Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης- Τμήμα Φυσικής Μελέτη της r-mode αστάθειας σε quark stars

Transcript

1 Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης- Τμήμα Φυσικής Μελέτη της r-mode αστάθειας σε quark stars Ονοματεπώνυμο: Πετρόπουλος Νίκος Α.Ε.Μ.: 3365 Επιβλέπων καθηγητής: Χ. Μουστακίδης

2 2

3 3 Περιεχόμενα ) Εισαγωγή Καταστατική εξίσωση ύλης quark ) Ιδιότητες συμπαγών αστέρων-pulsars Βασικά χαρακτηριστικά Ιδιότητες ύλης αστέρα νετρονίων Δομή συμπαγούς αστέρα Αστέρες quark Υβριδικοί αστέρες (Hybrid Stars) Αυτοδέσμιοι παράξενοι αστέρες (SBSS) Γοητευτικοί αστέρες (Charm Stars). 5 3) Περιστροφικοί τρόποι ταλάντωσης (r-mode oscillations) R-modes σε αστέρες γενικά R-modes σε αστέρες νετρονίων R-modes σε παράξενους αστέρες quark Αναλυτικές λύσεις των εξισώσεων TOV Λύσεις για αστέρες νετρονίων Λύσεις για παράξενους αστέρες, υπολογισμοί χρόνων /τ ) Παράθυρα r-mode αστάθειας Παράθυρα για αστέρες νετρονίων Παράθυρα για παράξενους αστέρες ) Παρατηρήσεις Συμπεράσματα Βιβλιογραφία- Αναφορές... 4

4 4 Περίληψη Σε αυτήν την εργασία μελετάμε την απώλεια στροφορμής ενός αστέρα quark, μέσω της εκπομπής βαρυτικών κυμάτων. Γενικά βασιζόμαστε στη λεγόμενη υπόθεση του Witten για την ανεξάρτητη ύπαρξη εξωτικής παράξενης ύλης, ως της πιο σταθερής μορφής της ύλης στη Φύση. Αρχικά, κάνουμε μία διαισθητική εισαγωγή ώστε να δούμε τη φύση της ύλης που υπάρχει σε αυτούς τους αστέρες. Στη συνέχεια, αναφέρουμε κάποια χαρακτηριστικά των αστέρων νετρονίων ώστε να παρατηρηθούν, ποιοτικά, οι διαφορές απο αστέρες quark. Επιπλέον, κάνουμε μία μαθηματική εισαγωγή στους περιστροφικούς τρόπους (r-modes) ταλάντωσης του αστέρα και τη φύση που τους διέπει. Υπολογίζουμε τους χρόνους κατάσβεσης των ανταγωνιζόμενων παραγόντων, εκπομπής βαρυτικών κυμάτων και σε αντιδιαστολή του εκάστοτε ιξώδους. Κατασκευάζουμε το παράθυρο αστάθειας του αστέρα quark λύνοντας την εξίσωση των χρόνων κατάσβεσης και με γνώμονα την εκάστοτε κατανομή πυκνότητας που λαμβάνουμε υπ όψιν (εμείς εδώ λαμβάνουμε 3 κατανομές), η οποία πηγάζει μέσα από τη λύση της εξίσωσης TOV (Tolman - Volkoff Oppenheimer). Επίσης, υπολογίζουμε κάθε παράθυρο μεταβάλλοντας κάποιους πυρηνικούς παράγοντες (σταθερά σύζευξης, μάζα παράξενου quark), διότι θεωρία με θεωρία ποικίλλει σε αυτές τις παραμέτρους. Τέλος, καταλήγουμε σε συμπεράσματα και παρατηρήσεις τα οποία πηγάζουν από τη σύγκριση των παραθύρων των 2 τύπων συμπαγούς αστέρα.

5 5 Abstract In this paper, we study the angular momentum loss of a quark star, through emission of gravitational radiation. In general, we take into consideration the Witten conjecture for the independent existence of exotic strange matter, as the most stable state of matter in Nature. Firstly, we make an intuitive introduction to the matter that quark stars consist of. Also, we point out some characteristics of neutron stars so we can observe, qualitatively, the differences from quark stars. Furthermore, we make a mathematical introduction to r-mode oscillations of the star and the nature that governs them. We calculate the dissipation time scales of the competing factors, such as gravitational wave emission, in contrast to bulk and shear viscosity. We construct the r-mode instability window of the quark star by solving the equation of dissipation times, focusing on the density distribution profile that we take into consideration (here we calculate for 3 different distributions), which stems from the solution of the TOV equation (Tolman Volkoff Oppenheimer). In addition, we construct different instability windows, for different nuclear parameters (coupling constant α, strange quark mass m s ), because each theory of exotic matter, adopts specific values of these parameters. Finally, we end up in conclusions and remarks, which result from the comparison of the windows of each type of compact star (neutron star versus quark star).

6 6 ) Εισαγωγή Ως γνωστόν, όλοι οι κλασσικοί αστέρες αποτελούν μετασταθή κατάσταση της τελικής μορφής τους η οποία ποικίλλει ανάλογα κυρίως με τη μάζα του αστέρα. Για αστέρες με μάζα 8Μ Μ 20Μ η τελική αυτή κατάσταση είναι ο λεγόμενος αστέρας νετρονίων (neutron star). Οι αστέρες αυτοί μπορούν είτε να υπάρχουν μόνοι τους, είτε ως μέλη διπλού συστήματος ακτίνων Χ (LMXBs). Επίσης ανάλογα με την περιοδικότητα περιστροφής τους κατατάσσονται ως pulsars. Ένα παράδοξο που συνοδεύει τους συμπαγείς αστέρες είναι πως με την αύξηση της μάζας τους, έχουμε μείωση της ακτίνας τους, πράγμα το οποίο αντιβαίνει στην γενική αίσθηση που επικρατεί για τους κλασσικούς αστέρες και γενικότερα στη Μηχανική. Υπάρχουν βέβαια και εικασίες για άλλες τελικές μορφές ημιβαρέων αστέρων όπως είναι ο υβριδικός αστέρας (hybrid star), αστέρας υπερονιων (hyperon star), παράξενος αστέρας (self bound quark star). Ο τελευταίος, είναι και αυτός που θα ασχοληθούμε σε αυτήν την εργασία. Οι κύριες διαφορές μεταξύ αυτών όλων, έγκειται στην διαφορετική κατάσταση ύλης που λαμβάνεται υπ όψιν ότι επικρατεί στον εκάστοτε αστέρα. Έτσι παίρνοντας διαφορετική πυρηνική καταστατική εξίσωση (Equation of State- EOS), παίρνουμε διαφορετικά ζεύγη μακροσκοπικών μεγεθών ακτίνας R, μάζας Μ. Τελειώνοντας, ο αστέρας θεωρούμενος ως περιστρεφόμενη μάζα ρευστού (μερικές φορές με στερεά κρούστα) υπόκειται σε διάφορες δυνάμεις (αδρανειακές και μη) οι οποίες χαρακτηρίζονται από τα λεγόμενα modes (r,g,f,h etc...). Εμείς εδώ μελετάμε τα r-modes (Rossby mode) τα οποία έχουν ως δύναμη επαναφοράς την δύναμη Coriolis, είναι ημι-περιοδικές ταλαντώσεις και είναι ασταθείς ως προς την εκπομπή βαρυτικών κυμάτων. Παρακάτω θα αναφερθούμε στο μαθηματικό φορμαλισμό που διέπει τα r modes, στις βασικές ιδιότητες ενός pulsar και τέλος θα προχωρήσουμε στην υπόθεση των αστέρων quarks. Θα δούμε τι περιορισμοί επιβάλλονται από την υπόθεση ύπαρξης ελεύθερης quark ύλης, στις διάφορες εξισώσεις πυρηνικής ύλης και έτσι στα μακροσκοπικά παρατηρούμενα μεγέθη.

