Σχέσεις Ορισμός Εστω σύνολα A, B. (Διμελής) σχέση ονομάζεται ένα σύνολο R A B. Η έννοια της σχέσης γενικεύει την έννοια της συνάρτησης με πεδίο ορισμο

Transcript

1 Μαθηματικά Πληροφορικής 8ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών

2 Σχέσεις Ορισμός Εστω σύνολα A, B. (Διμελής) σχέση ονομάζεται ένα σύνολο R A B. Η έννοια της σχέσης γενικεύει την έννοια της συνάρτησης με πεδίο ορισμού το A και σύνολο αφίξεως το B. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ A = B = {σύνολο των ενεργών φοιτητών του di}. R = {(x, y) x συμπαθεί y}. Συμβολισμός: συχνά xry ή x y αντί (x, y) R.

3 Ιδιότητες Σχέσεων Μια διμελής σχέση R πάνω σε ένα σύνολο X καλείται 1 ανακλαστική αν a X, ara. 2 συμμετρική αν a, b X, arb συνεπάγεται bra. 3 αντισυμμετρική αν a, b X, arb και bra, συνεπάγεται ότι a = b. 4 μεταβατική αν a, b, c X, arb και brc, συνεπάγεται ότι arc. Παράδειγμα: έστω X = Z. Ορισε x y αν x y. Παράδειγμα: έστω X = 2 Z. Ορισε A B αν A B =.

4 Σχέσεις Ισοδυναμίας Μια διμελής σχέση R πάνω σε ένα σύνολο X καλείται σχέση ισοδυναμίας αν η R είναι ανακλαστική, συμμετρική και μεταβατική, δηλαδή: 1 a X, ara. 2 a, b X, arb συνεπάγεται bra. 3 a, b, c X, arb και brc, συνεπάγεται ότι arc. Παράδειγμα: έστω X = Z. Ορισε xry αν x y (mod 5). Αντιπαράδειγμα: η σχέση «συμπαθεί» δεν είναι σχέση ισοδυναμίας! Αντιπαράδειγμα: x y, x, y N.

5 Κλάσεις Ισοδυναμίας Ορισμός Εστω R A A μια σχέση ισοδυναμίας. Κλάση ισοδυναμίας ενός x A ορίζεται ως το σύνολο [x] := {y A xry}.

6 Κλάσεις Ισοδυναμίας Ορισμός Εστω R A A μια σχέση ισοδυναμίας. Κλάση ισοδυναμίας ενός x A ορίζεται ως το σύνολο [x] := {y A xry}. για τη σχέση x y (mod 5) [7] = {..., 3, 2, 7, 12, 17, 22,...}. Παρατηρείστε [7] = [12] = [22] κοκ.

7 Κλάσεις Ισοδυναμίας Ορισμός Εστω R A A μια σχέση ισοδυναμίας. Κλάση ισοδυναμίας ενός x A ορίζεται ως το σύνολο [x] := {y A xry}. Θεώρημα Οι κλάσεις ισοδυναμίας μιας σχέσης R πάνω στο σύνολο A ορίζουν μια διαμέριση του A.

8 Κλάσεις Ισοδυναμίας Ορισμός Εστω R A A μια σχέση ισοδυναμίας. Κλάση ισοδυναμίας ενός x A ορίζεται ως το σύνολο [x] := {y A xry}. Θεώρημα Οι κλάσεις ισοδυναμίας μιας σχέσης R πάνω στο σύνολο A ορίζουν μια διαμέριση του A. Οι πέντε κλάσεις της σχέσης x y (mod 5) διαμερίζουν το Z: {..., 9, 4, 1, 6, 11, 16, 21,...} {..., 8, 3, 2, 7, 12, 17, 22,...} {..., 7, 2, 3, 8, 13, 18, 23,...} {..., 6, 1, 4, 9, 14, 19, 24,...} {..., 10, 5, 0, 5, 10, 15, 20, 25,...}

