ΚΑΤΑΝΟΜΗ BOLTZMANN ΘΕΩΡΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Transcript

1 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΚΑΤΑΝΟΜΗ BOLTZMA ΘΕΩΡΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ Περιεχόμενα 1. Κατανομή Bltzmann. Ασκήσεις 1

2 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Κατανομή Bltzmann πιθανότητα να βρεθεί ένα σωματίδιο σε όγκο dv = dxdydz στο σημείο (x,y,z) μέσα σε εξωτερικό δυναμικό πεδίο δίνεται από την κατανομή Bltzmann U( x,y,z) dp Ae dv σταθερά κανονικοποίησης προσδιορίζεται από την σχέση: V U dp 1 Ae dv 1 A Έστω n: η συγκέντρωση των μορίων σε στοιχειώδη όγκο dv γύρω από το σημείο (x, y, z) n : η συγκέντρωση μορίων στον στοιχειώδη όγκο γύρω από το σημείο (x, y, z ) Η συγκέντρωση θα δίνεται από την σχέση: n Ae Διαιρώντας κατά μέλη θα έχουμε: U(x,y,z) n n n n e d dv UU Ae e 1 U dv και επειδή U(x,y,z ) dp d κατανομή Bltzmann θα έχουμε:

3 ΑΣΚΗΣΗ 1. Ασκήσεις Αέριο βρίσκεται σε κυλινδρικό δοχείο με εμβαδό διατομής S, ύψος Η και σταθερής θερμοκρασία Τ. α) Θεωρώντας το πεδίο βαρύτητας ομογενές, υπολογίστε τη μέση τιμή της δυναμικής ενέργειας των μορίων του αερίου. β) Πώς εξαρτάται αυτό το μέγεθος από το αν αποτελείται το αέριο από ένα ή πολλά είδη μορίων; κατανομή Bltzmann θα είναι: Η S ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ dv SdZ dz z U dp Ae dv dp Ae dv dp ASe dz σταθερά κανονικοποίησης προσδιορίζεται από την σχέση: dp 1 Ae dv 1 A e Sdz 1 V AS 1 e 1 A mg S 1 e mg f z 3

4 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Η μέση τιμή της δυναμικής ενέργειας των μορίων του αερίου θα είναι: U mg z Αρκεί να υπολογίσουμε το <z>, έτσι θα έχουμε: z zf (z)dz παραγοντική zase dz AS ze dz AS ze dz mg AS ze e dz AS ze e mg mg mg AS e e mg mg mg S A e e 1 mg mg 4

5 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Αντικαθιστώντας την σταθερά κανονικοποίησης έχουμε: 1 S e z e e 1 S mg mg mg 1 e 1 e mg 1 mg e 1 Άρα η μέση τιμή της δυναμικής ενέργειας των μορίων του αερίου θα είναι: U mg z 1 e 1 Παρατηρούμε ότι αν το δοχείο έχει πεπερασμένο ύψος η μέση δυναμική ενέργεια εξαρτάται από το αν αποτελείται το αέριο από ένα ή πολλά είδη μορίων. Στην περίπτωση όμως που το δοχείο έχει πολύ μεγάλο ύψος έχουμε: U 5

6 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΑΣΚΗΣΗ Κύλινδρος ακτίνας R που περιέχει 1 mle ιδανικού αερίου περιστρέφεται έτσι, ώστε η δυναμική ενέργεια των μορίων να είναι mωr όπου ω η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής, m η μάζα κάθε μορίου και r η απόσταση από το κέντρο. α) Υπολογίστε τη μέση δυναμική ενέργεια των μορίων. β) Τι συμβαίνει όταν R + L dr dv R rdr κατανομή Bltzmann θα είναι: U m r mr dp Ae dv dp Ae dv dp ALe r dr σταθερά κανονικοποίησης προσδιορίζεται από την σχέση: V R mr dp 1 f r dr 1 AL re dr 1 R mr m r AL r 'e dr 1 AL e dr 1 m R f r 6

7 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ mr U m r R mr mr 1 ALe 1 AL 1 e 1 A m m L 1e m Η μέση τιμή της δυναμικής ενέργειας των μορίων του αερίου θα είναι: R mr r r f r dr AL rr e dr V r z rdr dz r dr rr dr zdz 3 1 Το ολοκλήρωμα τελικά θα προκύψει: R mr mr mr 3 1 k T mr r e dr 1 e e m Άρα 7

8 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ m R m R 1 k T m r AL 1 e R e m mr m R mr e 1 1 mr mr m m 1 e e 1 U m r 1 mr mr e 1 αντικαθιστώντας το Α έχουμε: Άρα η μέση τιμή της δυναμικής ενέργειας των μορίων του αερίου θα είναι: Στην περίπτωση όμως που το δοχείο έχει πολύ μεγάλη ακτίνα: U 8