7 7.) Καταστατική εξίσωση ύλης quark Εδώ θα πάρουμε μια μικρή γεύση του περι τίνος πρόκειται η ύλη quark και ποιες ιδιότητες την διέπουν. Κατ αρχάς να αναφέρουμε πως παίρνουμε υπ όψιν το τροποποιημένο MIT bag model, όπου τα άνω (up) και κάτω (down) quarks τα θεωρούμε χωρίς μάζα, ενώ η μάζα του παράξενου (strange) quark αντιμετωπίζεται ως ελεύθερη παράμτερος. Για να πάρουμε μια καλύτερη διαίσθηση της φύσης τους, παραθέτουμε το θερμοδυναμικό δυναμικό Ω του εκάστοτε quark (u,d,s) και ηλεκτρονίων (e - ) ως: Ω u = μ u 4 4π 2 ( 2α S π ) Ω d = μ d 4 4π 2 ( 2α S π ) Ω s = 4π 2 {μ s μ s 2 m s 2 (μ s m s 2 ) m s 4 f(u s, m s ) 2α S π [3 (μ s μ s 2 m s 2 m s 2 f(u s, m s )) 2(μ s 2 m s 2 ) 2 3m s 4 ln 2 m s μ s + 6 ln σ μ s (μ s m s 2 μ s 2 m s 2 m s 4 f(u s, m s ))]} 2 Ω e = μ e 4 2π 2 όπου f(u s, m s ) ln ( μ s + μ s 2 m s 2 m s ) σ: σταθερά επανακανονικοποίησης (renormalization)

8 8 Εδώ παίρνουμε σ = 300 MeV. Γενικά η ύπαρξη σταθερής παράξενης ύλης, βασίζεται στην ιδέα ότι η παρουσία παράξενων s quarks μπορεί να μειώσει την ενέργεια ανά βαρυόνιο απο το μείγμα u, d,s quarks σε β ισορροπία κάτω από του 56 σιδήρου Fe (E/A ~ 930 MeV) (υπόθεση Witten 984). Αυτός ο περιορισμός έχει σαν αποτέλεσμα την γραμμή 3 γεύσεων των σχημάτων,2 παρακάτω. Ο δεύτερος περιορισμό δίνεται από την υπόθεση πως η μη παράξενη quark ύλη (η ύλη quark 2 γεύσεων αποτελείται από up και down quarks) σε έναν όγκο έχει ενέργεια 56 σύνδεσης ανά βαρυόνιο υψηλότερη από τον ατομικό πυρήνα Fe, συν 4 MeV διόρθωση που προέρχεται από επιφανειακά φαινόμενα. Επιβάλλοντας Ε/Α 934 MeV για την μη παράξενη quark ύλη, διασφαλίζουμε πως οι ατομικοί πυρήνες δεν διασπώνται στα quarks που τα απαρτίζουν και δίνει την γραμμή 2 γεύσεων των διαγραμμάτων παρακάτω. Ο τελευταίος περιορισμός είναι πως η μέγιστη μάζα πρέπει να είναι μεγαλύτερη απο τις μάζες των pulsars PSR J (M =.97 ± 0.04 M ) και PSR J (M = 2.0 ± 0.04 M ). Σχήμα : Οι περιορισμοί από την καταστατική εξίσωση παράξενης ύλης.β /4 είναι η σταθερά ασκού (bag constant) του MIT bag model και αs. H πράσινη περιοχή δείχνει τον χώρο

9 9 επιτρεπόμενων παραμέτρων σύμφωνα με τους περιορισμούς της απόλυτα σταθερής παράξενης ύλης ( γραμμή 3-γεύσεων) και την ύπαρξη πυρήνων (γραμμή 2-γεύσεων). Η κόκκινη περιοχή δείχνει το χώρο παραμέτρων που έχει μέγιστη μάζα του PSR J (M =.97 ± 0.04 M ) και PSR J (M = 2.0 ± 0.04 M ). Ακόμη, παρουσιάζονται συνδυασμοί των Β /4 και αs που θα μπορούσαν να οδηγήσουν σε μέγιστη μάζα strange quark Μ = 2. Μ, 2.2 Μ, 2.3 Μ, 2.4 Μ, 2.5 Μ. Τα δύο γραφήματα αντιστοιχούν σε m s = 00 MeV (το συγκεκριμένο) και m s = 200 MeV (το επόμενο). Σχήμα 2: To ίδιο με το προηγούμενο, όμως για m s = 200 MeV. 2) Ιδιότητες συμπαγών αστέρων- pulsars 2.) Βασικά χαρακτηριστικά Οι αστέρες νετρονίων όπως έχει προαναφερθεί αποτελούν την τελική μορφή αστέρων με μάζα 8Μ Μ 20Μ, οι οποίοι έχουν εξαντλήσει κάθε πηγή 56 ενέργειας μέσω θερμοπυρηνικών αντιδράσεων ακόμη και τον σίδηρο Fe. Μετά από μια καταστροφική έκρηξη supernova, αφού εκσφενδονιστεί η περιμετρική ύλη με ταχύτητες των ~0 4 km, στο κέντρο αυτού του δακτυλίου sec

10 0 ταχύτατα κινούμενης ύλης, εμφανίζεται ένας αστέρας νετρονίων με ταχύτητα ~450 km sec για λόγους διατήρησης της ορμής. Ο αστέρας νετρονίων έχει 2 κύρια χαρακτηριστικά κίνησης: Ι) Ο άξονας περιστροφής του, ΙΙ) ο άξονας του μαγνητικού του πεδίου. Στο παρακάτω σχήμα παίρνουμε μια καλύτερη διαίσθηση του φαινομένου. Σχήμα 3: Η μορφή ενός περιοδικού αστέρα νετρονίων (pulsar) που μοιάζει με φάρο. Στο σχήμα διακρίνεται καθαρά πως δεν συμπίπτει απαραίτητα ο άξονας περιστροφής, με τον άξονα εκπομπής ακτινοβολίας. Αυτά τα 2 δεν συμπίπτουν υποχρεωτικά και όταν ο άξονας του μαγνητικού του πεδίου, που είναι και ο κώνος ακτινοβολίας του, ευθυγραμμιστεί με ένα τηλεσκόπιο παρατήρησης, μπορούμε τότε να παρατηρήσουμε την περιοδική εκπομπή της δίπολης ΗΜ ακτινοβολίας του (pulsar). Έχουμε 2 κατηγορίες pulsars:

