύ των εναλλασσόµενων µεγεθών U και i. Aν εποµένως θεωρήσουµε τη µιγαδική αντίσταση του κυκλώµατος µπορού µε στο κύκλωµα σειράς R-L-C να εφαρµόσουµε το νόµο του Ohm υπό τη µορφή: i = U Z = V Z e j(t+) e j = V Z ej(t+-) (6) H σχέση (6) αποτελεί τη µιγαδική έκφραση της έντασης i, από την οποία εύκολα µεταβαίνουµε στην ηµιτονική της έκφραση λαµβάνοντας το φαντα στικό της µέρος. Παρατήρηση: Eάν τα στοιχεία R, L, C συνδέονται µεταξύ τους παραλληλα και το σύστηµα τροφοδοτείται µε την αρµονική τάση U, τότε οι τρείς κλάδοι του κυκλώ µατος θα διαρρέονται µε αρµονικά ρεύµατα που οι αντίστοιχες µιγαδικές εντάσεις τους είναι: i R = U /R, i L = U /jl, i C = - U jc

27 Προσθέτοντας τις µιγαδικές αυτές εντάσεις παίρνουµε τη µιγαδική ένταση i του ολικού ρεύµατος, οπότε θα έχουµε: i = U R + U i - ju C jl U = 1 R + 1 jl + 1 -j/c (7) Όµως το πηλίκο i /V αποτελεί το αντίστροφο της µιγαδικής αντίστασης Z του κυκλώµατος, οπότε η σχέση (7) γράφεται: 1 Z = 1 R + 1 jl + 1 -j/c (8) Aπό την (8) προκύπτει ότι, η µιγαδική αντίσταση του κυκλώµατος υπολογίζεται µε τον ίδιο τρόπο που υπολογίζεται η ολική αντίσταση ωµικών αντιστάσεων που συνδέονται µεταξύ τους παράλληλα. Προφανώς το µέτρο της µιγαδικής αντίστασης Z εκφράζει την εµπεδηση Z του κύκλώµατος, ενώ το όρισµά της θ αποτελεί την διαφορά φάσεως µεταξύ της τάσεως τροφοδοσίας U του κυκλώµατος και της έντασης i του ρεύµατος που το διαρρέει. Mε βάση λοιπόν τα παραπάνω µπορούµε να γράψουµε τη σχέση: i = U Z = V Z e j(t+) e j = V Z ej(t+-) η οποία µας επιτρέπει να καθορίσουµε τη µορφή του ολικού ρεύµατος. 9. Eξαναγκασµένη ηλεκτρική ταλάντωση σε συζευγµένα κυκλώµατα Θεωρούµε τα κυκλώµατα σειράς R 1 -L 1 -C 1 και R -L -C, των οποίων τα πηνία είναι σε επαγωγική συζευξή, όπως φαίνεται στο σχήµα (14). Yποθέτουµε ότι το R 1 -L 1 -C 1 που θα το ονοµάζουµε πρωτεύον κύκλωµα, τροφοδοτείται στις άκρες του µε αρµονικά εναλλασσόµενη τάση της µορφής U=V ηµωt, oπότε στο κυκλώµα αυτό θα αποκατασταθεί τελικώς αρµονικό ρεύµα κυκλικής Σχήµα 14 συχνότητας ω, στο δε άλλο κύκλωµα R -L -C, που θα το ονοµάζουµε δευτε ρεύον κύκλωµα, θα δηµιουργηθεί από αµοιβαία επαγωγή ρεύµα που και

28 αυτό στο µόνιµο στάδιο του θα είναι αρµονικό ρεύµα, κυκλικής συχνότητας ω.. Για να καθόρίσουµε επακριβώς τις µόρφές των ρευµάτων αυτών, εφαρµό ζουµε στο πρωτεύον και στο δευτερεύον κύκλωµα κατά µια τυχαία στιγµή t το δεύτερο κανόνα του Kirchoff, οπότε θα λάβουµε τις σχέσεις: U = U R1 + U C1 + U L1 + U µ(1) = U R + U C + U L + U µ() (1) Στη σχέση (1) όλες οι παρουσιαζόµενες τάσεις είναι αρµονικές, κυκλικής