9 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΑΣΚΗΣΗ 3 Σε ένα κατακόρυφο κυλινδρικό δοχείο περιέχεται αέριο από τα μόρια του οποίου έχουν μάζα m. Αν θεωρήσουμε το πεδίο βαρύτητας της Γης ομογενές να υπολογισθεί: α) Ο αριθμός των σωματιδίων στο δοχείο β) Πόσο θα αλλάξει η πίεση σε ύψος z από την βάση του δοχείου αν η θερμοκρασία μεταβληθεί ν φορές γ) Το κέντρο μάζας των σωματιδίων στο δοχείο. Από την σχέση του Bltzmann έχουμε: n z ne d dvsdz d επειδή n d nsdz f (z) dv Sdz d nsdz ns Η πυκνότητα πιθανότητας είναι: dp e dz ns Από την συνθήκη κανονικοποιήσης έχουμε: dp 1 e dz 1 ns n S e 1 1 e 1 mg 1e n S mg 9

10 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ όπου Η το ύψος του κυλίνδρου, S = πr το εμβαδόν της διατομής του, R η ακτίνα της βάσης του και n η συγκέντρωση των μορίων στη βάση του. Αν το ύψος του κυλίνδρου είναι πολύ μεγάλο δηλαδή ο εκθετικός όρος μηδενίζεται και ο αριθμός των σωματιδίων στο δοχείο σε συνάρτηση με την συγκέντρωση στην βάση του θα είναι: R n mg α) Για θερμοκρασία Τ έχουμε: Για θερμοκρασία ντ έχουμε: n z n e n z ne (1) () Από την καταστατική εξίσωση του ιδανικού αερίου έχουμε: PV P n n e (3) Pz P z ne (4) Επειδή ο αριθμός των σωματιδίων και στην αρχική θερμοκρασία Τ αλλά και στην τελική Τ = ντ κατάσταση δεν αλλάζει θα έχουμε: R n R n n n (5) mg mg 1

11 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Διαιρώντας κατά μέλη την (3) προς (4) και χρησιμοποιώντας την (5) θα έχουμε: 1 e ne e P z n e e P z Η θέση του κέντρου μάζας των σωματιδίων στο δοχείο ταυτίζεται με τη μέση θέση τους: z zf (z)dz ns n S παραγοντική ze dz z e dz mg mg mg mg ns e e mg mg mg ns e 1 e mg mg ns n S ze e dz ze e 11

12 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Αντικαθιστώντας : n S mg 1e ns z e 1 e mg mg ns e 1 e n m S g mg 1 e mg e 1 mg 1 e e 1 1

13 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΑΣΚΗΣΗ 4 Η δυναμική ενέργεια των μορίων του αερίου, σε κεντρικό πεδίο, εξαρτάται από την απόσταση r από το κέντρο του πεδίου, σύμφωνα με τη σχέση U(r) = αr, όπου α θετική σταθερά. Η θερμοκρασία του αερίου είναι Τ και η συγκέντρωση των μορίων στο κέντρο του πεδίου n. Υπολογίστε: α) τον αριθμό των μορίων που βρίσκονται σε απόσταση από r έως r + dr από το κέντρο του πεδίου. β) την πιθανότερη απόσταση των μορίων από το κέντρου του πεδίου. γ) τον σχετικό αριθμό των μορίων που βρίσκονται στο στρώμα r εώς r+dr. δ) τον αριθμό των μορίων που έχουν δυναμική ενέργεια από U έως U + du ε) την πιθανότερη τιμή της δυναμικής ενέργειας των μορίων. στ) πόσες φορές θα μεταβληθεί η συγκέντρωση των μορίων στο κέντρο του πεδίου αν η θερμοκρασία μειωθεί κατά ν φορές. α) Από την σχέση του Bltzmann έχουμε: επειδή d dv d 4r dr n r n e dv4r dr n d 4nr dr r 13

14 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ r dr O αριθμός των μορίων που βρίσκονται σε απόσταση από r έως r + dr από το κέντρο του πεδίου είναι: r d 4n e r dr β) Η πυκνότητα πιθανότητας είναι: d 4n r dp e r dr f r Για να βρούμε την πιθανότερη απόσταση πρέπει να βρούμε εκείνο το σημείο όπου η πυκνότητα πιθανότητας παρουσιάζει μέγιστο. Έτσι, df r dr rr όμως df r 4n r dr r r re e r r r r r re e r r1 r 14

15 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ γ) 4n r dp 1 e r dz 1 Από την συνθήκη κανονικοποιήσης έχουμε: 3 4 n 3/ 4n 1 Συνεπώς μπορούμε να γράψουμε: 4 3/ r d dp 4 e r dr f r 3/ n x e rx m 1 n 1 dx n1 mr m n,m,r Σχετικός αριθμός μορίων σε απόσταση από r έως r + dr από το κέντρο του πεδίου 15

16 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ U δ) Επειδή U = αr r άρα, du du r dr dr U r U f r dr e r dr e 4n 4n U du U U n 1 1/ 3/ e U du f U du d Επειδή: dp f U du Ο αριθμό των μορίων που έχουν δυναμική ενέργεια από U έως U + du είναι: n U 1/ d e U du 3/ 16

17 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ε) η πιθανότερη τιμή της δυναμικής ενέργειας των μορίων θα προσδιοριστεί από την απαίτηση: df U du UU df U n U U e e 3/ du 1/ U 1/ U όμως 1/ U 1/ U df U U U du e e U U 17