11 Ι) Κανονικοί pulsars, που χαρακτηρίζονται απο περιόδους περιστροφής P ~ 0. 7 sec, μαγνητικά πεδία B ~ gauss, II) Millisecond (ms) pulsars, που χαρακτηρίζονται απο ταχύτατες περιστροφές με P ~ ms, B ~ gauss. 2.2) Ιδιότητες ύλης σε αστέρα νετρονίων Στους αστέρες γενικά οι δυνάμεις που τους συγκροτούν είναι: Από τη μία η βαρυτική η οποία τείνει να συμπιέσει την ύλη που αποτελεί τον αστέρα προς το κέντρο του, όπου υπάρχει και το πιο βαρύ του στοιχείο (συνήθως σίδηρος) και αντίθετα η αντίρροπη δύναμη της πίεσης της εκφυλισμένης ύλης. Εδώ η εκφυλισμένη ύλη είναι τα νετρόνια (εξ ου και το όνομα αστέρας νετρονίων). Τα νετρόνια όντας φερμιόνια υπακούν στην απαγορευτική αρχή του Pauli, ώστε όσα περισσότερα συσσωρεύονται, τόσο γεμίζει η θάλασσα Fermi και τα νετρόνια εμφανίζονται με όλο και περισσότερη ενέργεια. Η ενέργεια αυτή δημιουργεί μία πίεση ακτινοβολίας, η οποία και αντιτίθεται στη βαρύτητα και έτσι ο αστέρας ούτε συνθλίβεται υπό το δικό του βάρος αλλά ούτε και διαστέλλεται μέχρι αποκόλλησης της ύλης που τον συντελεί. Γενικά, σ έναν συμπαγή αστέρα για να βγάλουμε συμπεράσματα της κατάστασης που επικρατεί στην ύλη, πρέπει να συσχετίσουμε την πίεση με την πυκνότητα ρ ή με την πυκνότητα ενέργειας ε, ή με απλά λόγια, να βγάλουμε την πυρηνική καταστατική εξίσωση. Οι εξισώσεις αυτές λέγονται TOV (Tolman- Oppenheimer- Volkov) και δίνουν λύσεις P(ρ) ή P(ε). Για παράδειγμα σύμφωνα με την Γενική Θεωρία της Σχετικότητας οι διαφορικές εξισώσεις TOV δίνονται από: 4πr 2 dp(r) = ( M(r)dM(r) r 2 ) ( + p(r) ε(r) ) ( + 4πr3 p(r) M(r) dm(r) = 4πε(r)r 2 dr ) ( 2M(r) r )

12 2 2.3) Δομή συμπαγούς αστέρα Σχήμα 4: Δομή αστέρα νετρονίων (NS). Μπορεί κανείς να διακρίνει την αλλαγή φάσης της αδρονικής ύλης, όσο πλησιάζουμε προς το κέντρο του αστέρα. Διαφορετική φάση της ύλης έχει και διαφορετικό (συνήθως) σχήμα και από την κρούστα και μέσα έχουμε ένα υπερρευστό νετρονίων. Η δομή ενός συμπαγούς αστέρα (το όνομα νετρονίων παραλείπεται λόγω περαιτέρω θεώρησης πυκνής ύλης) έχει 5 βασικά χαρακτηριστικά: Ι) Η ατμόσφαιρα: Η ατμόσφαιρα ενός συμπαγούς αστέρα (όχι αστέρα quark), αποτελείται απο μια λεπτή στρώση πλάσματος με πάχος της τάξης των μερικών millimeters για ψυχρούς αστέρες με Τ c ~ K, μέχρι μερικές δεκάδες centimeters για θερμούς αστέρες με Τ h ~ K. Στην ατμόσφαιρα πλάσματος λαμβάνει χώρα και η περισσότερη εκπομπή ΗΜ ακτινοβολίας που παρατηρείται.

13 3 ΙΙ) Εξωτερική κρούστα: Η εξωτερική κρούστα ξεκινάει προφανώς εκεί που αρχίζει η ατμόσφαιρα, μέχρι και μερικές εκατοντάδες meters. Οι πυκνότητες που υπάρχουν εκεί κυμαίνονται έως περίπου ρ = ρ ND ~4 0 g cm3. Το ND σημαίνει Neutron Drip (αποδέσμευση νετρονίων) είναι το σημείο όπου τα πιο χαλαρά συνδεδεμένα νετρόνια στους πυρήνες, αρχίζουν να αποδεσμεύονται προς σχηματισμό ενός αερίου Fermi νετρονίων. ΙΙΙ) Εσωτερική κρούστα: Η εσωτερική κρούστα έχει πάχος σχεδόν km και οι πυκνότητες που υπάχουν: ρ [ρ ND, 0,5ρ 0 ], ε 0 = ρ 0 = 2,8 0 4 g (πυκνότητα κορεσμού) cm3 Η ύλη εδώ αποτελείται απο e, n, Z (πυρήνες πλούσιους σε νετρόνια) και απο υπερρευστό νετρονίων. ΙV) Εξωτερικός πυρήνας: Έχει αρκετά km πάχος και η πυκνότητα ύλης κυμαίνεται από 0.5ρ 0 < ρ < 2ρ 0. Εδώ η ύλη αποτελείται από ελεύθερα p, n, e, μ (εξ ου και το όνομα npeμ ύλη), η οποία βρίσκεται σε ηλεκτρική ουδετερότητα και χαρακτηρίζεται απο την χαμηλή ενεργειακή κατανομή που τη διέπει. Εδώ βρισκόμαστε σε γενικευμένη β-ισορροπία, κατά την οποία δεν μπορούν να λάβουν χώρα ούτε κανονικές αλλά ούτε και αντίστροφες β-διασπάσεις της μορφής: n p + e + ν e. Τα λεπτόνια αποτελόυν ένα ιδανικό αέριο Fermi, ενώ τα νουκλεόνια ένα ισχυρά αλληλεπιδρών υπερρευστό Fermi. V) Εσωτερικός πυρήνας: Βρίσκεται ακόμη βαθύτερα και υπάρχει μόνο στους βαρέους αστέρες. Η πυρηνική πυκνότητα λαμβάνει συντριπτικές τιμές της τάξης 2ρ 0 < ρ < 5ρ 0 και το πάχος του εκτείνεται για μερικά km. Αυτό το μέρος του αστέρα είναι και το πιο αλληγορικό, ώστε έχουν προταθεί διάφορες καταστάσεις πυρηνικής ύλης. Η μία βρίσκεται μέσα σε έναν αστέρα νετρονίων, συνυπάρχοντας με το υπερρευστό νετρονίων που βρίσκεται στον αστέρα, ενώ η άλλη υπάρχει καθαρά από μόνη της, σταθερή και ευνοούμενη ενεργειακά προς το σχηματισμό της. Όπως και να χει μιλάμε για μια καθαρά διαφορετική μορφή της ύλης από την πυρηνική που γνωρίζουμε.

14 4 Στην επόμενη παράγραφο, αναφέρουμε κάποιες πιθανές μορφές της εξωτικής ύλης (strange matter), όπως και άλλες λιγότερο πιθανές και ευνοημένες ενεργειακά (charm matter). 2.4) Αστέρες Quark Σχήμα 5: Διαφορά εσωτερικής δομής μεταξύ ενός αστέρα νετρονίων και ενός αυτοδέσμιου παράξενου αστέρα (SBSS). Όπως παρατηρούμε, στο εσωτερικό του παράξενου αστέρα η ύλη έχει αποδεσμευτεί τελείως σε μορφή ελεύθερων quarks (στοιχειώδης σωματιδιακή μοφή). Οι αστέρες quark, είναι ένα βήμα παραπέρα στην θεώρηση της εκφυλισμένης ύλης που αποτελεί έναν συμπαγή αστέρα και στην πίεση η οποία αντισταθμίζει τη συντριπτική βαρύτητα που τον διέπει. Παρόμοια με τους κλασσικούς αστέρες νετρονίων, η βαρύτητα αντισταθμίζεται απο την εκφυλισμένη ύλη φερμιονίων, μόνο που εδώ τα φερμιόνια δεν είναι τα νετρόνια, αλλά συνδυασμοί τριάδων ελεύθερων ή δεσμίων quarks (up, down, strange). Όπως προαναφέραμε, αυτά μπορεί είτε να

15 5 βρίσκονται σαν μια ενιαία και σταθερή μορφή της εξωτικής ύλης ή μέσα σε προυπάρχοντες αστέρες νετρονίων. Και αυτοί χωρίζονται σε κατηγορίες, ανάλογα με τη φύση της strange ύλης που τους απαρτίζει. 2.4.) Υβριδικοί αστέρες (Hybrid Stars) Σχήμα 6: Γενική περίπτωση υβριδικού αστέρα. Αυτός συγκεκριμενοποιείται ανάλογα με τη μορφή στην οποία βρίσκεται η ύλη στον αστέρα. Παρατηρούμε διάφορες εικασίες για την φάση της ύλης. Οι υβριδικοί αστέρες είναι αστέρες νετρονίων με αρκετά μεγάλη μάζα ώστε να μπορούν να σχηματίσουν πυρήνα ύλης ελεύθερων quark. Έτσι μπορούμε να τους χωρίσουμε σε υποκατηγορίες ανάλογα με τη φύση της ύλης τους.