9 Παράδειγμα Δίνεται γράφημα G = (V, E). Ορίστε στο V τη σχέση : x y αν υπάρχει στον G μονοπάτι από το x στο y. Είναι η σχέση σχέση ισοδυναμίας; Αν ναι, ποιες είναι οι κλάσεις ισοδυναμίας;

10 Σχέσεις Μερικής Διάταξης Μια διμελής σχέση πάνω σε ένα σύνολο X καλείται μερική διάταξη αν η είναι ανακλαστική, αντισυμμετρική και μεταβατική, δηλαδή: 1 a X, a a. 2 a, b X, a b και b a, συνεπάγεται ότι a = b. 3 a, b, c X, a b και b c, συνεπάγεται ότι a c. Παράδειγμα: X = N και a b αν a b. Παράδειγμα: X = N N και (p 1, q 1 ) (p 2, q 2 ) αν p 1 < p 2 ή [p 1 = p 2 και q 1 q 2 ] (λεξικογραφική διάταξη). Παράδειγμα: έστω X = 2 N και =. Αντιπαράδειγμα: X = σύνολο άπειρων ακολουθιών πραγματικών αριθμών και a b ανν a υπακολουθία της b.

11 Εστω (X, ) ένα μερικά διατεταγμένο σύνολο. Δυο στοιχεία x, y X καλούνται συγκρίσιμα αν x y, ή y x. Αν x y και x y γράφουμε x < y. Σύνολο X X καλείται αλυσίδα αν οποιαδήποτε δύο στοιχεία του X είναι συγκρίσιμα. Προσοχή: αν x, y X, z X, και x < z < y δεν έπεται υποχρεωτικά ότι z X. Σύνολο X X καλείται αντιαλυσίδα αν οποιαδήποτε δύο διακεκριμένα στοιχεία του X δεν είναι συγκρίσιμα.

12 Γραφική αναπαράσταση διατεταγμένων συνόλων Σχέση διαιρετότητας στο X = {1, 2, 3, 6, 12}: Διάγραμμα Hasse: Γράφημα σχεδιασμένο στο επίπεδο με κορυφές τα στοιχεία του συνόλου X. Κορυφές που συνδέονται μέσω της συνδέονται με ακμή, παραλείπονται όλες οι ακμές που συνάγονται από τη μεταβατικότητα. Αν v w, η κορυφή v σχεδιάζεται χαμηλότερα από την κορυφή w.

13 Γραφική αναπαράσταση διατεταγμένων συνόλων Παραδείγματα τριών διαφορετικών έγκυρων διαγραμμάτων a b Hasse για το ίδιο διατεταγμένο σύνολο. c) d) e) c abc I> <J d e f a c b PN d e f cab )$( d f e x y αν υπάρχει μονότονο μονοπάτι από το x στο y, δηλ. μονοπάτι που μόνο ανεβαίνει. f)

14 Γραφική αναπαράσταση διατεταγμένων συνόλων Διατεταγμένο σύνολο P = {a, b, c, d} που ορίζεται από τις ανισότητες a < c, a < d, b < c, b < d. Στο Σχήμα (i) δύο ορθές αναπαραστάσεις του με διαγράμματα Hasse, στο Σχήμα (ii) λανθασμένες.

15 rld Ολική διάταξη Ορισμός Search MathWorld Εστω (P, ) ένα μερικά διατεταγμένο σύνολο. Η σχέση καλείται ολική διάταξη αν Mathematics > Graph Theory > Simple Graphs > Acyclic Graphs > Mathematics > Graph Theory > Simple Graphs > Asymmetric Graphs > Mathematics > Graph Theory > Simple Graphs > Bicolorable Graphs > x, y P, x y ή y x. Το διάγραμμα Hasse μιας ολικής διάταξης είναι πάντα Graph μονοπάτι. THINGS TO TRY: path graph 5x5 Hilbert matrix common divisors of 36 h graph is a tree with two nodes of vertex degree 1, and the other nodes of vertex degree 2. A path therefore a graph that can be drawn so that all of its vertices and edges lie on a single straight line (Gross and

