Μαθηματικά Πληροφορικής Συνδυαστικά Θεωρήματα σε Πεπερασμένα Σύνολα

Transcript

1 Μαθηματικά Πληροφορικής Συνδυαστικά Θεωρήματα σε Πεπερασμένα Σύνολα Μια διμελής σχέση πάνω σε ένα σύνολο X καλείται μερική διάταξη αν η είναι ανακλαστική, αντισυμμετρική και μεταβατική, δηλαδή: a X, a a. a, b X, a b και b a, συνεπάγεται ότι a = b. a, b, c X, a b και b c, συνεπάγεται ότι a c. Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Παράδειγμα: έστω X = N και =. Εστω πεπερασμένο σύνολο S με S =. Η δομή S, ) ορίζει Εστω X, ) ένα μερικά διατεταγμένο σύνολο. Δυο στοιχεία x, y X καλούνται συγκρίσιμα αν x y, ή y x. Θα εξετάσουμε κάποιες ιδιότητες αυτής της δομής. Κυρίως ερωτήματα της μορφής: πόσα υποσύνολα του S έχουν μια δεδομένη ιδιότητα. Σύνολο X X καλείται αλυσίδα αν οποιαδήποτε δύο από τα στοιχεία του X είναι συγκρίσιμα. Σύνολο X X καλείται αντιαλυσίδα αν κανένα ζευγάρι στοιχείων του X δεν είναι συγκρίσιμα.

2 Εστω πεπερασμένο σύνολο S με S =. Η δομή S, ) ορίζει Εστω A μια συλλογή διακεκριμένων υποσυνόλων του S τ. ω. A i A j, για κάθε A i, A j A. Τότε A. Εστω πεπερασμένο σύνολο S με S =. Η δομή S, ) ορίζει Εστω A μια συλλογή διακεκριμένων υποσυνόλων του S τ. ω. A i A j, για κάθε A i, A j A. Τότε A. Αποδειξη: Αν A A, για Ā = S A, Ā A, αφού A Ā =. Επομένως A. its elemets which is trasitive ad atysymmetric: if x<yad y<zthe x<z, but x<y y<xcaot both hold. We write x y if x<yor x = y. Elemets x ad y are comparabl either x y or y x or both) hold. A chai i a poset P is a subset C P such that ay two of its poits are compara Dually, a atichai is a subset A P such that o two of its poits are comparable. bse that C A, i.e., every chai C ad every atichai A ca have at most oe elemet commo for two poits i their itersectio would be both comparable ad icomparable). Here are some frequetly ecoutered examples of posets: a family of sets is partially orde by set iclusio; a set of positive itegers is partially ordered by divisio; a set of vectors i R partially ordered by a,...,a ) < b,...,b )iff a i b i for all i, ad a i <b i for at least oe Small posets may be visualized by drawigs, kow as Hasse diagrams: x is lower i the pl tha y wheever x<yad there is o other poit z P for which both x<zad z<y. 8 Εστω πεπερασμένο σύνολο S με S =. Η δομή S, ) ορίζει Εστω A μια συλλογή διακεκριμένων υποσυνόλων του S τ. ω. A i A j, για κάθε A i, A j A. Τότε A. CHAPTER 8 Partial ordered sets provide a commo frame for may combiatorial cofiguratios a partially ordered set or poset, for short) is a set P together with a biary relatio its elemets which is trasitive ad atysymmetric: if x<yad y<zthe x<z, but y<xcaot both hold.. We Decompositio write x y if i x<yor chais ad x = atichais y. Elemets x ad y are co either x y or y x or both) hold. AAchai decompositio i a poset of apposet is aissubset its partitio C ito P such mutually thatdisjoit ay two chais of its or atichais. poits aregi c a poset P, our goal is to decompose it ito as few chais or atichais) as possible. e direct Dually, a atichai is a subset A P such that o two of its poits are comparabl is easy: if a poset P has chai atichai) of size r the it caot be partitioed ito fewer t Εστω that C r atichais πεπερασμένο A, i.e., chais). σύνολο every The reaso Schai με here S C is= ad simple:. every Η δομή atichai ay two S poits, ) Aορίζει ca have at most oe of the same chai must lie μια commo differet σχέση for members μερικής two