16 6 i) Υπερόνια: Η υπόθεση αυτή λέει πως οι αστέρες νετρονίων (με αρκετή μάζα) είναι υβριδικοί, με τελική κατάσταση ύλης την υπερονική. Τα υπερόνια που υποτίθενται να την αποτελούν είναι τα Σ ±, Σ 0, Ξ ±,Ξ 0. Τα υπερόνια, όπως και τα βαρυόνια αποτελούνται απο 3 quarks, όμως σε αντίθεση με αυτά που αποτελούνται απο τα ελαφριά (up, down), έχουν και ένα strange quark, το οποίο αυξάνει και τη μάζα τους, εξ ού και το όνομα της ύλης αυτής ως υπερύλης ή παράξενης ύλης. Εάν βέβαια ισχύει η υπόθεση αυτή, όπως και η υπόθεση πως σε υψηλές πυκνότητες και χαμηλές θερμοκρασίες η βασική κατάσταση της ύλης είναι η παράξενη ύλη, τότε οι υβριδικοί αστέρες υπερονίων αποτελούν με τη σειρά τους μετασταθή κατάσταση των τελικών παράξενων αστέρων. ii) Παράξενη quark ύλη: Με την άυξηση της πυκνότητας, η ύλη τελικά σπάει απο αδρονική και μετατρέπεται στα βασικά συστατικά της uds quarks, με κάποιο αριθμό ηλεκτρονίων για την επίτευξη ηλεκτρικής ουδετερότητας. Η κατάσταση αυτή της ύλης θεωρείται η πιο σταθερή ως προς τις ισχυρές πυρηνικές δυνάμεις με: ( E B ) uds < ( E ) B 56 Fe = 930 MeV ) Αυτοδέσμιοι παράξενοι αστέρες (SBSS) Self Bound Strange Stars (SBSS): Η ύπαρξη των σταθερών αυτών συμπαγών αστέρων προϋποθέτει την ισχύ της υπόθεσης του Witten: Η πιο σταθερή μορφή της ύλης είναι η παράξενη ύλη, η οποία είναι ασταθής ως προς τη διάσπαση για σχηματισμό νουκλεονίων σε γήινες συνθήκες πυκνότητας, όμως σε υψηλές πυκνότητες ρ και χαμηλές θερμοκρασίες Τ που επικρατούν σε ένα συμπαγή αστέρα, θεωρητικά η πιο σταθερή είναι η πρώτη. Έτσι σχηματίζονται οι λεγόμενοι SBSSs (Αυτοδέσμιοι Παράξενοι Αστέρες), οι οποίοι είναι αστέρες φτιαγμένοι αποκλειστικά απο παράξενη ύλη, με πλήρη απουσία νουκλεονίων ακόμη και στην επιφάνειά τους. Παρουσιάζουν τεράστιες διαφορές απο αστέρες νετρονίων, κυρίως ως προς την ακτίνα τους, τη μάζα τους και την περίοδο περιστροφής τους. Γενικότερα, οι παράξενοι αστέρες απουσιάζουν από τη συνεχή ιεραρχία που

17 7 υπάρχει για κλασσικούς συμπαγείς αστέρες (π.χ. αστέρας νετρονίων, λευκός νάνος κλπ.) ως προς την μάζα του αρχικού αστέρα. Η κύρια διαφορά τους είναι στη φύση της ύλης και άρα στην κατανομή της πυκνότητας, ή καλύτερα ως προς την χωρική παράγωγο της πυκνότητας. Συγκεκριμένα, ενώ η πυκνότητα του αστέρα νετρονίων στην επιφάνεια (σημείο r = R) μηδενίζεται, στον παράξενο αστέρα υπάρχει γενικά μία πιο ομοιογενής κατανομή ενεργειακής πυκνότητας, μέχρι και την επιφάνεια. Λεπτομέρειες για αυτά στους υπολογισμούς στο επόμενο κεφάλαιο ) Γοητευτικοί αστέρες (Charm star) Έχει προταθεί η ύπαρξη αστέρων κουαρκ που αποτελούνται όχι από παράξενη ύλη (strangelets), αλλά από γοητευτική (charmonium ή μεσόνια D) ύλη, ή ακόμη και πλάσμα από udsc ύλη μέσω της ασθενούς αλληλεπίδρασης u + d c + d. Όμως οι αστέρες αυτοί είναι ασταθείς ως προς τις ακτινικές ταλαντώσεις μεγάλων μηκών κύματος, οι οποίες κατα μήκος της ακτίνας Schwarzschild, μεταφέρουν ύλη με αποτέλεσμα τη βαρυτική κατάρρευση του αστέρα προς το σχηματισμό μελανής οπής. Γενικά οι αστέρες quark έχουν αρκετά διαφορετικές ιδιότητες απο αυτές των αστέρων νετρονίων, τις οποίες θα δούμε στη συνέχεια αναλυτικά και αριθμητικά. Ακόμη, οι αστέρες αυτοί παρουσιάζουν διαφορές ως προς την κατανομή ενεργειακής πυκνότητας ε και πίεσης P, δηλαδή έχουν τροποποιημένες εξισώσεις TOV ως προς τους αστέρες νετρονίων. Έτσι παρουσιάζονται και διαφορές στα μακροσκοπικά παρατηρήσιμα μεγέθη όπως η ακτίνα, η μάζα, η επιφανειακή θερμοκρασία, η σύσταση του αστέρα, περίοδος περιστροφής, κ.α. Επίσης, ανάλογα με την θεώρηση ή μη της ύπαρξης κρούστας, οι εξισώσεις τροποποιούνται περαιτέρω. Εμείς θα μελετήσουμε τους παράξενους αστέρες και θα τους συγκρίνουμε με τους κλασσικούς αστέρες νετρονίων, μέσω της αστάθειάς τους ως προς την εκπομπή βαρυτικών κυμάτων μέσω των r-modes. Δεν

