Ισοδυναµίες, Μερικές ιατάξεις

Transcript

1 Ισοδυναµίες, Μερικές ιατάξεις Ορέστης Τελέλης Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Σχέσεις 1 / 18

2 Σύνοψη Προηγούµενου Σχέσεις, Ιδιότητες, Αναπαράσταση Ανακλαστικές (a, a) R Συµµετρικές (a, b) R = (b, a) R Αντισυµµετρικές (a, b) R (b, a) R = a = b Μεταβατικές (a, b) R (b, c) R = (a, c) R Αναπαράσταση µε Πίνακες 0 1 Συνολοθεωρητικές Πράξεις (και µε Πίνακες). Σύνθεση Σχέσεων (και µε Πίνακες). υνάµεις Σχέσεων και Μεταβατικότητα. Κλειστότητες Σχέσεων (ανακλαστική, συµµετρική, µεταβατική) Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Σχέσεις 2 / 18

3 Σχέσεις Ισοδυναµίας η R είναι σχέση ισοδυναµίας αν: η R είναι ανακλαστική η R είναι συµµετρική η R είναι µεταβατική a b c d a b c d Ανακλαστική, Μεταβατική, Μη Συµµετρική a b c d a b c d Ανακλαστική, Συµµετρική, Μη Μεταβατική Συχνά γράφουµε a b για να δηλώσουµε ισοδυναµία του a µε το b. Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Σχέσεις 3 / 18

4 Σχέσεις Ισοδυναµίας Σχέση Ισοδυναµίας: a b c d e f a 1 1 b 1 1 c 1 d e f Π.χ., η (διµελής) σχέση R, συµβολοσειρών που έχουν ίδια τα τρία τελευταία σύµβολα, είναι σχέση ισοδυναµίας. Σε µια σχέση ισοδυναµίας δύο στοιχεία ενός συνόλου «σχετίζονται» αν µοιράζονται κάποια κοινές ιδιότητες ή ικανοποιούν κοινές προϋποθέσεις. Τότε τα στοιχεία του συνόλου που συνδέονται µέσω της σχέσης είναι ισοδύναµα ως προς τις κοινές τους ιδιότητες. Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Σχέσεις 4 / 18

5 Παραδείγµατα Ποιές από τις παρακάτω είναι σχέσεις ισοδυναµίας; R = { (a, b) : a = b ή a = b }, επί του Z. - είναι R = { (a, b) : a b Z }, επί του R. - είναι R = { (a, b) : a = b }, επί συµβολοσειρών ελληνικών γραµµάτων - είναι R = { (a, b) : ο a διαιρεί τον b } επί του Z +. R = { (a, b) : a b < 1 } επί του R. - δεν είναι - δεν είναι Είναι ανακλαστική, συµµετρική, αλλά όχι µεταβατική. Π.χ., x = 2.8, y = 1.9, z = 1.1: xry, yrz, αλλά (x, z) R. Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Σχέσεις 5 / 18

6 Κλάσεις Ισοδυναµίας Θεωρούµε σχέση ισοδυναµίας R επί συνόλου A Η κλάση ισοδυναµίας του στοιχείου a A είναι: [a] R = { s A : (a, s) R } Θεώρηµα: Εστω R σχέση ισοδυναµίας επί συνόλου A. Για κάθε a, b A: a R b [a] R = [b] R [a] [b] Παράδειγµα: Για την R = { (a, b) : a = b ή a = b }, επί του Z, ποιά είναι η κλάση ισοδυναµίας ενός ακεραίου; [0] = { 0 } και για κάθε a 0: [a] = { a, a } Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Σχέσεις 6 / 18

7 Σχέσεις Μερικής ιάταξης Ορισµός: ιµελής σχέση R επί συνόλου A είναι σχέση µερικής διάταξης αν: Η R είναι ανακλαστική και η R είναι αντισυµµετρική και η R είναι µεταβατική. Συµβολίζουµε µε (A, R) ένα µερικώς διατεταγµένο σύνολο (που είναι «εφοδιασµένο» µε µια µερική διάταξη R επί του A). Ποιές από τις παρακάτω σχέσεις είναι µερικές διατάξεις; Η σχέση επί του συνόλου Z. Η σχέση «ο a διαιρεί τον b» επί του Z +. Η σχέση επί του P(S), για οποιοδήποτε σύνολο S. - είναι - είναι - είναι Η R επί συνόλου προσώπων: R = {(x, y) : ο x είναι πιο ηλικιωµένος από τον y} - δεν είναι Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Σχέσεις 7 / 18

8 Παρατηρήσεις Σε σχέση µ.δ. δύο στοιχεία σχετίζονται αν το ένα είναι «κατώτερο» του άλλου, σύµφωνα µε ορισµένα κριτήρια. Μπορεί δύο στοιχεία στο σύνολο να µη σχετίζονται στη σχέση µ.δ. Για το λόγο αυτό η διάταξη λέγεται µερική. Το σύνολο A µαζί µε τη σχέση µερικής διάταξης R επί του A λέγεται µερικώς διατεταγµένο σύνολο και συµβολίζεται µε (A, R). Συχνά συµβολίζουµε µια σχέση µερικής διάταξης µε : a «µικρότερο ίσο» από το b: a b a «µικρότερο» από το b: a b και a b b «µεγαλύτερο ίσο» από το b: a b Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Σχέσεις 8 / 18