16 6.11 Remark. If a poset has a least element, then this is also a minimal element, analogously the greatest element is also a maximal element. In a linearly ordered set the notions "minimal element" and Ορισμός "least element" evidently coincide, also "maximal" and "greatest". But this is usually not the case: Εστω (P, ) ένα μερικά διατεταγμένο σύνολο. Το στοιχείο z 6.12 P καλείται Example. ελαχιστικό Consider (minimal) a set of ανfive δενelements υπάρχει a, x b, c, Pd, τ. e, ώ. whose x order < z. 5 is given by a < c < e, b < c < d, a 11 b, d 11 e. See Figure 1. Ελαχιστικά στοιχεία Figure I Το zin this P καλείται set a and ελάχιστο b are minimal (minimum) elements, αν x d and P, e zare x. maximal Ενα eleμερικά ments. διατεταγμένο This set has neither σύνολοa δεν greatest έχει απαραίτητα nor a least element. ελάχιστο στοιχείο Example. Even if a poset contains exactly one minimal ele-

17 6.11 Remark. If a poset has a least element, then this is also a minimal element, analogously the greatest element is also a maximal element. In a linearly ordered set the notions "minimal element" and Ορισμός "least element" evidently coincide, also "maximal" and "greatest". But this is usually not the case: Εστω (P, ) ένα μερικά διατεταγμένο σύνολο. Το στοιχείο z 6.12 P καλείται Example. μεγιστικό Consider (maximal) a set αν of five δεν υπάρχει elements xa, b, Pc, τ. d, e, ώ. whose z order < x. 5 is given by a < c < e, b < c < d, a 11 b, d 11 e. See Figure 1. Μεγιστικά στοιχεία Figure I Το zin this P καλείται set a and μέγιστο b are minimal (maximum) elements, αν xd and P, e x are z. maximal Ενα eleμερικά ments. διατεταγμένο This set has neither σύνολοa δεν greatest έχει απαραίτητα nor a least element. μέγιστο στοιχείο Example. Even if a poset contains exactly one minimal ele-

18 Ακόμα κι αν το P περιέχει ένα μοναδικό ελαχιστικό στοιχείο, μπορεί να μην περιέχει ελάχιστο! Γιατί; Δώστε αντιπαράδειγμα. Ομοίως για τα μεγιστικά.

19 Υπαρξη ελαχιστικού (ή μεγιστικού) στοιχείου Πρόταση Εστω (P, ) ένα μερικά διατεταγμένο σύνολο, όπου P πεπερασμένο. Τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα ελαχιστικό στοιχείο. Απόδειξη. Διάλεξε x P τέτοιο ώστε L x = {y P y x} έχει το ελάχιστο πλήθος στοιχείων. Αν L x = 1, τότε το L x = {x}, άρα x ελαχιστικό. Αν L x > 1, διάλεξε y L x, y x. Από μεταβατικότητα L y L x, και επειδή x L y, L y L x. Δηλαδή L y < L x, άτοπο. Η πρόταση δεν ισχύει για άπειροσύνολα. Δώστε αντιπαράδειγμα.

20 Εστω πεπερασμένο σύνολο S με S = n. Η δομή (2 S, ) ορίζει μια σχέση μερικής διάταξης πάνω στα υποσύνολα του S. Θα εξετάσουμε κάποιες ιδιότητες αυτής της δομής. Κυρίως ερωτήματα της μορφής: πόσα υποσύνολα του S έχουν μια δεδομένη ιδιότητα.

21 Εστω πεπερασμένο σύνολο S με S = n. Η δομή (2 S, ) ορίζει μια σχέση μερικής διάταξης πάνω στα υποσύνολα του S. Θεώρημα Εστω A μια συλλογή διακεκριμένων υποσυνόλων του S τ. ώ. A i A j, για κάθε A i, A j A. Τότε A 2 n 1.