18 8 θα παρατεθούν πολλές λεπτομέρειες για αστέρες νετρονίων, μόνο μια αναφορά στις πυκνότητες και τους χρόνους κατάσβεσής τους με σκοπό την καλύτερη διαισθητική προσέγγιση επί του θέματος. Λεπτομερέστερη μελέτη και ανάλυση των συγκεκριμένων τρόπων ταλάντωσης και κατασβέσεων του αστέρα, στο κεφάλαιο που ακολουθεί παρακάτω. 3) Περιστροφικοί τρόποι ταλάντωσης (r-mode oscillations) Οι αστέρες θεωρούμενοι ως περιστρεφόμενα ρευστά, έχουν κάποιους φυσικούς τρόπους ταλάντωσης, τους οποίους διακρίνουμε με λατινικούς χαρακτήρες (r,f,g,h, etc...) ανάλογα με τη φύση του μηχανισμού που τις διέπει. Εμείς σε αυτήν την εργασία, μελετούμε συγκεκριμένα τα r-modes (Rossby mode), σε αστέρα νετρονίων και σε παράξενους αστέρες αντίστοιχα. 3.) R-modes σε αστέρες γενικά Οι συμπαγείς αστέρες είναι πολύ ενδιαφέροντα, από παρατηρησιακής και ερευνητικής άποψης, αστρικά αντικείμενα. Ένα από τα κύρια προβλήματα σήμερα, με το οποίο πραγματεύεται και αυτή η εργασία, είναι γιατί δεν επιταγχύνουν την περιστροφή που αποκτούν μέσω απορρόφησης μάζας (και στροφορμής), μέχρι το όριο Κepler. Το όριο αυτό,σύμφωνα με τη Γενική Θεωρία της Σχετικότητας, είναι: Ω Κ 0,65 M, G = c = k = R3 Αυτή η γωνιακή ταχύτητα είναι το όριο πάνω από το οποίο η φυγόκεντρος δύναμη (κυρίως κοντά στον Ισημερινό) υπερνικάει τη βαρυτική, με αποτέλεσμα να αρχίζει να διαφεύγει μάζα από τον αστέρα. Τα r-modes είναι ένα σημαντικό μέρος της λύσης αυτού του προβλήματος

19 9 Tα r-modes τα οποία όπως προαναφέρθηκε αποτελούν μέρος των φυσικών τρόπων ταλαντώσεως του αστέρα με επαναφέρουσα δύναμη τη δύναμη Coriolis. Εξελίσσονται στο χρόνο εκθετικά e iωt t τ, αποτέλεσμα Υδροδυναμικής και μερικών αποσβεστικών μηχανισμών. Η συχνότητα ω, δίνεται για τον συγκεκριμένο (r mode, l = 2) τρόπο: (l )(l + 2) ω = l + Ω = 4 3 Ω όπου Ω: γωνιακή ταχύτητα αδιατάρρακτου αστέρα Το δεύτερο μέρος του εκθετικού εξαρτάται από φαινόμενα εκπομπής βαρυτικών τ κυμάτων, ιξώδους κ.α. Υπολογίζονται ως:, = τ(ω,τ) τ GR (Ω) τ BV (Ω,Τ) τ EL (Ω,Τ) τ SV (Ω,Τ) όπου τ GR : χρόνος κατάσβεσης λόγω βαρυτικών κυμάτων τ BV : χρόνος κατάσβεσης λόγω ιξώδους όγκου τ SV : χρόνος κατάσβεσης λόγω διατμητικού ιξώδους τ EL : χρόνος κατάσβεσης στο ιξώδους στο οριακό στρώμα της κρούστας και του ρευστού πυρήνα του αστέρα (προϋποθέτει ύπαρξη κρούστας) Γενικά τα βαρυτικά κύματα οδηγούν τον συγκεκριμένο τρόπο ταλάντωσης (rmode) σε αστάθεια, ενώ προς την ευστάθεια του τρόπου τείνουν τα ιξώδη. Για την ακρίβεια, η ταλάντωση φθίνει εκθετικά ως e t τ, αρκεί το τ να υπακούει στη συνθήκη: τ > 0. Ισχύει: τ(ω, Τ) = ( Ω 6 ) Ω 0 τ GR + 2 K τ (09 SV T ) ( T K ) + τ BV ( Ω 2 ) Ω 0 + K τ (08 EL T ) Ω Ω 0

20 20 με Ω 0 = πgρ, ρ = 3Μ η μέση πυκνότητα του αστέρα 4πR3 Γενικά ισχύει: = τ i 2E (de dt ) i με Ε = R 2 α2 R 2( m) Ω 2 ρ(r)r 2(m+) dr, 0 όπου α: αδιάστατη παράμετρος έντασης mode R: ακτίνα αστέρα Ω: γωνιακή ταχύτητα αστέρα ρ(r): ακτινική εξάρτηση κατανομής πυκνότητας Για τον κάθε κατασβεστικό μηχανισμό (GR, BV, SV, EL ), ό χρόνος κατάσβεσης δίνεται παρακάτω ως: = 32πGΩ2(l+) τ GR c 2l+3 (l ) 2l [(2l + )!!] 2 (l + 2 l + ) 2(l+) R ρ(r)r 2(l+) dr 0 Αυτό ισχύει για όλους τους τρόπους ταλάντωσης. Για το r-mode (l=2) όμως που μελετάμε εδώ, ισχύει: = ( Ω 6 τ GR Hz ) ( R 7 km ) ρ c ( gr cm 3) I (s )

21 2 I = F(x)x 6 dx 0 x = r R ρ = ρ c F(x) F(x): αδιάστατη συνάρτηση του x ρ c : κεντρική πυκνότητα αστέρα Τα τ BV, τ SV, τ EL εξαρτώνται από τον εκάστοτε αστέρα που λαμβάνουμε υπ όψιν, διότι είναι ευαίσθητα σε βασικές ιδιότητες του αστέρα π.χ. είδος αστέρα (νετρονίων, παράξενος κλπ), ηλικία αστέρα (νέος, παλιός), ύπαρξη ή μη κρούστας στον αστέρα (για τον όρο τ EL ). Αυτά τα εξετάζουμε στις παρακάτω ενότητες. 3.2) R-modes σε αστέρες νετρονίων Στους αστέρες νετρονίων, οι χρόνοι κατασβεστικών μηχανισμών είναι αρκετά ευαίσθητα εξαρτημένοι στη θερμοκρασία (2 από αυτούς) και τους αναφέρουμε παρακάτω: = 4π τ BV 690 ( Ω 4 ) Ω 0 R R 2(l ) ( ρ(r)r 2(l+) dr 0 R ) ξ BV ( rr 6 ) [ ( r 2] R ) r 2 dr 0 ξ BV = ( l+ 2 )2 ( Hz Ω )2 ( ρ gr cm 3)2 ( T K )6 (gr cm s ) όπου ξ BV : ιξώδες του όγκου (bulk viscosity) R = (l )(2l + ) ( ρ(r)r 2(l+) dr) R η τ SV 0 SV r 2l dr 0

22 22 Για αστέρες νετρονίων με Τ < 0 9 Κ, το διατμητικό ιξώδες κυριαρχείται από σκεδάσεις μεταξύ ηλεκτρονίων e. To αντίστοιχο ιξώδες υπολογίζεται ως: ee = ρ 2 ( gr cm 3) ( T 2 K ) η SV (g cm s ) Για αστέρες με θερμοκρασίες Τ 0 9 Κ, ο μηχανισμός κυριαρχείται απο σκεδάσεις μεταξύ νετρονίων n και το ιξώδες: 9 2 nn ρ 4 T = 347 ( gr cm 3) ( K ) η SV (g cm s ) Άρα τελικά έχουμε 2 χρόνους κατάσβεσης, ανάλογα με τη θερμοκρασία που επικρατεί στον αστέρα και άρα τον μηχανισμό κατάσβεσης ενέργειας μέσω διατμητικών τριβών: ee = ( km 2 R ) ( T 2 K ) ρ c ( I ee gr cm 3) 3 (s ) I τ SV I ee 3 = F 2 (x)x 4 dx 0 nn = ( km 2 R ) ( T 2 K ) ρ c ( gr cm 3) τ SV I 3 nn = F 9 4(x)x 4 dx I 3 nn I (s )