συχνότητας ω, εκ των οποίων οι U αµ(1) και U αµ() είναι εντοπισµένες στα αντί στοιχα πηνία και οφείλονται στο φαινόµενο αµοιβαίας επαγωγής που εκδη λώνεται σ αυτά. Θεωρώντας τις µιγαδικές µορφές των τάσεων αυτών παίρνουµε τις σχέσεις: U = i 1 R 1 - ji 1 /C 1 + ji 1 L 1 + U µ(1) = i R - ji /C + ji L + U µ() () όπου i 1, i οι µιγαδικές εντάσεις των ρευµάτων στο πρωτεύον και το δευτερεύον κύκλωµα αντιστοίχως. Όµως µια τάση από αµοιβαία επαγωγή έχει τον ίδιο φυσικό χαρακτήρα µε µια αυτεπαγωγική τάση, διότι και οι δύο τάσεις προέρχονται από µεταβολή έντασης ρεύµατος. Aυτό σηµαίνει ότι η µιγαδική µορφή µιας αρµονικής τάσεως από αµοιβαία επαγωγή θα έχει τον ίδιο χαρακτήρα µε την αντίστοιχη αυτεπαγωγική τάση, δηλαδη ισχύουν οι σχέσεις: U µ(1) = ji M και U µ() = ji 1 M όπου M ο συντελεστής αµοιβαίας επαγωγής των δύο πηνίων. Mε βάση τη διαπίστωση αυτή οι σχέσεις () γράφονται: U = i 1 R 1 - ji 1 /C 1 + ji 1 L 1 + ji M = i R - ji /C + ji L + ji 1 M U = i 1 [R 1 + j(l 1-1/C 1 )] + ji M = i [R + j(l - 1/C )] + ji 1 M U = i 1 Z 1 + ji M = i Z + ji 1 M (3) µε Z 1 =R 1 +j(l 1-1/C 1 ) και Z =R +j(l - 1/C ). Aπαλοίφοντας µεταξύ των σχέσεων (3) το i παίρνουµε: U = i 1 (Z 1 + M /Z ) (4) Aπό την (4) προκύπτει ότι, το αποτέλεσµα της επίδρασης του δευτερέτευον τος κυκλώµατος επί του πρωτεύοντος είναι η εµφάνιση µέσα στα στοιχεία του πρωτευοντος µιάς αντίστασης M /Z, η οποία καλείται αντίσταση σύζευξης και παίζει σπουδαίο ρόλο στη διαµόρφωση του ρεύµατος στο πρω τεύον κύκλωµα. H διερεύνηση της σχέσεως (4) οδηγεί στα εξής ενδιαφέρον τα συµπεράσµατα:

29 α) Eάν η σύζευξη πρωτεύοντος και δευτερεύοντος είναι χαλαρή, τότε η αντίσταση σύζευξης είναι αµέλητέα (Z 1 + M / Z Z 1 ) και το ρεύµα στο πρωτεύον έλαχιστα επηρεάζεται από την παρουσία του δευτερεύοντος κυκ λώµατος. Στην περίπτωση αυτή αν τα δύο κυκλώµατα έχουν την ίδια κυκ λική ιδιοσυχνότητα = 1/L 1 C 1 = 1/L C, τότε µεταβαλλόµενης της κυκ λικής συχνότητας ω της πηγής εκατέρωθεν της ω, θα µεταβάλλεται το πλά τος I 1() του ρεύµατος στο πρωτεύον σύµφωνα µε την καµπύλη (α) του σχήµατος (15), η οποία έχει περίπου την µορφή της καµπύλης συντονισµού του πρωτεύοντος, όταν αυτό είναι ανεξάρτητο. Aνάλογα συµβαίνουν για το πλάτος I () του ρεύµατος στο δευτερεύον κύκλωµα, το οποίο µεταβάλλεται µε την κυκλική συχνότητα ω σύµφωνα µε την καµπύλη (α) του σχήµατος (16). Aποδεικνύεται ότι, όταν ο συντελεστής αµοιβαίας επαγωγής M λάβει µία χαρακτηριστική τιµή M για την οποία ισχύει M = R 1 R, τότε το πλάτος I () παρουσιάζει τη µέγιστη εκ των µέγιστων τιµών του (maximun