22 either x y or y x (or both) hold. A chain in a poset P is a subset C P such that any Εστω πεπερασμένο σύνολο S με S = n. Η δομή (2 S two of its points ar Dually, an antichain is a subset A P such that no two of, its ) points ορίζει are compar μιαthat σχέση C μερικής A 1, i.e., διάταξης every chain πάνωc στα and every υποσύνολα antichainτου A can S. have at most o common (for two points in their intersection would be both comparable and incom Here are some frequently encountered examples of posets: a family of sets is pa Θεώρημα by set inclusion; a set of positive integers is partially ordered by division; a set of v partially ordered by (a Εστω A μια συλλογή 1,...,a διακεκριμένων n ) < (b 1,...,b υποσυνόλων n )iff a i b i for all i, and a του S τ. ώ. i <b i for a Small posets may be visualized by drawings, known A i A j, για κάθε A i, A j A. Τότε A 2 n 1 as Hasse diagrams: x is low than y whenever x<yand there is no other point z P. for which both x<za example: {a,b,c} 18 Σχέσεις Ισοδυναμίας Μερικές Διατάξεις Θεώρημα του Sperner Θεώρημα του Dilworth Εφαρμογές του Θ. Dilwo {b,c} {a,c} {a,b} 6 9 {a} {b} {c} 2 3 O 1 1. Decomposition in chains and antichains

23 Εστω πεπερασμένο σύνολο S με S = n. Η δομή (2 S, ) ορίζει μια σχέση μερικής διάταξης πάνω στα υποσύνολα του S. Θεώρημα Εστω A μια συλλογή διακεκριμένων υποσυνόλων του S τ. ώ. A i A j, για κάθε A i, A j A. Τότε A 2 n 1. Αποδειξη: Αν A A, για Ā = S A, Ā A, αφού A Ā =. Επομένως A 2 n 1. Το άνω φράγμα δεν μπορεί να βελτιωθεί. Τα υποσύνολα του {1,..., n} που περιέχουν το 1 έχουν πλήθος 2 n 1.

24 A chain in a poset P is a subset C P such that any two of its po Dually, an antichain is a subset A P such that no two of its points are c Εστω that Cπεπερασμένο A 1, i.e., σύνολο everyschain με S C = and n. every Η δομή antichain (2 S, ) Aορίζει can have at μια common σχέση (for μερικής two points διάταξης in their πάνω intersection στα υποσύνολα would be του both S. comparable and Here are some frequently encountered examples of posets: a family of set by set inclusion; a set of positive integers is partially ordered by division; a s Θυμίζουμε partially ordered πως αντιαλυσίδα by (a 1,...,a n καλείται ) < (b 1,...,b ένα n σύνολο )iff a i A b i υποσυνόλων for all i, and a i <b του SSmall τα οποία posets είναι may be μηvisualized συγκρίσιμα by drawings, ως προς τη known σχέση as Hasse μερικής diagrams: x διάταξης than y whenever. Δηλαδή, x<yand αν Athere i, A j is A, no Aother i Apoint j. z P for which both x example: {a,b,c} 18 {b,c} {a,c} {a,b} 6 {a} {b} {c} 2 3 O 1

25 Εστω πεπερασμένο σύνολο S με S = n. Η δομή (2 S, ) ορίζει μια σχέση μερικής διάταξης πάνω στα υποσύνολα του S. Θυμίζουμε πως αντιαλυσίδα καλείται ένα σύνολο A υποσυνόλων του S τα οποία είναι μη συγκρίσιμα ως προς τη σχέση μερικής διάταξης. Δηλαδή, αν A i, A j A, A i A j. {a,b,c} {b,c} {a,c} {a,b} {a} {b} {c} O

26 Εστω πεπερασμένο σύνολο S με S = n. Η δομή (2 S, ) ορίζει μια σχέση μερικής διάταξης πάνω στα υποσύνολα του S. Θυμίζουμε πως αντιαλυσίδα καλείται ένα σύνολο A υποσυνόλων του S τα οποία είναι μη συγκρίσιμια ως προς τη σχέση μερικής διάταξης. Δηλαδή, αν A i, A j A, A i A j. Πόσο μεγάλη μπορεί να είναι μια αντιαλυσίδα; Η οικογένεια όλων των υποσυνόλων του S με τον ίδιο πληθικό αριθμό k, k = 0, 1,..., n, είναι αντιαλυσίδα. Κάθε τέτοια αντιαλυσίδα έχει ( n k) στοιχεία. ( Γνωρίζουμε πως max n ) ( k k = n n/2 ) (γιατί;). Υπάρχουν αντιαλυσίδες με μέγεθος μεγαλύτερο από ( n n/2 ) ;