23 23 Ακόμη, με τη θεώρηση ύπαρξης κρούστας στον αστέρα εισέρχεται άλλος ένας χρόνος κατάσβεσης λόγω διαφοράς ταχύτητας μεταξύ πυρήνα και εξωτερικού στρώματος. Επίσης, αλλάζει ο χρόνος κατάσβεσης λόγω βαρυτικών κυμάτων τ GR. = ( Ω 6 Hz ) τ GR ( R km ) 7 ρ c ( g cm 3) I (s ) τ EL = 3 2Ω 2l+ 2 (l + )! 2ΩR c 2 R ρ c cr ρ(r) l(2l + )!! C l η cr 0 ( r 2l+2 dr ) ρ cr R c R c (s) Αναλόγως τη θερμοκρασία που θεωρούμε και τη σκέδαση που κυριαρχεί στην θερμοκρασία αναφοράς (nn, ee), παίρνουμε και 2 διαφορετικούς χρόνους κατάσβεσης: τ ee EL = ( Hz Ω ) τ nn EL = ( Hz Ω ) 2 Τ ( Κ 2 T ( K 3 cm ρ c R ) (g ) ( ρ cr g cm 3) ( km ) ( km 6 ) I R (s) c 3 cm ρ c R ) (g ) ( ρ cr g cm 3) ( km ) ( km 6 ) I R (s) c I = 0 x c F(x)x 6 dx, x c = R c R Όπως είναι κατανοητό, οι πυκνότητες και οι συναρτήσεις F(x), θα παίρνουν μορφές ανάλογα με την εκάστοτε TOV που λαμβάνουμε υπ όψιν. Παρακάτω, ενώ θα ασχοληθούμε αποκλειστικά με τις TOV των SBSSs, αναφέρουμε και τις κατανομές πυκνότητας αστέρων νετρονίων για λόγους διασθητικής προσέγγισης και σύγκρισης

24 24 3.3) R-modes σε παράξενους αστέρες quark Για τους παράξενους αστέρες, έχουμε πάλι χρόνους κατάσβεσης, όμως διαφέρουν ως προς τα ιξώδη. Συγκεκριμένα οι χρόνοι είναι: = τ GRSBSS τ GRNS = = (l )(2l + )( ρr 2l+2 dr) τ SV τ η 0 R R ηr 2l dr 0 Για το r-mode (l=2) που μελετάμε εδώ: R = 5 ( ρr 6 dr) τ η 0 R ηr 4 dr 0 η =,7 0 8 ( 0, 5 ) α S ρ 5 = 3 4 ρ5 9 Τ (g cm s ) ρ 0 5 gcm 3, T 9 = T 0 9 K Μετά από λίγη άλγεβρα: = 8,5 0 2 α τ η S 5 3 ( km R )2 ( K 5 ) 3 ( ρ c T g cm 3) 5 9 I η I

25 25 = = 4π τ BV τ ζ 690 ( Ω2 2 ) πgρ R R R 2l 2 ( ρr 2l+2 dr) ζ ( rr 6 ) [ ( r 2] R ) r 2 dr 0 0 Και εδώ για το r-mode έχουμε: = 4π τ ζ 690 ( Ω 2 πgρ ) 2 R R 2 ( ρr 6 dr) 0 R ζ ( r R )6 [ ( r R )2 ] r 2 dr 0 Το ιξώδες όγκου προέρχεται κυρίως από τη ασθενή αλληλεπίδραση (AA) μεταξύ quarks, όπου: u + d AA s + u Μελετώντας τώρα για χαμηλές θερμοκρασίες (Τ < 0 9 Κ), το ιξώδες όγκου μπορεί να γραφεί σε καλή προσέγγιση ως: ζ = 3, m 4 00 ρ 5 T 2 9 ω 2 (g cm s ) με ω = 2mΩ l=2 ω = 2 l(l + ) 3 Ω, m s m 00 = ( 00MeV ), m s : μάζα παράξενου (strange) quark Και εδώ μετά από λίγες πράξεις καταλήγουμε στη μορφή:

26 26 =, ( Ω 2 τ ζ Hz ) ( T 2 K ) ( M 2 M ) ( R 4 km ) m s 4 ( 00MeV ) I ζ Ι 3.4) Αναλυτικές λύσεις εξισώσεων TOV Όπως αναφέραμε και πριν, για να καταλήξει κάποιος να μελετάει μια συγκεκριμένη μορφή της ύλης σε έναν συμπαγή αστέρα, πρέπει πρώτα να λύσει τις εξισώσεις της Γενικής Θεωρίας της Σχετικότητας. Θα καταλήξει έτσι σε διάφορες σχέσεις μάζας M, πίεσης P και πυκνότητας ρ, που αναλόγως με τις αναλογίες που λαμβάνουμε υπ όψιν καταλήγουμε και σε διαφορετικές καταστάσεις της ύλης. Συγκεκριμένα, για ένα σφαιρικά συμμετρικό σύστημα όπως ο αστέρας νετρονίων, το στοιχειώδες μήκος (μετρική) μπορεί να γραφεί ως: ds 2 = e v(r) dt 2 e λ(r) dr 2 r 2 (dθ 2 + sin 2 θ dφ 2 ) Tα v(r), λ(r) υπακούν στις παρακάτω σχέσεις: 8πG c 2 8πG c 4 ρ(r) = r 2 ( e λ(r) ) + e λ(r) λ (r) r P(r) = r 2 ( e λ(r) ) + e λ(r) ν (r) r Mε τη βοήθεια των παραπάνω καταλήγουμε στις προαναφερθέντες εξισώσεις ΤΟV: dp(r) dr = Gρ(r)M(r) r 2 ( + p(r) 4πp(r)r3 2GM(r) ρ(r)c2) ( + M(r)c 2 ) ( c 2 r )

27 27 dm(r) dr = 4πr 2 ρ(r) Aυτές είναι προσεγγιστικές λύσεις των παραπάνω εξισώσεων. Ανάλογα με το είδος του αστέρα, παίρνουμε και διαφορετικές λύσεις. 3.4.) Λύσεις για αστέρα νετρονίων Για αστέρα νετρονίων έχουμε τις παρακάτω λύσεις: Ι) Tolman VII: ρ(r) = ρ c ( r2 R 2) ρ c = 5M 8πR 3 F(r) = ( r R ) 2 II) Buchdahl: Η λύση του Buchdahl έχει ως εξής: ρ = 2 P P 5P όπου P: τοπική πυκνότητα P : παράμετρος

28 28 Η συγκεκριμένη λύση δεν έχει κάποιο υποβόσκων φυσικό νόημα και τα κύρια χαρακτηριστικά της είναι πως i) μπορεί να γίνει παντού συμβατή με την αρχή της αιτιότητας (causality), απλά ορίζοντας: dp dρ <, με dp : ταχύτητα του ήχου dρ ii) για μικρές τιμές της πίεσης P, απλοποιείται στη μορφή: ρ = 2 P P Μία άλλη μορφή της κατανομής πυκνότητας ρ, είναι: ρ(r) = A2 uc 2 4πG ( 2β) ( β 3u ) ( β + u) 2 2 με u(r ) = β sin Ar Ar, r = r( β + u) ( 2β), A 2 = 288πP Gc 4 ( 2β) β =.475 ( M M ) ( km R ) και όπως βλέπουμε εξαρτάται από τη σχέση μάζας Μ-ακτίνας R του εκάστοτε αστέρα. Για αστέρα νετρονίων παίρνουμε μια μέση ακτίνα R = 2.53 km, ενώ για SBSS παίρνουμε R = 8 km. Και στις 2 περιπτώσεις όμως λαμβάνουμε μάζα Μ =,4 Μ.