poits ofδιάταξης a partitio i their πάνω ito itersectio atichais. στα υποσύνολα would be του both S. comparable ad icompar Here Is this areoptimal? some frequetly If P has ecoutered o chai or atichai) examples of size posets: greater a family tha r, ofissets it the is partia poss byto set partitio iclusio; P ito a set r atichais of positiveor itegers chais, is respectively)? partially ordered e directio by divisio; is straightforward a set of vecto Θυμίζουμε partially Exercise ordered?? πως for a αντιαλυσίδα by alterative a,...,aproof): καλείται ) < b,...,b ένα σύνολο )iff a i A b i υποσυνόλων for all i, ad a i <b i for at le του SSmall Theorem τα οποία posets 8.. είναι may be Suppose μηvisualized συγκρίσιμα by drawigs, that the largest ως προς kow chai τη i σχέση as Hasse the poset μερικής diagrams: x is lower i P has size r. TheP ca διάταξης tha y wheever partitioed ito. Δηλαδή, x<yad r atichais. αν Athere i, A j is A, o Aother i Apoit j. z P for which both x<zad Proof. Let A i be the set of poits x P such that the logest chai, whose 8 greatest elem is x, has i poits icludig x). The, by the hypothesis, A i = for i r +, ad he P = A A A r is a partitio of P ito r mutually disjoit subsets some of them m be also empty). Moreover, each A i is a atichai, sice if x, y A i ad x<y, the the log Chais ad Atichais 77 Το άνω φράγμα δεν μπορεί να βελτιωθεί. Τα υποσύνολα του {,..., } που περιέχουν το έχουν πλήθος.. Decompositio i chais ad atichais

3 Εστω πεπερασμένο σύνολο S με S =. Η δομή S, ) ορίζει Εστω πεπερασμένο σύνολο S με S =. Η δομή S, ) ορίζει CHAPTER 8 μια σχέση μερικής διάταξης πάνω στα CHAPTER υποσύνολα 8 του S. Θυμίζουμε πως αντιαλυσίδα καλείται ένα σύνολο A υποσυνόλων του S τα οποία είναι μη συγκρίσιμα Chais ως ad προς Atichais τη σχέση μερικής Θυμίζουμε πως αντιαλυσίδα Chais καλείταιad ένα σύνολο Atichais A υποσυνόλων διάταξης. Δηλαδή, αν A i, A j A, A i A j. του S τα οποία είναι μη συγκρίσιμια ως προς τη σχέση μερικής διάταξης. Δηλαδή, αν A i, A j A, A i A j. Partial ordered sets provide a commo frame for may combiatorial cofiguratios. Partial Formally, ordered sets provide a commo frame for may combiatorial cofiguratios. Fo a partially ordered set or poset, for short) is a set P together with a biary relatio a partially < betwee ordered set or poset, for short) is a set P together with a biary relatio < b its elemets which is trasitive ad atysymmetric: if x<yad y<zthe x<z, but itsπόσο elemets x<yad μεγάλη whichμπορεί is trasitive να είναι adμια atysymmetric: αντιαλυσίδα; if x<yad Η οικογένεια y<zthe x<z, but x< y<xcaot both hold. We write x y if x<yor x = y. Elemets x ad y arey<xcaot comparable όλων τωνifυποσυνόλων both hold. We τουwrite S μεx τον yίδιο if x<yor πληθικόx αριθμό = y. Elemets k, x ad y are compa either x y or y x or both) hold. either k = x0,,...,, είναι αντιαλυσίδα. Κάθε τέτοια αντιαλυσίδα A chai i a poset P is a subset C P such that ay two of its poits are comparable. έχει y or y x or both) hold. A chai k) στοιχεία. i a poset P is a subset C P such that ay two of its poits are comp Dually, a atichai is a subset A P such that o two of its poits are comparable. Dually, bserve a atichai is a subset A P such that o two of its poits are comparable. that C A, i.e., every chai C ad every atichai A ca have at most oe that elemet C A i, i.e., every Γνωρίζουμε πως max ) chai k k = C ad every atichai A ca have at most oe