27 Small posets may be visualized by drawings, known as Hasse diagrams: x is Σχέσεις Ισοδυναμίας Μερικές Διατάξεις Θεώρημα του Sperner Θεώρημα του Dilworth Εφαρμογές του Θ. Dilwo than y whenever x<yand there is no other point z P for which both x< example: {a,b,c} 18 {b,c} {a,c} {a,b} 6 9 {a} {b} {c} 2 3 O ( Παράδειγμα διατεταγμένου συνόλου 2 S όπου S = 3. n ( n/2 ) = 3 1) = 3, άρα 1. υπάρχει Decomposition αντιαλυσίδα in chains μεγέθους and antichains 3. A decomposition of a poset is its partition into mutually disjoint chains or a poset P, our goal is to decompose it into as few chains (or antichains) as possib is easy: if a poset P has a chain (antichain) of size r then it cannot be partitione r antichains (chains). The reason here is simple: any two points of the same different members of a partition into antichains. Is this optimal? If P has no chain (or antichain) of size greater than r, i 1

28 Small posets may be visualized by drawings, known as Hasse diagrams: x is Σχέσεις Ισοδυναμίας Μερικές Διατάξεις Θεώρημα του Sperner Θεώρημα του Dilworth Εφαρμογές του Θ. Dilwo than y whenever x<yand there is no other point z P for which both x< example: {a,b,c} 18 {b,c} {a,c} {a,b} 6 9 {a} {b} {c} 2 3 O ( Παράδειγμα διατεταγμένου συνόλου 2 S όπου S = 3. n ( n/2 ) = 3 1) = 3, άρα 1. υπάρχει Decomposition αντιαλυσίδα in chains μεγέθους and antichains 3. A decomposition of a poset is its partition into mutually disjoint chains or a poset P, our goal is to decompose it into as few chains (or antichains) as possib is easy: if a poset P has a chain {{a}, (antichain) {b}, {c}} of size r then it cannot be partitione r antichains (chains). The reason here is simple: any two points of the same different είναι μια members αντιαλυσίδα of a partition μεγέθους into antichains. 3. Is this optimal? If P has no chain (or antichain) of size greater than r, i 1

29 Θεώρημα (Sperner, 1928) Εστω A μια αντιαλυσίδα υποσυνόλων του S με S = n. Τότε ( ) n A. n/2

30 Θεώρημα (Sperner, 1928) Εστω A μια αντιαλυσίδα υποσυνόλων του S με S = n. Τότε ( ) n A. n/2 Αποδειξη: Εστω A S. Ο αριθμός των μεταθέσεων των στοιχείων του S που ξεκινάνε με τα A στοιχεία του A είναι A!(n A )!. Μεταθέσεις που ξεκινάνε με δύο διαφορετικά σύνολα από το A είναι διακεκριμένες (γιατί;). Επομένως A!(n A )! n!. A A p k := αριθμός στοιχείων του A μεγέθους k. k!(n k)!p k n! k k Άρα A = k p k = ( ) n n/2 k p k ( n k) 1. p k ( n/2 ) ( ) n n n/2 k p k ( n k) ( n n/2 ).

31 Άσκηση 1. Δώστε το καλύτερο κάτω φράγμα που μπορείτε στο πλήθος των διακεκριμένων αντιαλυσίδων της δομής (2 S, ), όπου S = n. Άσκηση 2. Βρείτε το μέγιστο μέγεθος αλυσίδας της δομής (2 S, ), όπου S = n. Άσκηση 3. Δώστε το καλύτερο κάτω φράγμα που μπορείτε στο πλήθος των διακεκριμένων αλυσίδων της δομής (2 S, ), όπου S = n.