9 Αλυσίδες και Αντιαλυσίδες Αλυσίδα: υποσύνολο µ.δ. (A, ), κάθε 2 στοιχεία του οποίου σχετίζονται στην. Λέγεται και ολικώς διατεταγµένο. Κάθε αλυσίδα { a 1, a 2,..., a k } µε πεπερασµένο πλήθος k στοιχείων: έχει στοιχείο a i1 που είναι µικρότερο από τα υπόλοιπα, έχει στοιχείο a i2 που είναι µικρότερο από τα υπόλοιπα, εκτός του a i1, κ.ο.κ. Αντιαλυσίδα: υποσύνολο µ.δ. (A, ), κάθε 2 στοιχεία του οποίου δε σχετίζονται στη a b c d e a b c d e c b e a d Αλυσίδες: {a, b, c, e}, {a}, {a, b, c}, {a, d, e} Αντιαλυσίδες: {b, d}, {c, d}, {a} Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Σχέσεις 9 / 18

10 ιαγράµµατα Hasse Μέθοδος δηµιουργίας διαγράµµατος Hasse: 1. Απεικονίζουµε γραφικά, µε προσανατολισµό ακµών προς τα πάνω. 2. Αφαιρούµε ακµές που αντιστοιχούν σε a R a για κάθε a A. 3. Επαναλαµβάνουµε, όσο είναι εφικτό: 3.1 Σηµαδεύουµε κάθε ακµή που αναπαριστά x y, αν υπάρχει z S ώστε: x z και z y 4. Αφαιρούµε τις σηµαδεµένες ακµές. 5. Αφαιρούµε τις κεφαλές (κατευθύνσεις) των εναποµείναντων ϐελών. Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Σχέσεις 10 / 18

11 ιαγράµµατα Hasse: Παράδειγµα Το διάγραµµα Hasse του µερικώς διατεταγµένου ( {1, 2, 3, 4}, ): Βήµα 1. Βήµα 2. Βήµα 3-4. Βήµα 5. Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Σχέσεις 11 / 18

12 Παράδειγµα Το διάγραµµα Hasse της µερικής διάταξης επί του {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12}: {(a, b) : ο a διαιρεί τον b} Αρχικό πλήρες διάγραµµα 1 ιάγραµµα Hasse Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Σχέσεις 12 / 18

13 Παράδειγµα Το διάγραµµα Hasse του µερικώς διατεταγµένου (P({a, b, c}), ). {a, b, c} {a, b, c} {a, b} {a, c} {b, c} {a, b} {a, c} {b, c} {a} {c} {b} {a} {c} {b} ιάγραµµα Hasse Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Σχέσεις 13 / 18

14 Μέγιστα και Ελάχιστα Στοιχεία Σε µερικώς διατεταγµένο σύνολο (A, ): Το a A είναι µεγιστικό (maximal) στοιχείο αν δεν υπάρχει b A µε a b. ισοδύναµα, αν a b για κάποιο b A, τότε b = a Το a A είναι ελαχιστικό (minimal) στοιχείο αν δεν υπάρχει b A µε b a. ισοδύναµα, αν b a για κάποιο b A, τότε b = a. Το a A είναι µέγιστο (maximum) στοιχείο αν a b για κάθε b A. το µέγιστο είναι µοναδικό, αν υπάρχει. Το a A είναι ελάχιστο (minimum) στοιχείο αν a b για κάθε b A. το ελάχιστο είναι µοναδικό, αν υπάρχει. Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Σχέσεις 14 / 18

15 Παραδείγµατα Ποια στοιχεία του µερικώς διατεταγµένου συνόλου ({2, 4, 5, 10, 12, 20, 25}, ) είναι µεγιστικά και ποιά ελαχιστικά; Μεγιστικά: 12, 20, Ελαχιστικά: 2, Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Σχέσεις 15 / 18

16 Παραδείγµατα Ποιά από τα παρακάτω µερικώς διατεταγµένα σύνολα έχουν µέγιστο/ελάχιστο στοιχείο; b c d d e e c a a b d d c b c a b a Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Σχέσεις 16 / 18

17 Ανω και Κάτω Φράγµατα Σε µερικώς διατεταγµένο σύνολο (A, ): Το a A είναι άνω φράγµα των στοιχείων του S A, αν b a για κάθε b S. είναι ελάχιστο άνω φράγµα των στοιχείων του S A, αν δεν υπάρχει άνω ϕράγµα d A \ {a} των στοιχείων του S µε d a. Το a A είναι κάτω φράγµα των στοιχείων του S A, αν a b για κάθε b S. είναι µέγιστο κάτω φράγµα των στοιχείων του S A αν δεν υπάρχει κάτω ϕράγµα d A \ {a} των στοιχείων του S A µε a d. Παρατήρηση: Τα άνω και κάτω ϕράγµατα δεν ανήκουν απαραίτητα στο S A. Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Σχέσεις 17 / 18

18 Παραδείγµατα 1. Στο απεικονιζόµενο µερικώς διατεταγµένο σύνολο: Ποιά τα άνω και κάτω ϕράγµατα των υποσυνόλων: { a, b, c } ; άνω: e, f, h, j, κάτω: a { j, h } ; άνω δεν έχουν, κάτω: a, b, c, d, e, f g h j f { a, b, c, d } ; άνω: f, h, j, κάτω: a d e Ποιό το µέγιστο κάτω και ελάχιστο άνω ϕράγµα του υποσυνόλου { b, d, g }; b c µέγιστο κάτω: b, ελάχιστο άνω: g a 2. Να ϐρεθούν το µέγιστο κάτω και ελάχιστο άνω ϕράγµα στο ( Z +, ), των συνόλων: (όπου a b είναι η σχέση «ο a διαιρεί τον b» ) { 3, 9, 12 } και { 1, 2, 4, 5, 10 } Μέγιστοι Κοινοί ιαιρέτες και Ελάχιστα Κοινά Πολλαπλάσια αντίστοιχα. Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Σχέσεις 18 / 18