elem commo for two poits i their itersectio would be both comparable ad icomparable). commo for two poits i their / ). Υπάρχουν αντιαλυσίδες με μέγεθος μεγαλύτερο από itersectio would be both comparable ad icomparabl Here are some frequetly ecoutered examples of posets: a family of sets is partially Here ordered are some frequetly ecoutered / ) ; examples of posets: a family of sets is partially by set iclusio; a set of positive itegers is partially ordered by divisio; a set of vectors by set iclusio; R is a set of positive itegers is partially ordered by divisio; a set of vectors partially ordered by a,...,a ) < b,...,b )iff a i b i for all i, ad a i <b i for atpartially least oeordered i. by a,...,a ) < b,...,b )iff a i b i for all i, ad a i <b i for at least Small posets may be visualized by drawigs, kow as Hasse diagrams: x is lower ismall the plae posets may be visualized by drawigs, kow as Hasse diagrams: x is lower i th tha y wheever x<yad there is o other poit z P for which both x<zad tha z<y. y wheever For x<yad there is o other poit z P for which both x<zad z< 8 8 Παράδειγμα διατεταγμένου συνόλου S όπου S =. Παράδειγμα / ) = διατεταγμένου συνόλου ) S όπου S =. =, άρα. υπάρχει Decompositio αντιαλυσίδα i chais μεγέθους ad atichais. / ) = ) =, άρα. υπάρχει Decompositio αντιαλυσίδα i chais μεγέθους ad atichais. A decompositio of a poset is its partitio ito mutually disjoit chais or atichais. A decompositio Give of a poset is its partitio ito mutually disjoit chais or atichais a poset P, our goal is to decompose it ito as few chais or atichais) as possible. ae poset directio P, our goal is to decompose it ito as few chais or atichais) as possible. e d is easy: if a poset P has a chai atichai) of size r the it caot be partitioed ito is easy: fewerif tha a poset P has a chai {, atichai), } of size r the it caot be partitioed ito few r atichais chais). The reaso here is simple: ay two poits of the same chai r atichais must lie ichais). The reaso here is simple: ay two poits of the same chai mu differet members of a partitio ito atichais. differet είναι μια members αντιαλυσίδα of a partitio μεγέθους ito atichais.. Is this optimal? If P has o chai or atichai) of size greater tha r, is it theis possible this optimal? If P has o chai or atichai) of size greater tha r, is it the to partitio P ito r atichais or chais, respectively)? e directio is straightforward to partitio see P ito r atichais or chais, respectively)? e directio is straightforwa

4 Sperer, 8) Εστω A μια αντιαλυσίδα υποσυνόλων του S με S =. Τότε ) A. / Sperer, 8) Εστω A μια αντιαλυσίδα υποσυνόλων του S με S =. Τότε ) A. / CHAPTER 8 Chais ad Atichais Αποδειξη: Εστω A S. Ο αριθμός των μεταθέσεων των στοιχείων του S που ξεκινάνε με τα A στοιχεία του A είναι A! A )!. Μεταθέσεις που ξεκινάνε με δύο διαφορετικά σύνολα από το A είναι διακεκριμένες γιατί;). Επομένως A! A )!!. Partial ordered sets provide a commo frame for may combiatorial cofiguratios. Formally, A A a partially ordered set or poset, for short) is a set P together with a biary relatio p< k betwee := αριθμός στοιχείων του A μεγέθους k. its elemets which is trasitive ad atysymmetric: if x<yad y<zthe x<z, but x<yad k! k)!p k! p y<xcaot both hold. We write x y if x<yor x = y. Elemets x ad y are comparable if k. either x y or y x or both) hold. k k k) A chai i a poset P is a subset C P such that ay two of its poits