32 that C A 1, i.e., every chain C and every antichain A can have at mos common (for two points in their intersection would be both comparable and inc Here are some frequently encountered examples of posets: a family of sets is by set inclusion; a set of positive integers is partially ordered by division; a set o partially Αποσύνθεση orderedενός by (aδιατεταγμένου 1,...,a n ) < (b 1,...,b σύνολου n )iffp aκαλείται i b i for μια all i, and a i <b i fo διαμέριση Small posets τουmay σε αμοιβαία be visualized ξένες by drawings, αλυσίδες. known as Hasse diagrams: x is than y whenever x<yand there is no other point z P for which both x< example: c(p) := ελάχιστος αριθμός αλυσίδων σε μια αποσύνθεση του P. {a,b,c} 18 Σχέσεις Ισοδυναμίας Μερικές Διατάξεις Θεώρημα του Sperner Θεώρημα του Dilworth Εφαρμογές του Θ. Dilwo {b,c} {a,c} {a,b} 6 9 {a} {b} {c} 2 3 O 1 Τετριμμένα στο παράδειγμα c(p) 8. Τελικά c(p) = Decomposition in chains and antichains A decomposition of a poset is its partition into mutually disjoint chains or

33 r(p) := μέγιστο μέγεθος αντιαλυσίδας στο P. Υπάρχει σχέση ανάμεσα στο c(p) και το r(p); Παρατήρηση Σε κάθε πεπερασμένο διατεταγμένο σύνολο P, r(p) c(p). Δοσμένης μια συλλογής από αλυσίδες, μια αντιαλυσίδα μπορεί να περιέχει μόνο ένα στοιχείο από κάθε αλυσίδα της συλλογής.

34 r(p) := μέγιστο μέγεθος αντιαλυσίδας στο P. Υπάρχει σχέση ανάμεσα στο c(p) και το r(p); Παρατήρηση Σε κάθε πεπερασμένο διατεταγμένο σύνολο P, r(p) c(p). Δοσμένης μια συλλογής από αλυσίδες, μια αντιαλυσίδα μπορεί να περιέχει μόνο ένα στοιχείο από κάθε αλυσίδα της συλλογής. Θεώρημα (Dilworth, 1950) Σε κάθε πεπερασμένο διατεταγμένο σύνολο P, c(p) r(p). Πόρισμα Σε κάθε πεπερασμένο διατεταγμένο σύνολο P, c(p) = r(p).

35 Απόδειξη του Θεωρήματος του Dilworth Με επαγωγή στο P. Εστω a ένα μεγιστικό στοιχείο του P και n = r(p ), όπου P = P {a}. Από Ε.Υ., P ένωση n ξένων αλυσίδων C 1,..., C n. Θα δείξουμε ότι το P είτε περιέχει μια αντιαλυσίδα μεγέθους n + 1 είτε είναι ένωση το πολύ n αλυσίδων. Κάθε αντιαλυσίδα μεγέθους n στο P περιέχει ακριβώς ένα στοιχείο από κάθε C i. Εστω a i το μεγιστικό στοιχείο της C i που ανήκει σε κάποια αντιαλυσίδα μεγέθους n του P. ΛΗΜΜΑ: το A = {a 1,..., a n } είναι αντιαλυσίδα.

36 Απόδειξη του ΛΗΜΜΑΤΟΣ Γνωρίζουμε ότι μία αντιαλυσίδα δεν μπορεί να περιέχει πάνω από ένα στοιχείο από την ίδια αλυσίδα. Επομένως μία αντιαλυσίδα μεγέθους n στο P πρέπει να περιέχει ακριβώς ένα στοιχείο από κάθε αλυσίδα C i, i = 1,..., n. Εστω ότι το Λήμμα δεν ισχύει και υπάρχουν a i, a j, i j, τέτοια ώστε a i < a j. Εξ ορισμού το a j ανήκει σε κάποια αντιαλυσίδα X μεγέθους n και η X πρέπει να περιέχει ακριβώς ένα στοιχείο a i από τη C i. Τότε πρέπει a i < a i, άτοπο γιατί έχουμε ορίσει το a i ως το μεγιστικό στοιχείο της C i που ανήκει σε αντιαλυσίδα μεγέθους n.