29 29 Θέτοντας: x = r, R x = r, ο παράγων δομής γίνεται: R F(x u ) = β ( 5β ( β 3u 2 ) 2 ) ( β + u) 2 x [0, 2β β ] Η κεντρική πυκνότητα είναι: ρ c = πm 4R 3 ( 5β 2 ) ( β)2 2β Tο διάγραμμα για την εκάστοτε λύση, συνοψίζεται στο παρακάτω σχήμα: Σχήμα 7: Κατανομή πυκνότητας συναρτήσει της απόστασης από το κέντρο του αστέρα, για την εκάστοτε TOV.

30 ) Λύσεις για παράξενους αστέρες, υπολογισμοί χρόνων /τ Γενικά για την κεντρική πυκνότητα ρ c και την παράμετρο συμπαγότητας (compact parameter) β ισχύει: ρ c =.988 4π 08 ( α β ) ( Μ Μ ) ( km R ) 3 β =,475 ( M M ) ( km R ) Εδώ λαμβάνουμε γενικά Μ =,4 Μ και το α εξαρτάται κάθε φορά από την λύση της TOV που επιλέγουμε. Παρατηρούμε επίσης ότι το άθροισμα των χρόνων καταλήγει σε μία εξίσωση 6 ου βαθμού, ως προς τη γωνιακή ταχύτητα του αστέρα, η οποία ανάγεται στη λύση εξίσωσης 3 ου βαθμού. Αναλυτικά: τ i < 0 ( Ω Hz ) 3 + q ( Ω Hz ) + w < 0 i όπου i δείκτης που τρέχει σε όλα τα ιξώδη Καταλήγουμε έτσι στα εξής για κάθε λύση κατανομής πυκνότητας TOV (υπ όψιν πως έχουμε λάβει i) R ~ 8 km, ii)r ~ km ): Ι) Uniform Density (Ομοιόμορφη κατανομή) α = 3β

31 3 F(x) = e λ = 2βx p ρ c = 2β 2βx, όπου p: πίεση 2βx 3 2β c s 2 =, η ταχύτητα του ήχου στο ρευστό i) ρ c = (g cm 3 ) = ( Ω 6 τ GR Ηz ) 5 = a 3 τ S ( K 5 η T ) 3 = m 4 s ( { τ ζ 00MeV ) ( T 2 K ) ( Ω 2 Hz ) ii) ρ c = (g cm 3 ) = ( Ω 6 τ GR Ηz ) 5 = 4643 a 3 τ S ( K 5 η T ) 3 = m 4 s ( { τ ζ 00MeV ) ( T 2 K ) ( Ω 2 Hz )

32 32 II) Generalized Tolman IV (N=) a = 3β 2 2 3β 3β F(x) = ρ = 3β (2 3β)( 3β) + β(3 7β)x + 2β 2 x 2 ρ c 2 3β ( 3β + 2βx) 2 e λ = 3β + 2βx ( 3β + βx)( βx) p = 3β ρ c 2 3β β x 3β + 2βx c s 2 = 3β + 2βx 5 5β + 2βx i) ρ c = (g cm 3 ) = ( Ω 6 τ GR Hz ) 5 = a 3 τ S ( K 5 η T ) 3 = m 4 s ( { τ ζ 00MeV ) ( T 2 K ) ( Ω 2 Hz )

33 33 ii) ρ c = (g cm 3 ) { = ( Ω 6 τ GR Hz ) 5 = a 3 τ S ( K 5 η T ) 3 = m 4 s ( τ ζ 00MeV ) ( T 2 K ) ( Ω 2 Hz ) III) Generalized Tolman IV (N=2) a = 3β ( 2 2β 2 2 5β ) 3 F(x) = ( + 5 5βx 3βx ) ( + 3(2 5β) 2 5β ) 3 e λ 2 2β = 2 ( 2 5β + 3βx ) 2 3 βx p = ( 2 5β 2 2 ρ c 2 2β ) 3 3(2 5β + βx) [2 ( 2 2β 2 5β + 3βx ) 3 (2 5β + 5βx)]

34 34 5 c 2 2 5β + 3βx 5β + 3βx) 3 s = [(2 5(2 5β + βx) 3 (2 2β) 2 + (2 5β) 2 5β 2 x 2 ] 3 i) ρ c = (g cm 3 ) = ( Ω 6 τ GR Hz ) 5 = a 3 τ S ( K 5 η T ) 3 = m 4 s ( { τ ζ 00MeV ) ( T 2 K ) ( Ω 2 Hz ) ii) ρ c = (g cm 3 ) { = ( Ω 6 τ GR Hz ) 5 = a 3 τ S ( K 5 η T ) 3 = m 4 s ( τ ζ 00MeV ) ( T 2 K ) ( Ω 2 Hz ) Γενικά λαμβάνοντας υπ όψιν: { R = 8 km, β = 0,258 R = 2.53 km, β ~ 0,65

35 35 4) Παράθυρα r-mode αστάθειας Όπως είπαμε πιο πριν, το φαινόμενο κατα το οποίο ένας συμπαγής αστέρας επιβραδύνει την περιστροφή του λόγω τριβών και βαρυτικών κυμάτων, μελετάται με τα λεγόμενα «παράθυρα αστάθειας». Αυτά τα παράθυρα ορίζουν το εύρος συχνότητας Ω και θερμοκρασίας Τ, μέσα στα οποία εάν βρίσκεται ένας αστέρας είναι εν δυνάμει παρατηρήσιμος ως προς ανίχνευση βαρυτικών κυμάτων, μέσα στα όρια ευαισθησίας της τεχνολογίας που έχουμε σήμερα. Τα ιξώδη του αστέρα μετριάζουν την εκπομπή βαρυτικών κυμάτων μέσω απορρόφησης ενέργειας στον αστέρα λόγω τριβών. Έτσι, εάν ο αστέρας βρίσκεται εκτός του παραθύρου αστάθειας, δεν είναι συμβατός για εκπομπή βαρυτικών κυμάτων, τουλάχιστον εντός των ορίων της ευαισθησίας του ανιχνευτή που χρησιμοποιείται. Γενικότερα, έχουμε αναφέρει πως για την εύρεση του «παραθύρου αστάθειας» για τον κάθε αστέρα, λαμβάνουμε υπ όψιν την εκάστοτε λύση ΤΟV και λύνουμε την εξίσωση χρόνων: = 0 ( Ω 6 τ i Hz ) + q ( Ω 2 Hz ) + w = 0 i 4.) Παράθυρα αστέρων νετρονίων Λαμβάνοντας υπ όψιν την περίπτωση αστέρα νετρονίων, τα q και w παίρνουν την παρακάτω μορφή: q = ( 0km R ) 3 ( M M ) 2 ( T 0 9 K )6 I 2 I 2

36 36 w = ( 09 2 K T ) ( 0km R )9 2 I [( +.729I 3 ee ] ρ c 0 6 g cm 3) 4 I3 nn Ακόμη, ορίζουμε την παράμετρο: Υ = 4q3 27w 2 Τώρα, μπορούμε να ορίσουμε την οριακή γωνιακή συχνότητα του αστέρα ως: Ω c = { ( w 2 ) 6 ( + Y) 3 + ( Y) 3, Y (4w Y) 6 cos [ arctan( Y )], Y 3 Το παράθυρο που εξάγεται με βάση αυτά τα δεδομένα για NS και για κάθε κατανομή πυκνότητας (R = 2.53 km), συνοψίζεται στο παρακάτω διάγραμμα: Σχήμα 8: Παράθυρο αστάθειας ως προς εκπομπή βαρυτικών κυμάτων για αστέρα νετρονίων, για την εκάστοτε λύση της TOV.