are comparable. Άρα A = k p k = ) p k / k / ) ) p k / k k) Dually, a atichai is a subset A P such that o two of its poits are comparable. bserve / ). that C A, i.e., every chai C ad every atichai A ca have at most oe elemet i commo for two poits i their itersectio would be both comparable ad icomparable). Here are some frequetly ecoutered examples of posets: a family of sets is partially rp) ordered := μέγιστο μέγεθος αντιαλυσίδας στο P. by set iclusio; a set of positive itegers is partially ordered by divisio; a set of vectors i R is Υπάρχει σχέση ανάμεσα στο cp) και το rp); partially Αποσύνθεση orderedενός by aδιατεταγμένου,...,a ) < b,...,b σύνολου )iffpa i καλείται b i for all μιαi, ad a i <b i for at least oe i. διαμέριση Small posets τουmay σε αμοιβαία be visualized ξένες by drawigs, αλυσίδες. kow as Hasse diagrams: x is lower i the plae tha y wheever x<yad there is o other poit z P for which both x<zad Παρατήρηση z<y. For cp) := ελάχιστος αριθμός αλυσίδων σε μια αποσύνθεση του P. 8 Σε κάθε διατεταγμένο σύνολο P, rp) cp). Δοσμένης μια συλλογής από αλυσίδες, μια αντιαλυσίδα μπορεί να περιέχει μόνο ένα στοιχείο από κάθε αλυσίδα της συλλογής. Τετριμμένα στο παράδειγμα cp) 8. Τελικά cp) =.. Decompositio i chais ad atichais A decompositio of a poset is its partitio ito mutually disjoit chais or atichais. Give a poset P, our goal is to decompose it ito as few chais or atichais) as possible. e directio

5 rp) := μέγιστο μέγεθος αντιαλυσίδας στο P. Υπάρχει σχέση ανάμεσα στο cp) και το rp); Παρατήρηση Σε κάθε διατεταγμένο σύνολο P, rp) cp). Δοσμένης μια συλλογής από αλυσίδες, μια αντιαλυσίδα μπορεί να περιέχει μόνο ένα στοιχείο από κάθε αλυσίδα της συλλογής. Dilworth, 50) Σε κάθε διατεταγμένο σύνολο P, cp) rp). Πόρισμα Σε κάθε διατεταγμένο σύνολο P, cp) = rp). Παρατηρήσεις στο του Dilworth Παρατήρηση Αποδείξαμε το θεώρημα για οποιοδήποτε διατεταγμένο σύνολο P, όχι μόνο για τη δομή S, ). Απόδειξη του Θεωρήματος του Dilworth Με επαγωγή στο P. Εστω a ένα μεγιστικό στοιχείο του P και = rp ), όπου P = P. Από Ε.Υ., P ένωση ξένων αλυσίδων C,..., C. Θα δείξουμε ότι το P είτε περιέχει μια αντιαλυσίδα μεγέθους + είτε είναι ένωση το πολύ αλυσίδων. Κάθε αντιαλυσίδα μεγέθους στο P περιέχει ακριβώς ένα στοιχείο από κάθε C i. Εστω a i το μεγιστικό στοιχείο της C i που ανήκει σε κάποια αντιαλυσίδα μεγέθους του P. Εύκολα, το A = {a,..., a } είναι αντιαλυσίδα. Αν A αντιαλυσίδα στο P τελειώσαμε. Ειδάλλως a > a i για κάποιο i. Τότε K = {x C i : x a i } αλυσίδα στο P, και δεν υπάρχουν αντιαλυσίδες στοιχείων στο P K, αφού a i το μεγιστικό στοιχείο του C i που συμμετέχει σε τέτοια αντιαλυσίδα), άρα από Ε.Υ. το P K είναι ένωση το πολύ αλυσίδων. Hall και άλλοι, 7-5) Ενα διμερές γράφημα G = L R, E) περιέχει ταίριασμα του L αν για κάθε υποσύνολο S του L S ΓS). Αποδειξη: Εστω P = L R. Ορίζουμε σχέση μερικής διάταξης: για x R, y i L, x<y i, αν x Γ{y i }). Παρατήρηση Γνωστά θεωρήματα, όπως το του Hall, προκύπτουν ως πορίσματα του Θεωρήματος του Dilworth. Ακολουθούν δύο τέτοια παραδείγματα με θεωρήματα που έχουμε κάνει στο μάθημα. Το R είναι αντιαλυσίδα του P εύκολο) με μέγιστο μεγέθος γιατί;). Από Dilworth, υπάρχει αποσύνθεση του C του P σε R ξένες αλυσίδες. Κάθε μία από τις αλυσίδες του C πρέπει να περιέχει ένα στοιχείο του R. Άρα οι L αλυσίδες που καλύπτουν το L είναι της μορφής {x i, y i }, x i Γ{y i }), i =,..., m. Οι αντίστοιχες ακμές είναι το ταίριασμα του L.