37 Απόδειξη του Θεωρήματος του Dilworth Με επαγωγή στο P. Εστω a ένα μεγιστικό στοιχείο του P και n = r(p ), όπου P = P {a}. Από Ε.Υ., P ένωση n ξένων αλυσίδων C 1,..., C n. Θα δείξουμε ότι το P είτε περιέχει μια αντιαλυσίδα μεγέθους n + 1 είτε είναι ένωση το πολύ n αλυσίδων. Κάθε αντιαλυσίδα μεγέθους n στο P περιέχει ακριβώς ένα στοιχείο από κάθε C i. Εστω a i το μεγιστικό στοιχείο της C i που ανήκει σε κάποια αντιαλυσίδα μεγέθους n του P. ΛΗΜΜΑ: το A = {a 1,..., a n } είναι αντιαλυσίδα. Αν A {a} αντιαλυσίδα στο P, τελειώσαμε.

38 Απόδειξη του Θεωρήματος του Dilworth Με επαγωγή στο P. Εστω a ένα μεγιστικό στοιχείο του P και n = r(p ), όπου P = P {a}. Από Ε.Υ., P ένωση n ξένων αλυσίδων C 1,..., C n. Θα δείξουμε ότι το P είτε περιέχει μια αντιαλυσίδα μεγέθους n + 1 είτε είναι ένωση το πολύ n αλυσίδων. Κάθε αντιαλυσίδα μεγέθους n στο P περιέχει ακριβώς ένα στοιχείο από κάθε C i. Εστω a i το μεγιστικό στοιχείο της C i που ανήκει σε κάποια αντιαλυσίδα μεγέθους n του P. ΛΗΜΜΑ: το A = {a 1,..., a n } είναι αντιαλυσίδα. Αν A {a} αντιαλυσίδα στο P, τελειώσαμε. Ειδάλλως a > a i για κάποιο i. Τότε K = {a} {x C i : x a i } αλυσίδα στο P, και δεν υπάρχουν αντιαλυσίδες n στοιχείων στο P K, (αφού a i το μεγιστικό στοιχείο του C i που συμμετέχει σε τέτοια αντιαλυσίδα), άρα από Ε.Υ. το P K είναι ένωση το πολύ n 1 αλυσίδων. Δηλ. το P είναι ένωση το πολύ n αλυσίδων.

39 Παρατηρήσεις στο Θεώρημα του Dilworth Παρατήρηση Αποδείξαμε το θεώρημα για οποιοδήποτε πεπερασμένο διατεταγμένο σύνολο P, όχι μόνο για τη δομή (2 S, ). Παρατήρηση Γνωστά θεωρήματα, όπως το Θεώρημα του Hall, προκύπτουν ως πορίσματα του Θεωρήματος του Dilworth. Ακολουθούν δύο τέτοια παραδείγματα με θεωρήματα που έχουμε κάνει στο μάθημα.

40 Θεώρημα (Hall και άλλοι, ) Ενα διμερές γράφημα G = (L R, E) περιέχει ταίριασμα του L αν για κάθε υποσύνολο S του L S Γ(S). Αποδειξη: Εστω P = L R. Ορίζουμε σχέση μερικής διάταξης: για x R, y i L, x<y i, αν x Γ({y i }). Το R είναι αντιαλυσίδα του P (εύκολο) με μέγιστο μεγέθος (γιατί;). Από Dilworth, υπάρχει αποσύνθεση C του P σε R ξένες αλυσίδες. Κάθε μία από τις αλυσίδες της C πρέπει να περιέχει ένα στοιχείο του R. Άρα οι L αλυσίδες που καλύπτουν το L είναι της μορφής {x i, y i }, x i Γ({y i }), i = 1,..., m. Οι αντίστοιχες ακμές είναι το ταίριασμα του L.