37 37 Εδώ πρέπει να σημειώσουμε πως σχεδόν για κάθε κατανομή πυκνότητας για αστέρα νετρονίων, το ελάχιστο της γωνιακής συχνότητας Ω βρίσκεται σε θερμοκρασία Τ ~ 0 0 Κ με τιμή Ω c ~ 50 Hz. 4.2) Παράθυρα παράξενων αστέρων Για την περίπτωση αυτοδέσμιου παράξενου αστέρα, όπως θα παρατηρήσουμε οι αριθμοί είναι διαφορετικοί: q = ( 0km 3 R ) ( M 2 ) ( T 2 M 0 9 K ) 5 w = ( 09 K T ) 3 0km ( R )9 2 I ( με I = F(x) x 6 dx 0 ρ c I ζ = F(x)( x 2 )x 8 dx 0 I η = [F(x)] 4 9 x 4 dx 0 m s 4 ( 0 6 g cm 3) ( 00MeV ) I ζ ρ c 0 6 g cm 3) 4 9 αs 53 I η Ι 2 Παρακάτω θα παραθέσουμε τα παράθυρα της r-mode αστάθειας για quark stars, για κάθε από τις προαναφερθείσες λύσεις TOV. Επίσης, λαμβάνουμε υπ όψιν διαφορετικές τιμές της σταθεράς σύζευξης α S και της μάζας του strange quark. Διαφορετικές τιμές, έχουν σαν αποτέλεσμα την μετακίνηση των εκάστοτε παραθύρων αστάθειας. Αναλυτικά:

38 38 Uniform Density Hz a S 0.2 a S 0.4 a S 0.6 R = 8 km M =.4 M K Σχήμα 9: Το παράθυρο αστάθειας για την ομοιόμορφη πυκνότητα (uniform) και για διάφορες τιμές της σταθεράς αs και για τιμή μάζας παράξενου quark ms =00 MeV. Αξίζει να σημειώσουμε πως παρ ολο που φαίνεται σαν να μηδενίζεται η γωνιακή συχνότητα περιστροφής Ω, στην πραγματικότητα φτάνει σε πολύ χαμηλές τιμές (της ταξης των Ω ~ 5 Hz). Το ίδιο ισχύει και στα παρακάτω διαγράμματα το Ω δεν μηδενίζεται ποτέ. Hz a S 0.2 a S 0.4 a S 0.6 R = 8 km M =.4 M T K Σχήμα 0: Tο ίδιο με το προηγούμενο, με τη μόνη διαφορά ms =200 MeV.

39 39 Generalized Tolman IV (N=) Hz R = 8 km a S 0.2 a S 0.4 a S 0.6 M =.4 M T K Σχήμα : Παράθυρο για την λύση Generalized Tolman IV (N=) και για ms =00 MeV. Hz R = 8 km a S 0.2 a S 0.4 a S 0.6 M =.4 M T K Σχήμα 2: Ίδιο με το προηγούμενο, με ms =200 MeV.

40 40 Generalized Tolman IV (N=2) R = 8 km Hz M =.4 M a S 0.2 a S 0.4 a S T K Σχήμα 3: Παράθυρο λύσης Generalized Tolman IV (N=2), με ms =00 MeV. Hz R = 8 km a S 0.2 a S 0.4 a S 0.6 M =.4 M T K Σχήμα 4: Ίδιο με το προηγούμενο, για ms =200 MeV.

41 4 5) Παρατηρήσεις Συμπεράσματα Η ύπαρξη της παράξενης ύλης ως την, μέχρι τώρα γνωστή, πιο σταθερή πυρηνική κατάσταση είναι ένα πολύ σημαντικό στοιχείο για την κατανόηση της ύλης γενικότερα. Στα αποτελέσματα αυτής της εργασίας μπορούμε να πάρουμε μια φυσική διαίσθηση για την φύση των αστέρων quark, ως προς τα r-modes, παρατηρώντας τα εξής: Η εκάστοτε λύση για αστέρα quark, είναι αρκετά εξαρτώμενη από την κατανομή πυκνότητας που λαμβάνουμε υπ όψιν και λιγότερο από τη δεδομένη μάζα του strange quark m s και τη σταθερά σύζευξης α S. Αυτό ποικίλλει σε κάθε καταστατική εξίσωση που θεωρούμε, ήτοι την κάθε λύση TOV (σχέση Μ-R, p-ρ). Αρχικά βλέπουμε πως στο παράθυρο αστάθειας του παράξενου αστέρα, το ελάχιστο της γωνιακής συχνότητας Ω του αστέρα βρίσκεται μετατοπισμένο κατά ΔΤ ~ 0 3 Κ ως προς τον αστέρα νετρονίων. Από αυτό θα μπορούσαμε να συμπεράνουμε πως η ύπαρξη αυτών των αστέρων σημαίνει πως θα πρέπει, αν όντως υπάρχουν σε μία από τις παραπάνω καταστάσεις πυκνότητας, να ευρύνουμε το προσδόκιμο εύρος παραθύρου αστάθειας r-mode για συμπαγείς αστέρες. Ακόμη, παρατηρούμε τη μετατόπιση της ελάχιστης τιμής της γωνιακής συχνότητας Ω σε ΔΩ ~ 60 Ηz. Αυτό σημαίνει πως αν παρατηρηθούν αστέρες με χαμηλότερη γωνιακή συχνότητα από το ελάχιστο όριο του αστέρα νετρονίων, θα είναι ένα ακόμη στοιχείο προς ύπαρξη παράξενων αστέρων ή υβριδικών. Στο τελευταίο σχήμα, συνοψίζεται διαγραμματικά η φύση της ύλης γενικά, αλλα ειδικότερα σε αστέρα quark, στην ψυχρή υπεραγώγιμη μορφή της.

42 Σχήμα 5: Διάγραμμα φάσης της ύλης ως προς τη θερμοκρασία Τ και την πυκνότητα μ. Η ύλη που θεωρούμε στους αστέρες quark, βρίσκεται στην ψυχρή υπεραγώγιμη φάση χρώματος-γεύσης quark (CFL) του διαγράμματος (κάτω δεξιά). 42

43 43 Βιβλιογραφία-Aναφορές [] Ch.C. Moustakidis, Phys. Rev. C9, [2] Zhou, E. P., Lu, J. G., Tong, H., & Xu, R. X. 204, MNRAS, 443, 2705 [3] Abadie J., Abbott, B. P., Abbott, R., et al. 200, ApJ, 722, 504 [4] Andersson, N., Kokkotas, K. D.,& Stergioulas, N. 999, ApJ, 56, 307 [5] Farhi, E., & Jaffe, R.L. 984, Phys. Rev. D, 30, 2379 [6] Chandrasekhar, S. 970, ApJ, 6, 56 [7] Friedman, J.L., & Schutz, B. F. 978, ApJ, 22, 937 [8] Heiselberg, H., & Pethick, C.J. 993, Phys. Rev. D, 48, 296 [9] Lindblom, L., Menell, G., & Owen, B.J. 999, Phys. Rev. D, 60, [0] B.F. Schutz, A First Course in General Relativity, (Cambridge University Press, Cambridge, 985) [] M. Prakash, The Equation of State and Neutron Stars, lectures delivered at the Winter School held in Puri India, 994 (unpublished) [2] [3] [4] [5] K. Glampedakis and N. Andersson, Phys. Rev. D 74, (2006) [6] Xu, R.X. 2003, ApJ, 596, L59 [7] Witten, E. 984, Phys. Rev. D., 30, 272 [8] Yang, S.-H., Pi, C.-M., & Zheng, X.-P. 20, ApJ, 735, L29 [9] Yu, M., & Xu, R. X. 20, Astroparticle Physics, 34, 493 [20] Zheng X. P., Kang, M., Liu, X. W., & Yang, S. H. 2005, Phys. Rev. C, 72,