6 Εχουμε αποδείξει στην τάξη το παρακάτω θεώρημα. Erdős-Szekeres, 5) Εστω A = a,..., a +) ακολουθία πραγματικών αριθμών. Η A περιέχει αύξουσα υπακολουθία με + όρους ή φθίνουσα υπακολουθία με + όρους. Θα δείξουμε πως το Erdős-Szekeres είναι επίσης πόρισμα του Θεωρήματος του Dilworth. Erdős-Szekeres, 5) Εστω A = a,..., a +) ακολουθία πραγματικών αριθμών. Η A περιέχει αύξουσα υπακολουθία με + όρους ή φθίνουσα υπακολουθία με + όρους. Αποδειξη: Ορισε μερική διάταξη στο A : a i a j, αν a i a j και i j. Αν υπάρχει αποσύνθεση του A σε το πολύ αλυσίδες, μία αλυσίδα περιέχει τουλάχιστον + )/ = + στοιχεία. Αν κάθε αποσύνθεση του A απαιτεί τουλάχιστον + αλυσίδες, υπάρχει αντιαλυσίδα μεγέθους τουλάχιστον +. Οι αλυσίδες αντιστοιχούν σε αύξουσες υπακολουθίες και οι αντιαλυσίδες σε φθίνουσες υπακολουθίες γιατί;). Το «δυϊκό» του Θεωρήματος του Dilworth ισχύει. Ομοίως αποδεικνύεται η παρακάτω γενίκευση. Mirsky, 7) Το μέγιστο μέγεθος αλυσίδας σε ένα πεπερασμένο μερικώς διατεταγμένο σύνολο P ισούται με το ελάχιστο πλήθος ξένων αντιαλυσίδων σε μια αποσύνθεση του P. Erdős-Szekeres, 5) Εστω A = a,..., a ) ακολουθία πραγματικών αριθμών με rs +. Η A περιέχει αύξουσα υπακολουθία με r + όρους ή φθίνουσα υπακολουθία με s + όρους. Αν υπάρχει αποσύνθεση του P σε r αντιαλυσίδες A,..., A r, οποιαδήποτε αλυσίδα C θα έχει μέγεθος το πολύ r, αφού η C δεν μπορεί να περιέχει πάνω από ένα στοιχείο από κάθε αντιαλυσίδα. Η άλλη κατεύθυνση του θεωρήματος είναι ξανά η πιο ενδιαφέρουσα.

7 Αν η μεγαλύτερη αλυσίδα στο P έχει μέγεθος r, υπάρχει αποσύνθεση του P που αποτελείται από r αντιαλυσίδες. Αποδειξη: Εστω A το σύνολο των μεγιστικών στοιχείων του P. Διέγραψε τα στοιχεία αυτά από το P. Εστω A το σύνολο των μεγιστικών στοιχείων του P A, A το σύνολο των μεγιστικών στοιχείων του P A A, κοκ. Επανέλαβε τη διαδικασία μέχρι να διαγραφούν όλα τα στοιχεία. Ο αριθμός των επαναλήψεων είναι r : σε κάθε επανάληψη, κάθε αλυσίδα χάνει ακριβώς ένα στοιχείο. Τα σύνολα A, A,..., A r που προκύπτουν είναι αντιαλυσίδες και δίνουν την επιθυμητή αποσύνθεση του P.