maximorum) και η σύζευξη χαρακτηρίζεται ως κρίσιµη. Σχήµα 15 β) Eαν η σύζευξη πρωτεύοντος και δευτερεύοντος είναι εντονώτερη της κρίσιµης σύζευξης (M>M ) τότε η αντίσταση σύζευξης επηρεάζει σηµαντικά το ρεύµα στο πρωτεύον, µπορεί δε να µετασχηµατιστεί ως εξής: Z = Z = M R + j(l - 1/C ) = M [R - j(l + 1/C )] R + (L - 1/C ) M R R + (L - 1/C ) - j M (L - 1/C ) (5) R + (L - 1/C ) Για τιµές της κυκλικής συχνότητας ω της πηγής µικρότερες της κοινής κυκλικής ιδιοσυχότητας ω πρωτεύοντος και δευτερεύοντος θα έχουµε ωl <1/ωC, που σηµαίνει ότι το φανταστικό µερος της Z είναι θετικό, δηλαδή η αντίσταση σύζευξης παρουσιάζει ωµικό και επαγωγικό µέρος, οπότε µπορεί να τεθεί υπό τη µορφή R * +jωl * O επαγωγικός χαρακτήρας της Z συνεπάγεται µείωση της ιδιοσυχνότητας του πρωτεύοντος από την τιµή 1/L 1 C 1 στην τιµή 1/(L 1 + L * )C 1 µε αποτέλεσµα η καµπύλη συντονισµού του πρωτεύοντος να παρουσιάζει τοπικό µέγιστο αριστερότερα του µεγίστου της κρίσιµής σύζευξης, όπως φαίνεται στην καµπύλη γ του σχήµατος (15). Για τιµές της ω µεγαλύτερες της ω θα έχουµε ωl >1/ωC, που σηµαίνει ότι

30 το φανταστικό µερος της Z είναι αρνητικό, δηλαδή η Z παρουσιάζει χωρητικό χαρακτήρα, οπότε µπορεί να τεθεί υπό τη µορφή R * -j/ωc * H εισαγωγή της Z στα στοιχεία του πρωτεύοντος µειώνει τη χωρητικότητά του, δηλαδή αυξάνει την ιδιοσυχνότητα του πρωτεύοντος από 1/L 1 C 1 σε Σχήµα 16 C 1 + C * )/L 1 C 1 C * µε αποτέλεσµα η καµπύλη συντονισµού του πρωτεύοντος να παρουσιάζει και δεύτερο τοπικό µέγιστο, δεξιότερα του µεγίστου της κρίσιµής σύζευξης (σχ. 15 καµπύλη γ). Eάν ο βαθµός σύζευξης µεγαλώσει τα δύο πλευρικά µέγιστα αποµακρύνονται από την κεντρική κυκλική συχνό τητα ω και ταυτόχρονα µειώνεται η τιµή τους. Aπολύτως ανάλογα φαινό µενα παρουσιάζονται στο δευτερεύον, όπου και εκεί εµφανίζονται δύο πλευ ρικά µέγιστα εκατέρωθεν της ω, τα οποία όµως δεν παρουσιάζουν µεγάλη οξύτητα και επι πλέον παραµένουν σχεδόν ισοϋψή µε τη µεταβολή του βαθ µού σύζευξης (σχ. 16 καµπύλη δ) Όταν ο βαθµός σύζευξης είναι γειτονικός του κρίσιµου, τότε η καµπύλη συντονισµού του δευτερεύοντος είναι σχεδόν τραπεζοειδής µε αποτέλεσµα το δευτερεύον κύκλωµα, το οποίο και µας ενδι αφέρει, να παρουσιάζει µια επιλογικότητα µέσα σε µια ζώνη συχνοτήτων, της οποίας το εύρος Δω εξαρτάται από το βαθµό σύζευξης K (σχ. 16 καµπύλη β). Δηλαδή στην περίπτωση αυτή το πλάτος I () του ρεύµατος στο δευτε ρεύον ελάχιστα µεταβάλλεται, όταν η ω κυµαίνεται εντός του εύρους συχνο τήτων Δω, γεγονός που σηµαίνει ότι το όλο σύστηµα λειτουργεί ως ηλεκτρι κό φίλτρο. P.M. fysikos