41 Εχουμε αποδείξει στην τάξη το παρακάτω θεώρημα. Θεώρημα (Erdős-Szekeres, 1935) Εστω A = (a 1,..., a n 2 +1) ακολουθία πραγματικών αριθμών. Η A περιέχει αύξουσα υπακολουθία με n + 1 όρους ή φθίνουσα υπακολουθία με n + 1 όρους. Θα δείξουμε πως το Θεώρημα Erdős-Szekeres είναι επίσης πόρισμα του Θεωρήματος του Dilworth.

42 Θεώρημα (Erdős-Szekeres, 1935) Εστω A = (a 1,..., a n 2 +1) ακολουθία πραγματικών αριθμών. Η A περιέχει αύξουσα υπακολουθία με n + 1 όρους ή φθίνουσα υπακολουθία με n + 1 όρους. Αποδειξη: Ορισε μερική διάταξη στο A : a i a j, αν a i a j και i j. Αν υπάρχει αποσύνθεση του A σε το πολύ n αλυσίδες, μία αλυσίδα περιέχει τουλάχιστον (n 2 + 1)/n = n + 1 στοιχεία. Αν κάθε αποσύνθεση του A απαιτεί τουλάχιστον n + 1 αλυσίδες, υπάρχει αντιαλυσίδα μεγέθους τουλάχιστον n + 1. Οι αλυσίδες αντιστοιχούν σε αύξουσες υπακολουθίες και οι αντιαλυσίδες σε φθίνουσες υπακολουθίες (γιατί;).

43 Ομοίως αποδεικνύεται η παρακάτω γενίκευση. Θεώρημα (Erdős-Szekeres, 1935) Εστω A = (a 1,..., a n ) ακολουθία πραγματικών αριθμών με n rs + 1. Η A περιέχει αύξουσα υπακολουθία με r + 1 όρους ή φθίνουσα υπακολουθία με s + 1 όρους.

44 Αν υπάρχει αποσύνθεση του P σε r αντιαλυσίδες A 1,..., A r, οποιαδήποτε αλυσίδα C θα έχει μέγεθος το πολύ r, αφού η C δεν μπορεί να περιέχει πάνω από ένα στοιχείο από κάθε αντιαλυσίδα. Άρα z(p) a(p). Το «δυϊκό» του Θεωρήματος του Dilworth ισχύει. Θεώρημα (Mirsky, 1971) Το μέγιστο μέγεθος αλυσίδας σε ένα πεπερασμένο μερικώς διατεταγμένο σύνολο P ισούται με το ελάχιστο πλήθος ξένων αντιαλυσίδων σε μια αποσύνθεση του P. Συμβολίζουμε με z(p) το μέγιστο μέγεθος αλυσίδας και a(p) το ελάχιστο πλήθος ξένων αντιαλυσίδων σε μια αποσύνθεση. Θα δείξουμε ότι 1 z(p) a(p). 2 a(p) z(p).

45 Θεώρημα Αν η μεγαλύτερη αλυσίδα C στο P έχει μέγεθος r, υπάρχει αποσύνθεση του P που αποτελείται από το πολύ r αντιαλυσίδες. Δηλ. a(p) z(p). Αποδειξη: Για r = 1 ισχύει.υπέθεσε ότι το θεώρημα ισχύει για r 1 1, θα δείξουμε για r 2. Ορισε M το σύνολο των μεγιστικών στοιχείων στο P. Το M είναι αντιαλυσίδα. Αν το P M περιέχει αλυσίδα x 1 < x 2 <... < x r αυτή ως μέγιστη στο P θα ήταν και μεγιστική στο P, επομένως x r M, άτοπο. Άρα η μέγιστη αλυσίδα στο P M έχει το πολύ r 1 στοιχεία. Από την επαγωγική υπόθεση το P M είναι ένωση το πολύ r 1 ξένων αντιαλυσίδων. Αυτές μαζί με την M δίνουν την επιθυμητή αποσύνθεση του P σε το πολύ r αντιαλυσίδες.